bài toán cực trị toán lớp 12

Các phương pháp tìm cực trị A-Tóm tắt lý thuyết 1.. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Giả sử hàm f có đạo hàm tại x0... b Hàm số có hai cực trị cùng dấu.

§1 Các phương pháp tìm cực trị

A-Tóm tắt lý thuyết

1 Khái niệm cực trị của hàm số

Cho f D : và x0D

a) x0 được gọi là một điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng  a b sao cho ;

 

0

;

; \

x a b D

f x f x x a b x





b) x0 được gọi là một điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng  a b sao cho ;

 

0

;

; \

x a b D

f x f x x a b x





c) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị

Bảng sau đây tóm tắt các khái niệm được sử dụng trong phần này:

0

x f x  0 x0;f x 0  Điểm cực đại của f Giá trị cực đại (cực đại) của f Điểm cực đại của đồ thị hàm số f

Điểm cực tiểu của f Giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số f

Điểm cực trị của f Cực trị của f Điểm cực trị của đồ thị hàm số f

2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Giả sử hàm f có đạo hàm tại x0 Khi đó: nếu f đạt cực trị tại x0 thì f ' x0  0

3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

a) Quy tắc 1

 Nếu f ' x đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0;

 

CỰC TRỊ HÀM SỐ [PHẦN 1 ]

(Tài liệu bổ trợ kiến thức ) CTV: Lê Đức Thọ

  

 

0 0

" 0

f x

f x









  f đạt cực đại tại x0;

 

0 0

" 0

f x

f x









  f đạt cực tiểu tại x0

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 [SGKNC] Tìm cực trị của hàm số 1 3 2 4

3

y x x  x

Giải Hàm số có TXĐ  , y'x22x3, y ' 0  x   hoặc 1 x  3

Hàm số đạt cực đại tại x   , giá trị cực đại 1 tương ứng là y  1  ; hàm số đạt cực tiểu 3 tại x  , giá trị cực tiểu tương ứng là 3

3

3

y  

Ví dụ 2 [SGKNC] Sử dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số y x x  2

Giải Hàm số có TXĐ  Ta có

2

2

y x x     2 

2



    (x  ) 0

Ta thấy với mọi x  , dấu của 0 y' chính là dấu của tam thức bậc hai x2x Nên ta có bảng biến

thiên của hàm số như sau:

+∞

-∞

f x

-23 3 3

+∞

3 -1

-∞

x

Kết luận: hàm số đạt cực đại tại x   , giá trị 1 cực đại tương ứng là y  1  ; hàm số đạt cực 1 tiểu tại x  , giá trị cực tiểu tương ứng là 0

 0 0

y 

Ví dụ 3 [SGKNC] Sử dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số 1 3 2 4

3

y x x  x

Giải TXĐ

y x  x , y ' 0  x   hoặc 1 x  3

 y"2x2,

+) y"      hàm số đạt cực đại tại 1 4 0 x   , giá trị cực đại tương ứng là 1

 1 3

y   ; +) y" 3    hàm số đạt cực tiểu tại 4 0 x  , giá trị cực tiểu tương ứng là 3

3

7

y  

Ví dụ 4 [SGKNC] Sử dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số y x sin 2x2

TXĐ 

 y' 1 2 cos 2x, y ' 0  1

2

cos 2x   2 2

3

x   k 

6

x   k

(k 

)

 y"4 sin 2x,

+∞

-∞

y

0 1

+∞

0 -1

-∞

x

+) 4sin 2 2 3 0

y k   k 

6

x  k

y k  k  

y    k   k  

6

x  k

y  k  k

Ví dụ 5 [SGK] Tìm a , b , c sao cho hàm số 3 2

yax bx cxd đạt cực tiểu tại điểm x  , 0

 0 0

y  và đạt cực đại tại x  , 1 f  1  1

Giải Ta có 2 2

' 3 2

y  ax  bx c Từ giả thiết suy ra

 

 

 

 

' 0 0

0 0 ' 1 0

1 1

y y y y





















0 0

1

c d

a b c

a b c d





 



   



    





2 3 0 0

a b c d

 



 



 



 



2 3

y  x  x , y' 6x26x, y" 12x6 Ta có y" 0    hàm số đạt cực 6 0

tiểu tại x  , 0 y" 1     hàm số đạt cực đại tại 6 0 x  (thỏa mãn) Vậy 1 a   , 2 b  , 3

0

c  , d  0

 Dạng 2: CỰC TRỊ HÀM BẬC BA

A Tóm tắt lý thuyết

yax bx  cx d C (a  ) 0

Điều kiện có cực trị

 Hàm số có cực trị  hàm số có hai cực trị   C có cực trị   C có hai điểm

cực trị  y' có hai nghiệm phân biệt

 f không có cực trị  ' 0 

Bài 1: Cho hàm số:   3

y  m  x  mx 

Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số không có điểm cực đại và điểm cực tiểu

TXĐ: D =

Để hàm số không có cực trị thì phương trình y  0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

   0  0 4.3  m m    2  0  0   m 2

Bài 2: Cho hàm số: 1 3 2  2 

3

y x mx  m  m x

Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x  1

TXĐ: D =

Đạo hàm: y   x2 2 mx  m2  m 1

y   2 x  2 m

Hàm số đạt cực tiểu tại x  1

 

 

y y







2 2 0

m

   

  



1

m

  



 



Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x  1

Bài 3: Cho hàm số 3 2  

y  x  x  m  x m  

Xác định m sao cho:

a) Hàm số có cực trị

b) Hàm số có hai cực trị cùng dấu

a) TXĐ: D =

3 12 3 2

y   x  x  m 

Cho y    0 x2 4 x    m 2 0 (*)



Để hàm số có 2 cực trị thì:         0 2 m 0 m 2

b) Chia f x cho   f x , ta được:

3 3

f x   x  x  m    x    x  mx m  

 giá trị cực trị là:

Gọi x1, x2là 2 điểm cực trị

Hàm số có 2 cực trị cùng dấu  f x    1 f x2  0

Mặt khác: 1 2

12 4 3

x  x   , x x1. 2   m 2

17 4 2

m m

  



 

 



Kết hợp với điều kiện có cực trị m  2, ta được: 17 2

Bài 4: Cho hàm số: 1 3   2   1

y mx  m x  m x

Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thoả x1 2 x2  1

TXĐ: D =

y   mx  m  x  m 

Hàm số có 2 cực trị

0

m





 





2

0

2 4 1 0

m





     

0

m

m







 

   

Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình y  0 thì:

 

1 2

1 2

2 1 1

2 1

2

x x

m

x x

m m

x x

m



 







  











Từ (1) và (2) 1

4 3

x

m

   , x2 1 2

m

  



       

2

3 m 5 m 4 0

2

3

    (Nhận so với điều kiện)

3

m    m

Bài 5: Cho hàm số:

x x

y  mx

Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu có hoành độ lớn hơn m

TXĐ: D =

y   x   x m

Hàm số đạt cực trị tại những điểm có hoành độ x  m

y

  có 2 nghiệm x1, x2 thỏa m   x1 x2

 

0 0

2

y m s m



 







 



2

1 4 0

2 0 1

2

m

m



 





   



 



1 4

1 2

m

m

 





     



  



   m 2

Vậy    m 2

Bài 6 Tìm m để hàm số   3 2

y m x  x mx có cực đại, cực tiểu

Giải Ta có   2

y  m x  x m y có cực đại, cực tiểu thì trước hết

m    m   2 (1) Khi đó y' là tam thức bậc hai có  2 

' 3 m 2m 3

     y có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi

' 0

2 3 0

Kết hợp với  1 và  2 ta có những giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là

 3; 2  2;1

m     

Bài 7: [ĐHD12] Tìm m để hàm số 2 3 2  2  2

2 3 1

y x mx  m  x có hai điểm cực trị x1, x2

sao cho x x1 22x1x2 1

Giải Ta có

y  x  mx m   x mx m  ,

t x x mx m  là tam thức bậc hai có 2

13m 4

   Do đó hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi

'

y có hai nghiệm phân biệt  t x có hai nghiệm phân biệt  

    0

2 13 13

2 13 13

m

m











 





1

x , x2 là các nghiệm của t x nên theo định lý Vi-ét, ta có   1 2 2

1 2 3 1

x x m

x x m





Do đó

1 2 2 1 2 1

x x  x x   2

3m 2m 1 1

     2

3m 2m 0

   

0 2 3

m m







 



Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ 2

3

m  thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 8: [ĐHB07] Tìm m để hàm số 3 2  2  2

y  x x  m  x m  có cực đại, cực tiểu và

các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O

Giải Ta có

y   x  x m    x  x m  ,

t x x  x   là tam thức bậc hai có  ' m2 Do đó: y có cực đại cực tiểu  y' có

hai nghiệm phân biệt  t x có hai nghiệm phân biệt   ' 0   m  0 (1)

Khi đó y' có các nghiệm là: 1 m  tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là

1 ; 2 2

A m   m và  3

1 ; 2 2

B m   m Ta có

1 ; 2 2

OA m   m   2  2

OA  m  m ;

1 ; 2 2

OB m   m  2  2  32

OB  m  m

A và B cách đều gốc tọa độ khi và chỉ khi

OA OB  2 2

OA OB   2  32  2  32

1m 4 1m  1 m 4 1m

4m 16m 0

0 1 2

m m







  



Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ 1

2

m   thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 9: [ĐHB12] Tìm m để đồ thị hàm số yx33mx23m3 có hai điểm cực trị A và B sao

cho tam giác OAB có diện tích bằng 48

Ta có

2

y  x  mx x x m , y ' 0  0

2

x

x m





 



Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi

2m   0 m  0 (1) Khi đó, các điểm cực trị của đồ thị hàm số là  3

0;3

A m ,  3

2 ;

B m m Ta có:

0;3

3

 Ta thấy AOy  OAOy  d B OA , d B Oy , 2m (3)

2

OAB

S  OA d B OA  m

Do đó: S OAB 48  4

3m 48  m   (thỏa mãn (1)) 2