Hệ thống bonus malus trong bảo hiểm phi nhân thọ (LV01880)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN VĂN THƯA HỆ THỐNG BONUS-MALUS TRONG BẢO HIỂM PHI NHÂN THỌ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN VĂN THƯA HỆ THỐNG BONUS-MALUS TRONG BẢO HIỂM PHI NHÂN THỌ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS Hà Bình Minh HÀ NỘI, 2016 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Hà Bình Minh, thầy định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán ứng dụng, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 07 năm 2016 Tác giả Nguyễn Văn Thưa Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn "Hệ thống Bonus-Malus bảo hiểm phi nhân thọ" hoàn thành hướng dẫn Tiến sĩ Hà Bình Minh Các số liệu, kết luận nghiên cứu trình bày luận văn trung thực, kết trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 07 năm 2016 Tác giả Nguyễn Văn Thưa Mục lục Mở đầu Chương Mô hình xích Markov 1.1 Khái niệm ví dụ xích Markov 1.2 Định nghĩa tính chất xích Markov 1.3 Trạng thái dừng 1.4 Cách tính trạng thái dừng 10 Chương Giới thiệu hệ thống tính phí bảo hiểm ôtô 15 2.1 Giới thiệu lịch sử đời hệ thống Bonus-Malus Bỉ 15 2.2 Hệ thống Bonus-Malus số nước giới 20 2.3 Hệ thống Bonus-Malus bảo hiểm ô tô Việt Nam 21 2.3.1 Công ty Bảo Việt 21 2.3.2 Công ty bảo hiểm toàn cầu GIC 22 Chương Xây dựng mô hình xích Markov cho hệ thống Bonus-Malus 24 3.1 Các ví dụ thực tế 24 3.2 Giả thiết mô hình 25 3.3 Ma trận chuyển hệ thống Bonus-Malus 26 3.4 Tính trạng thái dừng mức phí bảo hiểm trung bình 28 3.4.1 Tính trạng thái dừng 28 3.4.2 Tính mức phí bảo hiểm trung bình 32 3.5 Tính toán phần mềm Matlab 33 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 38 Mở đầu Lý chọn đề tài Hệ thống Bonus-Malus (Bonus-Malus systems) hệ thống tính phí bảo hiểm ô tô dùng phổ biến giới Tại Việt Nam, hệ thống công ty Bảo Hiểm Bảo Việt sử dụng bảng tính phí bảo hiểm ô tô năm gần Đứng từ góc độ công ty bảo hiểm, việc hiểu rõ hệ thống tính phí cần thiết, công ty cần phải hiểu cách tính phí bảo hiểm cho nhóm khách hàng khác nhau, cho đạt được mức phí trung bình cao nhất, với lợi nhuận cao nhất, Về phía góc độ người mua bảo hiểm, việc hiểu rõ hệ thống giúp người mua có chiến lược mua bảo hiểm cho có lợi Một mô hình toán học cho phép mô hình hóa tính toán hệ thống Bonus-Malus sử dụng rộng rãi hiệu mô hình xích Markov Do đó, việc khảo sát hệ thống tính phí bảo hiểm này, tìm hiểu kiến thức toán học đằng sau việc hoàn toàn có ý nghĩa để giúp cho việc tính toán trì hệ thống hiệu Với mục đích tìm hiểu mô hình xích Markov áp dụng mô hình vào hệ thống thu phí bảo hiểm ôtô dựa hệ thống Bonus-Malus định hướng TS Hà Bình Minh, chọn đề tài "Hệ thống Bonus-Malus bảo hiểm phi nhân thọ" làm luận văn tốt nghiệp khóa học thạc sĩ Cấu trúc luận văn Cấu trúc luận văn chia làm 03 chương: Chương trình bày khái niệm, tính chất, ví dụ mô hình xích Markov, khái niệm ma trận