Chứng minh đẳng thức và tính giá trị biểu thức trong giải tích tổ hợp là một vấn đề khá rộng, nó có mặt trong những bài thi THPT và cả trong các đề thi HSG Quốc gia. Với mong muốn giúp các bạn có thêm tư liệu cho việc tự học, đây là những kiến thức tôi có được trong quá trình luyện thi với người thầy kính yêu Vũ Vĩnh Thái và thêm một ít tôi sưu tầm được, tôi xin tổng hợp lại thành một chuyên đề nho nhỏ cũng nhằm thêm mục đích là lưu trữ. Trong chuyên đề này hầu hết là liên quan đến tổ hợp nên các bạn cần nắm vững và sử dụng thuần thục 3 công thức liên quan đến tổ hợp như trên và trong từng mục tôi sẽ nhắc lại công thức áp dụng trong các bài tập thuộc mục đó. Các bài tập tôi nêu ra đều minh họa khá rõ cho phương pháp và sẽ có một số bài tập để các bạn có thể rèn luyện lại. Tôi sẽ cố gắng phân tích hướng giải ở một số bài toán với mong muốn giúp các bạn hiểu sâu sắc hơn về lời giải của bài toán đó.
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com bg﹂mf?lhmg?I mf?sg﹂b símg?fhà?sq ah t?sg﹂b l\ ?m£ ¦?s⁄ ‹£ ♠ `P GOWLPPH sgos?msljK?sfiMgbl b⁄﹃‹£?« ‹⁄?J ‹£? ⁄﹃¦? Ÿ? &‹⁄?£ Ž? ‒ ·? ⁄﹃¦? ‒›‹£?£ ? &¦⁄? ︲ ⁄︿fi? Ÿ?«⋮ ? ‹?J ¤⁄Ž?‒⋮‹£K?‹, ¦,?« ? ‒›‹£?‹⁄ぃ‹£? Ÿ ? ⁄ ?Ig? Ÿ?¦ ‒›‹£?¦Ž¦?J ⁄ ?grfpfM u︵ ?«›‹£?«·￣‹?£ 3fi?¦Ž¦? ‹ ¦, ⁄#«? ? ·?¦⁄›? ¦? ぇ ⁄ ¦K?J̅„? Ÿ?‹⁄ぃ‹£ ¤ ‹? ⁄﹃¦ - ?¦,?J ︿¦? ‒›‹£?fl·Ž? ‒%‹⁄? ·„ ‹? ⁄ ? ︵ ‹£ ︹ ? ⁄ „?¤&‹⁄?