Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 10 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG BẬC Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] 2 x − xy + y = −1 Ví dụ 1: [ĐVH] Giải hệ phương trình 2 3 x + xy + y = x + xy − y = Ví dụ 2: [ĐVH] Giải hệ phương trình x x + y y = −2 x3 − x = y + y Ví dụ 3: [ĐVH] Giải hệ phương trình 2 x − = y + x3 + y = y + 16 x Ví dụ 4: [ĐVH] Giải hệ phương trình 2 1 + y = (1 + x ) 2 y x − y = 3x Ví dụ 5: [ĐVH] Giải hệ phương trình 2 x x + y = 10 y x + y = Ví dụ 6: [ĐVH] Giải hệ phương trình x y + xy = x − x − xy + y = (1) Ví dụ 7: [ĐVH] Giải hệ phương trình 2 x − xy + y = ( ) Hướng dẫn giải: Lấy (1) nhân (2) nhân ta phương trình đồng bậc ( ( ( ( ) ) ) ) x = 5y ⇒ ( x − xy + y ) = ( x − xy + y ) ⇔ x − 26 xy + 30 y = ⇔ ( x − y )( x − y ) = ⇔ Với 2 x = y x = y thay vào (1) ta có 18 y = ⇔ y = ⇔ y = ± tương ứng x = ± 2 3y Với x = thay vào (1) ta có y = ⇔ y = ±2 tương ứng x = ±3 5 2 2 Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm ; ;− ; − ; ( 3; ) ; ( −3; −2 ) 2 2 2 x y + y x = 30 (1) Ví dụ 8: [ĐVH] Giải hệ phương trình 3 x + y = 35 ( ) Hướng dẫn giải: Phương trình phương trình đối xứng loại nhiên giải theo phương pháp đồng bậc Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia 2015! Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Lấy (1) nhân (2) nhân ta phương trình đồng bậc x = − y ( x y + y x ) = ( x3 + y ) ⇔ x3 − x y − y x − y = ⇔ ( x + y )( x − y )( x − y ) = ⇔ x = y Với x = y x = − y thay vào (2) suy vô nghiệm +) Với x = y thay vào (2) ta có y = ⇔ y = suy x = 2 +) Với x = y thay vào (2) ta có y = 27 ⇔ y = suy x = Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = {( 3; ) , ( 2;3)} 2 x − y = y − x + 3, (1) Ví dụ 9: [ĐVH] Giải hệ phương trình 3 x − y = y − x, (2) Hướng dẫn giải: Điều kiện: x ≥ y 2x2 − y = Ta có (1) ⇔ (2 x − y ) + 2 x − y − = ⇔ ⇒ x − y = x − y = −3 < Khi (2) ⇔ x3 − y = ( y − x).1 ⇔ x3 − y = ( y − x).( x − y ) 2 2 ⇔ x3 − y = x y − x3 − y + xy ⇔ x3 − x y − xy − y3 = 0, (*) Do y = không thỏa mãn (*) nên chia (*) cho y ≠ ta 5 x x x x − − − = Đặt t = ta có phương trình 5t − 2t − 2t − = y y y y t = ⇔ (t − 1)(5t + 3t + 1) = ⇔ 5t + 3t + = ⇒ vno x = ⇒ y = Với t = ⇒ x = y Thay vào (2) ta x − x = ⇔ x = −1 ⇒ y = −1 x = ⇒ y = Đối chiếu với điều kiện ban đầu ta x = y = x = y = −1 thỏa mãn hệ phương trình Vậy hệ cho có hai nghiệm ( x; y ) = {(1;1),(−1; −1)} x + y + x − y = y (1) Ví dụ 10: [ĐVH] Giải hệ phương trình ( 2) x + y = Hướng dẫn giải: Điều kiện phương trình x ≥ y ≥ Phương trình (1) hệ phương trình đồng bậc 2 y − x ≥ x + y + x − y = y ⇔ 2x+2 x − y = y ⇔ x − y = y − x ⇔ 2 x − y = ( y − x ) 2 y ≥ x 2 y ≥ x ⇔ ⇔ y = 5 y − xy = 5 y − x = Với y = thay vào (2) ta suy x = (loại) Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia 2015! Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Với y − x = thay vào (2) ta có x =1⇔ x =1⇒ y = Facebook: LyHung95 (thỏa mãn) 4 Vậy hệ phương trình có nghiệm 1; 5 x + xy + y = Ví dụ 11: [ĐVH] Giải hệ phương trình x5 + y 31 x3 + y = Hướng dẫn giải: Điều kiện phương trình x ≠ − y x + xy + y = x + xy + y = (1) x + y 31 ⇔ 5 3 x3 + y = 7 ( x + y ) = 31( x + y ) ( ) Lấy (2) nhân kết hợp với (1) ta phương trình đồng bậc 21( x5 + y ) = 31( x + xy + y )( x3 + y ) ⇔ 10 x5 + 31x y + 31x3 y + 31xy + 10 y = ( ) Rõ ràng x = y = nghiệm hệ phương trình Đặt x = ty thay vào (3) ta được: y (10t + 31t + 31t + 31t + 10 ) = ⇔ 10t + 31t + 31t + 31t + 10 = t + = ⇔ ( t + 1) (10t + 21t + 10t + 21t + 10 ) = ⇔ 10t + 21t + 10t + 21t + 10 = Với t + = ⇔ t = −1 hay x = − y ⇔ x + y = (loại) Với 10t + 21t + 10t + 21t + 10 = ( 3) Vì t = nghiệm phương trình (3) chia