Chuyên đề khảo sát hàm số nguyễn phú khánh

ŀ T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD Chương ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1.1 TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa : Giả sử khoảng , đoạn nửa khoảng Hàm số gọi • Đồng biến với ∈ < ⇒ < • Nghịch biến với ∈ < xác định ( ) ( ); ⇒ ( ) > ( ) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu : Giả sử hàm số có đạo hàm khoảng • Nếu hàm số đồng biến khoảng • Nếu hàm số nghịch biến khoảng thì ( ) ≥ với ∈ ; ( ) ≤ với ∈ Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : Giả sử khoảng nửa khoảng đoạn , hàm số liên tục có đạo hàm điểm ( tức điểm thuộc khơng phải đầu mút ) Khi : • Nếu > với ∈ hàm số đồng biến khoảng ; • Nếu • Nếu ( ) ( )< ( )= Chú ý : • Nếu hàm số ( ) hàm số • Nếu hàm số ( ) hàm số với ∈ hàm số nghịch biến khoảng với ∈ hàm số không đổi khoảng liên tục   có đạo hàm đồng biến  liên tục    có đạo hàm ; ( )> khoảng ( )< khoảng nghịch biến   • Giả sử hàm số liên tục đoạn   Nếu hàm số đồng biến khoảng đồng biến đoạn ( )   T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Nếu hàm số  Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD ( ) nghịch biến đoạn nghịch biến khoảng  Nếu hàm số không đổi khoảng ( ) khơng đổi đoạn   Định lý mở rộng Giả sử hàm số có đạo hàm khoảng • Nếu ≥ với ∀ ∈ = số hữu hạn điểm thuộc hàm số đồng biến khoảng ; • Nếu ≤ với ∀ ∈ = số hữu hạn điểm thuộc hàm số nghịch biến khoảng 1.2 DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng : Xét chiều biến thiên hàm số Xét chiều biến thiên hàm số • Tìm tập xác định • Tính đạo hàm = ( ) ta thực bước sau: hàm số = ( ) • Tìm giá trị thuộc để ( )= ( ta gọi điểm tới hạn hàm số ) • Xét dấu = khoảng ( ) ( ) không xác định thuộc • Dựa vào bảng xét dấu điều kiện đủ suy khoảng đơn điệu hàm số Ví dụ 1: Xét chiều biến thiên hàm số sau: + − + − = = − + Giải: + − Hàm số cho xác định khoảng −∞ = ( Ta có: = ( − ) < )∪( ) +∞ ∀ ≠ Bảng biến thiên: −∞ +∞ − − +∞ −∞ T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD ( Vậy hàm số đồng biến khoảng −∞ ) ( + − + Hàm số cho xác định khoảng −∞ − = ) +∞ − ( Ta có: = − − ( + ) +  =− ⇔  = Bảng biến thiên : −∞ ) ∪ (− ) +∞ ∀ ≠− = − +∞ − − + +∞ + − +∞ −∞ Vậy, hàm số đồng biến khoảng − − − ( ( khoảng −∞ − ) ( ) ( ) −∞ , nghịch biến ) +∞ Nhận xét: + ≠ đồng biến nghịch + biến khoảng xác định * Đối với hàm số = * Đối với hàm số = + + ln có hai khoảng đơn điệu + * Cả hai dạng hàm số đơn điệu ℝ Bài tập tương tự : Xét chiều biến thiên hàm số sau: − = + + + = + + = = = = Ví dụ 2: Xét chiều biến thiên hàm số sau: = − − + + = − + − − + + + + − + + + T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD Giải: = − − + + Hàm số cho xác định ℝ Ta có : =− − + = ⇔− − +  =− ⇔  = = Bảng xét dấu : −∞ − +∞ − + − ( ) : > ⇒ đồng biến khoảng ( − ) , + Trên khoảng ( −∞ − ) ( +∞ ) : < ⇒ nghịch biến khoảng ( −∞ − ) ( +∞ ) + Trên khoảng − Hoặc ta trình bày : Hàm số cho xác định ℝ Ta có : =− − + = ⇔− − +  =− ⇔  = = Bảng biến thiên : −∞ − +∞ +∞ − + ( ) Vậy, hàm số đồng biến khoảng − ( −∞ − ) ( − −∞ , nghịch biến khoảng ) +∞ = − + + Hàm số cho xác định ℝ Ta có: = ⇔ = − − + + = − +  =− ⇔  = = Bảng xét dấu: −∞ +∞ − − + + T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD Vậy,hàm số đồng biến khoảng − +∞ nghịch biến khoảng −∞ − Nhận xét: Ta thấy = = , qua không đổi dấu Đối với hàm bậc bốn = + + + + ln có khoảng đồng biến khoảng nghịch biến Do với hàm bậc bốn đơn điệu ℝ Bài tập tương tự : Xét chiều biến thiên hàm số sau: = = − + + + = − = + + + + + =− − − = − = − + − + + Ví dụ : Xét chiều biến thiên hàm số sau: = − = = − = − + − + + Giải: = − ( ) Hàm số cho xác định nửa khoảng −∞  ∪  +∞ − Ta có: = ∀ ∈ −∞ ∪ +∞ − = Hàm số đạo hàm điểm = Cách : ( ( + Trên khoảng ( ): +∞ ) : + Trên khoảng −∞ Cách : Bảng biến thiên : −∞ − < > ) ( ) ( ⇒ hàm số đồng biến khoảng ( ), +∞ ) ⇒ hàm số nghịch biến khoảng −∞ + +∞ T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD ( ) đồng biến khoảng ( Vậy , hàm số nghịch biến khoảng −∞ = − Hàm số cho xác định nửa khoảng −∞ − = ( ( Suy ra, khoảng −∞ ) ( ) : = = ⇔ = Bảng biến thiên: −∞ +∞ − || − + − Hàm số cho xác định đoạn  − − = (  ) ∀ ∈ − − Hàm số khơng có đạo hàm điểm = − Ta có: || , nghịch biến khoảng −∞ Hàm số đồng biến khoảng = ) ) ( ) ∀ ∈ −∞ ∪ − Hàm số khơng có đạo hàm điểm = Ta có: +∞ ( Trên khoảng − ): = ⇔ = =± Bảng biến thiên: −∞ − || −  Hàm số đồng biến khoảng  −       − −            +∞ − + − ||   , nghịch biến khoảng   10 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD = + − + + Hàm số cho xác định ℝ + Ta có: = − + + = ⇔ + + =   ≥− ⇔  +  + Bảng biến thiên : −∞ + = ( + ) ⇔ =− +∞ − + − Hàm số đồng biến khoảng −∞ − , nghịch biến khoảng − +∞ Bài tập tương tự : Xét chiều biến thiên hàm số sau: = − = + − = − = − = − + = = ( ) − − + + + − Ví dụ :Xét chiều biến thiên hàm số sau: = Giải:  − − ≤− ∨ ≥  = − − = + − < < − + Hàm số cho xác định ℝ  − Ta có: = − < < − + Hàm số khơng có đạo hàm = − = + Trên khoảng − : = ⇔ = ; ( ) + Trên khoảng ( −∞ − ) : + Trên khoảng ( +∞ ) : + + − − < ; > 11 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Bảng biến thiên: −∞ Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD − − + − Hàm số đồng biến khoảng − khoảng −∞ − +∞ + +∞ , nghịch biến Bài tập tương tự : Xét chiều biến thiên hàm số sau: = =− − + + + − + Ví dụ : Xét chiều biến thiên hàm số sau: =− + − + = + + = − − đoạn  π  + Giải : Hàm số cho xác định đoạn  π  Ta có: = Trên đoạn  π  : ( = ) − ∈  π   ∈ π     = ⇔  ⇔  =   = π ∨ = π ∨ = π Bảng biến thiên: π + π − π + π −  π Dựa vào bảng biến thiên suy : hàm số đồng biến khoảng     π π  π π   π  π    , nghịch biến khoảng          Bài tập tương tự : Xét chiều biến thiên hàm số sau: 12 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD =  π khoảng     = khoảng ( ( π ) )  π khoảng       π π =  − +  +  đoạn  π      đồng biến đoạn Ví dụ 6: Chứng minh hàm số = + = − −  π π    nghịch biến đoạn  π      Giải : Hàm số cho xác định đoạn  π  Ta có: ( π) ⇒ ( − ) > nên ∈ ( π) ( π) ⇔ =  π  + Trên khoảng   : > nên hàm số đồng biến đoạn     π  + Trên khoảng  π  : < nên hàm số nghịch biến đoạn   π Vì ∈ = = ⇔ = Bài tập tương tự : Chứng minh hàm số ( )=( −  π đoạn     Chứng minh hàm số = − Chứng minh hàm số = đồng biến khoảng = + (π )(π − + − π ;  π   π   ) đồng biến nghịch biến ℝ ( π ) π) Chứng minh hàm số  đồng biến khoảng   π    π π nghịch biến khoảng     13 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD Dạng : Tùy theo tham số khảo sát tính đơn điệu hàm số Ví dụ : Tùy theo = khảo sát tính đơn điệu hàm số: ( − ) + + + + Giải: Hàm số cho xác định ℝ + Ta có = − = = ( ) + ≥ + % = ∀ ∈ ℝ = ( − ) điểm ( = Hàm số đồng ) biến nửa khoảng −∞   +∞ Do hàm số đồng biến ℝ + = = ( − ) ≥ ∀ ∈ ℝ = ( = Hàm số điểm ) đồng biến nửa khoảng −∞   +∞ Do hàm số đồng biến ℝ  = + ≠ ≠ = ⇔  = ⋅ Nếu < > < Bảng xét dấu : +∞ −∞ + − + ( Dựa vào bảng xét dấu, suy hàm số đồng biến khoảng −∞ ( ) ( +∞ , giảm khoảng ⋅ Nếu < < Bảng xét dấu : ) > +∞ −∞ + − + ( Dựa vào bảng xét dấu, suy hàm số đồng biến khoảng −∞ ( ) ) +∞ , giảm khoảng ( ) ) Bài tập tự luyện: Tùy theo khảo sát tính đơn điệu hàm số: = = − ( − + ) − + ( − − ) + + + 14 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ( • Gọi = ( • Vì tạo ⇔ ⇔ hệ số góc tiếp tuyến ≠ =− = ( ) ) tọa độ tiếp điểm cần tìm ) − Tài Liệu ơn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD ( ( − − góc =− ) ) = + − =  =−  ⇔   = điều không xảy ⇔ − =  ⇔  = ⇒ = = ⇒ =− ⇒ ( ) ( −) ⇒ + , có đồ thị Tìm tất tham số − để đường thẳng = + cắt hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến song song với Giải : Đường thẳng = + cắt hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến = Ví dụ : Cho hàm số + − song song với phương trình nghiệm phân biệt trình ( )= ( thỏa mãn điều kiện −  % = − +  ⇔ = +  − − =  ( () ) ( Ví dụ 3: Cho hàm số điểm ) − ( ( − − = ) − + ) = =− ( có hai có − nghiệm phân biệt ) ⇔ + khác = )> − + , cho tiếp tuyến phân biệt − + ( ) = ( ) Khi phương thỏa mãn điều kiện + = − ≠ có đồ thị ⇔ = Tìm đồ thị cắt hai trục tọa độ cho diện tích tam giác hai điểm có diện tích Giải : 167 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ( Gọi )∈( ) ⇒ Phương trình tiếp tuyến Tiếp tuyến      ( = + ⇒ ) + = cắt hai trục tọa độ =    Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD ( + : = + + = − − = =   ⇔   =− ⇔ ⇒ = ⇒ ( +  −  ( ) ) + ) ( + (− = ( ⇔ − +  − ,  ( ) ) ), ) =  −   Ví dụ : Chứng minh tiếp tuyến − + có diện tích Vậy có hai điểm thỏa mãn u cầu toán = qua ( + hai điểm phân biệt   cho diện tích tam giác    ⇔ )  −  ( ) đồ thị song song với hai tiếp điểm đối xứng ( ) = − + ) ( ( ) = − + ) tọa độ tiếp điểm ( ) đồ thị ( ) song song với + = − + ⇔ + = ( )= ( )⇔ −  = − ⇒ ( ) = − + + = tồn > Với   = + ⇒ ( ) = − + + Gọi ( Giải :   =  Dễ thấy trung điểm đoạn có tọa độ    = đối xứng qua Do hai tiếp điểm + = ( )+ ( ) = 168 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD π Tìm α ∈   cho điểm −   Chứng minh rằng, tiếp tuyến ( + α ) nằm đồ thị điểm cắt hai tiệm cận hai điểm đối xứng qua điểm Giải : Vì nên: ( + α ) nằm đồ thị = Ví dụ : Cho hàm số ( + α) α− + = α− ⇔ π Vì α ∈   nên   α = α+ = ⇒α = π Tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M là: hay ( ) =− +  = − ) hệ phương trình:  =  Suy ra, + +    α =        −   = = tại: Tiếp tuyến ( ) cắt tiệm cận xiên tai điểm   Dễ thấy:    ⇒ α = +   Tiếp tuyến ( ) cắt tiệm cận đứng (  ⇔   = = = = + + ( có tọa độ nghiệm  = ⇔ =  đối xứng qua điểm ) ( ⇒ ) (đpcm) − cắt đường − tiệm cận hai điểm phân biệt Tìm tọa độ điểm cho đường có diện tích nhỏ , với giao điểm hai tròn ngoại tiếp tam giác tiệm cận Giải : − Gọi ∈ ⇒ = =− − − Ví dụ 6: Gọi ( ( ) tiếp tuyến đồ thị ) ( ) = ( ) 169 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Phương trình tiếp tuyến Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD ( ) : = − ( − ( ) cắt hai đường tiệm cận hai điểm phân biệt    Dễ thấy trung điểm ) − −   −  ) − ( ) giao điểm hai đường tiệm cận vuông nên đường tròn ngoại tiếp tam giác      − =π =π − + −   =π − +     −        = ⇒ Dấu đẳng thức xảy − = ⇔ −  = ⇒ có diện tích −  ≥ π  = = ( ) ( ) thỏa mãn toán Vậy Bài tốn : Phương trình tiếp tuyến đồ thị Cách : ( () )+ − ( ) qua điểm ( = có hệ số góc ) có dạng : tiếp xúc với đồ thị Cách : ( ) ( ) qua điểm • Phương trình đường thẳng • − ( Tam giác = − + ( )  hệ sau   ( )= ( ( )= − )+ có nghiệm ) tọa độ tiếp điểm đồ thị ( ) tiếp tuyến ( ) qua điểm , nên ( ) có dạng = ( − )+ • ( ) qua điểm nên có phương trình : = ( − )+ ( ) • Từ phương trình ( ) ta tìm tọa độ điểm ( ) , từ ta tìm phương trình đường thẳng ( ) • Gọi ( Ví dụ 2: Cho hàm số : ∈ cắt = − + có hoành độ Với giá trị điểm phân biệt khác Giải : có đồ thị tiếp tuyến Giả sử 170 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ∈ Vì  = −   có hệ số góc = có dạng : nên Tiếp tuyến Tiếp tuyến = − + ⇒ ( ) Tiếp tuyến + − () phương trình sau có − Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD − + ( )= + % ⇔  = − = − − = − cắt − + − + điểm phân biệt khác nghiệm phân biệt : = +    + − + − − − + = có − + hay phương trình nghiệm phân biệt , nghĩa phương trình = có hai nghiệm phân biệt khác >  ⇔  ≠  < cần tìm   ≠ ± Bài tập tương tự : Tìm để tiếp tuyến qua điểm −  < ⇔  ≠ ± < ≠ Vậy giá trị = − + ( phải qua gốc tọa độ + ) đồ thị hàm số Bài :SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG CONG Bài toán : Hai đường cong ( ) ( ) = ( ) tiếp xúc  ( ) = ( ) có nghiệm hệ phương trình sau:  = ( ) ( )  Ví dụ : Tìm tham số thực để đường thẳng ( ) = ( − ) tiếp xúc với đồ thị ( ) ( ) =− = + Giải : 171 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD  + = − − tiếp xúc với hệ sau :  có nghiệm − + =   =  = ⇒ =−  − + =   − − = ⇔ ⇔ ⇔    =− ⇒ = = − +   =− +   Ví dụ : Tìm trục hồnh điểm mà từ kẻ đến đồ thị () ( ( ) )() () = hàm số : − ∈ Gọi () ( ⇒ trình có dạng : hai tiếp tuyến tạo với ) () Giải : , đường thẳng qua ( = góc − có hệ số góc )  = −   − tiếp tuyến đồ thị hệ sau có nghiệm :  − =   −  ( ( − = − (  =  ⇔ =   • • ) − ( ⇒ = + = − ( ⇒ • Tiếp tuyến qua với ! = + ) − ) ) =  ≠− + = ) ⇔ ( − , phương góc − + = = ) − − ( + ) tạo với đồ thị hàm số : = − hai tiếp tuyến tạo ⇒ ( + ) = ⇒ = ± 172 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ( Vậy )( − Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD ) + Ví dụ :Tìm tất điểm trục hoành điểm mà qua vẽ = + mà có tiếp tiếp tuyến đến đồ thị ( ) tuyến vuông góc với ( )∈ ⇒( ) = ( Gọi Giải : , đường thẳng ( ) qua − có hệ số góc )  3+  ( ) tiếp xúc với ( ) hệ sau có nghiệm :  +  , suy : + = + − ⇔ Từ = − = + −  = ⇔ − − − =  • = ⇒ = ⇒ tiếp tuyến Qua kẻ tiếp tuyến đến đến đồ thị ( ) mà có vng góc với Khi có nghiệm phân biệt ≠ =− ⇔   −   ≠  ⇔ % >  +   − =  = −    − +  ≠   ⇔ −    =−   ( ( )+ )+ tiếp tuyến > ( + )+ =−  > − vaø a ≠  Với   = + ⇒ ( ) = − + + Gọi (   =  có tọa độ  Dễ thấy trung điểm đoạn   = Do hai tiếp điểm đối xứng qua + = ( )+ ( ) = π Tìm α ∈   cho điểm −   Chứng minh rằng, tiếp tuyến ( + α ) nằm đồ thị điểm cắt hai tiệm cận hai điểm đối xứng qua điểm Ví dụ : Cho hàm số Giải : α ) nằm đồ thị nên: ( + Vì ( + + α) α− = = α− ⇔ π Vì α ∈   nên   α = α+ = ⇒α = π Tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M là: hay ( ) =− +  ⇔   ⇒    α = α =        −   = +   Tiếp tuyến ( ) cắt tiệm cận đứng = tại: Tiếp tuyến ( ) cắt tiệm cận xiên tai điểm ( ) có tọa độ nghiệm 176 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ( Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD  = − + ) hệ phương trình:  =  +   Dễ thấy:    + Suy ra, = = = =  = ⇔ =  + đối xứng qua điểm ( ⇒ ) (đpcm) − cắt đường − tiệm cận hai điểm phân biệt Tìm tọa độ điểm cho đường có diện tích nhỏ , với giao điểm hai tròn ngoại tiếp tam giác tiệm cận Giải : Ví dụ 6: Gọi Gọi ( ( ) tiếp tuyến đồ thị )∈( ) ⇒ Phương trình tiếp tuyến − = =− − ( ) = ( : = ) − − ( − ( ) cắt hai đường tiệm cận hai điểm phân biệt    Dễ thấy trung điểm ) − −   −  − ( − ) ( ) giao điểm hai đường tiệm cận Tam giác vng nên đường tròn ngoại tiếp tam giác      −  =π =π − + −   =π − +     −        = ⇒ Dấu đẳng thức xảy − = ⇔ −  = ⇒ Vậy − + có diện tích −  ≥ π  = = ( ) ( ) thỏa mãn tốn Bài tốn : Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( ) = ( ) qua điểm ( ) Cách : 177 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD • Phương trình đường thẳng ( ) qua điểm ( = )+ − có hệ số góc  = ( ) tiếp xúc với đồ thị ( ) hệ sau  (( )) = (  • Cách : có dạng : − )+ có nghiệm ) tọa độ tiếp điểm đồ thị ( ) tiếp tuyến ( ) qua điểm , nên ( ) có dạng = ( − )+ • ( ) qua điểm nên có phương trình : = ( − )+ ( ) • Từ phương trình ( ) ta tìm tọa độ điểm ( ) , từ ta tìm phương trình đường thẳng ( ) • Gọi ( = Ví dụ 2: Cho hàm số : ∈ cắt − + có đồ thị có hồnh độ Với giá trị điểm phân biệt khác Giả sử tiếp tuyến Giải :   Vì ∈ nên = − +     Tiếp tuyến có hệ số góc = − có dạng : Tiếp tuyến = − + ⇒ ( ) Tiếp tuyến phương trình sau có − + − = () + ( )= + % ⇔  = − = − − cắt − + − + điểm phân biệt khác nghiệm phân biệt : − + = − + − − ≠ − + = có − + hay phương trình nghiệm phân biệt , nghĩa phương trình = có hai nghiệm phân biệt khác >  ⇔  − ≠ <  < ⇔ ≠±  178 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD  < cần tìm   ≠ ± Bài tập tương tự : Tìm để tiếp tuyến qua điểm Vậy giá trị = − + ( ) đồ thị hàm số + phải qua gốc tọa độ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Tìm tiếp tuyến ( ) có hệ số góc − thị ứng với giá trị Tìm Tìm ( )= + biết đồ thị hàm số    tiếp xúc với điểm ( −       ) tiếp xúc với − = Chứng minh hai đường cong + = Viết phương trình đường thẳng qua điểm =  −  Khảo sát biến thiên vẽ đồ parabol qua điểm vừa tìm biết đồ thị hàm số hypebol − − ( )= biết đồ thị hàm số + − = + − tiếp xúc , viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường cong Chứng minh rằg đồ thị ba hàm số ( )=− + điểm ( − ) + ( )= − + ( )= + + tiếp xúc Chứng minh đồ thị hàm số ( )= + ( )= tiếp xúc Xác định tiếp điểm viết + phương trình tiếp tuyến chung hai đường cong điểm Chứng minh đồ thị hàm số ( )= − ( )= − tiếp xúc Xác định tiếp điểm viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường cong điểm 179 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ( ) Cho họ đường cong Đường thẳng () = điểm phân biệt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD − = − + + − cắt đường cong (theo thứ tự), tiếp tuyến ( tham số) ( ) họ ( ) tiếp tuyến ( ) cắt đường cong điểm thứ hai Tìm để tứ giác hình thoi ( ) Cho đường cong () = + cắt đường cong = tự ) cho = ( ) ( )= = () = (  −   =    − − Tìm ( ) để đường thẳng điểm phân biệt ( theo thứ  = − ⇔  = − () =− + Hướng dẫn :  − − −   − −  =−  =− )− ⇒ = ( = − ) =− ( =− ) − ( − ) = ( − ) = ( − ) = ( − ) = ( − ) = ( − ) = , chứng tỏ ( − ) đồ thị ba hàm số có tiếp tuyến chung , nói khác đồ thị ba hàm số tiếp xúc điểm ( − ) ( ) = Cám ơn bạn đọc tài liệu góp ý để tài liệu hồn chỉnh Tài liệu dài 500 trang, phần rút gọn dạng toán phù hợp học sinh miền Tài liệu miễn phí hồn tồn , khơng có mục đích thương mại Thư từ góp ý gởi Email: phukhanh@moet.edu.vn cám ơn 180 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD 181 ... tham số khảo sát tính đơn điệu hàm số Ví dụ : Tùy theo = khảo sát tính đơn điệu hàm số: ( − ) + + + + Giải: Hàm số cho xác định ℝ + Ta có = − = = ( ) + ≥ + % = ∀ ∈ ℝ = ( − ) điểm ( = Hàm số. .. chiều biến thiên hàm số Xét chiều biến thiên hàm số • Tìm tập xác định • Tính đạo hàm = ( ) ta thực bước sau: hàm số = ( ) • Tìm giá trị thuộc để ( )= ( ta gọi điểm tới hạn hàm số ) • Xét dấu...  Định lý mở rộng Giả sử hàm số có đạo hàm khoảng • Nếu ≥ với ∀ ∈ = số hữu hạn điểm thuộc hàm số đồng biến khoảng ; • Nếu ≤ với ∀ ∈ = số hữu hạn điểm thuộc hàm số nghịch biến khoảng 1.2 DẠNG