Phương trình vô tỉ là một trong những dạng toán khó trong đề thi thpt quốc gia hàng năm. Để giải được loại phương trình này, ngoài các kiến thức cơ bản, đòi hỏi học sinh cần phải có các phương pháp kỹ năng đặc biệt.
Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 04 PP NÂNG LŨY THỪA GIẢI PT VÔ TỈ CƠ BẢN Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Ví dụ Giải phương trình x − x − 10 x + 37 x − 14 = Lời giải: Phương trình cho tương đương với: x − x + x = 14 x − 37 x + 14 ⇔ ( x − x ) = 14 x − 37 x + 14 ⇔ ( x − x ) + 2α ( x − x ) + α = ( 2α + 14 ) x − ( 4α + 37 ) x + α + 14 ⇔ ( x − x + α ) = ( 2α + 14 ) x − ( 4α + 37 ) x + α + 14 ( ∗) Có ∆ (∗) = ( 4α + 37 ) − ( 2α + 14 ) (α + 14 ) = ⇔ α = − 2 5 81 9 Do phương trình ( ∗) ⇔ x − x − = x − 27 x + = x − 2 2 ± 17 x= 9 ⇔ x − x − − x + x − x − + x − = ⇔ ( x − x + )( x + x − ) = ⇔ 2 2 ± 29 x = − Vậy phương trình cho có nghiệm kể Ví dụ Giải phương trình x + x3 − x − 22 x − 35 = Lời giải: Phương trình cho tương đương với: x + x3 + x = x + 22 x + 35 ⇔ ( x + x ) = x + 22 x + 35 ⇔ ( x + x ) + 2α ( x + x ) + α = ( 2α + ) x + ( 2α + 22 ) x + α + 35 ⇔ ( x + x + α ) = ( 2α + ) x + ( 2α + 22 ) x + α + 35 ( ∗) Có ∆ (∗) = (α + 11) − ( 2α + ) (α + 35) = ⇔ α = Do phương trình ( ∗) ⇔ ( x + x + 1) = x + 24 x + 36 = ( x + ) 2 ⇔ ( x + x + − x − )( x + x + + x + ) = ⇔ ( x − x − )( x + x + ) = ⇔ x = ± 21 Vậy phương trình cho có nghiệm kể Ví dụ Giải phương trình x + x3 + 12 x + 14 x + 11 = Lời giải: Phương trình cho tương đương với: x + x + x = −3 x − 14 x − 11 ⇔ ( x + x ) = −3 x − 14 x − 11 Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 ⇔ ( x + x ) + 2α ( x + x ) + α = ( 2α − 3) x + ( 6α − 14 ) x + α − 11 ⇔ ( x + x + α ) = ( 2α − 3) x + ( 6α − 14 ) x + α − 11 ( ∗) Có ∆ (∗) = ( 3α − ) − ( 2α − 3) (α − 11) = ⇔ α = Do phương trình ( ∗) ⇔ ( x + x + ) = x + 10 x + = ( x + 1) ( )( ) ( ) ⇔ x + x + − x − x + 3x + + x + = ⇔ x + − x + = ⇔ x = −3 − ± ( Vậy phương trình cho có nghiệm kể Ví dụ Giải phương trình x + x3 − x − 42 x − 35 = Lời giải: Phương trình cho tương đương với: x + x + x = 11x + 42 x + 35 ⇔ ( x + x ) = 11x + 42 x + 35 ⇔ ( x + x ) − ( x + x ) + = x + 36 x + 36 ⇔ ( x + x − 1) = ( x + ) 2 x = ± x + 3x − = ( x + ) x2 = ⇔ ⇔ ⇔ x = −1 x + x − + ( x + ) = x + 6x + = x = −5 Vậy phương trình cho có nghiệm kể Ví dụ Giải phương trình x − x + 10 x − 28 x + 21 = Lời giải: Phương trình cho tương đương với: x − x + x = −6 x + 28 x − 21 ⇔ ( x − x ) = −6 x + 28 x − 21 ⇔ ( x − x ) + 10 ( x − x ) + 25 = x + x + ⇔ ( x − x + ) = ( x + 1) 2 x − x + = ( x + 1) x2 − x + = x = ⇔ ⇔ ⇔ x = x + = x − x + + ( x + 1) = Vậy phương trình cho có