Lý thuyết và các dạng toán về phương trình và hệ phương trình

Chương PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH §1 I MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH Tìm tập xác định phương trình Dạng Tìm điều kiện xác định phương trình Điều kiện xác định phương trình (gọi tắt điều kiện phương trình) điều kiện cần ẩn x để biểu thức phương trình có nghĩa Các dạng thường gặp: a) Điều kiện để biểu thức b) Điều kiện để biểu thức c) Điều kiện để biểu thức f (x) có nghĩa f (x) ≥ 0; có nghĩa f (x) = 0; f (x) có nghĩa f (x) > f (x) Ví dụ Tìm điều kiện phương trình sau: a) = 3; x+1 c) √ = x + 1; x+2 b) √ x − = 1; d) − = x + x+1 x−3 Lời giải a) Điều kiện xác định phương trình x + = ⇔ x = −1 b) Điều kiện xác định phương trình x − ≥ ⇔ x ≥ c) Điều kiện xác định phương trình x + > ⇔ x > −2 ® ® x+1 = x = −1 d) Điều kiện xác định phương trình ⇔ x−3 = x=3 Ví dụ Tìm điều kiện xác định phương trình sau: √ 2x − √ 3−x b) √ = − x a) = ; x−3 x −4 145 146 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Lời giải ® x = ±2 x2 − = a) Điều kiện xác định phương trình là: ⇔ 3≥x 3−x ≥ ® ® x>3 x−3 > Vậy khơng có giá trị x thỏa ⇔ b) Điều kiện xác định phương trình là: x≤1 1−x ≥ mãn hai điều kiện ® Ví dụ Tìm điều kiện xác định suy nghiệm phương trình sau: √ √ √ 5x + 15 √ a) 3x − = − 3x; c) = −x − √ √ x+3 b) 3x + − x − = − x + 2018; Lời giải   x ≥ 3x − ≥ hay x = Thay x = vào phương a) Điều kiện xác định phương trình là: ⇔  3 − 3x ≥ x ≤ 4 trình ta thấy thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x = ® ® x−3 ≥ x≥3 b) Điều kiện xác định phương trình là: ⇔ ⇔ x = Thay x = vào phương trình 3−x ≥ x≤3 ta có 3.3 − = + 2018 (vơ lý), phương trình cho vơ nghiệm     5x + 15 ≥ x ≥ −3 c) Điều kiện xác định phương trình là: x + = ⇔ x = −3 Vậy khơng có x thỏa điều     −x−3 ≥ x ≤ −3 kiện xác định phương trình nên phương trình vơ nghiệm ® BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Tìm điều kiện xác định phương trình sau: √ x+1 a) + 2x − = 0; c) √ = x − 3; 2x − b) 2x + 2x2 − 3x + = x − 1; d) x + − 3x = x − 5x + Lời giải b) Điều kiện xác định phương trình là: 2x − ≥ ⇔ x ≥ c) Điều kiện xác định phương trình là: 2x2 − 3x + = ⇔ x = x = c) Điều kiện xác định phương trình là: 2x − > ⇔ x >  ® x = x−2 = d) Điều kiện xác định phương trình là: ⇔ x = − 5x + = Bài Tìm điều kiện xác định phương trình sau: MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH 147 a) √ x2 + 2x + = x − 1; c) √ √ − 2x = x2 + x + 1; b) = x − 3; x +1 x+1 d) √ = x − −x2 + 4x − Lời giải a) Điều kiện xác định phương trình là: x2 + 2x + ≥ ⇔ (x + 1)2 + ≥ (luôn đúng) Vậy phương trình xác định với x ∈ R b) Điều kiện xác định phương trình là: x2 + = (ln đúng) Vậy phương trình xác định với x ∈ R c) Điều kiện xác định phương trình là:   ®  x≤  − 2x ≥ ã2 ⇔ Å ⇔x≤  x +x+1 ≥   x+ + > 0(luôn đúng) d) Điều kiện xác định phương trình là: −x2 +4x−5 > ⇔ −(x2 −4x+4)−1 > ⇔ −(x−2)2 −1 > (vô lý) Vậy không tồn giá trị x để phương trình xác định Bài Tìm điều kiện xác định phương trình sau: √ √ √ √ √ c) x − + − x + 2x − = 2x2 − 5x; a) 5x − + x + = − x; √ √ √ √ b) 3x + − − x + 3x2 − 14x − = 0; d) x2 − + x = x3 − Lời giải ® 5x − ≥ x+2 ≥ ® 3x + ≥ 6−x ≥ a) Điều kiện xác định phương trình là: b) Điều kiện xác định phương trình là:  x ≥ 1 ⇔x≥ ⇔  x ≥ −2  x ≥ − 1 ⇔ − ≤ x ≤ ⇔  x≤6   x≥2    x − ≥  c) Điều kiện xác định phương trình là: − x ≥ ⇔ x ≤ ⇔ ≤ x ≤     x ≥ 2x − ≥ √ d) Điều kiện xác định phương trình là: x3 − ≥ ⇔ x ≥ Bài Tìm điều kiện xác định phương trình sau: √ a) (x + 1) x2 − 2x + = x2 + 1; c) b) x(x + 1)(x − 3) + = √ √ − x + + x; √ √ 2−1−x+ x = √ ; Å ã √ √ 2 d) − x = − x Lời giải a) Điều kiện xác định phương trình là: x2 − 2x + ≥ ⇔ (x − 1)2 + ≥ (ln đúng) Vậy phương trình xác định với x ∈ R 148 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ® x≤4 4−x ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ ⇔ b) Điều kiện xác định phương trình là: x ≥ −1 1+x ≥ ®√ √ 2−1−x ≥ c) Điều kiện xác định phương trình là: ⇔ ≤ x ≤ − x≥0 ® ® −1 ≤ x ≤ 1 − x2 ≥ ⇔ ≤ x ≤ d) Điều kiện xác định phương trình là: ⇔ x≥0 x≥0 ® Bài Tìm điều kiện xác định phương trình sau: √ √ √ √ √ √ a) + x − − x + 4 − x2 = 10 − 3x; c) − x + − x2 = + x − x + 3; √ √ √ √ √ b) x − − x + = x2 − − 2x + 2; d) x2 + x + = x2 − x + Lời giải   + x ≥   x ≥ −2  ⇔ −2 ≤ x ≤ a) Điều kiện xác định phương trình là: − x ≥ ⇔ x ≤     −2 ≤ x ≤ − x2 ≥   x − ≥   x ≥  ⇔ x ≥ b) Điều kiện xác định phương trình là: x + ≥ ⇔ x ≥ −2     x ≥ ∨ x ≤ −2 x −4 ≥     1 − x ≥ x ≤ c) Điều kiện xác định phương trình là: + x ≥ ⇔ x ≥ −1 ⇔ −1 ≤ x ≤     −1 ≤ x ≤ 1−x ≥ Å ã2   x+ + ≥ ®   x +x+1 ≥ d) Điều kiện xác định phương trình là: ⇔ Å (luôn đúng) Vậy ã 2  x −x+1 ≥   + ≥0  x− phương trình xác định với x ∈ R Bài Tìm điều kiện xác định phương trình sau: a) 3x |x2 − 1| = x + 1; b) 2x + 24 2(x + 5) = + x−3 x −9 x+3 Lời giải a) Vì x2 − ≥ nên điều kiện xác định phương trình là: x2 − = ⇔ x = ±1   x − = b) Điều kiện xác định phương trình là: x2 − = ⇔ x = ±3   x+3 = Bài Tìm điều kiện xác định phương trình sau: … … √ √ 10 a) x + + x + − x + = 4; b) + = 2−x 3−x Lời giải MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH 149 ® a) Điều kiện xác định phương trình là: ® b) Điều kiện xác định phương trình là: ®√ √ x+2+ x+1 ≥ ( x + + 1)2 ≥ ⇔ ⇔ x ≥ −1 x+1 ≥ x ≥ −1 ® x ⇔ x < ⇔ x Bài Tìm điều kiện xác định phương trình sau: a) √ x−1 b) = |x| − √ √ 57 − x + x + 40 = 5; Lời giải ® ® x < 57 57 − x ≥ ⇔ −40 ≤ x ≤ 57 ⇔ x > −40 x + 40 ≥ ® ® x≥0 x≥0 ⇔ ≤ x = ⇔ |x| − = x=3 a) Điều kiện xác định phương trình là: b) Điều kiện xác định phương trình là: x2 + x = xác định [−1; 1) x−m+3 Lời giải Phương trình xác định x − m + = ⇔ x = m − ®3 ® m − < −1 m ⇔ 2(x2 + 2x + 1) + − m > ⇔ 2(x + 1)2 + − m > Để phương trình xác định với x ∈ R − m > ⇔ m < c) Điều kiện xác định phương trình là: x2 − m + = Để phương trình xác định với x ∈ R phương trình x2 − m + = ⇔ x2 = m − vô nghiệm, điều xảy m − < ⇔ m < d) Điều kiện xác định phương trình là: mx2 + = - Nếu m = phương trình trở thành 3x − = x3 + xác định với x ∈ R 9 - Nếu m = 0, để phương trình xác định với x ∈ R phương trình mx2 + = ⇔ x2 = − m 9 vô nghiệm, điều xảy − < ⇔ > ⇔ m > m m Vậy m ≥ phương trình xác định với x ∈ R 150 II CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phương trình hệ Tóm tắt lí thuyết Khái niệm Nếu nghiệm phương trình f (x) = g(x) nghiệm phương trình f1 (x) = g1 (x) phương trình f1 (x) = g1 (x) gọi phương trình hệ phương trình f (x) = g(x) Ta viết f (x) = g(x) ⇒ f1 (x) = g1 (x) Nhận xét Từ khái niệm trên, ta thấy nghiệm phương trình f (x) = g(x) ln nghiệm phương trình f1 (x) = g1 (x), ta tìm tất nghiệm phương trình f1 (x) = g1 (x) cách thử lại, ta tìm tất nghiệm phương trình f (x) = g(x) Đây phương pháp giải phương trình dựa vào phương trình hệ Các nghiệm phương trình f1 (x) = g1 (x) mà khơng thỏa phương trình f (x) = g(x) gọi nghiệm ngoại lai Các phép biến đổi dẫn đến phương trình hệ thường gặp A Bình phương hai vế Ví dụ √ 2x − = x − ⇒ 2x − = (x − 1) (1) (2) Qua phép biến đổi bình phương hai vế, ta phương trình (2) phương trình hệ phương trình (1) B Nhân hai vế phương trình với đa thức Ví dụ x 2x x + = 2(x − 3) 2(x + 1) (x + 1)(x − 3) x x ⇒ (x + 1) + (x − 3) = 2x 2 (1) (2) Qua phép