bồi dưỡng học sinh giỏi phần cơ học

tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi phần cơ học, tuiyển tập các bài tập cơ học dùng bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông. tài liệu dùng cho giáo viên và học sinh tham khảo trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi

Bài 1 : Một vật trượt từ đỉnh của mặt phẳng nghiêng AB,

sau đó tiếp tục trượt trên mặt phẳng nằm ngang BC như

Bài 2: Trong hệ thống trên hình 1, khối lượng vật 1 bằng 6,0 lần khối lượng vật 2.

Chiều cao h = 20cm Khối lượng của ròng rọc và của dây cũng như các lực ma sát

được bỏ qua Lấy g = 10m/s 2 Ban đầu vật 2 được giữ đứng yên trên mặt đất, các sợi

dây không dãn có phương thẳng đứng Thả vật 2, hệ bắt đầu chuyển động Xác định:

a gia tốc của các vật ngay sau khi vật 2 được thả ra;

b độ cao tối đa đối với mặt đất mà vật 2 đạt được.

a/ Gọi T là lực căng dây

Gia tốc vật 2:

2

2 2

m

PT

a  

Gia tốc vật 1:

2

2 1

1

T2P.m

T2Pa

4

4 2 a 2

R

Từ (1) và (2) được: N = mg(3cos-2)

Vật bắt đầu tách khỏi mặt cầu khi N = 0  cos=2/3, hay bởi độ

Cao OH = Rcos0=60cm Vận tốc v của vật tại vị trí đó:

Hình 1

Hình 1RA

N



a) Tính gia tốc của vật trên sàn.

b) Khi vật đi được quãng đường s = 2m thì ngừng

a) Lực tác dụng lên vật m:Trọng lực F 1

, Phản lực N ,- Lực tác dụng: F, Lực ma sát trượt của mặt sàn:mst

+ Trục Ox theo hướng chuyển động: F – Fmst = ma (2)

+ Lên trục Oy theo hướng N : N – P = 0 (3)

a) Hệ đứng yên, tính lực ma sát nghỉ mà mặt phẳng nghiêng tác dụng lên m 1

b) Cho m 2 = 2m 1 , α = 30 0 , g = 10m/s 2 Vật m 1 trượt lên với gia tốc

a = 10

3 m/s 2 Tính hệ số ma sát trượt giữa m 1 và mặt phẳng nghiêng

a/ Hệ đứng yên, lực ma sát nghỉ cân bằng với lực kéo

Bài 6:Một hòn đá có trọng lượng P được ném thẳng đứng lên trong không khí với vận tốc ban đầu

v 0 Nếu f là lực cản không đổi tác dụng lên hòn đá trên suốt đường bay của nó, g là gia tốc trọng trường Tính độ cao cực đại của hòn đá và tốc độ của hòn đá ngay trước khi chạm đất.

Bài 7: Hai vật nhỏ giống nhau đặt cách nhau d = 1,6 m

trên mặt phẳng nghiêng, góc nghiêng so với phương

ngang là =30 0 Vật ở dưới cách chân mặt phẳng

nghiêng là L=90cm (Hình 1) Thả đồng thời cho hai vật

trượt xuống không vận tốc đầu Bỏ qua ma sát Lấy g =

10 m/s 2

1 Tìm vận tốc của mỗi vật ở chân mặt phẳng

nghiêng và thời gian trượt của mỗi vật trên mặt phẳng

nghiêng.

2 Sau khi đến chân mặt phẳng nghiêng thì hai vật lại trượt sang mặt phẳng ngang theo cùng một đường thẳng với tốc độ không đổi bằng tốc độ của chúng ở chân mặt phẳng nghiêng Hỏi khoảng cách giữa các vật bằng bao nhiêu khi vật phía trên đến chân mặt phẳng nghiêng Tính khoảng cách từ vị trí hai vật gặp nhau đến chân mặt phẳng nghiêng.