hai vế 1 1 phương trình cho t ta được: 10 t + + 21 t + + 10 = , t t 1 Đặt u = t + ⇒ u ≥ 2; u = t + + ⇒ t + = u − Khi (3) trở thành t t t u = (loại) 10u + 21u − 10 = ⇔ u = − t = −2 5 +) Với u = − ta có t + = − ⇔ 2t + 5t + = ⇔ t = − t 2 +) Với t = −2 ta có x = −2 y vào (1) ta có y = ⇔ y = ⇔ y = ±1 tương ứng x = ∓2 +) Với t = − ta có y = −2 x vào (1) ta có x = ⇔ x = ⇔ x = ±1 tương ứng y = ∓2 Vậy hệ cho có bốn nghiệm (1; −2 ) , ( −1; ) , ( 2; −1) , ( −2;1) x y − y = Ví dụ 12: [ĐVH] Giải hệ phương trình 2 x y + xy + y = Hướng dẫn giải: 3 x y − y = y ( x − y ) = (1) Ta có hệ tương đươnng với ⇔ x y + xy + y = y ( x + y ) = ( ) Từ hệ suy x.y ≠ 0; x ≠ ± y, y > Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia 2015! Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Lấy phương trình (1) lũy thừa ba, phương trình (2) lũy thừa bốn Lấy hai phương trình thu chia cho y3 ( x3 − y3 ) ta thu phương trình đồng bậc: (t trình: ) −1 ( t + 1) (t f (t ) = Xét = 73 94 ) −1 ( ; ∀t > ) ( t + 1) ( ( t + 1) ) ( t + 1) ( t ) = (t − ( t + 1) t − −1 73 Đặt x = ty ta phương 94 9t t − = ( 3) Từ phương trình suy t > ( t + 1) f' ( t ) = (t = y4 ( x + y ) + 9t + ( t + 1) 3 ) ( t + 1) ( 9t −1 ( t + 1) + 9t − 8t + ) ) > ∀t > Vậy f(t) đồng biến với t > Nhận thấy t = nghiệm (3) Vậy t = nghiệm Với t = ta có x = y vào (1) ta y = ⇔ y = (vì y > ) suy x = Vậy hệ có nghiệm ( 2;1) BÀI TẬP LUYỆN TẬP: y − xy = Bài 1: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau 2 x − xy + y = 3 x + xy + y = 11 Bài 2: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau 2 x + xy + y = 17 3 x − xy − y = −3 Bài 3: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau 2 9 y + 11xy − x = 2 2 x + xy + y = 15 Bài 4: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau 2 x + xy + y = 6 x − xy − y = 56 Bài 5: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau 2 5 x − xy − y = 49 x − xy + y = Bài 6: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau 2 x − xy + y = x + xy + y = Bài 7: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau 2 2 x + xy + y = x − xy + y = Bài 8: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau 2 2 x − 13 xy + 15 y = Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia 2015! Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( Facebook: LyHung95 ) y 2 x x − y = Bài 9: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau x x2 + y = y ( ) x + y + xy = Bài 10: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau 3 x + y = y + x x + xy = Bài 11: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau y + xy = −2 2 x + y − xy = Bài 12: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau x = x + y x3 + y = x y Bài 13: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau 2 y + x = xy x + y = Bài 14: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau 3 x + y + xy = x + y x + y = xy Bài 15: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau 3 3 2 x + y = x y x + y = Bài 16: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau 2 2 x + xy + y = 9(2 x + y ) x3 + y − xy = Bài 17: [ĐVH] Giải hệ PT 4 4 x + y = x + y x y + x − 12 y = Bài 18*: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau 2 y (12 − x ) = x3 y + = y Bài 19*: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau xy + = y x3 + xy + y = Bài 20*: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau 2 2 x + y = x + y 2 2 x − x = ( y + 1)( y + 3)(1 − y ) Bài 21*: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau 2 x + y + y = x + y = Bài 22*: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau 3 y − = x − y Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia 2015!