biến đổi nhân hai vế với (x + 1)(x − 3), ta phương trình (2) phương trình hệ phương trình (1) Phương pháp giải phương trình dựa vào phương trình hệ Bước 1: Sử dụng phép biến đổi dẫn đến phương trình hệ quả, đưa phương trình cho phương trình đơn giản (có thể giải dễ dàng hơn) Bước 2: Giải phương trình hệ để tìm tất nghiệm Bước 3: Thử lại nghiệm để loại nghiệm ngoại lai Bước 4: Kết luận Khi giải phương trình, ta thực liên tiếp phép biến đổi Tuy nhiên, phép biến đổi liên tiếp đó, có phép biến đổi dẫn đến phương trình hệ phương trình cuối phương trình hệ phương trình ban đầu ! MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH 151 Dạng Khử mẫu (nhân hai vế với biểu thức) Ở dạng này, ta đặt điều kiện xác định nhân hai vế với mẫu phân thức Sau giải xong phương trình, kiểm tra nghiệm có thỏa mãn phương trình ban đầu hay khơng Ví dụ Giải phương trình: x2 + x + =3 x+2 Lời giải Điều kiện xác định: x = −2 x2 + x + =3 x+2 ⇒ x2 + x + = 3(x + 2) ⇔ x2 − 2x − = ⇔ x = −1 ∨ x = Hai nghiệm thỏa mãn điều kiện xác định thỏa phương trình ban đầu Vậy S = {−1; 3} Ví dụ Giải phương trình sau : x2 − 4x + √ √ = x − x−1 Lời giải Điều kiện xác định: x > x2 − 4x + √ √ = x−1 x−1 ⇒ x2 − 4x + = x − ⇔ x2 − 5x + = ñ x=1 ⇔ x=4 Kết hợp điều kiện thử lại phương trình cho ta nghiệm x = Vậy S = {4} BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 11 Giải phương trình sau: 2x + 3x = x−2 x−2 Lời giải Điều kiện xác định: x = 3x = x−2 x−2 2x(x − 2) + 3x ⇔ = x−2 x−2 ⇒ 2x − 4x + = 3x 2x + ⇔ 2x2 − 7x + =  x=3  ⇔ x= 152 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH  ß ™ x=3 Thử lại phương trình ban đầu ta nghiệm  Vậy S = 3; x= √ x+1 = x+1 Bài 12 Giải phương trình: √ x+1 Lời giải Điều kiện xác định: x > −1 √ x+1 √ = x+1 x+1 ⇒ x + = x + (luôn đúng) Kết hợp với điều kiện ta tập nghiệm phương trình S = (−1; +∞) Bài 13 Giải phương trình: 2x2 + 5x − x+5 √ =√ x−1 x−1 Lời giải Điều kiện xác định: x > Phương trình trở thành: x+5 2x2 + 5x − √ =√ x−1 x−1 ⇒ 2x + 5x − = x + ⇔ 2x2 + 4x − = ⇔ x = ∨ x = −3 Hai nghiệm không thỏa mãn điều kiện xác định Vậy S = ∅ 10 24 = − Bài 14 Giải phương trình sau: + ® x − x + (4 − x)(x + 5) x=4 Lời giải Điều kiện xác định: x = −5 10 24 = − x − x + (4 − x)(x + 5) (x − 4)(x + 5) + 2(x + 5) 10(x − 4) + 24 ⇔ = (x − 4)(x + 5) (x − 4)(x + 5) ⇒ x2 − 7x + = ñ x=1 ⇔ x=6 1+ ñ x=1 Kết hợp với điều kiện thử lại, nghiệm phương trình cho Vậy S = {1; 6} x=6 Bài 15 Giải phương trình: 3x2 − 7x + √ √ = 3x − 3x − 1 MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH 153 Lời giải Điều kiện xác định: x > 3x2 − 7x + √ √ = 3x − 3x − √ ⇒ 3x2 − 7x + = ( 3x − 1)2 ⇔ 3x2 − 7x + = 3x − ⇔ 3x2 − 10x + =  x=3  ⇔ x= Kết hợp với điều kiện thử lại, ta nghiệm x = Vậy S = {3} Dạng Bình phương hai vế (làm căn) Sau đặt điều kiện ban đầu, tiến hành chuyển vế sử dụng kỹ thuật bình phương hai vế để làm thức, đưa phương trình ban đầu phương trình hệ quả, dạng đa thức Ví dụ Giải phương trình √ √ x + = − 2x (1) ® x+2 ≥ − 2x ≥ (1) ⇒ x + = − 2x ⇒ 3x = ⇒ x = Thử lại nghiệm ta thấy thỏa mãn phương trình ß ™ Vậy S = Lời giải Điều kiện xác định Ví dụ Giải phương trình: √ −10x + 10 = x − Lời giải Điều kiện xác định −10x + 10 ≥ √ −10x + 10 = x − ⇒ − 10x + 10 = (x − 1)2 ⇔ − 10x + 10 = x2 − 2x + ⇔ x2 + 8x − = ñ x=1 ⇔ x = −9 Kết hợp với điều kiện thử lại phương trình cho ta nghiệm x = Vậy tập nghiệm phương trình S = {1} BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 16 Giải phương trình: √ 4x2 + 5x − √ = x+1 154 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ® Lời giải Điều kiện xác định: 4x2 + 5x + ≥ x = −1 Phương trình trở thành: 