GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾÝ tưởng: biến đổi một phương trình của hệ để biểu diễn x theo y hoặc y theo x tức là tìm mối liên hệ giữa hai ẩn x và y rồi thế vào phương trình
Trang 1GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
Ý tưởng: biến đổi một phương trình của hệ để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) tức là tìm
mối liên hệ giữa hai ẩn x và y rồi thế vào phương trình còn lại để giải phương trình mới Một số phương pháp biến đổi thường gặp:
Biến đổi cơ bản (khử căn thức, nhân chia đa thức, ).
Đưa về phương trình tích nhờ vào định lý Viet đảo, phương trình đẳng cấp,
Kĩ thuật nhân liên hợp.
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
A-PHƯƠNG PHÁP THẾ VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
ĐK:
, thế vào (2) ta được:
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm: x=3; y=1.
trình còn lại, đưa về phương trình bậc cao giải được.
Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình
Ví dụ 2: Giải hệ phương
trình:
ĐK:
, thế vào (1) ta được:
Xét hàm số:
hàm số đồng biến trên
khoảng
Phương trình trở thành f(x)=9
và có không quá 1 nghiệm, suy ra x=2.
Tóm lại, hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm: x=2; y=1.
Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
Đk: x>0 Từ (2) suy ra y<0 vì
nếu thì VT(2)>0
=
−
=
−
−
) 2 ( 65
16
) 1 ( 3 1 2
2
x
y x
1
;
0 ≥
≥ y x
4
13 6 1
4
) 3 ( )
1 (
2
−
=
( 2 6 13)2 65 12 3 62 2 156 234 0 ( 3 )(12 2 26 78) 0 3
x
= + +
−
− +
−
= +
−
0 52 4
8 9 1 4
3 1 2
2
x
y x
=
−
=
− +
−
) 2 ( )
1 (
) 1 ( 1
8
4
3
y x
y x
x
0
;
1 ≥
≥ y x
2
) 1 ( )
2 ( ⇔ y = x−
9 1 2
) 1 ( 1 8
2 3
2 3
=
− + +
−
⇔
−
=
− +
−
x x x x
x x
x
)
; 1 [ : 1
2 )
y
1 , 0 1 2
1 2 2 3
− + +
−
x x
x
y ( 1 ; +∞ )
( )
=
=
y x
y
e x
lg lg ln
= + +
+
= +
) 2 ( 0
4 1
4
) 1 ( 2
log
2
2 2
y xy x
x y
0
≥
y
Trang 2Ta biến đổi phương trình (2):
Thay vào
phương
trình (1)
ta được:
(vì y<0)
Xét hàm số: , dễ thấy
hàm số đồng biến trên
TXĐ, lập luận để đưa tới kết quả phương trình f(y)=0 có 1 nghiệm y=-1
Suy ra: x=4 Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm: x=4; y=-1.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
, với điều kiện đó, ta chia 2
vế của phương trình (1) cho
x-y
Thế vào phương trình (2) và biến đổi:
.
So điều kiện, kết luận hệ phương trình có 1 nghiệm: (x;y)=(25;16).
Bài tập tương tự: Giải các hệ phương trình sau.
Gợi ý: đặt , sau đó bình phương
phương trình thứ hai của hệ.
B- ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH NHỜ ĐỊNH
LÝ VIET ĐẢO, PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP,
Cách biến đổi này rất thông dụng trong một số trường hợp phương trình của hệ
có dạng phương trình đa thức bậc hai, bậc ba, Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
( )
2 2
2 4
2 2
2
2 2 2 2
4 0
4 0
4 4
4 0
16 16
4
4 )
1 ( 16
0 4
1 4
y x xy
xy x xy
y x x y x
y y x x
y xy x
=
⇔
=
−
⇔
= + +
−
⇔
=
− +
−
⇔
+
= +
⇔
>
+
−
= +
0 2 ) ( log 2 2 4 2
4
2
y
y y
) 0
; ( : 2
) ( log 2 2 4 )
=
−
−
=
− +
−
) 2 ( 369
) 1 ( 3
2 2
2 2
y x
y x y xy xy x
0 :x−y>
Đk
y x y
x
y y
x x
y x
y y
x x y
x
y y
x
x y
x
y y
x x
25 16 3
4
; 3 5
3
1 3
1 3
=
⇒
=
−
=
−
⇒
=
−
−
−
⇔
=
−
−
−
⇔
=
−
+
−
25 625
x
= +
−
= +
4 4
2
2 4
4
2 1 )
1
x y x y
y x
4
x
t=
=
−
= +
−
− 0 4
2 2
2 )
2
2
3 y x
y x y x
−
+
=
=
−
−
− +
y
x y
x
x y x x
y x x
6 30
3 5
5
9 )
2 2
+
= +
+
−
=
−
3
) 3 2 )(
( 9 2 )
4
2 2
3 3
xy y x
xy y x y x
= +
− +
=
−
−
− 1 log
8 3
19 2 2 5 4 3 )
5
2 x y
x x x
Trang 3Đk:
Nhận xét: khi gặp 1 phương
trình bậc 2 đối với x (hoặc y) nên thử đưa phương trình đó về phương trình tích:
Nháp: ta xem đây như phương
trình bậc 2 có:
Từ đây ta đưa (1) về phương
trình tích như sau:
Từ (3) & (2) ta có:
x=y=1
Từ (4) & (2) ta có:
Kết luận hệ có 3 nghiệm.
khá quen thuộc với người
làm, tuy nhiên trong một số trường hợp phương trình của hệ sẽ biến hóa, nghĩa là nó
không giữ nguyên dạng phương trình đa thức thì ta vẫn có thể đặt ẩn phụ để đưa về
phương trình đa thức dạng tổng quát.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
Từ phương trình (1) gợi cho
ta nhớ tới việc dùng định lý
Viet Thật vậy:
Thế vào phương trình
còn lại của hệ và biến
đổi, ta được:
Kết luận hệ có 2 nghiệm.
Bài tập tương tự: Giải phương trình
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
1 2 (2)
− + + =
0 2 2 ) 2 ( )
1 ( ⇔ x2 + y− x+ y− y2 =
2 2
2 4 ( 2 2 ) ( 3 2 ) )
2
=
= +
=
⇔
=
− +
−
⇔
) 4 ( 2 2
) 3 ( 0
) 2 2 )(
( ) 1 (
y x
y x y
x y x
0; 2
2 2
= −
= + + +
−
= +
− +
− +
) 2 ( 0
25 1 2 4
) 1 ( 0 14 2 1 2 2 8
2
2 4
x x y
x x
y y
3 1 2 5
1 4
3 1 4
1 15
2 16
'
0 1 2
; 0 15 2 8
) 1 (
2 2
2
2 2
2 2 4
− +
=
⇔
−
−
=
−
−
−
=
−
= + +
−
=
⇒
+
=
− + +
=
∆
≥ +
=
= +
−
− +
⇒
x y
v v
y
v v y
v v
v
x v v
v y y
=
→
=
=
→
=
⇔
= +
−
⇔
−
= +
1 2
15
0 4
0 60 23 2
11 2 1
y x
y x
x x
x x
+ +
= +
= +
y x y x y x x
y x
2 2
2
3
5 4
Trang 4Vì y=0 không là nghiệm của hệ
nên:
Ngoài cách
trên ta còn
có thể bình
phương 2
vế của (1):
-Khi thay vào (2):
vô nghiệm.
-Khi thay vào
(2): , suy ra:
Thử lại ta thấy hệ
phương trình đã cho có 1 nghiệm:
rất hay và rất phổ biến, tức là biến
đổi để đưa về phương trình giải được rồi sau đó thế vào phương trình còn lại Thử xét tiếp ví
dụ tương tự.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
Vì y=0 không là nghiệm
của hệ nên ta chia phương
trình thứ hai của hệ cho và
biến đổi,ta được:
Thế vào phương trình
còn lại, giải tìm x:
Kết luận hệ có 4 nghiệm.
