Tổng hợp các tài liệu ôn thi Đại Học hay và có đáp án, giúp các em nắm chắc kiến thức, phát triển tư duy, các tài liệu đều được biên soạn kĩ càng, cô đọng nhất để gúp các em hiểu sâu vấn đề, với mong muốn mở rộng cánh cửa Đại Học với các em hơn, giúp các em thực hiện mơ ước của mìnhChúc các em học tốt Ban biên soạn tài liệu.
Nguyễn Đình Sỹ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT c. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 19 2001 7 x xy y x y HH x xy y x y + + = − − − + = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 3 19 6 0 19 * 1 7 7 ( ) 6 x y x y xy x y xy x y xy x xy y x y x y x xy y x y x y xy x y x y x y xy − = − + = − = − = + + = − ⇔ ⇔ ⇔ − = − + = − − + = − − = − = Giải (*) cho ta nghiệm x,y . d. ( ) 2 2 3 2 2001 3 2 x y x TL y x y + = − + = . Đây là hệ đối xứng kiểu 2 đã biết cách giải . Bài 2. Giải các hệ phương trình sau : a. ( ) ( ) 2 3 2 4 2 5 4 2008 5 1 2 4 x y x y xy xy KA x y xy x + + + + = − − + + + = − Hệ viết lại : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 5 5 4 4 ; 5 5 4 4 x y xy x y xy u v uv u x y v xy x y xy u v + + + + = − + + = − ⇔ = + = + + = − + = − Học sinh giải tiếp ta được : ( ) 2 3 3 2 0 0 5 5 4 4 3 25 3 ; ; , 1; 1 1 4 16 2 2 2 3 3 2 2 u x y v xy x y u x y v xy = + = = − = − ⇔ ⇒ = − − ÷ ÷ ÷ = − + = − = − = − b. ( ) 2 2 2 1 7 08 1 13 xy x y KB x y xy y + + = − + + = ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 7 7 1 7 1 1 7 13 * 1 1 13 1 13 13 x x x x y y xy x y y y x x x y y x y xy y x x x y y y y + + = + + = ÷ + + = ⇔ ⇔ ⇒ + + − + = ÷ ÷ + + = + + = + + = ÷ Đặt : ( ) ( ) 2 2 3 89 1 2 * : 3 20 0 1 1 1 0 3 89 2 x ty t x ty t x t t t ty y ty ty y t − = = = = + ⇒ − − = ⇔ ⇔ ⇔ = − − + = + = Giải (1) tìm được x,y. Bài 3. Giải các hệ phương trình sau : Thân tặng tập thể lớp 12 TÀI LIỆU LƯU a. ( ) ( ) 4 3 2 2 3 2 1 1 1 2 x x y x y x y x xy − + = − + = − Lấy (1) trừ cho (2) vế với vế ta được phương trình : ( ) ( ) ( ) 2 2 4 3 2 2 2 2 2 2 1 2 2 0 2 0 2 x xy x x y x y x xy x xy x xy x xy − = ⇔ − + + − − = ⇔ − + − − = ⇔ − = − Thay lần lượt vào (2) : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 2 2 2 3 3 2 3 x xy x xy x xy x x x xy x y x xy x xy x xy x y x xy x x − = − = − = − = = = ⇔ ⇔ ⇔ − = − − = − − = − = − = − + = − Học sinh giải tiếp b. ( ) 4 3 2 2 2 2 2 9 08 2 6 6 x x y x y x CD KB x xy x + + = + − − + = + ( ) ( ) ( ) 2 2 4 3 2 2 2 2 2 9 3 2 2 9 6 6 2 6 6 4 2 x xy x x x y x y x x x x xy x xy + = + + + = + ⇔ − + + = + = . Thay (4) vào (3) sau đó rút gọn ta có : ( ) 4 3 2 3 3 2 0 0 0 12 48 64 0 4 12 48 64 0 4 0 x x x x x x x x x x x x = = = ⇔ + + + = ⇔ ⇔ ⇒ = − + + + = + = X=0 loại . Vậy hệ có nghiệm duy nhấy : ( ) 17 ; 4; 4 x y = − ÷ c. ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 0 2 2 0 2 21 0 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 3 2 2 x x x x x y x x y x x x x y x y x y x y x y y x x y x y x y x y x x − − + − + − − − − = = − = = − + − = + = + ⇔ ⇔ ⇔ + = + = − = − − = − − = − − = • Khi x=y , thì x=-1. Vậy nghiệm của hệ là : (x;y)=(-1;-1) • Khi x+y=1 , (2) có nghiệm duy nhất : x=1 , do đó hệ có nghiệm : (x;y)=(1;0) d. ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 3 2 2 1 2 2 2 4 1 0 2 x y x xy x y x x y x − + + = + − − + = . Từ (2) : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 0 2 1 0 * 1 2 x y x x y x x y x x y x x xy x − = ⇔ + − + + = ⇔ + − = ⇔ − = Thay vào phương trình (1): 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 x x x x x − − ⇔ − = − . Phương trình này đã biết cách giải ở phần phương pháp giải phương trình mũ . Bài 4. Giải các phương trình sau : Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang 2 TÀI LIỆU LƯU a. ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 19 19 19 1 19 1 . 6 6 6 6 y y u v x y x x x y u v u v y y y xy x y x x x x + = + = + = + = ⇔ ⇔ ⇔ + = − + = − + = − + = − ÷ . Với : 1 ;u v y x = = Học sinh tự giải tiếp . b. 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 12 0 2 12 0 1 2 12 0 8 12 8 1 12 12 8 1 y y x xy y u uv x x y x u v y x x + + = ÷ + + = + + = ⇔ ⇔ + = + = + = ÷ . Với : 2 1 ; y u v x x = = Giải tiếp tìm được u,v , sau đó tìm x,y . d. 2 2 2 2 2 5 2 1 0 4 12 12 10 0 x xy y x y x y xy x y + + + + + = + + + + + = . Lấy (1) trừ cho (2) vế với vế ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 11 11 9 0 11 9 11 9 *x y xy x y x y xy x y xy x y x y⇔ + + − − − = ⇔ + − − + = ⇒ = + − + − Phương trình (2) : ( ) ( ) 2 2 12 10 0x y xy x y⇔ + + + + + = . Thay (*) vào ta được : ( ) ( ) 2 2 3 10 8 0 3 4 x y x y x y x y + = − ⇔ + − + − = ⇔ + = Vậy hệ đã cho : 2 2 2 3 3 659 2 2 11 9 9 3 3 4 4 37 16 11.4 9 x y x y xy xy x y x y xy xy + = − + = − = − = − − − − ⇔ ⇔ ÷ ÷ + = + = = − = − − . Giải tiếp ta tìm được x,y Bài 5. Giải các hẹ phương trình sau : a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 10 0 12 20 0 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 x y x y x xy y x y x y x y x y − − = − + = ⇔ + − + = − + − + = − Từ (2) : ( ) 1 ln 1 ln(1 ) ( ) ln 1; '( ) 1 0 0x x y y f t t t f t t t + − = + − ⇔ = + − = + > ∨ > . Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến . Cho nên để có (2) thì chỉ xảy ra khi x=y. • Nếu : ( ) ( ) x=2y ; 0;0 x=y x y ⇒ = , • Nếu : ( ) ( ) 10 ; 0;0 x y x y x y = ⇒ = = b. ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 2 3 2 3 3 2 1 1 3 3 1 3 3 3 2 1 log log 3 2 1 2 y x x x y y x x x y y x x y x y x − = − − ⇒ ⇔ − + − = − + − − − + = − ÷ ÷ − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 1 3 3 1 1 3 1 3 *x y y x x x y y⇔ − = − + − ⇔ − − − = − Để (*) xảy ra khi và chỉ khi : x-1=y, hay : x=y+1, x-2=y-1 . 2 1 1 x y − ⇔ = − Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang 3 TÀI LIỆU LƯU Thay vào (2) ta có : ( ) ( ) 2 2 log 1 log 1 3 3 0 3 y x x x x+ = − ⇒ − = ⇔ = .Vậy : y=x-1=3-1=2 Do đó nghiệm của hệ phương trình là : (x;y)=(3;2). c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 4 2 3 4 6 2 2 3 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 2 1 1 2 1 1 2 1 1 y x x y yx x x y y x x x y x y x x y x x y x x y x − + + + = + = + − + − = ⇔ ⇔ + + = + + + = + + + = + -Trường hợp 1: y= 2 x , thay vào (2) : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 2 0 2;x x x x t x t x t t x+ + = + + ⇔ − + + = ⇒ = = 2 2 2 1 2 3 3 . 1 x x x x x x + = ⇒ = ↔ = ± ⇔ + = ⇒ ∈∅ -Trường hợp : ( ) 2 2 2 4 2 2 2 4 2 0 yx 2 0x y yx x y x x+ + + = ⇔ + + + = ( ) 4 2 4 4 2 4 2 3 8 0 0 y y x x x x x x R⇒ ∆ = − + = − − < ∨ ∈ → ∆ < 2 2 2 4 (, ) 2 0 ,f y x y yx x x y⇒ = + + + > ∨ . Phương trình vô nghiệm . Do đó hệ có hai nghiệm : (x;y)= ( ) ( ) 3;3 , 3;3− d. ( ) ( ) 2 2 6 2 2 2 2 3 0 2 2 6 0 2 3 2 2 3 2 2 3 2 x y x y x y y x y y x y y x y y y x x y x y x x y x y x x y x y + = − − − + − − = − − − − = ⇔ ⇔ + − = + − + − = + − + − = + − - Trường hợp 1: 2 0 2 2 2 4 y x y y x y y ≤ − = − ⇔ − = . Thay vào (2) 2 2 2 2 4 5 2 2 4 5 2 4 7 2 0x y y y y y y y y⇔ − = + − ⇔ − = + − ⇒ + − = - Trường hợp : ( ) 2 2 0 0 2 3 * 2 9 9 2 y y x y y x y y x y y ≥ ≥ − = ⇒ ⇔ − = = + . Thay vào (2) : 2 2 2 2 9 2 3 9 2 3 2 9 5 9 5 2 0y y y y y y y y y y⇔ + + = + + − ⇔ + = + − = 2 2 2 2 1 2 9 5 0 9 5 4 0 4 9 5 2 2 0 9 y t t y y y y y y y t t = − = = + ≥ ⇔ ⇔ ⇒ + − = ↔ = + = − − = Thay lần lượt các giá trị của y vào (*) ta tìm được x . Bài 6. Giải các hệ phương trình sau : a. ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 xy x y x y x y x y + + = + + = − . Từ (2) viết lại : ( ) 2 2 2 x y x y x x x y x y x x+ + + = + ⇔ + + + = + Ta xét hàm số f(t)= ( ) ( ) 2 0 ' 2 1 0 0t t t f t t t+ ≥ ⇒ = + > ∨ ≥ . Chứng tỏ f(t) là một hàm số đồng biến , cho nên ta có : 2 x y x y x x+ = ⇔ = − . (*) Thay vào (1) : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 0 x x x xy x y x x x x x x x x x − ⇔ + + = ⇔ + − + = ⇔ − + − + − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 0 1 1 1 2 0 ** 3 0 x x x x x x x x − = ⇔ − + + − + = ⇔ − + + = Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang 4 TÀI LIỆU LƯU Giải (**) ta tìm được x , thay vào (*) tìm được y , từ đó suy ra nghiệm của hệ b. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 96 3 48 2 96 24 24 2 24 4 y x y y x y y x y x y x y y x y x x y x y x − = − = − = ⇔ ⇔ + + − = + − = − + − = − . Thay (3) vào (4) ta có : 2 2 576 96 480 96 48 576 10 48 48 x x x x − + = − + ⇔ = = = Thay vào (1) : ( ) 2 2 2 2 2 4 2 2 36 100 48 100 48 100 2034 0 64 y y y y y y y y = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − + = ⇒ = Vậy : (x;y)=(10;-6),(10;6),(10;-8),(10;8) c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 2 0 2 2 3 0 2 3 4 6 4 4 12 3 2 4 12 7 0 2 2 7 2 1 0 y x x x y xy x y x y x y x y y x y y + + + = + + = + + = − ⇔ ⇔ + + + = + + + − = + + + − = -Trường hợp : x+2=0 , thay vào (2) : ( ) 7 7 1 2 ; 2; , 2; 1 2 2 2 y x y y = − ⇒ ⇔ = − − − ÷ ÷ = -Trường hợp : 2y+3=0 hay : 2y=-3 , thay vào (2) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 2 3 7 3 1 0 2 4 ; 2; , 6; 6 2 2 x x x x y x = ⇔ + + − + − − = ⇔ + = ⇔ ⇔ = − − − ÷ ÷ = − d. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 . 1 1 2 2 1 2 2 0 1 2 u y y y x y v x y x y u v x x x y u v u y x y x x y xy y x x v = − + − + = − = − − − + = − − + = − + = − ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ = − = − − − = − − = − − + = = − + . Với u=x-y và v= 2y x . Học sinh giải tiếp . Bài 7. Giải các hệ phương trình sau : a. ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 6 2 x y x y y x y xy + = + + + + + = . Lấy (1) cộng với (2) vế với vế : 2 2 2 3 2 0 4 x y x xy y x y = − + = ⇒ = • Với : x=2y thay vào (2) : ( ) 2 5 3 5 5 3 5 5 3 5 5 3 5 5 3 5 20 10 5 1 0 ; ; . ; 10 20 10 20 5 3 5 20 y y y x y y − = − − + + − − = ⇔ ⇒ = ÷ ÷ ÷ ÷ + = • Với x=4y, thay vào (2) : ( ) 2 1 4 1 1 11 22 9 1 0 , ; , 2; 1 11 11 2 2 y y y x y y = − − = ⇒ ⇔ = ÷ ÷ = b. ( ) ( ) 2 2 4 2 2 1 3 1 2 2 x y y y xy x y + + = + = . Học sinh giải theo cách : Đặt x=ty . Cách khác : Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang 5 TÀI LIỆU LƯU Lấy (1) trừ cho hai sau khi nhân hai vế với x ( Khử 2 2 x y ở hai phương trình của hệ ) : ( ) ( ) 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 1 3 2 2 1 2 1y x y xy y y x xy y y x y⇔ + − = − ⇔ − + = − + ⇔ − = − 2 2 2 2 1 1 1 1 y x y x y y y y x x y y − = − ↔ = + − ⇔ − = − ↔ = − + . Thay vào (2) • Nếu : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 3 3 1 1 2 1 0 1 1 0y y y y y y y y y+ + − = ⇔ + − − = ⇔ + − = 1; 1 1; 1 y x y x = − = − ⇒ = = • Với : x= 2 1y y− + , thay vào (2) ta được : ( ) ( ) 3 1 1 0 1y y y− + = ↔ = ± Vậy nghiệm của hệ là : (x;y)=(-1;-1),(1;1). c. ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 3 2 x y y x x y x + = + + = Cách 1: Lấy phương trình (2) trừ cho phương trình (1) sau khi nhân hai vế của nó với 2 x y , ta được phương trình : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 x xy x a x x xy x x x x xy b x − = − − = − ⇔ ÷ − = − -Thay a) vào (1) : ( ) ( ) 2 3 2 2 1 1 1 0 1 1 x x y x x x x x − + = = ⇒ + − = → = ± + -Tương tự thay b) vào (1) . Học sinh tự làm Cách 2: Do x=0 không là nghiệm cho chia hai vế phương trình (1) cho xy 0 ≠ . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 3 2 1 5 5 4 0 4 5 x x x x xy x xy x xy x y x y x y x x y xy x + + = = + = ⇒ ⇔ ⇔ + = − + = + + = ÷ ÷ Từ (4) suy ra : 2 2 2 2 1 4x y x y= ∨ = ( loại ). Cho nên : 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 0 1 4 1 4 1 2 1 2 2 0 2 xy xy y x x x x x xy xy xy xy x x x x x xy = = = − + = = + + = = − ⇒ ⇔ ⇔ = = = ∈∅ − + = + = = 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 0 1 4 4 4 1 2 1 2 2 0 2 xy xy y x x x x x xy xy xy xy x x x x x xy = − = − = + = = − + + = = − ⇒ ⇔ ⇔ = − = − = − ∈∅ + + = + = = − Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang 6 TÀI LIỆU LƯU Vậy hệ có nghiệm : (x,y)=(-1;-1),(-1;1) d. ( ) ( ) 3 3 1 3 2 y x y x x x y x x − + + + = + + = + . Điều kiện : 0; 0x x y> + ≥ Phương trình (1) : 3 0 3 3 3 3 y y y x x y x x x y x − = − − = ⇔ + − + = + − + • Với y=3 , thay vào (1) : 2 3 0 3 0x x+ = → = − < ( loại ) • Với 3 3 3 3 1; 8 3 x y x x y x x x y x y x x + − + = ≠ ⇒ ↔ + + = ⇔ = = + + = + Bài 8. Giải các hệ phương trình sau : a. ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2 x y x y x y x y + + − = + − + = . Điều kiện : 0, 0,x y x y> > > Phương trình (1) ( ) ( ) 1 0 1 1 0x y x y x y x y x y x y⇔ + + − − − + − = ⇔ − − − + = • Với : 1 1 1 0; 1 1; 0 1 2 0 1 x y x y x y x y x y x y xy x y + = + = + = = = ⇔ ⇔ ⇒ = = + = = + = • Với : 1 1 1 2 1 2 2 2 1 x y x y x y x y xy x xy x y − = − = − = ⇔ ⇔ + + = + = + = . Học sinh giải tiếp . b. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 4 4 7 1 1 2 3 2 xy x y x y x x y + + + = + + = + . Điều kiện : 0x y+ ≠ Phương trình (1) : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 6 2 7x y xy x y xy x y + + + + − + = + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 7x y x y x y ⇔ + + + − = + Phương trình (2) : ( ) ( ) 1 3x y x y x y + + + − = + Vậy : Đặt ( ) ( ) 2 2 2 1 1 ; 2x y u v x y u x y x y x y + + = = − ⇒ − = + + + + Hệ trở thành : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 7 3 2 7 , 3 3 13 0 4 6 4 0 2 2 3 2; 1 u v u v u u u u u v u v − + = = − = ⇒ + − − = ⇔ − − = ↔ + = = = 1 1 2 7 2 x y x y x y + + = − + ⇔ − = . Hệ vô nghiệm . ( ) 2 1 1 2 1; 0 2 0 1 x y x y x y x y y x y = + + + = + ⇔ ⇔ ↔ = = = − = Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang 7 TÀI LIỆU LƯU c. 2 2 2 1 1 1 2 1 4 4 2 4 1 1 3 1 1 1 1 1 4 4 x x x y y x xy x x y x y x x x x xy y x x x xy y x x y + + + = + + = + + = ÷ ÷ ⇔ ⇔ ⇔ + + = + + + = + + = ÷ ÷ • Trường hợp : ( ) ( ) 2 1 2 2 1 0 ; 1;1 1 1 2 2 x x x x x y y x x y + = − + = ⇔ ⇔ = = + = − d. ( ) ( ) 2 3 2 2 2 3 2 1 2 9 2 2 2 9 xy x x y x x xy y y x y y + = + − + + = + − + . Lấy (1) cộng với (2) vế với vế , ta được : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 2 2 3 1 8 1 8 xy xy x y x y ⇔ + = + − + − + Do : ( ) ( ) 2 3 3 3 2 2 3 3 2 3 2 1 8 8 2 2 9 2 2 1 8 8 2 2 9 xy xy x x x VT xy xy y xy y y ≤ − + ≥ = − + ⇒ ⇔ ≤ − + ≥ = ≤ − + ; 2 2 2VP x y xy= + ≥ Cho nên để xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi : VT=VP=2xy và : x=y=1. Do đó hệ có nghiệm duy nhất : (x,y)=(1;1). Bài 9. Giải các hệ phương trình sau : a. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 5 1 2 5 5 2 4 3 2 1 1 1 3 4 3 4 2 x y x y xy x y xy y x x y y x x y x y xy x y xy x y y x + + + = + + + = ⇔ ⇒ − − = + − ⇔ = − + + − = + + − = Thay vào (2) : ( ) ( ) ( ) 3 2 2 1 2 1 5 3 4 2 1 10 19 10 1 0y y y y y y y y y− + + − − = − ⇔ − + − = ( ) ( ) 2 1 1 10 9 1 0 9 41 9 41 20 20 y y y y y y = ⇔ − − + = ⇔ + − = ∨ = b. ( ) ( ) ( ) 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 2 2 6 41 6 41 6 41 10 4 40 81 x y x y x y x y x y x y xy x y xy x y x y + + = + + = + + = ⇔ ⇔ + = + = + = . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 2 2 2 2 2 9 10 0 4 2 81 41 40 4 41 9 3 3 x y xy xy x y xy x y xy x y x y x y x y − + = + − = − = + − + = ⇔ ⇔ ⇔ + = + = ± + = ± • TH1: 2 1, 2 2, 1 3 1, 2 2, 1 xy x y x y x y x y x y = = = ∨ = = ⇔ + = ± = − = − ∨ = − = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 1; 2 , 2; 1 1;2 2;1x y⇔ = − − − − • TH2. 2 5 5 5 3 0 9 4 1 0 2 2 2 3 xy t t x y = ⇒ ± + = ⇒ ∆ = − = − < ÷ + = ± .Hệ vô nghiệm Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang 8 TÀI LIỆU LƯU c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 8 3 4 1 4 2 2 2 1 7 1 7 4 1 7 x x x y y x x y xy y y y y y x y x y x x y x y x y y + + + = + + + = + + + = ⇔ ⇔ + = + + + − + = − + = + + ( ) ( ) 2 5 2 15 0 3 x y x y x y x y + = − ⇒ + + + − = ⇔ + = . Thay lần lượt vào (3) ta có hai hệ : ( ) 2 2 2 2 5 5 1 13 1 9 9 46 0 1 13 7 13 1 13 7 13 ; ; , ; 2 2 2 2 2 3 3 3 1 3 0 x y y x x y x x x x y x y y x y x x y x x + = − = − − − ± + = + + = − − + − + − = ⇔ ⇔ ⇔ = ÷ ÷ ÷ ÷ + = = − = − + = + − = d. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4. 1 16 . 4 1 4 1 3 4 16 1 1 5 1 2 1 1 1 1 5 5 4 1 4 x x x x y y y y x y y x y y y y x x x y y y y y + = + + − = ÷ ÷ ÷ ÷ + = + ⇔ ⇔ + = + + = + + = ÷ ÷ Đặt : x t y = (*) Từ (3) và (4) : ( ) ( ) 3 2 3 2 1 5 1 4 1 21 5 4 0t t t t t t⇒ + − − = ⇔ − − = 2 1 0 3 4 21 5 4 0 7 t t t t t = − = ⇔ ⇒ − − = = . Thay t vào (*) để tính x theo y , sau đó thay vào (1) ta sẽ tìm đượcnghiệm của hệ .(x,y)=(1;-3),(-1;3) Bài 10. Giải các hệ phương trình sau : a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 3 1 1 4 1 2 ( ) 1 x y x y xy u v x y x y u v uv x x y xy y xy x y xy x y xy + + = + + = − + = ⇔ ⇔ + + = + + = + + − + − + = . Với : u=x-y,v=xy . Từ (3) và (4) , tính uv theo u+v thay vào (3) ta có : ( ) ( ) { 2 0; 1 1 0 1; 0 2 3 0 3 4 , u v u v uv u v u v u v u v uv u v = = + = → = = = ⇔ + + + − = ⇒ ⇔ + = − → = ∈∅ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 ; 1; 1 , 1;1 , 0; 1 , 1;0 1 0; 1 0 1; 0 x y x y xy x y x y x y x y xy x y − = = = − = = = ⇔ ⇔ ⇔ = − − − − = = = − = = = b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 2 2 2 4 4 0 2 2 8 6 0 1 3 1 4 1 0 2 1 4 1 2 2 2 2 4 x x x x y y x y x y y x x xy y x y x x x x x y − + + + − + + + = + + + + = = ⇔ ⇔ + + + + + = + = − − − + − + + Từ (3) : ( ) 2 2 1 2 1 x x y x − + − + = + , thay vào (4) ta được : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 0 2 2 2 1 2 2 1 0 1 x x x x x x x x x x x + − ⇔ + − + = ⇔ + − + + + + − = ÷ + Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang 9 TÀI LIỆU LƯU ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 2 0 2 0; 2 3 5 0 5 5 3 6 5 0 2 2 1 2 1 0 3 3 t x x t x x x x t t t x x x x t t t = + = = + = = − ⇔ ⇔ − = ⇔ ⇔ ⇔ = + − = + = − + + − = 2 1 1 1 1 0; 1 0; 2 2; 1 3 2 6 3 6 ; 4 1 3 3 ; . 1 x y x x x y x x x x x x y x = = = = − ⇔ ⇔ = − = − − − − + = = − − + = = + c. ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 3 1 1 3 3 3 2 2 2 2 4 1 1 2 2 x x u u v y y y x xy y x y y x u v uv x x y y y y + + = ÷ ÷ + + = + + = ⇔ ⇔ + = + + = + + = + ÷ ÷ Với : 2 1 x u y v y = = lấy (3)trừ cho (4) : ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 2 2 1 1 2 1 u u u v uv u u u v u⇔ − + − = − ⇔ − − − = − ( ) ( ) 2 1 1 2 0u u v⇔ − − − = - Với u=1 thay vào (3) : 3v=3 suy ra v=1 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 , 1; 1 , 1;1 1 1 1 x x y y x y y y = = ⇒ ⇔ ⇔ = − − = = - Với : 2 1 2 u v − = , thay vào (3) : 2 2 2 1 6 1 1 3 2 5 0 2 1 6 u u u u u u u = − − + + = ⇔ − − = ⇔ ÷ = + * Khi : ( ) 2 1 1 6 1 6 1 3 6 2 u v = − → = − − = − Do đó ta có hệ : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 6 1 6 1 6 1 3 6 3 6 1 3 6 3 3 6 3 1 6 1 6 1 6 1 1 1 3 6 3 6 3 6 x x y x y y y y y x x y x y y y y y = − = − = − ⇔ ⇒ + + = = = ± = − − = + = + = + ⇔ ⇒ = = = ± = + + + Cách khác : Lấy phương trình (2) trừ cho phương trình (1) sau khi đã nhân hai vế của (1)với y , ta được phương trình : ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2( )x y x y xy y x x y x y xy x y+ − − = − + ⇔ + + − = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 2 0x y x y x y x y x y⇔ + − − − = ⇔ − − − = * Với : x-y=0 thay vào (1) ta có ( ) ( ) 2 1 ; ( 1; 1), 1;1x x y= ⇒ = − − Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang 10 . = b. ( ) ( ) 2 2 4 2 2 1 3 1 2 2 x y y y xy x y + + = + = . Học sinh giải theo cách : Đặt x=ty . Cách khác : Tự soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 0985.270.218 Trang 5 TÀI LIỆU. = 2 1 0 3 4 21 5 4 0 7 t t t t t = − = ⇔ ⇒ − − = = . Thay t vào (*) để tính x theo y , sau đó thay vào (1) ta sẽ tìm đượcnghiệm của hệ .(x,y)=(1;-3),(-1;3) Bài 10. Giải các hệ. ⇔ ⇔ + + = + + = + + − + − + = . Với : u=x-y,v=xy . Từ (3) và (4) , tính uv theo u+v thay vào (3) ta có : ( ) ( ) { 2 0; 1 1 0 1; 0 2 3 0 3 4 , u v u v uv u v u v u v u v uv u