Phân dạng và bài tập hệ phương trình nhiều ẩn - Trần Sĩ Tùng

Vấn đề 8: Giải phương trình bằng cách đưa về hệ phương trình Bài 1.[r]

(1)

›š & ›š

TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

(2)

1 Hệ phương trình bậc hai ẩn

a x b y c a b a b

a x b y c1 1 12 12 22 22

2 2

( 0, 0)

ì + = + ¹ + ¹

í + =

ỵ Giải biện luận:

– Tính định thức: D a b

a b

1

2

= , Dx c b

c b

1

2

= , Dy a c

a c

1

2

=

Chú ý:Để giải hệ phương trình bậc hai ẩn ta dùng cách giải biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số

2 Hệ phương trình bậc nhiều ẩn

Nguyên tắc chung để giải hệ phương trình nhiều ẩn khử bớt ẩn để đưa phương trình hay hệ phương trình có sốẩn Để khử bớt ẩn, ta dùng phương pháp cộng đại số, phương pháp nhưđối với hệ phương trình bậc hai ẩn

Bài 1. Giải hệ phương trình sau: a) ì -í57xx 49yy=38

- =

ỵ b)

x y

x y

2 11

5

ì + = í - =

ỵ c)

x y

x y

3

6

ì - =

í - =

ỵ

d) ( ( )x y)

x y

2

2 2

ìï + + =

-í

- - =

ïỵ e)

x y

3 16

4

5 11

2

ì

+ =

ï í

ï - =

ỵ

f) x y

y

3

5x

ìï - = í

+ =

ïỵ

ĐS:

Bài 2. Giải hệ phương trình sau:

a) x y x y 18 51

ì

- = ïï

í

ï + = ïỵ

b) x y

x y

6 10

ì

+ = ïï

í

ï - = ïỵ

c) x y

x y

10 1

1

25 2

1

ì

+ =

ïï - + í

ï + =

ï - +

ỵ

d) x y x y

x y x y

27 32 7

2

45 48 1

2

ì

+ =

ïï - +

í

ï - =

-ï - +

ỵ

e) x y x y

x y x y

6 3

2

3 1

2

ì

+ =

ïï - +

í

ï + =

+

ïỵ

f) x y x y

4 3

1

2 4

1

ì

+ =

ïï -í

ï - =

-ïỵ

ĐS: a) b) c) d) e) ; 87

70 140

ỉ -

ỗ ữ

ố ứ f)

Bi 3. Giải hệ phương trình sau: a)

x y

y x

x y

y x

6 5

1

4 2

1

ì - - =

ïï - +

í

-ï - =

- +

ïỵ

b)

x x

y y

x x

y y

3 1

1

2 7

1

ì - - =

ïï +

í

-ï + =

+

-ïỵ

c)

x y

2 7 5

2

1 1 5

2

ì - + + =

ïï - +

í + +

ï + =

- +

ïỵ

I HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

Xét D Kết

D ¹ Hệ có nghiệm x Dx y Dy

D ; D

ỉ

= =

ỗ ữ

ố ứ

Dxạ hoc Dyạ Hệ vô nghiệm D =

(3)

d) x y x y x y x y 1

3( )

1

3( )

ì ổ + + - = ù ỗ ữ ù ố ứ ổ ử ù - + ỗ + ữ= ù ố ứ ợ e) x y x y x y y x

3( ) 7

5 ì + = ïï -í -ï = -ïỵ f)

ĐS: a) 0;1

ỉ

ỗ ữ

ố ứ b)

5 ;

ổ

ỗ ữ

è ø c) d) ( )

2 2

1;1 , 1; , ;1 , ;

3 3

ỉ - ổ ổ - ỗ ữ ỗ ữ ỗ ÷ è ø è ø è ø

a) x x y

x x y

2

ìï + - - =

í

+ + - =

ïỵ b)

x y

2

2 15

ìï + = í - = ïỵ c) x y x y 2

2(4 )

2 4 ì - + = ï ï í ï - + = ïỵ

ĐS: a) (1;2),( 2;2)- b) (± -2; 1) c)

a) x y

x y1

2

ì - + = í - =

ỵ b)

x y

1

ì - + - = í - + =

ỵ c)

x y

2

ì + =

í - =

ỵ

d) x y

x y

2

5 1

ì - + + =

í - - + =

ỵ e)

x y x y

2

3 17

ì + - - =

í + + - =

ỵ f)

x y x y

4

3

ì + + - =

í + - - =

ỵ

ĐS:

Bài 6. Giải biện luận hệ phương trình sau:

a) mx m y m

x my

( 1)

2

ì + - = +

í + =

ỵ b)

mx m y

m x (m 2)y

( 2) ( 1)

ì + - =

í + + + =

ỵ c)

m x y m

m x y m

( 1)

( 2)

ì - + =

-í + =

-ỵ Bài 7. Trong hệ phương trình sau hãy:

i) Giải biện luận ii) Tìm m Ỵ Z để hệ có nghiệm nghiệm nguyên

a) m x y m

m x y m2 m

( 1)

2 ì + - = -í - = + ỵ b) mx y x 4(m 1)y 14m

ì - =

í + + =

ỵ c)

mx y

x my 32m

ì + - = í + - + = ỵ

Bài 8. Trong hệ phương trình sau hãy: i) Giải biện luận

ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức x, y độc lập m a) mx y m

x my2 m

2

ì + = +

í + = +

ỵ b)

mx m y

m x my

6 (2 )

( 1)

ì + - =

í - - =

ỵ c)

mx m y m

x my

( 1)

2

ì + - = +

í + =

ỵ Bài 9. Trong hệ phương trình sau:

i) Tìm số ngun m để hệ có nghiệm nghiệm nguyên ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức x, y độc lập với m a) x y

y x m

2

2 10

ì + =

í - = +

ỵ b)

mx y m

x my 32m

ì + = í + = +

ỵ c)

x y m

x y2 4m

2 3

ì - =

-í + = +

ỵ

Bài 10. Giải biện luận hệ phương trình sau: a) ì + =í + = -3ax y bx 2y 5

ỵ b)

y ax b

x y

2

ì - =

í - =

ỵ c)

ax y a b x 2y a

ì + = + í + = ỵ

Bài 11. Giải hệ phương trình sau: a)

x y z

x y z

x y z

3

2

ì + - = ï - + = í ï - - = ỵ b)

x y z

x y z x y z

3

2 6 ì + + = ï + + = í ï + + = ỵ c)

x y z

x y z

3

2

(4)

1 Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai · Từ phương trình bậc rút ẩn theo ẩn

· Thế vào phương trình bậc hai đểđưa phương trình bậc hai ẩn · Số nghiệm hệ tuỳ theo số nghiệm phương trình bậc hai 2 Hệ đối xứng loại

Hệ có dạng: (I) f x y g x y( , ) 0( , )

ì =

í =

ỵ (với f(x, y) = f(y, x) g(x, y) = g(y, x)) (Có nghĩa ta hốn vị x y f(x, y) g(x, y) khơng thay đổi) ·Đặt S = x + y, P = xy

·Đưa hệ phương trình (I) hệ (II) với ẩn S P · Giải hệ (II) ta tìm S P

· Tìm nghiệm (x, y) cách giải phương trình: X2-SX P+ =0 3 Hệ đối xứng loại

Hệ có dạng: (I) f x y

f y x( , ) 0( , ) (1)(2)

ì =

í =

ỵ

(Có nghĩa hốn vị x y (1) biến thành (2) ngược lại) · Trừ (1) (2) vế theo vế ta được:

(I) Û ìíf x yf x y( , )( , ) 0- f y x( , ) (3)= (1) =

ỵ

· Biến đổi (3) phương trình tích:

(3) Û (x y g x y- ) ( , ) 0= Û é =êx yg x y( , ) 0 =

ë

· Như vậy: (I) Û

f x y x y

f x y g x y

( , ) ( , ) ( , )

éì =

í êỵ = ê

ì =

êí

êỵ =

ë

· Giải hệ ta tìm nghiệm hệ (I)

Chú ý: Với hệ phương trình đối xứng, hệ có nghiệm ( ; )x y0 0 ( ; )y x0 0 nghiệm hệ Do hệ có nghiệm x0 =y0

4 Hệ đẳng cấp bậc hai

Hệ có dạng: (I) a x b xy c y d

a x b xy c y d

2

1 1

2

2 2

ì + + =

ï í

+ + =

ïỵ

· Giải hệ x = (hoặc y = 0)

· Khi x ¹ 0, đặt y kx= Thế vào hệ (I) ta hệ theo k x Khử x ta tìm phương trình bậc hai theo k Giải phương trình ta tìm k, từđó tìm (x; y)

(5)

VẤN ĐỀ 1: Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai Bài 1. Giải hệ phương trình sau:

a) x y

x y

2 4 8

2

ì + =

í + =

ỵ b)

x xy

x y

2 24

2

ì - = í - = ỵ c) x y x y

( ) 49

3 84

ì - =

í + =

ỵ

d) x xy y x y

x y

2 2 6

2

ì + + - - =

í - =

ỵ e)

x y

xy x y

3

3( )

ì - + =

í = +

-ỵ f)

x y

xy x y

2

6

ì + =

í + + + = ỵ

g) y x x

x y

2 4

2

ì + = í + - =

ỵ h)

x y

x2 y2 y

2

3

ì + =

í - + =

ỵ i)

x y x2 xy y2

2 ì - = í + + = ỵ ĐS:

Bài 2. Giải hệ phương trình sau: a) x y

y2 x2 x y

2

ì - - =

í - + + + =

ỵ b)

x y

x2 xy x y

4

3

ì + =

í + - + =

ỵ c)

x x y

x x y

2

12 10

ìï + + + = í

+ + + =

ïỵ

d) x y x y

xy y2 x

( 1)( 2)

ì + + + + =

í + + + =

ỵ e)

x y x y

x y

(2 2)( 3)

ì + - - - =

í - =

ỵ f)

x y

2 11 5

2 12

ì + =

í + =

ỵ

ĐS:

a) x xy y y y

x y

2

2 12

1

ì - + = +

-í - + =

ỵ b)

x y x y

x y

2 6 2 0

8

ì + + + =

í + + = ỵ

c) x y xy x y

x y

2

9 42 40 135

3

ì + + + - + =

í - + =

ỵ d)

x xy x

x y 10 ì + + = í = -ỵ

d) x y xy x y

x y

2

7 12 5

2

ì + - + + + =

í - =

ỵ e)

x xy y x y

x y

2 3 2 3 6 0

2

ì - + + + - =

í - = ỵ

ĐS:

a)

x y x y

x y x y 2 ì + = ï í -ï - = ỵ

b) x y

x2 y2

1 1

3

1 1

4 ì - = ïï í ï - = ïỵ

c) x y

x y2

1 1

1

1 1

4 ( 1) ì + = ï + ï í ï - = ï + ỵ

d) x y x y

x y

2

( ) 4( ) 117

25

ì + + + - =

í - =

ỵ e)

x y x3 y3

1

ì - = í - =

ỵ f)

x y x y

x y

2

( )( ) 45

5

ì - - =

í + = ỵ

ĐS:

Bài 5. Giải biện luận hệ phương trình sau: a) x y

x2 y2 m

ì + =

í + =

ỵ b)

x y m x2 y2 2x

ì + =

í - + =

ỵ c)

x y

x2 y2 m

3

ì - =

í + =

ỵ

(6)

VẤN ĐỀ 2: Hệ đối xứng loại Bài 1. Giải hệ phương trình sau:

a) x xy y

x2 y2 xy x y 11

2( )

ì + + =

í + - - + =

-ỵ b)

x y x2 xy y2

4

13

ì + =

í + + =

ỵ c)

xy x y x2 y2 x y

5 ì + + = í + + + = ỵ d) x y y x x y 13 6 ì + = ï í ï + = ỵ

e) x x y y

x y xy

3 3 17

5

ì + + =

í + + =

ỵ f)

x x y y

x xy y

4 2

2 37481

ìï + + =

í

+ + =

ïỵ

ĐS: a) (2;3),(3;2) b) (1;3),(3;1) c) (1;2),(2;1) d) 12 8; , ;8 12

5 5

ổ ổ

ỗ ữ ỗ ÷

è ø è ø e) (1;2),(2;1) f) (4;3),(3;4),( 4; 3),( 3; 4)- - -Bài 2. Giải hệ phương trình sau:

a) x xy y x y y x2

1 ì + + = -í + = -ỵ b) x y

x x y y

2

4 25 13

ìï + = í

- + =

ïỵ c)

x y y x

x y

2

3 3530

ìï + =

í

+ = ïỵ

d) x y

x y x y

3

5 12

ìï + = í

+ = +

ïỵ e)

x y xy

x y x y

2

4 27 21

ìï + + = í

+ + =

ïỵ f)

x y xy

x2 y2 x y

11

3( ) 28

ì + + =

í + + + =

ỵ

ĐS: a) b) c) (2;3),(3;2)

d) e) f)

Bài 3. Giải hệ phương trình sau: a) x xy y

x xy y

2 4

2

ì + + =

í + + =

ỵ b)

x xy y x2 y2 xy

5 13

ì + - =

í + + =

ỵ c)

x xy y

x xy y

2 19

7

ì - + =

í + + = -ỵ

d) x y xy

x2 y2 x y

11

3( ) 28

ì + + =

í + + + =

ỵ e)

x xy y

x xy y

2 3

2

ì + + =

í + + =

-ỵ f)

x y xy x2 y2 xy

5

ì + + =

í + + =

ỵ

ĐS: a)(1;1) b) c)

d) e) f) (1;2),(2;1)

Bài 4. Giải hệ phương trình sau: a) x xy y

x x y y

2

4 2 47 21

ìï + + = í

+ + =

ïỵ b)

x y

x x y y

2

4 25 13

ìï + = í

- + =

ïỵ c)

x y

x y xy

4

2 17 3

ìï + = í

+ + =

ïỵ d) x y

xy x y

3 7

( )

ì + =

í + =

-ỵ e)

x y

x y xy

3 19

( )(8 )

ì + =

í + + =

ỵ f)

x y

x y x y

5

9 14

ìï + = í

+ = +

ïỵ

ĐS: a) b) c)

d) e) f)

a) x x y y

x x y y

2 18

( 1) ( 1) 72

ì + + + =

í + + =

ỵ b)

x x x y

x2 x y

( 2)(2 )

4

ì + + =

í + + =

ỵ c)

x y

x2 y2 1 ì + = ï í + = ïỵ d) x x y y x y x

y

3

( ) 2

ì - + = ïï í -ï = ïỵ e) x x y y x y x

y

9

( ) 20

ì + + = ïï í + ï = ïỵ f)

x y xy xy x y

11

6 11

ì + + = ï

í + + = ïỵ

ĐS: a)(3; 3),( 3;3),(2;3),(3,2),( 4; 3),( 3; 4),(2; 4),( 4;2)- - - b)

c) d) e) f) (2;3),(3;2)

(7)

a)

x y

xy

x y

x y

2

( )

1

( ) 49

ì ỉ

+ + =

ï ç ÷

ï è ø

í ỉ ư

ù + ỗ + ữ=

ù ố ứ

ỵ

b) ( )

y x x y

x y

x y

2

2 ( 1) ( 1)

1

1 24

ì + = +

ù ổ ử

ớ + ỗ + ữ=

ù ỗ ữ

ố ứ

ỵ

c) x y

x y

x y

2

1

1 4

ì

+ + + = ïï

í

ï + + + =

ïỵ

d)

x y

x y

xy

2

1

( )(1 )

ì

+ =

ïï + +

í

ï + + =

ïỵ

e) xyx y y xy xy x xy xy x y

2

1 4

ì + + + =

ï

í + + + =

ïỵ f)

xy xy x y

xy 4

1

( )

ì

+ =

ïï

í ỉ ư

ù + ỗ + ữ=

ù ố ứ

ỵ

ĐS: a) 5; , 1;7

2

æ ± ổ

-

-ỗ ữ ỗ ÷

è ø è ø b) c) (1;1)

d) e) f)

Bài 7. Giải hệ phương trình sau: a) xy x y

x y x y

2

2 4

3 ( )

7 ( ) 155

ìï - + =

í

- + =

ïỵ b)

x y y x x x y y

30 35

ìï + =

í

+ =

ïỵ

c) x y

x y xy

4

ìï + = í

+ - =

ïỵ d)

x y

x y

2

1

( )

1

( ) 49

ì ổ

+ + =

ù ỗ ữ

ï è ø

í ỉ ư

ï + ỗ + ữ=

ù ố ứ

ợ

e)

x y

y x xy

x xy y xy

7 1

78

ì

+ = +

ï í

ï + =

ỵ

f) x y

x y y x x y

1

1 1

ìï + + + = í

+ + + + + + + =

ïỵ

ĐS: a) b) (4;9),(9;4) c)

d) e) f)

Bài 8. Giải biện luận hệ phương trình sau: a) x y xy m

x2 y2 2m

ì + + =

í + =

-ỵ b)

x y m

x y xy2 m2 m

2

ì + = +

í + =

-ỵ c)

x y m

xy x y m

( 1)( 1)

( )

ì + + = +

í + =

(8)

VẤN ĐỀ 3: Hệ đối xứng loại Bài 1. Giải hệ phương trình sau:

a) x x y

y y x

2

2 33 22

ìï = + í

= +

ïỵ b)

x y x y

y x y x

2

2 22 22

ìï - = +

í

- = +

ïỵ c)

x y y

y x x

2

2 22 55 44

ìï - = +

í

- = +

ïỵ

d) xy x y

xy y x

2

2 8(8( 1)1)

ìï + = -í

+ =

-ïỵ e)

x x y

y y x

3

3 33 88

ìï = + í

= +

ïỵ f)

x x y

y y x

3 22

ìï = + í

= + ïỵ

ĐS: a) b) c)

d) e) f)

a) x x y

y y x

2

ìï - =

-í

- =

-ïỵ b)

x x y

y y x

2

2 22 44

ìï = + + í

= + +

ïỵ c)

x y y

y x x

2

ìï = - + í

= - +

ïỵ

d) xy x y

xy y x

2 11

ìï + = -í

+ =

-ïỵ e)

x x y

y y x

3 22

ìï + = í

+ =

ïỵ f)

x x y

y y x

3 3 4 ì + = + ï í ï + = + ỵ

ĐS: a) b) c)

d) e) (0;0) f)

a) y x y x x y x y 4 ì - = ïï í ï - = ïỵ b) x y x y x y 2 3 ì + = ïï í ï + = ïỵ c) x x y y y x 2 2 3 ì + = ï ï í + ï = ïỵ d) x y y y x x 2 2 ì = + ïï í ï = + ïỵ e) x y x y x y 3 ì + = ïï í ï + = ïỵ f)

ĐS: a) b) c) (1;1)

d) e)

a) x y

y x

2 4

ìï + + - =

í

+ + - =

ïỵ b)

x y

y x

1

ìï + + - = í + + - = ïỵ c) x y x y 2 2 ìï + - = í - + = ïỵ

d) x y

y x

6

ìï + - = í

+ - =

ïỵ e)

x y

5

2

ìï + + - = í - + + = ïỵ f) 2 2 91 91 ì + = - + ï í + = - + ïỵ

x y y

y x x

ĐS: a) (3;3), 11 11; 9

ổ

ỗ ữ

è ø b) (8;8) c)

d) e) f) (3;3)

Bài 5. Giải biện luận hệ phương trình sau: a) x x my

y y mx

2 33

ìï = + í

= +

ïỵ b)

x y m m

y x m m

2

(3 ) (3 ) (3 ) (3 )

ìï - =

-í

- =

-ïỵ c)

xy x m y

xy y m x

2

2 (( 1)1)

ìï + =

-í

+ =

(9)

a) x y m y

xy m x

2

ìï + = í

+ =

ïỵ b)

xy x m y

xy y m x

2

2 (( 1)1)

ìï + = -í + = -ïỵ c) m x y y m y x x 2 2 2 ì = + ïï í ï = + ïỵ

VẤN ĐỀ 4: Hệ đẳng cấp bậc hai Bài 1. Giải hệ phương trình sau:

a) x xy y

x xy y

2

3 13

ìï - + = -í

- + =

ïỵ b)

x xy y

x xy y

2

3 2

ìï - + = -í

+ + =

ïỵ c)

y xy

x xy y

2

2 34 42 1

ìï - = í

- + =

ïỵ

d) x xy y

x xy y

2

3 38

5 15

ìï + - =

í

- - =

ïỵ e)

x xy y

2

2 24 35 95

ìï - + =

í

- + =

ïỵ f)

x xy y

2

3

5

ìï - + =

í

- - =

ïỵ

ĐS: a) b) c)

d) e) f)

a) x xy y

x xy y

2

3 11

2 17

ìï + + =

í

+ + =

ïỵ b)

x xy y

2

3 5 37

5 15

ìï + - =

í

- - =

ïỵ c)

x xy y

x xy y

2

2 22

2

ìï - + =

í

- + =

ïỵ d) x xy y

x xy y

2

ìï - + = -í

+ + =

ïỵ e)

x xy y

x xy y

2

ìï + - = -í

- + =

ïỵ f)

x xy y

y xy x

2

3

9 11 13

ìï - - =

-í

+ - =

ïỵ

ĐS: a) b) c)

d) e) f)

