Một số phương pháp xử lý phương trình sau khi trục căn Nguyễn văn hoàng

Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ThS Nguyễn Văn Hoàng (0987698877) GV Trường THPT Chuyên Quang Trung Tài liệu dành cho bạn biết cách nhẩm nghiệm triệt để máy tính, biết cách trục với số, với biến… mong muốn tìm kiếm thêm kinh nghiệm việc xử lý phương trình lại sau trục PHẦN TINH THẦN TRỤC VÀ BA ĐIỂM CẦN NẮM Trước tiên, theo cần nắm tinh thần sau:  Khi nhận thấy phương pháp khác không thực ta nghĩ đến trục căn, việc xử lý phương trình lại sau trục ta không định hướng trước  Một số kĩ thuật xử lý phương trình lại là: Bỏ bớt biểu thức không âm, làm chặt miền nghiệm, tách hạng tử (thêm bớt max biểu thức), bất đẳng thức, xét hàm số tìm GTLN GTNN, sử dụng hệ tạm, chia khoảng Có thể có thêm vài kĩ thuật nữa, đủ dùng Mỗi kĩ thuật có lợi bài, nhiều phải kết hợp chúng với Việc sử dụng kĩ thuật nhiều tùy vào lực người Thông thường, xử lý phương trình lại chứng minh vô nghiệm đánh giá: VT < 0, VT > VT > A VP < A Điều có ba điểm cần nắm: Thứ nhất: Làm cho miền nghiệm chặt dễ đánh giá Thứ hai: Trục nghiệm đơn trục với số được, trục với biến được, miễn việc chứng minh phương trình lại vô nghiệm dễ dàng Thứ ba: Có thể có nhiều cách chứng minh vô nghiệm cho phương trình, tùy lực người mà lựa chọn Sau ba ví dụ minh họa cho ba điểm cần nắm Ví dụ mở đầu 1: Giải phương trình: x2  x   x2   x  Cách (Trục nghiệm đơn với số không quan tâm việc làm chặt miền nghiệm) Nhận thấy x = nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình sau: PT  x  x   x   x  ThS Nguyễn Văn Hoàng (0987698877) - GV Chuyên Quang Trung - BP Page Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com      x2  2x    x2  x  x2    2x  x2    2x  x2  2x   x 5 3 x   x x2    (*)  x  x   x2   x (*)  ( x  1)    x2 x2   2 Ta chứng minh hạng tử vế trái nhỏ Thật vậy: x ( x  1)   2   x   ( x  1)  điều ( x  1)2   | x  1|  x   x  Tương tự, x2 x 5 3   x   x  điều Bình luận Việc tách hạng tử chứng minh hạng tử nhỏ em học sinh làm Cách (Trục nghiệm đơn với biến quan tâm việc làm chặt miền nghiệm) Từ phương trình ta có đánh giá: x     x   1  x  Nhận thấy x = nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình sau: PT     x2  2x   x   x   ( x  1)    (4  x)    x  2x   x   0 x   ( x  1)  Với x  biểu thức ngoặc dương, x = nghiệm phương trình Bình luận: Làm chặt miền nghiệm + trục với biến lời giải đẹp Nhiều bạn làm chặt đến x   khó khăn cho việc đánh giá ThS Nguyễn Văn Hoàng (0987698877) - GV Chuyên Quang Trung - BP Page Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ví dụ mở đầu Giải phương trình : x2   x  x3  Cách Trục với số ĐK x  Nhận thấy x=3 nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình PT  x    x   x3       x  3 1      x  3  x  x    x3   x2     x      x  x  x      x  3 1   0 3 x   x2     x 1    x3 x    x3 x  3x  (2)  1    3 x3   x   x      Xét phương trình (2): Ta chứng minh: VT   VP Việc chứng minh điều có nhiều cách, dùng Cosi quan sát bậc biểu thức, bạn quy đồng, đặt ẩn phụ để chứng minh biểu thức dương Ta có x  1  x    2( x  1)  Khi x3 Ta chứng minh x  1  x   x3 2( x  1)   x3 2( x  1)   (*) với x  Thật (*)  x  x   điều với x  Biểu thức lại: x  3x  x3    x  3x  x3  Ta chứng minh x  3x  x3   2(**) với x  Thật (**)  x  3x  x3  với x  Điều sử dụng Cosi VP Bình luận Cách tương đối dài nhiều bạn thấy phương trình lại “cồng kềnh” nên nản chí ThS Nguyễn Văn Hoàng (0987698877) - GV Chuyên Quang Trung - BP Page Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Cách Trục với biến ĐK x  Ta có: x   x  x3    x   ( x  1)    x3   (2 x  1)          x2  x x2  x   ( x  3)   0 x3   (2 x  1)   x   ( x  1) Để ý  x2  x  x(1  x)  với x  ( x2  x  1)  với x  nên biểu thức ngoặc âm với x  Do x = nghiệm Ví dụ mở đầu (Có nhiều cách chứng minh vô nghiệm cho bài) x3  13x  x  ( x  1) 3x  Thi thử lần năm 2016 – Chuyên Quang Trung Hướng dẫn giải Có thể trục sau: x3  13x  x  ( x  1) 3x   x 1  (8 x3  15 x  x  1) 1   (2 x  1)2  (2 x  1) 3x   (3 x  2)     0()   Chứng minh phương trình lại có cách: Cách (Quy đồng) b  3x   Đặt  a  Biểu thức ngoặc trở thành: a  x   x    15  ( a  b)   a    a3 2  1  0 2 2a  2ab  2b 2a  2ab  2b Vậy x  1; x   Cách (Xét khoảng) Xét x  1, biểu thức ngoặc dương Xét x  1 x   , ThS Nguyễn Văn Hoàng (0987698877) - GV Chuyên Quang Trung - BP Page Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 1 x 1  1 (2 x  1)  (2 x  1) 3 x   (3 x  2) x 1   (1)  (2 x  1) Cách (Chặn miền nghiệm) Xét phương trình: 1 x 1 (2 x  1)  (2 x  1) x   (3 x  2)  (*) 2 2 Vì (2 x  1)  (2 x  1) x   (3 x  2)  nên suy x    x  1 Từ phương trình ban đầu  x3  13x  x  ( x  1) 3x   x3  13x  x  ( x  1) 3x     x( x  1) Điều vô lý x  1 Vậy (*) vô nghiệm Ví dụ mở đầu (Vẻ đẹp kĩ thuật trục) Giải phương trình:  x 1  2x  x    Đề thi thử lần năm 2015– Chuyên ĐH Vinh Bình luận Lời giải tự nhiên cho phương pháp đặt ẩn phụ đưa đẳng cấp, bạn tham khảo đáp án mạng Ở giới thiệu lời giải trục mà nghĩ đến, ngất ngây với lời giải lâu ĐK: x   x  x   2x   1   x   x   2x        1     x 1 1           x  x   x   x   x  x   x  1  x        x  3 x   3    x   x   x  x   x  1  x               Khi trục nhân tử x – ta    ( x  2)  x    x     Ta có 2x  x 1  2x     x   2x 2x     x 1  2x      x   x  1    0 x    x 1 1 Vậy ta có x  Kết hợp điều kiện ta  x  ThS Nguyễn Văn Hoàng (0987698877) - GV Chuyên Quang Trung - BP Page Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com PHẦN MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU Dưới số ví dụ minh họa cho kĩ thuật nói Ví dụ (Bỏ bớt căn, bỏ bớt biểu thức không âm) ( x  1) x   ( x  6) x   x  x  12 Bình luận Đây đề thi D2014 không xa lạ với nhiều học sinh, chọn ví dụ để minh họa cho đánh giá sau: A A , ta thường sử dụng A  0, C   B C C Nhớ nguyên tắc đánh giá làm cho mẫu đơn giản PP thực điều tốt Hướng dẫn giải ĐK x  2 Nhẩm nghiệm x = Trục với số ta được: ( x  1)( x   2)  ( x  6)( x   3)  ( x  x  8)  x6  x 1   ( x  2)    x  4  x7 3  x22  Chú ý Muốn bỏ mẫu x   , x   , x  2 có x   Do điều ta muốn thay x  thành x  , điều thực ta thêm bớt sau: x 1 x6  x4 x22 x73 x2 x6   x4 x22 x7 3 x2 2 Khi bỏ bớt ta x 1 x6 x2 x6 1  x4   x4  0 2 x22 x7 3 x22 x22 Vậy phương trình có nghiệm x = A A , ta  B C C thường sử dụng A  0, C  Chẳng hạn đáp án mạng năm 2014 em thi xong Bài xét hai khoảng, không tốt bằng, xin không đề cập Bình luận Đây dễ sai đánh giá nhiều bạn quên Ví dụ (Tách hạng tử thêm bớt max biểu thức) Giải phương trình: x  14  3x   ( x  8) x  ThS Nguyễn Văn Hoàng (0987698877) - GV Chuyên Quang Trung - BP Page Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bình luận Tách hạng tử có nghĩa ta không đánh giá toàn biểu thức mà tách biểu thức, tìm max (Bằng lệnh TABLE CASIO) thêm bớt, kĩ thuật đơn giản, khả thành công cao, dành cho bạn lười suy nghĩ có kĩ đánh giá Hướng dẫn giải ĐK x   3  x 8  Trục ( x  1)     (1) x   x     Biểu thức ngoặc dương (TABLE) , nhận thấy 3  nên ta thêm bớt đại 3x   2 lượng ta được:  x8 3 3  (1)  ( x  1)         x   2   3x     Việc chứng minh biểu thức dương đơn giản Vậy phương trình có nghiệm x =1 Ví dụ (Tách hạng tử kết hợp bỏ bớt căn) Giải phương trình: (5 x  x  10) x   (2 x  6) x   x3  13x  x  32 Hướng dẫn giải ĐK x  2 Trục với số ta được: (5x2  5x  10)   x    (2 x  6)   x    x3  x2  x  10 Trục xong ta x = x  x  10 2x    x  (*) x7 3 x22 Do x  2 nên Và x  x  10 x  x  10 x  x  10    x2  x  23 x7 3 3 2x  2x    x  x22 Theo đánh giá VT(*) < x   VP(*) Vậy x =2 nghiệm hệ ThS Nguyễn Văn Hoàng (0987698877) - GV Chuyên Quang Trung - BP Page Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ví dụ (Sử dụng hệ tạm) Giải phương trình: x2  20 x  86  x 31  x  x2  3x  Đề thi thử Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An - 2016 Bình luận Bài tương đối khó nhẩm nghiệm vô tỷ mà phương trình bậc Sử dụng CASIO lấy hai phương trình bậc hai là: x  x  15  x  x  30  , ta nghĩ đến trục bậc hai thứ sử dụng hệ tạm để tìm nhân tử bậc hai lại Sử dụng hệ tạm tức kết hợp với phương trình ban đầu Hướng dẫn giải 7 x  20 x  86   ĐK   31  x  x  Việc xét trường hợp LLH bạn tự xét Ta thêm bớt sau:    x  20 x  86  (2  x)  x  31  x  x    x  x  15  (2)   x   (*)  x  20 x  86   x 31  x  x  Xử lý (*) cách quy đồng ta được: 31  x  x2  24  x x2  20 x  86  x  x2 Thay x2  20 x  86  3x   x 31  x  x2  x  x2 (từ phương trình cho) vào ta được: x   31  x  x  x  x  24  31  x  x   x   31  x  x  x    31  x  x   x  x  30  (3) Giải (2) (3) kết hợp điều kiện ta được: x  2  19, x  2  34 Ví dụ (Xét hàm số để tìm max) Giải phương trình: x3  3x    3x HD 6.1 ĐK:  6 x 3 , Ta thêm bớt trục được: x3  x   x2  x 1  3x   x 0 ThS Nguyễn Văn Hoàng (0987698877) - GV Chuyên Quang Trung - BP Page Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com     x  x  1  x   0  3x   x   Xét f  x    x   x ta có: f '  x    f '( x)   3x  3x 1 x   3x  3x 1 Ta có bảng biến thiên:  f  x   x 1 64 64 6   f  x  kết hợp với x  3  3x   x  x 1  1 0 f  x 64 Vậy phương trình cho có nghiệm x  x    x  1 Cách Có thể kết hợp PT ban đầu đưa hệ tạm Các bạn tự làm Ví dụ (Chia khoảng) Giải phương trình 3x 2x 3x x3 x2 5x Bình luận Đây toán hay lẽ dấu biểu thức nhỏ làm cho việc đánh giá khó khăn, buộc lòng phải chia khoảng Hướng dẫn giải ĐK x Sau trục nghiệm x lại phương trình ThS Nguyễn Văn Hoàng (0987698877) - GV Chuyên Quang Trung - BP Page Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 3x 3x 2x 3x x2 x Khi ta xét hai trường hợp sau:   x x VT 3x 2(x 1) (x 1) 3x x x2 x x Quay trở lại phương trình: VT x 3x 3x x3 2x2 5x Ví dụ (Tách hạng tử thêm bớt max biểu thức) Giải phương trình: 4x   x  x   x3  x  x  Hướng dẫn giải ĐK x   Ta thêm bớt sau:    4x     x  x    x3  x  x    ( x  1)    4x      x2  x     x2  x    x 1 Cần chứng minh biểu thức ngoặc âm TXĐ Nhận thấy 4x    x 1 x2  x    (CASIO) nên ta thêm bớt ngoặc là:   8  x 1    1  ( x  x  )    x   3   x  x    Việc lại chứng minh biểu thức Quy đồng ta được: x 1 x  2x   2   (*) Thật x  x   x  Điều x  x   ( x  1)2  | x  | x   x  ThS Nguyễn Văn Hoàng (0987698877) - GV Chuyên Quang Trung - BP Page 10 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ví dụ (Bất đẳng thức) x   x 1   x  Bình luận Khi trục với bậc ba, ta quan sát bậc để sử dụng Cosi Hướng dẫn giải ĐK x  Trục nghiệm x = phương trình;  x  6  23 x     x  1  x 1 1  (*) x2 Ta có đánh giá:  x  1  x  6 2  x    x   (Cosi)  x    2( x  6)   x   Do VT (*)   VP(*) Vậy (*) Vô nghiệm x 1 ThS Nguyễn Văn Hoàng (0987698877) - GV Chuyên Quang Trung - BP Page 11 [...]... Bình luận Khi trục với căn bậc ba, ta quan sát bậc của nó để sử dụng Cosi Hướng dẫn giải ĐK x  2 Trục nghiệm x = 2 còn phương trình; 1 3  x  6 2  23 x  6  4 1  3  x  1 2  3 x 1 1  1 (*) x2 Ta có đánh giá: 3  x  1 3  x  6 2 2  3 x  1  1  2 x  1  1 (Cosi)  2 3 x  6  4  2 2( x  6)  4  2 x  1  1 Do đó VT (*)  2  VP(*) Vậy (*) Vô nghiệm 2 x 1 ThS Nguyễn Văn Hoàng (0987698877)