chuyển, ma trận quy, trạng thái dừng cách tìm trạng thái dừng ma trận quy xích Markov Chương trình bày lịch sử đời hệ thống Bonus-Malus Bỉ số nước khác giới Chương khảo sát hai công ty Việt Nam áp dụng hệ thống Bonus-Malus bảo hiểm ô tô Chương trình bày số ví dụ thực tế hệ thống Bonus-Malus với số liệu Đức, Brazil áp dụng vào hệ thống thực tế công ty Bảo Việt Chương trình bày cách tìm ma trận chuyển, trạng thái dừng ví dụ áp dụng Phần cuối chương trình bày việc tính toán mô hệ thống Bonus-Malus phần mềm Matlab, với số liệu công ty Bảo Việt Mục đích nghiên cứu Sử dụng mô hình xích Markov để mô tả hệ thống Bonus-Malus bảo hiểm ô tô Nhiệm vụ nghiên cứu Sử dụng mô hình xích Markov để mô tả hệ thống Bonus-Malus bảo hiểm ô tô Đối tượng phạm vi nghiên cứu Biểu phí bảo hiểm ô tô công ty bảo hiểm phi nhân thọ Phương pháp nghiên cứu Sử dụng mô hình xích Markov, ngôn ngữ lập trình MATLAB Đóng góp luận văn Luận văn trình bày chi tiết việc sử dụng xích Markov để mô hình hóa hệ thống Bonus-Malus bảo hiểm ô tô số quốc gia giới Việt Nam Luận văn tài liệu tham khảo tốt hệ thống Bonus-Malus bảo hiểm ô tô Chương Mô hình xích Markov Trong chương này, trình bày sơ lược mô hình xích Markov, cụ thể ba mục đầu chương trình bày khái niệm, ví dụ, tính chất xích Markov Các mục trình bày trạng thái dừng, tính chất cách tìm trạng thái dừng Nội dung chương tham khảo chủ yếu chương tài liệu tham khảo [3] 1.1 Khái niệm ví dụ xích Markov Chẳng hạn, ta xét ví dụ đơn giản sau chương trình cai nghiện thuốc (Quit Smoking program) hãng Sedco Inc thử nghiệm phát triển Ví dụ 1.1.1 (Chương trình cai nghiện thuốc lá) Sau thời gian thử nghiệm chương trình cai nghiện thuốc hãng Sedco Inc phát triển, có 75% số người tham gia chương trình cai thuốc 25% người lại tiếp tục hút thuốc Tuy nhiên, hãng Sedco nhận thành công chương trình không phụ thuộc vào số này, mà phụ thuộc vào tỷ lệ liệu người bỏ thuốc có tiếp tục hút thuốc trở lại hay không Vì hãng Sedco tiếp tục theo dõi người tham dự chương trình cai thuốc Họ nhận số người tiếp tục hút thuốc, sau năm có 90% số người tiếp tục hút thuốc 10% số bỏ thuốc Trong số người cai thuốc, sau năm có 80% số người không hút thuốc 20% số người hút thuốc trở lại Hãng Sedco muốn biết tỷ lệ số người cai thuốc sau năm, năm năm, mười năm bao nhiêu? Trước tiên khái niệm trạng thái định nghĩa sau Định nghĩa 1.1.1 Trạng thái tình (hoặc kết quả, vị trí) xuất trình thời điểm cho trước tùy ý Trong ví dụ trên, người tham gia chương trình trạng thái hút thuốc trạng thái không hút thuốc Ta dùng ma trận sau để biểu diễn chuyển đổi tỉ lệ người trạng thái hút thuốc trạng thái không hút thuốc sau năm Đặt S trạng thái hút thuốc N trạng thái không hút thuốc, S P := S N N 0.90 0.10 0.20 0.80 Ma trận P gọi ma trận chuyển Ý nghĩa phần tử ma trận chuyển P mô tả sau: • 0.90 xác suất mà người chuyển từ trạng thái S (hút thuốc) sang trạng thái S (hút thuốc), nghĩa người hút thuốc tiếp