Một vài tính chất định tính của bao hàm thức vi phân

Header Page of 89 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hoàng Trúc LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 Footer Page of 89 Header Page of 89 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hoàng Trúc MỘT VÀI TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 Footer Page of 89 Header Page of 89 i MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Mục lục i Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt iii MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tập đóng không gian metric 1.2 Trường hợp không gian đều, đồng Hausdorff 12 1.3 Không gian tập lồi đóng không gian lồi địa phương 15 1.4 Tính liên tục hàm đa trị lồi 20 1.5 Định nghĩa hàm đa trị đo 25 Chương SỰ TỒN TẠI NGHIỆM ĐỊA PHƯƠNG, NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN 33 2.1 Mở đầu 33 2.2 Sự tồn nghiệm địa phương 34 2.3 Sự tồn nghiệm toàn cục 38 2.4 Trường hợp bao hàm thức vi phân có chậm 43 Footer Page of 89 Header Page of 89 ii Chương TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA TẬP NGHIỆM CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN 45 3.1 Mở đầu 45 3.2 Sự phụ thuộc tập nghiệm vào điều khiện ban đầu 46 3.3 Sự phụ thuộc tập nghiệm vào tham số 52 3.4 Ứng dụng vào toán điều khiển tối ưu 56 Chương SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN DẠNG CỰC BIÊN 61 4.1 Mở đầu 61 4.2 Sự tồn nghiệm địa phương 63 4.3 Sự tồn nghiệm toàn cục 71 KẾT LUẬN 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 Footer Page of 89 Header Page of 89 iii Danh mục số kí hiệu chữ viết tắt  tập số thực  tập số tự nhiên n không gian Euclide n-chiều x trị tuyệt đối số thực x x chuẩn Euclide x x, y tích vô hướng vecto x, y x := y x định nghĩa y Gph S đồ thị ánh xạ S int C phần C C bao đóng C d(x,C) khoảng cách từ x đến tập C h(A,B) khoảng cách Hausdorff hai tập A B C* nón đối ngẫu C f* hàm liên hợp f ∀x với x ∃x tồn x xk → x dãy { x k } hội tụ tới x h.k.n (h.k) hầu khắp nơi (hầu khắp) n.l.t.d (n.l.t.t) nửa liên tục (nửa liên tục trên) FDI bao hàm thức vi phân Footer Page of 89 Header Page of 89 MỞ ĐẦU Lý thuyết bao hàm thức vi phân, hay gọi phương trình vi phân đa trị, lĩnh vực nghiên cứu phát triển mạnh lý thuyết tổng quát phương trình vi phân Như người biết, lĩnh vực toán học xuất phát triển, mục đích phát triển tự nhiên toán học, hướng đến khái niệm kết ngày tổng quát hơn, nhu cầu ứng dụng đòi hỏi Lí thuyết bao hàm thức vi phân trường hợp ngoại lệ qui luật Xuất ban đầu mở rộng khái niệm phương trình vi phân thường, lý thuyết bao hàm thức vi phân ngày thâm nhập mạnh mẽ vào lĩnh vực khác toán học ngành khoa học khác nhờ ứng dụng to lớn Một cách tổng quát, lý thuyết bao hàm thức vi phân nghiên cứu phương trình dạng:  • x(t ) ∈ G (t , x(t )),   x(0) = x0 , (0.1) • x(.) hàm chưa biết, x(.) đạo hàm x(.) theo nghĩa G hàm đa trị từ không gian tích [0, T ] × E đoạn [0, T ] không gian Banach E vào E Có thể nói vấn đề nghiên cứu lý thuyết phương trình vi phân thường đặt toán tương tự lý thuyết bao hàm thức vi phân Các vấn đề nghiên cứu nhiều vấn đề tồn nghiệm, tính chất định tính cấu trúc tập nghiệm, tính chất phụ thuộc liên tục vào tham số điều kiện ban đầu, nghiệm tuần hoàn, lý thuyết rẽ nhánh lí thuyết nhiễu,… Các nghiên cứu vấn đề tồn nghiệm lí thuyết định tính bao hàm thức vi phân phát triển theo hai hướng rõ rệt Đầu tiên, nghiên Footer Page of 89 Header Page of 89 cứu tập trung vào dạng bao hàm thức vi phân với vế phải lồi (tức hàm đa trị vế phải có giá trị lồi) với công trình Filippov (1959,1960), Plis (1965), Lasota Opial (1965), Castaing (1966,1969)… Đối với bao hàm thức vi phân với vế phải không lồi, kết đời muộn hơn, thu nhiều kết thú vị, kết Olech (1975), Antosiewicz Cellina (1975), Aubin Cellina (1983), DeBlast Piagiaru (1982, 1987), P.V Chương (1985),… Một lĩnh vực không phần quan trọng lí thuyết bao hàm thức vi phân nghiên cứu tính chất tập nghiệm, có ý nghĩa quan trọng phương diện ứng dụng Các kết Aubin Clarke (1981), Haddad (1981), Bressan (1982), Tolstonogov (1986),… đóng góp đáng kể lĩnh vực Trong nhiều toán điều khiển hệ thống người ta thường giả thiết rằng, hệ xét điều khiển nguyên lí nhân quả, tức trạng thái tương lai hệ xét độc lập với trạng thái khứ hệ xác định Trong trường hợp đó, mô hình toán học hệ mô tả phương trình vi phân thường, bao hàm thức vi phân thường Có nhiều vấn đề không xét đến mối liên hệ với khứ nghĩa Chính lẽ xuất lí thuyết phương trình vi phân với biến số lệch, hay tổng quát hơn, lí thuyết phương trình vi phân phiếm hàm, sau đời tự nhiên bao hàm thức vi phân phiếm hàm Nội dung luận văn định lí tồn nghiệm địa phương tồn nghiệm toàn cục bao hàm thức vi phân phiếm hàm, nghiên cứu tính chất định tính tập nghiệm nó, ứng dụng vào toán điều khiển tối ưu định lí tồn nghiệm bao hàm thức vi phân dạng cực biên Các nội dung viết báo “N.D Huy and N.K Son, On the Existence of Solutions for Fucctional Differential Inclusions Footer Page of 89 Header Page of 89 Banach Spaces ( ACTA MATHEMATICA VIETNAMICA, Volume 16, Number 1, (1991), 49-60) On The Qualitative Properties Of The Solution Set To Functional Differential Inclusions In Banach Spaces (ACTA MATHEMATICA VIETNAMICA 19(2)(1991), 45-58) On The Existence of Solution to Functional Differential Inclusions with Boundary Values (ACTA MATHEMATICA VIETNAMICA 25:4 (1997) 331340)” Luận văn sử dụng đắc lực công cụ giải tích hàm, giải tích đa trị giải tích lồi; đặc biệt sử dụng kết lí thuyết ánh xạ đa trị đo Các định lí sử dụng nhiều chứng minh luận văn định lí điểm bất động Kakutani-Ky Fan, định lí Ascoli, định lí Baire phạm trù, định lí Krein- Milmann, định lí tách Hahn – Banach, định lí ánh xạ đa trị đo được,… Ngoài lời nói đầu tài liệu tham khảo luận văn chia làm chương Chương nhắc lại số kiến thức khoảng cách Hausdorff, tính liên tục hàm đa trị khái niệm hàm đa trị đo Chương phát biểu trình bày chứng minh định lí tồn nghiệm bao hàm thức vi phân phiếm hàm, trường hợp bao hàm thức vi phân có chậm Chương xét tính chất định tính tập nghiệm bao hàm thức vi phân: phụ thuộc tập nghiệm vào điều kiện ban đầu tham số, ứng dụng vào toán điều khiển tối ưu Chương phát biểu trình bày chứng minh định lí tồn nghiệm bao hàm thức vi phân dạng cực biên Qua đây, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc PGS.TS Nguyễn Đình Huy hết lòng hướng dẫn, giúp đỡ trình hoàn thành luận văn Footer Page of 89 Header Page of 89 Tôi xin chân thành cảm ơn PGS,TS khoa Toán trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy, hướng dẫn cho học viên hoàn thành môn học kiến thức chương trình đào tạo cao học khóa 21, chuyên ngành Toán giải tích Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng sau đại học Trường ĐHSP thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện tốt cho học viên có điều kiện học tập nghiên cứu suốt trình vừa qua Tôi xin chân thành cảm ơn Nguyễn Hoàng Trúc Footer Page of 89 Header Page 10 of 89 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tập đóng không gian metric Cho X không gian metric với metric d Chúng ta không giả thiết: d ( x, y ) < ∞ Định nghĩa 1.1 Cho A, B hai tập hợp X , độ dôi A B xác định sau = e( A, B) sup{d ( x, B) / x ∈ A} ( cận nhận giá trị [0, ∞] , sup ∅ =0 ) Khoảng cách Hausdorff A B h( A, B) = max{e( A, B), e( B, A)} Những tính chất i) e( A, ∅) =∞ A ≠ ∅ e(∅, B) = ii) e( A, B) =0 ⇔ A ⊂ B h( A, B ) =0 ⇔ A =B iii) e( A, C ) ≤ e( A, B) + e( B, C ) h( A, C ) ≤ h( A, B) + h( B, C ) Footer Page 10 of 89 Header Page 68 of 89 63 4.2 Sự tồn nghiệm địa phương Định nghĩa 4.1 Ta gọi hàm x(.) :[ − h, T ] → E nghiệm địa phương (4.1)(4.2) tồn số T0 ∈ (0, T ] cho x(.) liên tục tuyệt đối [0, T0 ] , thỏa (4.1) hầu khắp [0, T0 ] thỏa mãn (4.2) [-h,0] Định lí 4.1 Cho U ⊂ CE [ − h, 0] tập mở, ϕ ∈ U G : I × U → E có giá trị lồi, đóng với phần khác rỗng E Hơn nữa, giả sử thỏa điều kiện sau: (i) Với ϕ ∈ U , G (., ϕ ) đo I (ii) Với ϕ ∈ U với ε > , tồn lân cận Vϕ ϕ thỏa: với h.k t∈I , H (G (t , ϕ ), G (t , ϕ ')) < ε , ∀ϕ ' ∈ Vϕ ∩ U (iii) Tồn δ ≥0 cho với h.k t∈I , rG (t , ϕ ) > δ ≥ (iv) Tồn hàm dương α (t ) ≥ I cho với h.k tập bị chặn Q CE [0, T ] t∈I ϕ G (t , ϕ ) ⊂ α (t ) B Khi toán Cauchy (4.1)-(4.2) có nghiệm địa phương [0, T ] Chú ý mệnh đề (ii) tương đương với mệnh đề sau: Với tập compact t∈I , K ⊂U với ε > , tồn δ >0 H (G (t , ϕ ), G (t , ϕ ')) < ε , ∀ϕ ' ∈ B(ϕ , δ ) ∩ U , ϕ ∈ K Thật vậy, (ii) rằng, với ϕ ∈ K , tồn δϕ (4.5) ≥0 tập I đo hoàn toàn, cho với t ∈ Iϕ , H (G (t , ϕ ), G (t , ϕ ')) < Footer Page 68 of 89 ε , cho với h.k ∀ϕ ' ∈ B (ϕ , δϕ ) tập Iϕ Header Page 69 of 89 64 Giả sử {B(ϕi , δϕ )}i =1 phủ giới hạn K Tập n i δ = δi 1≤i ≤ n Khi I K ,ε n I K ,ε =  I ϕ i , i =1 hoàn toàn đo (4.5) cố định với t ∈ I K ,ε Chứng minh Để chứng minh định lí ta sử dụng bổ đề biết [4] sau Bổ đề 4.1 Cho (Ω,  ) không gian hoàn toàn đo Γ hàm đa trị đo từ Ω vào không gian metric tuyệt đối (E,d) ρ (.) hàm đo từ Ω vào R+ , cho với ε ∈ Ω , Γ(ω ) =int Γ(ω ) , rΓ (ω ) > ρ (ω ) Khi tồn hàm đo S : Ω → E thỏa d ( S (ω ), Γ c (ω )) > ρ (ω ) , ∀ω ∈ Ω Bổ đề 4.2 Cho E không gian Banach M, M tập lồi đóng với phần khác rỗng E, cho M c , M 1c khác rỗng H ( M , M ) < +∞ Khi đó: (i) H ( M c , M 1c ) ≤ H ( M , M ) = H (∂M , ∂M ) (ii) Với ω > với ( x ∈C , ta có ) d x, ∂ ( M + ε B ) ≤ d ( x, ∂M ) + ε , ∀x ∈ M Tiếp theo ta chứng minh vài kết giúp ta sử dụng định lí Baire phạm trù việc chứng minh định lí 4.1 Bổ đề 4.3 Cho G thỏa giả thiết định lí 4.1 Khi tồn số T0 ∈ (0, T ] hàm x(.) :[ − h, T0 ] → E , liên tục [ − h, T0 ] , liên tục tuyệt đối [0, T0 ] , cho ϕ (t ),= x(θ ) ϕ (θ ), θ ∈ [ − h, 0] Footer Page 69 of 89 Header Page 70 of 89 65   d  x(t ), G c (t , xt )  > ess t∈inf [0,T ] •   Chứng minh Từ (iii) bổ đề 4.1, tồn hàm đo u0 :[0, T ] → E , cho d ( u0 (t ), G c (t , ϕ ) ) > δ , h.k I Tập t  + ϕ  ( ) ∫ u0 (τ )dτ , t ∈ I x0 ( t ) =  ϕ t , t ∈ −h, [ ]  ( ) Từ (ii) bổ đề 4.2.i, ta có tồn lân cận Vϕ ⊂ U ϕ , cho với h.k t∈I ta có H ( G c (t , ϕ ), G c (t , ϕ ) ) < δ , ∀ϕ ∈ Vϕ , Do d ( u0 (t ), G c (t , ϕ ) ) ≥ d ( u0 (t ), G c (t , ϕ ) ) − H ( G c (t , ϕ ), G c (t , ϕ ) ) > Mặc khác, ánh xạ cho xt0 ∈ Vϕ t → xt0 liên tục với δ t = x00 = ϕ , , ∀ϕ ∈ Vϕ tồn T0 > với t ∈ (0, T0 ] Do đó, d ( u0 (t ), G c (t , xt0 ) ) > δ , ∀t ∈ [0, T0 ] Vậy bổ đề chứng minh Để đơn giản hơn, ta kí hiệu sau: I1 = [0, T1 ] đoạn cố định I; S1 (hay S2 ) tập tất nghiệm toán Cauchy (4.1)-(4.2) Footer Page 70 of 89 Header Page 71 of 89 66 (hay (4.3)-(4.4)); S0 tập hàm liên tục x(.) :[ − h, T1 ] → E cho x(.) liên tục tuyệt đối I1 , x0 = ϕ ,   d  x(t ), G c (t , xt )  > ess inf t∈I •   x(.) thỏa bao hàm thức G (t , xt ) ⊂ α1 (t ) B với h.k t ∈ I1 α1 ∈ L1R ( I1 ) + Bổ đề 4.4 Cho G thỏa giả thiết định lí 4.1.Khi S2 đóng CE [ − h, T1 ] topo hội tụ Chứng minh Cho {x n (.)} dãy hội tụ hàm x(.) ∈ CE [ − h, T1 ] Vì x n (.) = ϕ (.) , ∀n , [ − h, 0] , x(.) thỏa (4.2) Từ định nghĩa S2 (iv), với h.k t ∈ I1 = [0, T1 ] , ta có • x n ( t ) ∈ G ( t , xtn ) ⊂ α1 (t ) B với α1 ∈ L1R ( I1 ) Điều {x n (.)} bị chặn tập compact yếu, + metric hóa L1R ( I1 ) Do không tính tổng quát, ta giả sử + {x (.)} hội tụ yếu hàm u (.) ∈ L1R ( I1 ) Sử dụng định lí Mazur, tồn n + dãy {u (.)} xác định n ln • n +i ln u n (t ) = ∑ λin x (t ) , với λin ≥ , i =1 ∑λ n i i =1 = 1, hội tụ u (.) topo yếu L1R ( I1 ) Điều dẫn đến, với h.k t ∈ I1 , + u (t ) − u (t ) n E →0 n → ∞ Do ta có t = x(t ) ϕ (0) + lim ∫ u n ( s )ds , n →∞ • Điều x(.) liên tục tuyệt đối I1 x(t ) = u (t ) h.k I1 Kết hợp với (ii), với ε > n đủ lớn, ta có Footer Page 71 of 89 Header Page 72 of 89 67 G (t , xtn ) ⊂ Do đó, u n (t ) ∈ ε B + G (t , xt ) ε B + G (t , xt ) h.k I1 Suy • = x(t ) lim u n (t ) ∈ ε B + G (t , xt ) , n →∞ h.k I1 Vậy chứng minh hoàn thành Bây giờ, cho σ >0, ta xét tập CE [ − h, T1 ] sau T1 •   ∈ Sσ = x S d x (.) : ( (t ), G c (t , xt ))dt < σ   ∫   với S0 không gian metric với metric cảm sinh từ CE [ − h, T1 ] Bổ đề 4.5 Cho G thỏa giả thiết định lí 4.1 Khi với σ mở S0 >0, S σ Chứng minh Cho Rõ ràng {x n (.)} ⊂ S0 \ S σ {x n (.)} hội tụ x(.) không gian metric x0 = ϕ [ − h, 0] S0 Do xác định I1 Bằng lập luận tương tự việc chứng minh hệ 4.4, tồn dãy {u n (.)} có dạng ln • n +i ln u n (t ) = ∑ λin x (t ) , với λin ≥ 0, ∑ λin = i =1 hội tụ hầu khắp nơi G (t , xtn ) ∈ • I1 x(t ) Theo (ii), với n đủ lớn, ε ε B + G (t , xt ) hầu khắp nơi I1 Do đó, B + G (t , xt ) h.k I1 T1 T1 Theo bổ đề 4.2(ii) ta có hàm Footer Page 72 of 89 i =1 Header Page 73 of 89 68   ε ε B + G (t , xt ) , u → d  u , (G (t , xt ) + B)c  lõm T1 T1   ta kết luận • ε c •  c ≥ + d x ( t ), G ( t , x ) dt d x ( t ), ( G ( t , x ) B)  dt − ε    t t ∫I  ∫I  T1   1   ε ≥ lim ∫ d  u n (t ), (G (t , xt ) + B)c  dt − ε n →∞ T1  I1   • n +i  ε ≥ lim ∑ λ ∫ d  x (t ), (G (t , xt ) + B)c  dt − ε n →∞ T1 i =1  I1  ln n i ln  • n +i  ≥ lim ∑ λin ∫ d  x (t ), G c (t , xtn +i )  dt − ε n →∞ i =1  I1  ln ≥ ∑ λinδ − ε = δ − ε i =1 Vì ε nhỏ tùy ý nên •  c d ∫I  x(t ), G (t , xt )  dt > δ Do đó, x(.) ⊂ S0 \ S σ , Bổ đề 4.6 Với σ chứng minh hoàn tất >0, tập S σ trù mật S0 Chứng minh Ta chứng minh S σ trù mật S0 Cho tùy ý x(.) ∈ S0 ε > , đặt   d  x(t ), G c (t , xt )  r = ess inf t∈I • Từ định nghĩa tập S0 , Footer Page 73 of 89 r >    r 2σ    3T1  Đặt δ =  , Header Page 74 of 89 69 G1 (t ) = { y ∈ E : d ( y, G c (t , xt )) ≥ δ } Theo giả thiết định lí 4.1, ánh xạ đa trị t → G1 (t ) đo được, graph  ⊗ B( E ) - đo (nghĩa là, graph thuộc trường σ - nhỏ chứa tất tập dạng M × A với M ∈  A ∈B( E ) ) (xem chương I) Từ graph ánh xạ đa trị t → G c (t , xt ) thuộc  ⊗ B( E ) , đường cong đo Hay ánh xạ t → d ( y, G c (t , xt )) đo với y ∈ E Suy graph G1 ∈  ⊗ B( E ) đo G1 đo Hơn G1 có giá trị lồi, đóng, phần khác rỗng với t ∈ I1 y ∈ ∂G1 (t ) , ta có d ( y, G c (t , xt )) = δ (4.6) Chọn ρ > cho H (G c (t , ϕ ), G c (t , ϕ ')) < δ (4.7) với ϕ ∈ {xt : t ∈ I1} , ϕ ' ∈ B(ϕ , ρ )  U t ∈ I1 Chú ý tồn ρ theo • giả thiết (ii) (i) bổ đề 4.2 Rõ ràng, x(t ) ∈ G1 (t ) h.k.n I1 t max t∈I1 •  ∫0  x(s) − u (s)  ds ≤ min{ρ , ε } (4.8) Đặt t  ϕ (0) + ∫ x( s )ds, t ∈ [0, T1 ] z(t ) =   ϕ (t ), t ∈ [ − h, 0] Từ (4.7), (4.8) suy z (t ) ∈ B( xt , ρ )  U , H ( G c (t , xt ), G c (t , zt ) ) < δ Xem lại (4.6) ta viết • δ ≥ d  z (t )G c (t , xt )  + H ( G c (t , xt ), G c (t , zt ) )   Footer Page 74 of 89 Header Page 75 of 89 70 •  ≥ d  z (t ), G c (t , zt )    δ •  ≥ d  z (t ), G c (t , xt )  − H ( G c (t , xt ), G c (t , zt ) ) >   h.k.n I1 Hay   d  z (t ), G c (t , zt )  > ess inf t∈I •   •  ∫ d  z (t ), G (t , z )  dt < δ T < δ c t I1 Do đó, z (.) ∈ S σ Hơn nữa, từ (4.8), ta có x(t ) − z (t ) < ε , ∀t ∈ I1 x= z= ϕ0 0 Vậy bổ đề chứng minh Bây ta trở lại định lí 