nghiệm kể Ví dụ Giải phương trình sau x + x − x − 13 x − = Lời giải Phương trình cho tương đương x − x − x + x − x − x + x − 10 x − = ⇔ x ( x − x − 1) + x ( x − x − 1) + ( x − x − 1) = x2 − x − = ⇔ ( x − x − 1)( x + x + ) = ⇔ ⇔ x + x + = ( ) ) −1 x = 1+ x = − Vậy phương trình cho có nghiệm x = + 2; x = − Ví dụ Giải phương trình sau x + x3 − x − 26 x − 20 = Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Lời giải Phương trình cho tương đương x − x − x + x3 − x − 16 x + x − 10 x − 20 = ⇔ x ( x − x − ) + x ( x − x − ) + ( x − x − ) = x2 − x − = ⇔ ( x − x − )( x + x + ) = ⇔ ⇔ x + x + = ( ) 2 x = 1+ x = − Vậy phương trình cho có nghiệm x = + 5; x = − Ví dụ Giải phương trình sau x − x3 − x − 30 x − 36 = Lời giải Phương trình cho tương đương x − x3 − x + x − x − 12 x + x − 18 x − 36 = ⇔ x ( x − x − ) + x ( x − x − ) + ( x − x − ) = x − 3x − = ± 33 ⇔ ( x − x − )( x + x + ) = ⇔ ⇔x= x + x + = ( ) 2 Vậy phương trình cho có nghiệm x = + 33 − 33 ;x = 2 Ví dụ Giải phương trình sau x − x3 − 15 x − 38 x − 36 = Lời giải Phương trình cho tương đương x − x3 − x + x − 10 x − 18 x + x − 20 x − 36 = ⇔ x ( x − x − ) + x ( x − x − ) + ( x − x − ) = x2 − 5x − = ± 61 ⇔ ( x − x − )( x + x + ) = ⇔ ⇔x= x + x + = ( ) 2 Vậy phương trình cho có nghiệm x = + 61 − 61 ;x = 2 Ví dụ 10 Giải phương trình sau x − x3 + x + 34 x + 15 = Lời giải Phương trình cho tương đương x − x3 − x − x + 15 x + x − x + 25 x + 15 = ⇔ x ( x − x − 3) − x ( x − x − 3) − ( x − x − 3) = x2 − 5x − = ± 37 ± 29 ⇔ ( x − x − 3)( x − x − ) = ⇔ ⇔x= ;x = 2 x − 3x − = 2 Vậy phương trình cho có nghiệm x = ± 37 ± 29 ;x = 2 Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Ví dụ 11 Giải phương trình x − x + 21x − 20 x + = Lời giải: ĐK: x ∈ ℝ (*) Khi (1) ⇔ x ( x − x + 1) − x ( x − x + 1) + ( x − x + 1) = 3± x = thỏa mãn (*) ⇔ ( x − x + 1)( x − x + ) = ⇔ 5± x = Ví dụ 12 Giải phương trình x − x + x + x + = Lời giải: ĐK: x ∈ ℝ (*) Khi (1) ⇔ x ( x − x − 1) − x ( x − x − 1) − ( x − x − 1) = x = 1± ⇔ ( x − x − 1)( x − x − ) = ⇔ thỏa mãn (*) x = ± Ví dụ 13 Giải phương trình x − x3 + 17 x + 13 x + = Lời giải: ĐK: x ∈ ℝ (*) Khi (1) ⇔ x ( x − x − 1) − x ( x − x − 1) − ( x − x − 1) = x = ± ⇔ ( x − x − 1)( x − x − ) = ⇔ ± 33 thỏa mãn (*) x = Ví dụ 14 Giải phương trình x + x − x − x + = Lời giải: ĐK: x ∈ ℝ (*) Khi (1) ⇔ x3 ( x − 1) + x ( x − 1) + x ( x − 1) − ( x − 1) = 2 ⇔ ( x − 1) ( x3 + x + x − ) = ⇔ ( x − 1)( x − 1) ( x + x + ) = x = ⇔ ( x + x − )( x + x − 3) = ⇔ x = −2 thỏa mãn (*) x = −3 2 Ví dụ 15 Giải phương trình x − x + 10 x − x − = Lời giải: ĐK: x ∈ ℝ (*) Khi (1) ⇔ x3 ( x − 1) − x ( x − 1) + x ( x − 1) + ( x − 1) = ⇔ ( x − 