NhiÖt liÖt chµo mõng c¸c thÇy c« gi¸o ®Õn dù giê th¨m líp X Y -3 -2 -1 0 1 -2 -4 A đ I t b x y - 3 1 - 4 -2 -1 2 -3 2 3 2 -7 2 -13 3 1 -1 -1 K T đ Quan sát và nhận xét vị trí điểm Đ và điểm T của các đồ thị sau? *) Đ cao hơn so với các điểm lân cận của đồ thị. *)T thấp hơn so với các điểm lân cận của đồ thị. Tiết: Cực đại và cực tiểu Thiết kế và thực hiện : Nguyễn Thị Vân Giáo viên trường THPT Trần Hưng Đạo Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng I.Định nghĩa: (sgk) Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm x 0 (a;b). a)Khoảng ( x 0 - ;x 0 + ) kí hiệu là V( ), trong đó > 0 được gọi là một lân cận của điểm x 0 . b) Điểm x 0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu Với mọi x thuộc V( ) (a;b) của điểm x 0 , ta có f(x) < f(x 0 ) (x x 0 ) X Y đ T x 0 - x 0 + x 0 c) Điểm x 0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu Với mọi x thuộc V( ) (a;b) của điểm x 0 , ta có f(x) > f(x 0 ) (x x 0 ) Đ (x 0 ;f(x 0 ;f(x 0 )) thỏa b) gọi là gì? Khi đó x 0 gọi là gì? f(x 0 ) gọi là gì? T (x 0 ;f(x 0 ;f(x 0 )) thỏa c) gọi là gì? Khi đó x 0 gọi là gì? f(x 0 ) gọi là gì? 1Định nghĩa: (sgk) X Y đ T x 0 - x 0 + x 0 Đ (x 0 ;f(x 0 ;f(x 0 )) thỏa b) gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số y = f(x) Khi đó x 0 gọi là điểm cực đại của hàm số y = f(x) f(x 0 ) gọi là giá trị cực đại của hàm số tại x 0 T (x 0 ;f(x 0 ;f(x 0 )) thỏa c) gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = f(x) Khi đó x 0 gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) f(x 0 ) gọi là giá trị cực tiểu của hàm số tại x 0 Cực đại và cực tiểu gọi chung là cực trị. Những hàm số nào có cực trị? II.Điều kiện cần để hàm số có cực trị. Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và x 0 (a;b) Định lý Fecma (Fermat): Nếu hàm số y = f(x) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: Tồn tại f(x 0 ) Đạt cực trị tại x 0 Thì f (x 0 ) = 0 CM(sgk) X Y đ T Nhận xét các tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại các điểm cực trị?Giải thích? => ý nghĩa hình học của định lý Fermat: Tiếp tuyến tại các điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng phương với Ox Gọi tên điểm x 0 của hàm số? Hệ quả: mọi điểm cực trị của hàm số y = f(x) đều là điểm tới hạn của hàm số đó. Nhận xét sau đây đúng hay sai? Muốn tìm điểm cực trị của hàm số ta phải thưc hiện : Bước 1:Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2: Tìm điểm tới hạn của hàm số Bước 3:Kết luận các điểm tới hạn của hàm số là các điểm cực trị của hàm số Nhận xét trên là sai! M x y y = f(x) x 0 lµ ®iÓm tíi h¹n nhng M kh«ng lµ ®iÓm cùc trÞ ®å thÞ hµm sè x 0 f(x 0 ) Ghi nhí: §iÓm cùc trÞ ph¶i lµ ®iÓm tíi h¹n. §iÓm tíi h¹n cha ch¾c ®· lµ ®iÓm cùc trÞ III.