Khảo sát hàm số nguyễn phú khánh

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Cho (Cm) : y = (m − 1)x + m Đònh m để tiếp tuyến với (Cm) điểm (Cm) có hoành độ x0 = x−m −m y = f (x) = (x − m)2 Để tiếp tuyến với (Cm) điểm với đường phân giác (Δ ) : y = − x , ta phải có: | m fm| = −1 ⇔ −m = −1 ⇔ m = (4 − m)2 ⇔ m = 2 (4 − m) co | m song song với đường phân giác thứ góc hệ trục (3m + 1)x − m + m , m ≠ Tìm m để tiếp tuyến với (C) giao điểm với trục hoành x+m song song y = x Viết phương trình tiếp tuyến oc uo Hoành độ giao điểm (C) với trục hoành m2 − m ⎫ ⎧ x0 = , m ∉ ⎨0, − ,1⎬ 3m + ⎭ ⎩ 4m y| = (x + m)2 Tiếp tuyến điểm (C) có hoành độ // y = x 4m = ⇔ 4m = (x + m)2 ⇔ x = m ∨ x = −3m (x + m) c Cho (C) : y = on gb ⎡ m2 − m m = ⎡ m = −1 ⎢ 3m + ⇔⎢ ⇔⎢ ⎢m = − m −m ⎢ ⎣ ⎢⎣ −3m = 3m + • m = −1 tiếp tuyến (-1,0) có pt : y = x + 1 ⎛3 ⎞ • m = − tiếp tuyến ⎜ , ⎟ có pt : y = x − 5 ⎝5 ⎠ m Cho (C) : y = x − + Tìm m để có điểm mà từ vẽ tiếp tuyến với đồ thò vuông góc x +1 Gọi M (x , y ) điểm cần tìm ⇒ y = k(x − x ) + y đường thẳng (d) qua M0 kh m ⎧ ⎪⎪x − + x + = k(x − x ) + y = kx + k − k − kx + y (d) t2 ⇔ ⎨ ⎪1 − =k ⎪⎩ (x + 1)2 m ⎧ ⎪⎪x − + x + = k(x + 1) − (1 + x )k + y ⇔⎨ ⎪x + − = k(x + 1) ⎪⎩ x +1 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt co ⎧ m +1 y0 + ⎧ = y + − (x + 1)k ⎪ ⎪k ≠ x + ⎪ x +1 ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪⎛ m + ⎞ = (1 − k)(m + 1)2 ⎪ y + − (x + 1)k = (1 − k)(m + 1)2 ] ⎩[ ⎪⎩⎜⎝ x + ⎟⎠ y0 + ⎧ ⎪k ≠ x0 + ⇔⎨ ⎪(x + 1)2 k + 2(2m − x )y − 2x − y − 2)k + (y + 2)2 − 4m = (*) 0 0 ⎩ m m ⎧ ⎪⎪x − + x + = x + − x + − (1 − x )k + y ⇔⎨ ⎪ = 1− k ⎩⎪ (x + 1) y0 + x0 + oc uo y0 + ⎧ ⎪k ≠ x0 + ⇔⎨ ⇒m>0 ⎪(x + 1)2 + (y + 2)2 = 4m ⎩ c Từ M0 kẻ tiếp tuyến vuông góc ⇔ pt (*) có nghiệm thỏa k1k2 = -1 khác Tìm toạ độ giao điểm tiếp tuyến đồ thò y = vuông góc với đường thẳng y = x + 2006 x +1 với trục hoành , biết tiếp tuyến x −3 , ∀x ≠ (x − 3)2 Gọi (T) tiếp tuyến (C) vuông góc với đường thẳng y = x + 2006 , (T) có hệ số góc KT = -1 ⎡x = ⇒⎢ Gọi (x0,y0) tiếp điểm (d) (C) , ta có K T = y| ⇔ −1 = − (x − 3) ⎣ x0 = • x = ⇒ y = −1 ⇒ (T1 ) : y = − x • x = ⇒ y = ⇒ (T2 ) : y = −x + on gb y| = − (T1 ) ∩ (Ox) = {O(0, 0)} ; (T2 ) ∩ (Ox) = {A(8, 0)} kh Cho hàm số y = f(x) = x+2 ; gọi đồ thò hàm số (C) , A(0,a).Xác đònh a để từ A kẻ tiếp x −1 tuyến đến (C) cho tiếp tuyến tương ứng nằm phía trục Ox Phương trình tiếp tuyến (T) với (C) M (x , y ) : y − y = f(x| ) (x − x ) ⎛x +2⎞ ⎛x +2⎞ 3 ⇔ y −⎜ (x − x ) ; A(0,a) ∈ (T) : a − ⎜ (− x ) ⎟=− ⎟=− (x − 1) (x − 1)2 ⎝ x0 − ⎠ ⎝ x0 − ⎠ ⎧x − ≠ ⎪⎧x ≠ ⇔⎨ ⇔ ⎨g = (a − 1)x 20 − 2(a + 2)x + a + = (x ) ⎩(a − 1)x − 2(a + 2)x + a + = ⎪⎩ Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Qua A kẻ tiếp tuyến g(x ) = có nghiệm phân biệt khác co oc uo c ⎛ x + ⎞⎛ x + ⎞ x1x + 2(x1 + x ) + ⇔ y1y < ⇔ ⎜ < (1) ⎟⎜ ⎟ ⎧(3a + 2) − 8(3a + 2) > ⎪a < − ∨ a > ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩f ( −1) ≠ ⎩ + 3a + + 3a + ≠ ⎪⎩a ≠ −1 Vậy điểm cần tìm A(a,2) ; a < − ∨ a > ∧ a ≠ −1 Cho hàm số y = −x + 2x − , đồ thò (C) Tìm tất điểm thuộc trục tung cho từ kẻ tiếp tuyến đến (C) Gọi A(0,a) ∈ Oy , (d) đường thẳng qua A dạng : y = kx + a Hoành độ tiếp điểm nghiệm hệ : ⎧−x + 2x − = kx + a ⇔ 3x − 2x − − a = (1) ⎨ 4x 4x k − + = ⎩ Từ A kẻ tiếp tuyến đến (C) (1) phải có nghiệm Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⇔ −1 − a = ⇔ a = −1 Khi 3x − 2x = ⇔ x = ∨ x = ± m Vậy toạ độ điểm cần tìm A(0,-1) co Cho hàm số y = x − 3x + ; đồ thò (C) 1.Qua A(1,0) kẻ tiếp tuyến với (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến 2.CMR tiếp tuyến khác (C) song song với tiếp tuyến qua A (C) nói 1.Gọi (d) đường thẳng qua A(1,0) có hệ số góc k dạng y = k(x − 1) tiếp tuyến (C) hệ oc uo c ⎧x − 3x + = k(x − 1) có nghiệm ⇔ (x − 1)3 = ⇒ x = ⇒ k = −3 ⎨ ⎩3x − 6x = k Vậy có tiếp tuyến (d) : y = −3x + kẻ đến (C) 2.Gọi (T) tiếp tuyến khác (C) song song tiếp tuyến A dạng y = −3x + b Hoành độ tiếp điểm nghiệm hệ : ⎧x − 3x + = −3x + b ⎧ b = x − 3x + ⇔⎨ ⇒ b = ⇒ (T) : y = −3x + ⎨ ⎩3x − = −3 ⎩x = (T) ≡ (d) tiếp tuyến khác song song với tiếp tuyến A Cho hàm số y = x4 − 3x + , có đồ thò (C) 2 1.Gọi (d) tiếp tuyến đồ thò điểm M có hoành độ x M = a CMR hoành độ giao điểm gb tiếp tuyến (d) với đồ thò