Bài 3. Giải hệ phương trình sau: a) x y

xy x y

3 7

( )

ì - =

í - =

ỵ b)

y x

x y xy

3

2 72

2 16

ìï - = í

+ =

ïỵ c)

x y

x y xy y

3

2 2 12 2

ìï + = í

+ + =

ïỵ d) x xy y

x x y y

3

2

ìï - + = í

- + =

ïỵ e)

x x y xy y

y x y xy

3 2

ìï + + + =

í

+ - =

ïỵ f)

x y x y

2

( )( ) 13

( )( ) 25

ìï - + =

í

+ - =

ïỵ

ĐS: a) b) c)

d) e) f)

Bài 4. Giải biện luận hệ phương trình sau:

a) x mxy y m

x m xy my m

2

2 ( 1)

ìï + + =

í

+ - + =

ïỵ b)

xy y

x xy m

2

2 12 26

ìï - = í

- = +

ïỵ c)

x xy y m

y xy

2

2 34 4

ìï - + =

í

- =

(10)

Vấn đề 1: Phương pháp

Từ phương trình đơn giản hệ từ phương trình tích tìm cách rút ẩn theo ẩn kia, vào phương trình cịn lại Giải phương trình Số nghiệm hệ tuỳ thuộc số nghiệm phương trình

Một số dạng thường gặp:

·Dạng 1: Trong hệ có phương trình bậc với ẩn x (hoặc y)

·Dạng 2: Trong hệ có phương trình có thểđưa dạng tích biểu thức bậc nhất hai ẩn

· Dạng 3: Trong hệ có phương trình có thể đưa dạng phương trình bậc hai một ẩn với ẩn cịn lại tham số

Chú ý:Đơi ta phải kết hợp biến đổi phương trình hệđể đưa trong dạng

Bài 1. Giải hệ phương trình sau: ìï + + =í

+ + + =

ïỵ

x x y

x x y xy x

2

3

3 18

· HPT Û y x x

x x x x+

2

4 94 552 18 18 0

ìï = -í

+ - - =

ïỵ Û

y x x

x x x

2

9

1

ì = -ïïé =

íê = -ïê

ïë = - ± ỵ

Û

x y

1; 3; 15

1 7; 7;

é = =

ê = - = ê

= - - = +

ê

ê = - + = -ë

Bài tương tự:

a) x y xy x y

y x x

2

7

ìï + = +

í

+ = +

ïỵ Nghiệm

16 1 33

2; , ; , ;3

7

ỉ

ổ- - ổ - - ỗ ữ

ỗ ữ ỗ ữ ố ứ

ố ứ ố ø

Bài 2. Giải hệ phương trình sau: x y xy

x x y

2

3

2

ìï + - = í

= + ïỵ

· HPT Û x x x

y x x

6

3

4

2

ìï - + - =

í

=

-ïỵ Û

x y 11

ì = í = ỵ Nghiệm: (1;1),( 1; 1)- -

Bài 3. Giải hệ phương trình sau: x x y x y x

x xy x

4 2

2 22 6 6 (1)(2)

ìï + + = +

í

+ = +

ïỵ

· Từ (2), rút xy 6x x2

+

-= Thay vào (1) ta được: x x( +4)3=0 Û é =ê = -xx 04

ë Nghiệm: 4;17

4

ỉ

-ỗ ữ

ố ứ

(11)

Bài 4. Giải hệ phương trình sau: x xy y

y xy

2

2 32 5 11 (1)(2)

ìï - + = í

- =

ùợ

Ã D thy yạ0 T (2), rút x y y

2 5

2

-=

Thay vào (1) ta được: y y y y

y y

2

5 3 11

2

ỉ -

+ =

ỗ ữ

ố ø Û y y

4+24 2-25 0= Û y= ±1 Nghiệm: (2; 1),( 2;1)- -

Bài 5. Giải hệ phương trình sau: x y y x y

x y x y

2

2 ( ) (1)

( 1)( 2) (2)

ìï + + + = í

+ + - =

ùợ

Ã D thy y HPT Þ [4y y y x y x- ( + ) (] + - =2) yÛ [y- -(3 x)]2=0 Û y= -3 x Nghiệm: (1;2), ( 2;5)-

Bài 6. Giải hệ phương trình sau: x x y

x y x y

2

2 22 3 02 0 (1)(2)

ìï + + - = í

+ - + - =

ïỵ

· (1) Û (x+1)2 =y2 Û é = +ê = - -y xy x11

ë Nghiệm:

Bài 7. Giải hệ phương trình sau: x xy y

x x y xy

2

2 2 1 30 (1)(2)

ìï + + =

í

+ + = -ïỵ

· (1) Û (x y x+ )( +3 ) 0y = Û é = -ê = -xx 3yy

ë Nghiệm: (3; 1)-

Bài 8. Giải hệ phương trình sau: x xy y x y

x y

2

2 3 (1)

3 32 (2)

ìï + + + + - =

í

- + =

ïỵ

· (1)Û2(x y+ )2+3(x y+ - =) Û x yx y 12

é + = -ê

+ = ê ë Nghiệm:

Bài 9. Giải hệ phương trình sau: x x y x

x xy y

3

2 5 (1)(2)

ìï + = -

-í

+ + = ïỵ

· (1) Û x3+3x2+3x+ =1 y3 Û (x+1)3=y3 Û y x= +1 Nghiệm: (1;2),( 2; 1)- -

Bài 10.Giải hệ phương trình sau:

x xy

x y

x

x y

2

2 5 (1)

2

3 (2)

2

ì + +

= -ïï +

í

ï =

-ï + ỵ

· (1) Û x

x y

1

2

+ =

-+ Thay vào (2) ta được: x x

2

2 +5 - =3 Û xx 13 ((yy 2)1)

2

é = - = ê

= =

(12)

Nghiệm: ( 3;2), 1;

ổ

- ỗ - ữ

è ø

Bài 11.Giải hệ phương trình sau: x y

x xy

2

3

2( ) (1)

2 (2)

ìï + =

í

+ =

ùợ

Ã HPT ị (x x2+y2) 4+ xy2 =1Û +x 4xy2=1 Û xy2 (1 )x

= - (*)

Thay vào (2) ta được: 4x3-3x+ =1 Û xx 11

é = -ê

= ê ë

Nghiệm:

Bài 12.Giải hệ phương trình sau: x xy x y

x xy x y

2

2 2 (1)

3 (2)

ìï + - - + =

í

+ - + =

ïỵ

· Lấy (2) (1)- ta được: x2+(2y+1)x+4y- =2 Û é = -ê = -xx 12y

ë Nghiệm:

x y xy x

2

2 2(1 ) 23 1

ìï + =

í

+ =

-ïỵ

· HPT Û x x y

x y xy x

2 2

2 32 1 (1)(2)

ìï + =

í

+ =

-ïỵ

Lấy (1) (2)- ta được: x2-xy= -3 3x2 Û xy=4x2-3 Thay vào (1) ta được: 16x4-23x2+ =7 Û x

x 2

1 16

é = ê ê = ë

Nghiệm:

x y

y x

x y

2

1 2( ) (1)

2

1 (2)

2

ì

+ = +

ïï í

ï - =

-ïỵ

· Lấy (1) (2)± ta được:

x y

x

x y

y

2

2 3

1

ì

= +

ïï í

ï = +

ïỵ

Û x xy

y x y

3

3 33 1 (4)2 (3)

ìï + =

í

+ =

ïỵ

Lấy (3) 4± ta được: x y x y

3

( )

ìï + = í

- =

ïỵ Û

x y x y

33

ì + = í - = ỵ Nghiệm:

33 13 ;

2

æ + -

ỗ ữ

ố ứ

Bài 15.Giải hệ phương trình sau: x y xy

x y x

2

2 (1)

2 (2)

ìï + + =

í

+ = + ïỵ

· Lấy (1) (2)+ ta được: 3x2+(4y-7)x y+ 2-3y+ =2 Û xx 21 yy

é =

-ê

-= ê ë

(13)

Nghiệm:

Bài 16.Giải hệ phương trình sau: x xy y

x xy x y

2

2 2 7 35 9 0 (1)(2)

ìï + + = í

+ - - + =

ïỵ

· Lấy (1) (2)+ ta được: (2x y+ -3)(x y+ -2) 0= Û é = -ê = -yy 22 xx

ë

Nghiệm: (1;1),(2; 1)-

Bài 17.Giải hệ phương trình sau: x y x

y x y

4

1

2 3 (1)

4

2 3 (2)

4

ì + - = - + ï

í

ï + = -ỵ

· Lấy (1) (2)+ ta được: x4 2x3 x y4 2y3 y

+ - + + =

-Û (x2 x)2 (x2 x) (y2 y)2 (y2 y)

4

+ - + + + + - + + =

Û x x y y

2

2 0

2

æ ö æ ö

+ - + + - =

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ Û

x y

1

2

1

2

ì -= ïï í

- + ï = ïỵ Nghiệm: 1;

2

æ- - - +

ỗ ữ

ố ứ

x xy z

y yz x

z xz y

2

4 12 (1)

4 12 (2)

16 (3)

ì - + + =

ï

í - + - =

ï - + =

ỵ

· Lấy (1) (2) (3)+ + ta được: (x-2 )y 2+(4z x- )2+ -(y )z 2=0 Û xx yz

y z

2

ì = ï = í ï = ỵ Thay vào HPT ta được: z2 =1 Þ z= ±1

Nghiệm: (4;2;1),( 4; 2; 1)- - -

x y x y

3

2 235 (1)

2 (2)

ìï - = í

+ =

-ïỵ

· Lấy (1) (2)- ´ , ta (x-2)3= +(3 y)3 Þ x y= +5 Nghiệm: (3; 2),(2; 3)- -

x y x y

3

2 2 4 (1)(2)

ìï + = í

+ = +

ïỵ

· Lấy (1) (2)- ´ , ta (x-1)3 =(2-y)3 Þ x= -3 y Nghiệm: (2;1),(1;2)

x y x y

3

2 291 (1)

4 16 (2)

ìï + = í

+ = +

ïỵ

(14)

Bài 22.Giải hệ phương trình sau: xy x y

x2 y2 x y

3 16 (1)

2 33 (2)

ì - - =

í + - - =

ỵ

· Lấy 2 (1) (2)´ + , ta (x y+ )2-8(x y+ -) 65 0= Û (x y+ +5)(x y+ -13) 0= Û é + + =ê + - =x yx y 13 05

ë Nghiệm:

x2 y2 x y

2 (1)

4 12 (2)

ì + + =

-í + + + =

ỵ

· Lấy 2 (1) (2)´ + , ta (x+2 )y 2+10(x+2 ) 0y + = Û é +ê + = -xx 22yy= -19

ë Nghiệm:

Bài 24.Giải hệ phương trình sau: x xy y y

x xy y x y

2

2 2 2 23 114 06 2 0 (1)(2)

ìï + - + + = í

+ - + + - =

ïỵ

· Lấy 2 (1) (2)´ - , ta x2-11x+10 0= Û é =ê =xx 110

ë

Nghiệm:

x x y x

2

1 (1)

5 57

4 (3 1) (2)

25

ì

+ =

ï í

ï + - = - +

ỵ

· Lấy (1) 25 (2) 50´ + ´ , ta 25(3x y+ )2+50(3x y+ -) 119 0= Û x y

x y

5 17

5

é

+ = ê

ê

ê + = -ë

Nghiệm: 1; , 11 2; 5 25 25

ổ ổ

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ

Bài 26.Giải hệ phương trình sau: x xy

x xy y y x

3

2 38 2498 17 (1)(2)

ìï + = -í

- + =

-ïỵ

· Lấy (1) (2)+ ´ ta được: (x+1) (éë x+1)2+3(y-4)2ûù=0 Û é = -ê = -xx 11,y=4

ë

Nghiệm: ( 1;4),( 1; 4)- - -

Bài 27.Giải hệ phương trình sau: x y y

x y xy x y

2

6 35 (1)

5 5 13 (2)

ìï + + =

í

+ + + + =

ïỵ

· Lấy (1) (2)+ ´ ta được: y x y

2

1

(2 5)

2

é ỉ ư ỉ ư ù

ê ú

+ ỗ + ữ +ỗ + ữ =

ờ ố ø è ø ú

ë û Û

y

x y

5

1,

2

é = -ê ê

ê = - = -ë

Nghiệm: 1; , 1;

2 2

æ - ổ- -

ỗ ữ ỗ ữ

è ø è ø

Bài 28.Giải hệ phương trình sau: x xy y x

y xy y

2

2 32 1 03 (1)(2)

ìï + + + =

í

+ + + =

(15)

· Lấy (1) (2)+ ´ ta được: (x+2 )y 2+3(x+2 ) 0y + = Û é +ê + + =xx 22yy+ =1 02 0

ë

Nghiệm: ( 2;1- - + 2),( 2;1- + - 2), 5;1 , 5;1

2

ỉ - ỉ +

- +

-ỗ ữ ỗ ữ

ố ø è ø

x y x y x y

4

3 2 2403( 4 ) 4(2 8 ) (1)(2)

ìï - = í

- = - -

-ïỵ

· Lấy (1) (2)- ´ ta được: (x-2)2=(y-4)4 Û é = -ê = -x yx 6 y2

ë

Nghiệm: (4;2),( 4; 2)- -

y x y y x

2

4 34(2 93) 48 48 155 0 (1)(2)

ìï + = í

+ - - - + =

ïỵ

· Lấy 16 (1) (2)´ + ta được: ëéy2+2(2x-3)ûù2 =25 Nghiệm:

Bài 31.Giải hệ phương trình sau: x x y

y xy

3

2 (1)

6 (2)

ìï + =

í

+ =

ïỵ

· Lấy 4 (1) (2)´ + ta được: 8x3+12x y2 +6xy2+y3=27 Û (2x y+ )3 =27Û 2x y+ =3 Nghiệm: (1;1), 105 7; 105 , 105 7; 105

8

ỉ - + ỉ + -

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ

x y x y

3

2 2 4 0 (2)(1)

ìï - = í

+ - + =

ïỵ

· Lấy (1) (2)- ´ ta được: (x-1)3=(y+2)3 Û x y= +3 Nghiệm: (2; 1),(1; 2)- -

Bài 33.Giải hệ phương trình sau: x y xy x y

3

2

3( ) (1)

9 (2)

ìï - =

í = ïỵ

· Từ (2): x y2 2= Û9 xy= ±3

· Khi: xy=3, ta có: x3-y3=4 x3.( )-y3 = -27

Suy ra: x3;(-y3) nghiệm phương trình: X2-4X-27 0= Û X= ±2 31 Vậy nghiệm Hệ PT x=32+ 31,y= -32- 31

hoặc x=32- 31,y= -32+ 31 · Khi: xy= -3, ta có: x3-y3= -4 x3.( )-y3 =27

Suy ra: x3;(-y3) nghiệm phương trình: X2+4X+27 0= (PTVN) Bài 34.Giải hệ phương trình sau: x x y y

y x3

1 1 (1)

2 (2)

ì

= -ï

í

ï = +

ỵ

(A - 2003)

·Điều kiện: xy ¹ Ta có: (1) Û x y x yxy xy

1

( - ) 1ổỗ + ửữ= ộ =ê 1

= -ë

(16)

Trường hợp 1:

x y

x y x y x y

x x x x x

x y

3

1

2

2 ( 1)( 1)

1

2

é = = ê

ì = Ûì = Ûê = = - +

í = + í - + - = ê

ỵ ỵ

ê

-= -= ê

ë

Trường hợp 2: xy y x y x

y x x x x VN

x

3 3

4

1 1

1

2

2 1 2 ( )

ì ì

= -ï

ì = - Ûï Ûï =

-í = + í í

ỵ ï- = + ïỵ + + =

ïỵ

Nghiệm (1;1), 1; , 1; 5;

2 2

ỉ- - - - ỉ- + - +

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ

Bài 35.Giải hệ phương trình sau: x y x y x x

xy x x

2

( 1)( 1) (1)

1 (2)

ìï + + + = - +

í

+ + = ïỵ

· Dễ thấy x=0 không thoả mãn (2) nên (2) Û y x x

2 1

1

-+ = , thay vào (1) ta được:

x x

x x x x

x x

2

2. -1ỗổ + -1ửữ=3 2-4 +1

è ø Û x x x x

3

( -1)(2 +2 -4 ) 0= Û x=1;x= -2

Þ Hệ có nghiệm: (1; 1), 2;

ổ

- ỗố- - ữứ

Bài 36.Giải hệ phương trình sau: y x x

y x xy x y

2

2 5(52 4)(44 16) 8 16 0 (1)(2)

ìï = +

-í

- - + - + =

ùợ

Ã T (1) ị y2= -5x2+16x+16

Thay vào (2) ta được: 2y2-4xy-8y=0 Û é =ê = +yy 20x 4

ë

· Với y = Þ -5x2+16x+16 0= Û x x

4

é = -ê ê = ë

· Với y=2x+4 Þ (2x+4)2 = -5x2+16x+16Û x = Þ y = Kết luận: Nghiệm (x; y): (0;4), (4;0), 4;0

5

ỉ

-ỗ ữ

ố ứ Bi 37.Gii hệ phương trình sau: xy x y

x y2 xy y2

7 (1)

13 (2)

ì + - =

-í + - =

-ợ

Ã T (1) ị xy+ =1 7y x- Thay vào (2) ta được: x2-15xy+36y2=0 Û é =ê =xx 123yy

ë Nghiệm: (3;1), 1;1

3

ổ ỗ ữ ố ứ

Bài 38.Giải hệ phương trình sau: xy x y x y2 y2

7 (1)

10 (2)

ì = + +

í =

-ợ

Ã T (1) ị x y y

1

+ =

- Thay vào (2) ta được:

y y y

y

2

7 10 1

1

ỉ +

=

-ỗ - ữ

(17)

39y4+34y3-8y2-2y+ =1 Û yy (1 ( 1)xx 3)

3

é = - = ê

= - = ê

ë Nghiệm: (3; 1), 1;

3

ổ

- ỗ - ữ ố ø

Bài 39.Giải hệ phương trình sau: y xy

x y x y

2

2 02 2 1 0 (1)(2)

ìï - + = í

+ + + + =

ïỵ

· Từ (1) Û y2+ =1 xy Thay vào (2) ta được: (x+2)(x y+ ) 0= Û é = -ê = -xx 2y

ë Nghiệm: ( 2; 1)- -

Bài 40.Giải hệ phương trình sau: x x y y

x y x y

4 2

2 2 22 06 (1)(2)

ìï - + - + =

í

+ + - =

ïỵ

· Từ (2) Þ y x x

2 22

2

-=

+ Thay vào (1) ta được:

x

x x

x

2

4

2 22

4

2

æ -

- +ỗỗ - ữữ = +

è ø Û

x x x

x

2

16( 4)

( 4)

( 2)

+ =

+

Û (x2-4)(x6+4x4+20x2-64) 0= Û

x y

2 ( 3)

2 ( 5)

é = - =

ê = =

ê

= - =

ê

ê = =

ë

Bài 41.Giải hệ phương trình sau: x y xy y

x xy y x y

2

3 2 22 (1)

2 3 (2)

ìï + = +

í

+ = +

ïỵ

· Với y=0 Þ x=0 nghiệm hệ

Với y¹0, nhân (1) với -y cộng với (2), ta được: 2x3-4x y2 +4xy2-2y3=0 Û x y= Nghiệm: (1;1),(0;0)

x y

2

( 1) 6( 1) 20 (1)

(2 1) (2)

ìï - + - + =

í

+ + =

ïỵ

· HPT Û

x y

x

x2 y2 y

9

4

ì +

= ï

-í

ï + =

-ỵ

Nghiệm: ( 1; 1)- -

x y

x

x y

y x

y

x y

2

3 3 (1)

3 0 (2)

ì + + =

ïï +

í

-ï - =

ï +

ỵ

· + Với x=0 Þ y=1 Þ (0;1) nghiệm HPT + Với y=0 không thoả HPT

+ Với x¹0,y¹0 ta có: (1) Û xy xy y y

x y

2

3 3

+

+ =

(18)

(2) Û xy xy x

x y

2

3 0

=

+ (4)

Lấy (3) (4)+ ta được: 2xy+ =3 3y Û x y y

3

2

æ -

= ỗ ữ

ố ứ

Nghiệm:

