Một vài tính chất định tính của bao hàm thức vi phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hoàng Trúc LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hoàng Trúc MỘT VÀI TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 i MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Mục lục i Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt iii MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tập đóng không gian metric 1.2 Trường hợp không gian đều, đồng Hausdorff 12 1.3 Không gian tập lồi đóng không gian lồi địa phương 15 1.4 Tính liên tục hàm đa trị lồi 20 1.5 Định nghĩa hàm đa trị đo 25 Chương SỰ TỒN TẠI NGHIỆM ĐỊA PHƯƠNG, NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN 33 2.1 Mở đầu 33 2.2 Sự tồn nghiệm địa phương 34 2.3 Sự tồn nghiệm toàn cục 38 2.4 Trường hợp bao hàm thức vi phân có chậm 43 ii Chương TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA TẬP NGHIỆM CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN 45 3.1 Mở đầu 45 3.2 Sự phụ thuộc tập nghiệm vào điều khiện ban đầu 46 3.3 Sự phụ thuộc tập nghiệm vào tham số 52 3.4 Ứng dụng vào toán điều khiển tối ưu 56 Chương SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN DẠNG CỰC BIÊN 61 4.1 Mở đầu 61 4.2 Sự tồn nghiệm địa phương 63 4.3 Sự tồn nghiệm toàn cục 71 KẾT LUẬN 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 iii Danh mục số kí hiệu chữ viết tắt  tập số thực  tập số tự nhiên n không gian Euclide n-chiều x trị tuyệt đối số thực x x chuẩn Euclide x x, y tích vô hướng vecto x, y x := y x định nghĩa y Gph S đồ thị ánh xạ S int C phần C C bao đóng C d(x,C) khoảng cách từ x đến tập C h(A,B) khoảng cách Hausdorff hai tập A B C* nón đối ngẫu C f* hàm liên hợp f ∀x với x ∃x tồn x xk → x dãy { x k } hội tụ tới x h.k.n (h.k) hầu khắp nơi (hầu khắp) n.l.t.d (n.l.t.t) nửa liên tục (nửa liên tục trên) FDI bao hàm thức vi phân MỞ ĐẦU Lý thuyết bao hàm thức vi phân, hay gọi phương trình vi phân đa trị, lĩnh vực nghiên cứu phát triển mạnh lý thuyết tổng quát phương trình vi phân Như người biết, lĩnh vực toán học xuất phát triển, mục đích phát triển tự nhiên toán học, hướng đến khái niệm kết ngày tổng quát hơn, nhu cầu ứng dụng đòi hỏi Lí thuyết bao hàm thức vi phân trường hợp ngoại lệ qui luật Xuất ban đầu mở rộng khái niệm phương trình vi phân thường, lý thuyết bao hàm thức vi phân ngày thâm nhập mạnh mẽ vào lĩnh vực khác toán học ngành khoa học khác nhờ ứng dụng to lớn Một cách tổng quát, lý thuyết bao hàm thức vi phân nghiên cứu phương