liên hợp và dồn căn giải phương trình và hệ phương trình

Thầy Hà Hữu Hải giáo viên Mclass.vn -–Chuyên luyện thi Hà Nội facebook.com/thaygiaohaihn - 0986.120.635 ÉP TÍCH NHIỀU CĂN THỨC BẰNG KỸ THUẬT ĐẢO LIÊN HỢP VÀ DỒN CĂN I Kỹ thuật Đảo liên hợp: Nếu liên hợp có giá trị: ( x − x + )( x + x + ) ( x + − 5x + )( x + + 5x + ) x + ) thành ( x + − x + ) x2 − x − =   x − x − =  ( Khi muốn biến nhân tử x − ta sử dụng kỹ thuật ĐẢO CĂN sau: (x − ) ( x + + F ( x) = ⇔ x− x+2 ( ) ( ) )( x + ) ( ) x + + x + x + F ( x) = ⇔ x2 − x − + x + x + F ( x ) = ( ⇔ x + − 5x + )( x + + ) ( CHÚ Ý: • ) 5x + + x + x + F ( x ) = ( ) Khi nhân vế với x + x + , ta làm xuất nghiệm ngoại lai Vì trình làm cần chắn nghiệm ngoại lai bị loại bỏ yếu tố: Điều kiện Nghiệm không thỏa mãn II Kỹ thuật dồn căn: Để kết nối hai thức, ta sử dụng biến đổi sau:  a + b=  3  a + b=  a + b + ab a + b + 3 ab ( a+3b ) III Bài tập áp dụng: Bài 1: Giải phương trình: x + x + = ( x + 1) x + + x + Phân tích Sử dụng máy tính CASIO ta thu nghiệm x ≈ 4.236067978 ( )( Khi ta có nhân tử: x + − x + , x + − x + ( ( )( )( ) ) )  x + − 8x + x + + 8x + = x2 − 4x −  Xét liên hợp:   x + − 6x + x + + 6x + = x2 − 4x −  Bài giải Ta có: x + x + = ( x + 1) x + + x + Điều kiện: x ≥ − ⇒ x + > ( ⇔ ( x + 1) ( x + + ⇔ ( x + 1) ( x + + ) ( ) x + )( x + − x + ) + ( x + − x + )( x + + x + )( x + − x + ) + ( x − x − 1) = ⇔ ( x + 1) x + − x + + x + − x + = ) 6x + = Thầy Hà Hữu Hải giáo viên Mclass.vn –Chuyên luyện thi Hà Nội facebook.com/thaygiaohaihn - 0986.120.635 Thầy Hà Hữu Hải giáo viên Mclass.vn -–Chuyên luyện thi Hà Nội facebook.com/thaygiaohaihn - 0986.120.635 ( )( x + − 8x + ) + ( x + − 8x + )( x + + ⇔ ( x + − x + ) ( ( x + 1) ( x + + x + ) + x + + x + ) = Vì x ≥ − ⇒ ( x + 1) ( x + + x + ) + x + + x + > ⇔ ( x + 1) x + + x + ) 8x + = Do đó: x + 2= x + ⇒ x 2= − 4x − ⇒ x = 2± Kết luận: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x= ± Bài 2: Giải phương trình: x − x − = 3−x + x Phân tích Sử dụng máy tính CASIO ta thu nghiệm x ≈ 2,618033989 ( ) ( ) Khi ta có nhân tử: x − − − x x − − x ( ( )( )  x − − − x x − + − x = x2 − 3x +  Xét liên hợp:   x − − x x − + x = x2 − 3x +  )( ) Bài giải Cách 1: Liên hợp ngược đảo căn:  x − x − ≥ ⇒2≤x≤3 0 ≤ x ≤ Điều kiện:  Ta có: x − x − = 3−x + x ( ) ) ( − x )( x − + x ) + ( x − − ⇔ x2 − 3x + + x − − − x + x − − x = ( ⇔ x−2− 3−x )( x − + 3−x )( x − + x ) ( + x −1− x ( ⇔ (x − − ) (( x − + − x ) (( x − + ⇔ x−2− 3−x )( x − + x ) + x − + x ) + x − x )( x − + x ) + x − + x ) 3−x − 3x + = ( + x−2− 3−x ) (( x − + − x )( x − + x ) + x − + x + x − + − x ) =0 − x ) ( ( x − + − x )( x − + x ) + x − + x + − x ) = Vì ≤ x ≤ ⇒ ( x − + − x )( x − + x ) + x − + x + − x > ( ⇔ (x − − )( x − + x ) =0 )( x − + ) 3−x = ⇔ x−2− 3−x Do đó: x − = 3− x ⇒ x= 3+ Kết luận: Phương trình có nghiệm x = Cách 2: Kỹ thuật dồn căn: 3+ 2  x − x − ≥ ⇒2≤x≤3 0 ≤ x ≤ Điều kiện:  Ta có: x − x − = − x + x ⇔ x2 − x − = + 3x − x2 Thầy Hà Hữu Hải giáo viên Mclass.vn –Chuyên luyện thi Hà Nội facebook.com/thaygiaohaihn - 0986.120.635 Thầy Hà Hữu Hải giáo viên Mclass.vn -–Chuyên luyện thi Hà Nội facebook.com/thaygiaohaihn - 0986.120.635 ( ) ( ) ( )( ) (   ⇔ x2 − 3x + + x − − +  − + 3x − x  =    ⇔ x2 − 3x + x − + + x2 − 3x + +  − + 3x − x2    ⇔ − 3x − x2 x + + +  − + 3x − x2  =     ⇔ x + + 5 − + 3x − x2 +  − + 3x − x2  =   )) ( ) ( ( ( )( ( (  ⇔ ( 2x + + )  − + 2  )  =  )))     x − x  + + x − x  +  − + x − x  =          ⇔  − + 3x − x2   x + +  + + 3x − x2  +  =      ( ) Bài 3: Giải bất phương trình: x + 3x + x + ≥ x x + + x + 11 Phân tích Sử dụng máy tính CASIO ta thu nghiệm x ≈ 1.828427124 ( ) ( ) Khi ta có nhân tử: x + − x + x + − x + 11 ( ( )( )( )  x + − x + x + − x + = x2 + 2x −  Xét liên hợp:   x + − x + 11 x + + x + 11 = x + x −  Vậy ta có nhận xét sau: (x + − x+4 )( x + − ) ( ) )( x + =x + x − =x + − x + 11 x + + x + 11 ) Bài giải  x ≥ −4  x ≥ −4 ⇒ ⇒ x > −3  x + x + x ≥ −2 > −3 ( x + ) x + > Điều kiện:  ( ) Ta có: x + 3x + x + ≥ x x + + x + 11 ⇔ x + x + x + − x x + − x + 11 ≥ ( ⇔ x (x + − ) ( ) x + )( x + + x + ) + ( x + + x + )( x + − x + 11 ) ≥ ⇔ x ( x + x − ) + ( x + + x + )( x + − x + 11 ) ≥ ⇔ x ( x + − x + 11 )( x + + x + 11 ) + ( x + + x + )( x + − x + 11 ) ≥ ⇔ ( x + − x + 11 ) ( x ( x + + x + 11 ) + x + + x + ) ≥ ⇔ x x + − x + + x + − x + 11 ≥ 2 2  x + + x + ≥ > Vì x > −3 ⇒  (  x + + x + 11 ≥ −1 + > ) Do đó: x x + + x + 11 + x + + x + >  x + ≥ x + 11 ⇒ x ≥ −1 + 2  x > −3 Vậy  Thầy Hà Hữu Hải giáo viên Mclass.vn –Chuyên luyện thi Hà Nội facebook.com/thaygiaohaihn - 0986.120.635 Thầy Hà Hữu Hải giáo viên Mclass.vn -–Chuyên luyện thi Hà Nội facebook.com/thaygiaohaihn - 0986.120.635 Kết luận: Bất phương trình có tập nghiệm x ∈  −1 + 2 ; +∞ )  Bài 4: Giải bất phương trình: x + x − x + ≥ 3x + + ( 3x + 1) Phân tích Sử dụng máy tính CASIO ta tìm nghiệm x ≈ 4.236067977 ) ( Khi ta có nhân tử:  x − x + −  x + − ( 3x + 1)     x − x + −  =−  x − 2x +  x − x + −      Xét liên hợp:  x + − ( 3x + 1) x + + ( 3x + 1) = x − x −   x − − 2x + x − + 2x + = x2 − 4x −  ( ( )( )( ) Vậy ta có nhận xét sau: (x + − ) )( ) ( x + 1) x + + ( x + 1) = x − x − = (x − − 2x + )( x − + 2x + ) Bài giải  x ≥ −  x ≥ Điều kiện:  ⇒ ⇒ x ≥ 1+ 3  x ≥ x + ≥  x ≥ x +  Ta có: x + x − x + ≥ 3x + + ( 3x + 1) ⇔ x − x − + x − x + − ( x + 1) ≥ ) ( ⇔  x − x + −  + x + − ( x + 1) + x − x − ≥   ⇔ x − − x + + x + − ( x + 1) + x − x −  x − x + +  ≥   ⇔ x − − x + + x + − ( x + 1) + x − x −  x − x + +  ≥   ⇔ x + − ( x + 1) + x − x − x − + x +  x − x + +    ) (( ) (( ( ( (( ) )( ) ) ) ) ) ( ) + x2 − 4x − ≥ )( ( ) ) ( ⇔ x + − ( x + 1) x + + ( x + 1) + x + + ( x + 1) A ≥ ( ) (Với x − + x +  x − x + +  =A ) ( )  Mặt khác với x ≥ + ta có: x + + ( 3x + 1) + x + + ( 3x + 1) A >  x + ≥ ( x + 1)  Do   x ≥ + ⇒ x≥ 2+ Kết luận: Bất phương trình có tập nghiệm x ∈  + 5; +∞  ) Thầy Hà Hữu Hải giáo viên Mclass.vn –Chuyên luyện thi Hà Nội facebook.com/thaygiaohaihn - 0986.120.635 Thầy Hà Hữu Hải giáo viên Mclass.vn -–Chuyên luyện thi Hà Nội facebook.com/thaygiaohaihn - 0986.120.635 Bài 5: Giải phương trình: x + x − 5x + 2= x − + 3x + Phân tích Sử dụng máy tính CASIO ta thu nghiệm x ≈ 1.866025404 Khi ta có nhân tử: ( ( ) ( ) x − x + − x + x − x − )( )  x2 − 5x + − 3x + x2 − 5x + + 3x + = x2 − x +  Liên hợp:   2x − 8x − 2x + 8x − = 4x2 − 8x +  ( )( ) Bài giải Điều kiện: x ≥ Ta có: x + x − 5x + 2= ( ⇔( ⇔( ⇔( ⇔ x − + 3x + ) )( x + ) ( x + x − ) + ( x + x − )( x − x − ) = x + ) ( x + x − ) + ( x − x + 1) = x + )( x + x − + x − x + + x + ) = x2 − 5x + − 3x + + x − x − = x2 − 5x + − x2 − 5x + − x − 5x + − 2 Vì x ≥ ⇒ x + x − + x − 5x + + 3x + > Do x − x + 2= x + ⇒ x= 2± Kết luận: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = Bài 6: Giải phương trình: 2± 5x2 − 5x + − x − + x2 − x + = Phân tích Sử dụng máy tính CASIO ta thu nghiệm x ≈ 1.390388203 Với ngghiệm x ≈ 1.390388203 thay vào thức ta được: (  x − x + ≈ 2.390388203 ≈ x +   x − ≈ 2.780776406 ≈ x ) (  5x − 5x + − x − 5x − 5x + + x + = )( ) ( Xét liên hợp:  Vậy nhân tử cần tìm 2 ( ) x − x + − ( x + 1) x − x − )( 4x2 − x + )  2x − x − 2x + x − = 4x2 − x +  Bài giải Điều kiện: x ≥ Ta có: ( ⇔( ⇔( ⇔ 5x2 − 5x + − x − + x2 − x + = )( ) x − x + − ( x + 1) + x − x − + x − x + = )( x − x + − x − 1) ( x + ) ( x − ) + ( 4x ) ( − x + ) ( 2x + + )( ) 5x2 − 5x + − x − x + x − + x2 − x + + x2 − x + 2 x + x − = 2 ) 7x − = Thầy Hà Hữu Hải giáo viên Mclass.vn –Chuyên luyện thi Hà Nội facebook.com/thaygiaohaihn - 0986.120.635 ⇔ ( Thầy Hà Hữu Hải giáo viên Mclass.vn -–Chuyên luyện thi Hà Nội facebook.com/thaygiaohaihn - 0986.120.635 5x2 − 5x + − x − )( )( 5x2 − 5x + + x + x + + x − + ⇔ ( )( ) ( ) )( ) 5x2 − 5x + − x − x + x − = 5x2 − 5x + − x − A + x + x − = (Trong ( )( ) 5x2 − 5x + + x + x + + x − = A ) ± 17 5x2 − 5x + = x + ⇒ x = ± 17 Kết luận: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = Vì x ≥ ⇒ A + x + x − > Do Bài 7: Giải phương trình: + x + − x + − x2 = 2x2 + 2x − Phân tích Sử dụng máy tính CASIO ta thu nghiệm x ≈ 1.322875656 Thay x ≈ 1.322875656 vào thức phương trình ban đầu ta được:   + x ≈ 1.822875656 ≈ x + ⇒ 2x =   − x ≈ 0.822875656 ≈ x −  ( 2+x + 2−x ) Vậy phương trình có nhân tử: x − + x − − x Xét liên hợp: ( 2x − ) )( + x − − x 2x + + x + − x = 4x2 − − − x2 Bài giải Điều kiện: −2 ≤ x ≤ Ta có: + x + − x + − x2 = 2x2 + 2x − ⇔ 2 + x + 2 − x + − x2 =4x2 + 4x − ( ) ( ) ⇔ 4x2 − − − x2 + 2x − + x − − x = ( ⇔ ( 2x − )( − x )( x + + ) ( 2−x) = ) ⇔ 2x − + x − − x 2x + + x + − x + 2x − + x − − x = 2+x − 2+x +    ⇔  x − + − x  x + + + − x  =    • 0 ≤ x ≤ Với x = + − x ⇔  + − x2 4 x = 1 ≤ x ≤  ⇔  x − ( • ) 1 ≤ x ≤ ⇔ ⇒x=  2 x =− 4 x − x = −  ≤ x ≤ −1 + − x2 = − ( 2x + ) ⇔  2 4 + − x = x + x + − −2 ≤ x ≤ −1  ≤ x ≤ −1 ⇔ ⇔ x 2x ( x + )  − x + =  + x x + x − − x = Với ( ) Thầy Hà Hữu Hải giáo viên Mclass.vn –Chuyên luyện thi Hà Nội facebook.com/thaygiaohaihn - 0986.120.635 Thầy Hà Hữu Hải giáo viên Mclass.vn -–Chuyên luyện thi Hà Nội facebook.com/thaygiaohaihn - 0986.120.635 Vì x + x − − x < 0∀ − ≤ x ≤ −1 ⇒ + x =0 ⇔ x =−2 Kết luận: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = −2 x = Bài tập tự luyện: 1) x − + − x ≥ x − x + 18 2) x x − x + + ( − x ) x + ≤ ( − x ) − x 3) (x − )( x + 2x + + x + x + 15 + x + )= 2x2 − 2x − x+3+6 x+3 Thầy Hà Hữu Hải giáo viên Mclass.vn –Chuyên luyện thi Hà Nội facebook.com/thaygiaohaihn - 0986.120.635