1) ( x3 − x + x + ) = x = thỏa mãn (*) ⇔ ( x − 1)( x − ) ( x − x − 1) = ⇔ x = x = ± 13 Ví dụ 16 Giải phương trình x − x3 − x + x + = Lời giải: ĐK: x ∈ ℝ (*) Khi (1) ⇔ x ( x + 1) − x ( x + 1) + x ( x + 1) + ( x + 1) = ⇔ ( x + 1) ( x − x + x + 3) = Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 x = −1 thỏa mãn (*) ⇔ ( x + 1)( x − 3) ( x − x − 1) = ⇔ x = x = 1± Ví dụ 17 Giải phương trình x − x3 − x + x + = Lời giải: ĐK: x ∈ ℝ (*) Khi (1) ⇔ x3 ( x − 1) − x ( x − 1) − x ( x − 1) − ( x − 1) = ⇔ ( x − 1) ( x3 − x − x − ) = x =1 thỏa mãn (*) ⇔ ( x − 1)( x + ) ( x − x − 3) = ⇔ x = −2 x = ± 21 Ví dụ 18 Giải phương trình x − x3 + 24 x − 19 x + = Lời giải: ĐK: x ∈ ℝ (*) Khi (1) ⇔ x3 ( x − 1) − x ( x − 1) + 16 x ( x − 1) − ( x − 1) = ⇔ ( x − 1) ( x − x + 16 x − 3) = x = thỏa mãn (*) ⇔ ( x − 1)( x − 3) ( x − x + 1) = ⇔ x = x = ± 21 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Câu 1: Giải phương trình sau: a) 3x − = x − b) c) x3 + 3x + − x = d) x2 + 6x = 2x −1 x3 + 3x + x + = x + Câu 2: Giải phương trình sau: a) 3x + − x =3 x −1 + 3x − − 3x = x Câu 3: Giải phương trình sau: c) a) x − − = 3x + c) + x = − x + b) d) b) 4x − x + x+4 −2 = x − 3x − x − − x = x−2 x +1 3x + − x = d) x + − x + = Câu 4: Giải phương trình sau: a) 3x + − x = x − b) c) 3x + − x − + x = 3x + − x − d) x − − x − = 3x + 10 x − − x = −1 x −2 x+3 Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Câu 5: Giải phương trình sau: a) + x + 3x + = x + x + b) 3x − + x + = x + + x − c) x − + x − = x + + 3x + d) 3x + + x = x + + x + Câu 6: Giải phương trình sau: a) x2 − + = x − + x b) x + x + x + = x + − Câu 7: Giải phương trình sau: a) x2 + x + − x2 + x + = b) x2 + + x2 − 3x + = c) 5x + x = 5x2 − x + + d) x2 + x + − x − = x2 − x + Câu 8: Giải phương trình sau: a) 11x + ( − x ) − x = x + 30 b) x + ( x − ) x + = x + c) ( x − 1) x + x + + = x d) − x3 + ( x − 1) x + = x − x Câu 9: Giải phương trình sau: a) x − 3x − x + 3x + − x= x x b) + x − 3x + 3x + + 2x −1 = 2x −1 2x −1 Câu 10: Giải phương trình sau: a) x − x + x − x = 3x + x b) x2 + x + x2 − x = x2 − 5x b) x − x − + x −3+ x − = b) x3 − − x + = x2 + x + − x − x +1 b) x2 − = ( − x ) Câu 11: Giải phương trình sau: a) x −1 − x − + x + + x − = Câu 12: Giải phương trình sau: a) x − x2 − + x + x2 − = x2 + Câu 13: Giải phương trình sau: a) x − = ( x + ) x+3 x−3 x−2 x+2 Câu 14: Giải phương trình sau: a) x + + x2 − x − = b) x + x + = LỜI GIẢI BÀI TẬP Câu 1: Giải phương trình sau: a) 3x − = x − b) c) x3 + 3x + − x = d) x2 + 6x = 2x −1 x3 + 3x + x + = x + Lời giải a) Điều kiện : x ≥ Phương trình cho tương đương x ≥ x ≥ x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇒x=6 ⇔ 2 x = 1; x = 3 x − = x − x + x − 7x + = 3 x − = ( x − ) Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Vậy phương trình cho có nghiệm x = b) Điều kiện : x + x ≥ Phương trình cho tương đương x ≥ 1 + 22 x ≥ x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ⇒x= 2 x2 + 6x = 4x2 − x + 3 x − 10 x + = x = ± 22 x + x = ( x − 1) Vậy phương trình cho có nghiệm x = + 22 c) Điều kiện : x3 + x + ≥ Phương trình cho tương đương x ≥ − x ≥ − x + 3x + = x + ⇔ ⇔ ⇒ x = 4; x = x + 3x + = ( x + 1) x3 − x − x + = Vậy phương trình cho có nghiệm x = 1; x = d) Điều kiện : x ∈ ℝ Phương trình cho tương đương x3 + x + x + = ( x + 1) ⇔ x3 + x + x + = x + x + x + ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Câu 2: Giải phương trình sau: a) 3x + − x =3 x −1 b) + 3x − − 3x c) = x 4x − x + x+4 −2 = x − 3x − x − − x d) = x−2 x +1 Lời giải 3 x + ≥ a) Điều kiện : Phương trình cho tương đương x ≠ x ≥ 3x + − x = 3x − ⇔ x + = x − ⇔ 3x + = ( x − 3)2 x≥ 3 33 + 989 x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ⇒x= 5 50 3 x + = 25 x − 30 x + 25 x − 33 x + = x = 33 ± 989 50 Vậy phương trình cho có nghiệm x = b) Điều kiện : x + x + − ≠ Phương trình cho tương đương 4x − = x + x + − ⇔ 33 + 989 50 x ≥ x + x + = 4x − ⇔ x + x + = ( x − 1)2 Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 x≥ 1 + 29 x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ⇒x= 4 10 x + x + = 16 x − x + 15 x − x − = x = ± 29 10 Vậy phương trình cho có nghiệm x = + 29 10 1 − 3x ≥ c) Điều kiện : Phương trình cho tương đương x ≠ x ≥ −1 + 3x − − 3x = x ⇔ − 3x = x + ⇔ 2 1 − x = ( x + 1) x ≥ −1 x ≥ −1 x ≥ −1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇒x=0 2 x = 0; x = −2 1 − 3x = x + x + 4 x + x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = 3x − x − ≥ d) Điều kiện : Phương trình cho tương đương x + ≠ x − 3x − x − − x = x − x − ⇔ 3x − x − = ⇔ x − x − = ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = ± 73 + 73 − 73 ;x = 6 Câu 3: Giải phương trình sau: a) x − − = 3x + c) + x = − x + b) 3x + − x = d) x + − x + = Lời giải a) Điều kiện: x ≥ Phương trình cho tương đương x − = x + + ⇔ x − = x + + x + ⇔ x + + x + = ( ) Vậy phương trình cho vô nghiệm b) Điều kiện: x ≥ Phương trình cho tương đương 3x + = x + ⇔ 3x + = x + + x ⇔ x + = x x = 13 + 10 ⇔ ( x + 3) = 32 x ⇔ x + x + = 32 x ⇔ x − 26 x + = ⇔ x = 13 − 10 ( l ) Vậy phương trình cho có nghiệm x = 13 + 10 c) Điều kiện: −1 ≤ x ≤ Phương trình cho tương đương x ≥ + x = 10 − x + − x ⇔ x − = − x ⇔ ( x − ) = 36 (1 − x ) Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 9 x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ 2 ( ) 4 x − 36 x + 81 = 36 − 36 x 4 x + 45 = Vậy phương trình cho vô nghiệm d) Điều kiện: x ≥ −2 Phương trình cho tương đương x + = x + + ⇔ ( x + 3) = x + + x + ⇔ x + = x + x+2 =2 x = ⇔ 3( x + 2) = x + ⇔ ⇔ x+2 = x = − Vậy phương trình cho có nghiệm x = 2; x = − Câu 4: Giải phương trình sau: a) 3x + − x = x − b) c) 3x + − x − + x = 3x + − x − d) x − − x − = 3x + 10 x − − x = −1 x −2 x+3 Lời giải: a) 3x + − x = x − ĐK : x ≥ (*) Khi (1) ⇔ 3x + = x + x − ⇔ 3x + = x − + x ( x − 3) ⇔ x − 3x = − x ⇔ x − 3x = − x x = x ≤ 2 − x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ x = − 4 x − x = ( − x ) 3 x + x − = Kết hợp với (*) ta x = thỏa mãn Đ/s: x = b) x − − x − = 3x + ĐK: x ≥ (*) Khi (1) ⇔ x − = x − + 3x + ⇔ x − = x + ⇔2 ( x − 1)( 3x + 1) x ≥ ( x − 1)( 3x + 1) = x − ⇔ 4 ( x − 1)( x + 1) = ( x − 1) x ≥ x ≥ ⇔ x = ⇔ x = ⇔ x = thỏa mãn (*) ( x + 1) = x − 11x + = Đ/s: x = c) 3x + − x − + x =2 3x + − x − Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 1 x ≥ x ≥ x ≥ ĐK: ⇔ ⇔ ⇔x≥ (*) 2 3x + ≠ x − 3 x + ≠ x − x + ≠ Khi (1) ⇔ x + − x − + x = x + − 2 x − ⇔ x − + x = x + ⇔ x − + x ( x − 1) = x + x = ⇔ 2x − x = ⇔ 2x − x = ⇔ x = − 2 Kết hợp với (*) ta x = thỏa mãn Đ/s: x = d) 10 x − − x = −1 x −2 x+3 1 x ≥ x ≥ x ≥ 10 ĐK: 10 ⇔ ⇔ ⇔ x≥ 10 10 x ≠ ( x + 3) 3 x + 12 ≠ x ≠ x+3 (*) Khi (1) ⇔ 10 x − − x = x + − x ⇔ 10 x − = x + + x ⇔ 10 x − = x + + x ⇔ 10 x − = x + + x ( x + 3) ⇔ x + 3x = x − ⇔ x + 3x = x − 4 x − ≥ x ≥ ⇔ ⇔ x = thỏa mãn (*) 2 ⇔ 15 x − 19 x + = x + x = ( x − ) Đ/s: x = Câu 5: Giải phương trình sau: a) + x + 3x + = x + x + b) 3x − + x + = x + + x − c) x − + x − = x + + 3x + d) 3x + + x = x + + x + Lời giải: a) + x + 3x + = x + x + ĐK: x ≥ (*) ( ) ( Khi (1) ⇔ x − x + + ⇔ ) 2x + − x + = x − ( x + 1) + x + − ( x + 3) =0 x + 3x + 2x + + x + x −1 x −1 ⇔ + =0 x + 3x + 2x + + x + 1 ⇔ ( x − 1) + = ⇔ x = thỏa mãn (*) 2x + + x + x + 3x + Đ/s: x = Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG b) Facebook: Lyhung95 3x − + x + = x + + x − ĐK: x ≥ (*) Khi (1) ⇔ ( ) ( 5x − − 4x + + ⇔ ) x + − 3x − = x − − ( x + 1) + x + − ( 3x − ) =0 5x − + 4x + x + + 3x − x−6 6− x ⇔ + =0 5x − + 4x + x + + 3x − 1 ⇔ ( x − 6) − =0 x + + 3x − 5x − + x + x = ⇔ 5x − + x + = x + + 3x − Ta có (2) ⇔ ( ) ( x − − 3x − + ⇔ (2) (3) ) 4x + − 2x + = x − − ( 3x − ) + 4x +1 − ( 2x + 2) =0 x − + 3x − 4x +1 + 2x + 2x −1 2x −1 ⇔ + =0 x − + 3x − 4x +1 + 2x + 1 ⇔ ( x − 1) + =0 4x + + 2x + x − + 3x − ⇔ x= không thỏa mãn (*) nên (3) ⇔ x = thỏa mãn (*) Đ/s: x = c) x − + x − = x + + 3x + ĐK: x ≥ Khi (1) ⇔ (*) ( ) ( 6x + − 5x − + ⇔ ⇔ ) 3x + − x − = 6x + − (5x − 2) x + + 5x − + 3x + − ( x − 1) 3x + + x − =0 x+3 x+3 + = x + + 5x − 3x + + x − 1 Phương trình vô nghiệm với ∀x ≥ Vậy phương trình cho vô nghiệm d) 3x + + x = x + + x + ĐK: x ≥ (*) Khi (1) ⇔ x + + x ( x + ) = x + + ( x + 1)( x + ) ⇔ x + x = x + 14 x + ⇒ 3x + x = x + 14 x + ⇔ x + x + = Phương trình vô nghiệm với ∀x ≥ Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Vậy phương trình cho vô nghiệm Câu 6: Giải phương trình sau: a) x2 − + = x − + x b) x + x + x + = x + − Lời giải: a) x2 − + = x − + x ĐK: x ≥ (*) Khi (1) ⇔ x − = x − + x − ⇒ x − = ( x − ) + ( x − ) + ( x − ) x − 2 ( ) ⇔ ( x − ) ( x + ) − ( x − ) − − x − = ⇔ ( x − ) − x − = x = x = x = ⇔ ⇔ ⇔ 17 thỏa mãn (1) x − = x = ( ) x − = x = Đ/s: x = 17 b) x + x + x + = x + − x +1 ≥ x ≥ −1 ĐK: ⇔ ⇔ x ≥ −1 2 x + x + ≥ ( x + 1)( x + 3) ≥ Khi (1) ⇔ x + + ( x + 1)( x + 3) = ⇔ x +1 Ta có (2) ⇔ ( ( ⇔ x +1 x = −1 x +1 + 2x + − = ⇔ x + + 2x + − ) ( x +1 − + (*) ) ) 2x + − = ⇔ (2) (3) 2x + − x +1− + =0 x +1 + 2x + + ( x − 3) x −3 + ⇔ ( x − 3) + = ⇔ x = + x +1 + 2x + + x + + 2x + x = −1 Dođó (3) ⇔ thỏa mãn (*) x = x = −1 Đ/s: x = Câu 7: Giải phương trình sau: a) x2 + x + − x2 + x + = b) x2 + + x2 − 3x + = c) 5x + x = 5x2 − x + + d) x2 + x + − x − = x2 − x + Lời giải: a) x2 + x + − x2 + x + = ĐK: x ∈ ℝ (*) Khi (1) ⇔ x + x + = x + x + + ⇔ x + x + = x + x + + x + x + Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 x ≥ −3 ⇔ x2 + x + = x + ⇔ 2 4 ( x + x + ) = ( x + 3) x = x ≥ −3 ⇔ ⇔ thỏa mãn (*) x = − x − x − = x = Đ/s: x = − b) x2 + + x2 − 3x + = ĐK: x ∈ ℝ (*) 5 − x + ≥ Khi (1) ⇔ x − x + = − x + ⇔ x − x + = 33 + x − 10 x + x + ≤ 25 x + ≤ ⇔ ⇔ 3 x + 27 ≥ 100 x + = x + 27 10 x + = x + 27 ) ( ) ( x ≤ 17 x = ⇔ x ≥ −9 ⇔ 71 thỏa mãn (*) x = 91 91x − 162 x + 71 = x = Đ/s: 71 x = 91 c) 5x + x = 5x2 − x + + 5 x + x ≥ ĐK: 5 x − x + ≥ (*) Khi (1) ⇔ x + x = x − x + + x − x + ⇔ x − x + = x − ⇔ x − x + = 3x − 1 x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ x = thỏa mãn (*) 5 x − x + = ( 3x − 1)2 4 x − x = Đ/s: x = d) x2 + x + − x − = x2 − x + ĐK: x ≥ (*) Khi (1) ⇔ x + x + = x − + x − x + Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ⇔ x2 + x + = x2 + x + ⇔2 Facebook: Lyhung95 ( x − 1) ( x − x + 1) ( x − 1) ( x − x + 1) = ⇔ ( x − 1) ( x − x + 1) = ⇔ x3 − x + x − = ⇔ ( x − 1) ( x − x + ) = 15 ⇔ ( x − 1) x − + = ⇔ x = thỏa mãn (*) 2 Đ/s: x = Câu 8: Giải phương trình sau: a) 11x + ( − x ) − x = x + 30 b) x + ( x − ) x + = x + c) ( x − 1) x + x + + = x d) − x3 + ( x − 1) x + = x − x Lời giải : a) Điều kiện: ≥ x Phương trình cho tương đương với: ( − x ) − x = x − 11x + 30 x = 5 − x = ⇔ ( − x ) − x = ( − x )( − x ) ⇔ ⇔ − x − − x + = 4− x =6− x ( ∗) ⇔ x = 1 Vì − x − − x + = − x − + > 0; ∀x nên phương trình ( ∗) vô nghiệm 2 Vậy phương trình cho có nghiệm x = b) Điều kiện: x ≥ −3 Phương trình cho tương đương với: ( x − ) x + = x − x + ⇔ ( x − 2) x = x − = x = x + = ( x − )( 3x − 1) ⇔ ⇔ 3x − ≥ ⇔ = x x + = x − x + = ( 3x − 1) Vậy phương trình cho có nghiệm x = 1; x = c) Điều kiện: x ∈ ℝ Phương trình cho tương đương với: ( x − 1) x + x + = x − x = x − = x + x + = ( x − 1)( x + 1) ⇔ ⇔ x + ≥ ⇔ x = x + x + = x + x + x + = ( x + 1) ⇔ ( x − 1) Vậy phương trình cho có nghiệm x = d) Điều kiện: x ≥ −3 Phương trình cho tương đương với: ( x − 1) x + = x3 + x − x − ( ) ⇔ x2 − x2 − = x −1 = x = x + = x − ( x + 1) ⇔ ⇔ x + ≥ ⇔ x + = x + x = −1 x + = ( x + 1) ( ) Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Vậy phương trình cho có nghiệm x = 1; x = −1 Câu 9: Giải phương trình sau: x − 3x − x + 3x + a) − x= x x + x − 3x + 3x + b) + 2x −1 = 2x −1 2x −1 Lời giải : a) Điều kiện: x ≥ Nên phương trình cho tương đương với: x − 3x − x + − x = 3x + x ≥ x ≥ ⇔ x − 3x = x ⇔ ⇔ ( hệ phương trình vô nghiệm ) 2 x − x = 25 x 21 x + 12 x = ( ) Vậy phương trình cho vô nghiệm x ≥ b) Điều kiện: Nên phương trình cho tương đương với: + x − 3x + + ( x − 1) = 3x + 1 ≥ x > ⇔ 2 ≤ x 2 ≤ x x − 3x + = − x ⇔ ⇔x=2 ⇔ 2 x − x + = ( − x ) x − 3x + = − x + x Vậy phương trình cho có nghiệm x = Câu 10: Giải phương trình sau: a) x − x + x − x = 3x + x b) x2 + x + x2 − x = x2 − 5x Lời giải : x ≥ a) Điều kiện: Phương trình cho tương đương với: x ≤ − x2 − x + (x )( ) − x x − x + x − x = 3x + x x + x ≥ ⇔ x − 2x x − 4x = x + x ⇔ 2 2 4 x − x x − x = x + x x = x = x + x ≥ ⇔ ⇔ x + x ≥ ⇔ 2 x = 19 + 203 x x − x − = x x + ( )( ) ( ) 4 ( x − )( x − ) = ( x + ) ( )( ) ( Vậy phương trình cho có nghiệm x = 0; x = )( ) ( ) 19 + 203 Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 x ≥ b) Điều kiện: Phương trình cho tương đương với: x ≤ −1 x2 + x + (x )( ) + x x2 − x + x2 − x = x2 − 5x x + x ≤ ⇔ x + x x − 2x = − x − 4x ⇔ 2 2 4 x + x x − x = x + x x = x + x ≤ x = x + 4x ≤ ⇔ ⇔ ⇔ 2 x = − 4 x ( x + 1)( x − ) = x ( x + ) 4 ( x + 1)( x − ) = ( x + ) ( )( ) ( )( ) ( ) Vậy phương trình cho có nghiệm x = 0; x = − Câu 11: Giải phương trình sau: a) x −1 − x − + x + + x − = x − x − + x −3+ x − = b) Lời giải : ( ) x −1 − x − = x − − x − + = x − −1 a) Điều kiện: x ≥ Ta có x + + x − = x − + x − + = x − + ( Nên phương trình cho tương đương với: ⇔ x − −1 + x − + = ⇔ ( ) x − −1 + ( x−2 +3 ) ) =4 x − −1 = 1− x − ⇔3≥ x≥ x − −1 = 1− x − ⇔ ≥ x ≥ Vậy phương trình cho có nghiệm S = [ 2;3] ( ) x − x − = x − − x − + = x − − 2 b) Điều kiện: x ≥ Ta có x − + x − = x − + x − + = x − + ( Nên phương trình cho tương đương