trình dạng:  • x(t ) ∈ G (t , x(t )),   x(0) = x0 , (0.1) • x(.) hàm chưa biết, x(.) đạo hàm x(.) theo nghĩa G hàm đa trị từ không gian tích [0, T ] × E đoạn [0, T ] không gian Banach E vào E Có thể nói vấn đề nghiên cứu lý thuyết phương trình vi phân thường đặt toán tương tự lý thuyết bao hàm thức vi phân Các vấn đề nghiên cứu nhiều vấn đề tồn nghiệm, tính chất định tính cấu trúc tập nghiệm, tính chất phụ thuộc liên tục vào tham số điều kiện ban đầu, nghiệm tuần hoàn, lý thuyết rẽ nhánh lí thuyết nhiễu,… Các nghiên cứu vấn đề tồn nghiệm lí thuyết định tính bao hàm thức vi phân phát triển theo hai hướng rõ rệt Đầu tiên, nghiên cứu tập trung vào dạng bao hàm thức vi phân với vế phải lồi (tức hàm đa trị vế phải có giá trị lồi) với công trình Filippov (1959,1960), Plis (1965), Lasota Opial (1965), Castaing (1966,1969)… Đối với bao hàm thức vi phân với vế phải không lồi, kết đời muộn hơn, thu nhiều kết thú vị, kết Olech (1975), Antosiewicz Cellina (1975), Aubin Cellina (1983), DeBlast Piagiaru (1982, 1987), P.V Chương (1985),… Một lĩnh vực không phần quan trọng lí thuyết bao hàm thức vi phân nghiên cứu tính chất tập nghiệm, có ý nghĩa quan trọng phương diện ứng dụng Các kết Aubin Clarke (1981), Haddad (1981), Bressan (1982), Tolstonogov (1986),… đóng góp đáng kể lĩnh vực Trong nhiều toán điều khiển hệ thống người ta thường giả thiết rằng, hệ xét điều khiển nguyên lí nhân quả, tức trạng thái tương lai hệ xét độc lập với trạng thái khứ hệ xác định Trong trường hợp đó, mô hình toán học hệ mô tả phương trình vi phân thường, bao hàm thức vi phân thường Có nhiều vấn đề không xét đến mối liên hệ với khứ nghĩa Chính lẽ xuất lí thuyết phương trình vi phân với biến số lệch, hay tổng quát hơn, lí thuyết phương trình vi phân phiếm hàm, sau đời tự nhiên bao hàm thức vi phân phiếm hàm Nội dung luận văn định lí tồn nghiệm địa phương tồn nghiệm toàn cục bao hàm thức vi phân phiếm hàm, nghiên cứu tính chất định tính tập nghiệm nó, ứng dụng vào toán điều khiển tối ưu định lí tồn nghiệm bao hàm thức vi phân dạng cực biên Các nội dung viết báo “N.D Huy and N.K Son, On the Existence of Solutions for Fucctional Differential Inclusions Banach Spaces ( ACTA MATHEMATICA VIETNAMICA, Volume 16, Number 1, (1991), 49-60) On The Qualitative Properties Of The Solution Set To Functional Differential Inclusions In Banach Spaces (ACTA MATHEMATICA VIETNAMICA 19(2)(1991), 45-58) On The Existence of Solution to Functional Differential Inclusions with Boundary Values (ACTA MATHEMATICA