Bài 44.Giải hệ phương trình sau: x xy y x

x x y y

6

3

1

8 (1)

2

4 (2)

ì

- =

-ï í

ï - =

ỵ

· (1) Û y x x x

6

8

2

+ =

+ ; (2) Û

x y

x

4

= + Từđó: x x x

x x

6

2

8

2 4 1

+ =

+ + Þ x x x x x

3(64 6+16 4+23 2-2 +6) 0= Þ x=0(y=0) Nghiệm: (0;0)

x x y x y

x

2

( 1)

5

( )

ì + + - = ï

í + - + =

ïỵ (D – 2009)

· Vì x ¹ nên HPT Û

x y x x y

x

2

( )

ì

+ = -ïï

í

ï + - + =

ïỵ

Û x y x

x x2

3 6 0

ì

+ = -ïï

í

ï - + = ïỵ

Û x x

x y x y

1

1 2

1

2

ì

ì ï =

ï = Ú ï

í í

ï + = ï + =

ỵ ïỵ

Nghiệm: (1;1), 2;

ổ

-ỗ ữ

ố ø

Bài 46.Giải hệ phương trình sau: x x y y

x y

3

2

8

3 3( 1)

ì - = + ï

í

- = +

ïỵ (DB A – 2006)

· Hệ PT Û x y x y

x y

3

2

3( ) 6(4 ) (1)

3 (2)

ìï - = +

í

- =

ïỵ

Thế (2) vào (1) ta được: 3(x3-y3) (= x2-3 )(4y2 x y+ ) Û x3+x y2 -12xy2 =0

Û

x

x y

0

é = ê = ê = -ë

Nghiệm (x; y): (3;1), ( 3; 1), ; , ;

13 13 13 13

ổ ổ

- - ỗ- ữ ỗ - ÷

è ø è ø

Bài 47.Giải hệ phương trình sau: x y xy x y

3 7

( )

ì - =

í - =

ỵ

· Hệ PT Û x y xy x y

3

2( ) 14 (1)

( ) (2)

ì - =

í - =

(19)

Thay (2) vào (1) ta được: (x y- )(2x2-5xy+2 ) 0y2 = Û x yx y y 22x

é = ê = ê = ë

Nghiệm: (2;1),( 1; 2)- -

Bài 48.Giải hệ phương trình sau: x y x y xy

x xy y

3

2

2 ( )(2 3) (1)

3 (2)

ìï - = - +

í

- + =

ïỵ

· Thay (2) vào (1) ta được: 2x3-9y3=x3-y3 Û x=2y Nghiệm: (2;1),( 2; 1)- -

Bài 49.Giải hệ phương trình sau: x y y x

y x

3

24 162 (1)

1 5(1 ) (2)

ìï + = + í

+ = +

ïỵ

· Từ (2) suy y2–5x2 =4 (3) Thế vào (1) được:

(y )

x3+ 2–5x y y2 . = 3+16x Û x3–5x y2 –16 x=0 x

x2 xy

5 16

é =

ê - - =

ë

· Với x=0 Þ y2 =4 Û y= ±2 · Với x2–5 –16 0xy = Û y x

x

2 16

5

-= (4) Thế vào (3) được:

x x

x 2

2

16 5 4

5

ỉ -

- =

ỗ ữ

ố ứ x432x2+256 125x4=100x2

Û124 x4+132 –256 0x2 = Û x2 =1Û x y x (1 (y 3)3) é

êë == - = -=

Vậy hệ có nghiệm: (x; y) = (0; 2) ; (0; –2); (1; –3); (–1; 3)

Bài 50.Giải hệ phương trình sau: x y x y x x y

x x y

2

(2 )( ) (2 1) (1)

(4 1) (2)

ì + + + + =

-í + =

-ỵ

· Thế 4= x2+ +x 3y ở (2) vào (1) ta được: (2x2+y x y)( + ) 2= x2+y Û y x

y x

2

é = ê = -ë Nghiệm: 17 3; 17 , 17 3; 17

4 4

æ - + ổ + -

ỗ ữ ỗ ÷

è ø è ø

Bài 51.Giải hệ phương trình sau: x y x y x y x

x y y x

3 2

2 ( ) (1)

3 8 (2)

ìï + = + + + +

í

+ + + =

ïỵ

· Ta có: (2) Û 8= x-3x2-y2-8y

Thay vào (1) ta được: (x y x- )( 2+2x-15) 0= Û x yx x 35

é = ê = ê = -ë

Nghiệm: (3; 1),(3; 7)- -

x y x y

3

4 (1)

4 (2)

ìï + - = í

+ - - =

ïỵ

(20)

Û xy y(3 2-4xy x+ 2) 0= Û

x y x y

x y

0

é = ê = ê = ê

= êë

Nghiệm: (0;1),(1;0),(1;1), 33 ;31 25 25

ổ

ỗ ÷

è ø

Bài 53.Giải hệ phương trình sau: y x

2x y y x

2

3

2 (1)

2 (2)

ìï - = í

- =

-ïỵ

· Thay (1) vào (2) ta được: x3 y3 y x y2 x2

2 - =(2 - )(2 - ) Û x3+2x y2 +2xy2-5y3=0 (3) Dễ thấy y¹0 Đặt t x

y

= , ta có (3) Û t3+2t2+ - =2 0t Û t=1 Þ x y= Nghiệm: (1;1),( 1; 1)- -

x y xy y

3

2 2 12 2 (2)(1)

ìï + = í

+ + =

ïỵ

· Thay (1) vào (2) ta được:

x y2 +2xy2+y3=2(x3+y3) Û 2x3-x y2 -2xy2+y3=0 (3) Dễ thấy y¹0 Đặt t x

y

= , ta có (3) Û 2t3- - + =t2 0t Û tt t

1 1

é = ê = -ê ê = ë

Þ x yx y x y

é = ê = -ê = ë

Nghiệm: 31 ;31 , 31 ;32 9 2

ổ ổ

ỗ ữ ç ÷

è ø è ø

x y xy

3

5 (30 32)

ìï + + + =

í

+ + =

ïỵ

· HPT Û x y xy x y

x y xy

3

5 (6.5 32) (1)(2)

ìï + + + =

í

+ + =

ïỵ Thay (1) vào (2) ta được:

x5+y5+5éëx3+y3+2 (xy x y xy+ )ùû =32 Û(x y+ )5 =32 Û x y+ =2 Nghiệm:

Bài 56.Giải hệ phương trình sau: x x y x3 y3 y

( )

18 27

ì + =

í + + =

ỵ

· HPT Û x x y

x3 y3 y

( ) (1)

6.3 27 (2)

ì + =

í + + =

ỵ Thay (1) vào (2) ta được:

x3+y3+3 (xy x y+ ) 27= Û(x y+ )3=27 Û x y+ =3 Nghiệm:

x y xy x y

2

3 2 2 (1)(2)

ìï + = í

+ + = +

ïỵ

(21)

Bài 58.Giải hệ phương trình sau: x xy y

y x

3

2 2 12 (1)

8 12 (2)

ìï + + =

í

+ =

ïỵ

· Thay (2) vào (1) ta được: x3+2xy2+(8y2+x y2) =0 Û x3+x y2 +2xy2+8y3=0 (3) Dễ thấy y=0 không thoả HPT

Với y¹0, đặt t x y

= ta được: (3) Û t3+ + + =t2 0t Û t= -2 Þ x= -2y Nghiệm: (2; 1),( 2;1)- -

Bài 59.Giải hệ phương trình sau: x y xy x

2

2 (1)

2 (2)

ìï - = í

+ =

ïỵ

· Thay (1) vào (2) ta được: xy x+ =2(2x2-y2) Û 3x2-2y2-xy=0 (3) Dễ thấy x=0 khơng thoả HPT

Với x¹0, đặt t y x

= ta được: (3) Û 2t2+ - =t Û tt

é = ê

= -ê ë

Þ y xy 3x

é = ê

= -ê ë Nghiệm: ( 1; 1),(1;1)- -

x y

xy

x y

xy

2

1

( ) (1)

1

( ) 18 (2)

ì ỉ

+ + =

ù ỗ ữ

ù ố ứ

í

ỉ

ï + + =

ỗ ữ

ù ố ứ

ợ

· Bình phương (1) chia vế theo vế, x y

x y

2

( + ) =2

+ Û x y xy

2+ 2-2 =0 Û x y=

Nghiệm:

xy x y x y

x y

xy

2

(2 6)

1

( )

ì + - + + =

ï

ỉ

í + + =

ỗ ữ

ù ố ứ

ợ

Ãiu kin: xyạ0 HPT x y xy xy x2 y2 xy x y2

(2 )( 1) (1)

( )(1 ) (2)

ì + + =

í + + =

ỵ

Bình phương (1) chia vế theo vế, x y

x y

2

(2 )

2

+ =

+ Û

x y

x y7

é = ê =

ë

Nghiệm:

x y xy x y

4

2

698 (1)

81

3 4 (2)

ì

+ = ï

í

ï + + - - + =

ỵ

· Ta có: (2) Û x2+ -(y 3)x+ -(y 2)2=0 Để PT có nghiệm x ta phải có: D=(y-3)2-4(y-2)2³0 Û1 y

3

£ £ (3) Mặt khác (2) Û y2+(x-4)y x+ 2-3x+ =4 0

(22)

D=(x-4)2-4(x2-3x+4) 0³ Û x

£ £ (4)

Từ (3) (4) ta có: x4 y2 256 49 697 698

81 81 81

+ £ + = < Þ khơng thoả (1) Vậy: HPT cho vô nghiệm

Bài 63.Giải hệ phương trình sau: xy y

xy x

2

ìï = -í

= + ïỵ

· Nếu xy ³ HPT Û xy y

xy x

2 (1)

2 (2)

ìï = -í

= + ùợ

T (2) ị x 0, x2 ³2 y x x

2 2+

=

Thay vào (1) ta được: x x x

2

2+ - = - ỗ4 ổ + ửữ

ố ứ Û x x

2

( -2)( - =1) Û x= ± Þ Hệ có nghiệm (x; y) là: ( 2; ,) (- 2;- 8)

· Nếu xy < x2<2

HPT Û xy y

xy x

2

4

2

ìï = -í

= +

ùợ ị

x x

x 2

2

4 2- - = - ỗ8 ổ + ửữ

ố ứ x

2

2(2- ) 0= Û x2 =2 (loại) Kết luận: Nghiệm (x; y) hệ: ( 2; ,) (- 2;- 8)

Bài 64.Giải hệ phương trình sau: x x x y y y

x y (1)(2)

ì - = +

í - = ỵ

·Điều kiện ì >í >xy 00

ỵ (1) Û x x( - =1) y y( +8) Û x x y y

2

( -1) = ( +8) (3) Thay (2) vào (3) ta được: 3y2+8y-80 0= Û y=4 (x=9) (vì y > 0)

Nghiệm: (9;4)

Bài 65.Giải hệ phương trình sau: x x y y x y

x 3y

ì - = +

í

- = ỵ

·Điều kiện: ì >í >xy 00

ỵ HPT Û ( ) ( )

x x y y x y

x y

3 (1)

3 (2)

ìï - = +

í

- = ïỵ

Thay (2) vào (1) ta được: 3(x x y y- )=(x-3 ) 4y ( x + y)

Û x( x -3 y)( x+4 y)=0 Û x =3 y Nghiệm: (9;1)

Bài 66.Giải hệ phương trình sau: x x y y xy

x y

2

ìï + =

í

+ =

ïỵ

·Điều kiện: x y 00

ì ³ í ³

ỵ HPT Û

x y xy x y xy

x y

3

( ) ( )

2

ìï + - + =

í

+ =

ïỵ Û

xy

x y

1

ìï = í

+ =

(23)

x y

2 2 8 2 (1)

4 (2)

ìï + + =

í

+ =

ïỵ

· (1) Û 2x2+2y2 =16 2- xy Û 2x2+2y2 =( x+ y)2-2 xy

Û 2x2+2y2 = +x y Û 2x2+2y2=(x y+ )2 Û (x y- )2=0 Û x y= Nghiệm: (4;4)

2

1 18 (1)

1 (2)

ì + + + + + + + + + =

ï í

+ + + - + + + + - =

ïỵ

x x y x y x y y

· Lấy (1) (2)- ta được: x y+ =8 Nghiệm: (4;4)

2

3 (1)

1 (2)

ì + - =

ï í

+ + + =

ïỵ

x y xy

x y

· (2) Û x2+y2+2 (x2+1).(y2+ =1) 14Ûxy+2 ( )xy 2+xy+ =4 11 (3)

Đặt xy = p p p p p p

p

p p

2

3 11

(3) 11 35

3 26 105

3

é =

ì £ ê

Û + + = - Ûí + - = Ûê =

-ỵ ë

(1) Û (x y+ )2 =3xy+3 · p = xy = 35

- (loại) · p = xy = Þ x y+ = ±2 3 1/ Với xy x y

x y

3 3

2

ì = Þ = =

í + =

ỵ 2/ Với

xy x y

x y

3 3

2

ì = Þ = =

-í + = -ỵ

Vậy hệ có hai nghiệm là: ( 3; ,) (- 3;- 3)

Bài 70.Giải hệ phương trình sau: x y x y

x y

3

2 (1)

6 (2)

ìï + = -

-í

+ + - =

ïỵ

·Đặt t= 2x y t+ , ( ³0) (1) Û t2+ - =2 0t Û t=1 Û 2x y+ =1 Thay vào (2) ta được: 3 x+ +6 2x =4 (4) Đặt u x v

v x

3

6 ( 0)

ìï = + ³

í =

ïỵ

Khi đó: u v u3 v2

4 (4)

2 12

ì + =

Û í - =

ỵ Û

u v 22

ì = í =

ợ ị

x y 23

ỡ = í =

-ỵ

Nghiệm: (2; 3)-

x x y y

y

x x y x y

6 3 (1)

2 3 (2)

ì

- = - +

ï í

ï + - = +

-ợ

Ãiu kin yạ0 t t x y y

-=

Ta có: (1) Û x y x y y y2

3

2 - - - - =3 0Û 2t2- - =t Û tt 31

é = -ê

= ê ë

Þ x y y

x y y

3

2

é = -ê

ê - =

(24)

+ Với 3x y- = -y Þ y£0 Thay vào (2) ta được: x y y

y x y

2

ì - =

í = +

-ỵ Û

x y 44

ì = í = ỵ + Với 3x y 3y

2

- = Þ y³0 Thay vào (2) ta được: x y y

x y x y

2

4

2 6

ì - = ï

í

ï + = +

-ỵ

Û x y

9

= = Nghiệm: (4;4), 8;

9

ỉ

ỗ ữ

ố ứ

Bi 72.Gii h phương trình sau: x y xy x y xy

x y

2

8 18 36 5(2 ) (1)

2 30 (2)

ìï + + - + =

í

+ =

ïỵ

·Điều kiện: xy³0 Dễ thấy x¹0,y¹0 (1) Û x y x y

xy xy

2

2 3

2

6

æ + - + + =

ỗ ữ

ố ứ (3)

t t x y

xy

6

+

= (3) Û 2t2- + =5 0t Û tt 21

é = ê

= ê ë + Với t=2 Þ x y

xy

2 2

6

+

= Þ 2x=3y Thay vào (2) ta được: x=3 Þ y=2 + Với t

2

= Þ x y

xy

2

+ = Þ

vơ nghiệm Nghiệm: (3;2)

Bài 73.Giải hệ phương trình sau: x x y xy y

x y x y

3 6 9 4 0 (1)

2 (2)

ìï - + - =

í

- + + =

ïỵ

· Ta có: (1) Û (x y x- ) (2 -4 ) 0y = Û x y x 4y

é = ê = ë + Với x = y: (2) Þ x = y =

+ Với x = 4y: (2) Þ x=32 15;- y= -8 15

Bài 74.Giải hệ phương trình sau: xy x y x y

x y y x x y

2 2 (1)

2 2 (2)

ìï + + = -í

- - =

-ïỵ

·Điều kiện: ì ³í ³xy 10

ỵ Ta có: (1) Û x y y x y

2

( + )( + =1) - Û (x y+ )(2y x- + =1)

Û 2y x- + =1

Thay vào (2) ta được: (y+1) 2y =2y+2 Û y=2 (vì y³0) Þ x=5 Nghiệm: (2;5)

x y

2 (1)

1 (2)

ìï - - = í

- + - =

ïỵ

·Điều kiện: x y

1

ì ³ ï í ³

(25)

Thay vào (2) ta được: 4y- =1 1Û y

= Þ x=2 Nghiệm: 2;1

2

ổ ỗ ữ ố ứ

Bi tương tự:

a) x y xy

x y

2

1 1

ìï - - = í

- - - =

ïỵ Nghiệm:

1

2; , 10;

2

ỉ ỉ

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ

xy

x y

x y

x y x y

2

2 1 (1)

(2)

ì

+ + =

ï +

í

ï + =

-ỵ

·Điều kiện: x y+ >0 (1) Û x y xy

x y

2

( + ) 2- - ổỗ1- ửữ=0

+

è ø Û x y x y x y

2

( + -1)( + + + ) 0= Û x y+ - =1 0 (vì x y+ >0 nên x2+y2+ + >x y 0)

Thay x= -1 y vào (2) ta được: 1=x2- -(1 x) Û x2+ - =x Û x y x (2 (y 0)3)

é = =

ê = - = ë

Vậy hệ có nghiệm: (1; 0), (–2; 3)

Bài 77.Giải hệ phương trình sau: ( )

2

3 (1)

2 (2)

ì - =

ï í

- = ïỵ

x y xy x y

·Điều kiện : x y ³0 ;x y³

Ta có: (1) Û 3(x y- )2=4xy Û (3x y x- )( -3 ) 0y = x 3y hay x y

Û = =

· Với x=3y, vào (2) ta : y2-6y+ = Û =8 y ;y=4 Þ Hệ có nghiệm íìyx=26; ìíyx=124

= =

ỵ î

· Với x y

= , vào (2) ta : 3y2-2y+24 0= Vô nghiệm Kết luận: hệ phương trình có nghiệm là: x x

y 26; y 124

ì = ì = í = í =

ỵ î

x y y x x y

2 2 (1)

2 2 (2)

ìï + + = -í

- - =

-ïỵ

· Điều kiện x ³ 1, y ³ Þ x + y >

(1) Û (x y x+ )( -2y- =1) Û x=2y+1 (3)

Thay (3) vào (2) ta được: (2y+1) 2y y- 2y =2(2y+ -1) 2y Û (y+1) 2( y-2)=0 Û y = Þ x =

Nghiệm: (5;2)

xy

x y

x y

x y x y x

2

3

8 16 (1)

3 (2)

ì

+ + =

ï +

í

ï + - + + =

-ỵ

(26)

Từ (1) Û x y xy

x y

2

( + ) 16 2- - ổỗ1- ửữ=0

+

ố ứ x y x y x y

2

( + -4)éë + +4( + )ùû=0 Û x y+ - =4 Û x y+ =4

Thay vào (2) ta được: 32x+ = -7 2x Û 2x3-9x2+14x- =5 Û x y

2

ổ

= ỗ = ữ

ố ø

Nghiệm: 7; 2

æ

ỗ ữ

ố ứ

Bi 80.Giải hệ phương trình sau: x y x y

x y x y

3 (1)

2 (2)

ì - =

-ï í

+ = + +

ïỵ (B - 2002)

·Điều kiện: ì - ³í + ³x yx y (3)0

ỵ (1) Û ( )

x y

x y x y x y

3 1 0

1

é =

- - - = Û ê = +

ë

Thay vào (2) ta được: x y

x y

1 3,

2

é = = ê

= =

ê ë

Nghiệm: (1;1), 1;

2

ổ

ỗ ữ

ố ứ

x y y x x y

2 2 (1)

2 2 (2)

ìï + + = -í

- - =

-ïỵ

·Điều kiện: x³1,y³0 (1) Û (x y x+ )( -2y- =1) Û x-2y- =1 Û x=2y+1 Thay vào (2) ta được: (y+1)( 2y-2) 0= Û 2y- =2 Û y=2 Þ x=5

Nghiệm: (5;2)

Bài 82.Giải hệ phương trình sau: yx xy x y xy

2 3

3

ì

ï + =

í

ï - + = ỵ

·Điều kiện: ì >í >xy 00

ỵ HPT Û

x y

y x

x y xy

2 5

3

ì + =

ï í

ï - + = ỵ

Û ì -í - + =(x y xyx )(2y x y-3 ) 0=

ỵ Nghiệm: (2;1),( 1; 2), 3; , 3;3

2

ỉ ỉ

- - ỗ- - ữ ỗ ữ ố ứ è ø

Bài 83.Giải hệ phương trình sau: x y xy x2 y2

2( ) (1)

3 (2)

ìï - =

í

- = ïỵ

·Điều kiện: x y³ Khi (1) Û 2x2-5xy+2y2 =0 Û é =ê =xy 22yx

ë

Nghiệm: (2;1)

Bài 84.Giải hệ phương trình sau: x y y x

y x x2

2 3 (1)

1 (2)

ì + + - = +

ï í

- - - + - =

ïỵ

· (1) Û x+3y+ =2 x+ +2 y Û 4(x+3y+2)= + +x 9y+6 (y x+2)

(27)

x+ -1 4- + -x x2=0 Û x x

x x

1

( 3)

1

ổ

- ỗ + - - ÷=

+ + - +

è ø

Û x=3 Þ y=5

Ta cần chứng minh PT: x

x x

1 3

1 2+ 1= +

+ + - + (*) vô nghiệm đoạn [-1;4] Thật vậy:

x x

1 1; 1

2

1 2£ 1£

+ + - + Þ x x

1

2 2+ 1£

+ + - +

Mà: x+ ³3 2 nên (*) vô nghiệm Kết luận: Nghiệm (3;5)

x x y y

y y

x

2

( 1)( 1) (1)

35 (2)

12

ì + + + + =

ï

í + + =

ï

-ỵ

· Chú ý: ( x2+ +1 x)( x2+ -1 x) 1= , ( y2+ +1 y)( y2+ -1 y) 1= Từ (1) Þ x x y y

x x y y

2

1 (3)

1 (4)

ìï + + = +

-í

+ - = + +

ïỵ Lấy (3) (4)- ta được: x= -y Nghiệm: 5; , 5;

3 4

ỉ ỉ

- ỗ - ữ

ỗ ữ ố ø

è ø

y x

7 11 (1)

7 11 (2)

ìï + + - = í

+ + - =

ïỵ

· Lấy (1) (2)- ta được: 7+ -x 7- +y 11- -y 11- =x

Û x y x y

x y x y

7 11 11

- + - =

+ + + - + - Û x y- =0

Nghiệm: (2;2)

a) x y

y x

2

ìï + - = í

+ - =

ïỵ Nghiệm: (0;0),(2;2) b)

x y

y x

1

ìï + + - = í

+ + - =

ïỵ Nghiệm: (3;3).

