Thông tin tài liệu
Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 II TÍCH PHÂN Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân A Tóm tắt lí thuyết I CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN a Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) liên tục K a, b K Giả sử F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K thì: b b f ( x)dx F( x)a F(b) F(a) ( Công thức NewTon - Leipniz) a b Các tính chất tích phân Tính chất 1: b a f ( x )dx f ( x )dx a b Tính chất 2: Nếu hai hàm số f(x) g(x) liên tục a; b b b b a a a f ( x) g( x) dx f ( x)dx g( x)dx Tính chất 3: Nếu hàm số f(x) liên tục a; b k số b b a a k f ( x)dx k. f ( x)dx Tính chất 4: Nếu hàm số f(x) liên tục a; b c số b c b a a c f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx Tính chất 5: Tích phân hàm số a; b cho trước không phụ thuộc vào biến số , b nghĩa là: a b b a a f ( x )dx f (t )dt f (u)du PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ b a) DẠNG 1: Tính I = f[u(x)].u' (x)dx cách đặt t = u(x) a Công thức đổi biến số dạng 1: f u ( x).u ' ( x)dx f (t )dt b u (b ) a u(a) Cách thực hiện: Bước 1: Đặt t u ( x) dt u ' ( x)dx NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân Bước 2: Đổi cận: FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 xb xa t u (b) t u (a) Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta I f u ( x).u ' ( x)dx f (t )dt b u (b ) a u(a) (tiếp tục tính tích phân mới) b b) DẠNG 2: Tính I = f(x)dx cách đặt x = (t) a b a I f ( x)dx f (t ) ' (t )dt Công thức đổi biến số dạng Cách thực Bước 1: Đặt Bước 2: Đổi x (t ) dx ' (t )dt xb t cận: xa t Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta b a I f ( x)dx f (t ) ' (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Công thức tích phân phần u ( x).v' ( x)dx u ( x).v( x)a v( x).u ' ( x)dx b b a b a hay: udv u.v vdu b b a a b a Cách thực Bước 1: Đặt u u ( x) dv v' ( x)dx du u ' ( x)dx v v( x) Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng phần: udv u.vba vdu Bước 3: Tính u.vba b b a a b vdu a II CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tính tích phân I x2 3x dx x x (Phân tích & dùng định nghĩa) Bài giải ♥ Biến đổi hàm số thành dạng x2 3x x x NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 2x x2 x SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân x Khi đó: I FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 3x dx x x dx 1 2x dx x2 x 2 dx x1 1 2x dx x2 x ln x x ln ♥ Vậy I ln x Ví dụ 2: Tính tích phân I x2 (Phân tích & dùng định nghĩa) dx Bài giải x ♥ Biến đổi hàm số thành dạng x Khi đó: I x 2 x dx x2 2x x 2x x dx 1 2x x dx 1 dx x0 1 2x x dx ln x 1 ln ♥ Vậy I ln ln Ví dụ 3: Tính tích phân I e x e x dx (Đổi biến số dạng 1) Bài giải ♥ Đặt t ex dt e x dx Đổi cận: x ln t x t Suy ra: I t dt ♥ Vậy I t3 1 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ví dụ 4: Tính tích