Định nghĩa: Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB,BC,CD,DA, trong đó bất bì 2 đoạn thẳng nào cũng không nằm trên một đường thẳng. Tứ giác lồi :Là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác. Chú ý: Khi nói đến tứ giác, ta hiểu đó là tứ giác lồi, trong tứ giác lồi tổng 4 góc trong là 3600, tổng 4 góc ngoài cũng là 3600.
Phương pháp giải Hình học TỨ GIÁC Định nghĩa: Tứ giác ABCD hình gồm đoạn thẳng AB,BC,CD,DA, bất bì đoạn thẳng không nằm đường thẳng Tứ giác lồi :Là tứ giác nằm nửa mặt phẳng mà bờ đường thẳng chứa cạnh tứ giác Chú ý: Khi nói đến tứ giác, ta hiểu tứ giác lồi, tứ giác lồi tổng góc 360 0, tổng góc 3600 Dạng Sử dụng tính chất góc tứ giác để tính góc PP: Sử dụng tính chất tổng góc tứ giác, ttrong tam giác, góc tạo đường thẳng cắt hai đường thẳng song song… Bài Cho tứ giác ABCD có Tính góc A góc đỉnh A HD: nên góc đỉnh A la: Bài Cho tứ giác ABCD có AB = AD, CB = CD, a) Chứng minh AC đường trung trực BD b) Tính HD: a) ABD CBD cân nên AC trung trực BD b) ABD cân mà ; CBD cân mà Bài Cho tứ giác ABCD có phân giác góc A góc B cắt E, phân giác góc A góc B cắt F Chứng minh: HD: Vì tứ giác BFAE có nên hay Bài Cho tứ giác ABCD có CB=CD Trên tia đối tia DA lấy điểm E cho DE = AB Chứng minh: a) Các tam giác ABC EDC b) AC phân giác góc A HD: a, Ta có: ( bù với góc ) nên ABC=EDC (c.g.c) b, Theo a AC=CE nên ACE cân , suy mà (hai góc tương ứng ) nên Vậy AC phân giác góc A Bài Cho tứ giác ABCD biết số đo góc tỉ lệ thuận với 5; 8; 13 10 GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải Hình học a) Tính số đo góc tứ giác ABCD b) Kéo dài hai cạnh AB DC cắt E, kéo dài hai cạnh AD BC cắt F Hai tia phân giác góc AED góc AFB cắt O Phân giác góc AFB cắt cạnh CD AB M N Chứng minh O trung điểm đoạn MN HD: a, Ta có: Vậy: ; ; ; b, Xét AFB có: ; nên ; suy => ; nên Vậy NEM cân E mà EO phân giác nên O trung điểm MN Bài Cho tứ giác ABCD có , AC tia phân giác góc A Chứng minh CB = CD HD: Kẻ CH vuông góc AD, CP vuông góc AB CH=CP( t/c phân giác) ( bù với góc ) nên => (cgv-gnk) nên DC=BC Bài Cho tứ giác ABCD có Hai đường thẳng AD BC cắt E, hai đường thẳng AB DC cắt F Các tia phân giác hai góc AEB AFD cắt I Tính góc theo a,b HD: Goi AB giao IE O, CB giao IF H, Ta có: (1) (2) Lấy (1)+(2) theo vế ta được: = nên = Dạng Sử dụng bất đẳng thức tam giác để giải toán liên hệ đến cạnh tứ giác Bài Cho tứ giác ABCD Chứng minh: a) ABAB+BC+CD+DA (1) Ta có: OA+OB+OC+OD=AC+DB < AB+BC+CD+DA (2) Đã chứng minh Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh b, Khi O điểm tam giác: Ta có: OA+OB>AB; OC+OD>DC hay OA+OB+OC+OD>AB+DC Tương tự ta có: OA+OB+OC+OD>BC+AD nên OA+OB+OC+OD> (AB+BC+CD+DA):2 Xét bất đẳng thức : OA+OB+OC+ODAB; OC+OD>DC Cộng theo vế bất đẳng thức suy ra: OA+OB+OC+OD>AB+DC hay AC+DB>AB+DC Chứng minh tương tự ta được: AC+BD>AD+BC b, AC+DB=OA+OC+OD+OB>(AB+BC+CD+DA):2 Theo HÌNH THANG – HÌNH THANG VUÔNG Định nghĩa: Hình thang tứ giác có hai cạnh đối song song Hình thang vuông hình thang có góc vuông Tính chất: Nếu hình thang có hai cạnh bên song song hai cạnh bên nhau, hai cạnh đáy Nếu hình thang có hai cạnh đáy hai cạnh bên song song GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải Hình học Dạng Tính chất góc hình thang PP: Sử dụng tính chất góc tạo đường thẳng cắt hai đường thẳng song song: Hai góc sole nhau, phía