FREE: 50 bài hệ phương trình hay và khó thầy Tùng

Theo quan sát của chúng tôi, hệ phương trình trong những kỳ thi tuyển sinh đại học gần đây theo chiều hướng khó dần lên. Nó có những bài toán không đơn giản đối với học sinh dự thi tuyển sinh đại học. Mà trong khung cấu trúc đề thi của Bộ giáo dục và Đào tạo, cũng gắn liền với việc giải bài toán này ở những câu khó hơn. Mang trong nó nhiều kỹ năng tính toán và phương pháp giải không đơn thuần như hầu hết chúng ta đã học ở hệ phương trình lớp 10.Do đó, chúng tôi viết riêng quyển sách này như một vấn đề then chốt. Những vấn đề có thể nói là chuyên đề phục vụ cho các em luyện thi tuyển sinh đại học. Cũng chính vì điều này, các hệ phương trình cơ bản, cơ sở đơn giản trước đây chúng tôi không trình bày ở đây. Chẳng hạn: Hệ phương trình bao gồm một phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai đối với ẩn, Hệ phương trình đối xứng loại I đối với ẩn, Hệ phương trình đối xứng loại II đối với ẩn, Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai đối với ẩn. Mà nó được xem kẻ vào những bài toán trong tài liệu sau chúng tôi trình bày. Bởi sau khi dùng những phép biến đổi mà các em sắp được học sau thì chúng ta sẽ chuyển nó về những hệ phương trình đơn giản hơn rất nhiều mà tất cả chúng ta đều có thể giải được.

HOCMAI.VN GV: Nguyễn Thanh Tùng facebook.com/ ThayTungToan 50 BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY VÀ KHÓ Phần GV: Nguyễn Thanh Tùng  (1)  y  x2  x  2x  x2  Bài (Nguyễn Thanh Tùng) Giải hệ phương trình:  2  2 x y  2( x  2)  ( xy  y  3x  3) y  10 (2) Giải : Điều kiện: x   0; 2  x, y    Cách 1: Với điều kiện (2)  x2 ( y  1)  3x( y  1)  3( y  1)  y ( x  1)  5( x  1)  ( y  1)(2 x2  3x  3)  ( x  1)( y  5)  x  3x  Xét hàm số f ( x)  với x   0;2  ta có x 1 y  x  3x  (*)  y 1 x 1 min f ( x)  x 0;2   m axxf(0;2x)   y2  (*) 1     y  (2*) Do f ( x) liên tục đoạn  0;2  , suy  f ( x)   y 1 Cách 1.1 (Nguyễn Thanh Tùng) Với  x  , ta có :  x  x2   ( x  1)2   x  x2  x  x  x  x (2*) Khi từ (1)  y   x  x  ( x  x )   y   y 2 x0 (3*) Cách 1.2 (Lê Anh Tuấn) (1)  x  y   x  x (1  x  x )   x  y   2 x  x ( x  1)  x  x2  (4*) (4*)  y  2; x  Với x   0;2  (2*)  x  y    x0;2   Cách 1.3 (Nguyễn Thế Duy)   x   0;1 (2*)  y   x  x  x  x   x  x  x  x   (5*) x ( x  x  x  2)     x   0;1  Do x3  x2  x   x2 ( x  2)  2( x  1)  với x  0;1 nên (5*)    x   y   x  Cách (Châu Thanh Hải)   (1)  y   x  x   ( x  1)2  x  với x  0;2   y  y2 (6*)  M    x  0; y  (2)  M  2(2 x  x2 )( y  1)  x( y  y  4)  ( y  1)( y  2)  (6*)  x0;2   Thử lại ta nghiệm hệ ( x; y)  (0;2) Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN – tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG tới ! HOCMAI.VN GV: Nguyễn Thanh Tùng facebook.com/ ThayTungToan xy 1  y  y   y  (1) Bài (Nguyễn Thanh Tùng) Giải hệ phương trình:  x  x 1  2 (8 x  4) 2(1  x )  y  y (2) Giải  x, y     y  (;0)  1;    Điều kiện:   1  x  Biến đổi (1)  Do  y  1  y  y   y     x   x x y  y2  1 y  y   x   x 3x (*)  x   x 3x  , suy y    2  1 Khi (*)        y    y y    t  Ta có f '(t )    1 3t   t 1     x   x 3x (2*) Xét hàm số f (t )   t   t 3t ln  3t    t   t 3t với t      t   t  ln   t 1    t2 1  t2  t  t  t2 1  t   Mà   f '(t )  1 ln    ln    t2 1 t2 1  1 1 Suy f (t ) đồng biến với t  Khi (2*)  f    f ( x)   x  y  (3*) y x  y 1 Thay (3*) vào (2) ta được: 32 (2 x  1)  x   x  x x    32 x2 (1  x2 )(2 x2  1)2  x   x  Ta có: 1  x   y  kết hợp điều kiện 1  x  , suy x   Do ta đặt x  cos t với t  0;  , phương trình có dạng:  4 32cos2 t.(1  cos2 t )(2cos t 1)2  cos t 1   8sin 2t.cos2 2t  cos t 1   2sin 4t  cos t 1   k 2 t0;    4 t  8t  t  k 2    t  0; 2   cos8t  cos t       k   8t  t  k 2 t  k 2  2 Khi hệ có nghiệm là: x  y  x  cos ;y 2 cos Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN – tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG tới ! HOCMAI.VN GV: Nguyễn Thanh Tùng facebook.com/ ThayTungToan   2(1  y )  y x  2 xy  y  (1) Bài (Nguyễn Thanh Tùng) Giải hệ phương trình  (2)  x ( x  6)  x(12  y )  Giải: ( x, y   )  Điều kiện : xy  (*) Ta hệ có nghiệm y  hai cách sau :  Cách 1: (Dùng phương pháp đánh giá) (2)  x3  6(x2  2x  1)   xy3  x3  6( x 1)2   xy3  ( xy3  y xy  – theo (*))  x  , kết hợp với (*) suy y  (3) Khi : (1)   y ( x  2 xy  y)  y     y2   x   ( x).