Bài 87.Giải hệ phương trình sau: ( x y x )x y

x y x x

2

3 (1)

3 (2)

ìï + + + =

-í

ï + + = +

ỵ

·Để ý rằng: ( x2+ +y x2+3)( x2+ -y x2+3)= -y

Do đó: (1) Û ( x2+ +y x2+3)( x2+ -y x2+ -3 x)=0 Û x2+ -y x2+ =3 x Kết hợp với (2) ta được: x + x2+ =3 Û x=1 Þ y=8

Nghiệm: (1;8)

Bài 88.Giải hệ phương trình sau: y( x x )

x y x

3 (1)

1 (2)

ìï + + =

í

+ = +

ïỵ

·Điều kiện: ì ³í ³yx 00

(28)

Nghiệm: (1;1)

Bài 89.Giải hệ phương trình sau: x y x y x2 y2 x2 y2

1 (1)

1 (2)

ì + - - =

ï í

+ + - =

ïỵ

·Điều kiện: ì + ³í - ³x yx y 00

ợ

Ta cú (1) ị x y x y

x y x y y

1

ìï + - - = í

+ + - =

ùợ ị x y+ =2y+1 Þ y x

2

4

= - (3)

(2) Þ x y x y

x y x y y

2 2

2 2 2

1

ìï + + - =

í

+ - - =

ùợ ị x y y

2 2

2 + =2 +1 Þ 4x2 =4y4+1 (4)

Từ (3), (4) Þ x

= Þ y

8

= ± .

Nghiệm: 5;

8

ổ

ỗ ữ

è ø

a) x y x y x2 y2 x2 y2

2

ì + - - =

ï í

+ + - =

ïỵ Nghiệm:

b) x y

x y

2

3

ìï + = í

+ + + =

ïỵ Nghiệm:

x x

y y

xy y x

1

1 (1)

1 1 (2)

ì

+ + =

ï í

ï + + + - =

ỵ

·Điều kiện: ì £ Êớ- Ê ạ01 xy 10

ợ Ta cú (1) Û xy + y+ =1 x Thay vào (2) ta được: x + 1- =x Û é =ê =xx 10

ë Nghiệm: (0; 1),(1;0)-

Bài 91.Giải hệ phương trình sau: x xy y x y

x xy y x y

2 2

( ) 185 (1)

( ) 65 (2)

ìï + + + =

í

- + + =

ïỵ

· Lấy (1) (2)+ ta được: 2(x2+y2) x2+y2 =250 Û x2+y2 =5 Û x2+y2 =25 Khi đó: HPT Û ìíxxy2+=12y2 =25

ỵ

Nghiệm: (4;3),( 4; 3),(3;4),( 3; 4)- - - -

x

x y y

x y

3

1

7

ì ỉ

+ =

ù ỗ ữ

ù ố + ứ

ớ ổ ử

ù ỗ - ữ=

ù è + ø

ỵ

(29)

Do đó: HPT Û x y x

x y y

1

3

1

7

ì

+ =

ï +

ï í

ï - =

+ ïỵ

Û x y x y

x y

1 2 (1)

3

1 2

1 (2)

3

ì

=

-ï + ï í

ï = +

ï ỵ Nhân (1) với (2) vế theo vế ta được:

x y x y

1

3

=

-+ Û 21xy=(x y+ )(7y-3 )x

Û(y-6 )(7x y+4 ) 0x = Û y=6x (vì x>0,y>0) Nghiệm: 11 22 7;

21

ổ + +

ỗ ữ

è ø

x

y x

y

y x

12

1

3 12

1

3

ỡổ - =

ùỗ + ÷

ïè ø

íỉ

ï +ỗ ữ =

ùố + ứ ợ

Ã HPT Û y x x

y x y

12

1

3

12

1

3

ì

- =

ï +

ï í

ï + =

+ ïỵ

x y

y x y x

1

1 (1)

12 (2)

3

ì

= +

ï ï Û í

ï =

-+ ïỵ Nhân (1) với (2) vế theo vế ta được:

x y y x

12

3 + = - Û x y y

2

(3 -2 ) =5 Nghiệm:

(30)

Vấn đề 2: Phương pháp đặt ẩn phụ

Biến đổi phương trình hệđể có thểđặt ẩn phụ, chuyển hệ Thông thường đưa dạng: f u v

g u v( , ) 0( , )

ì =

í =

ỵ

Bài 1. Giải hệ phương trình sau: x x y y

x y x y

4 2

2 2 22 06

ìï - + - + =

í

+ + - =

ïỵ

· HPT Û x y

x y x

2 2

2

( 2) ( 3)

( 4)( 3) 20

ìï - + - =

í

- + - + + - - =

ïỵ

Đặt u x v y

2 2

3

ì = -í =

-ỵ HPT Û

u u

u v

v v

uv u v

2 4 2 0

0

4( )

ì + = Ûì = Ú ì =

í + + = í = í =

ỵ ỵ

ỵ

Nghiệm: (2;3),( 2;3),( 2;5),( 2;5)- -

Bài 2. Giải hệ phương trình sau: ìï + + =í

+ + + =

ïỵ

x x y

x x y xy x

2

3

3 18

· HPT Û x x x y

x x x y

2

( )(3 ) 18

ìï + + + = í

+ + =

ïỵ Đặt

u x x

v x y

2 2

3

ì = + í = +

ỵ HPT Û

u v uv 189

ì + = í =

ỵ

Nghiệm: (1;3),( 3;15),( 1- - - 7;6 7),( 1+ - + 7;6 7)- Bài 3. Giải hệ phương trình sau: x y x y

x y x y

2

2 23

3

ìï + - + = í

- - - =

ïỵ

· HPT Û x x y y

x x y y

2

23 42

3( ) 2( )

ìï - + + = í

- - + =

ïỵ Đặt

u x x

v y y

2 34

ìï = -í

= +

ïỵ HPT Û

u v u v1

3

ì + = í - =

ỵ

Nghiệm: 13;0 , 13;

2

ỉ ± ổ

-ỗ ữ ỗ ữ

è ø è ø

x y y

xy x y

x2

1 2

3 ì

ï

í + = ì

ù + +

ợ

+ + =

· HPT Û

x y

( 1)( 1)

1

3 ( 1) ( 1)

ì + + =

ï

í + =

ï + - +

-ỵ

Đặt ì = +í = +u xv y 11 (uạ 1,vạ 1)

ợ

HPT Û uv

u2 v2

1

3

1

ì = ï

í + =

ï -

-ỵ

uv

u2 v2 u v2 u2 v2

3( 2) 2( 1)

ì =

Û í + - = - - +

ỵ

uv u2 v2

4

ì = Û í + =

ỵ

u v u v 22

é = =

Û ê = = -ë Nghiệm: íìxy=11;ìíyx= -33

= =

-ỵ ỵ

x y

x y x y xy

xy y x

1 4

ì

+ + + = -ïï

í

ï + + + =

(31)

· HPT Û x y

x y

x y

1 4

ì + + + = -ùù ớổ ửổ ùỗ + ữỗ + ữ= ố ø ï è ø ỵ

Đặt u x x v y y 1 ì = + ïï í ï = + ïỵ

HPT Û ì + = -í =u vuv 4

ỵ Û

u v 22

ì = í = -ỵ Nghiệm: ( 1; 1)- -

y x x y

x y

x y

2

2 ( 1) ( 1)

1

( ) 24

ì + = + ï ỉ ư í + + = ỗ ữ ù ố ứ ợ

Ã HPT

x y x y x y x y 2 2 2

1 2

1 24

ì + + = ïï í ï + + + = ïỵ Û x y x y x y x y 2

1 2

1 28

ì ỉ + = + ù ỗ ữ ù ố ứ ổ ổ ùỗ + ữ + + = ỗ ÷ ïè ø è ø ỵ Đặt u x x v y y 1 ì = + ïï í ï = + ïỵ

HPT Û ì =í + =uu2 2vv2 28

ỵ Nghiệm:

x y x y x y xy 2 1

( )

ì + = ïï + + í ỉ ư ï + ỗ + ữ= ù ố ứ ợ

Ã HPT Û x x y y

x y

1

1 1 6

ì + = ï ï + + í ï + + + = ï ỵ

Đặt u x x v y y 1 ì = + ïï í ï = + ïỵ

HPT Û u v u v 1

3 ìï + = í ï + = ỵ

Û u v= =3

Nghiệm:

x y xy x y xy 2 3

( )

1

( ) 27

ì ỉ ư ù + ỗ + ữ = ù ố ứ ổ ù + + = ỗ ữ ù ố ø ỵ

· HPT Û

x y y x x y y x 2 3

1 9

1 27

ìỉ ổ ùỗ + ữ +ỗ + ữ = ùố ø è ø í ỉ ỉ ï + + + = ỗ ữ ỗ ữ ù ố ứ è ø ỵ

Đặt u x y v y x 1 ì = + ïï í ï = + ïỵ

HPT Û u v

u v

2

3 279

ìï + = í

+ =

ïỵ

Nghiệm:

Bài 9. Giải hệ phương trình sau: ïỵ ï í ì = -+ + + + = -+ + + + 11 ) ( 30 ) ( ) ( 2 2 y y y x y x xy y y x y y x

· Hệ PT Û xy x y x y x y

xy x y xy x y

2 2

( ) ( ) 30

( ) 11

ì + + + =

í + + + + =

ỵ Û

xy x y x y xy xy x y(( )() xy x y) 3011

ì + + + =

í + + + + =

(32)

Đặt ì + =íx y uxy v =

ỵ HPT Û

uv u v uv u v( ) 3011

ì + =

í + + =

ỵ Û

uv uv

uv u v(11 ) 30 (1)11 (2)

ì - =

í + + =

ỵ Từ (1) Þ

uv uv 56

é = ê = ë

· Với uv = Þ u v+ =6 Nghiệm (x; y) là: 21 5; 21

2

ổ - +

ỗ ÷

è ø

5 21 5; 21

2

ỉ + -

ỗ ữ

ố ứ

Ã Vi uv = Þ u v+ =5 Nghiệm (x; y) là: (1;2) (2;1) Kết luận: Hệ PT có nghiệm: (1;2), (2;1), 21 5; 21

2

ổ - +

ỗ ữ

ố ứ,

5 21 5; 21

2

ổ + -

ỗ ữ

ố ứ

x2 y2 x y

3 16

2 33

ì - - =

í + - - =

ỵ

· HPT Û x y x y

x y

( 1)( 2) ( 1) ( 2) 21 ( 1) ( 2) 38

ì - - - =

í - + - =

ỵ Đặt

u x v y 12

ì = í =

-ỵ HPTÛ

uv u v u2 v2

( ) 21 38

ì - + =

í + =

ỵ Nghiệm: (- +3 3; 2- - , 3) (- - 3; 2- + 3)

x xy

x y

x

x y

2

2 5

2

ì + +

= -ïï +

í

ï =

-ï + ỵ

· HPT Û x x y

x

x y

1

2

ì

+ =

-ïï +

í

ï =

-+ ïỵ

Đặt

u x

v

x y

2

ì = ï í =

ï +

ỵ

HPT Û ì + = -í =u vuv 6

ỵ Û

u v

u 2,3,v 32

é = - = -ê = - =

-ë .

Nghiệm: 1;1 , 1;

3 2

ỉ ỉ

- ỗ- ữ

ỗ ữ ố ứ

ố ø

y x x

y

x y x

y

( 1)

1

2( 1)

ì ỉ

+ + + =

ù ỗ ữ

ù ố ứ

ớ ổ ử

ù + = ỗ + + ữ

ù ố ứ

ợ

·Đặt u x v y x

y

1

ì = +

ï ỉ ử

ớ = ỗ + + ữ

ù è ø

ỵ

HPT Û ì =íuv2u v=2

ỵ Û

u v

u 1,1,v 2

é = = ê = =

-ë

Nghiệm: (0;1),( 2;3)-

x y xy

x y x

x y

2

4( )

( )

1

2

ì

+ + + =

ïï +

í

ï + =

ï +

ỵ

· HPT Û x y x y x y

x y x y

x y

2

3 ( ) 13

1 3

ì ỉ

ù ỗ + + ữ + - =

ï è + ø

í

ï + + + - =

ï +

ỵ

Đặt u x y x y v x y

1

ì = + + ï

í +

ï = -ỵ

(33)

HPT Û u v u v 2 13 ì + = í + = ỵ Û

u vì u

v 12 ( 2)

ì =

ớ =

ợ ị

x y x

x y y

x y

1 2 1

0 ì + + = ï Ûì = í + í = ỵ ï - = ỵ

x y xy

x y x x y 2

3( ) 2(10 )

( ) ì + + = -ïï -í ï + = ï -ỵ

· HPT Û

x y x y

x y x y x y

x y

2

2( ) ( ) 20

( ) 5 ì + + - + = ïï -í ï + + - + = ï -ỵ

Đặt

u x y v x y

x y ì = + ï í = - + ï -ỵ

(với v ³2)

HPT Û u v u v

2

2 20

5 ì + - = í + = ỵ Û u u v v 3 14 ì = ï ì = Ú í = í ỵ ï = î

Nghiệm: (2;1), 10 3; 10 , 10 3; 10

3 3

ỉ + - - ỉ - - +

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ø

Bài 15.Giải hệ phương trình sau: ïỵ ï í ì = + = + 35 15 3 2 y x xy y x

· Hệ PT Û xy x y x y3 (2 ) 30

(2 ) 35

ì + =

í + =

ỵ Đặt

u x

v y2

ì = í =

ỵ Hệ PT Û

uv u v u3 v3

( ) 30 35

ì + =

í + =

ỵ Û

u v

u 3;2;v 32

é = =

ê = =

ë Nghiệm (x; y): (1;3), 3;2

2

ỉ

ỗ ữ

ố ứ Bi 16.Gii h phng trình sau:

ỵ í ì = + + = + + ) )( (

2 x y

x

y x x

x

· Hệ PT Û x x x y

x x x y

2

( )(2 ) ( ) (2 )

ìï + + =

í

+ + + =

ïỵ Đặt

u x x

v x y

2 2

2

ì = + í

= +

ỵ HPT Û

uv u v9

ì = í + = ỵ Nghiệm: (1;1),( 3;9)-

x y

2

2 3 (1)(2)

ìï + = + + í

- = ïỵ

· Chú ý: x2 xy y2 3(x y)2 (x y)2

4é ù

- + = ë - + + û Đặt ì = +í = -u x yv x y

ỵ , ta được:

u v v

uv 2 ì + = í = ỵ Nghiệm: (2;1)

Bài 18.Giải hệ phương trình sau: x y x y x y

x y

2

2( )

ìï + + - + - = í

+ =

ïỵ

·Đặt u x y u v

v x y ( , 0)

ì = + ³

í =

-ỵ HPT Û

u v uv u2 v2

5 ì + + = í + = î Û u v uv

ì + = í =

ỵ Û

u v

u 1,2,v 21

é = = ê = = ë

Nghiệm: 1; , 1; , 1; , 1;

2 2 2 2

ỉ ỉ ỉ ö æ ö

- ± ± - ± ±

ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ

(34)

y x

x y

x

x y

y

2

3 2 1

1

4 22

ì

+ =

ïï + -í

ï + + =

ùợ

Ã iu kin: xạ0,yạ0,x2+y2- ạ1 Đặt u x y v x

y

2 1;

= + - = Hệ PT trở thành: u v u v

u v u v

3 1 1 (1)

1 22 21 (2)

ì ì

ï + = Ûï + =

í í

ï + + = ï =

-ỵ ỵ

Thay (2) vào (1) ta được: v v v v v v

2

3 2 13 21 0

7 21

2

é = ê

+ = Û - + = Û

= ê

-ë

· Nếu v = u = 9, ta có Hệ PT:

xx y xx yy xy xy

y

2

1 3 3

10

1

3

ì + - = ì

ï Û + = Ûì = Ú ì =

-í = í = í = í =

-ỵ ỵ

ỵ ïỵ

· Nếu v

= u = 7, ta có Hệ PT:

y y

x y x y

x

x y

y x x

2 1 7 2 8 4 4

53 53

7

2

2 14 53 14 53

ì ì

ì + - = ì + = ï = ï =

-ï Ûï Ûï Ú ï

í = í = í í

ï ïỵ ï = ï =

-ỵ ï ï

ỵ î

So sánh điều kiện ta nghiệm Hệ PT Bài 20.Giải hệ phương trình sau: x x y y

x y3 x y2 xy y3 1

(1 ) (1)

1 (2)

ì + + ỉ + ử=

ù ỗ ữ

ớ ố ứ

ï + + + =

ỵ

· Dễ thấy y¹0 HPT Û

x x

y y

x x

y y

2 2

2

1 4

ìỉ ỉ

+ + + =

ùỗ ữ ỗ ữ

ùố ứ ố ứ

ớổ ửổ

ùỗ + ữỗ + ữ=

ùố ứố ứ

ợ

Đặt u x

y v x

y

2

1

ì = + ïï í

ï = + ïỵ

HPT Û ì + =í =u vuv 4

ỵ Û u v= =2 Nghiệm: (1;1)

Bài 21.Giải hệ phương trình sau: xy x y x y2 xy y2

1 13

ì + + = í

+ + =

ỵ (B - 2009)

· Dễ thấy y ¹ HPT Û

x x

y y

x x

y y

2

1 7

1 13

ìỉ

+ + =

ùỗ ữ

ùố ứ

ớ

ổ

ù + - =

ỗ ữ

ïè ø

ỵ

Đặt u x

y x v

y

ì = + ïï í ï = ïỵ

HPT Û u v u2 v

7 13

ì + = í - =

(35)

Nghiệm 1;1 , (3;1)

ổ ỗ ữ

è ø

x y x y

3 3

2

8 27 18

4

ìï + =

í

+ =

ùợ

Ã D thy yạ0.HPT Û

x y

x x

y y

3

(2 ) 18

3

2

ì ỉ ử

ù +ỗ ữ =

ù ố ứ

í

ỉ

ï + =

ỗ ữ

ù ố ứ

ợ

Đặt a = 2x; b =

y

HPT Û ì + =ía bab=1

ỵ

Nghiệm: 5; , 5;

4 3 5 3 5

ổ - ổ +

ỗ ữ ç ÷

ç + ÷ ç - ÷

è ø è ø

Cách 2: Dễ thấy y¹0 HPT Û x y y

x y xy y

3 3

2

8 27 18

4

ìï + =

ớ

+ =

ùợ ị x y x y xy

3 2

8 +27 18(4= +6 ) (*)