bù nhau… Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) có Tính góc hình thang HD: Vì AB//CD nên ( hai góc phía) mà nên ; Tương tự: mà nên => nên Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB < CD, AD = BC = AB, Tính góc hình thang HD: (sole); () Suy Từ B kẻ BE // AD Suy BE=AD ( đồng vị) mà CB=BE nên BCE đếu ; Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB < CD Chứng minh rằng: HD: Trên DC lấy E cho AB=DE Suy : ; ; = = Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) Hai đường phân giác góc A B cắt điểm K thuộc đáy CD Chứng minh AD + BC = DC HD: ADK cân D, Bài CBK cân C ( có hai góc đáy nhau) nên AD=DK; KC=CB Cho hình thang ABCD (AB // CD) a) Chứng minh hai tia phân giác hai góc A D qua trung điểm F cạnh bên BC cạnh bên AD tổng hai đáy b) Chứng minh AD = AB + CD hai tia phân giác hai góc A D cắt trung điểm cạnh bên BC HD: Trên AD lấy K cho AK=AB AKF=ABF (c.g.c) nên Vì nên Ta có: ; mà nên suy KFD=CFD (g.c.g) nên KD=DC AD=AK+KD=AB+CD đpcm GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải Hình học Bài Cho hình thang ABCD có Lấy điểm M thuộc đáy nhỏ BC Kẻ Mx ⊥ MA, Mx cắt CD N Chứng minh tam giác AMN vuông cân HD: Tính : , Trên AB lấy K cho BM=BK suy AK=MC, Vì KBM vuông cân nên , mặt khác: ( bù với góc ) suy = (g.c.g) nên AM=MN Dạng Chứng minh tứ giác hình thang, hình thang vuông Bài Cho tứ giác ABCD có AB = BC AC tia phân giác góc A Chứng minh ABCD hình thang HD: ABC cân nên mà nên suy BC//AD hay ABCD hình thang Bài Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M thuộc cạnh BC cho , N trung điểm cạnh AB Chứng minh: a) Tam giác AMB cân b) Tứ giác MNAC hình thang vuông HD: a, Vì AM=AB:2 nên AM đường trung tuyến suy AM=MB=MC, hay AMB cân M b, Vì AMB cân M, N trung điểm AB nên MN vuông góc AB suy ANMC hình thang vuông Bài Cho tam giác ABC vuông A Kẻ đường cao AH Từ H kẻ HD AC, HE AB Gọi M, N trung điểm đoạn thẳng HB, HC Chứng minh tứ giác DEMN hình thang vuông HD: ; nên suy MEDN hình thang vuông HÌNH THANG CÂN Định nghĩa: Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy Tính chất: Trong hình thang cân: Hai cạnh bên Hai đường chéo Dấu hiệu nhận biết: Hình thang có hai góc kề đáy hình thang cân Hình thang có hai đường chéo hình thang cân GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải Hình học Dạng Sử dụng tính chất hình thang cân để tính toán chứng minh Bài Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) Kẻ đường cao AE, BF hình thang Chứng minh DE = CF HD: ADE=BCF (ch-gn) nên DE=CF Bài Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) a) Chứng minh: b) Gọi E giao điểm AC BD Chứng minh: EA = EB HD: a, ACD=BDC (c.c.c) nên b, ; nên suy AEB cân E nên EA=EB Bài Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB > CD) có CD = a , Đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC a) Tính góc hình thang b) Chứng minh AC phân giác góc c) Tính diện tích hình thang HD: a, Ta có: mà nên =120 Vì ABCD hình thang cân nên ; =120 b, nên AC phân giác c, CAB vuông C mà ; CB= a nên AB=2a ( cạnh đối diện góc 300 nửa cạnh huyền) Suy AC= a (Pytago cho tam giác ABC) Từ C kẻ CH vuông góc AB suy ra: CH.AB=AC.CB => CH= Bài Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có Gọi O giao điểm AC BD a) Chứng minh tam giác DOC vuông cân b) Tính diện tích hình thang ABCD, biết BD = (cm) HD: a, b, = = AC.BD:2=6.6:2=18cm2 Dạng Chứng minh tứ giác hình thang cân GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải Hình học Bài Cho tam giác ABC cân A, đường phân giác BD, CE (D AC, E AB) Chứng minh BEDC hình thang cân có đáy nhỏ cạnh bên HD: Vì ABC AED cân A nên ED//BC, mà nên EDCB hình thang cân Vì ED//BC nên ( sole trong) mà (gt) nên hay EDB cân E suy ED=EB=DC đpcm Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) có Chứng minh ABCD hình thang cân HD: Gọi giao điểm DB AC O, ta có: (sole trong) ; (sole trong) mà (gt) nên ODC OAB tam giác cân O, suy OA=OB; OC=OD hay AC=BD Vậy ABCD hình thang cân Bài Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB, AC lấy điểm D E cho AD = AE a) Chứng minh BDEC hình thang cân b) Tính góc hình thang cân đó, biết HD: b) Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AC = BD Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng DC E Chứng minh: a) Tam giác BDE tam giác cân b) Các tam giác ACD BDC HD: a, BCE=CBA (g.c.g) nên BE=AC mà AC=BD nên DBE cân B b, Vì AC=BD nên ABCD hình thang cân, suy AD=BC suy ACD=BDC (c.c.c) Bài Cho tam giác ABC điểm M thuộc miền tam giác Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB D, đường thẳng song song với AC cắt BC E, đường thẳng song song với AB cắt AC F Chứng minh: a) Các tứ giác BDME, CFME, ADMF hình thang cân b) Chu vi tam giác DEF tổng khoảng cách từ M đến đỉnh tam giác ABC c) HD: c) Bài Cho hình thang ABCD (AD // BC, AD > BC) có đường chéo AC vuông góc với cạnh bên CD, a) Chứng minh ABCD hình thang cân GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải Hình học b) Tính độ dài cạnh đáy AD, biết chu vi hình thang 20 cm HD: a, Vì nên hay Vậy ABCD hình thang cân b, Vì nên AD=2DC, ta có: nên ACB cân B, suy AB=BC=CD, Chu vi ABCD=5CD=20 nên CD=4cm, AD = 8(cm ) ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG Đường trung bình tam giác: Đường trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh Đường trung bình hình thang Đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song với hai đáy qua trung điểm cạnh bên thứ hai Đường trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy Bài Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Trên cạnh AB, lấy hai điểm D, E cho AD = DE = EB Gọi I giao điểm AM với CD Chứng minh: AI = IM HD: BDC có EM đường trung bình nên EM//DC hay EM//DI AEM có DI//EM D trung điểm AE nên I trung điểm AM Bài Cho tam giác ABC hai đường trung tuyến BD, CE cắt G Gọi M, N trung điểm BG, CG Chứng minh tứ giác MNDE có cặp cạnh đối song song HD: ABC có DE đường trung bình nên DE//= BC (1) GBC có NM đường trung bình nên MN//= BC (2) Từ (1)(2) suy DE//= MN Tương tự: DN//= AG; EM//=AG nên DN//=EM Bài Cho tam giác ABC Trên tia BA lấy điểm D cho A trung điểm BD Trên tia CB lấy điểm E cho B trung điểm CE Hai đường thẳng AC DE cắt I Chứng minh rằng: GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học DI = DE Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải Hình học HD: Từ B kẻ song song AI cắt ED H Suy I trung điểm HD (1) Vì HB//IC B trung điểm EC nên H trung điểm EI (2) Từ (1)(2) suy 3DI=DE Bài Cho tứ giác ABCD có góc , , AD = BC Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AB CD Tính góc nhọn tạo đường thẳng FE với đường thẳng AD BC HD: Gọi EF cắt AD BC M N, AD cắt BC O Gọi I trung điểm