tục hút thuốc; • 0.10 xác suất mà người chuyển từ trạng thái S (hút thuốc) sang trạng thái N (không hút thuốc), nghĩa người hút thuốc bỏ thuốc; • 0.20 xác suất mà người chuyển từ trạng thái N (không hút thuốc) sang trạng thái S (hút thuốc), nghĩa người không hút thuốc trở thành người hút thuốc; • 0.80 xác suất mà người chuyển từ trạng thái N (không hút thuốc) sang trạng thái N (không hút thuốc), nghĩa người không hút thuốc tiếp tục không hút thuốc Mỗi dòng ma trận P xác suất chuyển từ trạng thái tới tất trạng thái có thể, tổng phần tử dòng Chính xác hơn, ta có định nghĩa ma trận chuyển Định nghĩa 1.1.2 (Ma trận chuyển) Một ma trận chuyển ma trận vuông mà phần tử nằm đoạn [0, 1] tổng phần tử dòng Trong Ví dụ 1.1.1 trên, ta biểu diễn vector hàng [0.25 0.75] mô tả kết chương trình cai nghiện thuốc lá, tức có 25% số người trạng thái hút thuốc (S) 75% số người trạng thái không hút thuốc (N) Làm để biết tỷ lệ (hút thuốc/ không hút thuốc) biến đổi sau năm Ta thực phép nhân vector hàng [0.25 0.75] với ma trận chuyển P : S N 0.25 0.75 0.90 0.10 0.20 0.80 thu kết S N 0.625 0.375 Kết vector hàng [0.375 0.625], mô tả rằng: sau năm tỷ lệ người hút thuốc từ 25% tăng lên 37.5% tỷ lệ người không hút thuốc giảm tử 75% xuống 62.5% Để dễ hiểu, thay thực phép nhân ma trận trên, ta dùng sơ đồ để minh họa Ở bước thứ có hai trạng thái S N, tương ứng với tỷ lệ 25% 75% Ở bước thứ hai có chuyển đổi trạng thái với Tại bước cuối tỷ lệ ứng với trạng thái Ta thực phép cộng để xác định tỷ lệ người hút thuốc (S) sau: 0.25(0.90) + 0.75(0.20) = 0.225 + 0.150 = 0.375, b) Hệ thống Bonus-Malus Brazil Tiếp theo ta xét ví dụ hệ thống Bonus-Malus Brazil có quy tắc dịch chuyển cho bảng sau Lớp Mức phí 100 90 85 80 75 70 65 1 Lớp 7 sau k 7 vụ bồi 7 7 thường 7 7 5 ≥6 7 7 7 7 7 7 Bảng 3.2: Hệ thống Bonus-Malus Brazil Trong hệ thống này, người mua bảo hiểm chia thành lớp với mức phí tương ứng 3.2 Giả thiết mô hình Ta giả thiết số vụ bồi thường tuân theo mô hình Poisson sau: Mô hình Poisson: Giả sử N (t, t + ∆t) số vụ bồi thường khoảng thời gian (t, t + ∆t), N (t, t + ∆t) thỏa mãn giả thiết sau: P [N (t, t + ∆t) = 1] = λ∆t + o(∆t) λ > 0; P [N (t, t + ∆t) > 1] = o(∆t), o(∆t) vô bé o(∆t) ∆t → 0, tức lim = 0; ∆t→0 ∆t Số vụ tai nạn xảy khoảng thời gian rời độc lập với Tức là, (τ, τ + ∆τ ) (τ , τ + ∆τ ) hai khoảng thời gian rời P [N (τ, τ + ∆τ ) = k N (τ , τ + ∆τ ) = k ] = P [N (τ, τ + ∆τ ) = k].P [N (τ , τ + ∆τ ) = k ] 25 Ta thấy rằng, giả thiết thứ rằng, xác suất xảy tai nạn khoảng thời gian (t, t + ∆t), tỉ lệ thuận với độ dài khoảng thời gian Đặc biệt, xác suất không phụ thuộc vào thời điểm bắt đầu khoảng thời gian Giả thiết thứ hai nói xác suất xảy hai vụ tai nạn khoảng thời gian không đáng kể Từ ba giả thiết ta có, với phân phối {pk , k = 0, 1, 2, } số vụ bồi thường năm cho trước thực phân phối Poisson với tham số λ: e−λ λk k = 0, 1, 2, pk = k! 3.3 Ma trận chuyển hệ thống Bonus-Malus Giả