Xác suất tổ hợp cực chất

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Quy tắc cộng xác suất a Biến cố hợp m Cho hai biến cố A B Biến cố "A B xảy ra", khí hiệu Ví dụ 1: Chọn ngẫu nhiên học sinh trường em.Gọi A biến cố "bạn học sinh Một cách tổng quát : xảy ra" ,kí gọi hợp k biến cố b Biến cố xung khắc oc uo hiệu Biến cố "Có biến cố c Cho k biến cố biến cố "Bạn học co giỏi Toán" B biến cố "Bạn học sinh giỏi Văn".Khi sinh giỏi Văn giỏi Toán" Cho hai biến cố A B.Hai biến cố A B gọi xung khắc biến cố xảy biến cố không xảy Hai biến cố A B hai biến cố xung khắc Ví dụ 2: Chọn ngẫu nhiên học sinh trường em.Gọi A biến cố "Bạn học sinh khối 10",B biến cố "Bạn học sinh khối 11".Khi A B hai biến cố xung khắc gb Hỏi hai biến cố A B ví dụ có phải hai biến cố xung khắc hay không? c Quy tắc cộng xác suất on Để tính xác suất biến cố hợp,ta cần đến quy tắc cộng xác suất sau : Nếu hai biến cố A B xung khắc xác suất để A B xảy (1) kh Ví dụ 3: Một hộp có chín thẻ đánh số từ đến 9.Rút ngẫu nhiên hai thẻ hai số ghi hai thẻ với nhau.Tính xác suất để kết nhận số chẵn Giải Kết nhận số chẵn hai thẻ có thẻ đánh số chẵn (gọi tắt thẻ chẵn).Gọi A biến cố "Rút thẻ chẵn thẻ lẻ",B biến cố "Cả hai thẻ rút ngắn thẻ chẵn".Khi biến cố "Tích hai số ghi thẻ số chẵn" Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Vì có thẻ chẵn thẻ lẻ Do đôi xung khắc.Khi Cho k biến cố oc uo d Biến cố đối c Quy tắc cộng xác suất cho nhiều biến cố phát biểu sau : Cho A biến cố.Khi biến cố "Không xảy A", kí hiệu A Nếu co m Do hai biến cố A B xung khắc,nên nên ta có ,được gọi biến cố đối tập hợp kết thuận lợi cho A tập hợp kết thuận lợi cho Ta nói A \ hai biến cố đối CHÚ Ý on ĐỊNH LÍ gb Hai biến cố đối hai biến cố xung khắc.Tuy nhiên hai biến cố xung khắc chưa hai biến cố đối nhau.Chẳng hạn ví dụ 2,A B hai biến cố xung khắc hai biến cố đối Cho biến cố A.Xác suất Biến cố đối Chứng minh kh Kí hiệu Do (3) A hai biến cố xung khắc nên theo công thức (1) ta có Rõ ràng biến cố S xảy nên S biến cố chắn.Vậy Suy Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Ví dụ 4: Một hộp đựng viên bi xanh,3 viên bi đỏ viên bi vàng.Chọn ngẫu nhiên viên bi a)Tính xác suất để chọn viên bi màu b)Tính xác suất để chọn viên bi khác màu Giải m a) Gọi A biến cố "Chọn viên bi xanh",B biến cố "Chọn viên bi đỏ",C biến cố "Chọn viên bi vàng" H biến cố "Chọn viên bi màu".Ta có co biến cố A,B,C đôi xung khắc Vậy theo công thức (2) ,ta có Vậy oc uo c Ta có b) Biến cố "Chọn viên bi khác màu" biến cố Quy tắc nhân xác suất a Biến cố giao Vậy theo công thức (3), ta có Nếu gb Cho hai biến cố A B.Biến cố "Cả A B xảy ra",kí hiệu AB,được gọi giao hai biến cố A B tập hơp kết thuận lợi cho A B tập hợp kết on thuận lợi cho AB Ví dụ 5: Chọn ngẫu nhiên học sinh trường em.Gọi A biến cố "Bạn học sinh giỏi toán", B biến cố "Bạn học sinh giỏi Văn".Khi AB biến cố "Bạn học sinh giỏi Văn Toán" kh Một cách tổng quát: Cho k biến cố Biến cố "Tất k biến cố ,được gọi giao k biến cố b Biến cố độc lập xảy ", kí hiệu Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không làm ảnh hưởng tới xác xuất xảy biến cố B ; độc lập với co Nhận xét.Nếu hai biến cố A,B độc lập với A m Ví dụ 6: Xét phép thử T "Gieo đồng xu liên tiếp hai lần".Gọi A biến cố "Lần gieo thứ đồng xu mặt xấp", B biến cố "Lần gieo thứ hai đồng xu xuất mặt ngửa".Khi A B hai biến cố độc lập với Một cách tổng quát : c Cho k biến cố ; k biến cố gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy biến cố lại c Quy tắc nhân xác suất oc uo Để tính xác suất biến cố giao, ta cần đến quy tắc nhân xác suất sau Nếu hai biến cố A B độc lập với (4) Nhận xét Từ quy tắc nhân xác suất ta thấy : Nếu độc lập với hai biến cố A,B không gb Cho hai biến cố A B xung khắc a)Chứng tỏ b)Nếu thì hai biến cố A B có độc lập với không? on Ví dụ 7: Một máy có hai động I II hoạt động độc lập với nhau.Xác suất để động I kh động II chạy tốt a)Cả hai động chạy tốt ; b)Cả hai động không chạy tốt; c)Có động chạy tốt Giải Hãy tính xác suất đẻ : a Gọi A biến cố "Động I chạy tốt",B biến cố "Động II chạy tốt" C biến cố "Cả hai động chạy tốt".Ta thấy A,B hai biến cố độc lập với Theo công thức (4),ta có Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác b Gọi D biến cố "Cả hai động chạy không tốt".Ta thấy Hai biến cố độc lập với nên m c Gọi K biến cố "Có động chạy tốt",khi biến cố đối k biến cố D co Do Quy tắc nhân xác suất cho nhiều biến cố phát biểu sau : độc lập với gb oc uo c Nếu biến cố a Phép thử ngẫu nhiên không gian mẫu on Khi gieo súc sắc ,số chấm mặt xuất goi kết việc gieo súc sắc.Ta nhận thấy khó trước kết lẫn gieo.Nó số tập hợp {1,2,3,4,5,6}.Ta gọ việc gieo súc sắc nói phép thử ngẫu nhiên kh Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt phép thử) thí nghiệm hay hành động mà : - Kết không đoán trước được; - Có thể xác định tập hợp tất kết xảy phép thử Phép thử thường kí hiệu chữ T Tập hợp tất kết xảy phép thử gọi không gian mẫu phép thử Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác kí hiệu chữ (đọc ô-mê-ga) Ví dụ 1: Không gian mẫu phép thử "gieo súc sắc" tập hợp {1,2,3,4,5,6} m Ví dụ 2: Xét phép thử T "gieo hai đồng xu phân biệt".Nếu dùng kí hiệu S để đồng xu lật sấp (mặt sấp xuất ) N để đồng xu lật ngửa không gian mẫu phép thử co {SN,SS,NN,NS} b Biến cố Ví dụ 3: Giải sử T phép thử "Gieo súc sắc".Không gian mẫu {1,2,3,4,5,6} Một cách tổng quát : {2,4,6}, tập Biến cố A gọi biến cố oc uo mô tả tập hợp liên quan đến phép thử T c Xét biến cố (hay kiện) A: "Số chấm mặt xuất số chẵn".Ta thấy việc xảy hay không xảy biến cố A tùy thuộc vào kết T,Biến cố A xảy kết T ,hoặc 4,hoặc 6.Các kết gọi kết thuận lợi cho A.Do biến cố A Biến cố A liên quan đến phép thử T biến cố mà việc xảy hay không xảy A tùy thuộc vào kết T Mỗi kết phép thử T làm cho A xảy ra,được gọi kết thuận lợi cho A gb Tập hơp kết thuận lợi cho A kí hiệu Xét biến cố B: "Số chấm mật xuất số lẻ" biến cố C : "Số chấm mặt on số nguyên tố".Hãy viết tập hợp mô tả biến cố B tập hợp mô tả biến cố C Biến cố chắn biến cố xảy thực phép thử T.Biến cố chắn mô tả tập kí hiệu kh Biến cố biến cố không xảy cho phép thử T thực hiện.Rõ ràng kết thuận lợi cho biến cố không thể.Biến cố mô tả tập kí hiệu Xác suất biến cố Trong sống hàng ngày,khi nói biến cố ta thường nói biến cố có nhiều khả xảy ra,biến cố có khả xảy ra,biến cố có nhiều khả xảy biến cố kia.Toán Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác học định lượng hóa khả cách gán cho biến cố số không âm,nhỏ hay gọi xác suất biến cố đó.Xác suất biến cố A kí hiệu P(A).Nó đo lường khả khách quan xuất biến cố A m a Định nghĩa cổ điển xác suất Không gian mẫu T (4;6) , (5;6) , (6;6)} co Ví dụ 4: Giả sử T phép thử "Gieo hai súc sắc".Kết T cặp số (x;y) ,trong x y tương ứng kết việc gieo súc sắc thứ thứ hai.Các kết xảy T cho bảng sau : { (1;1) , (2;1) , (3;1) , (4;1) , (5;1) , (6;1), (1;6) , (2;6) , (3;6) , c Phép thử T có 36 kết có thể.Nếu súc sắc chế tạo cân đối mặt súc sắc có khả xuất hiện.Ta nói 36 kết T đồng khả kết oc uo Xét biến cố A : "Tổng số chấm mặt xuất hai súc sắc 7".Tập thuận lợi cho A {(1;6) , (2;5) , (3;4) , (4;3) , (5;2) , (6;1) } Khi tỉ số coi xác xuất A Một cách tổng quát : ĐỊNH NGHĨA gb Giả sử phép thử T có không gian mẫu tập hữu hạn kết T đồng khả năng.Nếu A biến cố liên quan với phép thử T tập hợp kết thuận lợi cho on A xác suất A biến cố,kí hiệu P(A),được xác định công thức Như vậy,việc tính xác suất biến cố A trường hợp quy việc đếm số kết phép thử T số kết thuận lợi cho A kh CHÚ Ý Từ định nghĩa ta suy * * ; Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác m Ví dụ 5: Một vé sổ xố có chữ số.Khi quay số,nếu vé bạn mua có số trùng hoàn toàn với kết bạn trúng giải nhất.Nếu vé bạn mua có chữ số trùng với chữ số két (kể vị trí) bạn trúng giải nhì.Bạn An mua vé xổ số a)Tính xác suất để An trúng giải b)Tính xác suất để An trúng giải nhì Giải có kết trùng với số vé An.Do xác suất trúng giải An Các kết trùng với chữ số An hoặc Vì trường hợp có khả oc uo c b)Giải sử số vé An co a)Số kết nên có kết vé An trúng giải nhì.Do xác xuất trúng giải nhì AN Giải gb Ví dụ 6: Một cỗ tú lơ khơ gòm 52 quân chia thành bỗn chất : rô,cơ ( màu đỏ) ,pích nhép (màu đen).Mỗi chất có 13 quân 2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K,A (đọc át).Bốn quân (gồm rô,2 cơ,2 pích nhép) làm thành ; bốn quân (gồm rô,3 cơ,3 pích nhép)làm thành 3; ; bỗn quân át (gồm át rô,át cơ,át pích át nhép) làm thành át Chọn ngẫu nhiên quân bài.Tính xác suất để quân ta có Số kết quân lại (không phải quân 2).Vậy có 48 kết có on số Số kết có số cách chọn quân Tương tự có 48 kết có 3; ; có 48 kết có át.Vì có tất kh 13 bộ,nên số kết có xuất Do ,xác suất cần tìm b Định nghĩa thống kê xác suất Trong định nghĩa cổ điển xác suất, ta cần giả thiết phép thử T có số hữu hạn kết kết đồng khả năng.Nhưng nhiều trường hợp,giải thiết đồng khả không thỏa mãn.Chẳng hạn gieo súc sắc không cân đối mặt Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác súc sắc khả xuất hiện.Trong trường hợp ta sử dụng định nghĩa sau gọi định nghĩa thống kê xác suất m Xét phép thử T biến cố A liên quan đến phép thử đó.Ta tiến hành lặp lặp lại N lần phép thử T thống kê xem biến cố A xuất lần Số lần xuất biến cố A gọi tần số A N lần thực phép thử T Tỉ số tần số A với số N gọi tần suất A N lần thực phép thử T co Người ta chúng minh số lần thử N lớn tần suất A gần với số xác định,số gọi xác suất A theo nghĩa thống kê (số P(A) định nghĩa cổ điển xác suất) c Như vậy,tần suất xem giá trị gần xác suất.Trong khoa học thực nghiệm,người ta thường lấy tần suất làm xác suất.Vì tần suất gọi xác suất thực nghiệm bước sang tuổi 51 oc uo Ví dụ 8: Một công ti bảo hiểm nhân thọ thống kê 100 000 đàn ông 50 tuổi có 568 người chết trước bước sang tuổi 51 100 000 phụ nữ tuổi có 284 người chết trước bước sang tuổi 51 Khi xác suất thực nghiệm để người đàn ông 50 tuổi chết trước xác suất thực nghiệm để người phụ nữ 50 tuổi chết trước bước sang tuổi 51 Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc gb Ví dụ Gieo đồng xu lần liên tiếp.Khí hiệu X số lần xuất mặt ngửa.Đại lượng X có đặc điểm sau : - Giá trị X số thuộc tập {0,1,2,3,4,5} ; - Giá trị X ngẫu nhiên, không đoán trước on Ta nói X biến ngẫu nhiên rời rạc Một cách khái quát : Đại lượng X gọi biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị số thuộc tập hữu hạn giá trị ngẫu nhiên,không dự đoán trước kh Phân bố xác xuất biến ngẫu nhiên rời rạc Giả sử X biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị { thường quan tâm đến xác suất để X nhận giá trị tức số } Để hiểu rõ X,ta với Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Các thông tin X trình bày dạng bảng Bảng gọi bảng phân bố xác xuất biến ngẫu nhiên rời rạc X.Người ta chứng minh bảng tổng số dòng thứ c Tính xác suất để tối thứ bảy đoạn đường A : a)Có hai vụ vi phạm luật giao thông ; b)Có nhiều ba vụ vi phạm luật giao thông co suất để xảy nhiều vụ vi phạm luật giao thông m Ví dụ Một số vụ vi phạm luật giao thông đoạn đường A vào tối thứ bảy hàng tuần biến ngẫu nhiên rời rạc X.Giả sử X có bảng phân bố xác suất Nhờ ta biết chẳng hạn xác suất tối thứ bảy đoạn đường A vụ vi phạm luật giao thông 0,1 xác oc uo Ví dụ Một túi đựng viên bi đỏ viên bi xanh.Chọn ngẫu nhiên viên bi.Gọi X số viên bi xanh viên bi chọn ra.Rõ ràng X biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị tập {0,1,2,3} Để lập bảng phân bố xác suất X ta phải tính xác suất Số trường hợp Vậy viên bi xanh xác suất chọn viên bi xanh viên bi đỏ.Ta có cách chọn viên bi đỏ.Theo quy tắc nhân,ta có kh viên bi xanh viên bi đỏ.Vậy H2.Hãy tính Kì vọng ĐỊNH NGHĨA on Ta có xác suất chọn viên bi đỏ.Số cách chọn viên bi đỏ gb Ta có lập bảng phân bố xác suất X cách chọn cách chọn Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác } Kì vọng X kí hiệu m Cho X biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị { E(X) , só tính theo công thức , co Ý nghĩa : E(X) số cho ta ý niệm độ lớn trung bình X Vì kì vọng E(X) gọi gá trị trung bình X c Nhận xét: Kì vọng X không thiết thuộc tập giá trị X Giải Ta có oc uo Ví dụ Gọi X số vụ vi phạm luật giao thông đêm thứ bảy đoạng đường A nói ví dụ 2.Tính E(X) (Như đoạn đường A tối thứ bảy có trung bình 2,3 vụ vi phạm luật giao thông) Phương sai độ lệch chuẩn gb a) Phương sai ĐỊNH NGHĨA Cho X biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị { } kh on Phương sai X,kí hiệu V(X) , số tính theo công thức , Ý nghĩa : Phương sai số không âm.Nó cho ta ý niệm mức độ phân tán giá trị X xung quanh giá trị trung bình.Phương sai lớn độ phân tán lớn Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác b) Độ lệch chuẩn ĐỊNH NGHĨA m Căn bậc hai phương sai, kí hiệu co Ví dụ Gọi X số vụ vi phạm luật giao thông vào tối thứ bảy nói ví dụ 2.Tính phương sai độ lệch chuẩn X Giải Từ công thức tính phương sai,ta có c Từ ví dụ ta có Do độ lệch chuẩn CHÚ Ý oc uo Có thể chứng minh (1) gb Trong thực hành,ta thường dùng công thức (1) để tính phương sai kh on Ví dụ 6: Dùng công thức (1) để tính phương sai số vụ vi phạm luật giao thông ví dụ 2, ta có