Gia tốc của hai vật trên mặt phẳng nghiêng có cùng giá trị bằng:

 2

0 2

a

v1  2 1 1  2 1  2 5 0 , 9m/s  3 / ……… ……… ……

a s

a

v2  2 2 2  2 2   2 5 2 , 5  5 / ………… ………

Thời gian chuyển động trên mặt phẳng nghiêng của hai vật:

- Trong quá trình bay lên, vật chịu tác dụng của trọng trường hiệu

L

d

Hình1

 s a

v

5

52

2

2    …………

b/ Khoảng cách giữa hai vật khi cùng chuyển động trên mặt phẳng ngang:

Lúc vật 2 đến chân mặt phẳng nghiêng thì vật 1 cách vật 2 một đoạn:

Bài 8: Trên mặt phẳng ngang có một bán cầu khối lượng m Từ điểm

cao nhất của bán cầu có một vật nhỏ khối lượng m trượt không vận

tốc đầu xuống Ma sát giữa vật nhỏ và bán cầu có thể bỏ qua Gọi  là

góc giữa phương thẳng đứng và bán kính véc tơ nối tâm bán cầu với

vật (hình 2)

1 Giả sử bán cầu được giữ đứng yên

a) Xác định vận tốc của vật, áp lực của vật lên mặt bán cầu khi vật

chưa rời bán cầu, từ đó tìm góc  =  m khi vật bắt đầu rời bán cầu.

b) Xét vị trí có  <  m Viết các biểu thức thành phần gia tốc tiếp

tuyến và gia tốc pháp tuyến của vật theo g và  Viết biểu thức tính

áp lực của bán cầu lên mặt phẳng ngang theo m, g và  khi đó.

2 Giả sử giữa bán cầu và mặt phẳng ngang có hệ số ma sát là .

Tìm  biết rằng khi  = 30 0 thì bán cầu bắt đầu bị trượt trên mặt

phẳng ngang.

3 Giả sử không có ma sát giữa bán cầu và mặt phẳng ngang Tìm

góc  khi vật bắt đầu rời bán cầu.

Khi vật trượt trên mặt cầu vật chịu tác dụng của trọng lực P và phản lực Q

của mặt cầu có tổng hợp tạo ra gia tốc với hai thành phần tiếp tuyến và hướng tâm Quá trình chuyểnđộng tuân theo sự bảo toàn cơ năng:

ht

2cos

 1 2cos 3cos2cos

sin2cos3cos

3cos21

sin.2cos3

F ngang

………

Thay số:   0,19m/s7  0,2… …… …… ……… ………

3 Giả sử bỏ qua được mọi ma sát.

Khi vật đến vị trí có góc  vật có tốc độ vr so với bán cầu, còn bán cầu có tốc độ V theo phương ngang.Vận tốc của vật so với mặt đất là:vvr V

Tốc độ theo phương ngang của vật:v x v rcos  V

Hệ bảo toàn động lượng theo phương ngang:

cos14

II Niutơn ta có:

R

v m F

Q

q

2sin

R

v m Q

Q

2 2

R mv mg

2 2

3 2

2 2

2

sin1

4coscos

6sin

1

sin1

cos14cossin

1

/cos

Bài 9: Cho cơ hệ như hình vẽ Ròng rọc có khối lượng không đáng kể, dây nối nhẹ và không dãn,

m 1 =2kg; m 3 =1kg; hệ số ma sát trượt giữa m 3 và mặt bàn cố định là k=0,2; hệ số ma sát trượt giữa

m 2 với m 3 là k o =0,4; lấy g=10m/s 2 Hệ được thả cho chuyển động từ trạng thái nghỉ.

1 Hỏi m 2 bằng bao nhiêu để nó không trượt trên m 3 khi hệ chuyển động?

2 Tính m 2 để gia tốc của m 3 bằng một nửa gia tốc của m 2

Khi đó gia tốc của m 2 bằng bao nhiêu?