phân I (Đổi biến số dạng 1) x dx x Bài giải ♥ Đặt t x2 Đổi cận: t2 x t x t Suy ra: I t dt 2tdt xdx tdt xdx 2 t3 x2 2 2 ♥ Vậy I e Ví dụ 5: Tính tích phân I 5ln x dx x (Đổi biến số dạng 1) Bài giải ♥ Đặt t Đổi cận: x e t x t 2 Suy ra: I 38 15 ♥ Vậy I t2 5ln x 5ln x 3 t dt 2 t 15 2 3 15 2tdt dx x 23 38 15 Ví dụ 6: Tính tích phân I x sin xdx (Tích phân phần) Bài giải ♥ Đặt u dv x sin xdx du dx v cos x x cos x Suy ra: I x cos x ♥ Vậy I 4 sin x 4 sin x 4 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ví dụ 7: Tính tích phân I (Tích phân phần) x sin x dx ♥ Ta có: I xdx x sin xdx u Đặt x dv sin xdx du dx v cos x Suy ra: x sin xdx 32 4 x sin xdx x cos x 0 ♥ Vậy I x2 32 cos xdx x sin xdx cos xdx sin x 4 x2 Ví dụ 8: Tính tích phân I ln x dx x (Phân tích + đổi biến số dạng 1) Bài giải ♥ Ta có: I xdx 1 x2 xdx ♥ Tính 1 ln x dx x Đặt t dt dx x x t ln x t ln x Đổi cận: Suy ra: ♥ Vậy I ln x dx x ln 2 ln x dx x ln tdt t2 ln ln 2 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 x Ví dụ 9: Tính tích phân I x u ♥ Đặt ln x du x2 dx x2 dv v Suy ra: I x x ln 2 ♥ Vậy I ln 2 (Tích phân phần) 1 dx x x x ln x x ln xdx dx x x x ln x x 1 x x 3 Ví dụ 10: Tính tích phân I = 0 (2ex ex )xdx (Phân tích + đổi biến dạng 1+ tích phân phần) Bài giải ♥ Ta có: I = I1 = I2 = 0 2xe x2 dx xe x dx 1 x2 x2 x2 0 2xe dx 0 e d(x ) = e = e – 0 xe dx x Đă ̣t u = x du = exdx dv = exdx v = ex 1 Suy ra: I2 = xex 0 ex dx = e ex = ♥ Vâ ̣y I = e – + = e NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 III TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân P( x) dx ax+b A DẠNG: I= * Chú ý đến công thức: a 0 m m dx ln ax+b Và bậc P(x) cao hoắc a ax+b ta chia tử cho mẫu dẫn đến Ví dụ 1: Tính tích phân: I= P( x) m ax+b dx Q( x) ax+b dx Q( x)dx m ax+b dx x3 1 x dx Giải Ta có: f ( x) x 27 x2 x 2x 8 2x Do đó: x3 27 27 13 27 1 1 3 2 dx 1 x 1 x x x dx x x x 16 ln 2x 16 ln 35 Ví dụ 2: Tính tích phân: I= x2 x dx Giải x 5 x 1 x 1 x 1 Ta có: f(x)= Do đó: x2 x dx B DẠNG: ax 1 x x dx x 1 x 4ln x 4ln P( x) dx bx c Tam thức: f ( x) ax bx c có hai nghiệm phân biệt Công thức cần lưu ý: u '( x) dx ln u ( x) u ( x) Ta có hai cách Cách 1: ( Hệ số bất định ) Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu ) NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ví dụ 3: Tính tích phân: I= x x 11 dx 5x Giải Cách 1: ( Hệ số bất định ) A x 3 B x x 11 x 11 A B x x ( x 2)( x 3) x x ( x 2)( x 3) Ta có: f(x)= Thay x=-2 vào hai tử số: 3=A thay x=-3 vào hai tử số: -1= -B suy B=1 x2 x3 1 x 11 0 x2 5x dx 0 x x dx 3ln x ln x ln ln Do đó: f(x)= Vậy: Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu ) Ta có: f(x)= x 5 2x 2x 1 2 2 x 5x x x x x 3 x 5x x x Do đó: I= f ( x)dx 1 0 2x 1 x2 dx ln x x ln ln ln x2 5x x x x Tam thức: f ( x) ax bx c có hai nghiệm kép Công thức cần ý: u '( x)dx ln u ( x) u ( x) Thông thừơng ta đặt (x+b/2a)=t Ví dụ 4: Tính tích phân