NỘI DUNG 2 TÍCH PHÂN

Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 II TÍCH PHÂN Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân A Tóm tắt lí thuyết I CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN a Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) liên tục K a, b  K Giả sử F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K thì: b b  f ( x)dx   F( x)a  F(b)  F(a) ( Công thức NewTon - Leipniz) a b Các tính chất tích phân  Tính chất 1: b a f ( x )dx    f ( x )dx  a b  Tính chất 2: Nếu hai hàm số f(x) g(x) liên tục  a; b  b b b a a a   f ( x)  g( x) dx   f ( x)dx   g( x)dx  Tính chất 3: Nếu hàm số f(x) liên tục  a; b  k số b b a a  k f ( x)dx  k. f ( x)dx  Tính chất 4: Nếu hàm số f(x) liên tục  a; b  c số b c b a a c  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  Tính chất 5: Tích phân hàm số  a; b  cho trước không phụ thuộc vào biến số , b  nghĩa là: a b b a a f ( x )dx   f (t )dt   f (u)du  PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ b a) DẠNG 1: Tính I =  f[u(x)].u' (x)dx cách đặt t = u(x) a Công thức đổi biến số dạng 1:  f u ( x).u ' ( x)dx   f (t )dt b u (b ) a u(a) Cách thực hiện: Bước 1: Đặt t  u ( x)  dt  u ' ( x)dx NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân Bước 2: Đổi cận: FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 xb xa t  u (b)  t  u (a) Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta I   f u ( x).u ' ( x)dx   f (t )dt b u (b ) a u(a) (tiếp tục tính tích phân mới) b b) DẠNG 2: Tính I =  f(x)dx cách đặt x = (t) a b  a  I   f ( x)dx   f  (t ) ' (t )dt Công thức đổi biến số dạng Cách thực Bước 1: Đặt Bước 2: Đổi x   (t )  dx   ' (t )dt xb t cận:  xa t  Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta b  a  I   f ( x)dx   f  (t ) ' (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Công thức tích phân phần  u ( x).v' ( x)dx  u ( x).v( x)a   v( x).u ' ( x)dx b b a b a hay:  udv  u.v   vdu b b a a b a Cách thực Bước 1: Đặt u  u ( x) dv  v' ( x)dx  du  u ' ( x)dx v  v( x) Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng phần:  udv  u.vba   vdu Bước 3: Tính u.vba b b a a b  vdu a II CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tính tích phân I x2 3x dx x x (Phân tích & dùng định nghĩa) Bài giải ♥ Biến đổi hàm số thành dạng x2 3x x x NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 2x x2 x SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân x Khi đó: I FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 3x dx x x dx 1 2x dx x2 x 2 dx x1 1 2x dx x2 x ln x x ln ♥ Vậy I ln  x Ví dụ 2: Tính tích phân I x2 (Phân tích & dùng định nghĩa) dx Bài giải x ♥ Biến đổi hàm số thành dạng x Khi đó: I x 2 x dx x2 2x x 2x x dx 1 2x x dx 1 dx x0 1 2x x dx ln x 1 ln ♥ Vậy I ln  ln Ví dụ 3: Tính tích phân I