Bài toán cauchy cho phương trình truyền sóng với số chiều không gian bất kỳ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG VỚI SỐ CHIỀU KHÔNG GIAN BẤT KỲ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2016... BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH

TRUYỀN SÓNG VỚI SỐ CHIỀU

KHÔNG GIAN BẤT KỲ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG VỚI SỐ CHIỀU

KHÔNG GIAN BẤT KỲ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH

Mục lục

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn,luận văn tốt nghiệp Thạc sỹ chuyên ngành Toán giait tích với đề tài " Bài toánCauchy cho phương trình truyền sóng với số chiều không gian bất kỳ" được hoànthành bởi nhận thức của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã thừa kế những thànhtựu của những nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Lời cảm ơn

Trong quá trình thực hiện luận văn thạc sỹ, tôi đã nhận được sự giúp

đỡ, tạo điều kiện của nhiều cá nhân, tập thể

Lời đầu tiên tôi xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Hà Tiến Ngoạn đãdành nhiều thời gian huownhs dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trongsuốt quá trình làm luận văn

Tôn xin trân thành cảm ơn toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, trườngđại học Sư phạm Hà Nội 2 cũng như các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạykhóa học cao học năm 2014-2016 đã tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thứccho tôi trong suốt thời gian theo học, thực hiện và hoàn thành luận văn

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm , tạo điềukiện, động viên tôi hoàn thành nhiệm vụ

Mặc dù đã có nhiều cố gắng hoàn thiện nhận văn, tuy nhiên luận văn không thểtránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được những đóng góp của thầy

cô và các bạn

Hà Nội, tháng 8 năm 2016

Nguyễn Thị Ngần

Luận văn xét bài toán Cauchy cho phương trình truyền sóng với số chiều khônggian bất kỳ Trước hết, bài toán được xét trong trường hợp một chiều Với côngthức D’Alembert, đại lương trung bình của nghiệm bài toán này trên các mặtcầu sẽ được thiết lập trong trường hợp số chiều không gian là lẻ Từ đó nhậnđược công thức biểu diễn nghiệm của bài toán khi xét giới hạn của đại lươngtrung bình khi bán kính mặt cầu tiến về không Trường hợp số chiều không gian

là số chẵn sẽ được giải quyết bằng phương pháp hạ bớt số chiều

Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần Mở đầu, Kết luận, Một số ký hiệu,Tài liệu tham khảo và 2 chương

Chương 1: trình bày Các tính chất định tính của nghiệm phương trình truyềnsóng, như dẫn dắt phương trình dao động của dây, bất đẳng thức năng lượngđối với bài toán, Miền phụ thuộc Tính duy nhất nghiệm của bài toán CauchyCauchy

Chương 2 trình bày bài toán Cauchy cho phương trình sóng thuần nhất, như

1 Trường hợp không gian một chiều, đại lượng trung bình trên mặt cầu, trườnghợp không gian ba chiều, trường hợp không gian hai chiều, trường hợp số chiềukhông gian bất kỳ, bài toán Cauchy cho phương trình truyền sóng không thuầnnhất

Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Hà Tiến

Ngoạn Tôi bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy đã dành nhiều công sức và thờigian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việc hoàn thành bản luận vănnày.

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo và các thầy, cô trong khoa Toán , TrườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2 về các kiến thức và những điều tốt đẹp mang lại chotôi trong thời gian học tập tại trường Tôi xin cảm ơn tới Phòng Sau Đại học

về những điều kiện thuận lợi đã dành cho tôi trong việc hoàn thành thủ tục họctập và bảo vệ luận văn

Cuối cùng tôi bày tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân là chỗ dựa về tinhthần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập

Hà Nội, tháng 8 năm 2016

Nguyễn Thị Ngần

Một số ký hiệu

(i) RN là không gian Euclide thực N chiều, R=R1

(ii) Một điểm trong RN là x = (x1, , xN) trong trường hợp cụ thể x có thể coinhư một vecto hàng hoặc vecto cột

(iii RN+ =x ∈RN; xN > 0 .