thiết số vụ bồi thường tuân theo mô hình Poisson nói mục 3.2 với tham số λ Ta xét ví dụ sau Ví dụ 3.3.1 Tìm xác suất để người hệ thống Bonus-Malus Đức lớp chuyển sang lớp khác năm tiếp theo? Dựa vào bảng 3.1, để người lớp giữ nguyên lớp 1, tức vụ yêu cầu bồi thường xảy năm λ = Kí hiệu P1,1 xác suất "để người lớp giữ nguyên lớp năm tiếp theo" Do giả thiết số vụ bồi thường tuân theo mô hình Poisson nên: e−λ λ0 P1,1 (λ) = = e−λ 0! Ta tính xác suất để người từ lớp chuyển sang lớp năm Ta kí hiệu xác suất P1,5 (λ) Dựa vào bảng 3.1 ta thấy người từ lớp chuyển sang lớp 1, 7, 11, 13, 18 nên P1,5 (λ) = Tương tự ta tính xác suất để người chuyển từ lớp chuyển sang lớp 26 7, 11, 13 năm e−λ λ1 1! −λ e λ P1,11 (λ) = 2! −λ e λ P1,13 (λ) = 3! P1,7 (λ) = Để tính xác suất người từ lớp chuyển sang lớp 18 P1,18 (λ) = − P1,7 (λ) − P1,11 (λ) − P1,13 (λ) Như vậy, dựa vào ví dụ ta tính xác suất người từ lớp sang lớp lại a) Ma trận chuyển hệ thống Bonus-Malus Đức Với người từ lớp 2, 3, 4, 5, chuyển sang lớp lại ta làm tương tự ta có bảng ma trận chuyển P sau: pij 10 11 12 13 14 15 16 17 18 p0 p0 p1 p1 p0 10 p1 p0 p1 p0 11 p2 p2 p2 p2 p1 p0 12 p2 p1 p1 p1 p1 p0 p0 p0 p0 p1 p0 p0 13 p3 p3 p3 p3 p3 p2 p2 p2 p2 p2 p1 p1 p0 p0 p0 p0 p0 p0 14 p3 p3 p3 p3 p3 p2 p2 p1 15 16 p3 p3 p2 p1 p1 Bảng 3.3: Ma trận chuyển hệ thống Bonus-Malus Đức 27 17 p3 p2 p2 p1 18 q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 q8 q9 q10 q11 q12 q13 q14 q15 q16 q17 q18 e−λ λ0 e−λ λ1 = e−λ ; p1 = 0! 1! −λ −λ e λ e λ p2 = ; p3 = 2! 3! qi = − p0 − p1 − p2 − p3 , i = 1, 13 p0 = qi = − p0 − p1 − p i = 14, 15 q16 = − p0 − p1 q17 = − p0 q18 = − p0 b) Ma trận chuyển hệ thống Bonus-Malus Brazil Tương tự ví dụ trên, ta thu ma trận chuyển sau:   p p1 p2 p3 p4 p5 − pi   p 0 p p p p − p i     p0 p1 p2 p3 − pi      P =  0 p0 p p2 − pi     0 p0 p1 − pi       0 0 p 0 − p0  0 0 p0 − p0 (3.3.1) 3.4 Tính trạng thái dừng mức phí bảo hiểm trung bình 3.4.1 Tính trạng thái dừng a) Tính trạng thái dừng hệ thống Bonus-Malus Đức = 0.2 Khi đó, ta tính xác suất ma trận chuyển bảng 3.3 Để tìm trạng Giả sử trung bình năm có vụ bồi thường, λ = thái dừng, ký hiệu vector a = (a1 , a2 , , a18 ), thông thường ta giải phương trình aP = a Ngoài cách giải ta tìm theo công thức (1.4.1) 28 sau: a = 1t (I − P + Q)−1 1t = (1, 1, , 1)t , I ma trận đơn vị   ···   Q =   ··· Theo công thức ta tính vector a = (a1 , a2 , , a18 ) với phần tử cho sau a1 = 0.158508034 a7 = 0.095387374 a13 = 0.044353617 a2 = 0.035093322 a8 = 0.077785336 a14 = 0.010295194 a3 = 0.042862285 a9 = 0.086433972 a15 = a4 = 0.052351319 a10 = 0.095099634 a16 = 0.002583451 a5 = 0.063941252 a11 = 0.10336591 a17 = 0.000640689 a6 = 0.078097227 a12 = 0.052933533 a18 = 0.00026655 Nhận xét: Như sau thời gian dài, hệ thống Bonus-Malus Đức đạt đến trạng thái dừng với: • a1 = 15.851% số người thuộc lớp 1; • a2 = 3.509% số người thuộc lớp 2; • a3 = 4.286% số người thuộc lớp 3; • a4 = 