§iÒu kiÖn ®ñ (dÊu hiÖu) ®Ó hµm sè cã cùc trÞ. 1)§Þnh lý 1: Gi¶ sö hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm trªn mét l©n cËn cña ®iÓm x 0 ( cã thÓ trõ t¹i x 0 ) a) NÕu f’(x) > 0 trªn kho¶ng ( x 0 - δ ; x 0 ) f’(x) < 0 trªn kho¶ng ( x 0 ; x 0 +δ ) Th× x 0 lµ ®iÓm cùc ®¹i cña hµm sè f(x) x y’ y x 0 -δ x 0 +δ x 0 • • • + - Cùc ®¹i b) NÕu f’(x) < 0 trªn kho¶ng ( x 0 - δ ; x 0 ) f’(x) > 0 trªn kho¶ng ( x 0 ; x 0 +δ ) Th× x 0 lµ ®iÓm cùc tiÓu cña hµm sè f(x) x y’ y x 0 -δ x 0 +δ x 0 • • • - + Cùc tiÓu III.§iÒu kiÖn ®ñ (dÊu hiÖu) ®Ó hµm sè cã cùc trÞ. 1)§Þnh lý 1: Gi¶ sö hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm trªn mét l©n cËn cña ®iÓm x 0 ( cã thÓ trõ t¹i x 0 ) x y’ y x 0 -δ x 0 +δ x 0 • • • + - Cùc ®¹i x y’ y x 0 -δ x 0 +δ x 0 • • • - + Cùc tiÓu Ghi nhí [...]... )Nếu f(x0) = 0 f (x0) 0 Thì x0 là một điểm cực trị của hàm số f(x) f(x0) = 0 )Nếu f(x0) = 0 f (x0) < 0 f (x0) > 0 Thì x0 là một điểm Thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x) cực tiểu của hàm số f(x) 1)Cho hàm số y = x4 -2 (1 - m ) x2 + m2 -3 Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = 1 Bài giải: *) Tập xác định:D = R Hệ *) y = 4x3 4 (1 m ) x*) y = 12x2 4 (1 m ) y(1) = 0 4m = 0 m =0 y(1) 0 8+4m 0 *Giả... lý 1: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x0 ( có thể trừ tại x0) a) Nếu f(x) > 0 trên khoảng ( x0 - ; x0) f(x) < 0 trên khoảng ( x0 ; x0+ ) f(x) > 0 trên khoảng ( x0 ; x0+ ) Thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số f(x) y + y - x0 x x 0- y x0+ Cực đại y Thì x0 là điểm cực đại của hàm số f(x) b) Nếu f(x) < 0 trên khoảng ( x0 - ; x0) x0 x x 0- - x0+ + Cực tiểu 2) Dấu hiệu 2: Định... và cực trị của hàm số y = x3 3x2 9x + 7 Bài giải : *)Tập xác định: D = R Kết luận: Hàm số đ/ biến trên các khoảng (- ;-1 ) , (3 ;+) *) y = 3x2 6x - 9 y = 0 x = -1 , x=3 x y y - + -1 0 12 3 - 0 1)Tìm f (x) 2)Tìm các điểm tới hạn 3)Xét dấu đạo hàm 4)Từ bảng dấu y => các điểm cực trị + + Hàm số n/ biến trên các khoảng (- 1;3) xCĐ= -1 => yCĐ = 12 xCĐ= 3 => yCĐ = 20 20 4Tìm : Chiều biến thiên và cực trị. .. = x2 2 (m2 m +2) x +(3 m2 +1) *) y = 2x 2 (m m +2) y(1) = 0 m=3 Hệ y(1) > 0 *Giả sử hàm số y= f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại điểm x0 )Nếu )Nếu f(x0) = 0 f(x0) = 0 f (x0) 0 Thì x0 là một điểm cực trị của hàm số f(x) )Nếu f(x0) = 0 f (x0) < 0 f (x0) > 0 Thì x0 là một điểm Thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x) cực tiểu của hàm số f(x) 2)Cho hàm số y = x3 + 3m x2 + (1 m) x +m - 5 Tìm... x = -1 ,x =1 x - -1 + (- 1;0) , (0 ;1) 0 1 xCĐ= -1 => yCĐ = -1 y + 0 - 0 + y xCĐ= -1 => yCĐ = -1 2Tìm : Chiều biến thiên và cực trị của hàm số y = x3 3x2 +3x - 1 Bài giải : *)Tập xác định: D = R =>Hàm số luôn đồng