Đặt t xy= (*) Û (2 3)(4t+ t2-42 9) 0t+ = Û t

t

3 21

4

é = -ê ê

± ê = êë

a) x y y

x y x y

3 3

2

27 125

45 75

ìï + =

í

+ =

ïỵ Nghiệm

2;5 , ;1

3

ổ ổ

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ

x y y

x x

y y

3 3

2 2

2

ì + =

ï

í + =

ï ỵ

· Dễ thấy y¹0.HPT Û x

y x x

y y

3 2

1 2

ì + =

ïï

í ổ

ù ỗ + ữ=

ù ố ø

ỵ

Đặt t y

= HPT Û ì + =íxxt x t3( t+ =3 ) 22

ỵ Û

x t xt

ì + = í =

ỵ

Nghiệm: (1;1)

Bài 24.Giải hệ phương trình sau: y xy x

x y x

2

1

ìï + = í

+ =

ùợ

Ã D thy y HPT Û

x x

y y

x x

x

y y y

2

1

1 5 2

ỡ ổ ử

ù + = ỗ ữ

ï è ø

í

ỉ ỉ

ù + = +

ỗ ữ ỗ ữ

ïè ø è ø

ỵ

Đặt u x

y x v

y

ì = + ïï í ï = ïỵ

HPT Û u v

u v v

2

2 65 2

ìï = í

= +

ïỵ

Nghiệm:

(36)

a) y xy x

x y x

2

3

1 19

ìï + = -í

+ =

ïỵ Nghiệm

1; , 1;3

3

æ ổ

- ỗ- ữ

ỗ ữ è ø

è ø

Bài 25.Giải hệ phương trình sau: x y y x y

x y x y

2

2 ( )

( 1)( 2)

ìï + + + = í

+ + - =

ïỵ

· Dễ thấy y ¹ HPT Û

x y x

y

x y x

y

2

1 2 2

1( 2)

ì + + + - = ï ï í + ï + - = ïỵ

Đặt u x y v y x

2 1 ì + ï = í ï = + -ỵ

HPT Û ì + =í =u vuv 1

ỵ

Nghiệm: (1;2),( 2;5)-

Bài 26.Giải hệ phương trình sau: x y y xy

x y y xy

2 2

2 2 22 6 73

ìï + + =

í

+ + =

ùợ

Ã D thy y HPT Û

x x y y x x y y 2 ì + + = ï ï í ỉ ï + + = ỗ ữ ùố ứ ợ x x y y x x y y 2

2 3 2

2 ỡổ ùỗ - ÷ - = -ïè ø í ỉ ổ ù - - = -ỗ ữ ỗ ÷ ïè ø è ø ỵ Đặt u x y x v y ì = -ïï í ï = ïỵ

HPT Û u v

v u

2

2 33 22

ìï = -í

- =

-ïỵ Û

u v u v 12

é = = ê = =

ë

+ Với u v= =1 x y x y 1 ì - = ïï í ï = ïỵ

Û é = = -ê = =x yx y 21

ë

+ Với u v= =2 x y x y 2 ì - = ïï í ï = ïỵ

Û x y

x y 5; 5; é -= - = ê ê + ê = + = êë

Nghiệm: ( 1; 1),(2;2), 5;1 , 5;1

2

æ - ổ +

- - ỗ - ữ ỗ + ữ

ố ứ ố ứ

x y x y y x y

2

4 2( 1) 62 2 2( 1) 12 1

ìï + =

-í

+ + + =

-ïỵ

· Dễ thấy y ¹ HPT Û x y y x x x y y 2 2 1 12 ì ỉ + = -ù ỗ ữ ù ố ứ + ù + + = -ïỵ Û x x y y x x y y 2 2 1 1 13 ì + + + + = ï ï í ỉ + ï + + - = ỗ ữ ùố ứ ợ t u x y x v y 2 1 ì = + + ïï í + ï = ïỵ

HPT Û ì + =í - =u vu2 v 713

ỵ Û

u v

u 4,5,v 312

(37)

+ Với ỡ = -ớ =uv 125 ợ ị x y x y 2 1 12 ì + + = -ïï í + ï = ïỵ

(vơ nghiệm)

+ Với ì =í =uv 34

ợ ị x y x y 2 1 ì + + = ïï í + ù = ùợ

ị x y

x y 0, 2, é = = ê ê = ± = ë

Nghiệm: 0;1 ,( 2;1)

ổ ỗ ữ

è ø

Bài 28.Giải hệ phương trình sau: x y y xy x xy

x y y x y x x y

2

4 2 182 208 2

ìï + + + = í

+ + + =

ùợ

Ã Vi x=0 ị y=0

+ Với x y 00

ì ¹ í ¹

ỵ ta có: HPT Û

x y x y x y x y 2 2

1 1 18

1 208

ì + + + = ïï í ï + + + = ïỵ Û x y x y x y x y 2

1 1 18

1 212

ì + + + = ù ù ổ ổ ùỗ + ữ +ỗ + ữ = ùố ứ ố ứ ợ Đặt u x x v y y 1 ì = + ïï í ï = + ïỵ

Ta HPT Û ì + =í + =u vu2 v218212

ỵ Û

u u

v 144 v 144

ì = Úì =

í = í =

ỵ ỵ

Nghiệm: (0;0),(2+ 3;7 3),(2± - 3;7 3)± ,(7 3;2+ ± 3),(7 3;2- ± 3) Bài 29.Giải hệ phương trình sau: x xy x y

x x y x y

2

4 24 3 02 0

ìï - + + = í

- + + =

ïỵ

· Với x=0 ị y=0

+ Vi ỡ ạớ ạyx 00

ỵ ta có: HPT Û

y x y x y x y x 2

2

4

ì - + + = ïï í ỉ ï - + +ỗ ữ = ù ố ứ ợ y y x x y y x x x x

2 (1)

3 (2)

ì = + + ùù ổ ổ ùỗ + ữ - ỗ + ữ= ùố ứ ố ứ ợ

Đặt t x y x

= + (2) Û t2- =3t Û é =ê =tt 03

ë Þ

y y

x x

+ = Ú + =

Nghiệm: (0;0),(1;2),(2;2)

Bài 30.Giải hệ phương trình sau: x x y

y y x y

2 2 2 2 ì + - = ï í ï - - = -ỵ

· HPT Û

x x y x y y 2 2

1 2

ì + - = ïï í ï = -ïỵ

Đặt u x v y ì = ï í =

ïỵ HPT Û

u u v

v u v

2

2 (1)

2 (2)

ìï + - = í

- + = ïỵ

Lấy (1) (2)- ta được: 2(u2-v2) 2(+ u v- =) Û é - =ê + + =u vu v 1 00

(38)

Nghiệm: (1;1),( 1; 1), 1; , 1;1

2

ỉ + ỉ -

- - ỗ- + ữ ỗ - ữ

è ø è ø

2

3

2

y x

x y y x

ì - =

ï í

- =

-ùợ

Ã HPT ị 2x3-y3=(2y2-x2)(2y x- )Ûx3+2x y2 +2xy2-5y3=0 Khi y=0 hệ VN

Khi y¹0, chia vế cho y3¹0 ta được: x x x

y y y

3

2

ỉ ỉ ổ

+ + - =

ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ è ø

Đặt t x y

= , ta có : t3+2t2+ - = Û =2 0t t y x x y x y y2

1 1

ì = é = =

Ûí Ûê = =

-= ë

ỵ Nghiệm: (1;1),( 1; 1)- -

2

1

( )

x y xy y

y x y x y

ì + + + =

í

+ = + +

ỵ

· Từ hệ PT Þ y¹0 Khi ta có:

x x y

x y xy y y

y x y x y x y x

y

2

2 2

2

1 4

1 .

( ) ( ) 2 7

ì +

+ + = ï

ì + + + =

ï Ûï

í í

+ = + + +

ï ï

ỵ + - =

ïỵ

Đặt u x v x y

y

1,

+

= = + ta có hệ: u v u v v u

v u

v2 u v2 v

4 3,

5,

2 15

ì + = ì = - é = =

ï Ûï Û

í í ê = - =

- = + - =

ï ï ë

ỵ ỵ

· Với v=3,u=1ta có hệ: x y x y x x x y

y x x y

x y y x

2 1 1 2 0 1, 2

3 2,

3

ì ì ì é = =

ï + = Ûï + = Û + - = Û

í í í = - ê = - =

+ = = - ỵ

ï ï ë

ỵ ỵ

· Với v= -5,u=9ta có hệ: x y x y x x

x y y x y x

2 1 9 1 9 9 46 0

5 5

ì ì ì

ï + = Ûï + = Ûï + + =

í í í

+ = - = - - =

-ï ï ï

ỵ ỵ ỵ , hệ VN

Nghiệm: (1; 2), ( 2; 5)-

Bài 33.Giải hệ phương trình sau: x y x y x y x y

x y

2 2

(2 ) 5(4 ) 6(2 ) (1)

1

2 (2)

2

ì + - - + + =

ï

í + + =

ï

-ỵ

· Dễ thấy 2x y+ ¹0 HPT Û

x y x y

x y

(2 ) 5(2 )

2

ì + - - + =

ï

í + + =

ï

-ỵ

Đặt u x y u v v 22x y ( 0)

ì = + ¹

í =

-ỵ

HPT Û

u v

5

1

ì - = -ï

í + =

ïỵ Û

u v

1, 1 5,

5

é = - = ê

= - = ê

ë

Nghiệm:

Bài 34.Giải hệ phương trình sau: x x y

x xy y

2

2 26 7 (1)(2)

ìï + + = + í

+ + =

ïỵ

·Điều kiện: y³ -1 HPT Û íì -3((x y x yx y+)()2+ ++(x y-2))= -2=528

(39)

Đặt ì = +í = -u x yv x y

ỵ , ta được:

v u u2 v2 ( 2)

3 28

ì + =

-í + =

ỵ

Nghiệm: ( 3;2),(1;2)-

x2 y 1

3

ì + + - + =

í + =

ỵ

· Hệ PT Û x y x y

x y x y

2 1

(2 1) ( )

ì + + - + =

í

+ + + + =

ỵ Đặt u= 2x y+ + ³1 0,v= x y+ ³0

Hệ PT Û u v uu vv loại

u2 v2

1 2,

1, ( )

ì - = Ûé = =

í + = ê = - = -ë

ỵ Nghiệm: (2; 1)-

a) x y x y

x2 y 20

3

ì + + - + =

í + =

ỵ

Bài 36.Giải hệ phương trình sau: x y y

x y x y

2 6 3

ìï + = + í

+ +

-ïỵ

·Điều kiện ì + ³í ³ ³ -x yx y 03

ỵ Hệ PT Û

x y y y

x y x y

2 6 6 9

4

ìï + = + + í

+ + - =

ïỵ Û

x y x y

x y x y

( )( )

4

ì + - =

í + + - =

ỵ

Đặt u x y u v

v x y ( , 0)

ìï = + ³

í

=

-ïỵ HPT Û

u v u v

2 9

4

ì =

í + =

ỵ Û

u v

u 1,3,v 31

é = = ê = = ë

Nghiệm: (5;4)

Bài 37.Giải hệ phương trình sau: x y x y x2 y2 x2 y2

2

1

ì + = +

-ï í

+ + - - =

ïỵ

·Điều kiện: x y+ >0, x y- ³0

Đặt: u x y v x y

ì = + í

=

-ỵ ta có hệ:

u v u v u v uv

u2 v2 uv u2 v2 uv

2 ( )

2 3 3

2

ì - = > ì + = +

ï ï

Û

í + + í + +

ï - = ï - =

ỵ ỵ

u v uv

u v uv uv

2 (1)

( ) 2 3 (2)

2

ì + = +

ï

Û í + - +

ï - =

ỵ

Thế (1) vào (2) ta có: uv+8 uv+ -9 uv = Û3 uv+8 uv+ = +9 (3 uv)2 Ûuv=0 Kết hợp (1) ta có: uv u v

u v

4,

ì =

Û = =

í + =

ỵ (với u > v) Nghiệm: (2; 2)

Bài tương tự: a) x y x y

x2 y2 x2 y2

4

ì + - - =

ï í

+ + - =

(40)

Bài 38.Giải hệ phương trình sau: x y x y

x x( 4y 92) y y(42 2) 41

ì + = - +

í

+ - + + =

ỵ

· HPT Û x y x y

x y x y

2

( ) 2( ) 41

ìï - + + = í

+ - - =

ïỵ Đặt

u x y u v

v x 2y ( , 0)

ìï = - ³

í

= +

ïỵ

HPT Û u v v2 u2

9 41 ì + = í - = ỵ Û u v 27

ỡ = =

ợ ị

x y x y

x 2y 72 x 2y 27

ì - = ì - =

Ú

í + = í + =

-ỵ ỵ

Nghiệm: (5;1), ;1 11 3

ổ

-ỗ ữ

ố ứ

Bài 39.Giải hệ phương trình sau: x y x y x y

x x y xy y x

2

21 4( ) 3 (1)

12 (2 ) 12 (3 ) (2)

ìï + + + = + + +

í

+ + = - - +

ïỵ

·Đặt x y u

x y v

1

3

ìï + + = ³ í

+ = ³

ïỵ (1) Û

u v

u v v

2

4

3

9 9

ìï - = í

+ = +

ïỵ Û

u v

u u v v v

2

2 2

3

9 (3 )

ìï - = í

+ - = +

ïỵ

Û u v

u v u u v uv v

2

3 2

3

( )(9 3 )

ìï - = í

- + + + =

ïỵ Û u v

6

= = Þ 2x+2y=1

Nghiệm: 4; , ; 10

ỉ- ỉ -

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ è ø

Bài 40.Giải hệ phương trình sau: x y x y x y x y

7 (1)

2 (2)

ìï + + + =

í

+ + - = ïỵ

·Đặt u x y u v

v x y

7 ( , 0)

ìï = + ³

í

= +

ïỵ (1) Û

u v x

u v

2 5

5 ì - = + = ợ ị x v -= Thay vào (2) ta được: x=2y-1

Nghiệm: 10 77;11 77

ỉ -

-ỗ ữ

ố ứ

Bài 41.Giải hệ phương trình sau: y x y

x y x y

2 2 12 (1) 12 (2) ìï - = í + + - = ïỵ

·Đặt u x y v x y

2 ìï = -í = + ïỵ Þ u x y v x y v

2 ỡ ù - = ù + = ợ ị u v x v

v u v u

y

v v

2

22 6( )

2 ì + = ïï í - -ù = = ùợ

HPT ị v u uv

u v

6( ) 12 12 ì -ï = í ï + = ỵ

Û é =ê =uu 3,4,vv==98

ë Þ

x y

x 5,5,y 43

é = =

ê = =

ë

Nghiệm: (5;4),(5;3)

Bài 42.Giải hệ phương trình sau: x y ( x y xy )

x y

2

3

2( )

ìï + = +

í

+ =

ïỵ

·Đặt u x

v y 3 ìï = í =

ïỵ HPT Û

u v u v uv

u v

3 2

2( ) 3( )

6

ì + = +

í + =

ỵ Û

u v uv

ì + = í =

ỵ Û

u v

u 2,4,v 42

é = = ê = =

ë

(41)

x y

4

35

ìï + =

í

+ =

ïỵ

·Đặt u x

v y

4

ìï = í

=

ïỵ HPT Û

u v

u v

3 35

5

ì + = í + =

ỵ Û

u v

u 2,3,v 32

é = =

ê = =

ë

Nghiệm: (16;243),(81;32)

Bài 44.Giải hệ phương trình sau: x y x y

3 1 1 3

11

ì - + - =

í + = ỵ

·Đặt u x

v y

3

1

ìï = -í

=

-ïỵ HPT Û

u v u3 v3

3

ì + = í + =

ỵ

Nghiệm: (2;9),(9;2)

x y 2

3 23

ì + + + + =

í + =

ỵ

·Đặt u x y u v

v 2x y ( , 0)

ìï = + ³

í

= + +

ïỵ HPT Û

u v u2 v2

7 25

ì + = í + = ỵ

Nghiệm: (5;4),( 9;25)-

a)

x x y

y x y

y

1 3 3

1

2

ì

+ + + - =

ïï í

ï + + = ïỵ

Nghiệm (3;1),(5; 1),(4- + 10;3- 10),(4- 10;3+ 10)

x2 x y x y y

1

2 2 29

ì + - = ï

í

+ + + - + - =

ïỵ

· HPT Û x y

x y y x

1

( 1) 1( 1) 29

ì + + - = ï

í

+ + - + - + =

ïỵ Đặt

u x v

v y

1 ( 0)

ì = + ³

í = -ỵ

HPT Û u v

u2 v2 uv

2 29

ì + = ï í

+ + =

ïỵ Û

u v

u 3,4,v 43

é = =

ê = =

ë Þ

x y

x 3,2,y 1017

é = =

ê = =

ë Nghiệm: (2;17),(3;10)

x y

(3 ) 2 (1)

2 (2 1) (2)

ì - - - - =

ï í

- - - =

ïỵ

·Đặt u x u v

v y

2 ( , 0)

ìï = - ³

í

=

-ïỵ HPT Û

u u v v

u v

2

3

( 1) ( 1) (3)

2 (4)

ìï + - + =

í

- = ïỵ

Ta có (3) Û (u v u- )( 2+uv v+ 2+ =1) Û u v= Thay vào (4) ta được: u3-2u+ =1 Û

u u

1

2

é =

ê

-ê = ë

Þ x y

x y

1 ( 1)

5 ( 5)

2

é = =

ê +

-ê = =

ë Nghiệm: (1;1), 5;

2

ổ + -

ỗ ữ

(42)

x y

5

5 7

ìï + = í

+ + + =

ïỵ

· HPT Û (( x x)) (( y y))

x x y y

5 12

5

ì + + + + + =

ï í

+ - + + - =

ïỵ Û

( x x) ( y y)

x x y y

5 12

5 2

5

ì + + + + + =

ï

í + =

ï + + + +

ỵ

Đặt u x x u v

v y y

5 ( , 0)

7

ìï = + + ³

í

= + +

ïỵ HPT Û

u v u v

12

ì + = ï

í + = ïỵ

Nghiệm:

a) x y

x y

1

6

ìï + + - = í

+ + + =

ïỵ Nghiệm (3;5) b)

x y

2

2 5

ìï + =

í

+ + + =

ïỵ Nghiệm (2;2)

c) x y

x y

3

3 16 16 10

ìï + =

í

+ + + =

ïỵ Nghiệm (3;3) d)

x y

6

7

ìï + = í

+ + + =

ïỵ Nghiệm (9;9) Bài 49.Giải hệ phương trình sau:

(43)

Vấn đề 3: Phương pháp đánh giá

Từđiều kiện ẩn, xét trường hợp xảy dấu "=" bất đẳng thức.

x z z a

y x x b

z y y c

3

9 27( 1) ( )

ì = -

-ï

í = -

-ï = -

-ỵ

· Cộng (a), (b), (c) ta được: (x-3)3+ -(y 3)3+ -(z 3)3=0 ( )d + Nếu x > từ (b) suy ra: y3 =9 (x x- +3) 27 27> Þ >y 3

từ (c) suy ra: z3 =9 (y y- +3) 27 27> Þ >z 3Þ (d) không thoả mãn

+ Tương tự, x < từ (a) Þ < z < Þ < y <3 Þ (d) khơng thoả mãn + Nếu x = từ (b) Þ y = 3; thay vào (c) Þ z =

Vậy: x y z= = =3

a)

x z z

y x x

z y y

3

12 48 64

ì = - +

ï

í = - +

ï = - +

ỵ

Nghiệm: x y z= = =4

b)

x z z

y x x

z y y

3

6 12

ì = - +

ï

í = - +

ï = - +

ỵ

Nghiệm: x y z= = =2

x y

y z

z x

1 1

ì - = ï

í - = ï - = ỵ

· Dễ thấy x > 0, y > 0, z >

Khơng tính tổng qt, giả sử x ³ y Þ y+ ³1 z+ Þ ³1 y z Ta lại có: z= x+ ³1 y+ =1 x Þ x ³ y ³ z ³ x Þ x = y = z Þ x- x- =1 Û x ( )

2

4

+

= Nghiệm x = y = z = ( )

4

+

a) x x y

y y x

2

2 22

ìï + = í

+ =

ïỵ Nghiệm

3 5

(0;0),(1;1), ;

2

æ - -

ỗ ữ

ố ứ

x y

x

y z

y

z x

z 2

2

2 2

1

ì

= ï

+ ï

ïï =

í + ï ï

= ï

ï + ỵ

· Nếu x = y = 0, z = Þ Hệ có nghiệm (x; y; z) = (0; 0; 0) · Nếu x ¹ y > 0, z > Þ x >

Ta có: y x x x x x

2

= £ =

(44)