5.235% số người thuộc lớp 4; • a5 = 6.394% số người thuộc lớp 5; • a6 = 7.810% số người thuộc lớp 6; • a7 = 9.539% số người thuộc lớp 7; 29 • a8 = 7.779% số người thuộc lớp 8; • a9 = 8.643% số người thuộc lớp 9; • a10 = 9.510% số người thuộc lớp 10; • a11 = 10.37% số người thuộc lớp 11; • a12 = 5.293% số người thuộc lớp 12; • a13 = 4.435% số người thuộc lớp 13; • a14 = 10.295% số người thuộc lớp 14; • a15 = 0% số người thuộc lớp 15; • a16 = 0.258% số người thuộc lớp 16; • a17 = 0.064% số người thuộc lớp 17; • a18 = 0.027% số người thuộc lớp 18; • Một điều đáng ý người lớp 15 có 0% số người Đây “lỗi” người thiết kế hệ thống Bonus-Malus b) Tính trạng thái dừng hệ thống Bonus-Malus Brazil = 10 0.1 Khi đó, dựa vào số λ = 0.1 ta tính xác suất ma trận Giả sử Brazil trung bình 10 năm có vụ bồi thường, λ = chuyển P (3.3.1) sau  p0 p1  p 0   p0   P = 0  0   0 0  pi  pi   p p2 p3 − pi    p1 p2 − pi  ,  p 0 p1 − pi    p0 − p  0 p0 − p p2 p p4 p5 − p1 p p3 p4 − p0 0 30 p0 =0.9048340761 p1 = 0.094837418 p2 = 0.004524148709 p3 = 0.0001508062363 p4 = 0.0000037701559808 p5 = 0.000000075403118 q1 = pi = 0.0000033815956 q2 = i=0 q3 = pi = 0.000003456998719176 i=0 pi = 0.000003456998719176 q4 = i=0 q5 = pi = 0.0001580333910 i=0 = 0.0046821821000 q6 = − p0 = 0.0951659239000 i=0 q7 = − p0 = 0.0951659239000 Kiểm tra tính quy ma trận P : Tính toán ma trận P n ma trận P với n = 30 ta thu tất phần tử P n dương, P ma trận quy Tìm trạng thái dừng: Giả sử vector a = (a1 , a2 , , a7 ) trạng thái dừng hệ thống Bonus-Malus Brazil Ta giải hệ phương trình aP = a, hay a7 = a7 (1 − p0 ) + a6 (1 − p0 ) + a5 (1 − p0 − p1 ) + a4 (1 − p0 − p1 − p2 ) + a3 (1 − p0 − p1 − p2 − p3 ) + a2 (1 − p0 − p1 − p2 − p3 − p4 ) + a1 (1 − p0 − p1 − p2 − p3 − p4 − p5 ) a6 = a7 p + a6 p + a3 p + a2 p + a1 p a5 = a6 p + a4 p + a3 p + a2 p + a1 p a4 = a5 p + a3 p + a2 p + a1 p a3 = a4 p + a2 p + a1 p a2 = a3 p + a1 p a1 = a2 p + a1 p = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 Để giải hệ ta thu trạng thái dừng a1 = 0.88948, a2 = 0.09355, a3 = 0.01444, a4 = 0.00215, a5 = 0.00032, a6 = 0.00005, a7 = 0.00001 31 Trạng thái dừng rằng, sau thời gian dài (sau 30 bước), với λ = 0.1, ta có: • a1 = 88.948% số người thuộc lớp 1; • a2 = 9.355% số người thuộc lớp 2; • a3 = 1.444% số người thuộc lớp 3; • a4 = 0.215% số người thuộc lớp 4; • a5 = 0.032% số người thuộc lớp 5; • a6 = 0.005% số người thuộc lớp 6; • a7 = 0.001% số người thuộc lớp 7; 3.4.2 Tính mức phí bảo hiểm trung bình Định nghĩa 3.4.1 Mức phí trung bình γ mức phí tính trung bình mà khách hàng phải trả năm tính γ = abt a vector tỷ lệ số khách hàng lớp, b = (b1 , , bn ) vector mức phí Chẳng hạn, hệ thống Bonus-Malus Đức có mức phí trung bình γ = a.bt = 56.13(%) mức phí chuẩn Hệ thống Bonus-Malus Brazil có mức phí trung bình γ =(0.88948, 0.09355, 0.01444, 0.00215, 0.00032, 0.00005, 0.00001) × (65, 70, 75, 80, 85, 90, 100) = 65.65(%) mức phí chuẩn 