Giả sử m2 đứng yên trên m3 và cả hệ chuyển động với gia tốc là a

)1010

218

5

V

P

vrV

57 3

) ( ) ( 2

57 3

2

2

kg m

Loai kg

2 Gọi gia tốc của m1 và m2 là 2a thì gia tốc của m3 là a

Gọi lực ma sát giữa m3 với sàn là Fms’ Các lực tác dụng vào các vật

Bài 10: Một tấm ván có khối lượng M 10kg nằm trên mặt phẳng

ngang nhẵn và được giữ bằng một sợi dây không dãn Vật nhỏ có

khối lượng m1kg trượt đều với vận tốc v2 /m s từ mép tấm ván dưới tác dụng của một lực không đổi F 10N (Hình 1) Khi vật đi được đoạn đường dài l1m trên tấm ván thì dây bị đứt a) Tính gia tốc của vật và ván ngay sau khi dây đứt.

b) Mô tả chuyển động của vật và ván sau khi dây đứt trong một thời

gian đủ dài Tính vận tốc, gia tốc của vật và ván trong từng giai đoạn Coi

ván đủ dài

c) Hãy xác định chiều dài tối thiểu của tấm ván để m không trượt khỏi ván

* Xét chuyển động của m:

Trước khi dây bị đứt: F F ms  0 F ms F

Ngay sau khi dây đứt: vật m vẫn trượt đều với vận tốc v  a m 0

M

+ m chuyển động đều với vận tốc v, gia tốc am=0

+ M chuyển động nhanh dần đều, vận tốc ban đầu =0, gia tốc a M F 1 /m s2

Bài 11: Một vật nhỏ khối lượng M =100g treo vào đầu sợi dây lí tưởng, chiều dài

l = 20cm như Hình 1 Dùng vật nhỏ m = 50g có tốc độ v 0 bắn vào M Bỏ qua sức

cản của không khí Lấy g = 10m/s 2 Coi va chạm là tuyệt đối đàn hồi.

a/ Xác định v 0 để M lên đến vị trí dây nằm ngang.

b/ Xác định v 0 tối thiểu để M chuyển động tròn xung quanh O.

m 2 v

M m v Mgl 2

b/ Để M chuyển động hết vòng tròn, tại điểm cao nhất E: vE  gl

m2

Mmv2

Mvl2Mg

2

Mv

0 E

m/s

c/ Khi

2

7 3

v0  m/s <

2

10

3 =>m M không lên tới điểm cao nhất của quĩ đạo tròn

Lực căng của dây:

l

mv cos

mg

T    2 Khi T = 0 =>m M bắt đầu rời quĩ đạo tròn tại D với vận tốc vD, có hướng hợp với phương ngang góc 600

Từ D vật M chuyển động như vật ném xiên Dễ dàng tính được góc COD = 300

Bài 12: Trong hệ thống trên hình 1, khối lượng vật 1 bằng 6,0 lần khối lượng vật 2.

Chiều cao h = 20cm Khối lượng của ròng rọc và của dây cũng như các lực ma sát

được bỏ qua Lấy g = 10m/s 2 Ban đầu vật 2 được giữ đứng yên trên mặt đất, các sợi

dây không dãn có phương thẳng đứng Thả vật 2, hệ bắt đầu chuyển động Xác

định:

c gia tốc của các vật ngay sau khi vật 2 được thả ra;

d độ cao tối đa đối với mặt đất mà vật 2 đạt được.

Gọi T là lực căng dây

Gia tốc vật 2:

2

2 2

m

PT

a  

v0

O

Mm

l

12h

Hình 1

Gia tốc vật 1:

2

2 1

1 1

m

T2P.m

T2Pa

4

4 2 a 2

max  (1)

Sau đó, vật chuyển động chậm dần với gia tốc g từ độ cao 2h đến hmax:

) h 2 h

vòng B, C (Hình 2) Khoảng cách giữa hai tâm của các vòng B, C trước

khi va chạm bằng N lần đường kính mỗi vòng Các va chạm được coi là

hoàn toàn đàn hồi Xác định vận tốc của vòng A sau va chạm Biện luận

theo N để vòng A: bật ngược lại, dừng lại, tiếp tục tiến lên.