nghiệm phương trình (x − a)2 (x + 2ax + 3a2 − 6) = 2.Tìm tất giá trò a để tiếp tuyến (d) cắt đồ thò điểm P,Q khác khác M.Tìm qũy tích trung điểm K đoạn thẳng PQ kh on ⎛ a4 5⎞ a4 1.Gọi M ⎜ a, − 3a + ⎟ ∈ (C) ⇒ y(a) = − 3a2 + ⇒ y|(a) = 2a(a2 − 3) 2⎠ 2 ⎝ Tiếp tuyến M có phương trình y = 2a(a2 − 3)x − a4 + 3a2 + 2 Phương trình hoành độ giao điểm (d) (C) : x4 5 − 3x + = 2a(a2 − 3)x − a4 + 3a2 + 2 2 2 ⇔ (x − a) (x + 2ax + 3a − 6) = 2.Qũy tích trung điểm K Theo để (d) cắt (C) điểm phân biệt P Q khác M phương trình : x + 2ax + 3a2 − = có ⎧⎪ a < ⎧Δ| = a2 − (3a2 − 6) > ⇔ nghiệm khác a ⎨ ⎨ 2 ⎩ a + 2a + 3a − ≠ ⎩⎪ a ≠ Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⎧ x K = −a ; x ≤ 3; x ≠ ⎪ Khi K ⎨ ⎪ y K = − x K + 9x K + ⎩ 2 m Vậy quỹ tích trung điểm K đường cong y = − x + 9x + giới hạn ≠ x ≤ 2 co Cho hàm số y = −x + 2mx − 2m +1 có đò thò (Cm).Đònh m để tiếp tuyến đồ thò (Cm) A B điểm cố đònh vuông góc Điểm cố đònh A(-1,0) B(1,0) y| = −4x + 4mx ⇒ y|A = − 4m ; y|B = −4 + 4m tiếp tuyến đến (C) oc uo c Tiếp tuyến A B vuông góc ⇔ y |A y|B = −1 ⇔ (4 − 4m)(4m − 4) = −1 ⇒ m = ∨ m = 4 x +1 Cho hàm số y = có đồ thò (C) Tìm điểm trục tung mà từ điểm kẻ x −1 Gọi A(0,a) ∈ Oy ⇒ (d) qua A có phương trình y = kx + a Hoành độ tiếp điểm nghiệm hệ ⎧x +1 ⎪⎪ x − = kx + a x + −2x ⇒ = + a ⇔ (a − 1)x − 2(a + 1)x + a + = (1) ⎨ 2 − x − (x − 1) ⎪ =k ⎩⎪ (x − 1) on gb Từ A kẻ tiếp tuyến đến (C) ⇔ (1) có nghệm (1) ™ Xét a − = ⇔ a = ⎯⎯→ −4x + = ⇒ x = ⇒ A(0,1) ⎧a − ≠ ⎧a ≠ ⇔⎨ ⇔ a = −1 ⇒ A(a, −1) ™ ⎨ ⎩2a + = ⎩Δ ' = Cho hàm số y = x −1 có đồ thò (C) x +1 Tìm đường thẳng y = x điểm cho kẻ tiếp tuyến với đồ thò góc kh tiếp tuyến π Gọi M(x0,y0) ∈ y = x ⇔ M(x , x ) ⇒ tiếp tuyến M tiếp xúc (C) dạng y = k(x − x ) + x (d) x −1 Phương trình hoành độ (d) (C) kx − kx + x = (1) x +1 Theo ycbt (1) có nghiệm kép ⇔ kx + (k − kx + x − 1)x + x − kx + = ⎧k ≠ có nghiệm kép ⇔ ⎨ 2 2 ⎩Δ = (1 + x ) k − 2(x + 3)k + (x − 1) = (2) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Qua M kẻ tiếp tuyến đến (C) tạo thành góc π ⎛ k − k2 ⎞ k − k2 π = tan = ⇔ ⎜ ⇔ (2) có nghiệm phân biệt thỏa ⎟ =1 + k1 k ⎝ + k1 k ⎠ co ⎧⎪M(− 7, − 7) ⎧x ≠ −1 ⇔ ⎨ 20 ⇔ x0 = ± ⇒ ⎨ ⎩x + = ⎪⎩M( 7, 7) m ⎧x ≠ ⎧x + ≠ ⎪ ⎪ 2 ⇔ ⎨Δ k = 8(x 20 + 1) > ⇔ ⎨ ⎡ 2(x 20 + 3) ⎤ ⎡ x0 − 1⎤ ⎥ −5⎢ ⎥ −1 = ⎪(k + k ) − 5k k − = ⎪⎢ 2 ⎩ ⎣ x0 + 1⎦ ⎩ ⎣ (1 + x ) ⎦ c Cho Parabol (P) : y = 2x + x − Tìm điểm trục Oy cho từ ta vẽ tiếp tuyến đến (P) tiếp tuyến hợp với góc 450 oc uo Gọi M(0,m) ∈ Oy Phương trình qua M có hệ số góc k y = kx + m (d) Phương trình hoàng độ giao điểm (P) (d) : 2x + x − = kx + m ⇔ 2x + (1 − k)x − m − = (1) (d) tiếp tuyến (P) (1) có nghiệm kép ⇔ Δ = ⇔ k − 2k + 8m + 25 = (2) Có k1 + k = ; k1 k = 8m + 25 Hai tiếp tuyến hợp góc 450 tan 450 = = k − k1 + k1 k ⇔ (k1 + k )2 − 4k1 k = (1 + k1 k )2 (3) on gb Qua M kẻ tiếp tuyến tạo góc 450 (2) có nghiệm phân biệt thỏa (3) ⎧Δ| = − 8m − 25 = ⎧m < −3 ⇔⎨ k ⇔⎨ 2 ⎩16m + 112m + 193 = ⎩4 − 4(8m + 25) = (8m + 26) + 14 − 14 ⇔m=− ∨m= 4 ⎛ ⎛ + 14 ⎞ − 14 ⎞ Vậy M1 ⎜ 0, − , M ⎜ 0, ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎝ kh Cho hàm số y = x2 gọi đồ thò (C) Tìm đường y = tất điểm mà từ điểm x −1 kẻ tới (C) tiếp tuyến lập góc 450 Gọi A(a,4) đường thẳng tuỳ ý y = ⎧Qua A(a, 4) có dạng: y = k(x − a) + Gọi (T) đường thẳng ⎨ ⎩Có hệ số góc k Và đường thẳng (T1) (T2) qua A có hệ số góc k có dạng : y = k1 (x − a) + y = k (x − a) + Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Do (T1) (T2) tạo góc 450 tan 450 = k1 − k + k1 k ⇔ (1 + k1k )2 = (k1 − k )2 ⇔ (1 + k1k )2 − (k1 + k )2 + 4k1k = (1) x2 = k(x − a) + có nghiệm kép x −1 ⇔ (1 − k)x − (4 − ka − k)x + − ka = có nghiệm kép khác co ⎧⎪1 − k ≠ ⎪⎧ k ≠ ⇔ 1⇔ ⎨ ⎨ ⎡ ⎤ Δ = (a − 1)2 k − 4(a − 2)k = ⎩⎪ k ⎣(a − 1) − 4(a − 2) ⎦ = (2) ⎩⎪ m Do (T) tiếp tuyến đồ thò (C) ⇔ ⎧k = ⎪ thỏa mãn hệ thức (1) ⎨ 4(a − 2) thỏa mãn (1) ⎪ k = (a − 1)2 ⎩ ⎧a ≠ ⎪ ⎨a ≠ ⎪a2 + 2a − = ⎩ oc uo 4(a − 2) ⎧ ⎪ k = (a − 1)2 ≠ ⎪ ⇔ ⎨ 4(a − 2) ⎡ ⎤ ⎪ k = 0.