4x2 + 5x − = √ 2(x + 1) ⇒ 4x2 + 5x − = 2(x + 1)2 ⇔ 2x2 + x − =  x=1  ⇔ x=− Kết hợp với điều kiện thử lại, ta thấy x = nghiệm phương trình Vậy S = {1} √ x − −x − 11 Bài 17 Giải phương trình sau = + x+2 ®x + x≥1 Lời giải Điều kiện xác định: x = −2 √ x − −x − 11 = +2 x+2 √x + x−1 x−7 ⇔ = x+2 √x + ⇒ x−1 = x−7 ⇒ x − = (x − 7)2 ⇔ x2 − 15x + 50 = ñ x=5 ⇔ x = 10 Kết hợp với điều kiện thử lại, phương trình cho có nghiệm x = 10 Vậy S = {10} √ x2 − 3x − = Bài 18 Giải phương trình sau: x+1 đ ® đ   x ≤ −1 x < −1 x − 3x − ≥ x≥4 ⇔ Lời giải Điều kiện xác định: ⇔  x≥4 x = −1  x = −1 √ x2 − 3x − =2 x+1 ⇒ x2 − 3x − = 2x + ⇒ x2 − 3x − = 4x2 + 8x + ⇔ 3x2 + 11x + =  x = −1 ⇔ x=− ß ™ 8 Kết hợp với điều kiện thử lại, phương trình cho có nghiệm x = − Vậy S = − 3 √ √ Bài 19 Giải phương trình 3x − = − x HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN ® Ví dụ 20 Giải hệ phương trình 229 (x + 1)2 (xy + 2x) = 12, xy + x = Lời giải Ta có ® (x + 1)2 (xy + 2x) = 12 (x + 1)2 (xy + 2x) = 12, ⇔ xy + x = (xy + 2x) − (x + 1) = ® u v = 12 (∗), Đặt u = x + 1, v = xy + 2x ta hệ v − u = Thế v = u + vào (∗) ta phương trình u3 + u2 − 12 = ⇔ u = ⇒ v = Suy x = 1, y = Vậy hệ có tập nghiệm S = {(1; 1)} ® Ví dụ 21 Giải hệ phương trình ® 2x + 3y − − x + 6y − + x − 3y + = 0, x + 9y − 6xy + 4x − 9y = ® Lời giải Xét hệ 2x + 3y − − x + 6y − + x − 3y + = (1), x + 9y − 6xy + 4x − 9y = (2) Để ý thấy (2x ®+ 3y − 1) − (x + 6y − 2) = x − 3y + 1, nên ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp: 2x + 3y ≥ • Điều kiện x + 6y ≥  ® x = √ 2x + 3y − = √ ⇔ (loại) • Trường hợp 2x + 3y − + x + 6y − = ⇔ y = x + 6y − = √ √ • Trường hợp 2x + 3y − + x + 6y − = 0, ta có x − 3y + √ (1) ⇔ √ + (x − 3y + 1) = 2x + 3y − + x + 6y − Å ã √ ⇔ (x − 3y + 1) √ + = ⇔ x = 3y − 2x + 3y − + x + 6y − Khi (2) ⇔ (3y − 1)2 + 9y2 − 6(3y − 1)y + 4(3y − 1) − 9y = ⇔ 3y − = ⇔ y = ⇒ x = (thỏa mãn) Vậy hệ có tập nghiệm S = {(2; 1)} ® Ví dụ 22 Giải hệ phương trình ® Lời giải Xét hệ 27x3 + 8y3 = 35 27x3 + 8y3 = 35, 3x2 y + 2xy2 = (1), 3x y + 2xy = (2) Để ý thấy hệ đẳng cấp bậc 3, ta giải hệ phương pháp cộng đại số để minh họa cho phương pháp Ta quan sát: (1) có 27x3 = (3x)3 , 8y3 = (2y)3 Mà (3x + 2y)3 = 27x3 + 8y3 + 18(3x2 y + 2xy2 ) Vì ta giải hệ sau: Lấy (1) + 18 × (2) ta 27x3 + 8y3 + 18(3x2 y + 2xy2 ) = 35 + 18 × ⇔ (3x)3 + 3.(3x)2 2y + 3.3x.(2y)2 + (2y)3 = 125 − 3x ⇔ (3x + 2y)3 = 53 ⇔ 3x + 2y = ⇔ y = 230 Thế y = CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH − 3x vào (1) ta có − 3x 27x + Å ã3 = 35 ⇔ 27x3 + (5 − 3x)3 = 35  x=1⇒y=1  ⇔ 27x − 45x + 18 = ⇔ x= ⇒y= ã™ ß Å Vậy hệ có tập nghiệm S = (1; 1), ; BÀI TẬP TỰ LUYỆN x2 + 4y2 − 10x = 0, Bài 24 Giải hệ phương trình x + 4y2 − 4x − 4y − 20 = ® x + 4y2 − 10x = (1), Lời giải Xét hệ x + 4y2 − 4x − 4y − 20 = (2) 3x − 10 Thế trở lại vào (1) giải tập nghiệm S = (1) ⇔ 10x = x2 + 4y2 vào (2) ta y = ã™ ß Å (2; −2); 5; ® 2xy + x + 2y = x2 − 8y2 , √ Bài 25 Giải hệ phương trình √ x y − y x − = x − 2y ® 2xy + x + 2y = x2 − 8y2 (1), √ Lời giải Xét hệ √ (2) x y − y x − = x − 2y ® x≥1 +/ Điều kiện y≥0 đ x = 4y + +/ Ta có (1) ⇔ x2 − (2y + 1)x − 8y2 − 2y = có ∆x = (6y + 1)2 Suy x = −2y (loại) Thế vào (2), giải tập nghiệm S = {(5; 1)} ® 2xy + x − = 0, Bài 26 Giải hệ phương trình 2x3 − 2x2 y + x2 + 4y2 − 4xy − 2y = ® 2xy + x − = (1), Lời giải Xét hệ 2x3 − 2x2 y + x2 + 4y2 − 4xy − 2y = (2) ã Cỏch 1: Phõn tớch đ (2) ⇔ x2 (2x − 2y + 1) − 2y(2x − 2y + 1) = ⇔ (x2 − 2y)(2x − 2y + 1) = • Cách 2: Sử dụng phương pháp ∆ phương: (2) ⇔ 4y2 − 2(x2 + 2x + 1)y + (2x3 + x2 ) = có ∆y = (−x2 + 2x + 1)2 đ ầ ó Ç −1 + 5 −1 − 5 , ; , ;− Hệ có tập nghiệm