Phương trình lượng giác lí thuyết và bài tập

Gia sƣ Thành Đƣợc www.daythem.edu.vn PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC Phƣơng trình bậc bậc hai, bậc ba, trùng phƣơng hàm số lƣợng giác asin2x + bsinx + c = 0, acos2x + bcosx + c = 0, atan2x + btanx + c = (a ≠ 0) Cách giải: đặt ẩn phụ đƣa dạng phƣơng trình bậc hai at2 + bt + c = giải asin3x + bsin2x + csinx + d = 0, acos3x + bcos2x + ccosx + d = 0, atan3x + btan2x + ctanx + d = (a ≠ 0) Cách giải: đặt ẩn phụ đƣa phƣơng trình bậc có dạng at3x + bt2x + ct + d = 0, đoán nghiệm phân tích thành nhân tử đƣa phƣơng trình tích asin4x + bsin2x + c = 0, acos4x + bcos2x + c = 0, atan4x + btan2x + c = (a ≠ 0) Cách giải: tƣơng tự nhƣ phƣơng trình bậc hai Phƣơng trình bậc sin cos cung lƣợng giác: a.sinx + b.cosx = c (ab ≠ 0) a b Cách giải: chia hai vế cho a  b đặt cos   ta đƣợc phƣơng trình sau ;sin   2 a b a  b2 c c sin x cos   cos x sin    sin(x  )  a  b2 a  b2 Phƣơng trình bậc hai sinx cosx: a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = d Cách giải 1: Xét cosx = giải, sau xét cosx ≠ chia vế phƣơng trình cho cos2x để đƣa phƣơng trình dạng phƣơng trình bậc hai tanx Cách giải 2: Hạ bậc đƣa dạng bậc sin2x cos2x Phƣơng trình đối xứng sinx cosx: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c a(sinx – cosx) + bsinxcosx = c Cách giải: đặt ẩn phụ t = sinx + cosx t = sinx – cosx, tính sinxcosx theo t thay vào phƣơng trình ta đƣợc phƣơng trình bậc hai Phƣơng trình đối xứng tanx cotx: atanx + bcotx + a2tan2x + b2cot2x = c Cách giải: đặt ẩn phụ t = atanx + bcotx suy a2tan2x + b2cot2x = t2 – 2ab đƣa phƣơng trình bậc hai Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình lƣợng giác: Phƣơng pháp 1: Dùng công thức lƣợng giác phƣơng pháp phân tích thành nhân tử đƣa phƣơng trình dạng tích Nếu đoán nghiệm trƣớc dùng để đƣa dạng tích dễ dàng Các nhân tử có thƣờng hàm lƣợng giác đa thức bậc nhƣ asinx + b, acosx + b, atanx + b, asinx + bcosx + c, Phƣơng pháp 2: Đặt ẩn phụ đƣa phƣơng trình lƣợng giác phƣơng trình đại số giải dùng phối hợp phƣơng pháp khác Phƣơng pháp 3: Quy phƣơng trình lƣợng giác việc giải hệ phƣơng trình lƣợng giác cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức Thƣờng trƣờng trƣờng hợp phƣơng trình lƣợng giác có nghiệm đƣợc chứng minh không nghiệm khác Hoặc chứng minh nghiệm phƣơng trình trƣờng hợp dấu xảy so sánh hay sử dụng bất đẳng thức Cách so sánh dùng tính đơn điệu hàm số cần đặt ẩn phụ khảo sát hàm số Lƣu ý: Các phƣơng pháp thƣờng đƣợc dùng kết hợp cách linh hoạt cần có kinh nghiệm giải để có cách đánh giá tốt sử dụng phƣơng pháp đặt trƣng Phƣơng trình thƣờng dạng đặc trƣng từ đầu, phƣơng trình cần có số bƣớc biến đổi đơn giản nhƣ quy đồng mẫu số, rút gọn, hạ bậc, chuyển vế, nhóm hạng tử, đồng cung lƣợng giác, Bài tập vận dụng cos3x + cos2x + 2sinx – = tanxsin2x – 2sin2x = 3(cos2x + sinxcosx) Gợi ý: chia hai vế cho cos2x 2sin3x – (1/sinx) = 2cos3x + (1/cosx) sin 2x  cos 2x  cos x    2sin x 4(sin3x – cos2x) = 5(sinx – 1) sinx – 4sin3x + cosx = Gia sƣ Thành Đƣợc www.daythem.edu.vn     sin  3x    sin 2x sin  x   4 4   3 sin x.cos3x + cos x.sin3x = sin34x (1) Gợi ý: sin3x = (3sinx – sin3x)/4, cos3x = (3cosx + cos3x)/4 Nên (1)  (3sin x cos 3x  sin 3x cos 3x  3cos x sin 3x  cos 3x sin 3x)  sin 4x  3sin 4x  4sin 4x 1  7    4sin   x sin x sin(x  3 / 2)   3 10 sin x  cos x  sin x cos x  sin x cos x 11 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = + 2cosx 12 sin2x + cos2x = + sinx – 3cosx 13 2sinx + cotx = 2sin2x + 14 + sinx + cosx + sin2x + 2cos2x = 2(cos x  sin x) 15  tan x  cot 2x cot x  4 sin x  cos x  (tan x  cot x) 16 sin 2x   17 2sin  x    2sin x  tan x 4  18 sin 2x(cos x  3)  cos3 x  3 cos 2x  8( cos x  sin x)  3  Gợi ý: phân tích thành nhân tử cosx – sinx nhân tử   19 cos x  8sin  x   6  20 cos2x + = 2(2 – cosx)(sinx – cosx) 21 2cos3x  sin x  cos x  22 cos 3x cos3 x  sin 3x sin x  23 23 25  4x  3sin 2x  8sin x   5  7    24 sin  2x    3cos  x     2sin x     3 25 sin x + cos x = 2(sin x + cos5x) sin x  sin 2x  sin 3x  26 cos x  cos 2x  cos 3x  cos x 27 tan x   sin x 28 tan2x – tan3x – tan5x = tan2xtan3xtan5x 4x  cos x 29 cos  1  30 2 sin  x      sin x cos x  31 tan x  cot 2x   sin 2x 32 cosxcot3x = cos5xcotx Gia sƣ Thành Đƣợc www.daythem.edu.vn 33 sin2x + sin22x + sin23x = PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC cos 3x  sin 3x   Tìm nghiệm thuộc (0, 2π) phƣơng trình:  sin x    cos 2x  (A2002)  2sin 2x   Giải phƣơng trình: sin23x – cos24x = sin25x – cos26x (B2002) Tìm nghiệm thuộc đoạn [0, 14] phƣơng trình: cos3x – 4cos2x + 3cosx – = (D2002) cos 2x  sin x  sin 2x (A2003) Giải phƣơng trình: cot x    tan x 2 Giải phƣơng trình: cot x  tan x  4sin 2x  (B2003) sin 2x x  x  Giải phƣơng trình: sin    tan x  cos  (D2003) 2 4 Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện cos 2A  2 cos 2B  2 cos 2C  Tính ba góc tam giác ABC (A2004) Giải phƣơng trình: 5sinx – = 3(1 – sinx)tan2x (B2004) Giải phƣơng trình: (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx (D2004) 10 Tìm nghiệm thuộc (0, π) phƣơng trình: x 3   4sin  cos 2x   2cos  x   (Dự bị 1A 2005)     11 Giải phƣơng trình: 2 cos3  x    3cos x  sin x  (Dự bị 2A 2005) 4  12 Giải phƣơng trình: sinxcos2x + cos2x(tan2x – 1) + 2sin3x = (Dự bị 1B 2005) cos 2x    13 Giải phƣơng trình: tan   x   3tan x  (Dự bị 2B 2005) cos x 2  sin x  3  14 Giải phƣơng trình: tan   x    (Dự bị 1D 2005)    cos x 15 Giải phƣơng trình: sin2x + cos2x + 3sinx – cosx – = (Dự bị 2D 2005) 16 Giải phƣơng trình: cos23xcos2x – cos2x = (A2005) 17 Giải phƣơng trình: + sinx + cosx + sin2x + cos2x = (B2005)     18 Giải