BD, Suy IE đường trung bình DBA FI đường trung bình DBC Mà AD=BC nên IE=IF hay IEF cân I ( hai góc sole trong) ( hai góc đồng vị) mà nên OMN cân O mà nên = Bài Cho A, B, C theo thứ tự nằm đường thẳng d (AB > BC) Trên nửa mặt phẳng bờ d, vẽ tam giác AMB BNC Gọi P, Q, R, S trung điểm BM, CM, BN, AN Chứng minh: a) PQRS hình thang cân b) SQ = MN HD: a, PQ đường trung bình MBC nên PQ//BC SR đường trung bình NAB nên SR//AB Suy SR//PQ nên PQRS hình thang Gọi H I trung điểm AB BC Ta có: SH đường trung bình ABN nên SH//BN, mà BN//AM ( hai góc đồng vị nhau) nên SH//AM (1) PH đường trung bình MAB nên PH//AM (2) Từ (1)(2) suy P,S,H thẳng hàng PS//AM nên Chứng minh tương tự Q,R,I thẳng hàng nên PQRS hình thang cân b, SQ=PR= MN Bài Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM, D giao điểm BI AC AD = DC a) Chứng minh: b) So sánh độ dài BD ID HD: Kẻ MO //BD suy O trung điểm CD (1) MO//ID GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải Hình học Vì MO//ID mà I trung điểm AM nên D trung điểm AO (2) Từ (1)(2) suy đpcm Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng AD, BC, AC, BD a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q nằm đường thẳng b) Tính MN, PQ, biết cạnh đáy hình thang AB=a; CD=b (b>a) c) Chứng minh MQ = PQ = PN b=2a HD: a, MN đường trung bình hình thang nên MN//DC (1) MQ đường trung bình tam giác DAB nên MQ//AB (2) PN đường trung bình tam giác CAB nên PN//AB (3) Từ (1)(2)(3) suy M,N,P,Q nằm đường thẳng b, MN= (a+b):2 MQ=PN=AB:2=a:2 nên PQ=MN-(MQ+PN)= (b-a):2 c, Ta có: PQ= (b-a):2 ; NP=MQ= a:2 Để PQ=NP (b-a):2=a:2 hay b-a=a b=2a Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi E, F, K trung điểm AD, BC, BD Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng HD: EK đường trung bình tam giác ADB nên EK//AB Tương tự: KF//DC mà AB//DC nên E,K,F thẳng hàng Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi E, F trung điểm AD BC Đường thẳng EF cắt BD I, cắt AC K a) Chứng minh: AK = KC, BI = ID b) Cho AB = 6, CD = 10 Tính EI, KF, IK HD: a, EF đường trung bình hình thang nên EF//DC hay EK//DC mà E trung điểm AD nên K trung điểm AC => AK=KC Chứng minh tương tự: BI=ID b, EF=(AB+CD):2=8cm, EI đường trung bình ADB nên EI=AB:2=3cm, tương tự FK=AB:2=3cm nên IK=2cm Bài 10 Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, K trung điểm AD, BC, AC GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải Hình học HD: ABG ∽ FEH đpcm Bài 12 Cho hình thang vuông ABCD (AB // DC, ) Đường chéo BD vuông góc với cạnh bên BC Chứng minh BD = AB.DC HD: Chứng minh ABD ∽ BCD Bài 13 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), O trung điểm cạnh đáy BC Một điểm D di CE = OB2 BD động cạnh AB Trên cạnh AC lấy điểm E cho Chứng minh: a) Hai tam giác DBO, OCE đồng dạng b) Tam giác DOE đồng dạng với hai tam giác c) DO phân giác góc , EO phân giác góc d) Khoảng cách từ điểm O đến đoạn ED không đổi D di động AB HD: d) Vẽ OI DE, OH AC OI = OH Bài 14 Cho tam giác ABC, B,C góc nhọn Các đường cao AA, BB, CC cắt H a) Chứng minh: AA.AH = AB.AC b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Giả sử đường thẳng GH song song với cạnh đáy BC Chứng minh: A′A = A′B A′C HD: a) Chứng minh BAH ∽ BBC, CAA ∽ CBB A′H = Bài 15 b) GH // BC A′A Cho hình thang KLMN (KN // LM) gọi E giao điểm hai đường chéo Qua E, vẽ 1 = + đường thẳng song