S = 1; 2 2 ® 4x + y2 − 2xy + 4y + = 0, Bài 27 Giải hệ phương trình − y3 + 4xy2 − 4x2 y + 7y = 2(4x2 + 1) ® 4x + y2 − 2xy + 4y + = (1), Lời giải Xét hệ − y3 + 4xy2 − 4x2 y + 7y = 2(4x2 + 1) (2) Để ý thấy vế trái (2) có nhân tử chung y vế phải (2) xuất (1): (1) ⇔ 4x2 + = −y2 + 2xy − 4y (∗) Nên ta (∗) vào (2) phương trình HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN 231 − y3 + 4xy2 − 4x2 y + 7y = 2(−y2 + 2xy − 4y) ñ y=0 ⇔ − y2 + (4x + 2)y − 4x2 − 4x + 15 = (3) ñ y = 2x − (3) có ∆y = 16, suy (3) ⇔ y = 2x + ß Å ã™ Thay lại vào (1) giải tập nghiệm S = (−1; −5), ; −2 ® x − y3 = 4x + 2y, Bài 28 Giải hệ phương trình x + 3y2 = ® x − y3 = 4x + 2y (1), Lời giải Xét hệ x + 3y2 = (2) Ta có (1) ⇔ x3 − y3 = 4x + 4y Thế = x2 + 3y2 ta phương trình  y=0  3 2 2 x − y = (x + 3y )x + (x + 3y )y ⇔ 5y + 6y x + x y = ⇔ ⇔ x = −y 5y2 + 6yx + x2 = x = −5y ã Å ã™ ß Å 5 √ √ √ √ ; , ;− Thay vào (2), giải tập nghiệm S = (±2; 0), (−1; 1), (1; −1), − 7 7 Bài 29 Giải hệ phương trình » 2 x + 4y + 2x2 − 6xy + 8y2 = x + 2y + 4xy, ñ y=0 Lời giải Xét hệ x + 2y + x − 2y = 3x − 8y + » x2 + 4y2 + 2x2 − 6xy + 8y2 = x + 2y + 4xy (1), x − 2y = 3x − 8y + (2) x + 2y + Để ý (1) có: x2 + 4y2 − 4xy = (x − 2y)2 , » (2 2x2 − 6xy + 8y2 )2 − (x + 2y)2 = 7x2 − 28xy + 28y2 = 7(x − 2y)2 , » (1) ⇔ (x − 2y)2 + (2 2x2 − 6xy + 8y2 − (x + 2y)) = Vậy nên ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp cho biểu thức 2x2 − 6xy + 8y2 − (x + 2y) Hệ có tập nghiệm S = {(2; 1)}  4x2 + y2 + 2xy = 4y − 1, Bài 30 Giải hệ phương trình y 2x + y = + 4x +  4x2 + y2 + 2xy = 4y − (1), Lời giải Xét hệ y 2x + y = +2 (2) 4x + +/ Trường hợp y = không thỏa mãn 4x2 + +/ Trường hợp y = 0, chia hai vế (1) cho y ta (1) ⇔ + 2x + y = y  u + v = 4, 4x2 + Đặt u = , v = 2x + y đưa giải hệ v = + y u ß Å ã™ Tập nghiệm hệ ban đầu S = (−1; 5), ; 232 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH x3 + 9x2 y = 108, Bài 31 Giải hệ phương trình xy2 + y3 = ® x + 9x2 y = 108 (1), Lời giải Xét hệ xy + y = (2) Lấy (1) + 27 ì (2) ta c phng trỡnh: đ x3 + 9x2 y + 27xy2 + 27y3 = 216 ⇔ (x + 3y)3 = 63 ⇔ x + 3y = ⇔ x = − 3y √ √ √ √ Thế vào (2) giải tập nghiệm S = {(3 − 3; + 3), (3 + 3; − 3), (3; 1)} ® x + y3 − = 0, Bài 32 Giải hệ phương trình x + 2y2 − x − 4y = ® x + y3 − = (1), Lời giải Xét hệ x + 2y2 − x − 4y = (2) Lấy (1) − × (2), nhóm số hạng để có đẳng thức bậc 3, ta phương trình: (x − 1)3 + (y − 2)3 = ⇔ (x − 1)3 = (2 − y)3 ⇔ x − = − y ⇔ x = − y Thế vào (2) giải tập nghiệm S = {(1; 2), (2; 1)}  x2 + 4y2 + 16xy = 16, x + 2y Bài 33 Giải hệ phương trình  x + 2y = x2 − 2y  x2 + 4y2 + 16xy = 16 (1), x + 2y Lời giải Xét hệ  x + 2y = x2 − 2y (2) Đặt u = x + 2y > 0, v = 2xy, biến đổi (1) trở thành u3 − 2uv + 8v − 16u = ⇔ u(u2 − 16) + 2v(4 − u) = ⇔ (u − 4)(u2 + 4u − 2v) = Suy (1) ⇔ (x + 2y − 4)(x2 + 4y2 +ßÅ 4(x + 2y)) ã =0⇔ ™ x + 2y − = Thế vào (2), giải tập nghiệm S = −3; , (2; 1) BÀI TẬP TỔNG HỢP ® x(y − 3) − 9y = 1, Bài 34 Giải hệ phương trình sau: (x − 1)2 y2 + 2y = −1 ® x(y − 3) − 9y = (1), Lời giải Xét hệ (x − 1)2 y2 + 2y = −1 (2) Dễ thấy y = khơng thỏa mãn hệ phương trình Chia hai®vế phương trình (1) cho y, hai vế phương x + t + 3xt = 9, trình (2) cho y2 đặt t = − ta hệ phương trình: 2 y x + t − 2(x + t) = −1 Đặt x + t = S; xt = P (S ≥ 4P) Khi ta đưa hệ ẩn S, P:  ® S = 3, P = S + 3P =  ⇔ 32 S2 − 2S − 2P = −1 S = − ,P = (loại) ßÅ ã ™ Giải tiếp ta tập nghiệm hệ phương trình là: S = 1; − ; (2; −1) HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN 233 ®√ x + + y + = m, Bài 35 Tìm tập giá trị thực tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm: x + y = 3m Lời √ giải Điều kiện √ x ≥ −1; y ≥ −1 Đặt x + = u; y + = v Khi hệ phương trình viết lại là:  ® ® u + v = m u+v = m u+v = m ⇔ ⇔ (∗) uv = m − 3m − u2 + v2 − = 3m m2 − 2uv − − 3m = Để hệ ban đầu có nghiệm hệ (∗) phải có nghiệm thỏa mãn u√≥ 0; v ≥ Tức phương trình: 2v2 − 2mv + √ + 17 m2 − 3m − = có nghiệm không âm Giải ta ≤ m ≤ + 13 √ Bài 36 Giải phương trình: x2 + 3x − = x3 − x2 + 2x − √ Lời giải x2 + 3x − = x3 − x2 + 2x − 2(∗) • Nhận xét: x3 − x2 + 2x − = (x − 1)(x2 + 2),điều kiện: x ≥ • Phân tích: x2 + 3x − = a(x − 1) + b(x2 + 2) ⇒ a = b = √ √ • Đặt u = x − v = ñ x2 + v=u (∗) ⇔ 3u2 + v2 = 4uv ⇔ v = 3u a) Với v = u ⇔ x2 − x + = (vô nghiệm) √ 37 ± (thỏa điều kiện) b) Với v = 3u ⇔ x2 − 9x + 11 = ⇔ x = √ ± 37 • Vậy phương trình có nghiệm x = ® mx − mx2 y + 7xy2 − 3y3 = Bài 37 Cho hệ phương trình: 2xy2 − y3 = Tìm m để ® hệ phương trình cho có hai nghiệm mx3 − mx2 y + 7xy2 − 3y3 = (1) Lời giải 2xy2 − y3 = (2) • Xét x = 0, hệ phương trình cho vơ nghiệm • Xét x = 0, lấy (2) nhân (−4) cộng (1) ta phương trình: y y y mx3 − mx2 y − xy2 + y3 = ⇔ − −m +m = x x x ñ t =1 y ⇔ (t − 1)(t − m) = ⇔ , với t = x t = m(∗) a) Với t = ⇒ y = x, (2) ⇔ x3 = ⇔ x = Hệ có nghiệm (1; 1) b) Với t = m (a) m < Hệ có nghiệm (b) m = Hệ có nghiệm đ đ √ √ (2m − m m)x3 = t= m √ ⇔ (c) m > 0.(∗) ⇔ (I) √ t =− m (2m + m m)x3 = Hệ cho có nghiệm (I) có nghiệm khác có nghiệm, 234 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH có nghiệm  √ √  − 2m + m m = (vô nghiệm) m = √ 2m + m m =    √ ⇔ ⇔ m =  2m − m m = √  √ 3+ 2m − m m = m = m = ® √ √ ´ 3− 3+ • Vậy m ∈ 1; 4; ; 2 ® x3 (2 + 3y) = 8, Bài 38 Giải hệ phương trình x(y3 − 2) = ® x (2 + 3y) = (1), Lời giải Xét hệ x(y − 2) = (2) +/ Trường hợp x = không thỏa mãn  Å ã3   2 + 3y = , x +/ Trường hợp x = 0, hệ cho tương đương với   y3 − = x ® + 3y = u (3), Đặt u = , ta hệ: x y − = 3u (4) Lấy (3) + (4) ta phương trình y + 3y = u3 + 3u ⇔ (y − u)(y2 + yu + u2 + 3) = ⇔ y = u Giải tập nghiệm S = {(−2; −1), (1; 2)} ® 10x y − 16xy2 + 24y3 − 2(x + 2y) = 0, Bài 39 Giải hệ phương trình 2xy(x2 + 4y2 ) + = (x + 2y)2 ® 10x y − 16xy2 + 24y3 − 2(x + 2y) = (1), Lời giải Xét hệ 2xy(x2 + 4y2 ) + = (x + 2y)2 (2) Ta có (2) ⇔ 2x3 y + 8xy3 + = x2 + 4xy + 4y2 ⇔ 2xy(x2 + 4y2 − 2) − (x2 + 4y2 − 2) = ñ 2xy = 2 ⇔ (2xy − 1)(x + 4y − 2) = ⇔ x + 4y2 = (∗) +/ Với 2xy = ⇔ = 4xy vào (1) phương trình đ y = (loại) 10x2 y − 16xy2 + 24y3 − 4xy(x + 2y) = ⇔ x = 2y ã Å ã Å 1 Thế x = 2y vào (∗) tìm nghiệm 1; , −1; − 2 (∗∗) +/ Với x2 + 4y2 = vào (1) phương trình 10x2 y − 16xy2 + 24y3 − (x2 + 4y2 )(x + 2y) = ⇔ (x − 2y)2 (x − 4y) = ⇔ Å ã Å ã 4 Thế vào (∗∗) tìm nghiệm √ ; √ , −√ ;−√ 10 ã 10 ßÅ ã Å 10 10ã Å Å ã™ 1 4 Vậy hệ có tập nghiệm S = 1; , −1; − , √ ; √ , −√ ;−√ 2 10 10 10 10 ñ x = 2y x = 4y HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN 235 … 4x + 28 Lời giải • Bài sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn để đưa … hệ phương trình 4x + Cách xây dựng ẩn phụ sau: Quan sát vế trái có bậc hai nên ta đặt αt + β = (∗), cho 28 sau bình phương, rút gọn thu phương trình dạng: Bài 40 Giải phương trình 7x2 + 7x = 7t + 7t = αx + β (∗∗) Từ (∗), (∗∗) ta hệ   x = 7α 2t + 14αβt + 7β − β  x = t + t − α α α Suy 7α 2t + 14αβt + 7β − 7 β = t2 + t − α α α Đồng hệ số hai vế ta có α = 1, β = 2… 4x + • Cách giải: Xét phương trình 7x2 + 7x = (1) 28 … 4x + 1 Đặt t + = (2),t ≥ − Suy 7t + 7t = x + (3) Từ (1), (2), (3) ta có hệ đối xứng loại 2 28 2 với điều kiện t ≥ − :   7x2 + 7x = t + ,  7t + 7t = x +   √ √ −6 + −8 − 46     x = x = 14 √ 14√ Vậy phương trình ban đầu có tập Giải hệ ta hai nghiệm   46 −8 + −6 +   t = t = 14 14 ® √ ´ √ −8 − 46 −6 + nghiệm S = ; 14 14 236 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH §5 I ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG III Đề số 1a √ Câu (2 điểm) Giải phương trình: x2 − 3x + = − x Lời giải ® 2−x ≥ PT ⇐⇒ (1 điểm) 2 x − 3x + = (2 − x) ® x≤2 ⇐⇒ x=1 ⇐⇒ x = (1 điểm) Câu (2 điểm) Tìm m cho phương trình (x − 1) (m + 1)x2 − 2x + = có ba nghiệm phân biệt Lời giải   (m + 1) − + = (1 điểm) Phương trình có ba nghiệm phân biệt m + =   ∆ >0 ® m = −1 ⇐⇒ (1 điểm) m Vậy phương trình có nghiệm x = (1 điểm) x + 2x − x3 − x2 + = II Đề số 1b √ Câu (2 điểm) Giải phương trình: x + = − x Lời giải ® 5−x ≥ PT ⇐⇒ (1 điểm) x + = (5 − x)2 ® x≤5 ⇐⇒ x2 − 11x + 24 = ⇐⇒ x = (1 điểm) Câu (2 điểm) Tìm m cho phương trình (x − 2) mx2 − x + = có ba nghiệm phân biệt Lời giải   4m = Phương trình có ba nghiệm phân biệt m = (1 điểm)   ∆>0  m = (1 điểm) ⇐⇒ m < ® xy − x − y = Câu (2 điểm) Giải hệ phương trình x + y2 = 13 Lời ® giải ® ® xy − x − y = xy − x − y = xy = x + y + ⇐⇒ ⇐⇒ (0,5 điểm) 2 2 x + y = 13 (x + y) − 2xy = 13 (x + y) − 2(x + y) − 15 = ® ® xy = xy = −2 (0,5 điểm) x+y = x + y = −3 ® ® ® ® xy = xy = x=2 x=3 ⇐⇒ ⇐⇒ (0,5 điểm) x+y = x+y = y=3 y=2   √ √ −3 + 17 −3 − 17   ®   x = x = xy = −2 2√ 2√ (0,5 điểm) ⇐⇒   x + y = −3 17 17 −3 + −3 −   y = y = 2 Câu (2 điểm) Tìm m cho hệ phương trình sau có nghiệm ® x + my = (m + 1)x + 2y = Lời giải D= m m = −m2 − m + 2, Dx = = − m, m+1 238 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH = −1 − 2m (0,5 điểm) m+1 Hệ có nghiệm D = Dx = Dy = D = (0,5 điểm) D = ⇐⇒ −m2 − m + = ⇐⇒ m = m = −2 (0,5 điểm) Dx = Dy = D = (không tồn m) .(0,5 điểm) Dy = Câu (2 điểm) Giải phương trình x3 − 6x2 − 12x − = Lời giải x3 − 6x2 − 12x − = ⇐⇒ 2x3 = x3 + 6x2 + 12x + ⇐⇒ 2x3 = (x + 2)3 (1 điểm) √ √ √ ⇐⇒ ( 2x − x − 2)( 4x2 + x(x + 2) + (x + 2)2 ) = ⇐⇒ x = √ (1 điểm) 2−1 >0 ∀x∈R III Đề số 2a Câu (2 điểm) Giải phương trình: |2x − 5| = x − (3.4) Lời giải (3.4) ⇒ (2x − 5)2 = (x − 1)2 (0,5 điểm) 2 ⇒ 4x ñ − 10x + 25 = x − 2x + ⇒ 3x − 18x + 24 = (0,25 điểm) x=2 ⇒ (0,5 điểm) x = Thế vào (3.4) ta thấy x = x = thỏa (0,25 điểm) Vậy tập nghiệm phương trình S = {2; 4} (0,5 điểm) Câu (2 điểm) Giải phương trình: √ x − 2x + = (3.5) Lời giải Điều kiện: x ≥ − (0,25 điểm) √ (3.5) ⇒ 2x + = x − ⇒ 2x + = (x − 4)2 (0,5 điểm) ⇒ xñ2 − 10x + = (0,25 điểm) x =1 ⇒ (0,25 điểm) x = Thế vào (3.5) ta thấy có x = thỏa mãn (0,25 điểm) Vậy tập nghiệm phương trình S = {9} (0,5 điểm) Câu (2 điểm) Giải hệ phương trình:  = −2  x − 3y + 2z − 2x + 5y + z =5   3x − 7y + 4z = (3.6) Lời giải.  x − 3y + 2z = −2 = (0,5 điểm) (3.6) ⇔ − y + 5z   2y − 2z = 14 ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG III 239   x − 3y + 2z = −2 = (0,5 điểm) ⇔ − y + 5z   = 16 8z  x = 21 ⇔ y = (0,5 điểm)   z = Vậy nghiệm hệ phương trình (x; y; z) = (21; 9; 2) (0,5 điểm) Câu (2 điểm) Tìm giá trị tham số m để phương trình: mx2 − 2(m − 2)x + m − = (3.7) có hai nghiệm phân biệt Tìm hai nghiệm Lời giải ® ∆ >0 (0,5 điểm) (3.7) có hai nghiệm phân biệt a =0 ® (m − 2)2 − m(m − 3) > ⇔ (0,5 điểm) m = ® m 0 (0,5 điểm) (3.12) có hai nghiệm phân biệt a =0 ® (m − 3)2 − (m − 1)(m + 3) > ⇔ (0,5 điểm) m − =  m < (0,5 điểm) ⇔  m = √ √ − m + 12 − 8m − m − 12 − 8m Khi (3.12) có hai nghiệm x = x = (0,5 điểm) m−1 m−1 Câu (2 điểm) Giải biện luận hệ phương trình: ® mx + y = 4m 2x + (m − 1)y = m (3.13) Lời giải Ta có D = m2 − m − 2, Dx = 4m2 −®5m, Dy = m2 − 8m (0,5 điểm) m = −1 TH1: D = ⇔ m2 − m − = ⇔ m = å Å ã Ç Dx Dy 4m2 − 5m m2 − 8m Hệ có nghiệm (x; y) = ; = ; (0,5 điểm) D D m2 − m − m2 − m − ñ m = −1 TH2: D = ⇔ m = • m = −1 ⇒ Dx = = Dy = Hệ phương