32 3.5 Tính toán phần mềm Matlab Trong mục xét ví dụ hệ thống Bonus-Malus công ty Bảo Việt với quy định thưởng phạt cho bảng sau Lớp Mức phí Lớp sau k vụ bồi thường ≥1 100 1 90 2 80 3 70 Bảng 3.4: Hệ thống Bonus-Malus Công ty Bảo Việt a) Tính mức phí trung bình công ty Bảo Việt Giả sử Bảo Việt, trung bình hai năm khách hàng có vụ bồi thường, λ = = 0.5 Tương tự phần trước, ta tính ma trận chuyển hệ thống Bonus-Malus Bảo Việt sau:   0.3934693403 0.6065306597 0   0.3934693403  0.6065306597  P = 0.3934693403 0 0.6065306597   0.3934693403 0 0.6065306597 (3.5.1) Tiếp theo, ta chạy đoạn code sau phần mềm tính toán Matlab để kiểm tra tính quy ma trận P : % Part clc; %clear screen clear; %clear memory filenameIn = ’BaoViet.xlsx’; % file name sheet = 1; % matrix P in sheet1 33 rangeIn = ’A1:D4’; % from A1->D4 P = xlsread(filenameIn,sheet,rangeIn); % read data & save to %%%% P % Part N=3; % Number of steps to check property of matrix P filenameOut1=’BaoViet1.xlsx’; % Output file name rangeOut=’A1’; % range from A1 warning off MATLAB:xlswrite:AddSheet % turn warning off for i=2:N Pi=B^i; sheetT=i; % No of sheet be written xlswrite(filenameOut1,Pi,sheetT,rangeOut); % write data end Ta thấy với n =  0.39346934  0.39346934 P3 =  0.39346934  0.39346934 0.238651219 0.144749281 0.238651219 0.144749281 0.238651219 0.144749281 0.238651219 0.144749281  0.22313016  0.22313016 , 0.22313016  0.22313016 Như vậy, phần tử ma trận P dương Do đó, ma trận P quy Để tìm trạng thái dừng a = (a1 , a2 , a3 , a4 ) ta áp dụng công thức (1.4.1) a = (I − P + Q)−1 = (1, 1, 1, 1)t I ma trận đơn vị cấp 4,   1 1   1 1   Q= 1 1    1 1 Ta chạy đoạn code sau phần mềm Matlab: 34 %%%% Part2: Find a and x Q=ones(size(P)); % all members of Q are 1, size of Q=size of P I=eye(size(P,1)); % identity matrix I, size=size of P One=ones(1,size(P,1)); % vector with all members are a=One/(I-P+Q); % find a b=[100;90;80;70]; x=a*b; % find x %%%%% filenameOut2=’BaoViet2.xlsx’; rangeOut=’A1’; % range from A1 xlswrite(filenameOut2,a,’a’,rangeOut); % a is saved in sheet a xlswrite(filenameOut2,x,’x’,rangeOut); % x is saved in sheet x Ta thu trạng thái dừng ma trận P a = (a1 , a2 , a3 , a4 ) với a1 = 0.39346934; a2 = 0.238651219; a3 = 0.144749281; a4 = 0.22313016 Và với vector phí b = (100, 90, 80, 70), ta tính mức phí trung bình γ = a · bt = 88% mức phí chuẩn b) Mô số lượng khách hàng theo thời gian Bảo Việt Trong năm Bảo Việt áp dụng cách tính phí theo hệ thống BonusMalus này, tất khách hàng tham gia bảo hiểm Bảo Việt lớp (tức tiền phí 100% mức phí chuẩn) Vào năm tiếp theo, tỷ lệ phần trăm khách hàng tham gia bảo hiểm lớp 0, 1, 2, mức phí trung bình năm bao nhiêu? Ta có ma trận chuyển P xác định (3.5.1) Vì năm tất số người tham gia bảo hiểm công ty Bảo Việt lớp nên trạng thái ban đầu a(0) = (1, 0, 0, 0) Khi đó, tỷ lệ phần trăm số người tham gia bảo hiểm lớp 0, 1, 2, sau 35 năm thứ a(1) = a(0) · P  =  0.3934693403 0.6065306597 0 0.6065306597 0.3934693403  (1, 0, 0, 0) ·   0.3934693403 0 0.6065306597 0.3934693403 0 0.6065306597 = (0.3934693403, 0.6065306597, 0, 0) Tương tự ta tính a(2) , a(3) , a(4) , a(5) phí trung bình người đóng năm Những thông tin thể Bảng 3.5 đây: Năm Lớp Lớp Lớp Lớp Mức phí trung bình 0 100 0.3934693403 0.6065306597 0 93.89 0.3934693403 0.238651219 0.367879441 90.26 0.3934693403 0.238651219 0.144749281 0.22313016 88.02 0.3934693403 0.238651219 0.144749281 0.22313016 88.02 0.3934693403 0.238651219 0.144749281 0.22313016 88.02 Bảng 3.5: Bảng tỷ lệ phần trăm số người tham gia bảo hiểm mức phí trung bình lớp từ năm thứ tới năm thứ công ty Bảo Việt Mức phí trung bình người đóng năm nhanh chóng hạ từ 100% năm xuống 88.02% sau năm, dừng lại Đồ thị sau diễn tả suy giảm mức phí 36 Hình 3.1: Đồ thị mức phí trung bình công ty Bảo Việt 10 năm 37 Kết luận Trong luận văn này, tác giả trình bày vấn đề sau đây: Trình bày số kiến thức mô hình xích Markov, trạng thái dừng xích Markov (ý nghĩa, phương pháp tính); Giới thiệu sơ lược hệ thống tính phí bảo hiểm ô tô dựa mô hình Bonus-Malus (thưởng-phạt); Trình bày cách thiết lập mô hình xích Markov cho hệ thống Bonus-Malus, áp dụng ví dụ cụ thể Đức, Brazil; Sử dụng phần mềm Matlab để tính toán mô hệ thống BonusMalus, áp dụng cụ thể cho công ty bảo hiểm Bảo Việt Luận văn có thiếu sót Tác giả mong góp ý thầy cô bạn đọc 38 Tài liệu tham khảo [1] J Lemaire, (1995) Bonus-Malus Systems in Automobile Insurance, Springer Science + Business Media, LLC [2] Matlab The language Of Technical Computing - Copyright 1984 - 2004 The Mathwords, Inc [3] Howard L Rolf (2008), Finite Mathematics, Seventh Edition, Thomson Books/Cole 39 [...]... và số lớp của hệ thống Bonus- Malus ở một số quốc gia Một số hệ thống Bonus- Malus ở một số nước trên thế giới: 1 Hệ thống Bonus- Malus ở Brazil: Hệ thống này được dựa trên bảy lớp với các mức phí bảo hiểm khác nhau, từ 65 đến 100 phần trăm mức phí chuẩn Phí bảo hiểm bắt đầu là 100% mức phí chuẩn 2 Hệ thống Bonus- Malus ở Đan Mạch: Hệ thống Bonus- Malus ở đây được dựa trên 10 lớp với phí bảo hiểm khác nhau,... ty bảo hiểm toàn cầu Hệ thống Bonus- Malus của công ty bảo hiểm toàn cầu GIC được cho trong Bảng 2.4 Lớp Mức phí 1 2 3 4 100 95 93 90 Lớp mới sau 0 2 3 4 4 k vụ bồi thường ≥1 1 1 1 1 Bảng 2.4: Hệ thống Bonus- Malus của Công ty bảo hiểm toàn cầu GIC 23 Chương 3 Xây dựng mô hình xích Markov cho hệ thống Bonus- Malus 3.1 Các ví dụ thực tế a) Hệ thống Bonus- Malus của Đức Trong mục này chúng tôi xét hệ thống. .. thống cũ, tuy nhiên có thay đổi trong quy định phạt: tăng thêm một lớp phạt so với hệ thống cũ Điều này làm cho hệ thống mới của Thụy Sĩ là hệ thống khó khăn nhất trên thế giới 2.3 Hệ thống Bonus- Malus trong bảo hiểm ô tô ở Việt Nam Tại Việt Nam, việc áp dụng hệ thống Bonus- Malus trong bảo hiểm ô tô vẫn chưa được luật hóa Các công ty bảo hiểm ở Việt Nam thu một mức