(iv) Một điểm bất kỳ trong RN ký hiệu (x, t) = (x1, , xN, t)

(v) U, V, và W ký hiệu là tập mở trong RN

(vi) ∂U là biên của U

(vii) U = U ∪ (∂U ) là bao đóng của U

(viii) B(x, r) là hình cầu đóng có tâm là x và bán kính là r

(ix) ωN là thể tích hình cầu đơn vị trong RN

(x) Đại lượng trung bình trong hình cầu

Chương 1

Các tính chất định tính của nghiệm phương trình truyền sóng

Chương này trình bày một số kiến thức bổ trợ, như dẫn dắt phương trìnhdao động của dây, bất đẳng thức năng lượng đối với bài toán Cauchy, miền phụthuộc, tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy Nội dung của chương nàyđược hình thành chủ yếu từ các tài liệu [??] và [??]

1.1 Dẫn dắt phương trình dao động của dây

Xét một sợi dây căng thẳng theo trục Ox Bằng một cách nào đó, ta làm sợidây dao động, và ta xét nghiên cứu định luận dao động ấy của sợi dây

Ta giả thiết sợi dây rất nhỏ, không cưỡng lại sự uấn và có lực căng T tương đốilớn so với sợi dây, khiến cho ta có thể bỏ qua yếu tố trọng lượng sợi dây nóitrên

Ta sẽ chỉ xét những dao động ngang của sợi dây, tức là giả thiết khi dao động,các phần tử vật chất của sợi dây chuyển động thẳng góc với trục Ox

Độ lệch của các phần tử vật chất của dây mà ta ký hiệu là M so với vị trí cânbằng của nó được ký hiệu là u

Rõ ràng hàm u phụ thuộc thời gian và hoành độ của điểm M tức là:

u = u (x, t)

Xét t = t0 thì đồ thị của đường cong biểu diễn bởi:

u = u (x, t0)

Rõ ràng cho ta hình dãng của sợi dây tại thời điểm t = t0.

Hơn nữa, ta giả thiết độ lệch u(x, t)của sợi dây và đạo hàm ∂u

Tức là bằng độ dài của đoạn \M1M2 khi dây cung còn ở vị trí cân bằng

Nó khác đi, như vậy ta coi độ dài của sợi dây không thay đổi khi nó dao động.Như vậy, theo định luật Hooke thì lực căng T của sợi dây cũng không thay đổi,

vì vậy ta có thể coi lực căng T là một hằng số T0

Lực căng hướng theo tiếp tuyến đối với dây tại điểm M1 và M2 và bằng T0 Gọi

α (x) là góc tạo bởi trục Ox với tiếp tuyến tại điểm x thì tổng hình chiếu củalực căng tại điểm M1 và M2 xuống trục u bằng :

Đây là phương trình dao động của dây Nếu dây đồng chất, tức là:

Đứng về phương diện toán học, nếu hoành độ của hai đầu dây là x = 0 và x = l

thì điều đó tương đương với việc tìm nghiệm của phương trình (1.1):

trong đó ϕ (x) là độ lệch ban đầu của dây

ψ (x) là vận tốc ban đầu theo trục u của thời điểm có hoành độ là x

u (0, t) = µ1(t)

u (`, t) = µ 2 (t). (1.6)trong đó µ1(t) chế độ chuyển động tại đầu x=0

µ2(t) là chế độ chuyển động tại đầu x = `

Nếu sợi dây dài mà ta chỉ quan tâm khảo sát một khoảng của dây khá xa mộtđầu, chẳng hạn đầu x = l, khiến cho ảnh hưởng của đầu đó có thể bỏ qua đượcthì ta có thể coi như đầu đó ở xa vô hạn và các điều kiện biên (1.5) và (1.6) sẽtrở thành :

u (x, 0) = ϕ (x)

ut(x, 0) = ψ (x) (1.7)

u (0, t) = µ (t) (1.8)Nếu khoảng dây xét xa đối với cả hai đầu, thì ta có thể coi như bài toán không

có điều kiện biên Khi đó (1.5) trở thành (1.7)

Những điều kiện biên và điều kiện ban đầu còn có thể có nhiều dạng khác vớidạng kể trên

Bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.7) (không có điều kiện biên) được gọi là bài toán Cauchy của phương trình (1.1), cònbài toán điều kiện(1.5), (1.6)được gọi là bài toán hỗn hợp của phương trình (1.1)

1.2 Bất đẳng thức năng lượng đối với bài toán Cauchy

Ta xét bài toán Cauchy cho phương trình truyền sóng cụ thể là bài toán

u tt − ∆u = 0, x ∈RN, t > 0 (1.9)

u (x 1 , , x n , t 0 ) = ϕ (x) x ∈RN (1.10)

ut(x1, , xn, t0) = ψ (x) x ∈RN. (1.11)Như vậy, mặt mang dữ liệu Cauchy đối với bài toán này là mặt phẳng t = t0 và

t = 0 Nó không phải là mặt đặc trưng của phương trình này Họ các mặt đăctrưng của phương trình này là họ các mặt nón tròn xoay, có trục song song với

trục Ot và có phương trình.