trình vơ nghiệm (0,5 điểm) • m = ⇒ Dx = = 0, Dy = −12 = Hệ phương trình vơ nghiệm (0,5 điểm) V Đề số 3a Câu (2 điểm)Giải phương trình − 3x = −2 2x + 1 (0.5 điểm) Ta có: PT ⇔ − 3x = −4x − ⇔ x = −3 (0.5 x điểm) Đối chiếu ĐK, ta có tập nghiệm pt cho S = {−3} (0.5 điểm) Lời giải ĐK: x = − Câu (2 điểm)Giải  phương trình |3x − 5| = 2x + +3 ≥  2x ñ Lời giải PT ⇔ 3x − = 2x + (0.5 điểm)   3x − = −2x −   x ≥ −    x = (0.5 x điểm) ⇔       x= 242 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH  x=8 ⇔ (0.5 điểm) x= ® 3x + 2y3 = 10 Câu (2 điểm)Giải hệ phương trình 2x2 + 3y3 = ® x =4 Lời giải HPT ⇔ (0.5 điểm) y = −1 ® x = ±2 (0.5 điểm) ⇔ y = −1 ® ® x=2 x = −2 ⇔ (0.5 x điểm) y = −1 y = −1 Câu (2 điểm)Giải phương trình (x − 1)2 + = x3 + 3x) Lời giải ĐK: x ≥ Ä √ ä .Ä.√ .ä (0.5 điểm) √ √ 2 x2 + + x x2 + − x = (0.5 điểm) PT ⇔ (x + 3) − x(x + 3) − 2x = ⇔ ñ √ √ x=1 √ √ ⇔ x2 + = x (vì x2 + + x x > 0, ∀x ≥ 0) ⇔ x2 − 4x + = ⇔ (0.5 điểm) x=3 Đối chiếu ĐK, PT cho có tập nghiệm S = {1; 3} (0.5 điểm) ® Câu (2 điểm)Giải hệ phương trình x √ y+3+5 x = y + + 30 x3 − 6x2 + 13x = y3 + 3y2 + 4y + 12 Lời giải ĐK: x ≥ 0, y ≥ −3 Ta có: x3 − 6x2 + 13x = y3 + 3y2 + 4y + 12 ⇔ (x − 2)3 + (x − 2) = (y + 1)3 + (y + 1) ⇔ x − = y + ⇔ x = y + (0.5 điểm) (do hàm số f (t) = t + t đồng biến R, ∀a, b ∈ R, a > b, ta có ® a3 > b3 ⇒ a3 + a > b3 + b ⇒ f (a) > f (b)) (0.5 điểm) a>b Thay √ PT cịn lại √ hệ, ta có: √ √ vào x x + x = 30 ⇔ f ( x) = f (3) ⇔ x = ® ⇔ x = (0.5 điểm) x=9 Đối chiếu ĐK, HPT cho có nghiệm (0.5 điểm) y=6 VI Đề số 3b x − = x−2 x+1 Lời giải ĐK: x = 2, x = −1 (0.5 điểm) PT ⇔ x(x + 1) √ − 2(x − 2) = 2(x + 1)(x − 2) ⇔ x − x − = (0.5 điểm) + 33 x = 2√ ⇔ (0.5 điểm)  − 33 x= √ ± 33 Đối chiếu ĐK, PT cho có tập nghiệm S = { } (0.5 điểm) Câu (2 điểm)Giải phương trình Câu (2 điểm)Giải đ phương trình |2x − 1| = |x + 1| 2x − = x + Lời giải PT ⇔ (0.5 x điểm) 2x − = −x − ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG III 243 ñ x=2 (0.5 x điểm) ⇔ x=0 √ Câu (2 điểm)Giải phương trình: 3x2 − 3x + = − 2x Lời giải ® − 2x ≥ PT ⇔ (0.5 điểm) 2 3x − 3x + = (1 − 2x)  x ≤ ⇔ (0.5 điểm)  x −x−2 =    x ≤ ⇔ ñx = (0.5 điểm)    x = −1 ⇔ x = −1 (0.5 điểm) ® 2x − 3y − 12xy = Câu (2 điểm)Giải hệ phương trình 4x2 + 9y2 − 18xy = ® ® S + 2P = S = 2x − 3y Lời giải HPT ⇔ , (trong , S2 ≥ 4P) (0.5 điểm) P = 2x(−3x) = −6xy S +P =  ® ®   S = − S=2 2S − S − = (vô nghiệm) (0.5 điểm) ⇔ ⇔ 11  P=1 S + 2P = P= suy 2x −3y nghiệm phương trình t − 2t + = 0, suy 2x = −3y = (0.5 điểm)   x = (0.5 điểm) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  y = − √ √ Câu (2 điểm)Giải phương trình x2 + x + x − = 3(x2 − 2x − 2) √ Lời giải ĐK: x ≥ + PT ⇔ x2 − 4x − = x(x + 1)(x − 2) (0.5 điểm) 2 ⇔ (x + 1) =ä0 Ä√− 2x) − √(x + 1)(x ä Ä√− 2x) − 2(x √ 2 ⇔ x − 2x + x + x − 2x − x + = (0.5 điểm) √ √ √ √ √ ⇔ x2 − 2x − x + = (vì √ x2 − 2x + x + > 0, ∀x ≥ + 3) ñ x = + 13 √ ⇔ x2 − 6x − = ⇔ (0.5 điểm) x = − 13 √ Đối chiếu ĐK, PT cho có tập nghiệm S = {3 + 13} (0.5 điểm) ... ta phương trình (2) phương trình hệ phương trình (1) Phương pháp giải phương trình dựa vào phương trình hệ Bước 1: Sử dụng phép biến đổi dẫn đến phương trình hệ quả, đưa phương trình cho phương. .. ba phương trình hệ (x0 ; y0 ; z0 ) gọi nghiệm hệ phương trình (3) 3 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN II 195 Các dạng tốn Dạng Giải hệ hai phương trình bậc hai ẩn phương pháp phương. .. (2) ≤ Giải hệ tìm m ≤ − 193 194 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH §3 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN I Tóm tắt lí thuyết Phương trình bậc hai ẩn Khái niệm Phương trình bậc