với: ⇔ x − − + x − +1 = ⇔ ( x−4 −2 ) + ( ) ) x − +1 2 =3 x−4 −2= 2− x−4 x−4 −2 = 2− x−4 ⇔ ⇔ 8≥ x ≥ − x − ≥ Vậy phương trình cho có nghiệm S = [ 4;8] Câu 12: Giải phương trình sau: Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG a) x − x2 − + x + x2 − = x2 + x3 − − x + = x2 + x + − x − x +1 b) Lời giải : ( Facebook: Lyhung95 )( (x − ) − )( x + a) Điều kiện: x ∈ ( −∞; −1] ∪ [1; +∞ ) Ta có x − x − x + x − = x − ( x − 1) = Nên phương trình cho tương đương x − x − + x2 ) x2 − + x + x2 − = x2 + ⇔ x + = x + ⇔ x − x + = ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = ( thỏa mãn điều kiện ) Vậy phương trình cho có nghiệm x = b) Điều kiện: x ≥ ( Nên phương trình cho tương đương ⇔ ) Ta có x3 − = ( x − 1) x + x + x3 − − x − = ( 4x2 + 2x + − 2x − ) x +1 ( x − 1) ( x + x + 1) − ( x + 1) ( x + x + 1) = x + − ( x − 1)( x + 1) ⇔ 4x2 + 2x + ( ) 2x − − x + = x + ( ) x + − 2x − 2x − − x + = 2x − = x + ⇔ ⇔ ⇔ x = ( thỏa mãn điều kiện ) x + x + + x + = x + x + = x + = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Câu 13: Giải phương trình sau: a) x − = ( x + ) x+3 x−3 b) x2 − = ( − x ) x−2 x+2 Lời giải : a) Điều kiện: x ∈ ( −∞; −3] ∪ ( 3; +∞ ) Phương trình cho tương đương với: ( x + 3)( x − 3) = ( x + ) x+3 = x+3 ⇔ x −3 ( x − 3)2 = x + x = −3 x = −3; x = 11 x = −3 ⇔ ⇔ ( x − 3) = x + ⇔ ( thỏa mãn điều kiện ) x = x − = x + 2 x − = − x − ) ( Vậy phương trình cho có ba nghiệm x = −3; x = 11; x = b) Điều kiện: x ∈ ( −∞; −2] ∪ ( 2; +∞ ) Phương trình cho tương đương với: ( x − )( x + ) = ( − x ) x−2 =0 x−2 ⇔ x+2 ( x + )2 = − x Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 x = x = x = ⇔ ⇔ x + = − x ⇔ ( thỏa mãn điều kiện ) x + = − x x = x + = x − Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 2; x = Câu 14: Giải phương trình sau: a) x + + x2 − x − = b) x + x + = Lời giải: a) Điều kiện: x ≥ − Đặt y + = x + ≥ ⇔ y + y + = x + ⇔ y = x − y 2 2 y + + x − x − = x = x − y x = x − y Khi đó, ta có hệ phương trình ⇔ ⇔ 2 y = x − y y = x − y x − y + x − y = x = y = x = y = x = x − y x = x − y ⇔ ⇔ x = x − y ⇔ x = − 2; y = − ⇔ ( x − y )( x + y + 1) = ( x − y )( x + y ) + x − y = x + y + = x = + 2; y = −2 − Đối chiếu điều kiện ta nghiệm phương trình x = 0; x = − b) Điều kiện: x ≥ −2 Đặt y = x + ≥ ⇔ y = x + Khi đó, ta có hệ phương trình x + y = x + y = x + y = x + y = ⇔ ⇔ ⇔ 2 y = x + y − x = x − y + x + y = ( x + y )( x − y ) + x + y = x2 − x − = x = −1; x = x + y = x2 − x − = ⇔ ⇔ x + y = ⇔ ⇔ x = −1± x + y x − y + = ( )( ) x + x − = y = x + Đối chiếu điều kiện ta nghiệm phương trình x = −1; x = − 1− Thầy Đặng Việt Hùng Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !