bài toán cực trị toán lớp 12

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tham gia nhóm : https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/ Hàm số CỰC TRỊ HÀM SỐ [PHẦN ] §1 Các phương trị (Tài liệu bổpháp trợ kiếntìm thứccực ) CTV: Lê Đức Thọ A-Tóm tắt lý thuyết Khái niệm cực trị hàm số Cho f : D  x0  D a) x0 gọi điểm cực đại f tồn khoảng  a; b  cho   x0   a; b   D    f  x   f  x0  x   a; b  \  x0  b) x0 gọi điểm cực tiểu f tồn khoảng  a; b  cho   x0   a; b   D  f x  f x  x  a ; b \ x          0  c) Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị Bảng sau tóm tắt khái niệm sử dụng phần này: x0 f  x0   x0 ; f  x0   Điểm cực đại f Giá trị cực đại (cực đại) f Điểm cực đại đồ thị hàm số f Điểm cực tiểu f Giá trị cực tiểu (cực tiểu) f Điểm cực tiểu đồ thị hàm số f Điểm cực trị f Cực trị f Điểm cực trị đồ thị hàm số f Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Giả sử hàm f có đạo hàm x0 Khi đó: f đạt cực trị x0 f '  x0   Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị a) Quy tắc  Nếu f '  x  đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 f đạt cực đại x0 ;  Nếu f '  x  đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 f đạt cực tiểu x0 b) Quy tắc 2: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tham gia nhóm : https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/   f '  x0    f đạt cực đại x0 ;   f "  x0     f '  x0    f đạt cực tiểu x0   f "  x0   Hàm số VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ [SGKNC] Tìm cực trị hàm số y  x  x  3x  3 , y '  x  x  , y '   x  1 x  Giải Hàm số có TXĐ  Bảng biến thiên: x -1 -∞ + f '(x) Kết luận: _ +∞ + +∞ Hàm số đạt cực đại x  1 , giá trị cực đại tương ứng y  1  ; hàm số đạt cực tiểu x  , giá trị cực tiểu tương ứng 23 y  3   3 f(x) -∞ 23 Ví dụ [SGKNC] Sử dụng quy tắc tìm cực trị hàm số y  x  x   Giải Hàm số có TXĐ  Ta có y  x2  x  2  y '   x2  x  x ( x  )  x  2  x  x x Ta thấy với x  , dấu y ' dấu tam thức bậc hai x  x Nên ta có bảng biến thiên hàm số sau: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tham gia nhóm : https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/ x -1 -∞ + y' 0 _ +∞ Hàm số Kết luận: hàm số đạt cực đại x  1 , giá trị cực đại tương ứng y  1  ; hàm số đạt cực tiểu x  , giá trị cực tiểu tương ứng + +∞ y  0  y -∞ Ví dụ [SGKNC] Sử dụng quy tắc tìm cực trị hàm số y  x  x  3x  3 Giải TXĐ   y '  x  x  , y '   x  1 x   y "  2x  , +) y "  1  4   hàm số đạt cực đại x  1 , giá trị cực đại tương ứng y  1  ; +) y "  3    hàm số đạt cực tiểu x  , giá trị cực tiểu tương ứng y  3   23 Ví dụ [SGKNC] Sử dụng quy tắc tìm cực trị hàm số y  x  sin x  TXĐ   y '   cos x , y '   cos 2x   2x     2k  x     k ( k  )  y "  4sin x , Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tham gia nhóm : https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/ Hàm số     +) y   k   4sin   2k     hàm số đạt cực tiểu điểm 6  3  x    k , giá trị cực tiểu tương ứng y   k   6  k  2 6         +) y    k   4sin    2k   2   hàm số đạt cực đại điểm     x      k , giá trị cực tiểu tương ứng y    k     k   6    Ví dụ [SGK] Tìm a , b , c cho hàm số y  ax3  bx  cx  d đạt cực tiểu điểm x  , y    đạt cực đại x  , f 1  Giải Ta có y '  3ax  2bx  c Từ giả thiết suy  y '0  c   d   y  0       a  b  c  y '      a  b  c  d  y 1    a  2 b    c   d  Khi y  2 x3  3x , y '  6 x  x , y "  12 x  Ta có y "      hàm số đạt cực tiểu x  , y " 1  6   hàm số đạt cực đại x  (thỏa mãn) Vậy a  2 , b  , c  0, d  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tham gia nhóm : https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/ Hàm số  Dạng 2: CỰC TRỊ HÀM BẬC BA A Tóm tắt lý thuyết Xét hàm y  ax3  bx  cx  d C  ( a  ) Điều kiện có cực trị  Hàm số có cực trị  hàm số có hai cực trị   C  có cực trị   C  có hai điểm cực trị  y ' có hai nghiệm phân biệt  f cực trị   '  Bài 1: Cho hàm số: y   m   x  mx  Với giá trị m đồ thị hàm số điểm cực đại điểm cực tiểu TXĐ: D = Đạo hàm: y   m   x  m Để hàm số cực trị phương trình y  vô nghiệm có nghiệm kép      4.3m  m      m  Bài 2: Cho hàm số: y    x  mx  m  m  x  Tìm m để hàm số đạt cực tiểu điểm x 1 TXĐ: D = 2 Đạo hàm: y  x  2mx  m  m  y  x  2m Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tham gia nhóm : https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/  y 1    Hàm số đạt cực tiểu x   y 1   Hàm số m  3m      2m  m   m    m  Vậy giá trị m để hàm số đạt cực tiểu x 1 Bài 3: Cho hàm số y  x  x   m   x  m  Xác định m cho: a) Hàm số có cực trị b) Hàm số có hai cực trị dấu a) TXĐ: D = Đạo hàm: y  3x  12 x   m   Cho y   x  x  m   (*)     m     m Để hàm số có cực trị thì:     m   m  b) Chia f  x  cho f   x  , ta được: 2 1 f  x   3x  12 x   m    x    x  2mx  m  3 3  giá trị cực trị là: f  x0   4 x0  2mx0  m   x0  m    m    m   x0  1 Gọi x1 , x2 điểm cực trị Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tham gia nhóm : https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/ Hàm số Hàm số có cực trị dấu  f  x1  f  x2     m   x1  1 m   x2  1    m    x1  1 x2  1    m    x1 x2  x1  x2  1    m    x1 x2   x1  x2   1  (1) 12  4, Mặt khác: x1  x2  Do (1)   m     m    2.4  1  x1.x2  m  2 17  m      m    4m  17     m  Kết hợp với điều kiện có cực trị Bài 4: Cho hàm số: y  m  , ta được:  17 m2 mx   m  1 x   m   x  3 Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1, x2 thoả x1  x2  TXĐ: D = Đạo hàm: y  mx   m  1 x   m   Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tham gia nhóm : https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/ Hàm số m    Hàm số có cực trị    m  1  3m  m    m  m     6  m  1 2m  4m   1  2  Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình (*) y  thì:   x1  x2  11   m  1    Từ (1) (2)  x1   , x2  1   x1  x2  m m m   3 m  2  3  x1.x2  m    Thay vào (3)   1    3 m  2     m  m m  3m  5m    m   m  Vậy: m   m  (Nhận so với điều kiện) 3 x3 x   mx Bài 5: Cho hàm số: y  Tìm m để hàm số đạt cực đại cực tiểu có hoành độ lớn m TXĐ: D = Đạo hàm: y  x  x  m Hàm số đạt cực trị điểm có hoành độ Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt xm Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tham gia nhóm : https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/  y  có nghiệm       y  m   s  m 2 Vậy x1 , x2 Hàm số thỏa m  x1  x2  1  4m     m  2m     m   m     m  2  m   m  2  m     m  2 Bài Tìm m để hàm số y   m   x3  3x  mx  có cực đại, cực tiểu Giải Ta có y '   m   x  x  m y có cực đại, cực tiểu trước hết m    m  2 (1) Khi y ' tam thức bậc hai có  '  3  m2  2m  3 y có cực đại, cực tiểu  '   m  2m    3  m  1   m   3; 2    2;1 Kết hợp với (2) ta có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Bài 7: [ĐHD12] Tìm m để hàm số y  x  mx   3m  1 x  có hai điểm cực trị x , x2 3 cho x1 x2   x1  x2   Giải Ta có y '  x  2mx   3m2  1   x  mx  3m2  1 , t  x   x  mx  3m2  tam thức bậc hai có   13m  Do hàm số có hai điểm cực trị y ' có hai nghiệm phân biệt  t  x  có hai nghiệm phân biệt Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tham gia nhóm : https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/ Hàm số  13 m  13  0   13 m   13   x1  x2  m x1 , x2 nghiệm t  x  nên theo định lý Vi-ét, ta có  x x   m   Do (1) m  x1 x2   x1  x2    3m  2m    3m  2m    m   Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy m  thỏa mãn yêu cầu toán 2 Bài 8: [ĐHB07] Tìm m để hàm số y   x3  3x   m2  1 x  3m2  có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số cách gốc tọa độ O Giải Ta có y '  3x  x   m2  1  3  x  x  m2  1 , t  x   x  x  m2  tam thức bậc hai có  '  m Do đó: y có cực đại cực tiểu  y ' có hai nghiệm phân biệt  t  x  có hai nghiệm phân biệt   '   m  (1) Khi y ' có nghiệm là:  m  tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số A 1  m; 2  2m3  B 1  m; 2  2m3  Ta có     OA 1  m; 2  2m3   OA2  1  m   m3 ; 2 OB 1  m; 2  2m3   OB2  1  m   m3 2 A B cách gốc tọa độ OA  OB  OA2  OB  1  m  1  m3   1  m   1  m3  2 2 m   4m  16m    m    Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy m   thỏa mãn yêu cầu toán Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 10 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tham gia nhóm : https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/ Hàm số Bài 9: [ĐHB12] Tìm m để đồ thị hàm số y  x3  3mx  3m3 có hai điểm cực trị A B cho tam giác OAB có diện tích 48 Ta có x  y '  3x  6mx  3x  x  2m  , y '     x  2m Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị 2m   m  Khi đó, điểm cực trị đồ thị hàm số A  0;3m3  , B  2m; m3  Ta có: (1)  OA  0;3m3   OA  m3 (2)  Ta thấy A  Oy  OA  Oy  d  B, OA  d  B, Oy   m (3)  OA  d  B; OA   3m  48  3m  48  m  2 (thỏa mãn (1)) Từ (2) (3) suy SOAB  Do đó: SOAB Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 11 -