4.1 Ta cần chứng minh S1 ≠ ∅ Từ bổ đề 4.3, tồn T0 ∈ (0, T ] cho S0 ≠ ∅ , với S0 định nghĩa với T1 = T0 Do đó, bổ đề 4.4 ta S0 không gian metric tuyệt đối Từ bổ đề 3.5, 3.6 ta có với σ > , ( S σ )c tập phạm trù thứ S0 Do theo định lí phạm trù Baire, ta có ∞ S p ≠ ∅ p =1 Mặc khác, rõ ràng ∞ S p =1 Do đó, S1 khác rỗng Footer Page 75 of 89 p ≠ ∅ ⊂ S1 Header Page 76 of 89 71 Vậy ta chứng minh xong định lí 4.1 Nhận xét 4.2.1 Ta xét bao hàm thức vi phân có chậm: • (a) x(t ) ∈ ∂F (t , x(t − r1 (t )), , x(t − rp (t ))) với t ∈ [0, T ] (b) x(θ ) = ϕ (θ ) với θ ∈ [ − h, 0] Trong hàm ri (i=1,2,…,p) tương tự bao hàm thức vi phân có chậm chương 2; F hàm đa trị từ [0, T ] × V p vào E với V hình cầu đơn vị đóng E, F có giá trị lồi, đóng, có phần khác rỗng E, ϕ :[ − h, 0] → V liên tục Khi đó: Giả sử hàm đa trị F:[0, T ] × V p → E cho trên, liên tục khoảng cách Hausdorff tương thích với chuẩn E F([0, T ] × V p ) bị chặn Khi bao hàm thức vi phân (a)-(b) có nghiệm địa phương [ − h, To ] , với To ∈ (0, T ] Kết suy trực tiếp từ định lí 4.1 4.3 Sự tồn nghiệm toàn cục Định nghĩa 4.2 Ta nói hàm x(.) ∈ CE [ − h, T ] nghiệm toàn cục (4.1)-(4.2) x(.) liên tục tuyệt đối [0, T ] , thỏa mãn (4.2) [-h,0] thỏa mãn (4.1) hầu khắp [0, T ] Định lí 4.2 Cho G : I × C → E có giá trị lồi, đóng, có phần khác rỗng E ϕ ∈ E cho trước Giả sử G thỏa điều kiện sau: (i) Với ϕ ∈ C , G (., ϕ ) đo I (ii) Với tập bị chặn U ⊂ CE [ − h, 0] ε > , tồn δ > cho với ϕ ∈ U ϕ ' ∈ B(ϕ , δ ) ∩ U , H ( G (t , ϕ ), G (t , ϕ ') ) < ε (iii) Với tập bị chặn U ⊂ CE [ − h, 0] , tồn ρU > cho với h.k Footer Page 76 of 89 t∈I , Header Page 77 of 89 72 inf rG ( t ,ϕ ) > ρU ϕ∈U (iv) Tồn hàm khả tích α (.) ∈ L1R ( I ) cho với ϕ ∈ CE [ − h, 0] với h.k + t∈I , G (t , ϕ ) ⊂ (1 + ϕ ) α (t ) B Khi toán Cauchy (4.1)-(4.2) có nghiệm toàn cục [0, T ] Chứng minh Trước hết ta xét bổ đề sau: Bổ đề 4.7 Cho x(.) nghiệm toán Cauchy (4.3)-(4.4) [ − h, T ] , ( ) T x(t ) ≤ ϕ + exp( ∫ α ( s )ds ) − , với t ∈ [ − h, T ] Chứng minh bổ đề tìm [8] Bổ đề 4.8 Cho G ánh xạ đa trị thỏa giả thiết định lí 4.2 Khi tồn hàm liên tục x :[ − h, T ] → E cho x0 = ϕ [ − h, 0] , x(.) liên tục tuyệt đối [0, T ] thỏa: ess inf d  x(t )G c (t , xt )  > • t∈I   Chứng minh Đặt ( ) T R= ϕ + exp( ∫ α ( s )ds ) − 0 ρ = ρ B (0, R ) Từ (i) bổ đề 4.2 giả thiết (ii) định lí 4.2, tồn δ thỏa Footer Page 77 of 89 Header Page 78 of 89 73 T < δ < (1 + R) ∫ α ( s )ds thỏa, với ϕ ∈ B(0, R) với h.k t∈I ta có H ( G c (t , ϕ ), G c (t , ϕ ') ) < Mặt khác, α (.) ∈ L1R ( I ) , nên với δ + >0, ρ , ∀ϕ ' ∈ B(ϕ , δ ) ta chọn số m '∈ N thỏa δ ∫ α (s)ds < + R J cho khoảng J⊂I với µ ( J ) < T m' Từ bổ đề 4.1 điều kiện (iii) định lí (4.2), tồn hàm đo u0 :[0, l '] → E , l ' = T cho m' d ( u0 (t ), G c (t , ϕ ) ) > ρ h.k.n [0, l '] Bây ta đặt t  ϕ (0) + ∫ u0 ( s )ds, t ∈ [0, l '] x(t ) =   ϕ (t ), t ∈ [ − h, 0] Khi đó, ánh xạ t → xt từ [0, l '] đến CE [ − h, 0] liên tục [0, l '] , với T , ta