sau: I= x3 0 x x dx Giải Ta có: x 3 x x dx dx 2x 1 x Đặt: t=x+1 suy ra: dx=dt ; x=t-1 và: x=0 t=1 ; x=3 t=4 Do đó: x3 x 1 dx t 1 t2 1 1 1 dt t dt t 3t ln t ln t t t1 2 1 Ví dụ 5: Tính tích phân sau: I= 4x 4x dx 4x 1 Giải Ta có: 4x 4x x x x 12 x t 1 Đặt: t= 2x-1 suy ra: dt 2dx dx dt; x t 1 1 4x 4x Do đó: dx dx x x x 0 1 1 t 1 1 1 dt dt ln t 1 2 t t t t 1 Tam thức: f ( x) ax bx c vô nghiệm NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân Ta viết: f(x)= FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 b u x P( x) P( x) 2a ; 2 2 b a u k k a x 2a 2a 2a Khi đó: Đặt u= ktant Ví dụ 6: Tính tích phân sau: I= x3 x x dx 0 x2 Giải Ta có: Do đó: x 2x 4x x2 2 x 4 x 4 2 x 2x 4x dx 1 2 dx x 6 J dx x x 2 0 x 4 x 4 2 0 x 4 0 2 Tính tích phân J= x dx 4 Đặt: x=2tant suy ra: dx x t = dt; t 0; cost>0 cos t x t 4 (1) 1 14 Khi đó: dx dt dt t 2 x 4 tan t cos t 20 0 Thay vào (1): I C DẠNG: ax P( x) dx bx cx d Đa thức: f(x)= ax bx cx d a có nghiệm bội ba Công thức cần ý: x m dx Ví dụ 7: Tính tích phân: I= 1 m1 1 m x x x 1 dx Giải Cách 1: Đặt: x+1=t , suy x=t-1 và: x=0 t=1 ; x=1 t=2 Do đó: x x 1 Cách 2: Ta có: Do đó: x x 1 t 1 1 1 1 12 dt dt t t t t 2t 1 dx x 1 3 x 1 x 1 x 1 1 1 1 dx dx 0 x 13 0 x 12 x 13 x x 12 x NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ví dụ 8: Tính tích phân: I= 1 x x 1 dx Giải Đặt: x-1=t , suy ra: x=t+1 và: x=-1 t=-2 x=0 t=-1 Do đó: 1 x4 x 1 dx 1 1 2 t 1 t3 1 1 t 4t 6t 4t 1 dt dt t dt t t t t 2 2 1 33 t dt t 4t 6ln t 6ln t t t t t 2 2 2 2 Đa thức: f(x)= ax bx cx d a có hai nghiệm: 1 11 Có hai cách giải: Hệ số bất định phương pháp nhẩy tầng lầu Ví dụ 9: Tính tích phân sau: I= x 1 x 1 dx Giải Cách ( Phương pháp hệ số bất định ) Ta có: A x 1 B x 1 x 1 C x 1 A B C 2 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 A A Khi (1) Thay hai nghiệm mẫu số vào hai tử số: 1 2C C 2 A B x A C x A B C A B C B A C 1 1 4 x 1 x 1 3 1 1 1 dx 2 x 1 x 12 2 x x 1 x 12 dx 1 1 3 I ln x 1 x 1 ln ln 2 x 1 4 4 Do đó: Cách 2: Đặt: t=x+1, suy ra: x=t-1 x=2 t=3 ; x=3 t=4 Khi đó: 4 dt t t 2 1 1 dx dt dt I= 3 t t 3 t t 3 t dt 2 t t x 1 x 1 4 11 1 1 t 2 I dt dt ln ln t 2 2t 2 t t 4 t 4 ln 3t 4t 3t 4t 3t 4t 3t 3t 4t Hoặc: t 2t t 2t t 2t t 2t t t 2t t t 3t 4t 1 dt ln t 2t 3ln t ln t 2t t t 4 t 3 2 1 t t 4 t2 1 1 2 2 Hoặc: 2 t t 2 t t 2 t t 4t2 t t 1 2 1 t 2 2 1 1 2 1 1 dt ln ln ln ln ln Do đó: I= 3t 2 t t 4 t t 4 2 3 4 6 Do đó: I= NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 I 1 dt ( ) x2 Câu 11 Tính tích phân x xdx 3 x2 Ta có I x 0 Đă ̣t J x 3dx xdx 3 x dx và K dx 3 81 dx ; ta có J x dx x 4 x x x x K x x dx Đặt t x t2 x dx và x t 2tdt Ta có x t 1; x t 1 116 Khi đó K 2 t (t 1)dt (t t )dt t t 1 15 5 1 2 2 1679 60 Vậy I J K Câu 12 Tính tích phân: I x x x dx 1 I x x x dx x dx x x dx 2 1 x3 I1 x dx 2 0 I x x dx Đặt t x x t xdx tdt Đổi cận: x t 1; x t t3 t5 I 1 t t dt t t dt 15 0 Vậy I I1 I 2 15 Câu 13 Tính nguyên hàm sau: I x x 3dx NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Đặt t x t x 2tdt 2xdx xdx tdt t3 ( x 3)3 Suy I t.tdt t dt C C 3 dx Câu 14 Tính nguyên hàm: I 2x Đặt t 2x t 2x tdt dx I tdt 1 dt t ln t C t4 t4 2x ln Câu 15 Tính I = I= 2x C x3 x x dx 1 x x x dx x dx x J x3 x2 1dx t x5 J J x 1dx 5 t dt 22 15 1 2 I = J 15 J Câu 16 Tính tích phân sau: I x x 3dx Đặt x t ta x t dx 2tdt Đổi cận: x t 2; x t 3 232 2 Khi I 2t 6t dt t 2t 5 2 Tích phân hàm số mũ, hàm số logarith Câu 17 Tính tích phân I 1 x e2 x dx du dx => v x e2 x 2 1 I (1 x)(2 x e2 x ) (2 e2 x )dx 2 u x Đặt 2x dv (2 e )dx NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân 1 1 = (1 x)(2 x e2 x ) ( x e2 x ) 0 2 e 1 x3 ln x dx x2 Câu 18 Tính tích phân I FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 2 ln x x2 ln x ln x I xdx 2 dx 2 dx 2 dx x 1 x x 1 ln x dx x2 Tính J Đặt u ln x, dv 1 dx Khi du dx, v x x x 2 1 Do J ln x dx x x 1 1 1 J ln ln x1 2 Vậy I ln 2 (1 + x)e x dx Câu 19 Tính tích phân I = I (1 x )e xdx u Đặt dv x du e xdx v (1 x )e x (1 x )e xdx I dx Thay vào công thức tích phân phần ta được: ex 1 e xdx (1 1)e1 (1 0)e ex 2e (e1 e0) e Vậy, I e ln Câu 20 Tính tích phân: I e2 x ex 1 dx Đặt t e x t e x 2tdt e x dx x t 2, x ln t (t 1)2tdt I (t 1)dt t 2 t3 2 t 3 3 2 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu 21 Tính: I 0 ( x 2)e x dx I ( x 2)e x dx u x2 du dx x x dv e dx ve Đặt Khi I= ( x 2)e x e x dx 1 = ( x 2)e x e x 2e e Câu 22 Tính: I 1 I 3ln x ln x dx x 3ln x ln x dx x e Đặt u= 3ln x =>u2= 1+3lnx => 2udu= dx x Đổi cận: x=e => u=2 x=1 => u=1 Khi I= u u2 1 udu 3 2 2 u5 u3 116 = u (u 1)du ( ) 91 135 Câu 23 Tính tích phân I Đặt u dv du x (x e x )dx v Ta có I x (x dx x2 x2 x( x e )dx e x )dx x (x ex x e ) x2 ( 2 e Câu 24 Tính tích phân I e I x 1 ln x x x ln x x e )dx e ( e) e (0 x3 ( 1) x e ) dx e e x x ln x 1 ln x 1 d x ln x 1 dx xdx x ln x x ln x 1 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân I e x FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 e ln x ln x 1 e2 ln e 1 2 e Câu 25 Tính tích phân I x ln xdx e x e e 1 Ta có: I x ln xdx x ln xdx ln xdx x x 1 1 e x2 Tính x ln xdx Đặt u ln x dv xdx Suy du dx v x e e e x2 x e2 x e2 Do đó, x ln xdx ln x dx 2 4 1 e 1 x ln xdx Đặt t ln x dt x dx Khi Tính x 1 t , x e t e 1 t2 Ta có: ln xdx tdt x Vậy, I 1 e 3 Câu 26 Tính tích phân: I = tan x ln(cos x ) dx cos x *Đặt t=cosx Tính dt=-sinxdx , đổi cận x=0 t=1 , x Từ I ln t dt t2 dt t2 1 Suy I ln t t I 1 ln t dt t2 1 du dt ; v t t *Đặt u ln t ;dv *Kết t 1 1 t dt ln t 2 ln 2 e Câu 27 Tính tích phân sau: x log 23 x 3ln x dx Đặt Từ NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Đổi cận: với I u4 (1u ) du ( 1 2 u 1 *) 2 u 1 2( u 1) 1 ( u 1) 2 u 1 du ) ( u 1) 2 [( u 1) ( u 1)]2 ( u 1) 2 u 1 u u 1 u u 1 u 1 ( u 1) ( u 1)( u 1) ( u 1) 1 1 ( u 1) ( u 1) u 1 u 1 I ( 1 1 1 3 1 du ) du ( u 