phí bảo hiểm là như nhau, và cạnh tranh... chấn thương Phí bảo hiểm tăng mười cấp cho mỗi điểm phạt 5 Hệ thống Bonus- Malus ở Anh: Hệ thống Bonus- Malus ở Anh có 7 lớp với các mức phí khác nhau, từ 33 đến 100 phần trăm mức phí chuẩn Phí bảo hiểm bắt đầu là 75% 6 Hệ thống Bonus- Malus ở Thụy Sĩ: Ở Thụy Sĩ, vào tháng 1 năm 1990, công ty bảo hiểm Thụy Sĩ đã thay đổi hệ thống Bonus- Malus cũ của họ, bằng cách giữ tất cả các đặc tính của hệ thống cũ, tuy... như sau: a = 1t (I − P + Q)−1 trong đó 1t = (1, 1, , 1)t , và I là ma trận đơn vị và   1 ··· 1   Q =   1 ··· 1 14 (1.4.1) Chương 2 Hệ thống Bonus- Malus trong tính phí bảo hiểm ô tô 2.1 Giới thiệu về lịch sử ra đời hệ thống Bonus- Malus ở Bỉ Bonus- Malus là từ trong tiếng Latin, có nghĩa là thưởng-phạt Lịch sử ra đời của hệ thống Bonus- Malus trong tính phí bảo hiểm ô tô ở Bỉ được tóm tắt... ty khác Để có thể mua bảo hiểm ở một công ty mới, người mua bảo hiểm mới có được một giấy chứng nhận của công ty cũ của họ, ghi rõ lịch sử thưởng-phạt trong công ty cũ Cho tới nay, Bỉ là một trong những quốc gia có ít người mua bảo hiểm tìm cách gian lận trong hệ thống Bonus- Malus c) Những nhược điểm của hệ thống Bonus- Malus năm 1971 Theo các quy tắc chuyển của hệ thống Bonus- Malus, tác động tăng phí... cường so với hệ thống cũ • Hệ thống mới được chia thành nhiều lớp hơn • Sự chênh lệch giữa các lớp liên tiếp giảm so với hệ thống cũ 19 2.2 Hệ thống Bonus- Malus ở một số nước trên thế giới Bảng 2.1 tóm tắt một số hệ thống Bonus- Malus trong việc tính phí bảo hiểm tại một số nước trên thế giới STT Tên nước 1 Nhật Bản 2 Thụy Sĩ 3 Pháp 4 Bỉ 5 Iran 6 Đức 7 Italya 8 New-di-lân 9 Na uy Năm áp dụng hệ thống Số... bình trong hệ thống Những khách hàng trẻ thực ra đã phải trả một phụ phí ngầm, và phần phụ phí này tạo ra một dòng trợ cấp liên tục cho các lớp của những lái xe lớn tuổi hơn d) Hệ thống Bonus- Malus năm 1993 Tất cả các nhược điểm trên đã dẫn đến sự ra đời của một hệ thống hệ thống Bonus- Malus mới ở Bỉ, được áp dụng từ năm 1993 trở đi Để thiết kế hệ thống mới này, một liên minh các công ty bảo hiểm đã... nghiên cứu là giới thiệu một hệ thống Bonus- Malus mới cải tiến nhiều nhược điểm của hệ thống cũ Việc xây dựng các hệ thống Bonus- Malus mới rất phức tạp do nó phải chịu sự ràng buộc của nhiều quy định về mặt chính trị xã hội, về mặt thị trường, Hệ thống Bonus- Malus mới cố gắng đạt được một sự cân bằng tinh tế giữa lợi ích của tất cả các bên: giữa cái tốt và cái xấu của bảo hiểm, giữa khách hàng trẻ và... không phí bảo hiểm sẽ tăng lên nhanh chóng trong các năm tiếp theo Do vậy mà theo thời gian, đa số khách hàng tham gia hệ thống tính phí này đều có hành vi lái xe tốt b) Hệ thống Bonus- Malus năm 1971 Các công ty bảo hiểm khác ở Bỉ đã phản ứng khá chậm với sự thay đổi mới này Tuy nhiên, trong năm 1971, một Nghị định của Bỉ đã yêu cầu tất cả các công ty ở Bỉ phải tính phí bảo hiểm ô tô theo hệ thống tính