có δ > , tồn m " ∈ N cho, với t ∈ [0, l '] thỏa t − < m" xt − x0 = xt − ϕ < δ Đặt m = max{m ', m "} , l= T m chia khoảng [0, T ] thành m phần điểm 0, l, 2l,…,…T; i = 1,2,…,m Ta sử dụng phép nội suy cho hàm x(.) [ − h, T ] Footer Page 78 of 89 Header Page 79 of 89 74 Trước hết, ϕ ≤R u0 ( s) ∈ G ( s, ϕ ) ⊂ α ( s) 1 + ϕ  B , h.k.n [0, l ] ta có l x(t ) − ϕ (0) ≤ ∫ α ( s )[1 + R]ds < δ Mặt khác, với t ∈ [0, l ] , xt − x0 < δ , x t ∈ B (ϕ , δ ) Điều •  d  x(t ), G c (t , xt )  = d ( u0 (t ), G c (t , xt ) )   ≥ d ( u0 ( s ), G c (t , ϕ ) ) − H ( G c (t , ϕ ), G c (t , xt ) ) > ρ h.k.n [0, l ] Giả sử hàm x(.) hoàn toàn xác định [0, il ] với i < m , thỏa tính chất yêu cầu Chúng ta nội suy [il , (i + 1)l ] sau, cho ui :[il , (i + 1)l ] → E hàm đo cho d ( ui (t ), G c (t , xil ) ) > ρ h.k.n [il , (i + 1)l ] (tức tồn hàm ui điều kiện (iii) định lí 4.2 bổ đề 4.1) t (t ) x(il ) + ∫ ui ( s )ds Vì ui ( s ) ∈ G ( s, xil ) h.k.n Trên [il , (i + 1)l ] , ta xác định x= il [il , (i + 1)l ] xil < R (theo bổ đề 4.7) Do đó, với t ∈ [il , (i + 1)l ] , ta có ( i +1) l x(t ) − x(il ) ≤ ∫ il Footer Page 79 of 89 ( i +1) l ui ( s ) ds ≤ ∫ il α ( s )[1 + R]ds < δ Header Page 80 of 89 75 Hơn nữa, t − il < l với t ∈ [il , (i + 1)l ] ta có xt − xil < δ Điều tương đương với xt ∈ B( xil , δ ) •  d  x(t ), G c (t , xt )  = d ( ui (t ), G c (t , xt ) )   ≥ d ( ui (t ), G c (t , xt ) ) − H ( G c (t , xil ), G c (t , xt ) ) > ρ h.k.n [il , (i + 1)l ] Do đó, với hàm x(.) thỏa tính chất yêu cầu xác định toàn đoạn [ − h, T ] Bổ đề chứng minh Ta trở lại việc chứng minh định lí 4.2 Dễ thấy ánh xạ đa trị G thỏa giả thiết định lí 4.1 I × B(0, R) , với R định nghĩa bổ đề 4.8 Nhớ lại, việc chứng minh định lí 4.1, sử dụng bổ đề 4.4, 4.5, 4.6, với T = T1 áp dụng định lí Baire phạm trù với tập S0 (là tập khác rỗng, từ bổ đề 4.8), ta có ∞ S p ≠ ∅ p =1 Do đó, S1 ≠ ∅ với T1 = T Định lí chứng minh Chú ý 4.3.1 Hoàn toàn tương tự tồn nghiệm địa phương, ta có hệ hiển nhiên bao hàm thức vi phân có chậm Nhận xét 4.3.1 Trong kết bao hàm thức vi phân (4.1)-(4.2) giả thiết đặt lên cho hàm đa trị G không đặt lên cho hàm đa trị ∂G Nhận xét 4.3.2 Như biết, phương trình vi phân với vế phải liên tục không gian vô hạn chiều chưa tồn nghiệm Mặc dầu vậy, kết chương cho thí dụ phương trình vi phân đa trị thực không gian Banach vô hạn chiều có nghiệm, vế phải bao hàm thức vi phân (4.1) không lồi, không đóng không liên tục Footer Page 80 of 89 Header Page 81 of 89 76 KẾT LUẬN Bài toán tồn nghiệm tính chất định tính bao hàm thức vi phân phiếm hàm lĩnh vực quan tâm nghiên cứu nhiều người nghiên cứu lĩnh vực phương trình vi phân ứng dụng Với việc sử dụng rộng rãi ngày hiệu nhiều công cụ sâu sắc khác toán học đại, đặc biệt thành tựu giải tích phi tuyến vào giải tích đa trị Các hướng nghiên cứu phát triển sau vấn đề tồn nghiệm tính chất định tính bao hàm thức vi phân phiếm hàm với vế phải ánh xạ đơn điệu vấn đề tính trù