e x e x dx (Đổi biến số dạng 1) Bài giải ♥ Đặt t ex dt e x dx Đổi cận: x ln t x t Suy ra: I t dt ♥ Vậy I t3 1  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ví dụ 4: Tính tích phân I (Đổi biến số dạng 1) x dx x Bài giải ♥ Đặt t x2 Đổi cận: t2 x t x t Suy ra: I t dt 2tdt xdx tdt xdx 2 t3 x2 2 2  ♥ Vậy I e Ví dụ 5: Tính tích phân I 5ln x dx x (Đổi biến số dạng 1) Bài giải ♥ Đặt t Đổi cận: x e t x t 2 Suy ra: I 38 15 ♥ Vậy I t2 5ln x 5ln x 3 t dt 2 t 15 2 3 15 2tdt dx x 23 38 15  Ví dụ 6: Tính tích phân I x sin xdx (Tích phân phần) Bài giải ♥ Đặt u dv x sin xdx du dx v cos x x cos x Suy ra: I x cos x ♥ Vậy I 4 sin x 4 sin x 4  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ví dụ 7: Tính tích phân I (Tích phân phần) x sin x dx ♥ Ta có: I xdx x sin xdx u Đặt x dv sin xdx du dx v cos x Suy ra: x sin xdx 32 4 x sin xdx x cos x 0 ♥ Vậy I x2 32 cos xdx x sin xdx cos xdx sin x 4  x2 Ví dụ 8: Tính tích phân I ln x dx x (Phân tích + đổi biến số dạng 1) Bài giải ♥ Ta có: I xdx 1 x2 xdx ♥ Tính 1 ln x dx x Đặt t dt dx x x t ln x t ln x Đổi cận: Suy ra: ♥ Vậy I ln x dx x ln 2 ln x dx x ln tdt t2 ln ln 2  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 x Ví dụ 9: Tính tích phân I x u ♥ Đặt ln x du x2 dx x2 dv v Suy ra: I x x ln 2 ♥ Vậy I ln 2 (Tích phân phần) 1 dx x x x ln x x ln xdx dx x x x ln x x 1 x x 3  Ví dụ 10: Tính tích phân I = 0 (2ex  ex )xdx (Phân tích + đổi biến dạng 1+ tích phân phần) Bài giải ♥ Ta có: I = I1 = I2 = 0 2xe x2 dx   xe x dx 1 x2 x2 x2 0 2xe dx  0 e d(x ) = e  = e – 0 xe dx x Đă ̣t u = x  du = exdx dv = exdx  v = ex 1 Suy ra: I2 =  xex   0 ex dx = e  ex  = ♥ Vâ ̣y I = e – + = e  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 III TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân  P( x) dx  ax+b A DẠNG: I=  * Chú ý đến công thức:  a  0  m  m dx  ln ax+b Và bậc P(x) cao hoắc   a  ax+b ta chia tử cho mẫu dẫn đến Ví dụ 1: Tính tích phân: I=     P( x) m  ax+b dx   Q( x)  ax+b dx   Q( x)dx  m ax+b dx x3 1 x  dx Giải Ta có: f ( x)  x 27  x2  x   2x  8 2x  Do đó: x3 27  27 13 27 1 1 3 2 dx  1 x  1  x  x   x   dx   x  x  x  16 ln 2x      16 ln 35 Ví dụ 2: Tính tích phân: I= x2   x  dx Giải x 5  x 1 x 1 x 1 Ta có: f(x)= Do đó: x2   x  dx  B DẠNG:    ax   1   x   x   dx   x  1    x  4ln x      4ln      P( x) dx  bx  c Tam thức: f ( x)  ax  bx  c có hai nghiệm phân biệt Công thức cần lưu ý:  u '( x)  dx  ln u ( x)    u ( x) Ta có hai cách Cách 1: ( Hệ số bất định ) Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu ) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ví dụ 3: Tính tích phân: I= x x  11 dx  5x  Giải Cách 1: ( Hệ số bất định ) A  x  3  B  x   x  11 x  11 A B     x  x  ( x  2)( x  3) x  x  ( x  2)( x  3) Ta có: f(x)= Thay x=-2 vào hai tử số: 3=A thay x=-3 vào hai