GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 1 đh ĐÔNG á

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÔNG Á ThS.PHẠM THỊ NGỌC MINH GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH LƯU HÀNH NỘI BỘ Đà Nẵng Môn: Giải Tích CHƯƠNG.1 HÀM SỐ 1.1 HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 1.1.1 Định nghĩa Cho hai tập khác rỗng X, Y ⊂ R, ánh xạ f : X → Y x ֏ y = f(x) gọi hàm số (một biến số) xác định X X: Miền xác định hàm số f(X) : Miền giá trị hàm số x: biến độc lập (đối số) y = f(x) : hàm biến độc lập Tập hợp Gf = {(x,y) ∈ R2| x ∈ X, y = f(x)} gọi đồ thị hàm f 1.1.2 Hàm số hợp Cho X ⊂ R, Y ⊂ R, Z ⊂ R Cho hàm số f : X →Y g : Y → Z Ánh xạ hợp f g h = gof hàm số gọi hàm số hợp hai hàm số f g h:X →Z x ֏ h(x) = g[f(x)] Ví dụ 1.1: X=Y=Z=R Cho hai hàm số f(x) = x2 + , g(x) = 3x + f[g(x)] = f(3x + 1) = (3x + 1)2 + g[f(x)] = 3(x2 + 2) + 1.1.3 Hàm số ngược Cho song ánh f : X → Y (X, Y⊂ R) Khi ánh xạ ngược f-1 : Y → X gọi hàm ngược hàm f x = f-1(y) ⇔ y = f(x), x ∈ X, y ∈ Y Người ta thường viết lại hàm ngựơc hàm y = f(x) y = f-1(x) Đồ thị hai hàm số ngược đối xứng qua đường phân giác góc phần tư thứ Ví dụ 1.2: Hàm y = 2x + có hàm số ngược x = f-1(y) = y −1 x −1 hay y = 2 Môn: Giải Tích Ví dụ 1.3: Xét ánh xạ f: R → R x ֏ x2 * y ∈ R, y < 0: Phương trình x2 = y vô nghiệm ⇒ f không toàn ánh * y ∈ R, y < 0: Phương trình x2 = y có hai nghiệm x = ± y ⇒ f không đơn ánh Vậy f hàm ngược 1.2 CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 1.2.1 Hàm số lũy thừa y = xα (α∈ R*) Miền xác định hàm số lũy thừa phụ thuộc α * Với α ∈ N : Miền xác định R * Với α ∈ Z- : Miền xác định R\{0} * Với α số hữu tỉ không nguyên số vô tỉ quy ước xét y = x x > 0, tức miền xác định hàm luỹ thừa R*+ α x3 Chú ý: y = hàm luỹ thừa với tập xác định R*+, không lẫn lộn với hàm y = x có tập xác định R Đồ thị qua điểm A(1, 1) Nếu α > đồ thị qua O(0, 0) Nếu α < đồ thị không qua O Hình 1.1: Đồ thị hàm số lũy thừa y = xα (α∈ R*) 1.2.2 Hàm số mũ y = ax (a > , a ≠ 1) Số a gọi số hàm số mũ • y = ax tăng a > (đồng biến) Môn: Giải Tích • y = ax giảm < a < (nghịch biến) Đồ thị qua điểm (0, 1) Hình 1.2: Đồ thị hàm số y = ax 1.2.3 Hàm số logarit y = logax (a > 0, a ≠ 1) Hàm y = logax hàm ngược hàm y = ax, nghĩa y = logax ⇔ x = ay Miền xác định D = R*+ • a > hàm đồng biến Với < x ≤ loga x ≤ Khi đó: Với x ≥ loga x ≥ • < a Khi ta nói: + Khoảng (xo - δ, xo + δ) δ-lân cận điểm xo Môn: Giải Tích + Khoảng (xo - δ, xo) δ-lân cận trái điểm xo + Khoảng (xo, xo + δ) δ-lân cận phải điểm xo + Tập hợp U chứa δ-lân cận điểm xo gọi lân cận điểm xo, kí hiệu: U(xo) Định nghĩa Cho hàm f xác định lân cận U(xo) (có thể trừ xo) Số L gọi giới hạn hàm f x dần tới xo với ε > cho trước, tồn δ > 0, cho x ∈ U(xo), < |x - xo| < δ |f(x) - L| < ε Kí hiệu: lim f ( x ) = L x→ xo Ví dụ 1.5: Cho f(x) = C, C số Ta chứng minh: lim f(x) = C x→ x0 Cho trước ε > 0, f(x) = C, ∀x nên với δ > 0, |x - xo| < δ có: |f(x) - C| = |C - C| = < ε Vậy ta có điều phải chứng minh Định nghĩa (Giới hạn phía) + Số L gọi giới hạn bên trái ∀ ε > cho trước, ∃δ > cho: xo − δ < x < xo ⇒ f ( x) − L < ε Kí hiệu: lim f ( x ) = L x → x −0 + Số L gọi giới hạn bên phải ∀ ε > cho trước, ∃δ > cho: x o < x < x o + δ ⇒ f (x) − L < ε Kí hiệu là: lim f ( x ) = L x → x 0+ Định lý: Điều kiện cần đủ để lim f ( x ) = L lim f ( x ) = lim f ( x ) = L x → xo x → x 0− x → x0+ 1.3.2 Các phép toán giới hạn Khi nói đến giới hạn hàm số, ta phải xét giới hạn x → xo hay x → ∞, mà ta thường gọi tắt “trong trình đó” Định lí 1: a) b) Cho lim f1 ( x) = L1 ; lim f ( x) = L x→a lim Cf1(x) = CL1 x →a x→a với C số lim (f1(x) + f2(x))= L1 + L2 x →a Môn: Giải Tích c) lim f1(x)f2(x) = L1L2 x →a f1 ( x ) L1 với L ≠ = x → a f (x) L2 d) lim Nhận xét: Khi L1 = + ∞ ; L2 = - ∞ Về mặt hình thức ta có dạng ∞ - ∞ dạng vô định, trường hợp lim (f1(x) + f2(x)) chưa khẳng định có giới x →a hạn hay không Trường hợp (c): Khi L1= (L1= ∞ ), L2 = dạng ∞ dạng vô định ∞ (L2= 0) mặt hình thức có Trường hợp (d): Khi L1=0 (L1= ∞ ), L2 = (L2 = ∞ ) dạng vô định ∞ ∞ Khi gặp dạng vô định tuỳ trường hợp để tìm cách khử dạng vô định Ví dụ 1.6: Xét lim x →0 Có dạng lim x →0 1+ x −1 x , nhân liên hiệp tử mẫu với + x + 1 1+ x −1 x = lim = x →0 x x ( + x + 1) Định lí 2: Xét hàm hợp fou : x ֏ f[u(x)] Nếu: Trong trình u(x) → uo f(u) xác định uo lân cận uo lim f (u ) = f (u o ) trình u →u ta có lim f[u(x)] = f(uo) = f[lim u(x)] Ví dụ 1.7: Xét lim (3x − x + 1) 20 x→2 Đặt u(x) = 3x2 – 2x +1 Ta có: lim u ( x ) = u ( ) = x→2 [ ] Suy lim(3 x − x + 1) 20 = lim [u ( x )]20 = lim u ( x) = 920 x→ x →2 20 x→2 1.3.3 Hai tiêu chuẩn tồn giới hạn Tiêu chuẩn 1: Giả sử ba hàm số f(x), g(x), h(x) thỏa mãn bất đẳng thức Môn: Giải Tích f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) , ∀ x ∈ (a, b) Khi đó, lim f ( x ) = lim h( x) = L x→ xo x→ xo lim g ( x) = L x→ xo Ví dụ 1.8: Chứng minh: lim x→0 sin x =1 x Xét đường tròn đơn vị x > Ta có: S ∆ OAB < Squạt OAB < S ∆ OAM OA.OB.sin x OA2 x OA AM < < ⇔ 2 ⇔ OA sin x < OA x < OA.OA AM OA ⇔ OA2 sin x < OA2 x < OA2 tgx sinx < x < tgx Chia cho sinx x < sin x cos x sin x ⇔1 > > cos x x sin x ⇔ cos x < , a ≠ 1) 1.2.3 Hàm số logarit y = logax (a > 0, a ≠ 1) 1.2.4 Các hàm số lượng giác 1.2.5 Các hàm số lượng giác ngược 1.2.6 Các hàm số sơ cấp 1.2.7 Hệ tọa độ cực 1.3 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Các phép toán giới hạn 1.3.3 Hai tiêu chuẩn tồn giới hạn 1.3.4 Vô bé vô lớn 10 1.3.5 Các dạng vô định cách khử 12 1.4 HÀM LIÊN TỤC – TÍNH CHẤT CỦA HÀM LIÊN TỤC 14 1.4.1 Định nghĩa 14 1.4.2 Các tính chất hàm liên tục 15 CHƯƠNG.2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 18 2.1 ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM – CÁC PHÉP TÍNH CỦA ĐẠO HÀM – ĐẠO HÀM CẤP CAO 18 2.1.1 Định nghĩa đạo hàm 18 2.1.2 Các quy tắc tính đạo hàm 20 2.1.3 Đạo hàm cấp cao 21 2.2 VI PHÂN – VI PHÂN CẤP CAO 23 2.2.1 Vi phân hàm biến 23 78 Môn: Giải Tích 2.2.2 Vi phân cấp cao 23 2.2.3 Ứng dụng vi phân để tính gần 23 2.3 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ HÀM KHẢ VI 24 2.3.1 Định lý Fermat: 24 2.3.2 Định lý Rolle: 24 2.3.3 Định lý Cauchy: 24 2.3.4 Định lý Lagrange: 24 2.3.5 Định lý (về tính đơn điệu): 24 2.3.6 Định lý (cần đủ để hàm hằng): 24 2.3.7 Định lý (cực trị): 24 2.4 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM .24 CHƯƠNG.3 TÍCH PHÂN 27 3.1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 27 3.1.1 Tích phân bất định 27 3.1.2 Các phương pháp tính tích phân 29 3.2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 35 3.2.1 Định nghĩa tích phân xác định 35 3.2.2 Các tính chất tích phân xác định 36 3.2.3 Các phép tính tích phân xác định 38 3.3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG .40 3.3.1 Trường hợp cận lấy tích phân vô hạn (Tích phân suy rộng loại I) 40 3.3.2 Trường hợp hàm số lấy tích phân không bị chặn (Tích phân suy rộng loại II) 41 3.3.3 Các tiêu chuẩn xét hội tụ tích phân: 42 CHƯƠNG.4 LÝ THUYẾT CHUỖI 44 4.1 CHUỖI SỐ 44 4.1.1 Các khái niệm 44 4.1.2 Chuỗi số dương 45 4.1.3 Chuỗi với số hạng có dấu 49 4.2 DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM 50 4.2.1 Các khái niệm 50 4.2.2 Hội tụ 50 79 Môn: Giải Tích CHƯƠNG.5 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 56 5.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 56 5.1.1 Định nghĩa phương trình vi phân cấp – Nghiệm phương trình vi phân 56 5.1.2 Phương trình vi phân dạng tách biến 58 5.1.3 Phương trình vi phân dạng đẳng cấp 58 5.1.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 60 5.1.5 Phương trình Becnuli 61 5.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI 63 5.2.1 Định nghĩa phương trình vi phân cấp hai – Nghiệm phương trình vi phân cấp hai 63 5.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số 69 80 Môn: Giải Tích DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ Hình 1.1: Đồ thị hàm số lũy thừa y = xα (α∈ R*) Hình 1.2: Đồ thị hàm số y = ax Hình 1.3: Đồ thị hàm số logarit y = logax Hình 1.4: Đồ thị hàm số lượng giác Hình 1.5: Đồ thị hàm số lượng giác tgx Hình 1.6: Đồ thị hàm số lượng giác cotgx Hình 1.7: Đồ thị hàm số lượng giác ngược y= arcsinx Hình 1.8: Đồ thị hàm số lượng giác ngược y= arcosx Hình 1.9: Đồ thị hàm số lượng giác ngược y= arctgx Hình 1.10: Đồ thị hàm số lượng giác ngược y= arcotgx 81 [...]... cos 4 t 33 Môn: Giải Tích 1 = d(sin t ) ∫ (1 − sin t ) 2 2 ⇒I= Đặt sint = y dy ∫ (1 − y ) = 2 2 dy ∫ [ (1 − y ) (1 + y )] 2 Ta có: 1  (1 − y ) (1 + y )  2 A B C D + + + 2 2 (1 − y) (1 + y) 1 − y 1 + y = nên suy ra: A (1+ y)2 + B (1- y)2 + C (1- y) (1+ y)2 + D (1+ y) (1- y)2 = 1 ⇒ B= Cho: y = -1 1 4 1 4 y =1 ⇒ y=0 ⇒ A + B + C + D =1 y=2 ⇒ 9A + B - 9C + 3D = 1 1 4 9 + A= 1 − 9C + 3D = 1 4 3D - 9C = 1 - 5 2 3 2 3D... C = 1 4  1 1  dy 1 1 1 1 = dy + dy + dy + dy  ∫ (1 − y 2 )2 ∫ 4 (1 − y)2 ∫ 4 (1 + y)2 ∫ 1 − y ∫ 1 + y  =− 1 1 + + ln 1 + y − ln 1 − y + C 1+ y 1 y Cách 2: Dùng phép thế Ơle Khi c > 0 đặt ax 2 + bx + c = c + xt Khi a > 0 đặt ax 2 + bx + c = ax + t Khi A là một nghiệm của tam thức ax2 + bx + c = 0, đặt ax 2 + bx + c = t ( x − A ) 34 Môn: Giải Tích 1 3.2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 3.2 .1 Định nghĩa tích. .. + 1 ~(-x) ; x + 1 ~ x Do vậy: x2 +1 (− x ) = lim = 1 x +1 x → −∞ x * Dạng ∞ - ∞, 0.∞ Đưa về dạng vô định cơ bản 0 ∞ , 0 ∞ Ví dụ 1. 22: lim ( Tìm x→0 Ta có: 1 1 − ) sin x tg x 1 − cos x 1 1 − = sin x tg x sin x 1 2 x  1 1   = lim = 2 ⇒ lim  − =0 x → 0 sin x tgx  x → 0 x  Vì khi x → 0 thì 1 - cos x ~ 1 2 x , sinx ~ x 2 * Dạng 1 Ví dụ 1. 23: 1 Tính lim (1 + 3x) sin 2 x x →0 13 Môn: Giải Tích 1. .. Tính f ’ (1) , f ’(2), f ’(3) 2 Tính đạo hàm của các hàm số: 1) y = x + 3) y = 3 x +3 x 2) y = 1 1 1 + +3 x x x 2 x 4) y = 3 6) y = 1 cos n x x2 − sin 2 x 5) y = sin x 2 1+ x3 1 x3 25 Môn: Giải Tích 1 7) y = tg x x - cotg 2 2 8) exlnsinx 1 xx 9) y = log3(x - sinx) 10 ) y = 11 ) y = ln(x + 1 + x 2 ) 12 ) y = e arctgx 2 3 Tìm đạo hàm các hàm số sau: khi − ∞ < x < 1 1 − x  y =  (1 − x )(2 − x ) khi 1 ≤ x ≤... 1 (1 − a 2 ) ∫ ( ) 2 2 1+ t 1 t2 2 1 − 2a +a 1+ t2 I = (1 − a 2 ) ∫ dt (1 − a ) + t 2 (1 + a ) 2 2 1 − a t (1 + a ) d( ) 1+ a 1 a = (1 − a 2 ) 2  t (1 + a )  2 (1 − a ) (1 +    1 a  1+ a  t + C ; 1 a  1+ a x  I = arctg  tg  + C I = arctg  1 a 2 Đặc biệt: • Nếu • Nếu R(sinx,cosx) = R(-sinx,-cosx) thì đặt t = tgx R(sinx,cosx) = - R(sinx,cosx) thì đặt: dt t = sinx ⇒ dx = • Nếu 1 ... nếu x2 a) y = x (1 − x) b) y = 1 x − 3x + 2 2 9 Sử dụng quy tắc Lôpitan tính các giới hạn sau: e ax − e − ax a) lim (a ≠ 0) x →0 ln (1 + x ) c) lim x → +∞ π − 2arctgx 1 ln (1 + ) x π  e) limπ  xtgx − x→  2 cos x  2 b) lim x →0 1 − cos ax x sin x  d) lim  − x 1 ln x x − 1   1 f) lim (1 − x ) tg x 1 1 πx 2 26 Môn: Giải Tích 1 CHƯƠNG.3 TÍCH PHÂN 3 .1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 3 .1. 1 Tích phân bất định... giác a) I = ∫ R (sin x , cos x )dx Trong đó R(sinx,cosx) là một biểu thức hữu tỉ Đổi biến: x 2 Đặt t = tg , − π < x < π sin x = 2t ; 1+ t2 cos x = 1 t 2 ; 1+ t 2 dx = 2dt 1+ t2 31 Môn: Giải Tích 1 2t 1 − t 2 2dt I = ∫ R( , ) 1+ t 2 1+ t 2 1+ t 2 Đưa tích phân về dạng: Ví dụ 3.6: Tính: I = 1 1− a 2 dx 2 ∫ 1 − 2a cos x + a 2 Thực hiện phép đổi biến: t = tg Ta có: I = ( 0 < a < 1; − π < x < π ) x 2 1. ..Môn: Giải Tích 1  1 Áp dụng tiêu chuẩn 2, ta chứng minh được sự tồn tại giới hạn của  1 +  khi  x x  1 x → + ∞ Người ta đặt lim  1 +  = e  x x → +∞  x  1  1 Tổng quát ta có: lim  1 +  = lim  1 +  = e  x  x → −∞ x  x → +∞  x x  1 lim  1 +  = e  n n→∞  n 1 α lim (1 + α) = e α →0  a   lim 1 + u ( x )→∞   u ( x )  u ( x) lim [1 + av ( x )]... và tiếp tục tìm giới hạn Ví dụ 1. 17: 2 x 2 − 3x + 1 (x − 1) (2x − 1) 2x − 1 = lim lim 2 = lim = 1/ 5 x 1 x + 3 x − 4 x 1 ( x − 1) (x + 4) x 1 x + 4 Cách 2: Dùng VCB tương đương Ví dụ 1. 18: lim x →2 tg5(x − 2) 2 x −4 5(x − 2) 5 = x → 2 ( x − 2)(x + 2) 4 = lim Cách 3: Đặt ẩn phụ Ví dụ 1. 19: 1 − sin lim x →π π −x x 2 Đặt t = π - x thì x = π -t ; x → π thì t → 0 Khi đó: x t 1 − cos 2 = lim 2 = − lim lim... (− t ) t →0 1 − sin t2 8 = 0 t 12 Môn: Giải Tích 1 * Dạng ∞ ∞ Cách 1: • B1: Làm xuất hiện thừa số đồng dạng "x - a" khi x → a, hoặc "x" khi x → 0 hay x → ∞ • B2: Giản ước các thừa số đồng dạng đó và tiếp tục tìm giới hạn 28 3 (2 x + 3) 2 (3x − 2) x 3 (12 + + ) x x2 x →∞ 12 x 3 + 5 =1 = lim 5 x →∞ 3 x (12 + ) x3 lim Ví dụ 1. 20: Cách 2: Dùng VCL tương đương Ví dụ 1. 21: lim x → −∞ x2 +1 x +1 Khi x → -∞