biến trên R *) y = 3x2 6x +3 y = 0 x = 1 (nghiệm kép) x y y + 1 0 1)Tìm f (x) 2)Tìm các điểm tới hạn 3)Xét dấu đạo hàm 4)Từ bảng dấu y => các điểm cực trị + =>Hàm sô không có cực trị 3Tìm... ( - ; -2 ) ( 3 ; +) Bài tập tổng hợp Có cực trị hay không? Tìm m để hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại Có bao Bài giải: Tập xác định:D = R => y = 4x3 +12mx2 +6nhiêu? x (m+1) Bài 2: Cho hàm số y = x4 + 4mx3 +3 (m+1) x2 +1 => pt y = 0 4x3 +12mx2 +6 (m+1) x= 0 2x = 0 2x[2x2 + 6mx + 3 (m+1) ]= 0 [2x2 + 6mx + 3 (m+1) ] = 0 Đặt g(x) =[2x2 + 6mx + 3 (m+1) ] = 0, = 3( 3m2 2m 2 ) 1+ 7 1- 7 m -. .. 4 y = x - 2x2 +6 4 Bài giải : *)Tập xác định: D = R y= x3 - 4x Kết luận: Hàm số đ/ biến trên các khoảng (- 1;0) , (1 ;+) y = 0 x = -2 ,x = 0 , x =2 x - y - y -2 0 0 + 0 6 1)Tìm f (x) 2)Tìm các điểm tới hạn 3)Xét dấu đạo hàm 4)Từ bảng dấu y => các điểm cực trị 2 0 + + Hàm số n/ biến trên các khoảng (- ;-1 ) ,(0 ;1) xCT= 2 => yCT= 2 xCĐ= 0 => yCĐ = 6 2 III.Điều kiện đủ (dấu hiệu) để hàm số có cực trị 1)Định... 8+4m 0 *Giả sử hàm số y= f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại điểm x0 )Nếu f(x0) = 0 f (x0) 0 Thì x0 là một điểm cực trị của hàm số f(x) )Nếu f(x0) = 0 )Nếu f(x0) = 0 f (x0) < 0 f (x0) > 0 Thì x0 là một điểm Thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x) cực tiểu của hàm số f(x) 2)Cho hàm số y = 1 x3 + (m2 m + 2) x2 + (3 m2 +1)x +m - 5 3 Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = - 2 Bài giải: *) Tập xác định:D...1)Tìm f (x) 2)Tìm các điểm tới hạn 3)Xét dấu đạo hàm 4)Từ bảng dấu y => các điểm cực trị x0 x x 0- y + - x0 x x 0- y Cực đại y y x0+ - x0+ + Cực tiểu 1)Tìm f (x) 2)Tìm các điểm tới hạn 3)Xét dấu đạo hàm 4)Từ bảng dấu y => các điểm cực trị 1Tìm : Chiều biến thiên và cực trị của hàm số 3 y = 3x + x +5 Bài giải : Kết luận: *)Tập xác định: D = R \{0} Hàm số đ/ biến trên các khoảng 3 *) y = 3 (- ;0) , (0 ;+)... y= f(x) có Đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại điểm x0 => Thì x0 là một điểm cực trị của hàm số f(x) *) Nếu Đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại điểm x0 f(x0) = 0 f (x0) < 0 => Thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x) *) Nếu Đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại điểm x0 f(x0) = 0 f (x0) > 0 => Thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x) *Giả sử hàm số y= f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại điểm x0 )Nếu )Nếu f(x0) . ®Õn dù giê th¨m líp X Y -3 -2 -1 0 1 -2 -4 A đ I t b x y - 3 1 - 4 -2 -1 2 -3 2 3 2 -7 2 -1 3 3 1 -1 -1 K T đ Quan sát và nhận xét. y y - + 0-1 1 0 0 + -- + Kết luận: Hàm số đ/ biến trên các khoảng (- ;0) , (0 ;+) Hàm số n/ biến trên các khoảng (- 1;0) , (0 ;1) x CĐ = -1 => y CĐ = -1