Þ x x x

2 2

1=

+ Þ x = Nghiệm (0; 0; 0), (1; 1; 1)

a)

x y x y

y z y z

z x z x

2

36 60 25

ì - + =

ï

í - + =

ï - + =

ỵ

Nghiệm (0;0;0), 5 5; ; 6

ổ

ỗ ữ

è ø

Bài 4. Giải hệ phương trình sau: y x x

x y y

3

2

ìï = - + + í

= -

-ïỵ

· y x x

x y y

3

2

ìï = - + + í

= -

-ïỵ Û

y x x

x y y

2

2 ( 1) ( 2) (1) 2( 1) ( 2) (2)

ìï - = - + -í

- = +

-ïỵ

Dễ dàng thấy (x; y) = (2; 2) nghiệm hệ

Nếu x > từ (1) Þ y < Nhưng từ (2) Þ x – y – dấu Þ Mâu thuẫn Nếu x < suy điều mâu thuẫn tương tự

Vậy hệ có nghiệm x = y =

Bài 5. Giải hệ phương trình sau: x y x

x y x y

2

2 2

2

ìï + - + = í

- + =

ïỵ

· HPT Û y x x y x

2

2( 1) ( 1) (1)

2 (2)

1

ì - + + =

ï í =

ï +

ỵ

Từ (1) Þ y3+ £1 Þ y£ -1 (3) Từ (2) Þ x³0 Ta có x

x2

2 1

1+ £ Þ y

2£1 Þ - £ £1 y 1 (4) Từ (3), (4) Þ y= -1 Þ x=1

Nghiệm: (1; 1)-

Bài 6. Giải hệ phương trình sau: x y x y

x x y x

2 2

3 22

2 12 13

ìï - + =

í

+ + - + =

ïỵ

· Ta có: (1) y x x

2

1

Û =

+ x y

2 0,

Þ ³ £

(2)Û(x-1) (22 x+ +7) 6(y+ =1) Û ì =í = -yx 11

ỵ (vì x x y

2

( -1) (2 +7),( +1) không âm) Nghiệm: (1; 1)-

Bài 7. Giải hệ phương trình sau: xy x

xy y

2

10 20 (1)

5 (2)

ì - =

-ï í

= + ùợ

Ã T (2) ị y y y

y

x=5+ = 5+

Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: = + y ³2 y

x Þ x2 ³20 Mà theo (1) x2 £20

Do x2 =20 Û x y

x y

2 ( 5)

é = =

ê

= - =

(45)

xy

x x y

x x

xy

y y x

y y

2

3

2

ì

+ = +

ï

ï - +

í

ï + = +

ï - +

ỵ

· Cộng hai phương trình, vế theo vế, ta được: xy xy x y

x x y y

2

3

2

2 + = +

- + - + (*)

Ta có: 3 2x -2x+ =9 3(x-1)2+ ³8 2, 3y2-2y+ =9 3(y-1)2+ ³8

Þ VT (*) £ 2xy 2xy 2xy xy x2 y2

2 + = £ £ + Dấu "=" xảy Û

x y x y 10

é = = ê = =

ë

Nghiệm: (0; 0), (1; 1)

Bài 9. Giải hệ phương trình sau: x x y

x x y

2

4 3232 6 024 (2)(1)

ìï + - - + =

í

+ - + - =

ïỵ

·Điều kiện: x

y y

0 32

3 4;

ì £ £

í £ £ £

-ỵ

Lấy (1) (2)+ ta được: x+ 32- +x 4x+432- =x y2-6y+21 (*) Mà: + y2-6y+21 (= y-3)2+12 12³

+ x + 32- £x (1 1)(+ x+32-x) 8= ; 4x+432- £x (1 1)(+ x + 32-x) 4£

Þ x + 32- +x 4x +432- £x 12

Do (*) Û

x x

y

4 43232

3

ì =

-ï

í =

-ï - = ỵ

Û ì =í =xy 163

ỵ

Nghiệm: (16;3)

2 32 (1)

8 (2)

ì + = í = ỵ

· Ta có x, y phải số dương Vì x, y < 2x +4y < <2 32 Khi ta có: 2x+4y³2 4x y =2 22 2+ y ³2 22 2xy =32

Do đó: (1) Û x=2y Thay vào (2), ta được: x=4,y=2 Nghiệm: (4;2)

Bài 11.Giải hệ phương trình sau: y x x y

x y

3 2

2

64 (1)

( 2) (2)

ìï + =

-í

+ = +

ïỵ

· Từ (2): y+ =6 (x2+2)3³8 Þ y³2 Þ y3+x2 ³8 Mặt khác 64-x y2 £8 Do (1) Û y x

x y

3

2

64

ì + = ï

í

- =

ïỵ Û

x y 20

ì = í = ỵ Nghiệm: (0;2)

Bài 12.Giải hệ phương trình sau: x x y

x y

1 (1)

( 4) 5 (2)

ì + + + =

ï í

+ - + =

(46)

· Ta có: x ³0, (y-4)2+ ³5 5 Do đó: (2) Û ì =í =yx 40

ỵ (thoả (1)) Nghiệm: (0;4)

Bài 13.Giải hệ phương trình sau: x y x

x x y

3 2

2

3 (1)

1 (2)

ìï + + =

í

- + + =

ïỵ

·Điều kiện: x x y

2

0

ìï - ³ í

+ ³

ïỵ Từđó x y x

3 2

3 + + ³4 Dó (1) Û ì =í =yx 01

ỵ Nghiệm: (1;0)

Bài 14.Giải hệ phương trình sau: y x y

x y x y

2

3 ( 1) (1)

8 (2)

ìï - + = -í

+ =

-ïỵ

· Ta có: (1) Û x y- - = - +3 (y 1)2£0 Þ x y- £3 Þ 0£ - £x y (a) Từ (2) ta có điều kiện: x y- - ³9 Þ x y- ³9 (b)

Từ (a) (b) Þ x y- =9 Nghiệm: (8; 1)-

(47)

Vấn đề 4: Phương pháp hàm số Chọn hàm số thích hợp, sử dụng tính đơn điệu hàm số

Cho hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng (a; b) Khi đó, với a, b Ỵ (a; b) ta có: f(a) = f(b) Û a = b

Chú ý: Các hệ phương trình hốn vị vịng quanh

x f y y f z z f x ( ) ( ) ( )

ì = ï = í ï = ỵ

, thường sử dụng tính đơn điệu hàm sốđể chứng minh x = y = z

– Xét tính đơn điệu hàm số f(t)

– Chứng tỏ x < y, x > y, … không xảy

– Từđó suy x = y = z Thế vào hệđã cho để giải tìm x, y, z

Bài 1. Giải hệ phương trình sau: x x y y

x y

3

8 54 1 (1)(2)

ìï = -í

+ =

ïỵ

· Từ (2) Þ x8£1, y4£1Þ x £1, y £1

Xét hàm số f t( )= -t3 ,t tỴ -[ 1;1] ị f tÂ( ) 3= t2- <5 0," ẻ -t [ 1;1] Þ f(t) nghịch biến trên [–1; 1]

Do đó: Từ (1) Þ f(x) = f(y) Û x = y

Thay vào (2) ta được: x8+x4- =1 0Û x y

- +

= ± =

Bài tương tự: x x y y

x y

3

6 36 1

ìï = -í

+ =

ïỵ

Bài 2. Giải hệ phương trình sau: x x y y y

y x y

3

3 2 3 0 (1)(2)

ìï + - = + + í

- + =

ïỵ

· Ta có: (1) Û x3+ =x (y+1)3+ +y 1 (3)

Xét hàm số f t( )= +t3 t Þ f t( ) đồng biến R Do (3) Û x y= +1 Thay vào (2) ta được: y3- +(y 1)3y+ =3 Û yy

2

é = ê

= -ê ë

Nghiệm: (2;1), 3;

2

ổ

-

-ỗ ÷

è ø

x y x y x y

y x

y x y x

x y x

4 2

2

2 (1)

8 (2)

ì ỉ

ï + -ỗỗ + ữữ+ + =

-ớ ố ứ

ï + - + =

ỵ

·Điều kiện: ỡ ạớ ạyx 00

ợ t x y ty x+ = Þ

x y t

y x

2

2 + = -2,

x y t t

y x

4

4 + = -4 +2

Mặt khác, ta có: x y t t

y x

2

2 + ³ Þ2 ³ Þ ³4

(48)

+ Với t³2 Þ g tÂ >( ) + Vi tÊ -2 ị g t¢ <( ) Dựa vào BBT, ta có g t( )= -2 Û t= -2 Û x= -y

Thay vào (2) ta được: x6+x2-8x+ =6 Û (x-1)2ëéx x2( +1)2+2(x+1)2+4ùû=0 Û x= Þ = -1 y 1

Nghiệm: (1; 1)-

Bài 4. Giải hệ phương trình sau: x y xy

x y xy x y

2

7 (2 1)(2 1)

2

7 14

ì

- - =

ï í

ï + + - - + =

ỵ

· Dễ thấy xy=0 khơng thoả HPT

Với xy¹0 ta có: HPT Û x x y y

x2 y2 xy x y

1

2 (1)

2

7 14 (2)

ìỉ ưỉ

- - =

ùỗố ữỗứ ữ

ớ ố ø

ï + + - - + =

ỵ

+ Điều kiện để (2) (ẩn x) có nghiệm là: 1 (y 7)2 4y2 24y 56 y

D = - - + - ³ Û £ £

+ Điều kiện để (2) (ẩn y) có nghiệm là: 2 (x 6)2 4x2 28x 56 x 10

D = - - + - ³ Û £ £

Xét hàm số f t t t

( ) 2= - Þ f t( ) đồng biến (0;+Ơ) ị f x f y( ) ( ) f(2) (1)f

³ =

Do đó: (1) Û ì =í =xy 12 ỵ Nghiệm: (2;1)

x y

x xy y

4

2

16 (1)

8

2 (2)

ì -

-= ï

í

ï - + =

ợ

Ãiu kin: ỡ ạớ ạxy 00

ợ (1) Û

x y

3

2

8 - = - (*) Xét hàm số f t t t

t

3

( )= - ( ¹0) Þ f t t t t

2

( ) 0,

¢ = + > " ị f t( ) ng bin khoảng ( ;0),(0;-¥ +¥) Do đó:

+ Trên ( ;0)-¥ : (*) Û x y

2 = Thay vào (2), ta được: y

2 =8 Û y= -2 2 Þ x= -4 2

+ Trên (0;+¥): (*) Û 2x y= Thay vào (2), ta được: y2 =8 Û y=2 Þ x=4 Nghiệm: (-4 2; 2 , 2;2 2- ) ( )

Bài 6. Giải hệ phương trình sau: x y

xy y y x

3

(3 55) 64

( 3) 12 51

ìï + =

í

+ + = +

ïỵ

· Dễ thấy x=0 khơng thoả HPT Với x¹0, HPT Û y t t x

y y y t

3

4

3 55 ( )

3 3 51

ìï + = =

í

+ + = +

ïỵ

(49)

Từđó ta có: t3-3(y- -1) 55 0= Û ( 4)(t- t2+ +4 13) 0t = Û t=4

Nghiệm: (1;3)

Bài 7. Giải hệ phương trình sau: x y x y

3

(2 ) (1) ( 2) (2)

ìï + =

í

- = ïỵ

· Dễ thấy x=0 khơng thoả HPT Với x¹0 ta có: HPT Û y x

y x

3

1

2 (3)

3 (4)

ì

+ = ïï

í

ï = + ïỵ

Lấy (3) (4)+ ta được: y y

x x

3

3 2

+ + = + + (*)

Xét hàm số f t( )= + +t3 2t Þ f t( ) đồng biến Do (*) Û y x

= Nghiệm: ( 1; 1), 1;2

2

ỉ

- - ỗ ữ

ố ứ

a) x y x y

3

(2 ) ( 2)

ìï + =

í

- =

ïỵ Nghiệm (1;2),( 2; 1)- -

Bài 8. Giải hệ phương trình sau: x x x y

y y y x

2

(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )

ìï + + + = +

í

+ + + = +

ùợ

Ã HPT ị (1+x)(1+x2)(1+x4)+x7= +(1 y)(1+y2)(1+y4)+y7 (*) Xét hàm số f t( ) (1 )(1= +t +t2)(1+t4)+t7

Ta có: f t¢ =( ) 11t6+3 ( 1)t t4 + 2+2 ( 1)t t2 + 2+ +( 1)t 2> "0, t Þ f t( ) đồng biến R Do đó: (*) Û x y= HPT Þ (1+x)(1+x2)(1+x4) 1= +x7 Û é =ê = -xx 01

ë

Nghiệm: (0;0),( 1; 1)- -

Bài 9. Giải hệ phương trình sau: x y y x

x x y y

3

2 2

3

1 2

ì - + - =

ï í

+ - - - =

-ïỵ

·Điều kiện: x yx y y

2

1 1

0

2

ìï - ³ Ûì- £ £

í í £ £

- ³ ỵ

ïỵ (*)

Đặt t x= +1, 0£ £t 2 HPT Û t t y y

x x y y

3

2 2

3 (1)

1 2 (2)

ì - =

-ï í

+ - - - =

-ïỵ

Xét hàm số f a( )=a3-3 , 0a2 £ £a 2 f a¢( ) 3= a2-6a, f a¢( ) 0= Û ê =é =aa 02 ë Dựa vào BBT Þ f a( ) nghịch biến [ ]0;2

Do (1) Û f t( )= f y( )Û =t y Û x+ =1 y Nghiệm: (0;1)

Bài 10.Giải hệ phương trình sau: y x

x x x

y y y

2

-ìï + - + = +

í

+ - + = +

(50)

·Đặt ì = -í = -u xv y 11

ỵ HPT Û

v u

u u

v v

2

1 3

ìï + + =

+ + =

ùợ

ị 3u+ +u u2+ =1 3v+ +v v2+1 Û f u( )= f v( ) với f t( ) 3= + +t t t2+1 Ta có: f t t t t

t 2

1

( ) ln3

1

+ +

¢ = + >

+ Þ f(t) đồng biến

Þ u v= Þ u+ u2+ =1 3u Û -u log3(u+ u2+ =1) (2)

Xét hàm số: g u( )= -u log3(u+ u2+1) ị g uÂ( ) 0> Þ g(u) đồng biến Mà g(0) = nên u = nghiệm (2)

Nghiệm: (1; 1)

Bài 11.Giải hệ phương trình sau: (x x )(y y )

x x xy xy x

2

1 1 (1)

6 (2)

ìï + + + + =

í

- + = + +

ïỵ

· Xét hàm số f t( )= +t t2+1 Ta có: f t t t t t

t t

2

1

( ) 0,

1

+ +

¢ = + = ³ "

+ +

Þ f t( ) đồng biến R

(1) Û x+ x2+ = - +1 y y2+1 Û f x( )= -f y( ) Û x= -y

(2) Û x 6x+2x2+ = -1 4x2+6x+1Û x x x x

2 25

2

ỉ

+ + - =

ỗ ữ

ố ứ

x x x

2

é + + =

ê

ê + + =

-ë Û

x y

1 ( 1)

3 11 ( 11)

2

é = =

-ê - - +

ê = =

ë Nghiệm: (1; 1), 11 3; 11

2

æ - - +

- ỗ ữ

ố ø

Bài 12.Giải hệ phương trình sau: x x x x y y

x x y

3

2 (2 ) (1)

2 14 (2)

ì - + - = -

-ï í

+ = - - +

ùợ

Ã D thy xạ0 (1) y y

x x

3

1

1 (3 )

ỉ ỉ

- + - = - +

-ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ø (*)

Xét hàm số f t( )= +t3 t Ta có f t¢ =( ) 3t2+ >1 0,"t Þ f t( ) đồng biến R Do (*) Û f f ( y)

x

1

ỉ

- =

-ỗ ữ

ố ứ x y

1

1- = 2- Thay vào (2), ta được: ( x+ - -2 3) (315- -x 2)=0 Û x x

x x x

7 0

2 (15 ) 2 15 4

-

-+ =

+ + - + - +

Û x (y 111) 98

= =

Nghiệm: 7;111 98

ổ

ỗ ữ

ố ứ

(51)

x x y x x x y x y x xy

x x x

2 2

3

2

3

log (2 1) log ( ) 4 ( ) (1)

log (2 ) 4 1 (2)

ì + - - = + + - - + - + - -

-ï í

+ - + =

-ïỵ

· (1)Û (2x+1)2+ -1 (2x+1)2-log (23 x+ =1) (x y- )2+ -1 (x y- )2-log (3 x y- ) (*) Xét hàm số: f t( )= t2+ - -1 t2 log3t t( >0) Þ f t t t

t t2

1

( )

ln3

ổ

Â = -ỗ + ữÊ

è ø

+

Þ f t( ) nghịch biến Do (*) Û f x(2 + =1) f x y( - ) Û 2x+ = -1 x y (1) Với phương trình (2), xét hàm số: f x( ) log (2 ) 4= 3 x + x2- 4x2+1 (x>0)

Þ f x x

x x2

1

( )

ln3

4

ỉ

Â = ỗ - ữ+ >

ỗ + ữ

è ø Þ

f x( ) đồng biến Mà f 1

2

ổ = -ỗ ữ

ố ứ nờn x

1

= Þ y

2

= - Nghiệm: 3;

2

ổ

-ỗ ÷

è ø

Bài 14.Giải hệ phương trình sau: x x y y y

y y x x x

2

2 22 (1)

2 22 (2)

ìï + + - = + +

í

+ + - = + +

ïỵ

·Điều kiện: ì ³í ³yx 00

ỵ Dễ thấy x=0 y=0 không thoả HPT, nên x>0,y>0 Lấy (1) (2)- ta được:

x2+2x+22+ x x+ 2+2x+ =1 y2+2y+22+ y y+ 2+2y+1 (a) Phương trình (a) có dạng: f x( )= f y( ) với f t( )= t2+ +2 22t + t t+ + +2 1,(t t>0)

Ta có: f t t t t

t t2 t

1

( ) 2 0,

2 22

+

¢ = + + + > " >

+ + Þ f t( ) đồng biến

Do đó: (a) Û x y= Thay vào (1) ta được: x2+2x+ -1 x2+2x+22+ x =0 (b) Phương trình (b) có dạng: g x( )=g(1) với g t( )= + + -t2 1t t2+ +2 22t + t

Ta có: g t t t t

t t2 t t2 t

1 1

( ) 2

2 2 22 2 22

+ +

¢ = + + - > - >

+ + + + Þ g t( ) đồng biến Do đó: (b) Û x=1Þ y=1

Nghiệm: (1;1)

Bài 15.Giải hệ phương trình sau: x x x x y y y

x y x y

2 2

2

3 2( 1) 2

2

ìï - - + + = + + +

í

+ = - +

ïỵ

· HPT Û x x x x y y y

x x y y

2 2

2

3 2( 1) 2 (1)

2 (2)

ìï - - + + = + + +

í

- = - - +

ïỵ

Lấy (1) (2)- ta được: x2+x x2+ =1 (y+1)2+ +(y 1) (y+1)2+1 (3)

Xét hàm số: f t( )= +t2 t t2+1 Ta có: f t t t t t t t t

2

( ) 2 0,

1

¢ = + + + > + ³ " +

(52)

Nghiệm: ( 1; 2), ;8 3

ổ

- - ỗ ữ

è ø

Bài 16.Giải hệ phương trình sau: x y x

x y

2

1 (1)

( 1) (2)

ìï - - = -í

- =

ïỵ

·Điều kiện: x y 10

ì ³ í ³ î

Thế (2) vào (1) ta được: x- -1 (x-1)2 = -8 x3Û x- = - +1 x3 x2-2x+9 (3) + Xét hàm số f x( )= - +x3 x2-2x+9, x³1 Ta có: f x¢( )= -3x2+2x- < " ³2 0, x

Þ f x( ) nghịch biến x³1

+ Xét hàm số g x( )= x-1 Þ g x( ) đồng biến x³1

Mặt khác, f(2)=g(2) nên x=2 nghiệm (3) Nghiệm: (2;1)

Bài 17.Giải hệ phương trình sau: x xy y y

x y

5 10

2

(1)

4 (2)

ì + = +

ï í

+ + + =

ïỵ

· Dễ thấy y¹0 Khi (1) Û x x y y

y y

5

ỉ

+ = +

ỗ ữ

ố ứ (*)

Xét hàm số f t( )= +t5 t ị f tÂ =( ) 5t4+ > "1 0, t Þ f t( ) đồng biến R Do (*) Û x y

y = Û x y= 2 Thay vào (2) ta được: 4x+ +5 x+ =8 Û x=1 Nghiệm: (1;1),(1; 1)-

x y

(3 ) 2 (1)

2 (2 1) (2)

ì - - - - =

ï í

- - - =

ïỵ

· Ta có: (1) Û ( (2-x)2 +1 2) - =x ( (2y-1)2 +1 2) y-1 (*) Xét hàm số f t( ) (= t2+1)t Þ f t( ) đồng biến

Do (*) Û f( 2-x)= f( 2y-1) Û 2- =x 2y-1 Û x= -3 2y Nghiệm: (1;1), 5;

2

æ + -

ỗ ữ

ố ứ

x y

3

2(2 1) (2 3) (1)

4 2 (2)

ìï + + + = -

-í

+ + + =

ïỵ

· (1) Û 2(2x+1)3+2x+ =1 (y-2)3 + y-2 (*) Xét hàm số f t( ) 2= t3+t Þ f t( ) đồng biến

Do (*) Û 2x+ =1 y-2Û y=4x2+4x+3 Nghiệm: ;6

2

ổ

ỗ ữ

ố ứ

Bài 20.Giải hệ phương trình sau: y y x x x

x y y

3

2

3 (1)

1 (2)

ì + = + + +

ï í

- - =

(53)

· (1) Û y3+ =y (x+1)3+ +x 1 (*) Xét hàm số f t( )= +t3 t Þ f t( ) đồng biến Do (*) Û f y( )= f x( +1) Û y x= +1

Nghiệm: (0;1)

Bài 21.Giải hệ phương trình sau: y y x x x

y y x

3

2 (1)

2 4 (2)

ì + + - =

-ï í

+ + = + + ïỵ

·Điều kiện: - £ £4 x 1 Ta có: (1) Û 2y3+ =y 2(1-x) 1- +x 1-x (3) Xét hàm số f t( ) 2= t3+t Þ f t( ) đồng biến R Do (3) Û y= 1-x Thay vào (2) ta được: 2- x + 1- = +x x+4 (4)

Ta có: VT (4) hàm số nghịch biến ( 4;1)- , VP (4) hàm sốđồng biến ( 4;1)- , nên (4) có nghiệm x= -3

Nghiệm: ( 3;2)-

x x y y

x

x xy x

2

(4 1) (1)

2 (2)

2

ì + - - =

ï í

- + + - + =

ï ỵ

·Điều kiện: x 4,y

³ - ³

Ta có (1) Û x x(4 2+ -1) y y2 - = Û1 (4x x2+ =1) 2y y- =1 Û(2 )x 3+2x=( 2y-1)3+ 2y-1 (3)

Xét hàm số f t( )= +t3 t Þ f t( ) đồng biến ¡, từđó

x y x2 y x

(3)Û2 = - Û1 + =1 ( ³0) Thay vào (2) ta được:

x2 x x2 x x x3 x2 x x

4 (4 1) 4

- + + + - + = Û - + - + = (4)

Xét hàm số g x( )= -4x2+4x3+7x- 2x+8 có

x

g x x x x x x

x x

2 2

( ) 12 2(2 1) 0,

2 8

+

-¢ = - + - = + - + > " ³

+ +

nên g x( ) đồng biến nửa khoảng [0;+¥) Mà g x( ) g

ổ

= ỗ ÷è ø nên (4) Û x

= Nghiệm: ;1

2

æ ỗ ữ ố ứ

Bi 23.Gii h phương trình sau: x y x y x y2 y

cos cos 18

ì - =

-í - - =

ỵ

· HPT Û íì -xx y2 cos-3yx y-= -18 0=cosy (2)(1)

ỵ

Xét hàm số f t( )= -t cost ị f tÂ = +( ) sint "0, tÞ f t( ) đồng biến R

Do (1) Û f x( )= f y( ) Û x y= Thay vào (2) ta được: x3-3x-18 0= Û x=3 Nghiệm: (3;3)

(54)

Vấn đề 5: Hệ phương trình hốn vị vịng quanh

Để giải hệ phương trình hốn vị vịng quanh

x f y y f z z f x ( ) ( ) ( )

ì = ï = í ï = ỵ

, thường sử dụng tính đơn điệu hàm sốđể chứng minh x = y = z

– Xét tính đơn điệu hàm số f(t)

– Chứng tỏ x < y, x > y, … không xảy

– Từđó suy x = y = z Thế vào hệđã cho để giải tìm x, y, z

x y y z z x

1 (1)

2 (2)

3 (3)

ì + = ï

+ = í ï + = ỵ

· Cộng phương trình, vế theo vế, ta được: x y z+ + =3 (4) Từ (4) (1) Þ z = 2; từ (4) (2) Þ x = 1; từ (4) (3) Þ y = Thử lại Þ Nghiệm (x; y; z): (1; 0; 2)

xy x y yz y z zx z x

2

ì = + +

ï

= + + í

ï = + +

ỵ

· yz y zxy x y zx z x

2

ì = + +

ï

= + + í

ï = + + ỵ

Û xy zy

z x

(2 1)(2 1) (2 1)(2 1) 15 (2 1)(2 1)

ì - - =

ï

- - =

í

ï - - =

ỵ

(*) Nhân phương trình trên, vế theo vế, ta được:

x y z

(2 -1) (2 -1) (2 1)- =225Û x y z a

x y z b

(2 1)(2 1)(2 1) 15 ( ) (2 1)(2 1)(2 1) 15 ( )

é - - - =

ê - - =

-ë Kết hợp với (*) ta được:

+ Trường hợp (a) Þ x y z 1

ì - = ï

- = í

ï - = ỵ

Û xy z

1

ì = ï

= í ï = ỵ + Trường hợp (b) Þ

x y z

2 1

2

ì = -ï

= -í

ï = -ỵ

Û xy z

0

ì = ï

= -í ï = -ợ

Th li ị Nghim (x; y; z): (1;2;3), (0; 1; 2)- -

a)

x xy y y yz z z zx x

1

ì + + = ï

+ + = í

ï + + = ỵ

Û xy zy

z x

( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)

ì + + =

ï

+ + =

í

ï + + =

ỵ

Nghiệm: (1;0;3),( 3; 2; 5)- - -

x y

y z

z x

2 2 ( 1) ( 1) ( 1)

ì - =

ï

í - =

ï - = ỵ

(I) · Từ (I) Þ x y z, , ³0

Xét hàm số f t( ) 1( 1)t 2

= - Þ f t( ) đồng biến (1;+¥), nghịch biến [0;1]

Khi HPT Û

f x y

f y z

f z x

( ) ( ) ( )

ì =

ï = í

(55)

Từ hệ (I) ta suy được: + x<1 y<1,z<1 + x>1 y>1,z>1 Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến f t( ) ta chứng minh x y z= = Khi đó: (x-1)2=2x Û x= ±2 3

Nghiệm: (2- 3;2- 3;2- , 2) ( + 3;2+ 3;2+ 3)

a)

x y

y z

z x

2 2

1 1

ì = + ï

í = + ï = + ỵ

Nghiệm: 1; 1; , 1; 1;

2 2 2

æ - - - ổ + + +

ỗ ữ ç ÷

è ø è ø

x x x y

y y y z

z z z x

3

ì + + - =

ï

í + + - =

ï + + - =

ỵ

· Giả sử x=max{ , , }x y z Xét trường hợp: a) x y z³ ³

Từ HPT ta có: x x x x

z z z z

3

3 332 22 55

ìï + + - £ í

+ + -

ùợ ị

x x

z z

2

( 1) ( 2) ( 1) ( 2)

ì é ù

ï - ë + + £û

í é ù

- + + ³

ï ë ỷ

ợ ị

x z 11

ỡ £ í ³ ỵ b) x z y³ ³

Từ HPT ta có: x x x x

y y y y

3

3 33 22 55

ìï + + - Ê

+ + -

ùợ ị

x x

y y

2

( 1) ( 2) ( 1) ( 2)

ì é ù

ï - ë + + £û

í é ù

- + +

ù ỷ

ợ ị

x y 11

ì £ í ³ ỵ

Cả trường hợp cho: x y z= = =1 Thử lại thấy x y z= = =1 nghiệm HPT Nghiệm: (1;1;1)

x x x x y

y y y y z

z z z z x

3

3 ln( 1)

ì + - + - + =

ï

í + - + - + =

ï + - + - + =

ỵ

· Xét hàm số f t( )= + - +t3 3 ln(t t2- +t 1) Þ f t t t t

t t

2

( ) 0,

1

-¢ = + + > " - +

Þ f t( ) đồng biến R Khi HPT Û

f x y

f y z

f z x

( ) ( ) ( )

ì =

ï = í

ï =

ỵ

Giả sử x=min( , , )x y z Khi x y£ Þ f x( )£ f y( ) Þ y z£ Þ f y( )£ f z( ) Þ z x£

Þ x y z x£ £ £ Þ x y z= =

Với x y z= = ta có: x3+2x- +3 ln(x2- + =x 1) 0 (*)

Hàm số g x( )=x3+2x- +3 ln(x2- +x 1) đồng biến g(1) 0= nên (*) có nghiệm nhất x=1

Nghiệm: (1;1;1) Bài tương tự:

a)

x y y y

y z z z

z x x x

3

2 2

ì + = + +

ï

í + = + +

ï + = + + ỵ

Xét hàm số f t t t t

3 1

( )

2

+ +

(56)

b) ï ỵ ï í ì

= + +

-= + +

-x z

z z

z y

y y

y x

x x

4

2

Xét hàm số f t( )= -t3 3t2+ +5 1t

Nghiệm: (1;1;1), (1± 2;1± 2;1± 2) Bài 6. Giải hệ phương trình sau:

x x y x

y y z y

z z x z

2

3

2 6.log (6 ) 6.log (6 ) 6.log (6 )

ì - + - =

ïï

í - + - =

ï

- + - =

ïỵ

·Điều kiện x y z, , £6 HPT Û

x y

x x

y z

y y

z x

z z

3 2

log (6 )

2

log (6 )

2 log (6 )

2

ì

- = ï

- +

ï

ïï - =

í

- + ï

ï

- = ï

- + ïỵ

(a)

Xét hàm số f t t g t t

t2 t

( ) , ( ) log (6 )

2

= =

+ với t<6 Ta có:

+ f t t t

t2 t

( ) 0,

2

-¢ = > " <

- + Þ f t( ) đồng biến

+ g t t

t

( ) 0,

6

Â = < " <

- ị g t( ) nghịch biến Khi đó: (a) Û f xf y g yg z

f z g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ì =

ï =

í

ï =

ỵ

Giả sử x=min( , , )x y z Khi x y£ Þ f x( )£ f y( ) Þ g y( )£g z( ) Þ y z³

Þ f y( )³ f z( )Þ g z( )³g x( ) Þ z x£ Þ f z( )£ f x( ) Þ g x( )£g y( ) Þ x y³

Þ x y z= =

Với x y z= = ta có: x x

x x

3 2

log (6 )

2

- =

- + (b)

Hàm số f t t t2 t ( )

2

=

- + đồng biến, g t( ) log (6 )= -t nghịch biến f(3)=g(3) 1= nên (b) có nghiệm x=3

Nghiệm: (3;3;3)

(57)

Vấn đề 6: Hệ phương trình giải phương pháp lượng giác hoá

· Nếu x a a£ ( >0) ta đặt x a= cosa với aỴ[0; ]p

· Nếu x2+y2 =a a( >0) ta đặt x= asin ,a y= acosa với aỴ[0;2 ]p

· Với số thực x ln có số a với ; 2 p p

ỉ

ẻ -ỗ ữ

ố ứ

a cho x=tana

Bài 1. Giải hệ phương trình sau: x y y x

x y

2

1 1 (1)

(1 )(1 ) (2)

ìï - + - =

í

- - =

ïỵ

·Điều kiện: x xy y

2

1 1

1

ìï - ³ Ûì- £ £

í í- £ £

- ³ ỵ

ïỵ Đặt x=cos ,a y=cosb với a b, Ỵ[0; ]p Khi đó: HPT Û ìí -(1 cos )(1 cos ) 2cos sina ab+cos sinbb a =1

+ =

ỵ Û sin cos2 sin cos 1 (3)

p a b

a a a a

ìï + = í

ï - - - =

ợ

t t=sina-cos ,a t Ê ị sin cos t2

a a = -

Khi đó: (3) Û t t2

- = Û t2+ - =2 0t Þ t=1

Với t=1 ta có: sin p

ỉ - ử=

ỗ ữ

ốa ứ ị

p

=

a Þ b =0 Þ ì =í =yx 10

ỵ Nghiệm: (0;1)

Bài 2. Giải hệ phương trình sau: x y xy x2 y2

2( )(1 ) (1)

1 (2)

ìï - + =

í

+ = ïỵ

· Do x2+y2 =1 nên x y, Ỵ -[ 1;1] Đặt x=sin ,a y=cosa với aỴ[0;2 ]p Khi (1) Û 2(sina -cos )(1 2sin )a + a = 3

Û 4sin sin2 sin

4

p p

a a

ỉ ưỉ

- + =

ỗ ữỗ ữ

ố ứố ứ 8sin sin 12 cos 12

p p p

a a a

ỉ ỉ ổ

- + - =

ỗ ữ ç ÷ ç ÷

è ø è ø è ø

Û 4cos cos cos

12

p p p

a é a ù

ỉ - - ỉ - =

ỗ ữờ ỗ ữỳ

ố ứở ố ứỷ

Û 2cos 4cos cos

12 12

p p p

a a a

ỉ ỉ ỉ

- - - - =

è ø è ø è ø

Û 2cos cos cos

12 12

p p p

a é a a ù

æ - ư- ỉ - ư+ ỉ - =

ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữỳ

ố ứ ë è ø è øû

Û 2cos 3

4 p a

ổ

- ỗ - ÷=

è ø Û

3 cos

4

p a

ỉ - ư=

-ỗ ữ

ố ứ

k

k Z k

13

36 3 ( )

7

36

p p

a

p p

a

é

= +

ê

Ỵ ê

ê = - + ë

Vì a Ỵ[0;2 ]p nên 13 37 51 17 41 65, , , , , 36 36 36 36 36 36

p p p p p p

ì ü

Ỵ ý

ợ ỵ

(58)

Nghim: x y

13 13 37 37 51 51

sin ;cos , sin ;cos , sin ;cos ,

36 36 36 36 36 36

( ; )

17 17 41 41 65 65

sin ;cos , sin ;cos , sin ;cos

36 36 36 36 36 36

p p p p p p

ìỉ ổ ổ ỹ

ù ù

ùố ứ ố ø è ø ï

Ỵ íỉ ư ỉ ư ổ ử ý

ùỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ï

ïè ø è ø è ø ï

ợ ỵ

Bi 3. Gii h phng trỡnh sau:

x x y y y y z z z z x x

2 2 2

ì + =

ï

í + =

ï + =

ỵ

(I)

· Từ phương trình hệ ta suy x y z, , ¹ ±1

Do đó: (I) Û

x y

x y z

y z x

z 2

2 (1)

1

2 (2)

1

2 (3)

1

ì = ï

-ï ï = í

-ï ï =

ï

-ỵ

Đặt x=tana với ; 2 p p

ổ

ẻ -ỗ ữ

ố ứ

a cho tan ,tan ,tan 4a a a ¹ ±1

Khi ta có: y z x

tan2 tan tan8

ì = ï

= í ï = ỵ

a a

a Þ tan8a =tana Þ k (k Z)

p

= Ỵ

a

Vì ;

2 p p

ỉ

ẻ -ỗ ữ

ố ứ

a nên k= ± ± ±0, 1, 2, 3

Nghiệm: ( ; ; )x y z tank ;tank2 ;tank4 ,k Z, k

7 7

p p p

ỡổ ỹ

ẻớỗố ữứ ẻ - Ê Ê ý

ợ ỵ

x z x z z

y x y x x

z y z y y

2

3

ì - - + =

ï

í - - + =

ï - - + =

ỵ

· HPT Û

x z z z

y x x x

z y y y

2

(1 ) (1 ) (1 )

ì - =

-ï

í - =

-ï - =

-ỵ

(I) Từ hệ suy x y z, ,

¹ ±

Do đó: (I) Û

z z x

z x x y

x y y z

y 3

3 (1)

1

3 (2)

1

3 (3)

1

ì

-= ï

-ï

ïï

-= í

-ï

ï

-= ï

-ïỵ

(II)

Đặt x=tana với ; 2 p p

ổ

ẻ -ỗ ữ

ố ứ

a cho tan ,tan3 ,tan9

¹ ±

a a a

Khi ta có: y z x

tan3 tan tan 27

ì = ï

= ù = ợ

a a

a ị tan27a =tana Þ

( )

k , k Z

26 p

= Ỵ

(59)

Vì ; 2 p p

ỉ

ẻ -ỗ ữ

ố ứ

a nên k £12

Nghiệm: ( ; ; )x y z tank ;tank3 ;tank9 ,k Z, 12 k 12

26 26 26

p p p

ỡổ ỹ

ẻớỗố ữứ ẻ - Ê Ê ý

ợ ỵ

Bi 5. Gii hệ phương trình sau: x x y y z z xy yz zx

1 1

3

1

ì ỉ + ư= ỉ + ử= ổ +

ù ỗ ữ ỗ ữ ç ÷

í è ø è ø è ø

ï + + = ỵ

· Nhận xét: xyz¹0 x y z, , dấu Nếu ( ; ; )x y z nghiệm HPT x y z

( ; ; )- - - nghiệm hệ, nên ta tìm nghiệm x y z, , dương hệ Đặt x=tan ,a y=tan ,b z=tan (0g <a b g, , <90 )0

Khi đó: HPT trở thành:

1 1

3 tan tan tan (1)

tan tan tan

tan tan tan tan tan tan (2)

a b g

a b b g g a

ì ỉ ỉ ỉ

+ = + = +

ù ỗ ữ ỗ ữ ỗ ÷

í è ø è ø è ø

ï + + =

ỵ

Ta có: (1) Û tan2 tan2 tan2

tan tan tan

a b g

ỉ + ỉ + ỉ +

= =

ỗ ữ ỗ ữ ç ÷

è ø è ø è ø Û

3

sin2a =sin 2b =sin 2g

Từ (2) Þ tan (tang a +tan ) tan tanb = - a b Þ cotg =tan(a b+ )

Þ tan 90( 0-g )=tan(a b+ ) Þa b g+ + =900 Do đó:

0

3

sin2 sin2 sin

0 , , 90 ; 90

ì

= =

ï í

ï < < + + = ỵ

a b g

a b g a b g

Þ ,2 ,2a b g góc tam giác có độ dài cạnh 3, 4,

Do tam giác có độ dài cạnh 3, 4, tam giác vuông nên: 2g =900 Þ g =450 Þ z=tang =1

+ tan2 tan2 tan

a a

a

= =

- Û

x x2

2

4 1- = Þ x

1

= + tan2 2tan2

3 tan

b b

b

= =

- Û

y y2

2

3 1- = Þ y

1

= Nghiệm: 1; ;1 , 1; ;

3

ổ ổ

- -

-ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ

(60)

Vấn đề 7: Hệ phương trình chứa tham số

Bài 1. Tìm m để hệ phương trình:

2

( )

ì - + =

ï í

+ - =

ïỵ

x y x y

m x y x y có ba nghiệm phân biệt

· Hệ PT Û m x x m x m

y x

4

2

( 1) 2( 3) (1)

2

ì - + - + - =

ï

í = + ï

+ ỵ

+ Khi m = 1: Hệ PT Û x x VN y

x

2

( )

1

ì + =

ï

í = + ï

+ ỵ

+ Khi m ≠ Đặt t = x2 , t³0 Xét f t( ) (= m-1)t2+2(m-3) 2t+ m- =4 (2) Hệ PT có nghiệm phân biệt Û (1) có ba nghiệm x phân biệt

Û (2) có nghiệm t = nghiệm t > Û ( ) f

m m

S

m (0)

2

0

ì =

ï - Û Û =

í

= >

ï

-ỵ

Bài 2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: x xy y I

x xy y m

2

2 ( )

ìï + - =

í

+ + =

ïỵ

· + Với y=0 HPT trở thành: x

x m

2

ìï = í

=

ïỵ Hệ có nghiệm m

1

=

+ Với y¹0 Đặt x t

y = (I) trở thành:

t t

y m

t t

y

2

1

ì

+ - = ïï

í

ï + + = ïỵ

Û t t y II

t t m t t

2

1

2

( )

1 (2 1)

ì

+ - = ï

í

ï + + = +

-ỵ Do (I) có nghiệm ( ; )x y Û (II) có nghiệm ( ; )t y

Xét hệ (II), từ t t

y

2

2 + - =1 Þ 2t2+ - >1 Û tt 11

é < -ê

> ê ë

Do (II) có nghiệm ( ; )t y Û m t t

t t

2

1

2

+ + =

+ - có nghiệm t

1 ( ; 1) ;

2

ổ

ẻ -Ơ - ẩỗố +Ơữứ Xét hàm số f t t t

t t

2

1 ( )

2

+ + =

+ - , t

1 ( ; 1) ;

2

ỉ

ẻ -Ơ - ẩỗ +Ơữ ố ứ Ta có: f t t t

t t

2

6 ( )

(2 1)

+ + ¢ =

-+ - , f t¢ =( ) Û

t t

3

é = -ê

= - +

ë

Dựa vào BBT hàm số f t( ) suy HPT có nghiệm m 14 28 11

+ ³

+

Bài 3. Biết ( ; )x y nghiệm hệ x y m x2 y2 m2

ì + =

í + =

(61)

· HPT x y m xy m2

ì + =

Û í =

-ỵ (I)

Hệ (I) có nghiệm ÛS2-4P³ Û0 m2-4m2+12 0³ Û - £ £2 m

A P= +2S m= 2+2m-3 Bài tốn tìm lớn nhất, nhỏ hàm số với mỴ -éë 2;2ùû Đạo hàm A¢ =2m+2, A¢ = Û = -0 m

Tìm maxA=5, m=2 hay ì + = Û = =íx yxy 1 x y =

ỵ

minA= -4, m= -1 hay ìíx yxy+ = -2 1Ûíìyx= -12

= - =

ỵ ỵ

x y 12

ì = í =

-ỵ

Bài 4. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm nhất: xy x y m x y xy2 m

2

ì + + = +

í + = +

ỵ

· Nếu(x y0 0; ) nghiệm hệ (y x0 0; )cũng nghiệm hệ Vậy hệ có nghiệm x0=y0

Khi đó, hệ trở thành: x x m

x m

2

0

3

2

ì + = +

ï í

= +

ïỵ x x x

2

0 2

Þ + = + Û2x03-x02-2x0+ =1

1) x0= Þ =1 m 2) x0 = - Þ = -1 m 3 3) x0 m

2

= Þ = -Ngược lại:

1) m=1, hệ trở thành xy x y x y xy2

3

ì + + =

í + =

ỵ

S P S

SP P 21

ì + = ì =

®í Ûí

= =

ỵ ỵ (I)

S P 12

ì = í = ỵ (II) Hệ (I) có nghiệm( )1;1 , hệ (II) vơ nghiệm Như vậy, hệđã cho có nghiệm 2) m= -3, hệ trở thành xy x y

x y xy2 2

ì + + =

-í + =

-ỵ

S P S

SP P 12

ì + = - ì =

-®í Ûí

= - =

ỵ ỵ (I) v

S P 12

ì = í = -ỵ (II) Hệ (I) có nghiệm( 1; 1)- - , hệ (II) có nghiệm ( 1;2),(2; 1)- - Như vậy, hệ đã cho có nghiệm

3) m

= - , hệ trở thành xy x y x y xy2

5 4

ì

+ + = ï

í

ï + =

ỵ

S P SP

5 4

ì

+ = ï

® í ï = ỵ

S P

1

ì = ï Û í =

ïỵ (I) v

S P

1

ìï = í ï = ỵ

(II)

Hệ (I) có nghiệm 1; 2

ổ

ỗ ữ

ố ứ, hệ (II) vơ nghiệm Như vậy, hệđã cho có nghiệm

ĐS: m 1;

ỡ ỹ

ẻớ - ý ợ ỵ

Bài 5. Tìm m để hệ phương trình sau: x y y m

y x x m

2

ìï = - + í

= - + ïỵ

a) có nghiệm b) có nghiệm

· HPT Þ - =x y y2-x2+ -x y Û - =x y (x y- )(1- -x y) Û ê + =é =x yx y 0

ë a) *) Với x y= , ta x x= 2- +x mÛ x2-2x m+ =0 (1)

(62)

Vậy hệ có nghiệm Ûmột pt có nghiệm m m

2

1

4

D D

é ¢ = - ³ Û ê = - ³

ë Û £m

b) Nếu (x y0; 0) nghiệm hệ (y x0 0; ) nghiệm hệ Vậy hệ có nghiệm x0=y0

Khi đó, ta có: x0 =x02-x0+m Û x02-2x0+ =m 0 (*) Phương trình (*) có nghiệm x0 ÛD/ = - =1 m 0

Thử lại,m=1 hệ trở thành: x y y

y x x

2

2 11

ìï = - + í

= - + ïỵ

x y

é = Þ ê + =ë

* Vớix y= : ta có x x= 2- +x 1Ûx2-2x+ =1 Û =x 1Þ =y 1, nghiệm * Với x= -y: ta có Ûx2+ =1 0, vơ nghiệm

ĐS: m=1

Bài 6. Chứng tỏ với m¹0 hệ phương trình sau có nghiệm nhất:

m

x y

y m

y x

x 2

2

ì

= + ïï

í

ù = +

ùợ

Ã Vi mạ0 y m y ,

Þ dấu, mặt khác 2x2 ³0 nên y>0 Tương tự x>0

HPT x y y m

y x x m

2 2

2

ìï = +

Û í

= +

ùợ ị2 (xy x y- ) (= y x y x- )( + )

x y

x y 2xy 0 (*)

é =

Û ê + +ë = (*) vơ nghiệm x>0,y>0

Vậy HPT x y

x3 x2 m2

2 (1)

ì =

Û í - =

ỵ , ta cần chứng tỏ hệ có nghiệm Xét hàm số f x( ) 2= x3-x2, f x¢( ) 6= x2-2x

x -¥

3 +¥

f x¢( ) + 0 - 0 +

f x( )

-¥

0 1

27

- +¥

Dựa vào BBT, đường thẳng y m= 2 cắt đồ thị hàm số điểm có hồnh độ dương hay phương trình (1) có nghiệm dương m2 >0 Ûm¹0 Bài 7. Chứng tỏ với m>0 hệ phương trình sau có nghiệm nhất:

x y y m

y x x m

2

3 (1)

3 (2)

ìï - - =

í

- - =

ïỵ

(63)

f x'( ) 9= x2-4x , f x'( ) x 0,x

= Û = =

Dựa vào BBT ta thấy với m>0 phương trình f x( )=m có nghiệm x 0> Bài 8. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: x y

x x y y m

1

ìï + = í

+ =

-ïỵ (D – 2004)

·Đặt u= x v, = y u( ³0,v³0) Hệ PT Û u v u vuv m

u3 v3 m

1 1

1

ì + = Ûì + =

í + = - í =

ỵ

ĐS: 0 m

£ £

Bài 9. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm nhất: y x m

y xy

2 (1)

1 (2)

ì - =

í + =

ỵ

· Từ (1) Þ x=2y m- , nên (2) Û 2y2-my = -1 y ym y y

1

ì £ ï

Û í = - +

ùợ (vỡ y 0) Xột f y y f y

y y2

1

( )= - + ị2 Â( ) 1= + >0

Dựa vào BTT ta kết luận hệ có nghiệm Ûm>2 ĐS: m>2

Bài 10.Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: x y m

x y m2 m

1 (1)

4 (2)

ìï + + - = í

+ = - +

ïỵ (I)

·Đặt u x u v v y 11 ( , 0)

ìï = + ³

í

=

-ïỵ , ta hệ

u v m

u2 v2 m2 4m

ì + =

í + = - + î

u v m uv 2m

ì + =

Û í = -ỵ (II) Hệ (I) có nghiệm ( )x y; Ûhệ (II) có nghiệm ( ; )u v với u³0;v³0

Ta biết u v, nghiệm phương trình f t( )= -t2 mt+2m- =3 0 (*), nên hệ (II) có nghiệm u³0,v³0 (*) có nghiệm kép khơng âm hay có hai nghiệm phân biệt không âm

S P

2 4 0

0

ì - ³

ï Ûí ³

ï ³ ỵ

m m

2 8 12 0

0

2

ì - + ³

ï Ûí ³

ï - ³ î

m m

2,

ì

ï £ ³

ï Ûí ³

ï ³ ïỵ

m m

6

3 2

2

é ³ ê Û

£ £ ê

ë

ĐS: 3 m m

2 £ £ Ú ³

Bài 11.Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: x y m

y x m

2

ìï + - = í

+ - =

ïỵ

· Đặt u= x- ³ Þ =1 x u2+1, v= y- ³ Þ =1 y v2+1 HPT trở thành: u v m

v u m

2

ìï + + = í

+ + =

ùợ (II)

(64)

(II)ị(u v u- )(2 +2v- =1) 0 Hệ (II) Û

u v A

u u m

u v B

u v m

2

( )

2

2 ( )

2

éì = í

ê + + - =

ỵ ê

ì

ê + - =

í

ê + + - =

ỵ ë

Với hệ (A), PT: 2u2+ + - =u m 0 có P m

-= £ (vì m³2) nên có nghiệm u0 Khi hệ (II) có nghiệm u v u= = 0 Þ hệ ban đầu có nghiệm x y u= = 02+1

ĐS: m³2

Chú ý: Ta khơng cần xét hệ (B), cần (A) có nghiệm hệ ban đầu có nghiệm Bài 12.Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: x y m

y x m

1 (1)

1 (2)

ìï + + - = í

+ + - = ïỵ

·Điều kiện: - £1 x y, £3

Lấy (1) (2)- ta được: x+ -1 3- =x y+ -1 3-y (3) Xét hàm số f t( )= t+ -1 3-t Þ f t( ) đồng biến ( 1;3)-

Do (3) Û x y= Thay vào (1) ta được: g x( )= x+ +1 3- =x m (4) HPT có nghiệm Û (4) có nghiệm

g x( ) hàm số liên tục [ 1;3]- g x g x x

x x

1

'( ) , '( )

2

= - = Û =

+

-Dựa vào BBT ta có (4) có nghiệm Û 2£ £m 2 Kết luận: 2£ £m 2

Bài 13.Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: x y y x

x x y y m

3

2 2

3 (1)

1 (2)

ì - + - - =

ï í

+ - - - + =

ïỵ

·Điều kiện - £ £1 x 1; 0£ £y 2 Khi -1£ y-1£1 nên: )

1 ( ) ( ) ( ) ( )

1

( Û x3 - x= y- - y- Û f x = f y- đó f(t)=t3 -3t,tỴ[ ]-1;1

Ta có: f'(t)=3t2 -30"tẻ[ ]-1;1 ị f(t) ng bin trờn on [ ]-1;1 Do (1)Ûx= y-1, vào (2) ta m=2 2y-y2 +2y-y2 -1 Đặt t = 2y-y2 , 0£ y£2 nên 0£t£1

Khi (2)Ûm= f(t) với f(t)=t2 +2t-1,tỴ[ ]0;1

Xét hàm số g t( )= + -t2 1t đoạn [ ]0;1 , ta có g t'( ) 2= t+ , g t'( ) 0= Û = -t 1. Suy bảng biến thiên g t( )= + -t2 1t đoạn [ ]0;1 là:

x 0 g’(x) +

g(x)

-1

Từ bảng biến thiên, suy giá trị cần tìm m mỴ[-1;2] Bài 14.Tìm m để hệ phương trình sau:

(65)

Vấn đề 8: Giải phương trình cách đưa hệ phương trình Bài 1. Giải phương trình sau: 8x+ =1 23 x+1-1

·Đặt 2x = >u 0; 23 x+1- =1 v

Ta hệ u v u v u v

u u

v u u v u uv v

3

3 2

0

1 2

2

1 ( )( 2)

ì ì ì = >

ï + = Ûï + = Û

í í í - + =

+ = - + + + =

ï ï ỵ

ỵ ỵ

Û x

x 2

0

1

log

é =

ê - +

ê = ë

Bài 2. Giải phương trình sau: x3+ =1 23 x-1

·Đặt y=32x-1 Ta hệ x y

y x

3 21 2

ìï + =

+ =

ùợ ị x y x y xy

2

( - )( + + +2) 0= Û x y=

Þ x3-2x+ =1 Û x x

1

2

é = ê - ± ê = ë

Bài 3. Giải phương trình sau: 33 x- +2 5- x - =8

·Đặt u=33x-2,v= ,- x v³0 (*) Ta có hệ: u v

u3 v2

2

5

ì + =

í + =

ỵ Û

u v

u3 u2 u

8

15 32 40

ì = -ï í

ï + - + =

ỵ

Û u

v 42

ì = -í =

ợ ị x = Bi 4. Giải phương trình sau:

(66)

ĐỀ THI ĐẠI HỌC Baøi (ĐH 2002B) Giải hệ phương trình: x y x y

x y x y

3

2

ì - =

-ï í

+ = + +

ïỵ

ĐS: (1;1), 1; 2

æ

ỗ ữ

ố ứ

Baứi (ĐH 2003A) Giải hệ phương trình: x x y y y x3

1

2

ì

= -ï

í

ï = +

ỵ

ĐS: (1;1), 1; , 1;

2 2

ỉ- + - + ỉ- - - -

ỗ ữ ỗ ữ

ố ø è ø

Baøi (ĐH 2003B) Giải hệ phương trình:

y y

x x x

y

2

ì +

= ï ï

í +

ï = ïỵ

ĐS: (1; 1)

Baøi (ĐH 2004D) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm x y

x x y y m

1

ì + =

ï í

+ =

-ïỵ

ĐS: 0 m

£ £

Baøi (ĐH 2004A–db1) Gọi (x; y) nghiệm hệ phương trình ì -ímx yx my= -32 4m m1

+ = +

ỵ (m

tham số) Tìm giá trị lớn biểu thức A x= 2+y2-2x, m thay đổi ĐS:

Baøi (ĐH 2005A–db1) Giải hệ phương trình: x y x y

x x y y y

2 4

( 1) ( 1)

ì + + + = í

+ + + + =

ỵ

ĐS: ( 2;- ,) (- 2; , (1; 2), ( 2;1)) -

-Baøi (ĐH 2005A–db2) Giải hệ phương trình: x y x y

x2 y 1

3

ì + + - + =

í

+ =

ỵ

ĐS: (2; 1)

-Baøi (ĐH 2006A) Giải hệ phương trình: x y xy

x y

3

1

ì + - =

ï í

+ + + =

ïỵ

ĐS: (3; 3) Đặt t= xy

Baøi (ĐH 2006A–db1) Giải hệ phương trình: x y y x y

x y x y

2

2 ( )

( 1)( 2)

ìï + + + =

í

+ + - =

ïỵ

ĐS: (1;2), ( 2;5)

-Baøi 10 (ĐH 2006A–db2) Giải hệ phương trình: x x y y

x y

3

2 83 3( 21)

ìï - = + í

- = +

(67)

ĐS: (3;1), ( 3; 1), 6; , 6;

13 13 13 13

ổ ổ

- - ỗ- ữ ç - ÷

è ø è ø

Chú ý: 3(x3-y3) 6(4= x y+ ) (= x2-3 )(4y2 x y+ ) Baøi 11 (ĐH 2006B–db2) Giải hệ phương trình: x y x y

x y x y

2

( )( ) 13

( )( ) 25

ìï - + =

í

+ - =

ïỵ

ĐS: (3;2), ( 2; 3)- - HPT Û x y xy x y

3 19

( )

ì - =

í - =

ỵ

Bài 12 (ĐH 2006D–db1) Giải hệ phương trình: x xy y x y

x xy y x y

2

2 3(7( ))3

ìï - + =

-í

+ + =

-ïỵ

ĐS: (2;1), ( 1; 2)- - Đặt u x y v xy

ì = -í =

ỵ

Bài 13 (ĐH 2007D) Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:

x y

x y m

x y

3

1 1 5

1 1 15 10

ì

+ + + = ïï

í

ï + + + =

-ïỵ

ĐS: 7 m m 22

4£ £ Ú ³ Đặt ( )

u x

x u v

v y y

2,

ì = +

ïï ³ ³

í ï = + ïỵ

Dùng PP hàm số

Baøi 14 (ĐH 2007A–db2) Giải hệ phương trình: x x y x y

x y x xy

4 2

3 1 (1)(2)

ìï - + =

í

- + =

ïỵ

ĐS: (1;1), ( 1; 1)- - Đặt u x xy v x y

2

ìï = -í

=

ïỵ Cách 2: Hệ PT Û

x x xy

2( 1) 0

1

ì - =

í

- =

ỵ Û

x xy 11

ì = ± í = ỵ

Bài 15 (ĐH 2007B–db2) Giải hệ phương trình:

xy

x x y

x x

xy

y y x

y y

2

3

2

ì

+ = +

ï

ï - +

í

ï + = +

ï - +

ỵ

ĐS: (0;0), (1;1) Cộng PT vế theo vế, ta được:

VT xy x y VP

x y

2

3

1

2

( 1) ( 1)

ỉ

= ỗ + ữ= + =

ỗ - + - + ÷

è ø

Mà VT £2 xy x£ 2+y2 =VP Dấu "=" xảy Û x y x y 10

é = = ê = =

ë

Baøi 16 (ĐH 2007D–db2) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm nhất: x y m

x xy

2

1

ì - - =

í + =

ỵ

ĐS: m > PT Û x

x2 m x

1

(2 )

ì £ í

+ - - =

(68)

Baøi 17 (ĐH 2008A) Giải hệ phương trình: x y x y xy xy

x y xy x

2

4

5 (1 )

4

ì + + + + =

-ï í

ï + + + =

-ỵ

ĐS: 5; 25 , 1;

4 16

ỉ ư ỉ ử

-

-ỗ ữ ỗố ữứ

ố ø Đặt

u x y

v xy

ì = + í =

ỵ

Baøi 18 (ĐH 2008B) Giải hệ phương trình: x x y x y x

x xy x

4 2

2 22 6 6

ìï + + = +

í

+ = +

ïỵ

ĐS: 4;17

ổ

-ỗ ÷

è ø HPT Þ x x x x

3

( +4) = Þ = -0 ( ¹0) Bài 19 (ĐH 2008D) Giải hệ phương trình: xy x y x y

x y y x x y

2 2

ìï + + = -í

- - =

-ïỵ

ĐS: (5; 2) HPT Û x y x y

x y y x x y

( )( 1)

2 2

ì + - - =

í - - =

-ỵ Chú ý x y+ >0 Baøi 20 (ĐH 2009B) Giải hệ phương trình: xy x y

x y2 xy y2

1 13

ì + + =

í + + =

ỵ

S: 1;1 , (3;1)

ổ ỗ ÷

è ø Đặt

u x y x v

y

ì

= + ïï

í ï = ïỵ

Bài 21 (ĐH 2009D) Giải hệ phương trình:

x x y x y

x

2

( 1)

5

( )

ì + + - = ï

í + - + =

ïỵ

ĐS: (1;1), 2;

ỉ

-ỗ ữ

ố ứ HPT

x y x x y

x

2

1

5

( )

ì

+ + - = ïï

í

ï + - + =

ïỵ

Đặt u x y v

x

ì = + ï í =

ïỵ

Bài 22 (ĐH 2010A)

Giải hệ phương trình: x x y y

x y x

2

(4 1) ( 3)

4

ìï + + - - =

í

+ + - =

ïỵ

ĐS: ;2

ổ

ỗ ữ

ố ứ HPT ị x x x

2

4 2

2

ổ

+ỗ - ữ + - - =

è ø Dùng phương pháp hàm số

Bài 23 (ĐH 2011A) Giải hệ phương trình: x y xy y x y

xy x y x y

2

2 2

5 2( ) (1)

( ) ( ) (2)

ìï - + - + =

í

+ + = +

ïỵ

ĐS: Ta có: (2) Û (xy-1)(x2+y2- =2) Û xy= Ú1 x2+y2 =2 Hệ có nghiệm: (1;1), ( 1; 1), 10 10; , 10; 10

5 5

ỉ ỉ

- - ỗ ữ ỗ- - ữ

è ø è ø

Baøi 24 (ĐH 2011D) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: x y x xy m

x x y m

3

2

2 ( 2)

1

ìï - + + =

í

(69)

ĐS: HPT Û x x x y m

x x x y m

2

( )(2 ) (1)

( ) (2 ) (2)

ìï - - =

í

- + - =

-ïỵ Đặt

u x x u

v x y

2 ,

4

ìï = - ³ -í

ï = -ỵ

Với u

³ - , ta có: (1) Û m u(2 + = - +1) u2 u Û m u u u

2

- + =

+ Xét hàm số f u u u u

u

2 1

( ) ,

2

- +

= ³

-+

Dựa vào bảng biến thiên ta suy giá trị cần tìm là: m

-£

Baøi 25 (ĐH 2012A) Giải hệ phương trình: x x x y y y x y R

x y x y

3

2

3 22

( , )

2

ì - - + = +

-ï Ỵ

í

+ - + =

ïỵ

ĐS: 3; , 1;

2 2

ỉ ỉ

-

-ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ

Bài 26 (ĐH 2012D) Giải hệ phương trình: xy x x y R

x3 x y x2 y2 xy y

2 ( , )

2

ì + - =

Ỵ

í - + + - - =

ỵ

ĐS: (1;1), 5; , 5;

2

ỉ- + ỉ- -

-ỗ ữ ỗ ữ

ố ø è ø

Chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp em học sinh đã đọc tập tài liệu

Phân dạng và bài tập hệ phương trình nhiều ẩn - Trần Sĩ Tùng

Thông tin tài liệu

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan