15 bài toán hệ phương trình đồng bậc

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG BẬC Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]... Rõ ràng x= =y 0 không phải là nghiệm hệ phương trình... Lấy phương trình 1 lũy thừa ba, phương trình 2 lũy thừa bốn.. Từ phương trì

Trang 1

Ví dụ 1: [ĐVH] Giải hệ phương trình







x xy y

2







x xy y

x x y y

( )













Ví dụ 5: [ĐVH] Giải hệ phương trình ( )

( )

10







y x y x

x x y y

Ví dụ 6: [ĐVH] Giải hệ phương trình 2( 2)

3 1







x y xy x

Ví dụ 7: [ĐVH] Giải hệ phương trình ( )

( )

2 3 9 1

4 5 5 2

x xy y







Hướng dẫn giải:

Lấy (1) nhân 5 và (2) nhân 9 ta được phương trình đồng bậc

2 3

x y

=



=

5

x= y thay vào (1) ta có 18 2 9 2 1 2

2

x= ±

Với 3

2

y

x= thay vào (1) ta có y2 = ⇔ = ±4 y 2 tương ứng x= ±3

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là 5 2 2 5 2 2 ( ) ( )

; ; ; ; 3; 2 ; 3; 2

( )

2 2

3 3

30 (1)

35 2

x y y x

x y







Phương trình này là phương trình đối xứng loại một tuy nhiên chúng ta cũng có thể giải theo phương pháp đồng bậc

10 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG BẬC

Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]

Trang 2

Lấy (1) nhân 7 và (2) nhân 6 ta được phương trình đồng bậc

2 2 3

x y



 = −



 =



Với

x= −ythay vào (2) suy ra vô nghiệm

+) Với 3

2

x= y thay vào (2) ta có y3 = ⇔ =8 y 2suy ra x=3

+) Với 2

3

x= y thay vào (2) ta có y3 =27⇔ =y 3suy ra x=2

Vậy hệ có nghiệm là ( ) ( ) ( )x y; ={ 3; 2 , 2;3}







Điều kiện: 2x2≥y2

Ta có



 Khi đó (2)⇔ −x3 2y3=(y−2 ).1x ⇔x3−2y3=(y−2 ).(x x2− 2y2)

3 3 2 3 3 2 3 2 2 3

Do y = 0 không thỏa mãn (*) nên chia (*) cho y ≠ 0 ta được

3 2

x t y

= ta có phương trình 5t3−2t2− − =2t 1 0

2

1 ( 1)(5 3 1) 0

t

=





Với t=1⇒x=y Thay vào (2) ta được 3





 = ⇒ =



Đối chiếu với điều kiện ban đầu ta được x = y = 1 và x = y = −1 thỏa mãn hệ phương trình

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là ( ) {x y; = (1;1),( 1; 1) − − }

( )

5 3 2







Điều kiện của phương trình x≥ ≥y 0

Phương trình (1) của hệ là phương trình đồng bậc

2

2 2

2

2 2

2

0

5 4 0

y x

x y y x

y x

y

y xy

y x

− ≥





≥



≥

Với y=0 thay vào (2) ta suy ra x=9 (loại)

Trang 3

Với 5y−4x=0 thay vào (2) ta có 1 1 4

5

x= ⇔ =x ⇒y= (thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là 1;4

5

 

5 5

3 3

3 31 7



 +



Điều kiện của phương trình x≠ −y

( )

5 5

5 5 3 3

3 3

3

3 1 31

7

⇔



Lấy (2) nhân 3 kết hợp với (1) ta được phương trình đồng bậc

21 x +y =31 x +xy+y x +y ⇔10x +31x y+31x y +31xy +10y =0 3

Rõ ràng x= =y 0 không phải là nghiệm hệ phương trình Đặt x=ty thay vào (3) ta được:

4 3 2

t

+ =





Với t+ = ⇔ = −1 0 t 1 hay x= − ⇔ + =y x y 0 (loại)

10t +21t +10t +21t+ =10 0 3 Vì t=0 không phải là nghiệm của phương trình (3) chia hai vế phương trình cho t ta được: 2 2

2

10 t 21 t 10 0

Đặt u t 1 u 2; u2 t2 12 2 t2 12 u2 2

2

2 5

10 21 10 0

5 2

u



=



 = −



+) Với 5

2

u= − ta có 2

2

1 5

2

t

= −





= −

 +) Với t= −2 ta có x= −2y thế vào (1) ta có 2 2

3y = ⇔3 y = ⇔ = ±1 y 1 tương ứng x=∓2 +) Với 1

2

t= − ta có y= −2x thế vào (1) ta có 3x2 = ⇔3 x2 = ⇔ = ±1 x 1 tương ứng y=∓2

Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm là (1; 2 , − ) (−1; 2 , 2; 1 , ) ( − ) (−2;1 )

3 4

2 2 3

7

x y y

x y xy y







Ta có hệ tương đươnng với ( ) ( )

3 3

3 4

7 1

7

y x y

x y y

x y xy y y x y

⇔

Từ hệ suy ra yx ≠0; x≠ ±y, y>0

(loại)

Trang 4

Lấy phương trình (1) lũy thừa ba, phương trình (2) lũy thừa bốn Lấy hai phương trình thu được chia cho nhau ta thu được phương trình đồng bậc: ( )

( )

3

3 3 3 3

8 4 4

7 9

y x y

−

= + Đặt x=ty ta được phương

trình:( )

( ) ( )

3

8 4

1 7

3 9 1

t

−

= + Từ phương trình này suy ra t>1

Xét ( ) ( )

( )

3 3

8

1

; t 1

1

t

f t

t

−

+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 7

8

f'

0 1 1

t

t t

+ Vậy f(t) đồng biến với mọi t>1 Nhận thấy t=2 là nghiệm của (3) Vậy t=2 là nghiệm duy nhất Với 2

t= ta có x=2y thế vào (1) ta được y4 = ⇔ =1 y 1 (vì y>0) suy ra x=2

Vậy hệ có nghiệm là ( )2;1

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

Bài 1: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau

2







y xy

x xy y







x xy y







x xy y

y xy x

x xy y







x xy y













x xy y







x xy y







x xy y

Trang 5

( )

2









y

x y x

x

x y y

3







x y xy

2 2





x xy

y xy

3

1 2





= +



x y xy

x x y

2



 + =



x y x y

y x xy

2







x y

x y xy x y

3

2







x y xy

x y x y

3

x y

x xy y x y







Bài 17: [ĐVH] Giải hệ PT

3 3 2

4 4

1

x y xy

x y x y







Bài 18*: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau

3 2

2 2

2 12 0 (12 ) 8

x y x y







3 3 3

3

5 6

1 2

xy y



 + =

3 2 3

2 2

x xy y







2 4 2

2 2 ( 1)( 3)(1 )

x y y







Bài 22*: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau 2 9

x y







Định dạng
Số trang	5
Dung lượng	101,21 KB