VIETNAMICA 25:4 (1997) 331340)” Luận văn sử dụng đắc lực công cụ giải tích hàm, giải tích đa trị giải tích lồi; đặc biệt sử dụng kết lí thuyết ánh xạ đa trị đo Các định lí sử dụng nhiều chứng minh luận văn định lí điểm bất động Kakutani-Ky Fan, định lí Ascoli, định lí Baire phạm trù, định lí Krein- Milmann, định lí tách Hahn – Banach, định lí ánh xạ đa trị đo được,… Ngoài lời nói đầu tài liệu tham khảo luận văn chia làm chương Chương nhắc lại số kiến thức khoảng cách Hausdorff, tính liên tục hàm đa trị khái niệm hàm đa trị đo Chương phát biểu trình bày chứng minh định lí tồn nghiệm bao hàm thức vi phân phiếm hàm, trường hợp bao hàm thức vi phân có chậm Chương xét tính chất định tính tập nghiệm bao hàm thức vi phân: phụ thuộc tập nghiệm vào điều kiện ban đầu tham số, ứng dụng vào toán điều khiển tối ưu Chương phát biểu trình bày chứng minh định lí tồn nghiệm bao hàm thức vi phân dạng cực biên Qua đây, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc PGS.TS Nguyễn Đình Huy hết lòng hướng dẫn, giúp đỡ trình hoàn thành luận văn 4 Tôi xin chân thành cảm ơn PGS,TS khoa Toán trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy, hướng dẫn cho học viên hoàn thành môn học kiến thức chương trình đào tạo cao học khóa 21, chuyên ngành Toán giải tích Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng sau đại học Trường ĐHSP thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện tốt cho học viên có điều kiện học tập nghiên cứu suốt trình vừa qua Tôi xin chân thành cảm ơn Nguyễn Hoàng Trúc Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tập đóng không gian metric Cho X không gian metric với metric d Chúng ta không giả thiết: d ( x, y ) < ∞ Định nghĩa 1.1 Cho A, B hai tập hợp X , độ dôi A B xác định sau = e( A, B) sup{d ( x, B) / x ∈ A} ( cận nhận giá trị [0, ∞] , sup ∅ =0 ) Khoảng cách Hausdorff A B h( A, B) = max{e( A, B), e( B, A)} Những tính chất i) e( A, ∅) =∞ A ≠ ∅ e(∅, B) = ii) e( A, B) =0 ⇔ A ⊂ B h( A, B ) =0 ⇔ A =B iii) e( A, C ) ≤ e( A, B) + e( B, C ) h( A, C ) ≤ h( A, B) + h( B, C ) Do f ( X ) , tập tất tập đóng X , với khoảng cách Hausdorff trở thành không gian metric Chú ý Trong tập f ( X ) , ∅ điểm cô lập Nếu d bị chặn, h bị chặn f ( X ) − {∅} Định lí 1.1 Nếu An → A không gian metric f ( X ) , = A =  Am    B= ( Am , ε ) n m≥ n ε >0 n m≥ n    W ( Am ) W ∈ n m ≥ n Trong B( Am , ε ) = {x ∈ X / d ( x, Am ) ≤ ε } ,  tập tất lân cận cấu trúc X W ( Am ) = { y ∈ X / ∃x ∈ Am cho ( x, y ) ∈ W } Chứng minh 1) Giả sử B =   Am Cho