- Vì hệ có tính đối xứng nên A chỉ chuyển động trên đường thẳng cố định,

B và C có quỹ đạo đối xứng nhau qua quỹ đạo của A Gọi v’ và vo là vận

tốc của A và B (C) sau va chạm (B và C có cùng độ lớn vận tốc là vo)

- Áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có: mv=mv’+2mvocos (1)

(Với  là góc giữa phương chuyển động của A với phương chuyển động của B (C))

2

42

)()2(cos

2 2

- Thay (2) vào (1) ta có: v = v’+vo 4 N 2 (3)

- Do va chạm là hoàn toàn đàn hồi nên ta có:

2

22

'2

2 2

2

o

mv mv







- Nếu v’=v thì vo=0  loại

* Để A bật ngược lại thì v’<0 N 2 (do để A va chạm đồng thời vào B, C thì N<2 nên 6-N2>m0)

* Để A đứng yên thì v’=0  N  2

* Để A tiếp tục tiến lên thì v’>m0  2N 2

Bài 14: Một vật nhỏ trượt không vận tốc đầu và không ma sát từ

điểm cao nhất của một quả cầu có bán kính R bị giữ chặt trên bề

mặt nằm ngang của một cái bàn (Hình 1) Khi vật rơi đến bàn thì

hướng rơi tạo với bề mặt bàn một góc bằng bao nhiêu?

- Trước khi rời khỏi quả cầu thì chuyển động của vật là chuyển động

tròn không đều, trước hết ta tìm góc  và vận tốc v của vật ở thời điểm

nó rời quả cầu

8

CHình 2

vo

Hình 1mgv

N





v1

- Phương trình động lực học cho phương xuyên tâm:

mgR

mv

22

2

- Sau khi rời quả cầu, vật tham gia chuyển động ném xiên xuống nên thành phần vận tốc theo phương

ngang là không đổi Do đó: vcos=v1cos 74o

b) Xe trượt được thả tự do trên mặt băng

a) Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ, gốc toạ độ tại vị trí ban đầu của người nhảy

Phương trình chuyển động của người theo các trục tọa độ là:

(Hình 3) Một viên bi khối lượng m bay với vận tốc v 0 theo

phương ngang đến va chạm đàn hồi với nêm Xác định tỉ số m/M,

biết rằng sau va chạm một thời gian nào đó viên bi rơi trở lại

nêm đúng vào điểm mà nó đã va chạm với nêm trước đó.

Gọi vx và vy là thành phần nằm ngang và thành phần thẳng đứng của vận tốc của bi sau va chạm.Xét hệ bi – nêm, do ngoại lực triệt tiêu theo phương ngang nên động lượng của hệ bảo toàn theo phươngnày Mặt khác, vì sau va chạm, bi rơi trở lại vị trí nó đã va chạm với nêm trước đó nên:

- Bỏ qua mọi ma sỏt, theo phương ngang động lượng của hệ ếch và vỏn được bảo toàn.

m1v0cos + m2vv = 0 ( với vv là vận tốc của tấm vỏn.), suy ra độ lớn vận tốc của vỏn: vv = 1

