Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình mũ

Các phương pháp giải phương trình mũ ôn thi THPT quốc gia năm 2017

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PT MŨ Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Mẫu 1: Phương trình bậc hai, bậc ba theo hàm số mũ Ví dụ 1: [ĐVH] Giải phương trình: 25 x − 30.5 x + 125 = Hướng dẫn giải: Phương trình cho tương đương: ( x ) − 30.5 x + 125 = Đặt t = x , điều kiện t > t = Khi phương trình trở thành: t − 30t + 125 = ⇔  t = 25 x +) Với t = ⇔ = ⇔ x = +) Với t = 25 ⇔ x = 25 ⇔ x = 52 ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = x = Ví dụ 2: [ĐVH] Giải phương trình: 3x + + 3− x = 10 Hướng dẫn giải: 3x = = 30 x = x x Ta có + = 10 ⇔ 9.3 + x = 10 ⇔ 9.( ) − 10.3 + = ⇔  x ⇔ −2  3 = =3  x = −2  Vậy phương trình cho có nghiệm x = 0, x = −2 x+2 −x x Ví dụ 3: [ĐVH] Giải phương trình sau: 1) x − 51− x x +4=0 2) 3x − 8.3 + 15 = 3) 32 x +8 − 4.3x +5 + 27 = Hướng dẫn giải: 1) x − 51− x + = 0, (1) Điều kiện: x ≥ 5 x =  x =0 x = + 4.5 − =  → ⇔ ⇔ (1) ⇔ − x + = ⇔ x x = 5 =  x = Cả hai nghiệm thỏa mãn điều kiện, phương trình có hai nghiệm x = x =  x =3 x 2x x x =  2) 3x − 8.3 + 15 = ⇔ − + 15 =  → ⇔  x = log = log 25 x 3  =5   Vậy phương trình có hai nghiệm x = ; x = log3 25 x ( ) x ( ) x ( ) ( ) ( ) 3x + = ⇒ x = −3 3) 32 x +8 − 4.3x + + 27 = ⇔ 32( x + 4) − 4.3x + 4.3 + 27 = ⇔ 32( x + 4) − 12.3x + + 27 =  →  x+4 3 = = ⇒ x = −2 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = –2 x = –3 Ví dụ 4: [ĐVH] Giải phương trình x −x − 22+ x − x = Hướng dẫn giải: Đặt x −x = t (t > 0) Phương trình trở thành t − Ví dụ 5: [ĐVH] Giải phương trình x − x2 −5 t =  x = −1 =3⇔  ⇒ t t = −1 ( L)  x = − 12.2 x −1− x −5 +8= Chương trình Luyện thi PRO–E TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Hướng dẫn giải: Đặt x − x −5 x = t =  x − x − = = t (t > 0) ⇒  ⇒ ⇔ x = t =   x − x − =   Mẫu 2: Phương trình chia đặt ẩn phụ Ví dụ 1: [ĐVH] Giải phương trình: 3.9 x + 7.6 x − 6.4 x = Hướng dẫn giải:   x   = ⇒ x = −1 2x x 2 3 3 Phương trình cho tương đương:   +   − = ⇔  x  2 2     = −3 <   Vậy phương trình cho có nghiệm x = −1 Ví dụ 2: [ĐVH] Giải phương trình sau: − x x − x − x b) + = d) (ĐH khối A – 2006): 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = a) 64.9 − 84.12 + 27.16 = c) 32 x +4 + 45.6 x − 9.22 x + = x x Hướng dẫn giải: x a) Chia hai vế (1) cho ta   x   = 12 16 4 3 x =1 →   x ⇔ (1) ⇔ 64 − 84.  + 27.  = ⇔ 27   − 84.  + 64 =   9 3 x =           16     = =   3   Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = x = b) Điều kiện: x ≠  t +   = t t t 2t 3 Đặt − = t , ( ) ⇔ 4t + 6t = 9t ⇔   −   − = ⇔   −   − = ⇔  t  x 4 2           1− 0)  → b f ( x) = Chú ý: ( ( Một số cặp a, b liên hợp thường gặp: )( + )( ) ( + )( − ) = − ) = 1; ( + )( − ) = +1 − = 1; ( ± 1) = (2 ± 3) 3± 2 = 7±4 Một số dạng đẳng thức thường gặp: Ví dụ minh họa: [ĐVH] Giải phương trình sau: a) ( 2+ ) +( x 2− ) x =4 b) c) ( − 21 ) + ( + 21 ) = x +3 x ( 3+ d) ( + ) x ) +( x ( x −1) 3− ) + (2 − 3) x =6 x − x −1 = 2− Hướng dẫn giải: a) ( Do Đặt 2+ ) +( x ( 2+ ( 2+ 2− ) x )( − =1⇔ ) ) = t , (t > 0)  → x (1) = 4, ( 2+ ( ) ( x 2− ) x ) 2− x =  → ( 2− ) x = ( 2+ ) x = t t = + Khi (1) ⇔ t + − = ⇔ t − 4t + =  → t t = − ( 3⇔( ) 3) =2− Với t = + ⇔ 2+ Với t = − 2+ x =2+ = ( ( x ) → x = 3) = ( + ) 2+ 3 = 2+ −2 −1  → x = −2 Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±2 b) ( Do Đặt 3+ ( ( ) +( 3+ x )( 3+ ) x 3− ) x ( 2) = 6, ) ( )( ( ) 3− = 3+ + =1⇔ = t ,(t > 0)  → ( 3− ) x 3+ ) ( x 3− ) x =  → ( 3− ) x = ( 3+ ) x = t t = + Khi ( ) ⇔ t + − = ⇔ t − 6t + =  → t t = − ( 8⇔( ) 8) =3− Với t = + ⇔ 3+ Với t = − 3+ x x ( = 3+ ⇔ 3+ ( = 3− ) ) x −1 = +  → x = ( ⇔ 3+ x ) = (3 − ) −1  → x = −3 Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±3 Chương trình Luyện thi PRO–E TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG c) ( − 21 ) x + (5 + 21 ) x x x =2 x+ x  − 21   + 21  ⇔  + 7.  = 8,     x Facebook: LyHung95 ( 3) x x  − 21   + 21   − 21 − 21   − 21  Ta có  →    =   =   = x   2        + 21      x x  + 21   − 21  Đặt  →  = t ,(t > 0)   =     t t = 1 Khi ( 3) ⇔ + 7t − = ⇔ 7t − 8t + =  → t t =  x  + 21  Với t = ⇔  → x =  =    x  + 21  1 Với t = ⇔  → x = log 5+  =    21 1   7 x = 1 Vậy phương trình có hai nghiệm  x = log  + 21   7  d) ( + ) + (2 − 3) ( x −1)2 (2 − )(2 + )( + ) Đặt t = ( + ) x2 − x x − x −1 x2 − x = ( ) ( ) + (2 − 3) x2 − x x − x +1 x − x −1 ⇔ − (2 + 3) + − (2 − 3) =4 2− + (2 − 3) x2 − x , (t > 0)  →(2 − 3) = ⇔ (2 + 3) x2 − x x2 − x = 4, ( ) = t ( (  t = +  2+ Khi ( ) ⇔ t + − = ⇔ t − 4t + =  → ⇔ t t = −  2+  ) ) x2 − x x2 − x =2+  x2 − x = ⇔  x − x = −1 =2− Với phương trình x − x = ⇔ x − x − = ⇔ x = ± Với phương trình x − x = −1 ⇔ x − x + = ⇔ x = x = Vậy phương trình có hai nghiệm  x = ± BÀI TẬP LUYỆN TẬP Câu 1: [ĐVH] Giải phương trình sau: a) 25 x − 30.5 x + 125 = x b) 3x − 8.3 + 15 = c) x +2 − 9.2 x +2 +8 = d) 34 x +8 − 4.32 x +5 + 27 = Đ/s: x = ∨ x = Đ/s: x = ∨ x = log 25 Đ/s: x = ±1 −3 Đ/s: x = ∨ x = −1 Câu 2: [ĐVH] Giải phương trình sau: Chương trình Luyện thi PRO–E TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG a) 8x + x =5 4x − ( ) c) ( + 2 ) b) + Đ/s: x = ∨ x = log ( = 2( x ) − 1) −3 2− x x +2 = Đ/s: x = x + Đ/s: x = log d) 32 x + x +1 − 28.3x + x + = Câu 3: [ĐVH] Giải phương trình sau: a) x 2 −1 − 36.3x −3 2 Đ/s: x = ∨ x = −2 π + kπ ( k ∈ ℤ ) Đ/s: x = ln ∨ x = c) 4cot x + cos x − = 2 +1 + 39 Đ/s: x = ±1 ∨ x = ± π Đ/s: x = + kπ ( k ∈ ℤ ) +3= b) 2sin x + 4.2cos x = Facebook: LyHung95 Đ/s: x = d) e6 x − 3.e3 x + = Câu 4: [ĐVH] Giải phương trình sau: x−2 a) b) x + + 16 = 10.2 x2 −2 − 5.2 x −1+ x2 −2 x − x c) − 7.3 x−2 Đ/s: x = ∨ x = 11 x2 − = x − x − x −1 Đ/s: x = −1 Đ/s: x = =2 x 1 d)   = 25− x + 4 Câu 5: [ĐVH] Giải phương trình sau: 1 a)   6 Đ/s: x = log x −3 = 65− x − 12 Đ/s: x = − log12 325 x + 22 x + = x 16   c) 53 x + 27  x + 5− x  + 9.5 x = 64 5  b) 23 x + Đ/s: x = log 15 ± 161 Đ/s: x = ∨ x = log Câu 6: [ĐVH] Giải phương trình sau: a) x +1 + x + = x + + 16 Đ/s: x = b) −8 x = 2.4 x + x − = Đ/s: x = ∨ x = c) − 3.4 − 3.2 x x x +1 +8 = Đ/s: x = ∨ x = LỜI GIẢI BÀI TẬP Câu 1: [ĐVH] Giải phương trình sau: a) 25 x − 30.5 x + 125 = x b) 3x − 8.3 + 15 = c) x2 + − 9.2 x2 + +8 = d) 34 x +8 − 4.32 x +5 + 27 = Đ/s: x = ∨ x = Đ/s: x = ∨ x = log 25 Đ/s: x = ±1 −3 Đ/s: x = ∨ x = −1 Lời giải: Chương trình Luyện thi PRO–E TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 a) 25 x − 30.5 x + 125 = Đặt x = t với t > t = 25  x = Phương trình tương đương t − 30t + 125 = ⇔  ⇒ t = x = Vậy phương trình có nghiệm x = x = x b) − 8.3 + 15 = x x Đặt t = , ( t > ) Phương trình tương đương t − 8t + 15 =  2x t = 3 =  x = log 25 ⇔ ⇒ x ⇒ t =  x = 3 = Vậy phương trình có nghiệm: x = ∨ x = log 25 − 9.2 x + + = 2 Đặt x + = t , x + ≥ 22 = ⇒ t ≥ c) x +2 2 t = Phương trình tương đương t − 9t + = ⇔  ⇒ x + = ⇒ x + = ⇒ x = ±1 t = < Vậy phương trình có nghiệm x = ±1 d) 34 x +8 − 4.32 x +5 + 27 =   2x t=  x = −1  3 = 9 2x Đặt t = , ( t > ) Phương trình tương đương t − 4.3 t + 27 = ⇔  ⇔ ⇔  x = −3 t = 32 x =   27  27 −3 Vậy phương trình có nghiệm: x = ∨ x = −1 Câu 2: [ĐVH] Giải phương trình sau: 8x + x + 39 a) x =5 Đ/s: x = ∨ x = log −2 ( ) c) ( + 2 ) b) + d) 32 x + x +1 x x ( = 2( ) − 1) −3 2− − 28.3x +x x +2 = Đ/s: x = x + Đ/s: x = log +9 = +1 Đ/s: x = ∨ x = −2 Lời giải: 8x + x =5 4x − ĐK: x ≠ Phương trình tương đương 23 x + x = 22 x − 2 x Đặt t = , ( t > ) ta a) ( ) t = x =1  t + t = ( t − ) ⇔ ( t − ) ( t − 3t − ) = ⇔ ⇒ t = + 29  x = log + 29   2 + 29 Vậy phương trình có nghiệm: x = ∨ x = log ( b) + ) x ( −3 2− ) x +2 = Chương trình Luyện thi PRO–E TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( + 2.2 + 3) − ( − ) ) − 3( − ) + = ⇔ x Phương trình tương đương ( ⇔ 2+ ( 2x x +2=0 x (2 − 3) ) Facebook: LyHung95 2x ( −3 2− ( ) = ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm: x = c) ( + 2 ) = ( − 1) + Phương trình tương đương ( + 2 + 1) = ( − 1) + ⇔ ( + 1) = ( − 1) + ⇔ ( − 1) x x x x 2x x 2x =2 ( ) ( ) x − 28.3x +x +x ) x −1 = ⇔ x = log 2 +1 + x +1 + x +1 − 28.3x +x − 28.3x +x +9 = ( x2 + x ) − 28.3x + x + = 3 x + x = t = x =1 (t > 0) Phương trình viết lại thành 3t − 28t + = ⇔  ⇔  x2 + x ⇔  3 t = =  x = −2  3  ⇔ 32 x ( +9 = Phương trình tương đương 32 x Đặt t = 3x x −1 +  t= Đặt t = − , phương trình viết lại thành = 2t + ⇔  ⇒  t  t = −1 < Vậy phương trình có nghiệm: x = log +1 + x +1 +2=0 x ⇒ 2− x − 3t + = ⇔ −3t + 2t + = ⇒ t = t Đặt − = t với t > , phương trình viết lại thành d) 32 x ) + = ⇔ 3.3 nghiệm thỏa mãn x + x = −1 vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm: x = ∨ x = −2 Câu 3: [ĐVH] Giải phương trình sau: Vì 3x a) x 2 +x −1 = − 36.3x −3 Đ/s: x = ±1 ∨ x = ± π Đ/s: x = + kπ ( k ∈ ℤ ) π Đ/s: x = + kπ ( k ∈ ℤ ) Đ/s: x = ln ∨ x = Lời giải: +3= b) 2sin x + 4.2cos x = c) cot x +2 cos x −3= d) e6 x − 3.e3 x + = a) x −1 − 36.3x −3 +3= 32 x 36 x2 Phương trình viết lại thành − 36.3 + = ⇔ − + = 27 x2 t = 3 =  x = ± t 36 x2 Đặt t = (t > 0) Phương trình viết lại thành − t + = ⇔  ⇒ ⇒ 27 t = 3x =  x = ±1 Vậy phương trình có nghiệm: x = ±1 ∨ x = ± 2( x −1) x −3 b) 2sin x + 4.2cos x = 2 Phương trình tương đương 21− cos x + 4.2cos x = ⇔ 2 2cos + 4.2cos x = 2 x Chương trình Luyện thi PRO–E TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 t = Đặt : = t , (t > 1) Phương trình viết lại thành + 4t = ⇔  t = < t  2 π ⇒ 2cos x = ⇔ cos x = ⇔ x = + kπ, ( k ∈ ℤ ) π Vậy phương trình có nghiệm: x = + kπ, ( k ∈ ℤ ) cos x c) 4cot x + cos x − = cos x ≠ ĐK:  ⇔ sin x ≠ sin x ≠ 2 cos x Phương trình viết lại thành +2 1− cos x cos x −3 = ⇔ ⇔ cos x −1 +2 +2 1− cos x cos x 1 cos2 x −3 = cos x −3= ⇔ cos x −1 +2 cos x −3 = cos x Đặt: = t (t ≥ 2) Phương trình viết lại thành + t − = ⇒ t = ⇒ cos x = ⇔ cos x = t Điều khiến phân thức không xác định, phương trình vô nghiệm 6x 3x d) e − 3.e + =  3x x = ln t =  e = 3x  Đặt e = t > Phương trình viết lại thành t − 3t + = ⇔  ⇒  3x ⇔  e = t =  x =  Vậy phương trình có nghiệm x = ln 2; x = Câu 4: [ĐVH] Giải phương trình sau: x−2 a) b) + 16 = 10.2 x+ x2 −2 c) − 5.2 x −2 x − x x−2 x −1+ x − − 7.3 Đ/s: x = ∨ x = 11 Đ/s: x = −1 Đ/s: x = = x − x − x −1 =2 x 1 d)   = 25− x + 4 Đ/s: x = log a) ĐK : x ≥ , ta có phương trình tương đương ( ⇔ x−2 ) + 16 = 10.2 x−2 ( ⇔ x−2 ) − 10.2 x−2 Lời giải: 2 + 16 = ⇔   x −2 x −2 =2 x = ⇔  x = 11 =8 