TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn Tầng – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội Tel: (04) 0466865087 – 0983614376 ĐÁP ÁN MÔN TOÁN ( VÒNG ) KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2010 Câu I : 1) Tập xác định: x Hai vế phương trình không âm, bình phương hai vế ta x ( x 3)(3x 1) 3x 16 3x 10 x 12 x 3x 10 x x 6 x 2 3x 10 x (6 x) 36 24 x x x x 34 x 33 x (Thoả mãn điều kiện) Đáp số: x Chú ý: Học sinh làm nhanh phương pháp so sánh x 1 + Nếu x 3x x 3x vô nghiệm + Nếu x x 3x vô nghiệm + Nếu x x 3x (thoả mãn) 2 5 x y xy 26 (1) 2) Cách Hệ cho tương đương với 2 3x x xy y 11 (2) Nhân hai vế phương trình (2) với cộng theo vế với phương trình (1) ta x2 x 48 x y y y y 3 x y y 43 : vô nghiệm 3 Đáp số: ( x 2, y 1) ( x 2, y 3) Cách Ta có (2 x y)2 ( x y)2 5x y xy (2 x y) ( x y) 3x (2 x y )2 ( x y )2 26 Hệ phương trình tương đương với (2 x y ) ( x y ) (2 x y)( x y ) 11 u v 26 (u v)2 2uv 26 Đặt u x y, v x y ta thu u v uv 11 2(u v) 2uv 22 Cộng hai phương trình ta thu TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn Tầng – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội Tel: (04) 0466865087 – 0983614376 u v (u v)2 2(u v) 48 u v 8 u v u 5, v Giải uv u 1, v 2 x y x 2, y 3 x y 2 x y x 2, y x y u v 8 v 8 u vô nghiệm uv 19 u 8u 19 Giải Câu II : 1) Suy tồn số nguyên dương m ( m n ) thoả mãn m2 n2 391 (m n)(m n) 17.23 1.391 m n 391 2n 390 n 195 m n Suy m n 23 2n n m n 17 Đáp số: n 3, n 195 2) Ta có ( z xy )2 ( z x)( z y) z zx zy xy z ( x y z ) xy z xy Suy z xy z xy (1) Ta có x2 y ( x y)2 x2 y x y (2) Cộng hai bất đẳng thức (1) (2) ta thu z xy x y x y z xy xy Suy z xy x y xy x y a (a (0, )) z 2a Dấu đẳng thức xảy Câu III : A S T M E B P Q H F C 1) Vì ABC nhọn nên điểm E , F nằm cạnh AB, AC P, Q nằm ABC Ta có EPB TPF (đối đỉnh) (1) EPB BHE (cùng chắn cung BE) (2) TPF MHQ (cùng chắn cung MQ) (3) MHQ HCQ (góc có cạnh tương ứng vuông góc) (4) Từ (1), (2), (3), (4) BHE HCQ EH SC TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn Tầng – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội Tel: (04) 0466865087 – 0983614376 Vì EH AB SC AB (5) Tương tự ta thu BT AC (6) Từ (5), (6) M trực tâm (ĐPCM) 2) Ta có AEF BHP (cùng bù với góc BEP ) (7) HP BP Ta có CT BT HP Từ (7) (8) suy CT BHP BCT (8) AEF BCT BCF BEF 180 AEF BEF 180 Tứ giác BEFC tứ giác nội tiếp Câu IV : Nếu tất số đánh dấu dương đpcm Xét trường hợp tồn i để đánh dấu 0, chọn i số nhỏ Khi theo giả thiết tồn k để 1 2 k Giả sử k số nhỏ để 1 k (1) (hiển nhiên k ) Như 1 1 k 1 Ta có (ai 1 k ) 1 (ai 1 ) (ai 2 k ) 2 k 1 đánh dấu k đánh dấu Cuối (ai 1 k 1 ) k k k đánh dấu tất số , 1 , , , k đánh dấu Như vậy, số a1 , a2 , , k số đánh dấu có tổng lớn Tiếp tục trình lập luận cho số lại k 1 , , a2010 Sau số hữu hạn bước ta điều phải chứng minh