song với LM, cắt MN F Chứng minh: EF KN LM EF EF , HD: Tính tỉ số LM KN Bài 16 Qua điểm O tuỳ ý tam giác ABC, vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC BC D E; đường thẳng song song với AC, cắt AB BC F K; đường thẳng song song với BC, cắt AB AC M N Chứng minh: AF BE CN + + =1 AB BC CA GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải Hình học AF KC CN KE = , = HD: Chứng minh AB BC CA BC đpcm Bài 17 Qua điểm O tuỳ ý tam giác ABC, vẽ đường thẳng AO, BO, CO cắt BC, OA′ OB′ OC′ + + =1 AA′ BB′ CC′ CA, AB A, B, C Chứng minh: SBOC OA′ OA′ OI SBOC = OI = = S AH S AA′ ′ AH ; ABC HD: Vẽ AH BC, OI BC AA ABC Tương tự: Bài 18 SCOA OB′ S AOB OC′ = , = S ABC BB′ SABC CC′ đpcm Trên cạnh BC, CA, AB tam giác ABC, lấy điểm P, Q, R Chứng PB QC RA =1 PC QA RB minh đường thẳng AP, BQ, CR đồng quy O (định lí Ceva) HD: Qua C A vẽ đường thẳng song song với BQ, cắt đường thẳng AP E cắt đường PB OB RA AD QC EC = , = , = PC EC RB OB QA AD đpcm thẳng CR D Chứng minh Bài 19 Trên đường thẳng qua cạnh BC, CA, AB tam giác ABC, lấy điểm P, Q, R (không trùng với đỉnh tam giác) Chứng minh ba điểm P, Q, R thẳng PB QC RA =1 PC QA RB hàng (định lí Menelaus) HD: Gọi khoảng cách từ A, B, C đến đường thẳng PQR m, n, p PB n QC p RA m = , = , = PC p QA m RB n đpcm Ta có: Bài 20: Cho DEG vuông D có DE=6cm, DG=8cm, đường cao DH a Chứng minh GEDDEH DE2=EH.EG b Tính EG, DH c Phân giác góc DEG cắt DG K, tính EK HD: a, GEDDEH (g.g) nên b, Dùng Pytago cho tam giác DEG tính EG=10cm, Theo a) suy : từ tính DH=4,8cm c, Dùng Pytago cho tam giác DEK tính EK= GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải Hình học Bài 21: Cho hình bình hành MNPQ có E trung điểm PQ, G trọng tâm MPQ, F thuộc cạnh MQ cho FG//NM a b Tính tỉ số Chứng minh QGE NGM tìm tỉ số đồng dạng HD: a, FG//QE nên (tính chất trọng tâm) b, QGE NGM (g.g) tỉ số đồng dạng k= Bài 22: Cho hình bình hành ABCD, F thuộc BC Tia AF cắt BD DC E G CMR: a BEF DEA DGE BAE b AE2=EF.EG c BF.DG không thay đổi HD: a, BEF DEA (g.g) DGE BAE(g.g) b, Theo a) suy c, BEF DEA nên ; DGE BAE nên suy hay BF.DG=AD.AB (không đổi) Bài 23: Cho ABC nhọn có đường cao AD,BE,CF cắt H a Chứng minh AB.AF=AC.AE b Chứng minh AEF ABC c Chứng minh d Chứng minh EH phân giác ( hai cách) e Chứng minh BH.BE+CH.CF=BC2 f Cho AE=3cm, AB=6cm, AH=5cm: Chứng minh dt(ABC)=4.dt(AEF); Tính dt(BEC); kẻ HM//AC Tính HM g Chứng minh : HD: a, ABE ACF (g g) nên ; b, Xét AEF ABC có góc A chung nên AEF ABC (c.g.c) c, Vì AEF ABC nên d, Theo câu b) suy ra: ; Chứng minh tương tự câu b) suy ra:CED CBA nên => mà nên e, BHD BCE (g.g) nên BH.BE=BD.BC.(1) ; CHD CBF nên CH.CF=BC.CD (2) cộng vế (1) (2) ta được: BH.BE+CH.CF=BC(CD+DB)=BC2 f, Vì AEF ABC(g.g) theo tỉ số đồng dạng - Dùng Pytago cho AEB EAH tính EB= ; EH=4cm Suy Vì ABE HCE theo tỉ số k= suy EC=2.:EB= Từ tính g, Bài 24: Cho ABC vuông A, đường cao AH, AB=5cm, AC=12cm, Gọi D, E hình chiếu H GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải Hình học AB,AC a Tính BC,DE b Chứng minh ACB ADE c Đường vuông góc với DE D E cắt BC M N, Chứng minh M trung điểm BH, N trung điểm CH d Chứng minh BN2-CN2=AB2 HD: a, Pytago cho ABC: AB2+AC2=BC2 Thay số BC=13cm Ta có: EHDA hình chữ nhật nên AH=ED, mà AH.CB=AB.AC => AH= b, => ACB ADE (g.g) c, Từ (1)(2) suy N trung điểm HC Chứng minh tương tự M trung điểm HB d, BN2-CN2=(BN+CN)(BN-CN)=BC.BH (3) mà ABC HBA(g.g) nên (4) Từ (3)(4) suy BN2-CN2=AB2 đpcm Bài 25: Cho ABC vuông A, đường cao AH, a Chứng minh AHB CAB b Phân giác BD cắt AH E, cho AB=12cm, BC=16cm, Tính tỉ số diện tích EBH/DBA c Chứng minh EA.DA=EH.DC d Giả sử ABC vuông cân A, lấy M trung điểm AC, đường thẳng qua A vuông góc BM cắt BC F, chứng minh BF=2FC HD: a, = => AHB CAB(g.g) b, Dùng Pytago cho ABC : AB2+AC2=BC2 => AC=4 Có AH.BC=AB.AC => AH=3 mà AH2+HB2=AB2 nên HB= 9cm Xét EBH DBA có (phân giác DB) nên EBH DBA(g.g) theo tỉ số k= nên c, d, Bài 26: Cho ABC trung tuyến AD, AB=4cm, AC=8cm qua B dựng đường thẳng cắt AC F cho a b c Chứng minh: ABF ACB Chứng minh : Gọi O giao BF AD, CO cắt AB E, Từ A,C dựng đường thẳng song song với BF cắt CO J cắt AD I Chứng minh FC.JA=CI.FA HD: a, ABF ACB(g.g) chung, => AF=2cm nên FC=6cm, b, Vì 2DC=BC nên GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải Hình học c, Vì OF//IC nên Dùng tính chất đường đồng quy: Bài 27: Cho hình chữ nhật ABCD kẻ AH vuông BD a Chứng minh AHD BDC BC2=DH.DB b Gọi S trung điểm BH, R trung điểm AH Chứng minh: SH.BD=SR.DC c Gọi T trung điểm DC chứng minh DRST hình bình hành d Tính HD: Bài 28: Cho ABC vuông A có góc B=2C, đường cao AD a Chứng minh: ADB ABC b Kẻ phân giác góc B cắt AD F cắt AC E CMR: AB 2=AE.AC c Chứng minh: d Cho AB=2BD, Chứng minh : HD: Bài 29: Cho ABC nhọn , M N trung điểm BC AC Đường trung trực BC AC cắt O Qua A kẻ đường thẳng // với OM, qua B kẻ đường thẳng song song với ON, chúng cắt H Gọi G trọng tâm ABC a ABH đồng dạng với tam giác nào? b Chứng minh HAG OMG c Chứng minh H,G,O thẳng hàng HD: Bài 30: Cho ABC vuông B, đường cao BK a Chứng minh AKB ABC b Chứng minh AK.BC=AB.BK c Cho AB=15cm, BK=12cm, - Tính AK,KC,BC - Kẻ KM vuông AB M, KN vuông BC N, gọi O giao điểm BK MN, trung tuyến BQ tam giác ABC cắt MN I Tính diện tích BOI HD: Bài 31: Cho ABC nhọn, hai đường cao AK BH cắt O a Chứng minh AKC BHC từ suy ra: CH.CA=CK.CB b Chứng minh CHK CBA c Cho HD: c, nên HK=1/2AC( cạnh đối diện với góc 300) mà CHK CBA theo k= Nên => GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải Hình học Bài 32: Chu vi tam giác ABC cân A 80cm, phân giác góc A góc B cắt I, AI cắt BC D Cho Tính cạnh ABC HD: Bài 33: Cho ABC, lấy D BC cho DC=2DB Qua D kẻ đường thẳng //AC cắt AB F, qua D kẻ đường thẳng //AB cắt AC E, gọi M trung điểm AC a So sánh b Chứng minh EF//BM c Giả sử: , Tìm k để EF//DC HD: Bài 34: Cho ABC điểm D cạnh AB, đường thẳng qua D song song BC cắt AC E cắt đường thẳng qua C song song với AB G, BG cắt AC H, qua H kẻ đường thẳng song song AB cắt BC I a CMR: DA.EG=DB.DE b HC2=HE.HA c HD: a, nên DE.DB=DA.EG b, nên HC2=HA.HE c, nên chia vế cho CG.AB ta được: a mà BG.IH=HB.GC nên Vậy đpcm Bài 35: Cho hình vuông ABCD điểm E BC Kẻ Ax vuông AE cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Qua E kẻ đường thẳng song song AB cắt AI G a Chứng minh AE=AF b Tứ giác EGFK hình thoi c FIK đồng dạng FCE d chu vi tam giác ECK không đổi E chuyển BC HD: a, => FAD=EAB(ch-gn) nên AE=AF b, AEF cân nên AI trung trực FE, Vì GE//FK nên => IEG=IFK nên GI=IK mà GK vuông góc FE nên EGFK hình thoi c, Xét FIK FCE Có: FIK đồng dạng FCE (g.g) d, Theo b) ta có: EK=KF=DK+DF=DK+BE( theo câu a DF=BE) Ta có: EC+CK+KE=EC+CK+(BE+DK)=DC+BC=2BC không đổi Bài 36: Cho ABC vuông A, AB=8cm, AC=6cm, phân giác AD, a Tính CD BD GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải Hình học b Từ D kẻ DE DF vuông góc với AB AC Tính chu vi diện tích AEDF HD: a, Dùng Pytago: BC2=AB2+AC2 nên BC=10cm, Vì AD phân giác nên : nên CD=cm; DB= cm b, CFD CAB nên FD=AB.CD/CB=24/7 cm BED BAC nên DE=CA.DB/BC=24/7 cm Chu vi : 96/7 cm, diện tích: 576/47 cm2 Bài 37: Cho ABC có AC>AB, phân giác AD, Qua C kẻ Cx cho tia CB nằm hai tia CA Cx , AD giao Cx E a DCE DAB b EBC cân c ABD AEC từ suy ra: AB.AC=AD2+ BD.DC HD: a, Xét DCE DAB có: (gt) (đối đỉnh) nên DCE DAB(g.g) b, Xét DEB DCA có: (theo câu a) (đối đỉnh) nên DEB DCA Suy ra: mà AD phân giác nên Vậy EBC cân c, Vì DCE DAB nên nên ABD AEC(g.g) Có: nên AB.AC=AD.AE=AD(AD+DE)=AD2+AD.DE mà AD.DE=DB.DC suy ra: AB.AC=AD2+BD.DC Bài 38: Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn, kẻ BH, CM, CN, DI vuông góc với AC, AB, AD, AC a Chứng minh AH=CI b Chứng minh : AB.CM=CN.AD c Tứ giác BIDH hình gì? d AD.AN+AB.AM=AC2 HD: a, Xét AHB CID có AB=CD nên AHB = CID(ch-gn) => AH=CI b, nên hay AB.CM=AD.CN (đpcm) c, Theo câu a, BH=ID BH//ID ( vuông góc AC) nên BIDH hình bình hành d, ANC nên AD.AN=AC.AI (1) ACM nên AB.AM=AC.AH mà AH=IC nên AB.AM=AC.IC (2) Lấy (1)+(2) theo vế ta được: AD.AN+AB.AM=AC.AI+AC.IC=AC(AI+IC)=AC (đpcm) Bài 39: Cho ABC vuông A, đường cao AH chia cạnh huyền thành hai đoạn có độ dài 9, gọi D E hình chiếu H lên AB, AC a Tính AB, AC, DE b Các đường vuông góc với DE D E cắt BC M N, Chứng minh M trung điểm BH, N trung điểm CH c Tính diện tích DEMN GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải Hình học HD: a, BAC nên AC2=CH.CB=4.13=52 nên AC=cm, Tương tự: AB2=HB.BC=9.13=117 nên AB=cm Ta có AH=DE( AEHD hình chữ nhật) mà AH2=AC2-CH2 (pytago) nên AH=6cm hay DE=6cm b, (cùng phụ ) mà (cùng phụ ) nên suy DM đường trung tuyến DHB nên M trung điểm BH Chứng minh tương tự: N trung điểm HC c, DEMN hình thang vuông nên: với EN=CH:2=2cm, DM=HB:2=4,5cm DE=6cm Suy =19,5cm2 Bài 40: Cho ABC vuông A, đường cao AH, gọi E, F hình chiếu H lên AB AC a Chứng minh AEFH hình chữ nhật b Chứng minh AE.AB=AF.AC c Đường thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC I, Chứng minh I trung điểm BC d Chứng minh rằng: Nếu diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích hình chữ nhật tam giác ABC tam giác vuông cân HD: Bài 41: Cho ABC đường cao BK CI cắt H, đường thẳng kẻ từ B vuông góc với AB đường thẳng kẻ từ C vuông góc với AC cắt D a b c d Chứng minh BHCD hình bình hành Chứng minh : AI.AB=AK.AC Chứng minh AIK ACB ABC có thêm điều kiện để đường thẳng DH qua A? Khi tứ giác BHCD hình gì? HD: Bài 42: Cho hình thang ABCD có AB//CD, góc A D vuông, AB=2cm, AD=CD=8cm, a Tính BC b Gọi O trung điểm AD, chứng minh BOC vuông c Chứng minh AOB DOC; ABO OBC HD: Bài 43: Cho ABC đều, gọi O trung điểm BC Tại O dựng góc xOy=60 0, Ox cắt AB M, Oy cắt AC N a BOM CNO b BC2=4BM.CN c BOM ONM OM phân giác góc BMN d Chứng minh ON2=CN.MN HD: GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải Hình học Bài 44: Cho ABC vuông C( AC[...]... của BC HÌNH VUÔNG 1 Định nghĩa: Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau 2 Tính chất: Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi 3 Dấu hiệu nhận biết: Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông Hình. .. Phương pháp giải Hình học 8 b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân c) Gọi E là trung điểm của BC Chứng minh tứ giác ADEB là hình thoi HD: a, Bài 14 Cho ABCD là hình bình hành Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA Gọi K là giao điểm của AC và DM, L là giao điểm của BP và AC a) Tứ giác MNPQ là hình gì? b) Tứ giác MDPB là hình gì? c) Chứng minh: AK = KL = LC HD: a, MNPQ là hình bình... BC HÌNH THOI 1 Định nghĩa: Hình thoi là một tứ giác có bốn cạnh bằng nhau 2 Tính chất: Trong hình thoi: Hai đường chéo vuông góc với nhau Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi 3 Dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi Hình. .. nên e) ACD vuông tại C và CA=3CD Bài 7 Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo Vẽ đường thẳng qua B song song với AC, đường thẳng qua C song song với BD, hai đường thẳng đó cắt nhau ở K a) Tứ giác OBKC là hình gì? b) Chứng minh AB = OK c) Tìm điều kiện của hình thoi ABCD để OBKC là hình vuông HD: a) OBKC là hình chữ nhật Bài 8 c) ABCD là hình vuông Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và... lượt là trung điểm của BC và AD a) Tứ giác ECDF là hình gì? b) Tứ giác ABED là hình gì? c) Tính số đo của góc HD: a) ECDF là hình thoi Bài 9 b) ABED là hình thang cân c) Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD Gọi O là trung điểm của EF Qua O vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự tại M và N a) Tứ giác EMFN là hình gì? b) Hình thang ABCD có... vuông góc NQ nên MNPQ là hình thoi Dạng 2 Vận dụng kiến thức hình thoi để giải toán Bài 1 Cho hình thoi ABCD có AC = 8cm, BD = 10cm Tính độ dài của cạnh hình thoi GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải Hình học 8 HD: AB = 41 (cm) Bài 2 Cho hình thoi ABCD có Trên các cạnh AB, BC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho... AC, K là điểm đối xứng của điểm M qua điểm I a) Tứ giác AMCK là hình gì? b) Tứ giác AKMB là hình gì? c) Có trường hợp nào của tam giác ABC để tứ giác AKMB là hình thoi HD: a) AMCK là hình chữ nhật b) AKMB là hình bình hành Bài 3 c) Không Cho tam giác ABC vuông tại A Về phia ngoài tam giác, vẽ các hình vuông ABDE, ACGH a) Chứng minh tứ giác BCHE là hình thang cân b) Vẽ đường cao AK của tam giác ABC Chứng... giải Hình học 8 HD: a, EAB=FCD (c.g.c) b, Ta có: ED=BF (cmt) và EB=DF ( Vì AD=BC) c, Vì EBFD là hình bình hành nên BD giao EF tại trung điểm BD (1) Vì ABCD là hình bình hành nên AC giao BD tại trung điểm của BD (2) Từ (1)(2) suy ra EF,AC,BD đồng quy Bài 2 Cho hình bình hành ABCD (AB > BC) Tia phân giác của góc D cắt AB ở E, tia phân giác của góc B cắt CD ở F a) Chứng minh DE=BF b) Tứ giác DEBF là hình. .. thoi có một góc vuông là hình vuông Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông Một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi thì tứ giác đó là hình vuông Dạng 1 Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình vuông GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải Hình học 8 Bài 1 Cho tam giác ABC... QP là đường trung bình của BFC và BFD nên QP//MN//BF và 2QP=2MN=BF (2) MQ, BN là đường trung bình của BDC và FDC nên QM//PN//DC và 2QM=2PN=DC (3) Từ (1)(2)(3) suy ra PNMQ là hình vuông Dạng 2 Vận dụng kiến thức hình vuông để giải toán GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải Hình học 8 Bài 1 Cho hình vuông ABCD Trên cạnh