phƣơng trình: cos x  sin x  cos  x   sin  3x     (D2005) 4  4  6 2(cos x  sin x)  sin x cos x  (A2006) 19 Giải phƣơng trình:  2sin x x  20 Giải phƣơng trình: cot x  sin x 1  tan x tan   (B2006) 2  21 Giải phƣơng trình: cos3x + cos2x – cosx – = (D2006) 22 Giải phƣơng trình: cos3x + sin3x + 2sin2x = (Dự bị 1D 2006) 23 Giải phƣơng trình: 4x – 2x+1 + 2(2x – 1)sin(2x + y – 1) + = (Dự bị 2D 2006) 24 Giải phƣơng trình: (2sin2x – 1)tan2x + 3(cos2x – 1) = (Dự bị 1B 2006) 25 Giải phƣơng trình: cos2x + (1 + 2cosx)(sinx – cosx) = (Dự bị 2B 2006) 26 Giải phƣơng trình: 4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = (Dự bị 3D 2006) 23 27 Giải phƣơng trình: cos 3x cos3 x  sin 3x sin x  (Dự bị 1A 2006)   28 Giải phƣơng trình: 2sin  2x    4sin x   (Dự bị 2A 2006) 6  Gia sƣ Thành Đƣợc www.daythem.edu.vn 29 Giải phƣơng trình: 2sin22x + sin7x – = sinx (B2007) x x  30 Giải phƣơng trình:  sin  cos   cos x  (D2007) 2  31 Giải phƣơng trình: (1 + sin x)cosx + (1 + cosx2x)sinx = + sin2x (A2007) 3x  5x    x  32 Giải phƣơng trình: sin     cos     cos (Dự bị B 2007)  4 2 4 33 Giải phƣơng trình: 2cos2 x  cos x sin x   3(sin x  cos x) (Dự bị 1A 2007) 1   cot 2x (Dự bị 2A 2007) 34 Giải phƣơng trình: sin 2x  sin x  2sin x sin 2x 35 Giải phƣơng trình: sin 3x  cos x  2sin 2x (CĐ 2008) 36 Giải phƣơng trình: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = + cos2x (D2008) 37 Giải phƣơng trình: sin x  cos3 x  sin x cos x  sin x cos x (B2008) 1  7  38 Giải phƣơng trình:   4sin   x  (A2008) sin x sin(x  3 / 2)   (1  2sin x) cos x  (A2009) 39 Giải phƣơng trình: (1  2sin x)(1  sin x) 40 Giải phƣơng trình: sin x  sin 2x cos x  cos3x  2(cos 4x  sin x) (B2009) 41 Giải phƣơng trình: cos 5x  2sin 3x cos 2x  sin x  (D2009) 42 Giải phƣơng trình: (1 + 2sinx)2cosx = + sinx + cosx (CĐ 2009) (1  sin x  cos 2x)sin(x   / 4) 43 Giải phƣơng trình:  cos x (A2010)  tan x 44 Giải phƣơng trình: (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = (B2010) 45 Giải phƣơng trình: sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – = (D2010)  sin 2x  cos 2x  sin x sin 2x (A2011) 46 Giải phƣơng trình:  cot x 47 Giải phƣơng trình: sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx (B2011) sin 2x  cos x  sin x   (D2011) 48 Giải phƣơng trình: tan x  49 Giải phƣơng trình: cos4x + 12sin2x – = (CĐ 2011) 5x 3x 50 Giải phƣơng trình: cos cos  2(8sin x  1) cos x  (CĐ 2010) 2 51 Giải phƣơng trình: sin 2x  cos 2x  2cos x  (AA1 2012) 52 Giải phƣơng trình: 2(cos x  sin x)cos x  cos x  sin x  (B 2012) 53 Giải phƣơng trình: sin 3x  cos 3x  sin x  cos x  cos 2x (D 2012)  54 Giải phƣơng trình: + tan x = 2 sin(x  ) (AA1 2013) 55 Giải phƣơng trình: sin 5x + 2cos² x = (B 2013) 56 Giải phƣơng trình: sin 3x + cos 2x – sin x = (D 2013) 57 Giải phƣơng trình: cos (π/2 – x) + sin 2x = (CĐ 2013)