Ví dụ 5: Giải hệ phương
trình:
Đk:x>0.
=
− +
−
−
=
−
) 2 ( 1
5 2
) 1 ( 2
3 2
2 2
2 2
y x y
x
x y y x y
=
=
⇔
−
=
−
=
−
⇒
=
− +
−
⇔
=
− +
⇔
=
− +
⇔
2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
5 2 2 2
1 2
2 2
2 3 2
2
3 2
2 ) 1 (
y x
y x y
y x y
y x y
y x y
y x y
y x y
x
y y x y x
=
=
⇒
=
−
−
⇔
= +
−
⇔
+
−
=
−
⇔
−
=
−
⇔
2
2 2
2 2
2 4
2 2 4
4 2
2 2 2
2
5 2 0 2 5 2
0 4 14
10
4 12
9 2
2 3 2
) 1 (
y x
y x x
y x y x
xy y
x xy y
y xy
x y y
x y
2
y
x3= 2 =1
− y
2
5
2x= y
3
2
=
y
3
5
=
x
−
=
3
2
; 3
5
; 1
1 y x
−
−
= +
− +
−
= +
−
x y
y xy y
x
x y x
2 3 2 1 2
2
3
2 4
2 4 2
2
1 , 0 1 2
1 2 2 3
− + +
−
x x
x y
3
1 2
2 6 1 1 1
2 2
+
−
+
y
x y
x y
x
+
±
=
−
=
±
=
=
⇒
−
=
=
2 1
; 2 4
1
; 2 2
4
2
y x
y x x
x
=
− + +
= + +
) 2 ( 2
2 4
) 1 ( 3
2
2 2 2
4
y x x
y x
x y x
−
=
− +
2 2 )
2 (
x
y x y x x
Trang 5Đặt , (2) trở thành:
, thế vào (1):
Kết luận hệ có 1 nghiệm:
.
Bài tập tương tự: Giải các hệ phương trình
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình:
Chia 2 vế của phương
trình đầu cho ta được:
Thế vào phương trình còn lại và biến đổi:
Kết luận hệ có 1 nghiệm:
Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình
Bài tập rèn luyện:
Giải các hệ phương trình sau
Gợi ý: chú ý
phương trình thứ
nhất là phương trình đẳng cấp.
Gợi ý: đặt suy ra y, rồi thế vào
0 2
2
≥
−
=
x
y x u
2
x + − = ⇔ − + = ⇒ = ⇔ + =
2
13 105 384 2
13 7
3⇔ = − ⇒ = − +
=
x
13 105 384
; 2
13 7
; y
x
−
=
= +
− +
=
− +
−
−
= +
y x x
y
y x
b y
x y x x
y x y
x y
2
3 2
2
0 log log
) 2
3 2
2 6
2 )
=
− +
− +
−
+ +
=
− +
− +
−
y
x y
y x y x
y x x y x y x y x
3 2
1 1 3
3 4 3
7 2
3 7
1 :x≥y≥
ĐK
x
4
3 0
3 2
3 7
2
5 1
2
1 2
5 7 1
0
; 0 3 7
1 7 1 2
7 1 2 3
7 1
=
⇒
=
− − +
− − +
− − +
+ −
⇔
= >
=
−
−
−
−
−
− + +
⇒
+ +
=
− +
− +
−
t t
t t
t
x
y t t
t t
t
x
y x
y x
y x
y
3
4 1
1
1 = ⇔ = ⇒ =
−
y
1
; 3
4 =
= y x
− +
=
− +
− +
−
−
= +
−
3 3 3
3 3
2 3
5 16 2
2 5 3 7 2 10
1 4 2
x y x
y x y x y
x
x y y x
− +
− +
+
= +
−
− +
−
= +
2 1
7 1 12 2 2
8
4 2
) 1
y x y
x x y y xy y x
+
−
= +
−
=
−
1
4 7 8 2
1 4
2 )
2
3
x x
y y
x
x x
y y
x
y x
t= 3 −
Trang 6phương trình đầu tiên của hệ, đưa về phương trình tích.
4)
5)
C-BIẾN ĐỔI NHỜ KĨ THUẬT NHÂN LIÊN HỢP.
Mục đích của cách biến đổi này là
đưa một phương trình của hệ về phương trình tích, kĩ thuật phân tích cũng giống như
trong phương trình vô tỷ.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
Thế vào phương
trình (1):
So điều kiện, kết
luận hệ có 1 nghiệm:
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
Biến đổi phương trình thứ hai của hệ:
Thế vào phương trình
còn lại:
Thử lại ta thấy hai nghiệm trên đều thỏa mãn Kết luận hệ có 2 nghiệm.
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
Thế vào (1):
+
= + +
−
−
= + + +
15 4
7 7 2 3 2
) 1 ( 4 7 2 3 2 )
3
2
2 2
x x
y x
x x
y
−
= +
− +
+ +
=
−
4 2
4 1 4
2 3
4 2 2
x y
x
y x y
x
+
= + + +
= +
) 2 ( 5
2 3 4 7
) 1 ( 4
13
2 4
y x y x y x
y x
2
3 0
5 3
4
2 3 5
7
2 3 2
0 5 3
4 5
7 )
2 (
x y y
x y x
y x y
x y x
y x
y x y x y
x y x
=
⇔
= + + +
− +
+ + +
−
⇔
= +
− + +
+
− +
⇔
1 1
4
13 4
4 + x = ⇒x = ⇔x= ±
x
= 2
3
; 1
; y
x
−
=
− +
−
−
−
=
−
x y y
x y xy x
y x
2 2
4
2 2
2
1 2
1
; 2 :x≥ y≥
Đk
x y y xy x
y x y x
y x x y y xy x
x y y xy x
y x x y y xy x
2 0
2 2
2
1 2
0 2 2
2
2 2
0 2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
=
⇒
=
− +
− +
−
−
+ +
−
⇔
=
− +
− +
−
−
+
−
−
−
⇔
=
− +
−
−
−
−
=
=
=
=
⇒
=
=
⇔
−
=
−
⇔
−
=
−
4
5
; 2 5
1
; 2 4
5
1 1
1 4 1 2
y x
y x y
y y
y y
y
+
=
− + + + +
= +
) 2 ( 1 1
2 3
2
) 1 ( 17
3
3 2
y y
x y x y x
y x
1 2 1
2 2
1 2
3
0 1 2 1
3 1
2 3
1 1
2 3
2 )
2 (
3
3 3
= +
⇒
=
− + + + +
− + +
+ + + +
− + +
⇔
=
− + + +
− + +
− + +
⇔
+
=
− + + + +
⇔
y x y
x y y x
y x y
x y
x
y x y
x
y x y
y x y
x y x
y y
x y x y x
Trang 7Kết luận hệ có 1 nghiệm:
(x;y)=(-3;2).
Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình:
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
Nhận xét: về hình thức, đây là
hệ vô tỷ quen thuộc, giải được
bằng cách phá căn, tuy nhiên
phương pháp biến đổi đó không thể áp dụng cho bài này vì sẽ rất cồng kềnh, phức tạp Ta sẽ
giải như sau:
Lấy (1)x3 rồi trừ cho (2)x2:
Thế vào phương
trình (1):
Vậy hệ đã cho có 1
nghiệm:
Bài tập rèn luyện: Giải
các hệ phương trình:
1)
Gợi ý: từ phương trình đầu ta chứng minh x=1 (dùng kỹ thuật nhân liên hợp), sau đó thế vào phương trình còn lại.
