1. Trang chủ
  2. » Đề thi

ĐỘC chuyên đề khảo sát hàm số nguyễn phú khánh

177 296 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 177
Dung lượng 1,96 MB

Nội dung

ŀ T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Chương Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1.1 TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa : Giả sử K khoảng , đoạn nửa khoảng Hàm số f xác định K gọi • Đồng biến K với x 1, x ∈ K , x < x ⇒ f x < f x ; • Nghịch biến K với x 1, x ∈ K , x < x ( ) ( ) ⇒ f ( x ) > f (x ) 2 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu : Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng I ( ) biến khoảng I f ' ( x ) ≤ với x ∈ I • Nếu hàm số f đồng biến khoảng I f ' x ≥ với x ∈ I ; • Nếu hàm số f nghịch Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : Giả sử I khoảng nửa khoảng đoạn , f hàm số liên tục I có đạo hàm điểm I ( tức điểm thuộc I đầu mút I ) Khi : • Nếu f ' x > với x ∈ I hàm số f đồng biến khoảng I ; • • ( ) Nếu f ' ( x ) < với x ∈ I hàm số f Nếu f ' ( x ) = với x ∈ I hàm số f nghịch biến khoảng I ; không đổi khoảng I Chú ý : • Nếu hàm số f liên tục a;b  có đạo hàm f ' x > khoảng ( ) (a;b ) hàm số f đồng biến a;b  ( ) • Nếu hàm số f liên tục a;b  có đạo hàm f ' x < khoảng (a;b ) hàm số f nghịch biến a;b  • Giả sử hàm số f liên tục đoạn a;b  ( ) * Nếu hàm số f đồng biến khoảng a;b đồng biến đoạn a;b  T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD ( ) * Nếu hàm số f nghịch biến khoảng a;b nghịch biến đoạn a;b  ( ) * Nếu hàm số f khơng đổi khoảng a;b khơng đổi đoạn a;b  Định lý mở rộng Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng I • Nếu f '(x ) ≥ với ∀x ∈ I f '(x ) = số hữu hạn điểm thuộc I hàm số f đồng biến khoảng I ; • Nếu f '(x ) ≤ với ∀x ∈ I f '(x ) = số hữu hạn điểm thuộc I hàm số f nghịch biến khoảng I 1.2 DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng : Xét chiều biến thiên hàm số ( ) Xét chiều biến thiên hàm số y = f x ta thực bước sau: • Tìm tập xác định D hàm số ( ) • Tính đạo hàm y ' = f ' x ( ) ( ) • Tìm giá trị x thuộc D để f ' x = f ' x không xác định ( ta gọi điểm tới hạn hàm số ) • Xét dấu y ' = f ' x khoảng x thuộc D ( ) • Dựa vào bảng xét dấu điều kiện đủ suy khoảng đơn điệu hàm số Ví dụ 1: Xét chiều biến thiên hàm số sau: x +2 −x + 2x − 1 y = y = x −1 x +2 Giải: x +2 x −1 * Hàm số cho xác định khoảng −∞;1 ∪ 1; +∞ y = ( * Ta có: y ' = - ( x −1 * Bảng biến thiên: x −∞ y' y ) ) ( ) < 0, ∀x ≠ 1 − +∞ − +∞ −∞ T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD ( ) ( ) Vậy hàm số đồng biến khoảng −∞;1 1; +∞ −x + 2x − x +2 * Hàm số cho xác định khoảng −∞; −2 ∪ −2; +∞ y = ( * Ta có: y ' = −x − 4x + ( x +2 ) x = −5 y' = ⇔  x = * Bảng biến thiên : x −∞ −5 y' − +∞ y ) ( ) , ∀x ≠ −2 −2 +∞ + + − +∞ −∞ −∞ Vậy, hàm số đồng biến khoảng −5; −2 −2;1 , nghịch biến ( ( ) ( ) ( ) ) khoảng −∞; −5 1; +∞ Nhận xét: ax + b (a.c ≠ 0) đồng biến nghịch cx + d biến khoảng xác định * Đối với hàm số y = ax + bx + c * Đối với hàm số y = ln có hai khoảng đơn điệu a 'x + b ' * Cả hai dạng hàm số đơn điệu ℝ Bài tập tương tự : Xét chiều biến thiên hàm số sau: 2x − 3x y = y = x +1 x +1 x + 4x + x − 4x + y = y = x +2 2x − 2x − x +1 x + 2x + y = y = x 2x + x + Ví dụ 2: Xét chiều biến thiên hàm số sau: y = − x − 3x + 24x + 26 y = x − 6x + 8x + T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD Giải: y = − x − 3x + 24x + 26 * Hàm số cho xác định ℝ * Ta có : y ' = −3x − 6x + 24 x = −4 y ' = ⇔ −3x − 6x + 24 = ⇔  x = * Bảng xét dấu y ' : x −∞ −4 y' − + +∞ ( − ) ( ) + Trên khoảng ( −∞; −4 ) , ( 2; +∞ ) : y ' < ⇒ y nghịch biến khoảng ( −∞; −4 ) , ( 2; +∞ ) + Trên khoảng −4;2 : y ' > ⇒ y đồng biến khoảng −4;2 , Hoặc ta trình bày : * Hàm số cho xác định ℝ * Ta có : y ' = −3x − 6x + 24 x = −4 y ' = ⇔ −3x − 6x + 24 = ⇔  x = * Bảng biến thiên : x −∞ −4 y' − + +∞ y +∞ − −∞ Vậy, hàm số đồng biến khoảng −4;2 , nghịch biến khoảng ( ) ( −∞; −4 ) (2; +∞ ) y = x − 6x + 8x + * Hàm số cho xác định ℝ * Ta có: y ' = 4x − 12x + = 4(x − 1)2 (x + 2) x = −2 y ' = ⇔ 4(x − 1)2 (x + 2) = ⇔  x = * Bảng xét dấu: x −∞ −2 y' − + +∞ + T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD Vậy,hàm số đồng biến khoảng (−2; +∞) nghịch biến khoảng (−∞; −2) Nhận xét: * Ta thấy x = y = , qua y ' không đổi dấu * Đối với hàm bậc bốn y = ax + bx + cx + dx + e ln có khoảng đồng biến khoảng nghịch biến Do với hàm bậc bốn đơn điệu ℝ Bài tập tương tự : Xét chiều biến thiên hàm số sau: y = − x + x + 3 y = x − 2x + x − 2x 7 y = 9x − 7x + x + 12 y = x − 3x + 2 y = x + 3x + 3x + x + 2x − 4 y = x + 2x − 3 y = − Ví dụ : Xét chiều biến thiên hàm số sau: y = x − 2x y = x − x 2 y = 3x − x y = x + − x + 3x + Giải: y = x − 2x ( ) * Hàm số cho xác định nửa khoảng −∞;  ∪ 2; +∞ x −1 * Ta có: y ' = , ∀x ∈ −∞; ∪ 2; +∞ x − 2x Hàm số khơng có đạo hàm điểm x = 0, x = Cách : ( ) ( ) ( ) ( ) + Trên khoảng ( 2; +∞ ) : y ' > ⇒ hàm số đồng biến khoảng ( 2; +∞ ) + Trên khoảng −∞; : y ' < ⇒ hàm số nghịch biến khoảng −∞; , Cách : Bảng biến thiên : x −∞ y' − || || + +∞ y T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD ( ) ( Vậy , hàm số nghịch biến khoảng −∞; đồng biến khoảng 2; +∞ ) y = 3x − x * Hàm số cho xác định nửa khoảng (−∞; 3] 3(2x − x ) * Ta có: y ' = ( ) ( ) , ∀x ∈ −∞; ∪ 0; 3x − x Hàm số khơng có đạo hàm điểm x = 0, x = ( ) ( ) Suy ra, khoảng −∞; 0; : y ' = ⇔ x = Bảng biến thiên: x −∞ y' − || + − +∞ || y Hàm số đồng biến khoảng (0;2) , nghịch biến khoảng (−∞; 0) (2; 3) y = x − x * Hàm số cho xác định đoạn  −1;1 * Ta có: y ' = − 2x ( ) , ∀x ∈ −1;1 − x2 Hàm số khơng có đạo hàm điểm x = −1, x = ( ) Trên khoảng −1;1 : y ' = ⇔ x = ± Bảng biến thiên: x −∞ y' −1 || − − 2 2 + 2 − +∞ || y  2  , nghịch biến khoảng Hàm số đồng biến khoảng  − ;  2       2  −1; −   ;1          10 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD y = x + − x + 3x + * Hàm số cho xác định ℝ 2x + * Ta có: y ' = − x + 3x +  ≥ − x  y ' = ⇔ x + 3x + = 2x + ⇔  x + 3x + = 2x +  Bảng biến thiên : x −∞ −1 y' + − ( ) ⇔ x = −1 +∞ y Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −1) , nghịch biến khoảng (−1; +∞) Bài tập tương tự : Xét chiều biến thiên hàm số sau: y = 2x − x 2 y = x + − x − 4x + 3 y = 3x − y = x − 2x ( y = − 3x y = y = ) 6x + 2x − x + 3x + x +2 x2 − x + Ví dụ :Xét chiều biến thiên hàm số sau: y =| x − 2x − | Giải: x − 2x − x ≤ −1 ∨ x ≥  y =| x − 2x − | =  −x + 2x + − < x < * Hàm số cho xác định ℝ 2x − x < −1 ∨ x > * Ta có: y ' =  −2x + − < x < Hàm số khơng có đạo hàm x = −1 x = + Trên khoảng −1; : y ' = ⇔ x = ; ( ) + Trên khoảng ( −∞; −1) : y ' < ; + Trên khoảng ( 3; +∞ ) : y ' > 11 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Bảng biến thiên: x −∞ y' Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD −1 || − + − || + +∞ y Hàm số đồng biến khoảng (−1;1) (3; +∞) , nghịch biến khoảng (−∞; −1) (1; 3) Bài tập tương tự : Xét chiều biến thiên hàm số sau: y = x − 5x + y = −x + − 2x + 5x − y = −3x + + x − 6x + y = x + x − 7x + 10 Ví dụ : Xét chiều biến thiên hàm số sau: y = sin x + cos 2x đoạn 0; π  Giải : * Hàm số cho xác định đoạn 0; π  ( ) * Ta có: y ' = cos x − sin x , x ∈ 0; π  x ∈ 0; π     π π 5π  cos x = ⇔x = ∨x = ∨x = Trên đoạn 0; π  : y ' = ⇔   6    sin x = Bảng biến thiên: x π π 5π π 6 + − + − y' y  π Dựa vào bảng biến thiên suy : hàm số đồng biến khoảng  0;   6  π 5π  π π   5π   ;  , nghịch biến khoảng  ;   ; π  2  6 2   Bài tập tương tự : Xét chiều biến thiên hàm số sau: 12 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD  π y = sin 3x khoảng  0;   3 cot x y = khoảng 0; π x  π 1 − cos 2x khoảng  0;  y = sin 4x −  2   π π y = sin  x −  + cos  x +  đoạn 0; π  6 3   ( ) ( ) Ví dụ 6: Chứng minh hàm số y = sin2 x + cos x đồng biến đoạn  π π  0;  nghịch biến đoạn  ; π   3 3  Giải : * Hàm số cho xác định đoạn 0; π  ( ) ( ) * Ta có: y ' = sin x cos x − , x ∈ 0; π π ⇔x =  π  π + Trên khoảng  0;  : y ' > nên hàm số đồng biến đoạn 0;  ;  3  3 π  π  + Trên khoảng  ; π  : y ' < nên hàm số nghịch biến đoạn  ; π  3  3  ( ) ( ) Vì x ∈ 0; π ⇒ sin x > nên 0; π : y ' = ⇔ cos x = Bài tập tương tự : Chứng minh hàm số f x = x − sin x π − x − sin x đồng biến ( ) ( )( )  π đoạn 0;   2 Chứng minh hàm số y = cos 2x − 2x + nghịch biến ℝ Chứng minh hàm số y = t a n (π ;2π ) ( ) x đồng biến khoảng 0; π Chứng minh hàm số y = cos 3x + 3x đồng biến khoảng  π   0;   18  π π nghịch biến khoảng  ;   18  13 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD Dạng : Tùy theo tham số m khảo sát tính đơn điệu hàm số Ví dụ : Tùy theo m khảo sát tính đơn điệu hàm số: 1 y = x − m m + x + m 3x + m + Giải: * Hàm số cho xác định ℝ ( ) ( ) ( * Ta có y ' = x − m m + x + m ∆ = m m − ) + m = y ' = x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ y ' = điểm x = Hàm số đồng ( ) biến nửa khoảng −∞;  0; +∞ Do hàm số đồng biến ℝ ( + m = y ' = x − ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ y ' = điểm x = Hàm số ( ) đồng biến nửa khoảng −∞;1 1; +∞ Do hàm số đồng biến ℝ x = m + m ≠ 0, m ≠ y ' = ⇔  x = m ⋅ Nếu m < m > m < m Bảng xét dấu y ' : x −∞ m m2 +∞ y' + − + ( ) Dựa vào bảng xét dấu, suy hàm số đồng biến khoảng −∞;m (m ; +∞ ) , giảm khoảng (m; m ) 2 ⋅ Nếu < m < m > m Bảng xét dấu y ' : x −∞ m2 y' + − m +∞ + ( ) Dựa vào bảng xét dấu, suy hàm số đồng biến khoảng −∞;m (m; +∞ ) , giảm khoảng (m ; m ) Bài tập tự luyện: Tùy theo m khảo sát tính đơn điệu hàm số: 1 y = x − mx + m 3x + m − 3 1 y = m − x − m − x + x + 2m + 3 ( ) ( ) 14 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ( Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD ( ) ) tọa độ tiếp điểm cần tìm • Gọi M x ; f x k = (x −1 ) ,x0 ≠ • Vì (t ) (d ) tạo góc 450 t a n 450 = * k =− ⇔ x0 − * k =3⇔ hệ số góc tiếp tuyến (t ) ( ) (x −1 ) 2 =−  k +2 k =−  ⇔  − 2k k =  điều không xảy ( ) ( ) x = ⇒ y = ⇒ M 0; = ⇔ x 02 − 2x = ⇔  x = ⇒ y = −2 ⇒ M 2; −2 2x + , có đồ thị (C ) Tìm tất tham số x −2 m để đường thẳng (t ) : y = 2x + m cắt (C ) hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến song song với Giải : Đường thẳng (t ) : y = 2x + m cắt (C ) hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến Ví dụ : Cho hàm số y = song song với phương trình ( ) nghiệm phân biệt x 1, x thỏa mãn điều kiện y ' x ( ) ( 2x + = 2x + m có hai x −2 = y ' x Khi phương ( ) ) trình g x = 2x + m − x − 2m − = có nghiệm phân biệt x 1, x khác thỏa mãn điều kiện − (x −2 ) =− (x −2 ) ⇔ x1 + x =  ∆ = m − + 2m + >  ⇔ g = 2.22 + m − − 2m − ≠ ⇔ m =  m −6 − =4  2x Ví dụ 3: Cho hàm số y = có đồ thị (C ) Tìm đồ thị (C ) x +1 điểm M , cho tiếp tuyến M cắt hai trục tọa độ Ox ,Oy hai điểm ( () ) ( ( ) ) phân biệt A, B cho diện tích tam giác AOB có diện tích Giải : 167 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ( ) ( ) Gọi M x ; y ∈ C ⇒ y = Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD 2x x0 + ⇒ y '0 = (x +1 Phương trình tiếp tuyến (t ) (C ) M : y = ) 2 ( x0 + 2x 02 x+ ) ( x0 + ) ( ) Tiếp tuyến (t ) cắt hai trục tọa độ Ox ,Oy hai điểm phân biệt A −x 02 ; ,  2x 02  B 0;   x0 +  (   cho diện tích tam giác AOB có diện tích    ) 2x 1 OAOB = ⇔ OAOB = ⇔ x 02 x0 + ( ) = ( ⇔ 4x 02 − x + ) =0    2x 02 + x + = x = − ⇒ M  − ; −2  ⇔    2x − x − = x = ⇒ M 1;1    Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu toán M  − ; −2  , M 1;1   ( ) ( ) () Ví dụ : Chứng minh tiếp tuyến (d ), t đồ thị (C ) : y = x − 6x + 9x song song với hai tiếp điểm A, B đối xứng qua M (2;2) Giải : ( ) ( ( ) ) tiếp điểm (d ), (t ) đồ thị (C ) (d ) (t ) song song với y ' ( x ) = y ' ( x ) ⇔ 3x − 12x + = 3x − 12x + ⇔ x + x = x = − t ⇒ y ( x ) = t − 3t + Với x + x = tồn t > :  x = + t ⇒ y ( x ) = −t + 3t + ( ) Gọi A x 1, y x = x 13 − 6x 12 + 9x , B x 2, y x = x 23 − 6x 22 + 9x tọa độ 2 2 2 1 2  x + x2 =2 x =  Dễ thấy trung điểm đoạn AB có tọa độ  y x1 + y x  =2 y = Do hai tiếp điểm A, B đối xứng qua M (2;2) ( ) ( ) 168 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD 2x π Tìm α ∈  0;  cho điểm x −1  2 M (1 + sin α ; ) nằm đồ thị (C ) Chứng minh rằng, tiếp tuyến (C ) điểm M cắt hai tiệm cận (C ) hai điểm A, B đối xứng qua điểm M Giải : Vì M (1 + sin α ; ) nằm đồ thị (C ) nên: Ví dụ : Cho hàm số y = sin α = 2 (1 + sin α ) 2 = ⇔ sin α − sin α + = ⇔  sin α = + − sin α  π π Vì α ∈  0;  nên sin α = ⇒ α = ⇒ M  ;9   2 2  3 Tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M là: y = y '    x −  + 2   hay (d ) : y = −6x + 18 Tiếp tuyến (d ) cắt tiệm cận đứng x = tại: A (1;12 ) Tiếp tuyến (d ) cắt tiệm cận xiên tai điểm B có tọa độ nghiệm y = −6x + 18 ( x ; y ) hệ phương trình:  y = 2x +  xA  Dễ thấy:  y  A  x = ⇔ ⇒ B ( 2; ) y =6  + xB = = xM 2 + yB = = yM Suy ra, A, B đối xứng qua điểm M (đpcm) 2x − M cắt đường x −2 tiệm cận hai điểm phân biệt A, B Tìm tọa độ điểm M cho đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ , với I giao điểm hai tiệm cận Giải : 2x − , y '0 = − Gọi M x ; y ∈ C ⇒ y = x0 − x −2 () Ví dụ 6: Gọi d tiếp tuyến đồ thị (C ) : y = ( ) ( ) ( ) 169 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD () Phương trình tiếp tuyến d (C ) M : y = −1 (x −2 ) (x − x ) + 2x − x0 −  2x −   , B 2x − 2;2 −   (d ) cắt hai đường tiệm cận hai điểm phân biệt A  2; x ( ) ( ) Dễ thấy M trung điểm AB I 2;2 giao điểm hai đường tiệm cận Tam giác IAB vng I nên đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích     2x −   2 S = π IM = π (x − 2) +  −   = π (x − 2)2 + ≥ 2π   x −2    x − ( 2)         x = ⇒ y = 1 Dấu đẳng thức xảy (x − 2)2 = ⇔  (x − 2)2 x = ⇒ y = ( ) ( ) Vậy M 1;1 M 3; thỏa mãn toán Bài toán : Phương trình tiếp tuyến đồ thị C : y = f x qua điểm M x 1; y1 ( ) Cách : ( ) ( ) () • Phương trình đường thẳng d qua điểm M có hệ số góc k có dạng : ( ) y = k x − x + y1 ( ) ( ( ) )  f x = k x − x + y1 d tiếp xúc với đồ thị C hệ sau  có nghiệm  f ' x = k Cách : • () ( ) ( ) ( ) () • Gọi N x ; y tọa độ tiếp điểm đồ thị C tiếp tuyến d qua điểm () ( ) M , nên d có dạng y = y '0 x − x + y (d ) qua điểm M nên có phương trình : y = y ' (x − x ) + y (*) • Từ phương trình ( * ) ta tìm tọa độ điểm N ( x ; y ) , từ ta tìm phương trình đường thẳng (d ) • 0 0 x4 − 3x + có đồ thị (C ) Giả sử Ví dụ 2: Cho hàm số : y = 2 M ∈ (C ) có hồnh độ a Với giá trị a tiếp tuyến (C ) M cắt (C ) điểm phân biệt khác M Giải : 170 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD  a4 Vì M ∈ (C ) nên M  a ; yM = − 3a +  Tiếp tuyến M có hệ số góc yM' = 2a Tiếp tuyến M có dạng : 5  2 − 6a a4 − 3a + M 2 Tiếp tuyến d (C ) M cắt (C ) điểm phân biệt khác M () y = yx' (x − x M ) + yM ⇒ d : y = (2a − 6a )(x − a ) + () phương trình sau có nghiệm phân biệt : x4 a4 − 3x + = (2a − 6a )(x − a ) + − 3a + hay phương trình 2 2 2 (x − a ) (x + 2ax + 3a − 6) = có nghiệm phân biệt , nghĩa phương trình ( ) g x = x + 2ax + 3a − = có hai nghiệm phân biệt khác a ∆g' (x ) = a − (3a − 6) > a − <  a < ⇔ ⇔ ⇔   2 g(a ) = 6a − ≠ a ≠ a ≠ ±1  a < Vậy giá trị a cần tìm  a ≠ ±1 Bài tập tương tự : Tìm m để tiếp tuyến qua điểm M 2; m + đồ thị hàm số ( ) y = x − 3x + m phải qua gốc tọa độ O Bài :SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG CONG Bài toán : Hai đường cong C : y = f x C ' : y = g x tiếp xúc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  f x = g x hệ phương trình sau:   f ' x = g ' x ( ) có nghiệm () ( ) Ví dụ : Tìm tham số thực m để đường thẳng d : y = m x − tiếp xúc với đồ thị C : y = − x + 3x ( ) Giải : 171 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD   − x + 3x = m x − d tiếp xúc với C hệ sau :  * có nghiệm  −x + = m   x = x = ⇒ m = −6 2x − 9x + 27 =   * ⇔ ⇔  2x − 3x − = ⇔  x = − ⇒ m = m x = − +  m = −x +   Ví dụ : Tìm trục hồnh điểm mà từ kẻ đến đồ thị x2 hai tiếp tuyến tạo với góc 450 hàm số : y = x −1 () ( ( ) )() () Giải : Gọi M ∈ Ox ⇒ M x ; , đường thẳng qua M có hệ số góc k , phương ( ) () ( ) trình có dạng : d : y = k x − x  x2 = k x − x0   x 2− d tiếp tuyến đồ thị hệ sau có nghiệm :  x − 2x =k   x −1  ( () ( ) ) x2 x − 2x = x − x ⇔ x  x + x − 2x  =   x −1 x −1 ( ) ( ) ( ) x =  ⇔ 2x x = , x ≠ −1  x0 +  • x =0⇒k = • x = 2x x0 + x − 2x ( x −1 ⇒k = ) = −4x (x +1 ) • Tiếp tuyến qua M tạo với đồ thị hàm số : y = x2 hai tiếp tuyến tạo x −1 với góc 450 k − k2 4x ⇒ = ⇒ x0 = ± 2 tan 450 = + k1k2 x0 + ( ) 172 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt )( ( Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD Vậy M − 2; , + 2; ) Ví dụ :Tìm tất điểm trục hồnh điểm M mà qua vẽ tiếp tuyến đến đồ thị (C ) : y = x + 3x mà có tiếp tuyến vng góc với ( ) k ⇒ (t ) : y = k ( x − a ) Giải : Gọi M a; ∈ Ox , đường thẳng (t ) qua M có hệ số góc x + 3x = k (x − a ) (1)  (t ) tiếp xúc với (C ) hệ sau có nghiệm :  (2) 3x + 6x = k Từ (1) , (2) suy : x + 3x = 3x + 6x (x − a ) ⇔ 2x + 3(a − 1)x − 6ax = x = ⇔ x 2x − 3(a − 1)x − 6a  = ⇔  2x − 3(a − 1)x − 6a = (3) • x = ⇒ k = ⇒ tiếp tuyến Qua M kẻ tiếp tuyến đến đến đồ thị (C ) mà có tiếp tuyến vng góc với Khi (3) có nghiệm phân biệt x 1, x ≠ k1k2 = −1  a ≠  ⇔ ∆ > ⇔     3x + 6x   3x + 6x  = −1    a ≠   9 a − + 48a >  9 x 1x + 18x 1x x + x + 36x 1x = −1  ( ( ) ) ( )  a < −3 ∨ a > − vaø a ≠  ⇔ 81a − 81a a − − 108a + =  3(a -1)   x 1x = - 3a ; x + x =     vaø a ≠ a < −3 ∨ a > − ⇔ ⇔a = 27 −27a + =    Vậy M  ,  ∈ Ox thỏa toán  27  ( ) 173 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD Bài toán : ( ) ( ) ( ( ) ) có Phương trình tiếp tuyến đồ thị C : y = f x điểm M x ; f x ( )( ) ( ) dạng : y = f ' x x − x + f x x −4 với tiếp tuyến (t ) , x −1 biết tiếp tuyến (t ) tạo với đường thẳng (d ) : y = −2x + 2010 góc 450 Ví dụ :Tìm tọa độ tiếp điểm đồ thị (C ) : y = Giải : {} • D = ℝ\ • Ta có : y ' = • ,x ≠ (x − 1) Gọi M ( x ; f ( x ) ) tọa độ tiếp điểm cần tìm k = ( x0 − ) hệ số góc tiếp tuyến (t ) ,x0 ≠  k +2 k =−  • Vì (t ) (d ) tạo góc 45 t a n 45 = ⇔  − 2k k =  * k =− ⇔ = − điều không xảy 3 x −1 ( * k =3⇔ ) (x −1 ) ( ) ( ) x = ⇒ y = ⇒ M 0; = ⇔ x 02 − 2x = ⇔  = ⇒ = −2 ⇒ M 2; −2 x y  0 2x + , có đồ thị (C ) Tìm tất tham số x −2 m để đường thẳng (t ) : y = 2x + m cắt (C ) hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến song song với Giải : Đường thẳng (t ) : y = 2x + m cắt (C ) hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến Ví dụ : Cho hàm số y = song song với phương trình 2x + = 2x + m có hai x −2 174 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD ( ) ( ) nghiệm phân biệt x 1, x thỏa mãn điều kiện y ' x = y ' x Khi phương ( ) ( ) trình g x = 2x + m − x − 2m − = có nghiệm phân biệt x 1, x khác thỏa mãn điều kiện − (x −2 ) =− (x −2 ) ⇔ x1 + x =  ∆ = m − + 2m + >  ⇔ g = 2.22 + m − − 2m − ≠ ⇔ m =  m −6 − =4  2x có đồ thị (C ) Tìm đồ thị (C ) Ví dụ 3: Cho hàm số y = x +1 điểm M , cho tiếp tuyến M cắt hai trục tọa độ Ox ,Oy hai điểm ( () ) ( ( ) ) phân biệt A, B cho diện tích tam giác AOB có diện tích Giải : ( ) ( ) Gọi M x ; y ∈ C ⇒ y = 2x x0 + ⇒ y '0 = (x +1 Phương trình tiếp tuyến (t ) (C ) M : y = ) 2 (x +1 ) 2x 02 x+ (x +1 ( ) ) Tiếp tuyến (t ) cắt hai trục tọa độ Ox ,Oy hai điểm phân biệt A −x 02 ; ,  2x 02  B 0;   x0 +  (   cho diện tích tam giác AOB có diện tích    ) 2x 1 OAOB = ⇔ OAOB = ⇔ x 02 x0 + ( ) = ⇔ 4x 02 − x + ( ) =0    2x 02 + x + = x = − ⇒ M  − ; −2  ⇔    2x − x − = x = ⇒ M 1;1    Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu toán M  − ; −2  , M 1;1   ( ) ( ) 175 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD () Ví dụ : Chứng minh tiếp tuyến (d ), t đồ thị (C ) : y = x − 6x + 9x song song với hai tiếp điểm A, B đối xứng qua M (2;2) Giải : ( ) ( ( ) ) tiếp điểm (d ), (t ) đồ thị (C ) (d ) (t ) song song với y ' ( x ) = y ' ( x ) ⇔ 3x − 12x + = 3x − 12x + ⇔ x + x = x = − t ⇒ y ( x ) = t − 3t + Với x + x = tồn t > :  x = + t ⇒ y ( x ) = −t + 3t + ( ) Gọi A x 1, y x = x 13 − 6x 12 + 9x , B x 2, y x = x 23 − 6x 22 + 9x tọa độ 2 2 2 1 2  x + x2 =2 x =  Dễ thấy trung điểm đoạn AB có tọa độ  + y x y x  =2 y = Do hai tiếp điểm A, B đối xứng qua M (2;2) ( ) ( ) 2x π Tìm α ∈  0;  cho điểm x −1  2 M (1 + sin α ; ) nằm đồ thị (C ) Chứng minh rằng, tiếp tuyến (C ) điểm M cắt hai tiệm cận (C ) hai điểm A, B đối xứng qua điểm M Ví dụ : Cho hàm số y = Giải : Vì M (1 + sin α ; ) nằm đồ thị (C ) nên: sin α = 2 (1 + sin α ) 2 = ⇔ sin α − sin α + = ⇔  sin α = + sin α −  π π Vì α ∈  0;  nên sin α = ⇒ α = ⇒ M  ;9   2 2  3 Tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M là: y = y '    x −  + 2   hay (d ) : y = −6x + 18 Tiếp tuyến (d ) cắt tiệm cận đứng x = tại: A (1;12 ) Tiếp tuyến (d ) cắt tiệm cận xiên tai điểm B có tọa độ nghiệm 176 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD y = −6x + 18 x = ⇔ ⇒ B ( 2; ) y =6  ( x ; y ) hệ phương trình:  y = 2x +  xA  Dễ thấy:  y  A  + xB = = xM 2 + yB = = yM Suy ra, A, B đối xứng qua điểm M (đpcm) 2x − M cắt đường x −2 tiệm cận hai điểm phân biệt A, B Tìm tọa độ điểm M cho đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ , với I giao điểm hai tiệm cận Giải : () Ví dụ 6: Gọi d tiếp tuyến đồ thị (C ) : y = ( ) ( ) Gọi M x ; y ∈ C ⇒ y = 2x − x0 − , y '0 = − () (x Phương trình tiếp tuyến d (C ) M : y = −2 ) −1 (x −2 (x − x ) + ) 2x − x0 −  2x −   , B 2x − 2;2 −   (d ) cắt hai đường tiệm cận hai điểm phân biệt A  2; x ( ) ( ) Dễ thấy M trung điểm AB I 2;2 giao điểm hai đường tiệm cận Tam giác IAB vuông I nên đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích     2x −   2 S = π IM = π (x − 2) +  −   = π (x − 2)2 + ≥ 2π   x −2    (x − 2)2        x = ⇒ y = 1 Dấu đẳng thức xảy (x − 2)2 = ⇔  (x − 2)2 x = ⇒ y = ( ) ( ) Vậy M 1;1 M 3; thỏa mãn toán Bài toán : Phương trình tiếp tuyến đồ thị C : y = f x qua điểm M x 1; y1 ( ) ( ) ( ) Cách : 177 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD () • Phương trình đường thẳng d qua điểm M có hệ số góc k có dạng : ( ) y = k x − x + y1 • f x = k x − x ) + y (d ) tiếp xúc với đồ thị (C ) hệ sau  f (' (x)) = k( 1  Cách : ( ) ( ) có nghiệm () • Gọi N x ; y tọa độ tiếp điểm đồ thị C tiếp tuyến d qua điểm () ( ) M , nên d có dạng y = y '0 x − x + y (d ) qua điểm M nên có phương trình : y = y ' (x − x ) + y (*) • Từ phương trình ( * ) ta tìm tọa độ điểm N ( x ; y ) , từ ta tìm phương trình đường thẳng (d ) • 0 0 x4 − 3x + Ví dụ 2: Cho hàm số : y = có đồ thị (C ) Giả sử 2 M ∈ (C ) có hồnh độ a Với giá trị a tiếp tuyến (C ) M cắt (C ) điểm phân biệt khác M Giải :  a4 5 Vì M ∈ (C ) nên M  a ; yM = − 3a +  2  Tiếp tuyến M có hệ số góc yM' = 2a − 6a Tiếp tuyến M có dạng : a4 − 3a + M 2 Tiếp tuyến d (C ) M cắt (C ) điểm phân biệt khác M () y = yx' (x − x M ) + yM ⇒ d : y = (2a − 6a )(x − a ) + () phương trình sau có nghiệm phân biệt : x4 a4 − 3x + = (2a − 6a )(x − a ) + − 3a + hay phương trình 2 2 2 (x − a ) (x + 2ax + 3a − 6) = có nghiệm phân biệt , nghĩa phương trình ( ) g x = x + 2ax + 3a − = có hai nghiệm phân biệt khác a ∆ ' = a − (3a − 6) > a − <  a < ⇔  g (x ) ⇔ ⇔   g(a ) = 6a − ≠ a ≠ a ≠ ±1  178 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD  a < Vậy giá trị a cần tìm  a ≠ ±1 Bài tập tương tự : Tìm m để tiếp tuyến qua điểm M 2; m + đồ thị hàm số ( ) y = x − 3x + m phải qua gốc tọa độ O BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( ) a ) Tìm a, b biết đồ thị hàm số f x = ( )  5 ax − bx qua điểm A  −1;  x −1 2  tiếp tuyến O 0; có hệ số góc −3 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ứng với giá trị a, b vừa tìm ( ) b ) Tìm a, b biết đồ thị hàm số f x = 2x + ax + b tiếp xúc với hypebol a ) Tìm a, b biết đồ thị hàm số y = 1  điểm M  ;2  x 2  a ) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A 1; −2 tiếp xúc với ( ) parabol y = x − 2x x − 2, y = x + x − tiếp xúc M , viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường cong c) Chứng minh rằg đồ thị ba hàm số b ) Chứng minh hai đường cong y = x + ( ) ( ) ( ) f x = −x + 3x + 6, g x = x − x + 4, h x = x + 7x + tiếp xúc ( ) điểm A −1;2 d ) Chứng minh đồ thị hàm số x2 3x + x, g x = tiếp xúc Xác định tiếp điểm viết 2 x +2 phương trình tiếp tuyến chung hai đường cong điểm ( ) f x = ( ) ( ) ( ) e ) Chứng minh đồ thị hàm số f x = x − x , g x = x − tiếp xúc Xác định tiếp điểm viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường cong điểm 179 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD ( ) Cho họ đường cong C m : y = x − 3x + mx + − m ( m tham số) () ( ) ( ) Đường thẳng d : y = − x cắt đường cong C họ C m điểm phân biệt A, B,C (theo thứ tự), tiếp tuyến A tiếp tuyến B (C ) cắt đường cong điểm thứ hai M N Tìm m để tứ giác AMBN hình thoi (C ) : y = −x + 4x − Tìm m n để đường thẳng (d ) : y = mx + n cắt đường cong (C ) điểm phân biệt A, B,C , D ( theo thứ 4 Cho đường cong BC tự ) cho AB = CD = Hướng dẫn : a −1 − −1   = ⇔ a = −2 a)   −1 − b = −3  f ' = −3  b ) a = −6, b = 2 a ) d : y = m x − − ⇒ m = y = 2x − , m = −2 ( ) ( ) () () ( ) ( ) (y = −2x ) 1 5 b ) M  ; −  , y = 2x − 2 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A ( −1;2 ) đồ thị ba hàm số có tiếp tuyến chung , nói khác đồ thị ba hàm số tiếp xúc điểm A ( −1;2 ) c) f −1 = g −1 = h −1 = 2, f ' −1 = g ' −1 = h ' −1 = , chứng tỏ ( ) d ) O 0; , y = x Cám ơn bạn đọc tài liệu góp ý để tài liệu hoàn chỉnh Tài liệu dài 500 trang, phần rút gọn dạng toán phù hợp học sinh miền Tài liệu miễn phí hồn tồn , khơng có mục đích thương mại Thư từ góp ý gởi Email: phukhanh@moet.edu.vn cám ơn 180 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD 181 ... Hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số , hàm số khơng có đạo hàm • Hàm số đạt cực trị x đồ thị hàm số có tiếp tuyến điểm (x 0; ) f (x ) tiếp tuyến song song với trục hồnh Ví dụ : Hàm số y... sử hàm số f đạt cực trị điểm x Khi , f có đạo hàm ( ) điểm x f '' x = Chú ý : • Đạo hàm f '' điểm x hàm số f không đạt cực trị điểm x • Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm • Hàm. .. cấu trúc BGD Dạng : Tùy theo tham số m khảo sát tính đơn điệu hàm số Ví dụ : Tùy theo m khảo sát tính đơn điệu hàm số: 1 y = x − m m + x + m 3x + m + Giải: * Hàm số cho xác định ℝ ( ) ( ) ( *

Ngày đăng: 02/12/2016, 23:37

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w