2

m

m v0cos

- Gọi quóng đường ếch nhảy tới là s1 ; quóng đường tấm vỏn chuyển động lui là s2

- Thời gian ếch nhảy quóng đường s1, cũng là thời gian tấm vỏn di chuyển quóng đường s2 bằng hai lần thời gian ếch lờn cao cực đại Thời gian đú là:

m

m v0cos

0

2 sinv g

 = 

lăn nhỏ (hình vẽ) Khối lợng của xe và mặt cong là M Xe đặt trên mặt

phẳng nhẵn nằm ngang Lúc đầu, đầu A của mặt cong tiếp xúc với

vách tờng thẳng đứng Từ A ngời ta thả một vật nhỏ m trợt xuống với

vận tốc ban đầu bằng 0 Hãy tính

a) Vận tốc của vật khi nó trợt xuống đến vị trí thấp nhất lần đầu

tiên.

b) Độ cao lớn nhất mà vật lên đợc ở phía mặt cong bên kia (mặt cong

không chứa m tại thời điểm ban đầu).

m

 vBảo toàn cơ năng :

2

mv 2 =

2

V)Mm



+ mghmax =

) M m ( 2

v

m 2 2

 + mghmaxhmax =

) M m

M

Bài 19:

Một vật M (coi là chất điểm) lăn từ chõn mặt phẳng

nghiờng lờn trờn với vận tốc đầu v 0 - (hỡnh 1) Bỏ qua mọi ma

sỏt

a/ Tớnh độ cao cực đại mà vật đạt được theo g, v 0

b/ Biết AB = 30cm, D là điểm cao nhất mà M lờn được nếu

khụng cú va chạm và C là chớnh giữa của BD Nhưng khi M

tới C nú va chạm xuyờn tõm đàn hồi với M 1 cựng khối lượng

với M Sau đú M đi xuống qua B trước M 1 2 giõy và qua A

trước M 1 1,9 giõy Tớnh v 0 và gia tốc của M.(ngay trước khi va

chạm M 1 đứng yờn và hoàn toàn tự do).

2 2

2 0

2

b/ Do va chạm xuyên tâm đàn hồi, động năng và động lượng của hệ được bảo toàn 2 vật cùng khối lượng nên ngay sau va chạm M dừng lại và đi xuống, M1 thu được vận tốc của M và đi lên điểm cao nhất là D

Do bỏ qua ma sát nên 2 vật cùng chuyển động với gia tốc a = g.sin

Thời gian M đi xuống qua B và A là:

a

AB BC t

a

BC

1 1





Thời gian M1 đi lên từ C =>m D là: 1

, 2 2

t a

BC a

t a

BC t

a

DB t

2 1

, 2

2 ) 2

( 2 2 9m/s

AB BC t

a) Vận tốc của bán cầu sau va chạm

b) Xung của lực do sàn tác dụng lên bán cầu trong thời gian va chạm

a) Gọi u1, V lần lượt là vận tốc của vật nhỏ và bán cầu ngay sau va chạm Véc tơ u1 hợp với phương ngang góc  Áp dụng định luật bảo toàn động lượng theo phương ngang và bảo toàn cơ năng ta có:

1 os

2 os

c

u c

b) Trong quá trình va chạm, khối bán cầu chịu tác dụng của 2 xung lực: X do vật tác dụng và X P do sàn

tác dụng Ta có: X +X P = P

 (Hình vẽ)

Một quả cầu nhỏ nằm ở chân nêm AOB

Cần truyền cho quả cầu vận tốc v0 bằng

bao nhiêu hướng dọc mặt nêm để quả cầu

rơi đúng điểm B trên nêm Bỏ qua mọi ma

sát, coi mọi va chạm tuyệt đối đàn hồi.

22

2

2 0

Sau khi rời O, quả cầu chuyển động

như vật ném xiên với vtạo với phương

Khi chạm B: y = 0  t = 2 g2v

Vận tốc quả cầu ngay trước va chạm: vy = v -  

g v

g 2 2 2

+ Theo trục OX:

ax = g const

2

2 ; v0x = 0 : quả cầu chuyển động nhanh dần đều

Quãng đường đi được dọc theo Ox sau các va chạm liên tiếp:

22

14

X

g

Tính vận tốc v của ván ngay sau khi đạn xuyên qua.Giả thiết lực cản của ván đối với đạn không phụ thuộc vào vận tốc của đạn Lập luận để chọn dấu trong nghiệm

Khi vận tốc đạn là v 0 , sau khi xuyên qua, đạn và tấm gỗ cùng chuyển động với vận tốc v , Áp dụng định luật bảo toàn động lượng và năng lượng ta có:

mv0 = (M+m)v, (1)2

1 mv0 =

2

1 (M+m)v2 + Q(2)Q: Công của lực cản biến thành nhiệt

(1), (2)  Q =

2

1mv0 -

2

1(M+m)

2 0

.v m M

mM

 (3)Khi đạn có vận tốc v1 >m v0 Gọi v2 là vận tốc đạn sau khi xuyên qua tấm gỗ

Tương tự ta có:

mv1 = Mv +mv2  v2 = v1 - v

m

M (4)Q (5) mv

2

1 Mv 2

1 mv 2

2 2

1 2 2

m M

M v

m

M v v m

M v

vmv.mM

mv2

2 0

2 1

) v v v ( m M

m v m

M

v v M mv

0

2 1 1

2 0

2 1 1

) v v v ( m M

m

0

2 1

1) Vận tốc của hai vật khi m dừng lại trên M?

2) Xác định quãng đường m trượt được trên M?

1) + Ngoại lực tác dụng lên hệ 2vật chỉ có phương thẳng đứng =>m Động lượng hệ bảo toàn theo phương ngang

+ Khi m dừng lại trên M thì 2 vật chuyển động với cùng vận tốc v

+ Áp dụng ĐLBTĐL cho thời điểm ban đầu và khi m dừng lại trên M:

+ s1, s2 là quãng đường m và M chuyển

động được tới khi m dừng lại trên M, quãng

đường m trượt được trên M là s = s1- s2

Bài 24: Cho một vật nhỏ khối lượng m = 4 g, tích điện q = + 5.10 -4 C và một bán trụ nhẵn, bán kính

R = 60 cm đặt cố định trên mặt phẳng ngang (Hình 1) Cho vật

trượt không vận tốc đầu từ đỉnh bán trụ Gọi v là vận tốc của

vật khi bắt đầu rời bán trụ Bỏ qua mọi lực cản và từ trường

Trái Đất Lấy g = 10 m/s 2

a Tính v.

b Nếu đặt hệ vật và bán trụ trong vùng không gian có điện

trường đều, vectơ cường độ điện trường hướng thẳng đứng từ

dưới lên, độ lớn E = 60 V/m thì v bằng bao nhiêu?

c Nếu đặt hệ vật và bán trụ trong vùng không gian có từ

trường đều, vectơ cảm ứng từ song song với trục của bán trụ

thì khi trượt về phía bên phải v = v1, khi trượt về phía bên trái

2

v = v Xác định vectơ cảm ứng từ B Biết rằng v 1 – v 2 = 3 cm/s

Tại vị trí vật rời bán trụ bán kính nối O với vật hợp với phương thẳng đứng góc α

Gọi v là vận tốc của vật tại vị trí rời bán trụ

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ½mv2 + mgRcosα = mgR

Khi chuyển động trong từ trường vật chịu thêm tác dụng của lực Lo-ren-xơ, lực

này vuông góc với quỹ đạo chuyển động của vật nên nó không sinh công Vận

tốc của vật ở vị trí góc lệch α là v2 = 2gR (1 – cosα )

Ta thấy v1 >m v2 nên lực hướng tâm khi chuyển động về bên phải lớn hơn khi

chuyển động về bên trái Từ đó suy ra lực Lo-ren-xơ hướng vào tâm O khi

chuyển động sang phải và hước ra xa khi vật chuyển động về bên trái Như vậy

vectơ cảm ứng từ B hướng từ trong ra

s1

N

' msF



m

P

msF



mM

s2

m

OR

Hình 1