(x1− c1)2+ (x2− c2)2+ + (xN − cN)2− c2(t − t0)2 = 0, t0> 0. (1.12)

trong đó (c1, c2, , cN, t0) là tọa độ của đỉnh hình nón và có thể là điểm bất kỳ

trong không gian (x1, x2, , xN, t)

Giả sử 0 < s < t0 Xét trên mặt phẳng t = s của không gian (x1, x2, , xN, t).

Ký hiệu Gs là hình tròn trong mặt phẳng t = s

(x 1 − c 1 )2+ (x 2 − c 2 )2+ + (xN − cN)2 ≤ (t 0 − s)2.

Trên mặt phẳng t = 0 của không gian (x1, x2, , xN, t) xét hình tròn G0 sau:

(x1− c1)2+ (x2− c2)2+ + (xn− cn)2= t20.

Tồn tại trong nón cụt tròn xoay có đáy trên là mặt trong Gt0, đáy dưới là mặt

trong G0 và mặt bên Sts Ta gọi Ks là hình nón cụt nói trên

Định lý 1.1 Nghiệm của bài toán (1.9)-(1.11) thỏa mãn bất đẳng thức năng

lượng sau đây:

Vì mặt phẳngG0, Gt có vecto pháp tuyến cùng phương nhưng ngược chiều, mặtphẳng G0 có vecto pháp tuyến cùng phương cùng chiều với trục Ot, mặt phẳng

Gt có vecto pháp tuyến cùng phương ngược chiều với trục Ot, nên ta được:Công thức (1.14) có thể viết

ω (x, t) = t ±

q

(x1− c1)2+ (x2− c2)2+ + (xn− cn)2= const. (1.17)Trong đó hàm ω (x 1 , , x n , t) thỏa mãn:

Định lý 1.2 Nghiệm của bài toán (1.9)-(1.11) là duy nhất

Chứng minh Giả sửu1(x, t) và u2(x, t)là các nghiệm của bài toán (1.10) − (1.12)

Từ đó suy ra

u (x, y, z) = const.

Do u(x, t) = 0 trên G0 nên u(x, t) = 0 trong Ks Nên u1(x, t) = u2(x, t Vậy u(x, t)

là nghiệm duy nhất của bài toán Cauchy (1.10) − (1.12)

1.3.2 Miền phụ thuộc

Xét điểm(c1, , cn, t0)vớit0 > 0 Qua lý luận trên ta suy ra giá trị của nghiệm

u(x, t)tại điểm(c1, , cn, t0) và giá trị của nó tại điểm bất kỳ trong nónKt0 hoàntoàn được xác định bởi các hàmϕ(x)và ψ(x)trong các điều kiện (1.10) và (1.11)

Do đó ta thấy rằng, miền phụ thuộc cuả điểm (c1, , cn, t0)là hình nón Kt0 quayxuống mà nhận điểm (c1, , cn, t0) là đỉnh

2.1 Trường hợp không gian một chiều

Xét phương trình truyền sóng sau đây

Biết t là thời gian, và x là biến không gian một chiều

Ở đây ϕ, ψ đã biết Ta tìm công thức của u thông qua ϕ và ψ

Ta sẽ chứng minh nghiệm tổng quát của bài toán (2.1) có dạng

u (x, t) = F (x − ct) + G (x + ct). (2.2)

Ở đây s → F (s), G(s)thuộc lớp C2 trong miền xác định Thật vậy, nếu thay đổibiến

ξ = x − t, η = x + t. (2.3)

0 (.)