1) ( u 1) u 1 u 1 u u 1 0 u 1 1 1 |u 1| ln u ln u 1 u 1 |u 1| x ln x Câu 28 Tính tích phân I dx x e x ln x dx dx x ln xdx x x 1 e e A dx ln x 1 x e e I e du dx u ln x x B x ln xdx Dat dv xdx v x e 2 e e e e2 x x x x e2 B ln x dx ln x I 4 12 4 2 e e Câu 29 Tính tích phân: I 1 I e ln x ln x x 1 x Đặt u ln x dx x ln x ln x ln x du dx : u(1)=0; u(e)= x x e NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 e 1 u 1 e 1 du ln ln u 1 u 0 e 1 e I 3e x )e 2xdx (x Câu 30 Tính tích phân Ta có I (x 1 0 3e x )e 2xdx xe 2xdx 3 e 3xdx 1 0 Đă ̣t J 3 e 3xdx và K xe 2xdx ; ta có J 3 e 3xdx e 3x e du dx u x ; đó K xe 2x K xe dx Đặt 2x 2x dv e dx v e 1 2x 2x e dx 0 1 1 1 1 K e e 2x e e e Vậy I e e 4 4 4 e Câu 31 Tính tích phân I 3x ln x x x ln x e I Phân tích e Tính 3x ln x x x ln x e x 1 x2 x ln x dx x x ln x dx 1 x2 x ln x dx x dx 1 x 1 x x x ln x dx = x ln x dx 1 e e Tính dx = 2( x ln x) e 2( x ln x) e dx 1 e d ( x ln x) x ln x ln( x ln x) ln(e 1) e Vậy I = + ln(e+1) Câu 32 Tính nguyên hàm sau: dx e 1 x dx ex ( e x e x 1)dx d (e x 1) = dx x = x – ln( e x ) + C e 1 Ta có: Câu 33 Tính tích phân: I (1 e x ) xdx NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân u x du dx Đặt: x x dv (1 e )dx v x e FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Khi đó: I x( x e x ) 10 ( x e x )dx I e ( x2 ex ) e Câu 34 Tính tích phân I x3 ln xdx 1 ln x u x x dx u ' x dx Đặt x v ' x v x x 4 e4 e 3e4 I x ln x x dx x 4 x 16 16 1 e e e Câu 35 Tính tích phân: I x ln x dx x2 e e ln x 4e I 4 dx dx I1 I1 x x x1 e 1 e ln x Tính I1 dx x Đặt t ln x dt dx x Đổi cận: x t 0; x e t 1 t4 1 I1 t dt 4 y Vậy x -8 -6 -4 -2 -5 Câu 36 Tính tích phân sau I (2x+e x )dx 1 0 I x e dx xdx e x dx x e x e e x 1 0 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu 37 Tính tích phân sau I x e x 3 dx 1 I e 3 dx 2e dx 3 dx x x x x 2e x ln 2e 2x 2e 3 ln ln 2e ln ln x I dx x x ln x 1 1 e Câu 38 Tính tích phân sau e Tính I1 1 x dx ta kết I1 e 1 dx x Đổi cận x t 0; x e t Đặt ln x t ta dt 2t dt 2t ln t 1 ln t 1 Khi K Vậy ta I I1 I e ln ln I Câu 39 Tính tích phân sau x 2e Tính I1 Tính I ln xdx ln 2e dx 1 ta kết I1 ln 2 x x 1 dx Đặt e x t ta e x dx dt Đổi cận x t 1; x ln t 2 dt ln t ln 2t 1 ln ln ln Khi I t 2t 1 Vậy ta L L1 L2 ln 2 ln e Câu 40 Tính tích phân I x ln xdx 1 du dx u ln x x dv xdx v x NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân e I FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 e e e x2 x x2 x ln x dx ln x 2 1 e2 Câu 41 Tính tích phân I xe x dx 1 u x du dx x I xe e x dx e e x x x dv e dx v e Tích phân hàm lượng giác Câu 42 Tính tích phân I ( x sin x ) cos xdx 2 0 I ( x sin x ) cos xdx x cos xdx sin x cos xdx M N Tính M u x du dx dv cos xdx v sin x Đặt M x sin x sin xdx cos x 2 0 Tính N Đặt t sin x dt cos xdx t 1 x0t 0 t 1 N t dt 3 Đổi cận x Vậy I M N Câu 43 Tính tích phân: I x cos xdx 2 0 I xdx x cos xdx NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân + xdx x2 2 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 2 2 12 + J xcos2 xdx x sin x 02 sin xdx cos2 x 20 0 I 2 Câu 44 Tính tích phân I = ( x cos2 x) sin xdx 2 2 0 I x sin xdx cos2 x sin xdx Đặt I1 x sin xdx, I cos x sin xdx u x du dx Đặt I1 x cos x dv sin xdx v cos x 2 0 2 cos xdx sin x 1 I cos2 x sin xdx cos2 xd (cos x) cos x 3 Vậy I 3 Câu 45 Tính tích phân: I cos x )xdx (1 I cos x )xdx (1 xdx x cos xdx Với I x2 xdx Với I 2 02 2 x cos xdx Đặt I2 u x dv cos xdx x sin x Vậy, I du dx v sin x sin xdx Thay vào công thức tích phân phần ta được: ( cos x ) cos x cos cos 2 I1 I2 2 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu 46 Tính Tích phân I x cos xdx I x cos xdx , u x du dx dv cos xdx v sin x Đặt I x sin x 02 sin xdx cos x 02 1 cot x 6 Câu 47 Tính tích phân sau: I cos x sin x dx cos x sin x 2cos x 6 + Ta có: cos x sinx cot x 2 6 + Do đó: I dx d tan x ln tan x ln 6 6 cos x tan x 3 6 6 Câu 48 Tính tích phân: I sin x sin x.dx Tính tích phân: I sin x sin x.dx I = sin x cos x.dx Đặt t=sinx => dt=cosxdx 1 t5 ▪ I 2t dt = = 5 Câu 49 Cho hàm số f ( x) tan x2 cot x cos x cos x có nguyên hàm F (x ) F Tìm nguyên hàm F (x ) hàm số cho 4 Tìm nguyên hàm F (x ) F ( x) tan x cot x cos x cos x dx = sin x sin x dx NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân cos x x cos x C F C C 1 2 4 cos x 1 Vậy F ( x) x cos x FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu 50 Tính tích phân I 2x sin x dx I 2 2 0 0 2x sin x dx 2x.dx dx sin xdx A B C A 2x dx x 2 0 2 Vậy I A B C ; B dx x 02 C sin xdx cosx 1 2 1 x tan Câu 51 Tính tích phân I = xdx I= 4 x( 1 1) dx x dx 0 cos x 0 xdx cos x x2 xdx 0 4 2 32 dx I1 x cos x u x du dx Đặt dx dv v tan x cos x I1 = x tan x 04 tanxdx Vậy I= ln ln cos x 2 32 ln Câu 52 Tính nguyên hàm I x sin 3xdx Tính nguyên hàm I x sin 3xdx NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 du dx u x Đặt , ta cos x v dv sin 3xdx x cos 3x cos 3xdx x cos 3x sin 3x C Do đó: I 3 Câu 53 Tính tích phân sau: I s inx+ cos x dx 0 I s inx cos x dx s inxdx cos xdx cos x sin x Câu 54 Tính tích phân sau: I x sin x dx I x sin x dx xdx sin xdx x 2 0 2 cos x 2 Câu 55 Tính tích phân sau: I 1 sin x cos xdx I 1 sin x cos xdx Đặt sin x t dt cos xdx Đổi cận x t 0; x t t4 Khi I 1 t dt t 0 Câu 56 Tính tích phân sau I dx sin x cos x Đặt cot x t dt Đổi cận x t 3; x 1 Khi I 1 dt t 1 dx sin x t 1 1 dt t 1 t t t 3t 27 3 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu 57 Tính tích phân sau: I s inx x sin xdx I s inx x sin xdx sin xdx x sin xdx 0 cos x dx 2 Đặt I1 sin xdx I x sin xdx u x du dx dv sin xdx v cos x I x cos x cos xdx s inx Khi I Câu 58 Tính tích phân I x sin xdx u x du dx dv sin xdx v cos x Đặt I x cos x 02 cos xdx sinx 02 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Ngày đăng: 04/09/2016, 17:55
Xem thêm: NỘI DUNG 2 TÍCH PHÂN