„#·?uﾃ?ub‹⁄?s⁄Ž ? Ÿ? ⁄#«?«⋮ ?& ? - ? ·? «?J ︿¦K? - ?‚ ‹? ︲‹£?⁄︿fi? ? ⁄Ÿ‹⁄ «⋮ ?¦⁄·„#‹?J ‹⁄›?‹⁄、 ¦ﾃ‹£?‹⁄ « ⁄#« «︽¦?J&¦⁄ Ÿ ·? ‒ぃM l ?£,fi?6?‚ ‹ #‹?⁄ fl·\ ¡«\ «\ ‹£›¦ ⁄\‹£PXXR_£«\ M¦›« ⁄› ¦?‹ ¦¤?„\⁄››? \¦¤ \¦¤QTPQM hM uŸ ?¦-‹£? ⁄﹃¦?¦ ‹?‹⁄︵Y ‹@ ~?b⁄ ‹⁄?⁄︿fiY `‹¤ G ‹ ¤ H@ ~?s︲ ⁄︿fiY b‹¤ ‹@ ¤ @G ‹ ¤ H@ ~?s&‹⁄?¦⁄ ?¦﹁\? ︲ ⁄︿fiY b‹¤ b‹‹ ¤ g ‹£?J ‹£? ⁄﹃¦?o\ ¦\ Y b‹¤ b‹¤ P b‹¤ PP ‹ ~?m⁄ ⁄﹃¦?m¡• ›‹Y G \ H‹ b‹¤ \ ‹ ¤ ¤ ¤ O s‒›‹£?¦⁄·„#‹?J ‹Ÿ„?⁄ ·?⁄ ? Ÿ? #‹?fl·\‹?J ‹? ︲ ⁄︿fi?‹#‹?¦Ž¦? ‹?¦ ‹?‹ «? ぃ‹£? Ÿ? ＝ ︽‹£ ⁄· ‹? ⁄︽¦?R?¦-‹£? ⁄﹃¦? #‹?fl·\‹?J ‹? ︲ ⁄︿fi?‹⁄ ? ‒#‹? Ÿ? ‒›‹£? ︻‹£?«︽¦? - ? ‹⁄ ¦? ?¦-‹£? ⁄﹃¦ Žfi? ︽‹£? ‒›‹£?¦Ž¦? Ÿ ? fi? ⁄·⋮¦?«︽¦?J,M hhM bŽ¦?fi⁄ ‹£?fi⁄Žfi? Ÿ? &? ︽ « ‹⁄?⁄ \Y bŽ¦? Ÿ ? fi? - ?‹#·?‒\?J ·?« ‹⁄?⁄ \?¤⁄Ž?‒.?¦⁄›?fi⁄ ‹£?fi⁄Žfi? Ÿ ¦,?«⋮ ? ￣ Ÿ ? fi?J ¦Ž¦? ‹ ¦,? ⁄ ‒!‹? ·„ ‹? M?s- ? ¦￣ £ ‹£ fi⁄̅‹? &¦⁄?⁄ ︵‹£ £ ［ «⋮ ? ￣ Ÿ ? ›Ž‹? ︵ ?«›‹£?«·￣‹?£ 3fi ¦Ž¦? ‹?⁄ ·? ̅·? ¦?⁄ ‹? ︹ ?£ ?¦﹁\? Ÿ ? ›Ž‹?J,M bŽ¦⁄?PY a ‹?J︲ ?Jー‹£?‹⁄ K? ⁄\„?¦Ž¦?¦-‹£? ⁄﹃¦? ︲ ⁄︿fiK?J- ?¤⁄ ? 2‹£? \ ?fi⁄̅‹K? ⁄ ︹‹£?‚· fi⁄Ž ? ︻ fi⁄﹃¦? fi?‒ー ? 2‹£?«⋮ ? ￣ fi⁄"fi? ‹?J︲ ?J J \? ·? ⁄﹃¦? £ ￣‹£? J ‹?£ ‹M ucPY b⁄﹃‹£?« ‹⁄?¦Ž¦?J ‹£? ⁄﹃¦? \·Y ‹ P ‹ ¤ P PM b‹¤ P b‹¤ RM ‹ P P ‹ Q b‹¤ P SM b‹Q ¤ b‹Q ¤ P P b‹¤ PP G ‹K ¤ mK‹ P G ‹K ¤ b‹¤ Ÿ?«⋮ ? ￣ ¦⁄&‹⁄?fi⁄ ¤H QM ¤ G ¤ PHb‹¤ m IK ‹ ‹ G ‹ PHb‹¤ ¤ H GIg?a?QOOWH ‹£ G ‹K ¤ mK‹ ¤ P QH Q Q G ‹K ¤ mKQ ¤ ‹H T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Y PM?c睢 Ÿ‹£?‹⁄ ‹? ⁄ „? \? f b b RM?s ‚· ?fi⁄Ž ? ︻ G ‹ PH@ ¤ @G ‹ ¤ H@ M ¤ @G‹ ¤ PH@ ‹@ ¤ ‹ P ¤ ‹ ‹£? ぇ ¦̅·?PK? \?¦ﾃ‹£? ‹ P P ‹ Q b‹¤ P P b‹¤ PP ‒Ž ? Ÿ? \? ‹?J︲ ‹ P ‹ ¤ P ‚· ?fi⁄Ž ? ︻ ‒Ž ? Ÿ? ‹ P ¤ @G ‹ ¤ PH@ G ‹ PH@ ‹ Q ‹ P ¤ @G ‹ ¤ H@G ‹ ¤ P ¤ PH M G ‹ PH@ ‹ Q fi⁄﹃¦? fi G ¤ PH@G ‹ ¤ H@ G ‹ PH@ ‹ P ¤ @G‹ ¤ H@G‹ QH M G ‹ PH@ ‹ Q ¤ @G‹ ¤ H@ ‹@ P b‹¤ QKSM?w¡«?‹⁄ ? Ÿ ? fi? ぇ ·„ ‹M ucQY GIg`m?QOOPL bI?QOORH PM b⁄﹃‹£?« ‹⁄? ︵ ?« ‹ QM?q3 ?£ ‹? b‹P ·? ⁄﹃¦Y e P `QQ Q Ÿ?‹?‹£·„#‹? ⁄% \?¦,Y Qb‹Q b‹P Rb‹R b‹Q P `QQ P `RQ P `SQ MMMMM P `‹Q P P Q P Q b‹P ‹K Qb‹Q b‹P Q ‹@ G ‹ PH@ M Q@G ‹ QH@ ‹ @ Rb‹R b‹Q ‹ PK ¤b‹¤ b‹¤ P ▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁M ‹b‹‹ b‹‹ P e b‹P Q ‹ P ‹ Qb b R ‹ Q ‹ Rb b P Q R MMMMM ‹ ⁄¡›? MMMMM ‹ ‹ ‹ P ‹ ‹b b P `‹Q ‹ P ‹ P ‹ P P ‹ ‹ P ‹ ‹?J︲ ?¦,?⁄ ?¤⁄Ž¦? ›? ︵ ?¦̅·?P ▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁M b⋮‹£?‹?J ‹£? ⁄﹃¦? ‒#‹? MMMMM ‹ J︲ ? ￣ ⁄ ‹£ ︲‹£?fl·Ž ? ⁄¡›?⁄ ·?Q? P P MMM R ‹ P QM bﾃ‹£? ︵ ?6? ［‹£? \ fi⁄̅‹ ‹⁄ ‹£? \? P `SQ ‹b‹‹ b‹‹ P MMMMM f Y aŸ ?‹Ÿ„?« ‹⁄ ⁄ \ ¦⁄›?6? ［‹£? \ ?fi⁄̅‹K?J,? Ÿ? ⁄﹃¦?‒ー ? ⁄ £ Ž? ‒ Ÿ?J ‹?£ ‹? ︻ ︻M PM u︵ ‹ PK QKRKMMMMMK ‹ \?¦,Y P G ‹ QH@ P P P Q `‹ ‹@ ‹ G ‹ PH ‹ P ‹ u „ P `RQ R ‹@ Q@G ‹ QH@ M R@G ‹ RH@ ‹@ ‹ Q ‹ ¤ P P \?J ︿¦Y ‹ G ‹ PH G ‹ QH MMMMM G ‹ ¤ PH MMMMM Q P ‹ G ‹ PH G ⁄¡›?¦-‹£? ⁄﹃¦? &‹⁄? ︲‹£?¦ fi? ￣ ¦⋮‹£H Q Q · T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com ucRY b⁄﹃‹£?« ‹⁄Y PM?GIgjsbm?PXXWH b‹¤ Rb‹¤ QM?GIgpfgbl?PXXVH b‹¤ f P Q Rb‹¤ Sb‹¤ P R b‹¤ Ub‹¤ Q b‹¤ Sb‹¤ Y aŸ ?‹Ÿ„?« ‹⁄?⁄ \?¦⁄›?gIs?o\ ¦\ Y b‹¤ R G ‹K ¤ R b‹¤ P b‹¤ m KR ¤ S b‹¤ ‹H G ‹K ¤ S mKS ¤ ‹H b‹¤ PP M?b-‹£? ⁄﹃¦?‹Ÿ„?J￣ ? ︵ ?‹⁄ぃ‹£? ‹ ¦⁄ \? Ÿ«?fl·¡‹? ⁄%?⁄ ?¤⁄,?‹⁄︵K?¦,?¦̅·?☜ ⁄ ‹?¦⁄3☝? \·?¦﹁\? ⁄ „?«%‹⁄?£ 3fi?¦Ž¦? ‹? 睢 ‹⁄︵ ⁄ ‹? ‹£⁄¡?‹,?‒ ? Ÿ? %‹⁄? ⁄ ︹‹£Y?☜¦2‹£? ‒ ·? ›? ¡K?‹̅‹£? ‒ ? „? ·?¦\›☝M?u︵ ?6? ［‹£?J,? \? ‹⁄,« ¦Ž¦? ￣ ⁄ ‹£?‹⁄ «? ＝ ︽‹£?gIs?o\ ¦\ Y PM b‹¤ Rb‹¤ P Rb‹¤ Q b‹¤ P Qb‹¤ PP b‹¤ PQ QM?g›Ÿ‹? ›Ÿ‹? b‹¤ R b‹¤ b‹¤ b‹¤ P b‹¤ PP P P Q b‹¤ b‹¤ PP b‹¤ PQ b‹¤ b‹¤ Q b‹¤ b‹¤ Q P Q Q b‹¤ b‹¤ R R ‹£? ぇ ¦̅· PM ucSY PM?GssIsacbaxsgbl?PXXWH b⁄›?Q? ￣ ‹£·„#‹?‹K «? ⁄、\ O « QM?b⁄› ‹K ¤ m IK ‹ ¤ M?q3 ?£ ‹Y r b‹« PP b‹« QP MMMMM b«« ‹ M?b⁄﹃‹£?« ‹⁄Y b‹« b¤¤ b¤¤ P b¤¤ P b«« PP MMMMM b‹¤ P b‹¤ Q f Y ︺ uc? ‒#‹? Ÿ? 2‹£?gIs?o\ ¦\ ? ⁄¡›?¦⁄ ·? ⁄· ‹? Ÿ?£›«?Q? ⁄Ÿ‹⁄?PK?¦+‹ ［ uc?‹Ÿ„? \? 2‹£? ⁄¡›?¦⁄ ·?‹£ ︿¦? ﹃¦? Ÿ? Ž¦⁄?P? ⁄Ÿ‹⁄?QM b‹« b‹« P b‹« PP b‹« Q b‹« QP b‹« P PM?s\?¦,Y MMMMMMMMMM b«« P b«« QM?g›Ÿ‹? ›Ÿ‹? b‹« b«« b«« b‹« PP b‹« QP MMMMM b«« b«« PP P ‹£? ぇ ucPY b⁄﹃‹£?« ‹⁄Y PM b‹O b‹P b‹Q b‹R MMMMM G PH ‹ b‹‹ f b«« PP P bŽ¦⁄?QY j⁄\ ? ‒ ‹? ﾃ„? ⁄︻\?‹⁄ ⁄﹃¦?‒ー ? ⁄\„? QM XO b‹O P XP b‹P X Q b‹Q MMMMM X ‹ b‹‹ Y PM?s\? ⁄ „? ‹? ‹£?£ Ž? ‒ ⁄&¦⁄?⁄︿fiM O PO‹ ‒Ž ?¦﹁\?J ‹£? ⁄﹃¦?¦⁄﹃\ b‹O Ÿ b‹‹ Jー‹£? ⁄︹ ?«‖ ?⁄ ¦⁄ ‹?¤⁄\ ? ‒ ‹ GP ‚ H ‹ Ÿ? ⁄ „?¦Ž¦? ￣ ⁄ ‹£?J︲ ? ·?‹#‹? s\?¦,Y GP ‚ H ‹ s‒›‹£?GPH? ⁄\„ ‚ ¦⁄ ‹ ‚ b‹O b‹P ‚ b‹Q ‚ Q MMMMM b‹‹ ‚ ‹ GPH P \?J ︿¦ b‹O b‹P b‹Q b‹R MMMMM G PH ‹ b‹‹ R O ￣ ¦﹁\? ︲ ⁄︿fi? Ÿ?P?‹#‹? \ PM T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com QM s‒›‹£?GPH? ⁄\„ ‚ X \?J ︿¦ XO b‹O XP b‹P X Q b‹Q MMMMM X ‹ b‹‹ ucQY PM?GIgpfgbl?PXXV ♠ Igxcgbl?QOOOH b⁄﹃‹£?« ‹⁄ bQP‹ bQR‹ bQT‹ MMMMM bQQ‹‹ P bQO‹ QM?GIgrou?QOOOH?b⁄﹃‹£?« ‹⁄ bQQ‹ bQS‹ MMMMM bQQ‹‹ f Y Q? Ÿ ? ‒#‹? ‹?¦⁄ ?£ ￣‹£?‹⁄\·?‹#‹ - ? QM?m⁄ ‹? ⁄ „? ‒Ž ?¦﹁\?J ‹£? ⁄﹃¦?¤⁄·„ ?« ︽‹£?¤⁄\ ? ‒ ‹ GP ‚ H Q ‹ Ÿ? ⁄ ?«\„?« ‹ bQO‹ xbas bQO‹ s\?¦,Y GP ‚ H Q ‹ bQQ‹ bQS‹ MMMMM bQQ‹‹ bQO‹ s︻ J̅„?¦⁄·„ ‹? bQQ‹‹ bQS‹ MMMMM bQQ‹‹ Q bQP‹ £ ?« ·? Ÿ ?QM bQO‹ bQQ‹‹ ‹#‹? \? bQQ‹‹ bQP‹ bQR‹ MMMMM bQQ‹‹ bQP‹ bQQ‹ bQR‹ Q ‹#‹? \?¦,? ︹ ?£ bQR‹ MMMMM bQQ‹‹ bQS‹ MMMMM bQQ‹‹ P Q ¦⋮‹£? ⁄#«? ︿‹£?‹Ÿ„? -?J bQP‹ ‚ bQQ‹ ‚ Q bQR‹ ‚ R bQS‹ ‚ S MMMMM bQQ‹‹ Q ‚ Q ‹ P \?J ︿¦ O bQO‹ s⁄\„ ‚ Q bQQ‹ PO‹ Q ?‹⁄ ? \·Y P Q bQQ‹‹ P ‚ Q ‹ bQQ‹‹ P P bQQ‹‹ ‚ Q ‹ bQQ‹‹ J︲ ? ·? \ ¦,?Jfi¦«M ‹£?‹? ⁄、\?«š‹Y ucRY s%«? ￣ ‹£·„#‹? O P PM GIg c?QOORH b‹ Qb‹ Sb‹Q MMMMM Q ‹ b‹‹ QM?GIg?c?QOOWH bQP‹ bQR‹ MMMMM bQQ‹‹ P QSR GPH QOSW GQH f Y s⁄› ?‹⁄%‹? ［‹£?Q? Ÿ ‒#‹? Ÿ?£ ?fi⁄ ‹£? ‒%‹⁄?‹⁄ ‹£? ⁄ぇ¦?¦⁄ ? Ÿ?„#·?¦ ·? &‹⁄? ︲‹£ ［ ?‹ ·?¤⁄-‹£?‒3 ?£ ‹?J ︿¦? ‒Ž ? \? ¤⁄-‹£? ⁄ %« J ︿¦?‹M PM m⁄ ‹? ⁄ „? ﾃ„? ⁄︻\?¦﹁\?Q?