ε > 0, n ∈ , x ∈ A tồn m ≥ n cho n m≥ n h( Am , A) ≤ ε , suy d ( x, Am ) ≤ ε tồn xm ∈ Am cho d ( x, xm ) ≤ 2ε Bởi x ∈  Am với n ∈  Điều chứng tỏ A ⊂ B m≥ n Giả sử x ∈ B , ta chứng minh An → A ∪ {x} (điều chứng tỏ B ⊂ A ) Từ An → A , suy e( An , A ∪ {x}) → Tiếp theo kiểm tra e= ( A ∪ {x}, An ) max{e( A, An ), d ( x, An )} → Nó chứng minh d ( x, An ) → Cho p ∈  cho m, n ≥ p h( An , Am ) ≤ ε Từ x ∈ B suy tồn m ≥ p cho d ( x, Am ) ≤ ε , n ≥ p d ( x, An ) ≤ d ( x, Am ) + h( Am , An ) ≤ 2ε 2) Cho B =    B( Am , ε ) Nếu x ∈ A , d ( x, Ap ) → , dễ thấy x ∈ B ε >0 n m≥ n Ngược lại, x ∈ B , với ε > 0, ∃n ∈  cho ∀m ≥ n , d ( x, Am ) ≤ ε , e( A ∪ {x}, An ) → Và dễ thấy e( An , A ∪ {x}) → Vậy h( An , A ∪ {x}) → A= A ∪ {x} 3) Đẳng thức thứ ba rõ ràng lân cận sở họ = Wε {( x, y ) / d ( x, y ) ≤ ε }(ε > 0) ∧ Wε ( Am ) ⊂ B( Am , ε ) ⊂ W2ε ( Am ) Định lí 1.2 Nếu X không gian metric đầy đủ, f ( X ) không gian metric đầy đủ Chứng minh Giả sử ( An ) dãy Cauchy f ( X ) 1) Thứ lưu ý có N cho n ≥ N , m ≥ N kéo theo h( An , Am ) ≤ Khi đó, An = ∅ ∀n ≥ N An ≠ ∅ ∀n ≥ N Trong trường hợp thứ dãy ( An ) hội tụ ∅ Giả sử có trường hợp thứ hai 2) Chúng ta chứng tỏ   Am ≠ ∅ n m≥ n Cho ε > (điều sử dụng đầy đủ 3)).Chọn ε = đủ Với k ∈  tồn N k cho m, n ≥ N k có h( An , Am ) < 2− k ε Giả sử (nk ) dãy tăng nghiêm ngặt cho nk ≥ N k Cho xo ∈ An , giả sử chúng o ta chọn xo , x1 , , xk với tính chất xi ∈ An , d ( xi , xi +1 ) < 2− i ε Khi xk +1 i chọn An k +1 thỏa d ( xk , xk +1 ) < 2− k ε (điều thu d ( xk , Ank +1 ) ≤ h( Ank , Ank +1 ) < 2− k ε ) 8 Dãy ( xn ) dãy Cauchy không gian metric đầy đủ X , giới hạn đến x Khi x ∈   Am n m≥ n 3) Điểm x thu phần 2) thỏa mãn d ( xo , x) ≤ 2ε Do đó: Với no ≥ N o xo ∈ An tồn x ∈ A ( A =   Am ) cho d ( xo , x) ≤ 2ε n m≥ n o e( Ano A) ≤ 2ε , ∀no ≥ N o Vì vậy: 4) Bây chứng minh e( A, An ) → Khi theo phần 3) chứng tỏ h( An , A) → Giả sử ε > N cho n, m ≥ N có h( An , Am ) < ε Lấy x ∈ A Khi x ∈  Am Tồn no ≥ N y ∈ An cho d ( x, y ) ≤ ε Cho m ≥ N m≥ N o có d ( x, Am ) ≤ d ( x, An ) + h( An , Am ) ≤ 2ε Vì e( A, Am ) ≤ 2ε o o Định lý 1.4 Cho tb ( X ) tập hợp tất tập đóng hoàn toàn bị chặn X Khi  tb ( X ) đóng  f (X ) Chứng minh Giả sử ( An ) dãy tb ( X ) hội tụ đến A ∈ f ( X ) Cho ε > tồn n cho e( A, An ) < ε x1 , , x p cho họ cầu tâm xi , bán kính ε phủ An Khi họ cầu tâm xi , bán kính 2ε phủ A Do A ∈  tb ( X ) Chú ý: Chúng ta dễ dàng thấy X hoàn toàn bị chặn, f ( X ) hoàn toàn bị chặn Thực với ε > cho trước, giả sử x1 , , xn thỏa mãn họ cầu mở tâm xi , bán kính ε phủ X Giả sử A ∈ f ( X ) = I {i / B ( xi , ε ) ∩ A ≠ ∅} Khi tập = B {xi / i ∈ I } có tính chất h( A, B ) ≤ ε Tập tập tập {x1 , , xn } hữu hạn Điều chứng tỏ f ( X ) hoàn toàn bị chặn Do X compact f ( X ) compact Định lý 1.5 Nếu X đầy đủ, k ( X ) , tập tất tập compact X , đầy đủ Chứng minh Điều hiển nhiên theo định lý 1.3 1.4 Chú ý Định lý 1.5 X không gian Định lý 1.6 Topo Hausdorff không gian tất tập compact ( U mở) X , k ( X ) , sinh tập {K ∈  k ( X ) / K ⊂ U} {K ∈  k ( X ) / K ∩ V ≠ ∅} ( V mở) Cơ sở lân cận K o bao gồm tập {K / K ⊂ U , K ∩ V1 ≠ ∅, , K ∩ Vn ≠ ∅} (ở U ,V1 , ,Vn mở) chứa K o Chứng minh 1) Chúng ta chứng minh  = {K ∈ k ( X ) / K ⊂ U } mở Giả sử K o ∈ Bởi tính compact của= K o , ε inf{d ( x, y ) / x ∈ K o , y ∈ E − U } > Khi h( K , K o ) < ε ⇒ e( K , K o ) < ε ⇒ K ⊂ U , điều K ∈ Chúng ta chứng minh  = {K ∈ k ( X ) / K ∩ V ≠ ∅} mở Giả sử K o ∈  Tồn cầu mở tâm xo ∈ K o ∩ V , bán kính ε chứa V Khi h( K , K o ) < ε , K gặp cầu Do K ∩ V ≠ ∅ K ∈  10 2) Ngược lại chứng minh rẳng K o ∈ k ( X ) ε > cho trước, cầu tâm K o bán kính ε chứa tập: {K / K ⊂ U }  {K / K ∩ V1 ≠ ∅}   {K / K ∩ Vn ≠ ∅} tập chứa K o Thật vậy, chọn U {x / d ( x, K o ) < ε } V1 , ,Vn cầu mở bán = kính 2−1ε phủ K o Khi K ⊂ U e( K , K o ) ≤ ε , K gặp V1 , ,Vn e( K o , K ) ≤ ε Chú ý Nếu T không gian topo, Γ hàm đa trị từ T đến k ( X ) , liên tục n.l.t.d n.l.t.t Hệ 1.1 Nếu X không gian metric, topo Hausdorff không gian tất tập compact X , k ( X ) , phụ thuộc vào topo X (không phụ thuộc metric) Định lý 1.7 Nếu X không gian metric khả ly, k ( X ) không gian metric khả ly Chứng minh Giả sử ( xn ) dãy trù mật X Giả sử  tập hợp tất tập hữu hạn {xi , , xi } Khi  phần đếm k ( X ) , dễ kiểm n tra  tập trù mật k ( X ) Hệ 1.2 Nếu X không gian Polish, k ( X ) với topo mô tả định lý 1.6 Polish 11 Định lý 1.8 Nếu X không gian metric khả ly, σ -trường Borel k ( X ) (với topo Hausdorff) sinh tập {K ∈  k ( X ) / K ⊂ U } (U mở) sinh tập {K ∈ k ( X ) / K ∩ V ≠ ∅} ( V mở) Chứng minh {K / K ∩ V ≠ ∅} 1) Xét tập Chú ý rằng: = Fn {x / d ( x, E − V ) ≥ } V =  Fn với n n Khi đó: ≠ ∅} {K / K ∩ Fn ≠ ∅} {K / K ∩ V= n = [k ( X ) − {K / K ⊂ E − Fn }] n Do σ - trường sinh tất tập { K / K ∩ V ≠ ∅} bao hàm σ trường sinh tất tập {K / K ⊂ U } 2) Xem xét tập {K / K ⊂ U } Vn = Đặt V {x / d ( x, E − U ) < n } , E − U = −1 n n Chúng ta kiểm chứng K ∩ ( X − U ) ≠ ∅ ⇔ ∀n, K ∩ Vn ≠ ∅ Chiều thuận hiển nhiên Đảo lại K ∩ Vn ≠ ∅ ∀n , giả sử xn ∈ K ∩ Vn Khi điểm tụ dãy ( xn ) thuộc vào K X − U Do ⊂ U } {K / K ∩ Vn ≠ ∅} k ( X ) − {K / K= n Điều chứng tỏ σ - trường sinh tất tập {K / K ⊂ U } bao hàm σ - trường sinh tất tập { K / K ∩ V ≠ ∅} 12 3) Bây chứng minh tập mở  ⊂ k ( X ) thuộc σ - trường sinh tất tập {K / K ⊂ U } {K / K ∩ V ≠ ∅} Thật  hợp họ  giao hữu hạn tập {K / K ⊂ U } {K / K ∩ V ≠ ∅} (định lý 1.6) Nhưng k ( X ) khả li (định lý 1.8) nên  hợp họ đếm  1.2 Trường hợp không gian đều, đồng Hausdorff Trong phần X không gian Hausdorff, cấu trúc định nghĩa nửa metric (di ) i∈I Khi hàm ei hàm hi xác định sau: = ei ( A, B) sup {di ( x, B) x ∈ A} Và hi ( A, B) = max{ei ( A, B), ei ( B, A)} có tính chất: ei ( A, ∅) =∞ A ≠ ∅ ei (∅, B ) = ei ( A, C ) ≤ ei ( A, B ) + ei ( B, C ) hi ( A, C ) ≤ hi ( A, B) + hi ( B, C ) ∀i, ei ( A, B) =0 ⇔ A ⊂ B ∀i, hi ( A, B) =0 ⇔ A =B Họ {hi } lọc Chứng minh ba tính chất cuối 13 1) Thứ ⇐ hiển nhiên Ngược lại, ∀i, ei ( A, B) = a ∈ A , ta có ∀i, di (a, B) = Khi di -quả cầu bán kính dương tâm a có phần chung với B Do lân cận a có phần chung với B Vì a ∈ B 2) Tính chất cuối suy từ tương ứng d  h tăng Chúng ta xem xét định nghĩa khác cấu trúc đồng f ( X ) Giả sử  sở lân cận cấu trúc đồng X Nếu W ∈  ta định nghĩa W W ={( A, B ) ∈  f ( X ) / A ⊂ W ( B ), B ∈ W ( A)} W ( B ) = { y ∈ E / ∃x ∈ B : ( x, y ) ∈ W } Nhắc lại:  tất W sở lân cận  ( X ) Nó xác định Định lý 1.9 Tập  f  cấu trúc đồng họ nửa khoảng cách (hi ) Chứng minh Thứ ánh xạ W  W tăng Khi o sở lân cận khác X , Wo ∈ o chứa W ∈  ngược lại Bây ta xem xét o tập tất U i= ,ε Khi {( x, y) ∈ X / d ( x, y ) < ε } (ε > 0, i ∈ I ) ei ( A, B ) < ε ⇒ A ⊂ U i ,ε ( B ) ⇒ ei ( A, B ) < 2ε hi ( A, B ) < ε ⇒ A ⊂ U i ,ε ( B ) B ⊂ U i ,ε ( A) ⇒ hi ( A, B ) < 2ε 14 Điều chứng tỏ o sở cấu trúc đồng xác định họ (hi ) Chú ý 1) Nếu X nhóm topo Abel, giả sử  sở lân cận Khi tập {( A, B) / A ⊂ B + V , B ⊂ A + V } (V ∈  ) tạo thành sở lân cận cấu trúc f ( X ) Nếu X không gian Fréchet f ( X ) metric hóa, thích hợp để định nghĩa Haudroff tập lân cận {( A, B) / A ⊂ B + V , B ⊂ A + V } với V lân cận đóng (hoặc lân cận mở) 2) Định lý 1.6 đúng: Cho X không gian Hausdorff Topo Hausdorff f ( X ) sinh tập {K ∈  ( X ) / K ⊂ U }  f ( U mở) {K / K ∩ V ≠ ∅} ( V mở) Chứng minh có giá trị, sử dụng họ (di ),(ei ),(hi ) , ngoại trừ luận điểm = {K / K ⊂ U } mở Giả thứ Nó phải thay chứng minh sử K o ∈ Tồn lân cận W cho W ( K o ) ⊂ U Do có i ∈ I ε > cho {x / di ( x, K o ) < ε } ⊂ U Khi hi ( K , Ko) < ε ⇒ ei ( K , Ko) < ε ⇒ K ⊂ U , nghĩa K chứa  15 1.3 Không gian tập lồi đóng không gian lồi địa phương Cho E không