(1 + 0) − + + 4.0 = ⎢ ⎪ (a − 1)2 ⎥⎦ ⎣ ⎩ ⎡ a = −1 − 2 ⇔⎢ ⎢⎣a = −1 + 2 Vậy A1 (−1 − 2, 4) , A (−1 + 2, 4) c Qua A kẻ tới (C) tiếp tuyến lập với gó 450 phương trình (2) có nghiệm k1,k2 (k ≠ 1) gb x2 + x + Cho hàm số y = có đồ thò (C) Tìm (C) điểm A để tiếp tuyến đồ thò A vuông x −1 góc với đường thẳng qua A có tâm đối xứng đồ thò kh on ⎛ ⎞ Giả sử A ⎜ x , x + + ⎟ điểm (C) I(1,3) giao điểm đường tiếm cận x0 − ⎠ ⎝ uur ⎛ ⎞ ⇒ AI = ⎜ − x ,1 − x − ⎟ x0 − ⎠ ⎝ uur Như AI vectơ phương đường thẳng AI Gọi (d) tiếp tuyến (C) tiếp xúc với (C) A , có hệ số góc r ⎛ r uur ⎞ 4 k = y|(x ) = − ⇒ a = 1,1 − vectơ phương củ a (d) ; (d) ⊥ (AI) ⇔ a.AI =0 ⎟ ⎜ (x − 1)2 (x − 1)2 ⎠ ⎝ ⇒ x0 = ± ⎛ ⎛ 4 + 34 + ⎞ − 34 + ⎞ Vậy có điểm A1 ⎜ − 8, , A + 8, ⎟ ⎟⎟ 2⎜ 4 ⎜ ⎟ ⎜ 8 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Cho hàm số y = x − 3x + Tìm đường thẳng x = điểm M cho từ M kẻ tiếp x co Gọi M(1,m) ∈ x = Đường thẳng (T) qua M có hệ số góc k dạng : y = k(x − 1) + m Từ M kẻ tiếp tuyến vuông góc với tới (C) hệ ⎧ x − 3x + = k(x − 1) + m ⎪⎪ ⎧ (x , k ) x ( I ) có nghiệm ⎨ 1 thỏa mãn k1 k = −1 ⎨ ⎩(x , k ) ⎪x − = k ⎪⎩ x m tuyến đến (C) tiếp tuyến vuông góc Từ ( I ) ⇒ (m + 2)x − 4x + = (*) , x ≠ oc uo c ⎧ ⎪ ⎧m ≠ −2 ⎪⎪m + ≠ ⎪⎪ Theo ycbt ⇔ ⎨Δ ' = − 2(m + 2) > ⇔ ⎨m < ⎪ (x − 2) (x − 2) ⎪ 2 ⎪⎩(x1x ) − ⎣⎡(x1 + x ) − 2x1x ⎦⎤ + = −(x1x ) ⎪ = − x 22 ⎪⎩ x12 gb ⎧−2 ≠ m < ⎪ ⎡⎛ ⎞ ⇔ ⎨⎛ ⎞2 ⎤ ⎛ ⎞ ⎪⎜ m + ⎟ − ⎢⎜ m + ⎟ − m + ⎥ + = − ⎜ m + ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣⎢⎝ ⎦⎥ ⎩⎝ ⎧ −2 ≠ m < ⎪⎧ −2 ≠ m < ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔ m = −3 ± ⎪⎩m = −3 ± ⎩m + 6m + = Vậy M1 (1, −3 − 7) , M (1, −3 + 7) Cho hàm số y = x + 3x Tìm tất điểm trục hoành mà từ vẽ tiếp tuyến đồ thò (C) , có tiếp tuyến vuông góc với on Gọi M(m,0) điểm trục hoành Đường thẳng (d) qua M có hệ số góc k dạng : y = k(x − m) kh ⎧x + 3x = k(x − m) (I) (d) tiếp tuyến (C) ⎨ 3x + 6x = k ⎩ Qua M kẻ tiếp tuyến (C) có tiếp tuyến vuông góc với ( I ) có giá trò k cho giá trò tích -1 Khi ( I ) ⇔ x + 3x = (3x + 6x)(x − m) ⇔ x ⎡⎣2x + 3(1 − m)x − 6m ⎤⎦ = ⎡x = ⇔⎢ ⎣2x + 3(1 − m)x − 6m = (*) ⎡ m < −3 ⎧Δ = 3m + 10m + > Theo ycbt (*) có nghiệm phân biệt khác ⇔ ⎨ ⇔⎢ ⎢− < m ≠ ≠ m ⎩ ⎣ Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⎧ ⎪x1 + x = (m − 1) Khi pt (*) có nghiệm ⎨ ⎪⎩x1x = −3m Khi qua M kẻ tiếp tuyến (C) k1 = 3x12 + 6x1 , k = 3x 22 + 6x , k = co m Theo toán : k1k = −1 ⇔ (3x12 + 6x1 )(3x 22 + 6x ) = −1 1 thỏa m < −3 − < m ≠ ⇒m= 27 ⎛ ⎞ Vậy M ⎜ , ⎟ ⎝ 27 ⎠ với Ox góc 450 Viết phương trình tiếp tuyến c 2x − x + Cho hàm số y = có đồ thò (C) Tìm trục hoành điểm từ dựng tiếp tuyến hợp x −1 gb oc uo Tiếp tuyến hợp với Ox góc 450 tiếp tuyến có hệ số góc k = ± TH1: k = y| = ⇔ − = ⇒ x = 1± (x − 1)2 ⎡ (T ) : y = x + − 2 ⎡x = − ⎡y = − ⇒⎢ ⇒⎢ ⇒⎢ ⎢⎣(T2 ) : y = x + + 2 ⎢⎣ x = + ⎢⎣ y = + 2 TH2: k = y| = −1 ⇔ − = −1 ⇔ x = ± (x − 1) ⎡ ⎡ 2 ⎢x = − ⎢y = − ⎡ (T ) : y = − x − − 3 ⇒⎢ ⇒⎢ ⇒⎢ ⎢ ⎢ 2 ⎢⎣(T4 ) : y = −x + + ⎢x = + ⎢y = + 3 ⎣ ⎣ Cho hàm số y = x − 3x + có đồ thò (C) ⎛ 23 ⎞ on 1.Viết phương trình tiếp tuyến (C) để tiếp tuyến qua A ⎜ , −2 ⎟ ⎝ ⎠ 2.Tìm đường thẳng y = -2 điểm từ kẻ đến đồ thò (C) tiếp tuyến vuông góc kh 23 ⎞ ⎛ 1.Tiếp tuyến (C) qua A : y = k ⎜ x − ⎟ − ⎠ ⎝ ⎧ 23 ⎞ ⎛ ⎪x − 3x + = k ⎜ x − ⎟ − Ta có : ⎨ ⇒ (x − 2)(3x − 10x + 3) = ⎠ ⎝ ⎪3x − 6x = k ⎩ ⎡ ⎢ x = 2, k = ⎢ ⇔ ⎢ x = 3, k = ⎢ ⎢x = , k = − ⎣ 3 ⎡ ⎢(d) : y = −2 ⎢ ⇒ tiếp tuyến ⎢(d) : y = 9x − 25 ⎢ 61 ⎢(d) : y = − x + ⎣ 27 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt oc uo c co m 2.Gọi A(a,-2) ∈ y = −2 Đường thẳng (T) qua A có hệ số góc k , có phương trình y = k(x − a) − Điều kiện (T) (C) tiếp xúc là: ⎧x − 3x + = k(x − a) − ⇒ (x − 2) ⎣⎡2x − (3a − 1)x + ⎦⎤ = ⎨ ⎩3x − 6x = k ⎡ x = ; k = ⇒ y = −2 ⇔⎢ ⎢g(x) = 2x − (3a − 1)x + = có x1 + x = 3a − ; x1 x = ⎣ Để từ A dựng tiếp tuyến vuông góc g(x) = có nghiệm x1,x2 cho k1(x1).k2(x2) = -1 ⎧ a < −1 ∨ a > ⎪ ⎧Δ g > ⎧(3a − 1) − 16 > ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ k1 k = −1 ⇔ ⎨(3x1 − 6x1 )(3x 22 − 6x ) = −1 ⇔ ⎨27a = 55 ⎪g ≠ ⎪a ≠ ⎪a ≠ ⎩ ⎩ (2) ⎪ ⎩ 55 ⎛ 55 ⎞ ⇔a= ⇒ A ⎜ , −2 ⎟ 27 ⎝ 27 ⎠ Cho hàm số y = −x + 3x − Tìm điểm đường thẳng y = từ dựng tiếp tuyến đến đồ thò Gọi A(a,2) ∈ y = Đường thẳng (T) qua A có hệ số góc k có phương trình : y = k(x − a) + tiếp tuyến (C) hệ : gb ⎧−x + 3x − = k(x − a) + có nghiệm ⎨ ⎩−3x + 6x = k ⇒ (x − 2) ⎡⎣ 2x − (3a − 1)x + ⎤⎦ = ⇔ ⎡ x − = ⎢2x − (3a − 1)x + = g(x) = ⎣ kh on Để qua A kẻ tiếp tuyến đến (C) g(x) = có nghiệm phân biệt khác thỏa : ⎧ ⎧⎪ Δ g > ⎧3(a + 1)(3a − 5) > ⎪ a < −1 ∨ a > ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩a ≠ ⎪⎩a ≠ ⎩⎪g(2) ≠ Vậy a < −1 ∨ a > ∧ a ≠ Cho họ đường cong (Cm) : y = (m − 1)x + m , m ≠ Chứng minh (Cm) tiếp xúc đường thẳng cố x−m đònh điểm cố đònh m: thay đổi Gọi (x0,y0) điểm cố đònh mà (Cm) qua y = (m − 1)x + m x0 − m ⇔ (x + y − 1)m − x (y + 1) = : có nghiệm ∀m ≠ ; x ≠ m Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt co Vậy A(0,1) điểm cố đònh mà (Cm) qua −m −m | (0) = ⇒ y = −1 ; ∀m ≠ Ta lại có y| = (x − m)2 (0 − m)2 Vậy phương trình tiếp tuyến với (Cm) A y − y A = y| (0)(x − x A ) ⇔ y = x +1 m ⎧⎪x = ⎧x + y − = ⎧x = ⇔⎨ ⇔⎨ ∨ ⎨ ⎩ x (y + 1) = ⎩ y = −1 ⎩⎪ y = Điều kiện ∀m ≠ ; x ≠ m nên A(0,1) thỏa toán Gọi A(a,-4) ∈ y = −4 ⇒ (d) : y = k(x − a) − c Cho hàm số y = x − 12x + 12 ,đồ thò (C) Tìm đường thẳng y = -4 điểm A mà từ kẻ tiếp tuyến đến (C) oc uo ⎧x − 12x + 12 = k(x − a) − Hoành độ tiếp điểm nghiệm hệ ⎨ ⎩3x − 12 = k ⎡x = ⇔⎢ ⎣ g(x) = 2x + (4 − 3a)x + − 6a = Để qua A kẻ tiếp tuyến phân biệt ⇔ g(x) = có nghiệm phân biệt khác ⎧Δ > ⎧ ⎪ g ⎪ a < −4 ∨ a > ⇔⎨ ⇒⎨ ⎪g(2) ≠ ⎩⎪a ≠ ⎩ ∧ a ≠ thỏa toán gb Vậy điểm A(a, −4);a < −4 ∨ a > on Cho hàm số y = x − 4x + , có đồ thò (C) 1.Chứng minh tồn tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thò (C) điểm phân biệt 2.Viết phương trình tiếp tuyến thứ với đồ thò song song với tiếp tuyến vừa kể Cho biết hoành độ tiếp điểm 3.Dựa vào kết , tuỳ theo tham số m , suy số nghiệm phương trình : x − 4x + 8x + m = kh 1.Tiếp tuyến điểm (C) dạng y = ax + b (d) Phương trình hoành độ giao điểm (C) (d) là: x − 4x + = ax + b ⇔ x − 4x − ax + − b = (1) Để (d) tiếp xúc (C) phải có đồng thời nghiệm kép ⇔ x − 4x − ax + − b = (x − α )2 (x − β)2 ⇔ x − 4x − ax + − b = x − 2(α + β)x + (α + β2 + 4αβ)x − 2αβ(α + β)x Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Vậy tiếp tuyến thứ có phương trình y = −8x + (d ) , (d) ∩ Oy = {0,3 − m} (d ) ∩ Oy = {0,8} -m + +∞ Nghiệm phương trình nghiệm nghiệm (có nghiệm kép x = 1) nghiệm phân biệt nghiệm kép x = ± Vô nghiệm gb -1 −∞ m m < -5 m = -5 -5 < m < m=4 m>4 oc uo (d1 ) ∩ Oy = {0, −1} c x − 4x + 8x + m = ⇔ x − 4x + = 8x − m + Là phưong trình hoành độ giao điểm ⎧(C) : y = x − 4x + ⎨ ⎩(d) : 8x − m + co m ⎧α + β = ⎧α + β = ⎪α + β2 + 4αβ = ⎪αβ = −2 ⎪ ⎪ Đồng thức vế ⎨ ⇔⎨ ⎪2αβ(α + β) = a ⎪ a = −8 2 ⎪⎩α β = − b ⎪⎩ b = −1 ⎧⎪ tiếp tuyến : y = −8x − (d1 ) ⇒⎨ ⎪⎩ hoành độ tiếp điểm : α = − ; β = + 2.Tiếp tuyến song song y = −8x −1 Ta có y| = −8 ⇔ 4x − 12x = −8 ⇔ ⎡ x = ⇒ y = ⎢ ⎢x = − ⎢x = + ⎣ (3m + 1)x − m + m Cho hàm số y = , m ≠ có đồ thò (Cm) x+m on 1.Với giá trò m giao điểm đồ thò với trục hoành , tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x – 20 Viết phương trình tiếp tuyến 2.CMR : (Cm) tiếp xúc với đường thẳng cố đònh 3.Trên đường thẳng x = , tất điểm mà đường (Cm) qua kh (Cm) ∩ Ox : (3m + 1)x − m + m = ⇔ x = Ta có : y| = m2 − m ; m ≠ 0; m ≠ − 3m + 4m (3m + 1)2 | y ⇒ = (x + m)2 4m Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x – 10 ⇔ y|0 = ⇔ ⎡ A(−1, 0) , (T1 ) : y = x + ⎡ m = −1 , x = −1 , y = ⇔⎢ ⇔ ⎢ ⎛3 ⎞ ⎢ B , , (T2 ) : y = x − ⎢m = − , x0 = , y0 = ⎜ ⎟ ⎣ 5 ⎣⎢ ⎝ ⎠ (3m + 1)2 =1 4m Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt oc uo c co ⎧a ≠ ⎧a ≠ ∀m ⇔ ⎨ ĐKTX : ⎨ 2 ⎩Δ = ⎩(a − 10a + 9)m + [(a − 3)(b − 1) − 2a(b − 1)] m + (b − 1) = ⎧⎡ a = ⎧(T ) : y = x + ⎪ ⇔ ⎨ ⎣⎢a = ⇔ ⎨ ⎩(T2 ) : y = 9x + ⎪ b =1 ⎩ 3.Gọi A(1,a) ∈ x = 3m + − m + m Ycbt : A ∉ (Cm) Khi: a = vô nghiệm m 1+ m ⇔ m + (a − 4)m + a − = vô nghiệm m Δm < ⇔ a2 − 12a + 20 < ⇔ < a < 10 Những điểm mà (Cm) không qua A(1,a) ; < a < 10 m 2.Gọi đường thẳng cố đònh y = ax + b (3m + 1)x − m + m Phương trình hoành độ giao điểm : = ax + b x+m ⇔ ax + [(a − 3)m + b − 1] x + m + (b − 1)m = Cho đường cong y = 3x − 4x ; đồ thò (C) 1.Viết phương trình tiếp tuyến (C) để tiếp tuyến qua M(1,3) 2.Tìm đường cong y = -9x + điểm mà từ vẽ tiếp tuyến đến (C) chúng vuông góc gb 1.Gọi (d) đường thẳng qua M(1,3) có hệ số góc k có pt : y = k (x – 1) có x0 hoành độ tiếp điểm , ta có : ⎧3x − 4x 30 = k(x − 1) + ⇔ ⎧ x = ; k = ; y = 3x ⎪ ⎨ ⎨ ⎩3 − 12x = k ⎪⎩x = ; k = −24 ; y = −24x + 27 2.Gọi A(a, −9a + 8) ∈ y = −9x + Mọi đường thẳng qua A có hệ số góc k có phương trình : y = k(x − a) − 9a + x0 hoành độ tiếp điểm hệ on ⎧3x − 4x 30 = k(x − a) − 9a + có