2)
Gợi ý: chứng minh từ phương trình đầu của hệ.
3)
Gợi ý: chứng minh x+y=2y-1 từ phương trình thứ hai.
3 2
0 16 4
4 2
3 + y − y− = ⇒ y= ⇒x= −
y
=
−
− +
−
−
−
=
− +
0 1 2
1 4
2 3
2
y x y x x y x
y y
x
= + + +
= + +
−
) 2 ( 3 8
31 2
2
) 1 ( 2
2 2
y x y x
y x y x
13
10 0
8
31 2
3
13 10 2
2 2
3
13 10
0 8
31 4
6 2
2 2
3
0 8
31 4
2 2 6
2 3
x y y
x y x
y x y
x y
x
y x
y x y x y
x y
x
y x y x y
x y x
=
⇔
= + + +
− +
+ +
−
−
⇔
=
+
− + +
+
−
−
⇔
= +
− +
− + +
−
2
19
13 2 299 2
13
10 2
13
10 2
=
⇒
= + +
x
2 2
19
13 2 299 13
10
; 19
13 2 299
=
x
=
− +
−
= +
− +
−
− +
1 1 2
1
2
x x
y x x x x
y x
x xy y xy y x x x
+
=
−
−
− +
=
−
− +
− +
1
2 1 1
0 1 2 2
1
3
2 2
2
x
x x
x x y
y x x y x x
2
x
y=
+
−
=
−
− +
+
− +
=
−
y x y y
y x
y y y
x
1 2 1 2 1
11 2013 9
Trang 8Gợi ý: chứng minh x=2y từ phương trình đầu.
D-ÁP DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
*Định nghĩa:
Cho hàm số y=f(x) và khoảng K Khi đó:
+Hàm số f(x) đồng biến trên K
+Hàm số f(x) nghịch biến trên K
Ta áp dụng tích chất này của hàm số đơn điệu để đưa một phương trình của hệ
về hàm đặt trưng, sau đó chứng minh hàm số này đơn điệu (nếu được) để suy ra mối liên hệ x,y.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
Rõ ràng nếu xét hàm số: thì pt(1)
có dạng f(x)=f(y), do đó: là hàm đặc
trưng của phương trình (1) Thật vậy:
Xét hàm số:
, suy ra hàm số đồng biến
trong khoảng
+Nếu x>y thì f(x)>f(y), vô lí.
+Nếu x<y thì f(x)<f(y), vô lí.
Vậy x=y, thế vào pt(2) ta được:
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
Ta có:
Xét hàm số: , từ đó dễ dàng suy
ra:
Thế vào pt(2) và biến đổi ta được:
Kết luận hệ
có 2 nghiệm:
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
(vì x=0 không là nghiệm).
= +
−
= + + +
− +
−
1 log
2 5
3 3
2 3
2 4
4 4
y y
x
y x y x y x y x y x
( )1 ( )2 2
1 2
x ∈ < ⇒ <
∀
⇔
( )1 ( )2 2
1 2
x ∈ < ⇒ >
∀
⇔
= +
−
=
−
) 2 ( 2
) 1 (
4
4 y x
x e y
e x y
0 , :x y≥
Đk
y e x
e x+ = y+
⇔ ) 1 (
t e t
f(t) =e t+ t
f( ) = t+
)
; 0 [ : )
(t =e + t TXĐ D= +∞
f t
0
; 0 2
1 )
( ' = + > ∀t>
t e t
f t (0 ; +∞)
1 1
4 = ⇒x= y=
x
= + +
=
−
− +
−
y x x
y x y x
3 2
0 33 9
2 2 2 3
6
2
0 33 9
2
3 2
6
2 2 3 6
+ + +
= +
⇔
=
−
− +
−
y y
x x
y x y x
0 2 3 ) ( '
; 2 )
(t =t3 + t f t = t2 + >
f x2 = y+ 3
−
=
=
⇒
±
=
=
−
=
⇔
+
=
−
−
+
=
⇔
+ +
=
+
2
3 2
3
; 1 3
2 1
3 2 2
1 3 2 2
x
x x
x x
x x
x x x
x ( ) ( ) ( )x;y = 3 ; 0 ; x;y =(− 2 ; − 1)
= + + +
+ +
= + +
) 2 ( 6
1 2 1 4
) 1 ( 1 1
4 2 2
2 2
3
2 2
2
x x
y x
x x y
y x
0 :x>
Đk x2
Trang 9Ta chia 2 vế của pt(1) cho
Hàm đặc trưng:
Suy ra: , thế vào (2):
Phương trình này cũng được giải
bằng phương pháp hàm số: x=1
Vậy hệ đã cho có 1 nghiệm:
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
Hàm đặc trưng của phương
trình (1) là:
Suy ra:
thế vào phương trình (2) ta được phương trình:
(vì y>0)
Vậy hệ phương trình đã cho có 1
nghiệm:
*Lưu ý: ngoài ra ta có thể làm như sau:
Đặt: thế vào phương trình (1) ta
được:
Đến đây ta dễ dàng chứng minh
được: u=v.
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:
Ta có:
Hàm đặc trưng:
Suy ra: , thế vào phương trình còn lại:
Xét hàm số:
nên hàm số đồng biến, phương trình có 1 nghiệm: x=2.
Từ đó kết luận hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm: (x;y)=(2;5).
Bài tập rèn luyện: Giải các hệ phương trình sau
+ +
= +
1 1
1 1 4 1 2
x x
y y
t t
f( ) = 1 + 2 + 1 : =
0 1 1
1 ) ( '
2
2
+ + + +
=
t
t t
t f
x
y 1
2( = 1) 6
2 2
3 +x+ x + x =
x
= 2
1
; 1
; y
x
= +
−
−
=
−
−
) 2 ( 13
13 2
) 1 ( 3 13 ) 5 26 ( 3 2 ) 5 4 (
2
y y x
y y
x x
( t ) t t
f( ) = 2 2 + 1
y x y
x 3 13 3 2 13
2 − = − ⇔ =
3 2 12
2 = ⇒ y=
y
3 2
; 3
13 =
x
+
=
+
=
⇒
−
=
−
=
13 3 2 3 3
13
3 2
2
2
v y
u x y
v
x u
v v u
u3 + = 2 3 + 2
( )
= + +
+
−
= + +
+
6 ) 2 ( log 4 3
log
3 ) 2 ( log
3
3 2
3
y x x
y
y x y
x
x
x
y
x+ + log3 2 + = 3 ⇔ log3 2 + + 2 + = + 3
t t t
f( ) = log3 +
x
y
2 + =
2 x + x + x =
log )
x f
0 ) ( ' x >
f
=
− + +
=
−
− + +
7 4 3 2 4
0 2 5 ) 3 ( ) 1 4 ( )
1
2 2
2
x y
x
y y
x x
= +
− +
− +
= +
−
−
2 1
9 3 22
9 3 )
2
2 2
2 3 2
3
y x y x
y y y x
x x
+
= + +
− +
=
−
−
x x y x y
y x
y x
2
3
2 2
28 20 1
2 2 )
3
+ + +
= +
+
−
= + + + + + +
x y
y xy
y
y y x x x
2013 4
2 2012
9
1 1 2
2 1
) 4
2
2 2
+
−
=
−
− +
= +
y x y
y y x
y x
2 1
1
5 )
5
2
+
−
−
= +
−
−
=
− +
−
3
3 2
3
1 2 3 14 2
2 3 2
2 1 3 4 2 )
6
y x
x
y y
x x
x x
Trang 10( )
+ + +
= + +
−
−
+
−
= +
2 2 1
2 1 2
5 2 3
3 4 2 2
)
7
2 2
2
2 2
y y y x
x x
x
y x y x