tử số: -1= -B suy B=1  x2 x3 1 x  11   0 x2  5x  dx  0  x   x   dx   3ln x   ln x    ln  ln Do đó: f(x)= Vậy: Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu ) Ta có: f(x)=  x  5  2x  2x  1  2   2   x  5x  x  x   x   x  3 x  5x  x  x  Do đó: I=  f ( x)dx    1 0  2x  1   x2    dx  ln x  x   ln  ln  ln   x2  5x  x  x   x    Tam thức: f ( x)  ax  bx  c có hai nghiệm kép Công thức cần ý:     u '( x)dx  ln  u ( x)   u ( x) Thông thừơng ta đặt (x+b/2a)=t Ví dụ 4: Tính tích phân sau: I= x3 0 x  x  dx Giải Ta có: x 3 x x dx   dx  2x 1 x    Đặt: t=x+1 suy ra: dx=dt ; x=t-1 và: x=0 t=1 ; x=3 t=4 Do đó: x3   x  1 dx    t  1 t2 1 1  1 dt    t     dt   t  3t  ln t    ln  t t  t1 2 1 Ví dụ 5: Tính tích phân sau: I=  4x 4x dx  4x 1 Giải Ta có: 4x 4x  x  x   x  12  x   t  1 Đặt: t= 2x-1 suy ra: dt  2dx  dx  dt;  x   t  1 1 4x 4x Do đó:  dx   dx   x  x  x    0 1 1  t  1 1 1   dt     dt   ln t   1  2  t t t  t  1  Tam thức: f ( x)  ax  bx  c vô nghiệm NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân Ta viết: f(x)= FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 b  u  x  P( x) P( x) 2a   ; 2 2  b      a  u  k  k   a  x        2a 2a   2a     Khi đó: Đặt u= ktant Ví dụ 6: Tính tích phân sau: I= x3  x  x  dx 0 x2  Giải  Ta có:  Do đó: x  2x  4x   x2 2 x 4 x 4 2 x  2x  4x   dx  1 2 dx    x    6 J  dx   x  x    2 0 x 4 x 4 2  0 x 4 0 2 Tính tích phân J= x dx 4  Đặt: x=2tant suy ra: dx x   t    = dt;    t  0;   cost>0 cos t  x   t   4     (1)   1 14  Khi đó:  dx   dt  dt  t  2  x 4  tan t cos t 20 0  Thay vào (1): I   C DẠNG:    ax P( x) dx  bx  cx  d Đa thức: f(x)= ax  bx  cx  d  a   có nghiệm bội ba Công thức cần ý:    x m dx  Ví dụ 7: Tính tích phân: I= 1  m1 1 m x  x   x  1 dx Giải Cách 1:  Đặt: x+1=t , suy x=t-1 và: x=0 t=1 ; x=1 t=2  Do đó: x   x  1 Cách 2:  Ta có:  Do đó: x  x  1 t 1 1 1  1 12 dt     dt        t t t   t 2t  1 dx     x  1    3  x  1  x  1  x  1   1  1 1 dx   dx       0  x  13 0   x  12  x  13   x   x  12       x NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ví dụ 8: Tính tích phân: I=  1 x  x  1 dx Giải  Đặt: x-1=t , suy ra: x=t+1 và: x=-1 t=-2 x=0 t=-1  Do đó: 1 x4   x  1 dx  1 1  2  t  1 t3 1 1 t  4t  6t  4t  1  dt   dt    t      dt t t t t  2 2  1 33     t      dt   t  4t  6ln t      6ln t t t  t t  2 2 2  2 Đa thức: f(x)= ax  bx  cx  d  a   có hai nghiệm: 1 11 Có hai cách giải: Hệ số bất định phương pháp nhẩy tầng lầu Ví dụ 9: Tính tích phân sau: I=   x  1 x  1 dx Giải Cách ( Phương pháp hệ số bất định )  Ta có: A  x  1  B  x  1 x  1  C  x  1 A B C     2 x   x  1  x  1  x  1 x  1  x  1 x  1  A   A   Khi (1)  Thay hai nghiệm mẫu số vào hai tử số:   1  2C C    2  A  B  x   A  C  x  A  B  C  A  B  C   B  A  C 1   1    4  x  1 x  1 3 1 1 1  dx     2  x  1 x  12 2  x   x  1  x  12  dx   