(2 y)   y    y2    2 y     x  2 y  y 8   y    y  (4) Từ (3) (4) suy ra: y   Cách 2: (Dùng kĩ thuật nhân liên hợp đánh giá biểu thức không âm)    (1)  xy  y 2 xy  y   y 8 2    y xy  y xy  y    y  xy  y   ( y  8)2  y     , xy  )  y  ( xy  y  y  1 3     y      0  y  1  3    2   Khi hệ có dạng:   x ( x  6)  12 x   x3  x2 12 x    x3  x3  x2  12 x     x  ( x  2)3  x  x   x  1   Vậy nghiệm hệ là: ( x; y )   ;0   1      x2   x  Bài (Nguyễn Thanh Tùng) Giải hệ phương trình  7  x     Giải  y   y  (1) y4   y  ( x, y  ) (2) Bước 1: Ta khai thác phương trình (1) để chi y   x hai cách sau : Cách 1: (1)  x   x  y 5  y  x2   x  y   y Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN – tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG tới ! HOCMAI.VN GV: Nguyễn Thanh Tùng facebook.com/ ThayTungToan  x   x  ( y)2   ( y) (*) Xét hàm số f (t )  t   t  f '(t )  t t2  1  t  t2  t2   t t t2   , t   suy f (t ) đồng biến liên tục  Khi (*)  f ( x)  f ( y)  x   y hay y   x (3)      y2   y  x2   x     x   x  y   y (a) y2   y2 y   y  Cách 2: (1)      y   y  x   x (b) x2   x   y2   y    x2   x2 x2   x Cộng vế với vế (a) (b) ta được: 2( x  y)   y   x (3) Bước 2: Thay (3) vào (2) ta được:  x     x4   x   x2  10 x  14  x   (2*) Cách (đưa phương trình đồng cấp)  x   x  x   x  ( x  2)2  (2 x)  ( x  x  2)( x  x  2) Ta có:  2 7 x  10 x  14  ( x  x  2)  6( x  x  2) Nên (2*)  ( x2  x  2)  6( x  x  2)  ( x  x  2)( x  x  2)  a  x  x  +) Đặt  b  x  x   a, b   phương trình có dạng: a2  6b2  5ab   (a  2b)(a  3b)   a  2b a  3b +) Với a  3b  a  9b2 : x2  x   9( x2  x  2)  8x2  20 x  16  (vô nghiệm) +) Với a  2b  a  4b2 : x  x   4( x  x  2)  3x  10 x    x  5    5     5     ; ; Thay vào (3) ta nghiệm hệ là: ( x; y)    ,      3     Cách 2: (Sử dụng kĩ thuật nhân liên hợp)    3x  10 x    x     3x  10 x    x     3x  10 x    x    x     x   x   x   x     x  64 x  36   x     3x    (10 x)     (3*)  3x  10 x   x   x   2 2 2 4 4  x4   2 2 Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN – tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG tới ! HOCMAI.VN GV: Nguyễn Thanh Tùng facebook.com/ ThayTungToan     3x  10 x   x   x   (3x  10 x  6)(3x  10 x  6)    3x  10 x   4 x   x   (3x  10 x  6)      3x2  10 x   (4*) x2  10 x   x   (5*) +) Cộng (5*) với (2*) ta được: 8x2  20 x  16  (vô nghiệm) +) Ta có (4*)  x  5   5     5      Thay vào (3) ta nghiệm hệ là: ( x; y)   ; ;  ,      3     Cách 2: (Sử dụng Casio) (2*)  x4   x  10 x  14  24 x4 140 x3  296 x2  280 x  96   (8 x  20 x  16)(3x  10 x  6)   3x  10 x    x  5    5     5     Thay vào (3) ta nghiệm hệ là: ( x; y)   ; ;  ,      3     Bài (Nguyễn Thanh Tùng) Tìm số nghiệm thực hệ phương trình sau:   x  y    x  y   3x  y (1)   x, y      (2)  x  y  x y  2016 Giải Điều kiện: x y  Biến đổi :   x4  y6    x4  y6   x  y3    2x x  y3    x2  y3   2  2x  y3    x2  y3  2  y   x  y  x  y  3x  y  3x  y Dấu “=” xảy x  y , (1)  x  y3 Đặt x  t  y  t , phương trình (2) có dạng: t  t  t  2016  (3) t  t  t  2016 t  Xét hàm số f (t )  t  t  t  2016   t  t  t  2016 t  +) Khi t  , ta có: f '(t )  4t  3t   (*) +) Khi t  , ta có: f '(t )  4t  3t  ; f ''(t) 12t  6t t  Với f ''(t)  12 t 6 t 0   t    2 Suy f '(t )  , t  (2*) Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN – tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG tới ! HOCMAI.VN GV: Nguyễn Thanh Tùng facebook.com/ ThayTungToan Từ (*) (2*) ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên, suy phương trình f (t )  có nghiệm trái dấu Vì ứng với giá trị t , cho ta ( x; y) Do hệ phương trình cho có nghiệm thực HẾT PHẦN CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ ĐỌC TÀI LIỆU GV: Nguyễn Thanh Tùng Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN – tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG tới !