F0(.) = 1

2ϕ

0 (.) − 12cψ

2.2 Đại lượng trung bình trên mặt cầu

Cho ϕ và ψ là có hai chức năng nhất định của lớp C2(RN) và xét bài toánCauchy sau

Trong đó ν dao động trên RN

Chú ý 2.1 Hàm số r → M (v; x, r) có thể thác triển từ R+ lên R bởi ánh xạchẵn như sau

2.2.3 Bài toán Cauchy tương đương

Cho u ∈ C2(RN ×R) là nghiệm của (2.6) Khi đó, ∀x ∈RN và ∀r > 0

∂2

∂t 2 M (v; x, r)

2.3 Trường hợp không gian ba chiều

Nếu N = 3, bài toán giá trị ban đầu (2.10), sau khi nhân với r ta nhận được

|x−y|=t

ψ (y) dσ. (2.14)Bằng cách chuyển đạo hàm vào dấu dưới tích phân trong (2.13)

4πu (x, t) = 1

t 2

Z

|x−y|=t

(tψ (y) + ϕ (y) + ∇ϕ (x − y)) dσ. (2.15)

Đây là nghiệm của bài toán ban đầu

Định lý 2.1 Cho N = 3 và giả sử ϕ ∈ C2(R3) và ψ ∈ C2(R3) Khi đó tồn tạinghiệm duy nhất của bài toán Cauchuy (2.1) và nó được cho bởi một trong cáccông thức (2.13) − (2.15)

Chứng minh Ta phải chứng minh tính duy nhất Nếu u, v ∈ C2(R3×R) là hainghiệm thì đại lượng trung bình trong hình cầu của hiệu của chúng

˜

M = 34π

Chú ý 2.5 Tính trơn Trong trường hợp N = 1 nghiệm là trơn giống như ϕ (x)

và ψ (x) Nếu N = 3 bởi đạo hàm theo t xuất hiện trong phương trình (2.12) ,nghiệm u(x, t) có độ trơn thấp hơn ϕ và ψ Nói chung, nếu

ϕ ∈ Cm(R3), ψ ∈ Cm(R3), m ∈N

Thì u ∈ Cm(R3×R+ ) Như vậy nếu ϕ và ψ chỉ là của lớp C2 trên R3 sau đó

uxixicó thể tăng vọt tại điểm (x, t) ∈R3× R mặc dù ϕxixi, ψxixi bị chặn Nó đượcbiết đến như một tiêu điểm Theo Chú ý 2.4,tập kỳ dị trở nên nhỏ lại khi chot>0 vào một tập nhỏ hơn gọi là các tiêu điểm

Chú ý 2.6 Giá compact Trong phần này chúng ta giả sử giá của ϕ và ψ làcompact, chẳng hạn là hình cầu B r (0) và xét tính ổn định trên L∞(R3), ∀t ∈ R

Từ công thức nghiệm (2.13), hàm u(◦, t) có giá trị chứa trong tập sau

theo nghĩa u(x, t) = 0 khi x cố định và |t| đủ lớn

Phát biểu mạnh hơn, có dạng như sau

Chú ý 2.8 Năng lượng Ký hiệu ε(t) là năng lượng của thời gian t, tức là

2.4 Trường hợp không gian hai chiều

Xét bài toán Cauchy cho phương trình sóng trong không gian hai chiều

Định lý 2.3 Giả sử

(x1, x2) → ϕ (x1, x2) ∈ C3 R2
(x1, x2) → ψ (x1, x2) ∈ C3 R2
.

Khi đó bài toán Cauchy (2.19) có duy nhất nghiệm

u (x1, x2, t) = ∂

∂t { 12π

Z

S

ψ (y 1 , y 2 ) dσ. (2.19)Nếu P ≡ (y1, y2, y3) ∈ S và nếu ν (P ) là phần bên ngoài của S tại P

cho nghiệm của bài toán (2.18)

Chú ý 2.9 Miền phụ thuộc Nghiệm u trên (x, t) ∈ R2×R phụ thuộc vào giá

trị của giá trị ban đầu ϕ, ∇ϕ, ψ trong toàn hình tròn |y − x| < t Điều này tráivới trong trường hợp ba chiều chỉ khi mà chỉ có các giá trị trên mặt cầu tâm x

bán kính t là ảnh hưởng tới u(x, t)

2.5 Trường hợp số chiều không gian bất kỳ

Xét bài toán Cauchy cho phương trình truyền sóng với số chiều không gianbất kỳ

giá trị trung bình của hàm u(x, t) trên mặt cầu ∂B(x, r),

∂r

k−1

r2k−1Utt
= Uett (theo (2.10))Theo Bổ đề 2.1,(ii) ta thấy

G (x, x + t) − G (x, t − x)e

i

+ 12

G (x + t) − G (t − x)e

2r +

1 2

∂

∂t



N − 3 2

∂

∂t



N − 3 2

Bây giờ ta kiểm tra công thức (2.28) chính là nghiệm của bài toán (2.22)

Định lý 2.4 Giả thiết N là số lẻ, N ≥ 3 và giả sử ϕ ∈ Cm+1(RN), ψ ∈

Cm(RN) với m = N + 1

2 Xác định u bởi (2.22) Khi đó(i) u ∈ C2 RN × [0, ∞)
,

∂

∂t



n − 3 2

tn−2H (x, t)
(2.29)Khi đó, từ Bổ đề 2.1,(i) ta có

utt(x, t) = 1

γN



1 t

∂

∂t



N − 1 2

tN −1Ht

Mà ta có

Ht= tN

I

B(x,r)

∆ψdy

∂t



N − 1 2





Z

∂

∂t



N − 3 2







1 t

∂

∂t



n − 3 2

tN −2G (x, t)
(2.30)Khi đó, từ bổ đề 2.1, (ii)-(iii) ta có

∂

∂t



N − 1 2





Z

∂

∂t



N − 3 2







1 t

Vì thế, (2.32) và tính toán trên cho ta

Vì N + 1 là lẻ, ta có thể sử dụng công thức (2.30) (với N + 1 thay cho N)

để đạt được một công thức cho u ˜ theo hàm f , ˜˜ ψ Khi đó (2.30) và (2.34) cho tacông thức của u theo hàm ϕ, ψ

Cố địnhx ∈RN, t > 0ta viếtx = (x ˜ 1, , xN +1, 0) ∈ RN +1 Khi đó (2.30)với N + 1

∂

∂t



n − 2 2

với y ∈ B (x, t) ⊂RN Cũng vậy∂ ˜ B (x, t) ∩ {yN +1 ≤ 0}là đồ thị của hàm −γ Nhưvậy, từ (2.36) suy ra

= 2tωN(N + 1) ωN +1tN −1

Ta làm một cách tương tự với ψ thế chỗ củaϕtrong (2.37) Sau đó ta thaycông thức nhận được vào (2.35) để có

u (x, t) = γ1

N +1

2tωN(N + 1) ωN +1t N −1

∂

∂t



n − 2 2

ϕ (y)

t2− |y − x|2

1 2 dy

ψ (y)

t 2 − |y − x|2

1 2 dy

Γ ( n+2

2 ) ta nhận đượcγN = 2.4 N Cuốicùng công thức nghiệm là

ϕ (y)

t 2 − |y − x|2

1 2

∂

∂t



n − 2 2

ψ (y)

t2− |y − x|2

1 2 dy

Chú ý 2.10 (i) Ta thấy, trái người với công thức (2.30, để tính u(x, t) với

N chẵn ta cần thông tin u = ϕ, u t = ψ trên khắp hình cầu B(x, t) và không chỉtrên mặt cầu ∂B(x, t)

ii) So sánh (2.30) và (2.38) ta chú ý rằng nếu N lẻ và N ≥ 3, các dữ kiện ϕ và ψ

tại điểm x ∈ RN ảnh hưởng đến nghiệm u chỉ trên biên {(y, t) |t > 0, |x − y| = t}

của hình nón K = {(y, t) |t > 0, |x − y| < t} Mặt khác, nếu N là chẵn thì các giữkiện ϕ và ψ ảnh hưởng đến u trong khắp K

2.6 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền sóng

không thuần nhất Nguyên lý Duhamel

Xét bài toán giá trị ban đầu không thuần nhất



u = f (x, t) trên RN ×R+ , N = 2, 3, 4,

u (x, 0) = ϕ (x) ut(x, 0) = ψ (x) (2.37)

Với mỗi 0 < τ < t ta tìm nghiệm ω (x, t, τ ) củabài toán Cauchy sau

Kết luận

Luận văn trình bày những vấn đề sau:

- Bất đẳng thức năng lượng đối với nghiệm của bài toán Cauchy Miền phụ thuộccủa nghiệm tại một điểm

- Các công thức nghiệm của bài toán Cauchy trong trường hợp ba chiều và haichiều của biến không gian

- Khái niệm đại lượng trung bình trên mặt cầu và đưa bài toán Cauchy về trườnghợp một chiều

- Công thức nghiệm của bài toán Cauchy trong trường hợp số chiều bất kỳ

- Phương pháp Duhamel giải bài toán Cauchy cho phương trình không thuầnnhất