gian vector lồi địa phương Hausdorff Giả sử ( pi )i∈I họ lọc nửa chuẩn xác định topo E Khi di ( x= , y ) pi ( x − y ) nửa khoảng cách, áp dụng 1.2 vào E với họ (di )i∈I Định lý 1.10 Giả sử {Fα }α∈A dãy suy rộng tập đóng E Giả sử {Fα } hội tụ đến F topo xác định 1.2 Khi tất Fα lồi F lồi, tất Fα bị chặn F bị chặn Chứng minh 1) Giả sử Fα lồi Lấy x, y ∈ F , λ ∈ [0;1] z = λ x + (1 − λ ) y Với lân cận lồi , V , tồn α cho: cho β ≥ α F ⊂ Fβ + V Fβ ⊂ F + V Do F ∪ {z} ⊂ Fβ + V Fβ ⊂ ( F ∪ {z}) + V Cho nên F ∪ {z} giới hạn ( Fα ) Điều chứng tỏ z ∈ F 2) Giả sử Fα bị chặn Với lân cận lồi , V , tồn α cho F ⊂ Fα + V Mà Fα bị chặn nên có λ > cho Fα ⊂ λV , F ⊂ (λ + 1)V , F bị chặn Chú ý: Nếu E metric hóa phần thứ suy từ công thức cuối định lý := W {( x, y ) / pi ( x − y ) ≤ ε } W ( Am ) lồi,  W ( Am ) m≥ n lồi,   W ( Am ) lồi, hợp dãy suy rộng tập lồi n m≥ n Định lý 1.11 Nếu E không gian vector Fréchet không gian sau với metric hóa Hausdorff đầy đủ: - tập tất tập lồi đóng [...]... } là bao hàm σ - trường sinh bởi tất cả các tập { K / K ∩ V ≠ ∅} 12 3) Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng mọi tập mở  ⊂ k ( X ) thuộc về σ - trường sinh bởi tất cả các tập {K / K ⊂ U } và {K / K ∩ V ≠ ∅} Thật vậy  là hợp của một họ  của giao hữu hạn của các tập {K / K ⊂ U } và {K / K ∩ V ≠ ∅} (định lý 1.6) Nhưng vì k ( X ) khả li (định lý 1.8) nên  cũng là hợp của một họ con đếm được của ... cận của cấu trúc đồng đều của X Nếu W ∈  ta định nghĩa W bởi 2 W ={( A, B ) ∈  f ( X ) / A ⊂ W ( B ), B ∈ W ( A)} W ( B ) = { y ∈ E / ∃x ∈ B : ( x, y ) ∈ W } Nhắc lại:  của tất cả W là cơ sở lân cận trong  ( X ) Nó xác định Định lý 1.9 Tập  f  cùng cấu trúc đồng đều như họ của các nửa khoảng cách (hi ) Chứng minh Thứ nhất ánh xạ W  W là tăng Khi đó nếu o là một cơ sở lân cận khác của. .. {xi / i ∈ I } có tính chất h( A, B ) ≤ ε Tập các tập con của tập {x1 , , xn } là hữu hạn Điều đó chứng tỏ f ( X ) hoàn toàn bị chặn Do đó nếu X là compact thì f ( X ) là compact Định lý 1.5 Nếu X là đầy đủ, thì k ( X ) , tập tất cả các tập con compact của X , là đầy đủ Chứng minh Điều này hiển nhiên theo định lý 1.3 và 1.4 Chú ý Định lý 1.5 vẫn đúng nếu X là không gian đều Định lý 1.6 Topo Hausdorff... cơ sở lân cận của 0 Khi đó các tập {( A, B) / A ⊂ B + V , B ⊂ A + V } (V ∈  ) tạo thành cơ sở lân cận của cấu trúc đều của f ( X ) Nếu X là không gian Fréchet thì f ( X ) là metric hóa, nhưng nó có thể thích hợp hơn để định nghĩa Haudroff đều bởi tập của các lân cận {( A, B) / A ⊂ B + V , B ⊂ A + V } với V là lân cận đóng của 0 (hoặc lân cận mở) 2) Định lý 1.6 vẫn đúng: Cho X là một không gian... cũng là hợp của một họ con đếm được của  1.2 Trường hợp của không gian đều, đồng đều Hausdorff Trong phần này X là không gian đều Hausdorff, cấu trúc đều được định nghĩa bởi các nửa metric (di ) i∈I Khi đó hàm ei và hàm hi được xác định như sau: = ei ( A, B) sup {di ( x, B) x ∈ A} Và hi ( A, B) = max{ei ( A, B), ei ( B, A)} có những tính chất: ei ( A, ∅) =∞ nếu A ≠ ∅ ei (∅, B ) = 0 ei ( A, C )... chứa một W ∈  và ngược lại Bây giờ ta xem xét o tập của tất cả U i= ,ε Khi đó và {( x, y) ∈ X 2 / d ( x, y ) < ε } (ε > 0, i ∈ I ) ei ( A, B ) < ε ⇒ A ⊂ U i ,ε ( B ) ⇒ ei ( A, B ) < 2ε hi ( A, B ) < ε ⇒ A ⊂ U i ,ε ( B ) và B ⊂ U i ,ε ( A) ⇒ hi ( A, B ) < 2ε 14 Điều đó chứng tỏ o là một cơ sở của cấu trúc đồng đều xác định bởi họ (hi ) Chú ý 1) Nếu X là một nhóm topo Abel, giả sử  là một cơ... A =B Họ {hi } là lọc Chứng minh ba tính chất cuối 13 1) Thứ nhất ⇐ là hiển nhiên Ngược lại, nếu ∀i, ei ( A, B) = 0 và nếu a ∈ A , ta có ∀i, di (a, B) = 0 Khi đó mọi di -quả cầu bán kính dương và tâm a có phần chung với B Do đó mọi lân cận của a có phần chung với B Vì vậy a ∈ B 2) Tính chất cuối cùng được suy ra từ tương ứng d  h là tăng Chúng ta xem xét một định nghĩa khác về cấu trúc đồng đều... không gian tất cả các tập con compact của ( U mở) và X , k ( X ) , là được sinh ra bởi tập {K ∈  k ( X ) / K ⊂ U} {K ∈  k ( X ) / K ∩ V ≠ ∅} ( V mở) Cơ sở lân cận của K o bao gồm các tập {K / K ⊂ U , K ∩ V1 ≠ ∅, , K ∩ Vn ≠ ∅} (ở đó U ,V1 , ,Vn là mở) chứa K o Chứng minh 1) Chúng ta sẽ chứng minh  = {K ∈ k ( X ) / K ⊂ U } là mở Giả sử K o ∈ Bởi tính compact của= K o , ε inf{d ( x, y ) / x ∈... sử ( xn ) là dãy trù mật trong X Giả sử  là tập hợp tất cả các tập hữu hạn {xi , , xi } Khi đó  là một phần đếm được của k ( X ) , và dễ kiểm 1 n tra rằng  là tập trù mật trong k ( X ) Hệ quả 1.2 Nếu X là một không gian Polish, thì k ( X ) với topo được mô tả trong định lý 1.6 là Polish 11 Định lý 1.8 Nếu X là không gian metric khả ly, thì σ -trường Borel trong k ( X ) (với topo Hausdorff)... minh sử K o ∈ Tồn tại một lân cận W sao cho W ( K o ) ⊂ U Do đó có i ∈ I và ε > 0 sao cho {x / di ( x, K o ) < ε } ⊂ U Khi đó hi ( K , Ko) < ε ⇒ ei ( K , Ko) < ε ⇒ K ⊂ U , nghĩa là K chứa trong  15 1.3 Không gian các tập lồi đóng của không gian lồi địa phương Cho E là không gian vector lồi địa phương Hausdorff Giả sử ( pi )i∈I là họ lọc của nửa chuẩn xác định topo của E Khi đó di ( x= , y