nghiệm ⎨ ⎩3 − 12x = k ⇔ (x − 1) ⎡⎣2x 20 − (2 − 3a)x + − 3a ⎤⎦ = kh ⎡x = ; k = ⇔⎢ ⎣ f ( x ) = 2x − (2 − 3a)x + − 3a = Theo toán ta có f ( x ) = có nghiệm phân biệt ⇔ (2 − 3a)2 − 8(2 − 3a) > ⇔ a > ∨ a < −2 (*) f ( x ) = thỏa k1.k2 = -1 ⇔ (3 − 12t12 )(3 − 12t 22 ) = −1 ⇔ − 36 ⎡⎣(t1 + t )2 − 2t1t1 ⎤⎦ + 144t12 t 22 = −1 Với t1 t nghiệm f(x ) = Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt tiếp tuyến vuông góc với x + (1 − 2m)x − m Hãy xác đònh giá trò m để (Cm) cắt Ox điểm x −1 Giải m Gọi (Cm) đồ thò y = f (x) = x + 2x + m m ; y = x − 2m + ;(m ≠ 0) (x + 1) x +1 (Cm) cắt Ox hai điểm phân biệt ⇔ phương trình : x + (1 − 2m)x − m = (1) có hai nghiệm co y ' = f '(x) = c ⎧⎪Δ = (1 − 2m) − 4(− m) > phân biệt khác -1 ⇔ ⎨ ⎪⎩(−1) + (1 − 2m)(−1) − m ≠ ⎧4m + > ⇔ ⎨ ≠ m ⎩ Vậy với m ≠ (Cm) cắt Ox điểm phân biệt M ( x1 , 0), N ( x2 , 0) với x1 , x2 nghiệm oc uo phương trình (1) Khi ta có : x1 + x = 2m − x1x = −m Tiếp tuyến M, N vuông góc ⇔ f '( x1 ) f '( x2 ) = −1 ⎛ x + 2x + m ⎞⎛ x + 2x + m ⎞ ⎟⎜ ⎟ = −1 ⇔⎜ ⎜ ( x + 1)2 ⎟⎜ ( x + 1)2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⇔ (x12 + 2x1 + m)(x 2 + 2x + m) = − ( x1 + 1) ( x + 1) 2 ⇔ (x1x )2 + 2x1x (x1 + x ) + m(x12 + x 2 ) + 2m(x1 + x ) + m + 4x1x = −(x1x + x1 + x + 1)2 gb ⇔ 4m + m(2m − 1)2 − 4m = −m ⇔ m(4m + m − 3) = ⇔ m = (loại) V m = −1 V m = m = −1 V m = on Vậy 4 Nhận xét : kh 1) Nếu ko đặt điều kiện m ≠ để tồn (Cm) hàm hữu tỉ không nói rõ (Cm) cắt Ox có hai nghiệm khác mẫu số (nghóa m ≠ ) hẳn ta nhận m=0 làm nghiệm kết sai 2) Thông thường em quen dùng Viet cho y' Nhưng yêu cầu toán không đề cập y' để f '( x1 ) f '( x2 ) = −1 Viet phương trình bậc hai 1/ Cho hàm số y = x − x3 − 3x + có đồ thò (C) Tìm phương trình tiếp tuyến tiếp xúc (C) hai điểm phân biệt , tính toạ độ tiếp điểm 2/ Chứng minh có tiếp tuyến tiếp xúc (C) : y = x + x3 − x + x + hai điểm phân biệt Tìm toạ độ tiếp điểm 3/ Xác đònh a, b để (d) : y= ax+b tiếp xúc với đường cong (C) : y = x − x3 + x + 26 x + hai điểm phân biệt Tìm toạ độ tiếp điểm Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác co m Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Gọi (d) : y = ax + b Phương trình hoành độ giao điểm (C) (d) : x ≠ x − x − x + = ax + b ⇔ x − x − x + − ax − b = Phương trình (1) phải có nghiệm kép x1 , x2 phân biệt c 1/ (1) viết lại ⇔ x − x − x + − ax − b = ( x − x1 ) ( x − x2 ) = oc uo ⇔ x − x − x + − ax − b = x − 2( x1 + x2 ) x3 + ⎡⎣( x1 + x2 ) + x1 x2 ⎤⎦ x − x1 x2 ( x1 + x2 ) x + x12 x2 = gb Đồng thức hai vế ta được: ⎧2( x1 + x2 ) = ⎧ x1 + x2 = ⎪ ⎪ x x = −2 ⎪ ⎪( x1 + x2 ) + x1 x2 = −3 ⇔ ⎨ ⎨ ⎪a = −4 ⎪2 x1 x2 ( x1 + x2 ) = a 2 ⎪⎩b = ⎪x x = − b ⎩ ⇒ tiếp tuyến (C) hai điểm phân biệt (d): y= -4x+1 Hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình : x − x − = ⇔ x= -1 V x= Vậy tiếp điểm ; A (-1,5) ; B (2,-7) on 2/ Tương tự y = 5x - ; C (1,2) ; D (-3,-18) 3/ Tương tự y = 2x - 13; E (-1,-15) , F (4,-5) (m − 1) x − (5m + 2) x + 2m − 14 Cho (C) : y = (d) : y = 2mx + x−3 kh Xác đònh m để (C) (d) cắt điểm phân biệt A, B Gọi M giao điểm (d) trục Oy Tính theo m toạ độ điểm N (d) thoả mãn hệ thức uuur uuur NA MA uuur = − uuur NB MB Tìm quỹ tích điểm N m thay đổi Phương trình hoành độ giao điểm (C) (d): (m − 1)x − (5m + 2)x + 2m − 14 =2mx+2; x ≠ x −3 ⇔ (m + 1) x + (4 − m) x + − 2m = (1) (d) cắt (C) hai điểm A, B phân biệt ⇔ (1) có nghiệm phân biệt Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ⎧ ⎧m + ≠ ⎪m < − V m > ⇔⎨ ⎨ ⎩Δ = 9m − 32m − 16 > ⎪⎩ m ≠ -1 uuur uuur ⎛x −x ⎞ x −x NA MA uuur = − uuur ⇔ A N = − ⎜ A M ⎟ xB − x N NB MB ⎝ xB − xM ⎠ ⇔ ( x A + x B ) x N = x A xB ⇔ x N = yN = 2mxN + = − 8m ⇒ N (-4,2-8m) oc uo c co ⎧2 − y ≠ −1 ⎪ m ≠ − ⎧ ⎧ y ≠ 10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎡ y < −30 ⎪⎡ − y xN = -4 ⇒ N ∈ ( d ) : x = -4 giới hạn bởi: ⎨ ⎢⎡ m < − ⇔ ⎨⎢ < − ⇔ ⎨⎢ ⎪⎢ ⎪ ⎢ y > 50 ⎪⎢ ⎪⎩ ⎣ m > ⎪⎢ − y ⎪⎩ ⎣ ⎪ ⎢⎣ > ⎩ 50 Quỹ tích điểm N phần đường x = -4 , ứng y< -30 V y > với y ≠ 10 m Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Cho hàm số : y = − x3 + 3x − ; (C) Tìm điểm thuộc đồ thò (C) mà qua kẻ tiếp tuyến tới đồ thò (C) Gọi M ( x0 , y0 ) ∈ (C ) → y0 = − x03 + x02 − Phương trình đường thẳng (t) qua M có hệ số góc k có dạng y = k ( x − x0 ) + y0 gb ⎧⎪− x + x − = k ( x − x0 ) + y0 (t) tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm : ⎨ với y0 = − x03 + x02 − 2 ⎪⎩−3 x + x = k ⇔ ( x − x0 ) ⎡⎣ −2 x + (3 + x0 ) x + x0 ( x0 − 3) ⎤⎦ = kh on ⎡ x − x0 = ⇔⎢ ⎣ −2 x + (3 + x0 ) x + x0 ( x0 − 3) = 0;(3) ⎡ x = x0 ⇔⎢ ⎣ (3) : Δ = 9( x0 − 1) > 0, ∀x0 ≠ ⎡ x = x0 ⇔⎢ ⎢ x = x0 Vx = − x0 ⎣ ⎡ k = −3 x0 + x0 ⎡ x = x0 ⎢ ⇔⎢ ⇒⎢ − x ⎛ − x0 ⎞ ⎛ − x0 ⎞ ⎢x = + 6⎜ k = −3 ⎜ ⎟ ⎟ ⎢ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ − x0 Muốn có tiếp tuyến − x0 với (C) , điều kiện cần đủ tiếp điểm phải trùng ⇔ x0 = ⇔ x0 = 1, y0 = Khi hệ số góc tiếp tuyến k = Vậy qua M ( x0 , y0 ) ∈ (C ) có tiếp tuyến với tiếp điểm x = x0 , x = Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Kết luận : Vậy có tiếp tuyến (C) : y=3(x -1) với tiếp điểm M (1, 0) c Gọi M ( x0 , 0) ∈Ox : Đường thẳng qua M có dạng y = k ( x − x0 ) ;(t) co m Cho đường cong y = − x3 + 3x + tìm điểm trục hoành cho từ vẽ tiếp tuyến với đường cong oc uo (t) tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm: ⎪⎧ − x + x − = k ( x − x0 ) ⇔ ( x + 1) ⎣⎡ x − (3 x0 + 2) x + x0 + ⎤⎦ = 0;(1) ⎨ ⎪⎩ −3 x + x = k Qua M ( x0 , 0) vẽ tiếp tuyến với đường cong : (1) có nghiệm phân biệt ⎧⎪Δ = (3x0 + 2) − 8(3x0 + 2) > ; f ( x) = x − (3 x0 + 2) x + x0 + ⇔⎨ ⎪⎩ f ( −1) = x0 + > ⇔ x0 < 1; −1 < x0 < − ; x0 > Viết phương trình tiếp tuyến chung y = x − x ; y = x3 + x − Gọi y= ax+b tiếp tuyến chung giả sử x1 , x2 hoành độ tiếp điểm Với y = x − x gb y = x3 + x − Khi hệ sau có nghiệm kh on ⎧ ⎧ x12 − x1 = ax1 + b;(1) ⎪b = x12 − x1 − x1 (2 x1 − 2) = − x12 ⎪ ⎪ 3x + ⎪2 x1 − = a;(2) ⎪ ⇒ ⎨ x1 − = 3x2 + ⇒ x1 = ⎨ ⎪ x2 + x2 − = ax2 + b;(3) ⎪ ⎪3 x + = a;(4) ⎪ (3 x2 + 4) 2 ⎩ 2 (3 2) x x x x + − = + − ⎪ 2 2 ⎩ ⎧9 x2 − x2 + 24 x2 = ⎪ ⎧ x2 = ⎪a = x2 + ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇒ ⎨a = ⇒ y = x − x2 + ⎪ x1 = ⎪b = −4 ⎩ ⎪ ⎪⎩b = − x1 Cho hàm số y = x+2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thò hàm số qua A (-6,5) x−2 Phương trình đường thẳng qua A (-6,5) có hệ số góc k : y = k ( x + 6) + , (d) (d) tiếp tuyến đồ thò (C) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 4 ⎧ ⎧ ⎪⎪1 + x − = k ( x + 6) + ⎪⎪1 + x − = k ( x − 2) + 8k + ⇔⎨ ⎨ ⎪− ⎪− = k =k ⎩⎪ ( x − 2) ⎩⎪ ( x − 2) m 4 ⎧ ⎪⎪1 + x − = − x − + 8k + ⎪⎧ = 2k + ⇔⎨ ⇔ ⎨x−2 ⎪− ⎪−(2k + 1) = k =k ⎩ ⎪⎩ ( x − 2) + mx − 3x Với giá trò m tiếp tuyến đồ thò điểm có hoành độ x = 4x + m c Cho hàm số y = • • oc uo vuông góc với tiệm cận • co ⎡ k = −1 1 ⇔⎢ với k = -1 :y= -x -1 với k = − : y = − x + ⎢k = − 4 ⎣ Tiệm cận đứng : x + m = Tiệm cận xiên : y = − x + m 16 2 12 x − 6mx + m − 16 y' = (4 x + m)2 Hệ số góc tiếp tuyến đồ thò x0 = y '(0) = gb tiếp tuyến vuông góc với TCĐ k = ⇔ m − 16 =k m2 m − 16 = ⇔ m = ±4 m2 TCX ⇔ − k = −1 vô nghiệm ⇒ tiếp tuyến x = vuông góc TCĐ m = ±4 mx − x+m−4 on Cho hàm số ( Hm) : y = kh 1/ Đònh m nguyên để hàm số nghòch biến khoảng xác đònh 2/ Với m= Tìm điểm (H) mà tiếp tuyến (H) lập với Ox góc dương 1350 Viết phương trình tiếp tuyến m − 4m + Hàm số nghòch biến khoảng xác đònh ⇔ y ' < ⇔ m − 4m + < ( x + m − 4) 1< m < ⎫ ⇔ ⎬⇒ m= gt : m ∈ Ζ ⎭ 2x − 2/ m=2 ⇒ y = x−2 1/ y ' = Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Gọi M ( x0 , y0 ) ∈ ( H ) ⇒ y0 = x0 − x0 − ⎫ ⎪ =1 ⎬⇒ ( x0 − 2) ⎪ k = y '0 = tan135 = −1⎭ ( x0 − 2) m y '0 = − x2 − x + x −1 c Cho hàm số y = co ⎡ x0 = 3; y0 = ⎡ M (1,1) ⇒⎢ →⎢ ⎣ M (3,3) ⎣ x0 = 1; y0 = M : y = −x + phương trình tiếp tuyến M : y = −x + oc uo 1/ Chứng tỏ đường thẳng y = có điểm M kẻ đến (C) tiếp tuyến // Ox 2/ Chứng tỏ đường thẳng y = có điểm từ điểm kẻ đến (C) tiếp tuyến lập với góc 450 ĐS: 1/ M (1, 7), M (2, 7), M (3, 7) 2/ M1 (−3 ± 6); M (5 ± 2) x + mx + m Cho hàm số y = ; đồ thò (Cm) ; m tham số Tìm m để đồ thò hàm số cắt trục hoành hai x+2 điểm phân biệt tiếp tuyến điểm vuông góc với gb x + mx + m = có hai nghiệm phân Đồ thò hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt phương trình : x+2 ⎧ Δ = x − 4m > biệt x + mx + m =0 có nghiệm phân biệt x ≠ −2 ⇔ ⎨ ⎩ − 2m + m ≠ on ⎡m < Vậy với m< V m > đồ thò hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt A, B có hoành ⇔⎢ ⎣m > độ xA , xB nghiệm phương trình : x + mx + m = Hai tiếp tuyến A B vuông góc với ⇔ y '( A) y '( B ) = −1 kh ⎛ x + x A + m ⎞ ⎛ xB + xB + m ⎞ ⇔⎜ A ⎟⎜ ⎟ = −1 2 ⎝ ( x A + 2) ⎠ ⎝ ( xB + 2) ⎠ ⇔ (4 − m) x A xB + [ x A xB + 2( x A + xB ) + 4] = 0, (1) ⎧ x A xB = m Với ⎨ (1) ⇔ (4 − m) m + (4 − m ) = ⎩ x A + xB = − m ⎡ m= (loai) m >4 ⎢ m= -1 ( nhân) m< ⇔ m = −1 ⎣ Cho hàm số y = x3 + mx + có đồ thò (Cm) Tìm m để đường thẳng (d) : y= -x+1 cắt (Cm) điểm phân biệt A (0,1) , B,C cho tiếp tuyến B C (Cm) vuông góc Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt hệ số góc tiếp tuyến tai C : k2 = y '( x2 ) = (3x2 + 2mx2 ) ⇔ x1 x2 ⎡⎣9 x1 x2 + 6m( x1 + x2 ) + 4m ⎤⎦ = −1; ( II ) oc uo Từ (I) (II) ⇒ m = ⇒ m = ± thoả m< -2 Vm> Vậy m = ± thoả toán c Để tiếp tuyến B C vuông góc thì: k1k2 = −1 co ⎧ x1 + x2 = m (I ) x1 , x2 hoành độ B C thoả : ⎨ ⎩ x1 x2 = Ta có hệ số góc tiếp tuyến B : k1 = y '( x1 ) = (3x12 + 2mx1 ) m ⎡x = Ta có : x3 + mx + = − x + ⇔ ⎢ Để (d) cắt (Cm) điểm phân biệt f(x) = ⎢⎣ f ( x ) = x + mx + = buộc có nghiệm phân biệt khác ⇔ Δ ' f = m2 − > ⇔ m< -2 V m > Cho đường cong (Cm) : y = − x3 + mx − m đường thẳng (d k ) : y= k(x+1)+1 Tìm điều kiện k m để (d k ) cắt (Cm) điểm phân biệt Tìm k để (d k ) cắt (Cm) thành đoạn (d k ) : y=k(x+ 1)+1 qua A(-1,1) nên (d k ) có điểm chung (Cm) A Phương trình hoành độ giao điểm (d k ) (Cm) : − x + mx − m = k(x+1)+1 ⇔ ( x + 1) ⎡⎣ x − (1 + m) x + m + k + 1⎤⎦ = gb ⎡x = ⇔⎢ ⎣ g ( x) = x − (1 + m) x + m + k + = Để (d k ) cắt (Cm) điểm phân biệt g(x)= có nghiệm phân biệt khác -1 on ⎧ ⎧⎪Δ g > ⎪k < (m − 2m − 3) ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪⎩k ≠ −2m − ⎩⎪ g ( −1) ≠ Do (d k ) qua A (-1,1) ∈ (Cm) nên (d k ) cắt (Cm) thành đoạn (d k ) qua điểm uốn kh 2 ⎛m ⎞ ⎛m ⎞ I ⎜ , − m + m3 ⎟ (Cm) toạ độ I thoả (d k ) : − m + m3 = k ⎜ + 1⎟ 27 ⎠ 27 ⎝3 ⎝3 ⎠ 4m 2(m + 1) ⇒k = − 27(m + 1) m+2 x + 3x + a , a tham số x +1 1/ Khảo sát vẽ đồ thò : a= ; S( H ) = (C ) , TCX x=1, x= S( H ) = (C ) , TCX x= -3, x= -2 Xét hàm số y = 2/ Với giá trò tham số a đồ thò hàm số có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác thứ hệ trục toạ độ ? CMR đồ thò hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt x2 + 2x + − a ; x ≠ tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác , góc phần tư thứ y=x đường ( x + 1)2 thẳng có phương trình : y= -x +m (t) với (t) tiếp tuyến của(C) hệ sau cónghiệm ⎧ x + 3x + a ⎪ x + = − x + m, (1) ⎪ ⎨ ⎪ x + x + − a = −1, (2) ⎪⎩ ( x + 1) m y' = Với a > , y'= ⇔ oc uo c ⎧⎪(4 − m) − 4.2( x − m) ≥ ⇔⎨ ⎪⎩ g ( −1) = 2(−1) + (4 + m)(−1) + a − m ≠ ⎧m ≥ 8a + 16 ⇔⎨ ⎩a ≠ (2) có nghiệm x ≠ −1 ⇔ x + x + − a = −( x + 1) Có nghiệm x ≠ −1 ⇔ 2( x + 1) = a − có nghiệm x ≠ −1 ⎧⎪a − ≥ ⎧a ≥ ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔a>2 ⎪⎩h( −1) = 2(−1 + 1) ≠ a − ⎩a ≠ ⎧c ≥ 8a − 16 Điều kiện chung hệ (1),(2) để có nghiệm x ≠ −1 : ⎨ ⎩a > co (1) có nghiệm x ≠ ⇔ x + 3x + a = (− x + m)( x +1) có nghiệm x ≠ −1 x2 + x + − a =0 ( x + 1) on gb ⎧ x + x + − a = 0; Δ ' = a − ⇔⎨ ⎩ x ≠ −1 y'= có Δ ' = a − > , có nghiệm phân biệt , nên đổi dấu lần qua nghiệm Hàm số có cực đại , cực tiểu Có thể kiểm nghiệm với a = ⇒ C ≥ chọn C = ⇒ C = ±3 Khi có tiếp tuyến : ⎛ 4⎞ ⎛ 10 ⎞ y = -x – ; y = -x + Lần lượt tiếp xúc với (C) M ⎜ − , − ⎟ ; M ⎜ − , ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ Cho hàm số : y = x + 1+ ; có đồ thò (C) x −1 kh Tìm quỹ tích điểm mặt phẳng từ dựng tiếp tuyến với (C) tiếp tuyến vuông góc với Gọi M(x0 , y0) điểm thuộc mặt phẳng ; x0 ≠ Đường thẳng qua M, có hệ số góc la k dạng : y = k( x – x0) + y0 ; (d) Phương trình hoành độ (d) (C) là: k(x- x0) + y0 = x + + (k – 1)x2 – ((x0 + 1)k – y0)x + kx0 – y0 – = (*) x −1 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Để (d) tiếp xúc (C) (*) có nghiệm kép ⎧k ≠ ⎧k − ≠ ⎨ ⎨ 2 ⎩Δ = ⎩ g (k ) = ( x0 − 1) k + ( x0 + y0 + 5)k + ( y0 − 2) − 16 = co ⎧⎪( x0 − 1) + ( y0 − 2) = 16 ⎨ ⎪⎩ x0 ≠ => y0 ≠ ∨ y0 ≠ −2 c ⎧ ( y0 − 2) − 16 = −1 ⎪ ⎪ ( x0 − 1) ⎪ ⎨ g (1) ≠ ⎪( x − 1) ≠ ⎪ ⎪⎩ m Để từ M kẻ tiếp tuyến vuông góc g(k) = phải có nghiệm phân biệt k1, k2 cho k1k2 = -1 k ≠ oc uo Vậy quỹ tích điểm M từ kẻ tiếp tuyến vuông góc đến đồ thò (C) đường tròn tâm I(1,2) , bán kính R = có phương trình : (x -1)2 + (y – 2)2 = 16 trừ điểm : (1,-2) (1, 6) Cho hàm số y = x3 +3x2 +mx +1 ; có đồ thò (Cm) Chứng minh với m (Cm) cắt đồ thò (C) : y = x3 + 2x2 + hai điểm phân biệt A B Tìm quỹ tích trung điểm I AB Xác đònh m để (Cm) cắt đường thẳng y = điểm phân biệt C(0,1); D E Tìm m để tiếp tuyến (Cm) D E vuông góc với Tìm a để x : f(x) = (x -2)2 + x − a ≥ gb Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) (C) : x3 + 3x2 + mx +1 = x3 + 2x2 +7 f(x) = x2 +mx – = f(x) = có 2nghiệm phân biệt (Vì Δ f = m2 + 24 > 0) A,B thỏa A(x1, x13 + x12 + ) ; B( x2 , x23 + x22 + ) ; với x1, x2 nghiệmsố củaf(x) = có x1 + x2 = -m kh on Gọi I tọa độ trung điểm AB : x1 + x2 −m ⎧ ⎪⎪ xI = = I⎨ 3 ⎪ y = y1 + y2 = x1 + x2 + ( x + x ) + = −m − 18m + m2 + 19 ⎪⎩ I 2 m = − x ⎧ I ⎪ =>yI = xI3 + xI2 + 18 xI + 19 ⎨ −(−2 xI )3 − 18(−2 xI ) + (−2 xI ) + 19 ⎪ yI = ⎩ Vậy quỹ tích trung điểm I đường cong : y = 4x3 + 4x2 +18x +9 Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) y = : x3 + 3x2 +mx + = x(x2 + 3x + m) = ⎡x = ⎢ ⎣ g ( x) = x + 3x + m = 0(2) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Để (Cm) cắt y = điểm C(0,1) ; D E (2) có hai nghiệm phân biệt khác ⎧9 − 4m > ≠ m < ⎨ ⎩m ≠ m ⎧ xD + xE = −3 Khi gọi xD , xE hoành độ D,E ta có : ⎨ ⎩ xD xE = m Tiếp tuyến (Cm) D, E vuông góc y '( xD ) y '( xE ) = −1 ⇔ (3xD2 + xD + m)(3xE2 + xE + m) = −1 4m2 – 9m + = m = ± 65 ;0 ≠ m < ± 65 c Vậy m = co ⇔ xD2 xE2 − m[( xD + xE )2 − xD xE ] + m = −1 f(x) = (x – 2)2 + x − a ≥ 3, đặt g(x) = (x -2)2 + x − a − x g’(x) g(x a - oc uo ta cần chứng minh f(x) ≥ g(x) ≥ ; ∀x * Nếu x – a ≥ x ≥ m ; khiđó g(x) = (x – 2)2 +2(x – a) – có: g’(x) = 2x - ; g’(x) = x = +∞ + gb -2a x ≥ a =>a ≤ => g(x) = -2a >0 a ≤ *Nếu x – a ≤ 0; g(x) = (x – 2)2 - x − a − ; g’(x) = 2x – on g’(x) =0 x = −∞ kh x g’(x) g(x) - + a 2a – x ≤ a => a ≥ =>min g(x) = 2a – ≥ => a ≥ Vậy a ≤ ∨ a ≥ +∞ [...]... 2(m + 1) ⇒k = − 27(m + 1) m+2 x 2 + 3x + a , a là tham số x +1 1/ Khảo sát và vẽ đồ thò khi : a= 3 ; S( H ) = (C ) , TCX x=1, x= 5 hoặc S( H ) = (C ) , TCX x= -3, x= -2 Xét hàm số y = 2/ Với những giá trò nào của tham số a thì đồ thò của hàm số trên có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác thứ nhất của hệ trục toạ độ ? CMR khi đó đồ thò hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu Truy cập www.khongbocuoc.com... Cho hàm số y = ; đồ thò (Cm) ; m tham số Tìm m để đồ thò hàm số cắt trục hoành tại hai x+2 điểm phân biệt và tiếp tuyến tại 2 điểm đó vuông góc với nhau gb x 2 + mx + m = 0 có hai nghiệm phân Đồ thò hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt khi phương trình : x+2 ⎧ Δ = x 2 − 4m > 0 biệt khi x 2 + mx + m =0 có 2 nghiệm phân biệt x ≠ −2 ⇔ ⎨ ⎩ 4 − 2m + m ≠ 0 on ⎡m < 0 Vậy với m< 0 V m > 4 thì đồ thò hàm. .. y = 2 x − 4 3 x2 2 + 4 ⎪ x1 = ⎪b = −4 2 ⎩ ⎪ 2 ⎪⎩b = − x1 Cho hàm số y = x+2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số đi qua A (-6,5) x−2 Phương trình đường thẳng qua A (-6,5) có hệ số góc là k : y = k ( x + 6) + 5 , (d) (d) là tiếp tuyến của đồ thò (C) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 4 4 ⎧ ⎧ ⎪⎪1 + x − 2 = k ( x + 6) + 5 ⎪⎪1 + x... ⎩ 50 Quỹ tích điểm N là phần đường x = -4 , ứng y< -30 V y > với y ≠ 10 9 m Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Cho hàm số : y = − x3 + 3x 2 − 2 ; (C) Tìm các điểm thuộc đồ thò (C) mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến tới đồ thò (C) Gọi M 0 ( x0 , y0 ) ∈ (C ) → y0 = − x03 + 3 x02 − 2 Phương trình đường thẳng (t) qua M có hệ số góc là k có dạng y = k ( x − x0 ) + y0 gb ⎧⎪− x 3 + 3 x 2 − 2 = k ( x − x0... m ⎡ m= 4 (loai) vì m >4 ⎢ m= -1 ( nhân) vì m< 0 ⇔ m = −1 ⎣ Cho hàm số y = x3 + mx 2 + 1 có đồ thò là (Cm) Tìm m để đường thẳng (d) : y= -x+1 cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt A (0,1) , B,C sao cho các tiếp tuyến tại B và C của (Cm) vuông góc Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt hệ số góc tiếp tuyến tai C là : k2 = y '( x2 ) = (3x2 2 + 2mx2 ) ⇔... −1 vô nghiệm 4 ⇒ tiếp tuyến tại x = 0 chỉ vuông góc TCĐ khi m = ±4 mx − 3 x+m−4 on Cho hàm số ( Hm) : y = kh 1/ Đònh m nguyên để hàm số nghòch biến trên từng khoảng xác đònh 2/ Với m= 2 Tìm những điểm trên (H) mà tại đó tiếp tuyến của (H) lập với Ox 1 góc dương 1350 Viết phương trình tiếp tuyến m 2 − 4m + 3 Hàm số nghòch biến trên từng khoảng xác đònh ⇔ y ' < 0 ⇔ m 2 − 4m + 3 < 0 2 ( x + m − 4) 1