1 1 3  I   ln  x  1 x  1    ln  ln 2  x  1  4 4  Do đó: Cách 2:  Đặt: t=x+1, suy ra: x=t-1 x=2 t=3 ; x=3 t=4  Khi đó: 4 dt t  t  2 1 1  dx   dt  dt  I=   3 t  t   3 t  t   3 t dt   2 t  t    x  1 x  1  4 11  1  1 t 2  I      dt   dt    ln  ln t 2 2t 2 t  t  4 t 4   ln  3t  4t   3t  4t    3t  4t  3t    3t  4t    Hoặc:           t  2t t  2t  t  2t   t  2t t  t  2t  t t   3t  4t     1       dt   ln t  2t   3ln t     ln t  2t  t t  4 t   3 2 1  t  t  4   t2 1 1 2          2 Hoặc: 2 t t  2  t t  2   t  t  4t2 t t     1 2 1 t 2 2 1 1 2 1 1    dt   ln     ln   ln     ln  ln    Do đó: I=   3t 2 t t  4 t t  4 2 3 4 6  Do đó: I=   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 I  1 dt  (  )  x2 Câu 11 Tính tích phân x xdx 3 x2 Ta có I x 0 Đă ̣t J x 3dx xdx 3 x dx và K dx 3 81 dx ; ta có J   x dx  x  4 x x x x K   x x  dx Đặt t x t2 x dx và x  t  2tdt Ta có x   t  1; x   t  1  116 Khi đó K  2 t (t  1)dt   (t  t )dt   t  t   1 15 5 1 2 2 1679 60 Vậy I  J  K    Câu 12 Tính tích phân: I   x  x  x dx   1 I   x  x  x dx   x dx   x  x dx 2 1 x3 I1   x dx   2 0 I   x  x dx Đặt t   x  x   t  xdx  tdt Đổi cận: x   t  1; x   t   t3 t5   I    1  t  t dt    t  t dt        15 0 Vậy I  I1  I  2 15 Câu 13 Tính nguyên hàm sau: I   x x  3dx NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Đặt t  x   t  x   2tdt  2xdx  xdx  tdt t3 ( x  3)3 Suy I   t.tdt   t dt   C  C 3 dx Câu 14 Tính nguyên hàm: I   2x    Đặt t  2x   t  2x   tdt  dx I  tdt    1   dt  t  ln t   C t4  t4  2x   ln Câu 15 Tính I = I=     2x    C    x3 x  x  dx  1 x x  x  dx   x dx   x J   x3 x2  1dx    t x5 J  J x  1dx  5  t  dt 22 15 1 2 I = J  15 J   Câu 16 Tính tích phân sau: I   x x  3dx  Đặt x   t ta x   t  dx  2tdt  Đổi cận: x   t  2; x   t  3 232 2  Khi I    2t  6t  dt   t  2t   5 2 Tích phân hàm số mũ, hàm số logarith Câu 17 Tính tích phân I   1  x    e2 x  dx  du   dx =>  v  x  e2 x   2 1 I  (1  x)(2 x  e2 x )   (2  e2 x )dx 2 u   x Đặt  2x dv  (2  e )dx NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân 1 1 = (1  x)(2 x  e2 x )  ( x  e2 x ) 0 2  e 1 x3  ln x dx x2 Câu 18 Tính tích phân I   FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 2 ln x x2 ln x ln x I   xdx  2 dx  2 dx   2 dx x 1 x x 1 ln x dx x2 Tính J   Đặt u  ln x, dv  1 dx Khi du  dx, v   x x x 2 1 Do J   ln x   dx x x 1 1 1 J   ln    ln  x1 2 Vậy I   ln 2 (1 + x)e x dx Câu 19 Tính tích phân I = I (1 x )e xdx u  Đặt dv x du e xdx v (1 x )e x (1 x )e xdx I dx Thay vào công thức tích phân phần ta được: ex 1 e xdx (1 1)e1 (1 0)e ex 2e (e1 e0) e  Vậy, I e ln Câu 20 Tính tích phân: I   e2 x ex 1 dx Đặt t  e x   t  e x   2tdt  e x dx x   t  2, x  ln  t  (t  1)2tdt I   (t  1)dt t 2  t3   2  t  3  3  2 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu 21 Tính: I  0 ( x  2)e x dx I   ( x  2)e x dx u  x2 du  dx   x x dv  e dx  ve Đặt  Khi I= ( x  2)e x   e x dx 1 = ( x  2)e x  e x  2e  e Câu 22 Tính: I  1 I   3ln x ln x dx x  3ln x ln x dx x e Đặt u=  3ln x =>u2= 1+3lnx => 2udu= dx x Đổi cận: x=e => u=2 x=1 => u=1 Khi I=  u u2 1 udu 3 2 2 u5 u3 116 =  u (u  1)du  (  )  91 135 Câu 23 Tính tích phân I  Đặt u dv du x (x e x )dx v Ta có I x (x dx x2 x2 x( x e )dx e x )dx x (x ex x e ) x2 ( 2 e Câu 24 Tính tích phân I   e I  x  1 ln x  x  x ln x  x e )dx e ( e) e (0 x3 ( 1) x e ) dx e e x  x ln x  1   ln x  1 d  x ln x  1 dx   xdx   x ln x  x ln x  1 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân I e x FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 e  ln x ln x  1  e2   ln  e  1 2 e Câu 25 Tính tích phân I    x   ln xdx e  x e e 1 Ta có: I    x   ln xdx   x ln xdx   ln xdx x x 1 1 e x2  Tính  x ln xdx Đặt u  ln x dv  xdx Suy du  dx v  x e e e x2 x e2 x e2 Do đó,  x ln xdx  ln x   dx     2 4 1 e 1  x ln xdx Đặt t  ln x  dt  x dx Khi  Tính x 1 t  , x  e t  e 1 t2 Ta có:  ln xdx   tdt  x Vậy, I  1  e 3  Câu 26 Tính tích phân: I =  tan x ln(cos x ) dx cos x *Đặt t=cosx Tính dt=-sinxdx , đổi cận x=0 t=1 , x  Từ I    ln t dt  t2 dt t2 1 Suy I   ln t  t  I  1  ln t dt t2 1  du  dt ; v   t t *Đặt u  ln t ;dv  *Kết  t  1 1 t dt   ln  t 2 ln 2 e Câu 27 Tính tích phân sau: x log 23 x  3ln x dx Đặt Từ NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Đổi cận: với I   u4  (1u )  du   ( 1 2 u 1 *)  2 u 1   2( u 1) 1 ( u 1) 2  u 1 du )  ( u 1) 2 [( u 1) ( u 1)]2 ( u 1) 2   u 1  u  u 1 u  u 1 u 1     ( u 1)  ( u 1)( u 1)  ( u 1)     1   1        ( u 1) ( u 1)   u 1 u 1     I   ( 1  1 1  3 1  du )       du      ( u 1) ( u 1)  u 1 u 1   u  u 1   0  u 1    1 1  |u 1|   ln     u      ln  u 1 u 1  |u 1|    x ln x Câu 28 Tính tích phân I   dx x e  x ln x dx   dx   x ln xdx x x 1 e e A   dx  ln x  1 x e e I  e  du  dx  u  ln x  x B   x ln xdx Dat   dv  xdx v  x  e 2 e e e e2 x x x x e2  B  ln x   dx  ln x    I  4 12 4 2 e e Câu 29 Tính tích phân: I  1 I e ln x    ln x   x 1       x   Đặt u  ln x  dx x  ln x ln x  ln x  du  dx : u(1)=0; u(e)= x x e NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 e 1  u 1  e 1 du  ln  ln  u 1  u  0 e  1 e I 3e x )e 2xdx (x Câu 30 Tính tích phân Ta có I (x 1 0 3e x )e 2xdx   xe 2xdx  3 e 3xdx 1 0 Đă ̣t J  3 e 3xdx và K   xe 2xdx ; ta có J  3 e 3xdx  e 3x  e  du  dx u  x  ; đó K  xe 2x K   xe dx Đặt   2x 2x dv  e dx v  e  1  2x 2x e dx 0 1 1 1 1  K  e  e 2x  e  e   e  Vậy I  e  e  4 4 4 e Câu 31 Tính tích phân I   3x  ln x  x  x ln x e I  Phân tích e Tính 3x  ln x  x  x ln x e x 1  x2  x ln x dx   x  x ln x dx 1  x2  x ln x dx   x dx  1 x 1 x  x  x ln x dx =  x  ln x dx  1 e e Tính dx = 2( x  ln x) e 2( x  ln x) e dx 1 e  d ( x  ln x) x  ln x ln( x  ln x)  ln(e  1) e  Vậy I = + ln(e+1) Câu 32 Tính nguyên hàm sau:  dx e 1 x dx ex  (   e x   e x  1)dx d (e x  1) =  dx   x = x – ln( e x  ) + C e 1 Ta có: Câu 33 Tính tích phân: I   (1  e x ) xdx NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân u  x du  dx Đặt:   x x dv  (1  e )dx v  x  e FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Khi đó: I  x( x  e x ) 10   ( x  e x )dx  I   e  ( x2  ex )  e Câu 34 Tính tích phân I   x3 ln xdx 1 ln x  u  x   x dx  u '  x  dx Đặt   x  v ' x   v  x   x   4 e4 e 3e4  I  x ln x   x dx   x  4 x 16 16 1 e e e Câu 35 Tính tích phân: I    x ln x dx x2 e e ln x 4e I  4 dx   dx    I1     I1 x x x1 e 1 e ln x Tính I1   dx x Đặt t  ln x  dt  dx x Đổi cận: x   t  0; x  e  t  1 t4 1 I1   t dt   4 y Vậy x -8 -6 -4 -2 -5 Câu 36 Tính tích phân sau I   (2x+e x )dx 1 0 I    x  e  dx   xdx   e x dx  x  e x    e   e x 1 0 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu 37 Tính tích phân sau I   x  e x  3 dx 1 I    e  3 dx    2e  dx 3 dx  x x x x  2e  x ln 2e 2x  2e   3   ln  ln 2e  ln  ln x   I    dx  x x  ln x  1  1  e Câu 38 Tính tích phân sau e  Tính I1   1 x dx ta kết I1    e 1 dx x  Đổi cận x   t  0; x  e  t   Đặt ln x  t ta dt  2t  dt   2t  ln  t  1    ln t 1  Khi K    Vậy ta I  I1  I  e  ln ln I Câu 39 Tính tích phân sau    x  2e  Tính I1   Tính I  ln  xdx ln  2e   dx 1 ta kết I1  ln 2 x x 1 dx  Đặt e x  t ta e x dx  dt  Đổi cận x   t  1; x  ln  t  2 dt   ln t  ln  2t  1   ln  ln  ln  Khi I   t  2t  1 Vậy ta L  L1  L2  ln 2  ln e Câu 40 Tính tích phân I   x ln xdx 1  du  dx  u  ln x  x    dv  xdx v  x  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân e I FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 e e e x2 x x2 x ln x   dx  ln x  2 1  e2  Câu 41 Tính tích phân I   xe x dx 1 u  x du  dx x I  xe   e x dx  e  e x    x x dv  e dx v  e Tích phân hàm lượng giác  Câu 42 Tính tích phân I   ( x  sin x ) cos xdx    2 0 I   ( x  sin x ) cos xdx   x cos xdx   sin x cos xdx M N Tính M u  x du  dx  dv  cos xdx v  sin x Đặt       M  x sin x   sin xdx   cos x   2 0 Tính N Đặt t  sin x  dt  cos xdx   t 1 x0t 0 t 1 N   t dt   3 Đổi cận x Vậy I  M  N     Câu 43 Tính tích phân: I   x cos xdx   2 0 I   xdx   x cos xdx NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân   +  xdx  x2 2 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 2      2 12 + J   xcos2 xdx  x sin x 02   sin xdx  cos2 x  20 0 I 2  Câu 44 Tính tích phân I =  ( x  cos2 x) sin xdx     2 2 0 I   x sin xdx   cos2 x sin xdx Đặt I1   x sin xdx, I   cos x sin xdx  u  x du  dx Đặt    I1   x cos x dv  sin xdx v   cos x   2 0  2   cos xdx  sin x  1  I   cos2 x sin xdx    cos2 xd (cos x)   cos x  3 Vậy I    3 Câu 45 Tính tích phân: I cos x )xdx (1 I cos x )xdx (1 xdx x cos xdx  Với I x2 xdx  Với I 2 02 2 x cos xdx  Đặt I2 u x dv cos xdx x sin x  Vậy, I du dx v sin x sin xdx Thay vào công thức tích phân phần ta được: ( cos x ) cos x cos cos 2 I1 I2 2 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  Câu 46 Tính Tích phân I   x cos xdx  I   x cos xdx , u  x du  dx  dv  cos xdx v  sin x Đặt    I  x sin x 02   sin xdx     cos x 02   1   cot  x   6   Câu 47 Tính tích phân sau: I     cos x  sin x  dx     cos x  sin x   2cos  x   6    + Ta có: cos x  sinx       cot  x    2 6    + Do đó: I   dx   d tan  x    ln tan  x    ln   6 6       cos  x   tan  x   3 6 6     Câu 48 Tính tích phân: I   sin x sin x.dx  Tính tích phân: I   sin x sin x.dx  I =  sin x cos x.dx Đặt t=sinx => dt=cosxdx 1 t5 ▪ I   2t dt = = 5 Câu 49 Cho hàm số f ( x)  tan x2 cot x  cos x  cos x  có nguyên hàm F (x )    F    Tìm nguyên hàm F (x ) hàm số cho 4 Tìm nguyên hàm F (x )     F ( x)   tan x cot x  cos x  cos x dx =   sin x  sin x dx NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân cos x  x  cos x  C     F       C   C  1 2 4 cos x 1 Vậy F ( x)  x  cos x  FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  Câu 50 Tính tích phân I   2x   sin x  dx I      2 2 0 0  2x   sin x  dx   2x.dx   dx   sin xdx  A  B  C  A   2x dx  x   2 0  2  Vậy I  A  B  C  ; B   dx  x 02   C   sin xdx  cosx     1 2   1   x tan Câu 51 Tính tích phân I = xdx I=   4  x(  1  1) dx  x dx  0 cos x 0 xdx cos x   x2 xdx  0 4  2 32  dx  I1 x cos x u  x du  dx Đặt  dx   dv  v  tan x  cos x    I1 = x tan x 04   tanxdx  Vậy I=    ln   ln cos x 2 32     ln Câu 52 Tính nguyên hàm I    x   sin 3xdx Tính nguyên hàm I    x   sin 3xdx NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 du  dx u  x  Đặt  , ta  cos x v dv  sin 3xdx    x   cos 3x  cos 3xdx    x   cos 3x  sin 3x  C Do đó: I   3  Câu 53 Tính tích phân sau: I    s inx+ cos x  dx    0 I    s inx  cos x  dx   s inxdx   cos xdx   cos x  sin x     Câu 54 Tính tích phân sau: I    x  sin x  dx    I    x  sin x  dx   xdx   sin xdx  x 2 0   2  cos x  2  Câu 55 Tính tích phân sau: I   1  sin x  cos xdx  I   1  sin x  cos xdx  Đặt sin x  t  dt  cos xdx   Đổi cận x   t  0; x   t   t4   Khi I   1  t dt   t    0   Câu 56 Tính tích phân sau I    dx sin x cos x  Đặt cot x  t  dt   Đổi cận x    t  3; x  1  Khi I   1   dt  t   1 dx sin x   t 1 1      dt  t        1  t t   t 3t  27  3 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  Câu 57 Tính tích phân sau: I    s inx  x  sin xdx    I    s inx  x  sin xdx   sin xdx   x sin xdx 0    cos x dx   2  Đặt I1   sin xdx     I   x sin xdx u  x du  dx    dv  sin xdx v   cos x     I   x cos x   cos xdx    s inx   Khi I    Câu 58 Tính tích phân I   x sin xdx u  x du  dx  dv  sin xdx v   cos x Đặt     I   x cos x 02   cos xdx    sinx 02  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