Sáng tạo cách giải hệ phương trình hay và khó

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ Ý tưởng: biến đổi một phương trình của hệ để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) tức là tìm mối liên hệ giữa hai ẩn x và y rồi thế vào phương trình còn lại để giải phương trình mới. Một số phương pháp biến đổi thường gặp:  Biến đổi cơ bản (khử căn thức, nhân chia đa thức, ).  Đưa về phương trình tích nhờ vào định lý Viet đảo, phương trình đẳng cấp,  Kĩ thuật nhân liên hợp.  Sử dụng tính đơn điệu của hàm số. A-PHƯƠNG PHÁP THẾ VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: ĐK: , thế vào (2) ta được: Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm: x=3; y=1. ♣Nhận xét: đây là một hệ hoàn toàn cơ bản, chỉ cần biểu diễn y theo x rồi thế vào phương trình còn lại, đưa về phương trình bậc cao giải được. Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: ĐK: , thế vào (1) ta được: Xét hàm số: hàm số đồng biến trên khoảng . Phương trình trở thành f(x)=9 và có không quá 1 nghiệm, suy ra x=2. Tóm lại, hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm: x=2; y=1. Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: Đk: x>0. Từ (2) suy ra y<0 vì nếu thì VT(2)>0      =− =−− )2(6516 )1(312 24 yx yx 1;0 ≥≥ yx 4 136 1 4 )3( )1( 22 +− =+ − =⇔ xxx y ( ) ( ) 30782612)3(0234156621265136 223 2 24 =⇒=+−−⇔=−+−⇔=+−− xxxxxxxxxx      =++−−+− =+− 05248914 312 23 xyyxyxx yx      =− =−+− )2()1( )1(18 4 3 yx yxx 0;1 ≥≥ yx 2 )1()2( −=⇔ xy 912 )1(18 23 23 =−++−⇔ −=−+− xxxx xxx );1[:12)( 23 +∞=−++−== DTXDxxxxxfy 1,0 12 1 223' 2 >∀> − ++−= x x xxy );1( +∞ ( )    = = yx ye x lglg ln      =+++ = + )2(0414 )1(2log 2 2 2 yxyx x y 0≥y Ta biến đổi phương trình (2): Thay vào phương trình (1) ta được: (vì y<0) Xét hàm số: , dễ thấy hàm số đồng biến trên TXĐ, lập luận để đưa tới kết quả phương trình f(y)=0 có 1 nghiệm y=-1 Suy ra: x=4. Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm: x=4; y=-1. Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: , với điều kiện đó, ta chia 2 vế của phương trình (1) cho x-y Thế vào phương trình (2) và biến đổi: . So điều kiện, kết luận hệ phương trình có 1 nghiệm: (x;y)=(25;16). Bài tập tương tự: Giải các hệ phương trình sau. Gợi ý: đặt , sau đó bình phương phương trình thứ hai của hệ. B- ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH NHỜ ĐỊNH LÝ VIET ĐẢO, PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP, Cách biến đổi này rất thông dụng trong một số trường hợp phương trình của hệ có dạng phương trình đa thức bậc hai, bậc ba, Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: ( ) ( )( ) 2 2224222 222 2 4 040444016164 4)1(16 0414 y xxyxyxxyyxxyx yyxx yxyx =⇔=−⇔=++−⇔=−+−⇔ +=+⇔ >+−=+ 02)(log22.42 4 log 2 2 2 2 =−−+⇔= + y y yy )0;(:2)(log22.4)( 2 −∞=−−+== DTXDyyfy y ( )      =− −=−+− )2(369 )1(3 22 22 yx yxyxyxyx 0: >− yxĐk yx yx y yx x yx y yx x yx y yx x yx y yx x 2516 3 4 ; 3 5 3 1 3 1 3 =⇒= − = − ⇒ = − − − ⇔= − − − ⇔= − + − 25625 2 ±=⇔= xx      =+− =+ 442 24 4 21 )1 xyxy yx 4 xt =      =− =+−− 04 222 )2 23 yx yxyx        − + = = −− −+ y x y x x yxx yxx 630 35 5 9 )3 22 22      +=+ +−=− 3 )32)((92 )4 22 33 xyyx xyyxyx ( )      =+       +−=−−− 1log 83 19 22.543 )5 2 xy x x xx y Đk: Nhận xét: khi gặp 1 phương trình bậc 2 đối với x (hoặc y) nên thử đưa phương trình đó về phương trình tích: Nháp: ta xem đây như phương trình bậc 2 có: Từ đây ta đưa (1) về phương trình tích như sau: Từ (3) & (2) ta có: x=y=1. Từ (4) & (2) ta có: Kết luận hệ có 3 nghiệm. ♣Nhận xét: cách biến đổi này khá quen thuộc với người làm, tuy nhiên trong một số trường hợp phương trình của hệ sẽ biến hóa, nghĩa là nó không giữ nguyên dạng phương trình đa thức thì ta vẫn có thể đặt ẩn phụ để đưa về phương trình đa thức dạng tổng quát. Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: Từ phương trình (1) gợi cho ta nhớ tới việc dùng định lý Viet. Thật vậy: Thế vào phương trình còn lại của hệ và biến đổi, ta được: Kết luận hệ có 2 nghiệm. Bài tập tương tự: Giải phương trình Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 (1) 1 2. (2) x xy y y x y x y x  + + = +   − + + =   1 0.x y− + ≥ 022)2()1( 22 =−+−+⇔ yyxyx 222 )23()22(4)2( −=−−−=∆ yyyy    =+ = ⇔=−+−⇔ )4(22 )3( 0)22)(()1( yx yx yxyx 0; 2 2 2 1 8 ; . 3 3 2 3 3 y x x y y x y y y = =  = −    ⇔   = − = − =         =+++− =+−+−+ )2(025124 )1(01421228 2 24 xxy xxyy ( ) ( ) ( ) 312 514 314 115216' 012;01528)1( 2 2 2 2 2 224 −+=⇔     −−=−−−= −=++−= ⇒ +=−++=∆ ≥+==+−−+⇒ xy vvy vvy vvv xvvvyy     =→= =→= ⇔=+−⇔−=+ 1 2 15 04 06023211212 2 yx yx xxxx ( ) ( )      ++=+ =+ yxyxyxx yx 222 3 5 4 Vì y=0 không là nghiệm của hệ nên: Ngoài cách trên ta còn có thể bình phương 2 vế của (1): -Khi thay vào (2): vô nghiệm. -Khi thay vào (2): , suy ra: Thử lại ta thấy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm: ♣Nhận xét: đây là một cách biến đổi rất hay và rất phổ biến, tức là biến đổi để đưa về phương trình giải được rồi sau đó thế vào phương trình còn lại. Thử xét tiếp ví dụ tương tự. Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: Vì y=0 không là nghiệm của hệ nên ta chia phương trình thứ hai của hệ cho và biến đổi,ta được: Thế vào phương trình còn lại, giải tìm x: Kết luận hệ có 4 nghiệm. Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: Đk:x>0.      =−+− −=− )2(152 )1(232 22 22 yxyx xyyxy     = = ⇔        −= − = − ⇒= − + − ⇔= − +⇔ =−+⇔ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 52 2 2 1 2 2 2 2 3 2 2 322)1( yx yx y yx y yx y yx y yx y yx y x yyxyx ( ) ( ) ( )( )     = = ⇒=−−⇔=+−⇔ +−=−⇔ −=−⇔ 2 2 22224 22442 2 222 52 0252041410 41292 232)1( yx yx xyxyxxyy xxyyyxy xyyxy 2 yx = 13 2 =− y 2 52 yx = 3 2 =y 3 5 =x ( )         −= 3 2 ; 3 5 ; 11 yx ( )      −−=+−+− =+− xyyxyyx xyx 232122 3 24242 2 1,0 12 1 223' 2 >∀> − ++−= x x xxy 3 1 2261 11 2 2 2 22 =+⇒−=−         +−         + y x y x y x     +±=−= ±== ⇒    −= = 21;24 1;2 24 2 yx yx x x      =−++ =++ )2(22 4 )1(32 2 2 2 4 yx x y x xyx         − =−+⇔ 2 2 22 2 22)2( x yx yxx Đặt , (2) trở thành: , thế vào (1): Kết luận hệ có 1 nghiệm: . Bài tập tương tự: Giải các hệ phương trình Ví dụ 6: Giải hệ phương trình: Chia 2 vế của phương trình đầu cho ta được: Thế vào phương trình còn lại và biến đổi: Kết luận hệ có 1 nghiệm: Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình Bài tập rèn luyện: Giải các hệ phương trình sau Gợi ý: chú ý phương trình thứ nhất là phương trình đẳng cấp. Gợi ý: đặt suy ra y, rồi thế vào 0 2 2 ≥ − = x yx u ( )( ) 2422 20202 xyxuxuxuxuuxx =+⇔=⇒=+−⇔=−+ 2 13105384 2 137 3 +− =⇒ − =⇔=+ yxxx ( )         +−− = 2 13105384 ; 2 137 ; yx      −= =+      −+=−+ −−=+ yx x y yx b yxyxx yx y x y a 4 2 32 2 0loglog ) 232 262 )      =−+−+− ++=−+−+− y x yyxyx yxxyxyxyx 3 2 1 13343 7237 1: ≥≥ yxĐK x 4 3 03 2 3 7 2 5 1 2 1 2 5 71 0;0371712 7 12371 =⇒=       −−+       −−+       −−+       −+⇔       >==−−−−−−++⇒ ++=−+−+− ttttt x y ttttt x y x y x y x y 3 4 111 =⇒=⇔=−+ xyyy 1; 3 4 == yx      −+=−+−+− −=+− 3 3 333 2 3 51622537210 142 xyxyxyxyx xyyx ( ) ( ) ( )      −+−++=+−−+ −=+ 217112228 42 )1 2 yxxxyyxy xxyyxyyx ( ) ( )        + − =+ − =− 1 47 82 14 2 )2 3 2 3 xx y yx xx y yx yxt −= 3 phương trình đầu tiên của hệ, đưa về phương trình tích. 4) 5) C-BIẾN ĐỔI NHỜ KĨ THUẬT NHÂN LIÊN HỢP. Mục đích của cách biến đổi này là đưa một phương trình của hệ về phương trình tích, kĩ thuật phân tích cũng giống như trong phương trình vô tỷ. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: Thế vào phương trình (1): So điều kiện, kết luận hệ có 1 nghiệm: Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: Biến đổi phương trình thứ hai của hệ: Thế vào phương trình còn lại: Thử lại ta thấy hai nghiệm trên đều thỏa mãn. Kết luận hệ có 2 nghiệm. Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: Thế vào (1): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )      +=++− −=+++ 15477232 )1(47232 )3 2 2 2 xxyx xxy 2 3 1 2 4 2 0 1 2 2. x x y y x y x  − − − + =   − − + =   ( )      −=+−+ ++=− 42414 23422 xyx yxyx      +=+++ =+ )2(52347 )1( 4 13 24 yxyxyx yx ( ) ( ) ( ) 2 3 0 534 23 57 232 053457)2( x y yxyx yx yxyx yx yxyxyxyx =⇔= +++ − + +++ − ⇔ =+−+++−+⇔ 11 4 13 4 9 2 2 4 ±=⇔=⇒=+ xx x x ( )       = 2 3 ;1; yx      −=−+−− −=− xyyxyxyx yx 22 4 222 12 1;2: ≥≥ yxĐk ( )( ) yxyx xyyxyx yxyx yx xyyxyx xyyxyx yxxyyxyx 202 22 12 02 22 22 0222 22 22 22 22 =⇒=−+ −+−− ++− ⇔ =−+ −+−− +−−− ⇔ =−+−−−− ( )     == == ⇒     = = ⇔−=−⇔−=− 4 5 ; 2 5 1;2 4 5 1 114122 2 4 yx yx y y yyyy      +=−++++ =+ )2(1123.2 )1(17 3 32 yyxyxyx yx ( ) ( ) ( ) 12012 13 12 122 12 .3 01213123 1123.2)2( 3 3 2 3 3 =+⇒=−+ +++ −+ + ++++ −+ +⇔ =−+++−++−++⇔ +=−++++⇔ yxyx yyx yx yxyx yx yx yxyyxyxyx yyxyxyx . Kết luận hệ có 1 nghiệm: (x;y)=(-3;2). Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình: Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: Nhận xét: về hình thức, đây là hệ vô tỷ quen thuộc, giải được bằng cách phá căn, tuy nhiên phương pháp biến đổi đó không thể áp dụng cho bài này vì sẽ rất cồng kềnh, phức tạp. Ta sẽ giải như sau: Lấy (1)x3 rồi trừ cho (2)x2: Thế vào phương trình (1): Vậy hệ đã cho có 1 nghiệm: Bài tập rèn luyện: Giải các hệ phương trình: 1) Gợi ý: từ phương trình đầu ta chứng minh x=1 (dùng kỹ thuật nhân liên hợp), sau đó thế vào phương trình còn lại. 2) Gợi ý: chứng minh từ phương trình đầu của hệ. 3) Gợi ý: chứng minh x+y=2y-1 từ phương trình thứ hai. 3201644 23 −=⇒=⇒=−−+ xyyyy      =−−+−−− =−+ 012. 14 2 3 2 yxyxxyx yyx      =+++ =++− )2(3 8 31 22 )1(222 y xyx yxyx ( ) 13 10 0 8 31 23 1310 2223 1310 0 8 31 462223 0 8 31 422623 x y y xyx yx yxyx yx y xyxyxyx y xyxyxyx =⇔= +++ − + ++− − ⇔ =         +−+++−−⇔ =+−+−++− 2 19 132299 2 13 10 2 13 10 2         − =⇒=++− x x x x x 22 19 132299 13 10 ; 19 132299         − =         − = yx        =         −+−       −++− =+−+−−+ 11212 2 2 x x y xxx x y x xxyyxyyxxx ( ) ( ) ( )( )      + =−−−+ =−−+−+ 1 2 11 01221 3 222 x x xxxy yxxyxx 2 xy = ( ) ( ) ( ) ( )      +−=−−+ +−+=− yxyyyx yyyx 12121 11201392 2 4) Gợi ý: chứng minh x=2y từ phương trình đầu. D-ÁP DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. *Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) và khoảng K. Khi đó: +Hàm số f(x) đồng biến trên K +Hàm số f(x) nghịch biến trên K Ta áp dụng tích chất này của hàm số đơn điệu để đưa một phương trình của hệ về hàm đặt trưng, sau đó chứng minh hàm số này đơn điệu (nếu được) để suy ra mối liên hệ x,y. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: Rõ ràng nếu xét hàm số: thì pt(1) có dạng f(x)=f(y), do đó: là hàm đặc trưng của phương trình (1). Thật vậy: Xét hàm số: , suy ra hàm số đồng biến trong khoảng . +Nếu x>y thì f(x)>f(y), vô lí. +Nếu x<y thì f(x)<f(y), vô lí. Vậy x=y, thế vào pt(2) ta được: . Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: Ta có: Xét hàm số: , từ đó dễ dàng suy ra: Thế vào pt(2) và biến đổi ta được: Kết luận hệ có 2 nghiệm: Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: (vì x=0 không là nghiệm).      =+− =+++−+− 1log 25.332.3 2 4 44 yyx yxyxyxyxyx ( ) ( ) 212121 ,; xfxfxxKxx <⇒<∈∀⇔ ( ) ( ) 212121 ,; xfxfxxKxx >⇒<∈∀⇔      =+ −=− )2(2 )1( 44 yx xeye yx 0,: ≥yxĐk yexe yx +=+⇔)1( tetf t +=)( tetf t +=)( );0[:)( +∞=+= DTXĐtetf t 0;0 2 1 )(' >∀>+= t t etf t ( ) +∞;0 11 4 ==⇒= yxx      =++ =−−+− yxx yxyx 32 03392 2236 ( ) ( ) 3232 03392 3 26 2236 +++=+⇔ =−−+− yyxx yxyx 023)(';2)( 23 >+=+= ttftttf 3 2 += yx    −= = ⇒    ±= =−= ⇔     +=−− += ⇔       ++=       + 2 3 2 3;1 321 32 2 1 32 2 1 22 x x x xx xx xx xx ( ) ( ) ( ) ( ) 1;2;;0;3; −−== yxyx ( ) ( ) ( )      =+++ ++=++ )2(61214 )1(11422 223 222 xxyx xxyyx 0: >xĐk 2 x Ta chia 2 vế của pt(1) cho Hàm đặc trưng: Suy ra: , thế vào (2): Phương trình này cũng được giải bằng phương pháp hàm số: x=1 Vậy hệ đã cho có 1 nghiệm: Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: Hàm đặc trưng của phương trình (1) là: Suy ra: thế vào phương trình (2) ta được phương trình: (vì y>0) Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm: *Lưu ý: ngoài ra ta có thể làm như sau: Đặt: thế vào phương trình (1) ta được: Đến đây ta dễ dàng chứng minh được: u=v. Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: Ta có: Hàm đặc trưng: Suy ra: , thế vào phương trình còn lại: Xét hàm số: nên hàm số đồng biến, phương trình có 1 nghiệm: x=2. Từ đó kết luận hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm: (x;y)=(2;5). Bài tập rèn luyện: Giải các hệ phương trình sau ( )         ++=++ 2 2 1 11 1 1412 xx yy ( ) RDTXĐtttf =++= :11)( 2 0 1 11)(' 2 2 2 > + +++= t t ttf x y 1 2 = ( ) 612 23 =+++ xxxx ( )       = 2 1 ;1; yx      =+ −−=−− )2(13 13 2 )1(313)526(32)54( 2 y y x yyxx ( ) tttf 12)( 2 += yxyx 13231332 =⇔−=− 3212 2 =⇒= yy 32;313 == yx        + = + = ⇒      −= −= 13 3 2 3 313 32 2 2 v y u x yv xu vvuu +=+ 33 22 ( )      =+++− =+++ 6)2(log43log 3)2(log 3 3 2 3 yxxy yxyx x x ( ) ( ) xx xyxyxyxyx 322log32log 33 +=+++⇔=+++ tttf += 3 log)( x yx 32 =+ ( ) 642log 3 2 =++ xxx ( ) );0(:;0642log)( 3 2 +∞==−++= DTXĐxxxxf 0)(' >xf      =−++ =−−++ 74324 025)3()14( )1 22 2 xyx yyxx      =+−+ −+=+−− 2 1 932293 )2 22 2323 yxyx yyyxxx ( )( ) ( )      +=++ −+=−− xxyxy yxyx 2 3 22 2820122 )3 ( )( )      +++=++− =++++++ xyyxyy yyxxx 20134220129 11221 )4 2 22 ( ) ( )      +−=−−+ =+ yxyyyx yx 211 5 )5 22 ( )      +−−=+ −−=−+− 3 323 123142 23221342 )6 yxx yyxxxx ( )      +++=++−− +−=+ 221212523 3422 )7 222 22 yyyxxxx yxyx . Biến đổi cơ bản (khử căn thức, nhân chia đa thức, ).  Đưa về phương trình tích nhờ vào định lý Viet đảo, phương trình đẳng cấp,  Kĩ thuật nhân liên hợp.  Sử dụng tính đơn điệu của hàm số. A-PHƯƠNG. đặt , sau đó bình phương phương trình thứ hai của hệ. B- ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH NHỜ ĐỊNH LÝ VIET ĐẢO, PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP, Cách biến đổi này rất thông dụng trong một số trường hợp phương. tổng quát. Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: Từ phương trình (1) gợi cho ta nhớ tới việc dùng định lý Viet. Thật vậy: Thế vào phương trình còn lại của hệ và biến đổi, ta được: Kết luận hệ có 2 nghiệm. Bài