mật tập nghiệm ,… Các nội dung chủ yếu luận văn: 1) Chứng minh định lí tồn nghiệm địa phương nghiệm toàn cục bao hàm thức vi phân phiếm hàm dạng tổng quát 2) Nhận kết tính phụ thuộc liên tục vào điều kiện đầu tham số tập nghiệm bao hàm thức vi phân phiếm hàm dạng tổng quát 3) Ứng dụng kết thu toán điều khiển tối ưu 4) Chứng minh kết tồn nghiệm địa phương nghiệm toàn cục bao hàm thức vi phân phiếm hàm dạng cực biên Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc PGS.TS Nguyễn Đình Huy hết lòng hướng dẫn giúp đỡ trình hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn PGS,TS khoa Toán trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy, hướng dẫn cho học viên hoàn thành môn học kiến thức chương trình đào tạo cao học khóa 21, chuyên ngành Toán giải tích Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng sau đại học Trường ĐHSP thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện tốt cho học viên có điều kiện học tập nghiên cứu suốt trình vừa qua Tôi xin chân thành cảm ơn Footer Page 81 of 89 Header Page 82 of 89 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Aubin J.B., Cellina, Differential Inclusions, Springer – Verlag – New York – Berlin, 1984 [2] Berge C., Espaces topologiques et fonctions multivoques, Paris 1959 [3] Castaing C., Valadier M., Convex analysis and measurable multifunctions Lecture Notes in Mathematics, Springer – Verlag, No 580, 1977 [4] P V Chuong, A density theorem with application in relaxation of nonconvex valued differential equations, J Math Anal Appl 124 (1987) 1-14 [5] Edwards R E.: Functional Analysis, Holt, New York, 1965 [6] Schaefer H.H : Topological Vector Spaces, Macmillan Co., New York, 1966 [7] Nguyen Khoa Sơn and Nguyen Dinh Huy On the Existence of Solutions for Fucctional Differential Inclusions Banach Spaces (ACTA MATHEMATICA VIETNAMICA, Volume 16, Number 1, 1991) On The Qualitative Properties Of The Solution Set To Functional Differential Inclusions In Banch Spaces (ACTA MATHEMATICA VIETNAMICA 19(2)(1991), 45-58) On The Existence of Solution to Functional Differential Inclusions with Boundary Values (ACTA MATHEMATICA VIETNAMICA 25:4 (1997) 331-340) [8] A Tolstonogov, Differential Inclusions in Banach Spaces, Nauka, Novosibirk, 1986 (Russian) Footer Page 82 of 89 ... toàn cục bao hàm thức vi phân phiếm hàm, nghiên cứu tính chất định tính tập nghiệm nó, ứng dụng vào toán điều khiển tối ưu định lí tồn nghiệm bao hàm thức vi phân dạng cực biên Các nội dung vi t... 38 2.4 Trường hợp bao hàm thức vi phân có chậm 43 Footer Page of 89 Header Page of 89 ii Chương TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA TẬP NGHIỆM CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN 45 3.1 Mở đầu... thức khoảng cách Hausdorff, tính liên tục hàm đa trị khái niệm hàm đa trị đo Chương phát biểu trình bày chứng minh định lí tồn nghiệm bao hàm thức vi phân phiếm hàm, trường hợp bao hàm thức vi