Kết hợp đk , nghiệm PT x = 3, x = 11 b) ĐK : x ≥ , có phương trình tương đương ⇔4 x + x2 − − x + x2 − ( =6⇔ ⇒ x + x2 − = ⇔ x = x + x2 − ) − x + x2 −2 2 x+  −6= ⇔  x+  x2 − = ( nhan ) x2 − = −3 ( loai ) Kết hợp đk , nghiệm PT x = Chương trình Luyện thi PRO–E TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 c) ĐK : x − x ≥ , có phương trình tương đương ⇔9 x −2 x − x − 3 x −2 x − x ( =2⇔ ⇒ x2 − 2x − x = ⇔ x = x −2 x − x ) 3 x −2 x − x  − −2 = ⇔  3 x2 − x − x = ( nhan ) x2 − x − x = −2 ( loai ) −1 −1 d) ĐK : x ∈ R , ta có phương trình tương đương x  2− x = 16 + 265 ( nhan ) 25 1 −x −x ⇔   = x + ⇔ ( ) − 2 − = ⇔  4  2− x = 16 − 265 ( loai )   ⇒ x = log    16 + 265  Kết hợp đk , nghiệm PT x =   Kết hợp đk, nghiệm PT x = log    16 + 265  Câu 5: [ĐVH] Giải phương trình sau: 1 a)   6 x −3 = 65− x − 12 Đ/s: x = − log12 325 x + 22 x + = x 16   c) 53 x + 27  x + 5− x  + 9.5 x = 64 5  b) 23 x + Đ/s: x = log Đ/s: x = ∨ x = log a) ĐK : x ∈ R , ta có PT tương đương 1 ⇔  6 x −3 ( ) = 65− x − 12 ⇔ 65 − x ⇒ x = log (18 ) 15 ± 161 Lời giải:  −x  = 18 ( nhan ) −x − 6 − 12 = ⇔   6− x = − ( loai )  36 Kết hợp điều kiện , nghiệm PT x = log (18 ) 325 x 325 x + 22 x + = ⇔ 23 x + 22 x − + 2− x + x 16 16 325 325 Đặt: t = x > ta có t + t − t + +1 = ⇔ t4 + t3 − t2 + t +1 = 16 t 16  t = ( nhan )  x   x = −2 2 = ⇔ t = ( nhan ) ⇒ 4⇔  x = 2 x =   −21 ± 377 ( loai ) t = b) ĐK : x ∈ R ta có PT tương đương 23 x + Kết hợp điều kiện, nghiệm PT x = 2, x = −2   c) ĐK : x ∈ R ta có PT tương đương ⇔ 53 x + 27  x + 5− x  + 9.5 x = 64 5   1 Đặt: t = x > ta ⇔ t + 9t + 27  +  = 64 ⇔ t + 9t − 64t + 27t + 27 = t t  Chương trình Luyện thi PRO–E TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 t = x =  x = log ⇔ ( t − 1)( t − 3) t + 4t + 22t + 12t + = ⇒  ⇔  x t = = x = Kết hợp điều kiện, nghiệm PT x = 0, x = log Câu 6: [ĐVH] Giải phương trình sau: Đ/s: x = a) x +1 + x + = x + + 16 x x x b) −8 = 2.4 + − = Đ/s: x = ∨ x = x x x+1 Đ/s: x = ∨ x = c) − 3.4 − 3.2 + = Lời giải: a) ĐK : x ∈ R ta có PT tương đương 2x = x = ⇔ x+1 + x + = x + + 16 ⇔ 4.22 x + 12.2 x − 16 = ⇔  x ⇔  =  x = Kết hợp điều kiện, nghiệm PT x = 0, x = b) ĐK : x ∈ R ta có PT tương đương ⇔ −8x = 2.4 x + x − = ⇔ 23 x − 2.22 x + x − = ⇔ x = ⇔ x = Kết hợp điều kiện , nghiệm PT x = c) ĐK : x ∈ R ta có PT tương đương  x = −2 ( loai )  x = ⇔ x − 3.4 x − 3.2 x +1 + = ⇔ 23 x − 3.22 x − 6.2 x + = ⇔  x = 1( nhan ) ⇒  x =  x = nhan ( )  Kết hợp điều kiện, nghiệm PT x = 0, x = ( ) Thầy Đặng Việt Hùng Chương trình Luyện thi PRO–E TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !