Bài tập hệ phương trình nhiều ẩn ôn thi đại học

TRẦN SĨ TÙNG ›š & ›š TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Năm 2012 Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn I HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN Hệ phương trình bậc hai ẩn ìa1x + b1y = c1 ía x + b y = c 2 ỵ 2 2 (a1 + b1 ¹ 0, a2 + b2 ¹ 0) Giải biện luận: – Tính định thức: D = a1 b1 a2 b2 Xét D c1 b1 c2 b2 , Dy = a1 c1 a2 c2 Kết æ Dy D H cú nghim nht ỗ x = x ; y = ÷ è D D ø Hệ vơ nghiệm Hệ có vơ số nghiệm D¹0 D=0 , Dx = Dx ¹ Dy ¹ Dx = Dy = Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc hai ẩn ta dùng cách giải biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số Hệ phương trình bậc nhiều ẩn Nguyên tắc chung để giải hệ phương trình nhiều ẩn khử bớt ẩn để đưa phương trình hay hệ phương trình có số ẩn Để khử bớt ẩn, ta dùng phương pháp cộng đại số, phương pháp hệ phương trình bậc hai ẩn Giải hệ phương trình sau: ì5 x - y = b) a) í ỵ7 x - y = ì3 x - y = c) í î6 x - y = ì( + 1) x + y = - ï d) í ï2 x - ( - 1) y = 2 ỵ ì 3x - y = ï f) í ï5x + y = ỵ Bài ì2 x + y = 11 í5 x - y = ỵ ì3 ï x + y = 16 e) í ï x - y = 11 ỵ2 ĐS: Giải hệ phương trình sau: ì1 ï - = 18 ï a) í x y b) ï + = 51 ï ỵx y Bài ì 10 ï x -1 + y + = ï c) í ï 25 + = ï ỵ x -1 y + ì6 ïx + y = ï í 10 ï =1 ï ỵx y ì 27 32 ï x - y + x + 3y = ï d) í ï 45 - 48 = -1 ï ỵ x - y x + 3y ì ï x - 2y + x + 2y = ï e) í ï + = -1 ï ỵ x - 2y x + 2y ì4 ï x + y -1 = ï f) í ï2 - = ù ợ x y -1 S: a) c) e) ỗ b) Giải hệ phương trình sau: ì x - 2y ï y -1 - x +1 = ï a) í b) ï 4x - - 4y = ï y -1 x +1 ỵ d) 87 ỉ ;÷ f) è 70 140 ø Bài ì 3x - x ï y +1 - y - =1 ï íx -2 3x ï + =7 ï y +1 y - ỵ Trang ì2x - y + ï x-2 + y+3 =5 ï c) í ï x + + 3y + = ïx -2 y +3 ỵ Hệ phương trình nhiều ẩn ì ỉ1 1ư ï3( x + y ) + ỗ - ữ = ï èx ỳ d) í ï3( x - y ) + ổ + = ỗ ÷ ï è x ỳ ỵ ỉ è 1ư ĐS: a) ỗ 0; ữ Bi ứ ổ5 7ử ố ứ b) ỗ ; ữ Trn S Tùng ì 3( x + y ) ï x y = -7 ï e) í ï 5x - y = ï ỵ y-x f) d) (1;1) , ỉ 1; - , ỉ ;1ư , ỉ ; - ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ 3 3 c) è ø è ø è ø Giải hệ phương trình sau: ì2 x + x - y - = ï a) í ïx + x + y -1 = ỵ ì x + 3y = ï b) í ï2 x - y = 15 ỵ ì =2 ï2(4 - x ) + ï y c) í ï4 - x + = ï y ỵ ĐS: a) (1;2),(- 2; 2) b) ( ± 2; -1) c) Bài Giải hệ phương trình sau: ì x -1 + y - = ì x + 2y = ì a) í x - + y = b) í c) í ỵ2 x - y = ỵ x - 3y = ỵ x -1 + y = ì2 x - + y + = ì2 x + y - x - y = ì4 x + y + x - y = e) í f) í d) í ỵ5 x - - y + = ỵ3 x + y + x - y = 17 ỵ3 x + y - x - y = ĐS: Bài Giải biện luận hệ phương trình sau: ìmx + (m - 1)y = m + ì ì(m - 1) x + y = 3m - mx + (m - 2) y = b) í a) í c) í x + my = ỵ î (m + 2) x - y = - m ỵ(m + 2) x + (m + 1) y = Bài Trong hệ phương trình sau hãy: i) Giải biện luận ii) Tìm m Ỵ Z để hệ có nghiệm nghiệm nguyên ì(m + 1) x - y = m - ì ìmx + y - = mx - y = a) í b) í c) í 2 m x - y = m + 2m î x + 4(m + 1) y = 4m î x + my - 2m + = ỵ Trong hệ phương trình sau hãy: i) Giải biện luận ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức x, y độc lập m ì mx + y = m + ì6mx + (2 - m) y = ìmx + (m - 1)y = m + a) í b) í c) í x + my = 2m + (m - 1) x - my = 2 x + my = ỵ ỵ ỵ Bài Trong hệ phương trình sau: i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm nghiệm nguyên ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức x, y độc lập với m ì2 x + y = ìmx + y = 3m ì x - 2y = - m a) í b) í c) í ỵ2 y - x = 10m + î x + my = 2m + î2 x + y = 3m + Bài 10 Giải biện luận hệ phương trình sau: ìax + y = b ì y - ax = b ìax + y = a + b a) í b) í c) í ỵ3 x + y = -5 ỵ2 x - 3y = ỵ x + 2y = a Bài 11 Giải hệ phương trình sau: ì3 x + y - z = ì x + 3y + z = ì x - y + z = -7 ï ï ï a) í2 x - y + z = b) í2 x + y + z = c) í-2 x + y + 3z = ï x - y - 3z = ï3 x + y + z = ï3 x + y - z = ỵ ỵ ỵ ĐS: Bài Trang Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn II HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai · Từ phương trình bậc rút ẩn theo ẩn · Thế vào phương trình bậc hai để đưa phương trình bậc hai ẩn · Số nghiệm hệ tuỳ theo số nghiệm phương trình bậc hai Hệ đối xứng loại ì f ( x , y) = (I) í (với f(x, y) = f(y, x) g(x, y) = g(y, x)) ỵ g( x , y ) = (Có nghĩa ta hoán vị x y f(x, y) g(x, y) khơng thay đổi) · Đặt S = x + y, P = xy · Đưa hệ phương trình (I) hệ (II) với ẩn S P · Giải hệ (II) ta tìm S P Hệ có dạng: · Tìm nghiệm (x, y) cách giải phương trình: X - SX + P = Hệ đối xứng loại ì f ( x , y) = (1) (I) í (2) ỵ f ( y, x ) = (Có nghĩa hốn vị x y (1) biến thành (2) ngược lại) · Trừ (1) (2) vế theo vế ta được: ì f ( x , y ) - f ( y, x ) = (3) (I) Û í (1) ỵ f ( x , y) = · Biến đổi (3) phương trình tích: éx = y (3) Û ( x - y ).g( x , y) = Û ê ë g( x, y ) = Hệ có dạng: éì f ( x, y ) = êí x = y · Như vậy: (I) Û ê ỵ ì êí f ( x, y ) = ê ỵ g( x , y ) = ë · Giải hệ ta tìm nghiệm hệ (I) Chú ý: Với hệ phương trình đối xứng, hệ có nghiệm ( x0 ; y0 ) ( y0 ; x0 ) nghiệm hệ Do hệ có nghiệm x0 = y0 Hệ đẳng cấp bậc hai ìa x + b xy + c y = d ï 1 (I) í 2 ïa2 x + b2 xy + c2 y = d2 ỵ · Giải hệ x = (hoặc y = 0) · Khi x ¹ 0, đặt y = kx Thế vào hệ (I) ta hệ theo k x Khử x ta tìm phương trình bậc hai theo k Giải phương trình ta tìm k, từ tìm (x; y) Hệ có dạng: Trang Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 1: Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai Bài Giải hệ phương trình sau: ì a) í x + y = ỵ x + 2y = ì d) í x + xy + y - x - y = ỵ x - 2y = ì b) í x - xy = 24 ỵ2 x - 3y = ì c) í( x - y ) = 49 ỵ3 x + y = 84 ì3 x - y + = e) í ỵ xy = 3( x + y ) - ì2 x + 3y = f) í ỵ xy + x + y + = ì h) g) í y + x = x ỵ2 x + y - = ĐS: Bài Giải hệ phương trình sau: ì2 x - y - = a) í b) ỵy - x + x + 2y + = ì2 x + y = í 2 ỵ3 x - y + y = ì2 x - y = i) í 2 ỵ x + xy + y = ì2 x + x + y + = ï c) í ï x + 12 x + y + 10 = ỵ ì( x + y + 1)( x + y + 2) = ì(2 x + 3y - 2)( x - 5y - 3) = ì x + 11 = 5y d) í e) í f) í ỵ x - 3y = ỵ xy + y + x + = î2 x + 3y = 12 ĐS: Bài Giải hệ phương trình sau: 2 ì ì b) í x + y + x + y = a) í2 x - xy + 3y = 7y + 12 y - ỵx - y + = ỵx + y + = ì4 x + y = í ỵ3 x + xy - x + 3y = ì ì c) í9 x + y + xy + 42 x - 40 y + 135 = d) í x + xy + x = 10 ỵ3x - y + = ỵ x - y = -5 2 ì ì e) í x - xy + y + x + 3y - = d) í7 x + y - 12 xy + 5x + 3y + = î2 x - y = î2 x - y = ĐS: Bài Giải hệ phương trình sau: ì1 ì 1 1 ì 3x + y x - y ï 3x - y = ï x +1 + y = =2 ï ï ï a) í x - b) í c) í 2y 1 1 1 ïx - y = ï ï = = ỵ ï x 4y2 ï ( x + 1)2 y ỵ ỵ 2 2 ì ìx - y = ì d) í( x + y) + 4( x + y) - 117 = e) í 3 f) í( x - y)( x - y ) = 45 ỵ x - y = 25 ỵx - y = ỵx + y = ĐS: Bài Giải biện luận hệ phương trình sau: ìx + y = ìx + y = m ì3 x - y = a) í b) í c) í 2 2 ỵx + y = m ỵx - y + 2x = ỵx + y = m ĐS: Trang Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn VẤN ĐỀ 2: Hệ đối xứng loại Bài Giải hệ phương trình sau: ì x + xy + y = 11 ìx + y = ì xy + x + y = a) í b) í c) í 2 2 î x + y - xy - 2( x + y ) = -3 ỵ x + xy + y = 13 ỵx + y + x + y = ì x y 13 3 ì x + x y + y = 481 ì ï + = ï d) í y x e) í x + x y + y = 17 f) í 2 ï x + xy + y = 37 ỵ x + y + xy = ïx + y = ỵ ỵ b) (1;3),(3;1) c) (1;2),(2;1) ĐS: a) (2;3),(3;2) ỉ 12 ổ 12 d) ỗ ; ữ , ỗ ; ÷ e) (1;2),(2;1) f) (4;3),(3;4),(-4; -3),(-3; -4) è 5ø è 5 ø Bài Giải hệ phương trình sau: ì x + y2 = ì x y + y x = 30 ì x + xy + y = -1 ï ï a) í b) í c) í 3 2 ï x - x y + y = 13 ï x + y = 35 ỵ x y + y x = -6 ỵ ỵ ì x + y3 = ï d) í 5 e) 2 ïx + y = x + y ỵ ĐS: a) b) d) e) Bài Giải hệ phương trình sau: ì a) í x + xy + y = b) ỵ x + xy + y = ì x + y + xy = ì x + y + xy = 11 ï f) í í 4 2 ï x + y + x y = 21 ỵ x + y + 3( x + y ) = 28 ỵ c) (2;3),(3;2) f) ì d) í x + y = e) î xy( x + y) = -2 ĐS: a) b) d) e) Bài Giải hệ phương trình sau: ì x + y = 19 í ỵ( x + y )(8 + xy ) = 2 ì x + xy - y = ì c) í x - xy + y = 19 í 2 ỵ x + y + xy = 13 î x + xy + y = -7 ì x + y + xy = 11 ì ì x + y + xy = e) í x + xy + y = f) í d) í 2 ỵ x + y + 3( x + y ) = 28 ỵ2 x + xy + y = -3 ỵ x + y + xy = ĐS: a) (1;1) b) c) d) e) f) (1;2),(2;1) Bài Giải hệ phương trình sau: ì x + xy + y = ì x2 + y2 = ì x + y = 17 ï ï ï a) í b) í c) í 2 2 ï x + x y + y = 21 ï x - x y + y = 13 ï x + y + xy = ỵ ỵ ỵ ì a) í x + x + y + y = 18 ỵ x ( x + 1).y( y + 1) = 72 ì x5 + y5 = ï f) í 9 4 ïx + y = x + y ỵ c) f) ì x ( x + 2)(2 x + y) = b) í ỵx + 4x + y = ì x + y =1 ï c) í 2 ïx + y = ỵ ì ì x x ïx - y + y = ïx + y + y = ï ï d) í e) í f) ( x - y) x ( x + y) x ï ï =2 = 20 ï y ï y ỵ ỵ ĐS: a) (3; -3),(-3;3),(2;3),(3,2),(-4; -3),(-3; -4),(2; -4),(-4;2) c) d) e) Bài Giải hệ phương trình sau: Trang ì x + y + xy = 11 ï í + + xy = 11 ïx y ỵ b) f) (2;3),(3;2) Hệ phương trình nhiều ẩn ì ỉ ï( x + y ) ỗ + ữ = ù ố xy ø a) í ỉ ï( x + y ) ỗ + ữ = 49 2 ï è x y ø ỵ ì 1 ïx + y + x + y = ï c) í 1 ï x + y2 + + =4 ï x y2 ỵ ì2 x y + y x + y + x = xy ï e) í y x xy + + + = ï xy x y ỵ ỉ7±3 ỉ 7±3 ; -1÷ , ç -1; ÷ ø è ø è ĐS: a) ỗ d) e) Bi Gii cỏc h phng trình sau: ì ï3 xy - ( x + y ) = a) í 2 4 ï7 x y - ( x + y ) = 155 ỵ ì x+ y =4 ï c) í ï x + y - xy = ỵ Trần Sĩ Tùng ì y( x + 1) = x ( y + 1) ï ỉ b) í = 24 x + y2 ỗ1 + ù ỗ x y2 ữ ữ ố ứ ợ ( ) ì x y + = ï 2 ï d) í x + y + ï( x + y )(1 + ) = ï xy ỵ ì ï xy + xy = ï f) í ï( x + y ) ổ + = ỗ ữ ù è xy ø ỵ b) c) (1;1) f) ì x y + y x = 30 ï b) í ï x x + y y = 35 ỵ ì ỉ1 1ử ù( x + y ) ỗ + ữ = ï èx ỳ d) í ỉ ï( x + y ) ỗ + ữ = 49 ï y2 ø èx ỵ ì x y ì x +1 + y +1 = + = +1 ï ï e) í y f) í x xy ïx y + + y x + + ï ỵ ỵ x xy + y xy = 78 ĐS: a) b) (4;9),(9; 4) c) d) e) f) Bài Giải biện luận hệ phương trình sau: ì x + y + xy = m ìx + y = m +1 a) í b) í c) 2 ỵ x + y = - 2m ỵ x y + xy = 2m - m - Trang x +1 + y +1 = ì( x + 1)( y + 1) = m + í xy( x + y ) = 4m ỵ Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn VẤN ĐỀ 3: Hệ đối xứng loại Bài Giải hệ phương trình sau: ì x = 3x + y ï a) í ï y = 3y + x ỵ ì x - 2y2 = x + y ï b) í 2 ïy - x = 2y + x ỵ ì xy + x = 8( y - 1) ï d) í e) ï xy + y = 8( x - 1) ỵ ĐS: a) b) d) e) Bài Giải hệ phương trình sau: ì ï2 x - x = y - a) í b) ï2 y - y = x - ỵ ì xy + x = - y ï d) í ï xy + y = - x ỵ ì x = x + 8y ï í ï y = 3y + x ỵ c) f) ì x3 = x + y ï f) í ïy = 2y + x ỵ ì x2 = x + 2y + ï í ïy = y + 2x + ỵ ì2 x = y - y + ï c) í ï2 y = x - x + ỵ ì 3 ïx + 4x = y + f) í ï y3 + y = x + ỵ ì x3 + x = y ï e) í ï y + 2y = x î ĐS: a) b) d) e) (0;0) Bài Giải hệ phương trình sau: ì y ï x - 3y = x ï a) í x ï y - 3x = y ï ỵ ì x + 6-y =2 ï d) í ï y + 6-x =2 ỵ c) f) ì ï2 x + y = ï b) í ï2 y + x = ï î ì ï2 x = y + y ï d) í e) ï2 y = x + ï x ỵ ĐS: a) b) d) e) Bài Giải hệ phương trình sau: ì 2x + + - y = ï b) a) í ï 2y + + - x = ỵ ì x - y = 5y + ï c) í 2 ï y - x = 5x + ỵ x2 y2 ì ï2 x + y = x ï í ï2 y + = x y ï ỵ ì x2 + ï3x = ï y2 c) í ï3y = y + ï x2 ỵ f) c) (1;1) ì x +1 + y - = ï í ï y +1 + x - = ỵ ì x+5+ y-2 = ï e) í ï x-2 + y+5 = ỵ ì x + 2-y = ï c) í ï 2-x + y = ỵ ì ï x + 91 = y - + y f) í ï y + 91 = x - + x ỵ ỉ 11 11 ĐS: a) (3;3), ỗ ; ữ b) (8;8) c) ố9 9ứ d) e) f) (3;3) Bài Giải biện luận hệ phương trình sau: ì x = x + my ì x (3 - y ) = m(3 - 4m ) ì xy + x = m( y - 1) ï ï ï a) í b) í c) í 2 ï y = 3y + mx ï y(3 - x ) = m(3 - 4m ) ï xy + y = m( x - 1) ỵ ỵ ỵ Bài Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm nhất: Trang Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng ì x2 y + m = y2 ï a) í 2 ï xy + m = x î ì xy + x = m( y - 1) ï b) í ï xy + y = m( x - 1) ỵ ì m2 ï2 x = y + ï y c) í ï2 y = x + m ï x ỵ VẤN ĐỀ 4: Hệ đẳng cấp bậc hai Bài Giải hệ phương trình sau: ì x - xy + y = -1 ï a) í b) ï3 x - xy + 3y = 13 ỵ ì ï3 x + xy - y = 38 e) d) í 2 ï5x - xy - 3y = 15 ỵ ĐS: a) b) d) e) Bài Giải hệ phương trình sau: ì3x + xy + y = 11 ï a) í b) ï x + xy + 3y = 17 ỵ ì x - xy + y = -1 ï d) í e) ï2 x + xy + y = ỵ ĐS: a) b) d) e) Bài Giải hệ phương trình sau: ì 3 b) a) í x - y = ỵ xy( x - y) = ì2 x - xy + y = -1 ï í 2 ï3 x + xy + y = ỵ ì x - xy + 3y = ï í 2 ï x - xy + 5y = ỵ c) f) ì y - xy = ï c) í 2 ï x - xy + y = ỵ ì ï3 x - xy + y = f) í 2 ï5 x - xy - y = ỵ ì3 x + 5xy - 5y = 37 ï í 2 ï5 x - xy - 3y = 15 ỵ ì2 x + xy - y = -2 ï í 2 ï x - xy + y = ỵ c) f) ì x - xy + y = ï c) í 2 ï2 x - xy + y = ỵ ì3 x - xy - y = -3 ï f) í 2 ï9 y + 11xy - x = 13 ỵ ì y3 - x = ï í 2 ï2 x y + xy = 16 ỵ ì x + y3 = ï c) í 2 ï x y + xy + y = ỵ ì x - xy + y = ì x + x y + xy + y = ì( x - y)( x + y ) = 13 ï ï ï d) í e) í f) í 2 2 ï2 x - x y + y = ï3y + x y - xy = ï( x + y )( x - y ) = 25 ỵ ỵ ỵ ĐS: a) b) c) d) e) f) Bài Giải biện luận hệ phương trình sau: ì ì ì x - xy + y = m ï x + mxy + y = m ï xy - y = 12 ï a) í b) í c) í 2 ï x + (m - 1) xy + my = m ï x - xy = m + 26 ï y - xy = ỵ î î Trang Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn III HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC Vấn đề 1: Phương pháp Từ phương trình đơn giản hệ từ phương trình tích tìm cách rút ẩn theo ẩn kia, vào phương trình cịn lại Giải phương trình Số nghiệm hệ tuỳ thuộc số nghiệm phương trình Một số dạng thường gặp: · Dạng 1: Trong hệ có phương trình bậc với ẩn x (hoặc y) · Dạng 2: Trong hệ có phương trình đưa dạng tích biểu thức bậc hai ẩn · Dạng 3: Trong hệ có phương trình đưa dạng phương trình bậc hai ẩn với ẩn lại tham số Chú ý: Đơi ta phải kết hợp biến đổi phương trình hệ để đưa dạng Bài Giải hệ phương trình sau: ì x + 5x + y = ï í 2 ï3 x + x y + xy + x = 18 î ì y = - x - 5x ï ì y = - x - 5x ï ïé x = · HPT Û í Û íê ï x + x - 5x - 18 x+18 = ï ê x = -3 î ï ë x = -1 ± î é x = 1; y = ê x = -3; y = 15 Û ê ê x = -1 - 7; y = + ê x = -1 + 7; y = - ë Bài tương tự: ì2 x y + xy = x + y æ 16 ö æ 1 ö æ -9 ± 33 ù a) Nghim ỗ -2; - ữ , ỗ ; - ữ , ỗ ;3 ữ ø è2 7ø è ø è ï7 y + = x + x ỵ Bài Giải hệ phương trình sau: ì x + y - xy = ï í ï2 x = x + y ỵ ì4 x - x + 3x - = ï ìx = · HPT Û í Û í ỵy = ïy = 2x - x ỵ Nghiệm: (1;1),(-1; -1) Bài Giải hệ phương trình sau: · Từ (2), rút xy = ì x + x 3y + x y2 = x + ï í ï x + xy = x + ỵ (1) (2) x + - x2 éx = Thay vào (1) ta được: x ( x + 4)3 = Û ê ë x = -4 ổ 17 Nghim: ỗ -4; ữ ố 4ứ Trang Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng Từ hệ (I) ta suy được: + x < y < 1, z < + x > y > 1, z > Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến f (t ) ta chứng minh x = y = z Khi đó: ( x - 1)2 = x Û x = ± Nghiệm: ( - 3;2 - 3;2 - ) , ( + 3;2 + 3;2 + ) Bài tương tự: ìx2 = y + ỉ1- 1- 1- ỉ1+ 1+ 1+ ö ï ; ; ; ; a) í y = z + Nghim: ỗ ữ,ỗ ữ ố 2 ø è 2 ø ï z2 = x + ỵ Bài Giải hệ phương trình sau: ì x3 + 3x + x - = y ï í y + 3y + y - = z ï z + 3z + z - = x ỵ · Giả sử x = max{x , y, z} Xét trường hợp: a) x ³ y ³ z ì( x - 1) é( x + 2)2 + 1ù £ ì x + 3x + x - £ x ï ï ìx £ ë û Từ HPT ta có: í Þí Þí é(z + 2)2 + 1ù ³ ỵz ³ ï z + 3z + z - ³ z ï(z - 1) ë î û î b) x ³ z ³ y ì( x - 1) é( x + 2)2 + 1ù £ ì x + 3x + x - £ x ï ï ìx £ ë û Từ HPT ta có: í Þí Þí 2 ỵy ³ ï y + 3y + y - ³ y ï( y - 1) é( y + 2) + 1ù ³ ỵ ë û ỵ Cả trường hợp cho: x = y = z = Thử lại thấy x = y = z = nghiệm HPT Nghiệm: (1;1;1) Bài Giải hệ phương trình sau: ì x + x - + ln( x - x + 1) = y ï í y + 3y - + ln( y - y + 1) = z ï z3 + 3z - + ln( z2 - z + 1) = x ỵ · Xét hàm số f (t ) = t + 3t - + ln(t - t + 1) ị f Â(t ) = 3t + + 2t - t - t +1 > 0, "t ì f ( x) = y ï Þ f (t ) đồng biến R Khi HPT Û í f ( y) = z ï f ( z) = x ỵ Giả sử x = min( x , y, z) Khi x £ y Þ f ( x ) £ f ( y ) Þ y £ z Þ f ( y ) £ f (z) Þ z £ x Þ x £ y£ z£ x Þ x = y = z Với x = y = z ta có: x + x - + ln( x - x + 1) = (*) Hàm số g( x ) = x + x - + ln( x - x + 1) đồng biến g(1) = nên (*) có nghiệm x = Nghiệm: (1;1;1) Bài tương tự: ì2 x + = y + y + y ï t3 + t2 + t - a) í2 y + = z3 + z2 + z Xét hàm số f (t ) = Nghiệm: (1;1;1),(-1; -1; -1) ï2 z + = x + x + x ỵ Trang 54 Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn ì x - 3x + x + = y ï b) í y - y + y + = z Xét hàm số f (t ) = t - 3t + 5t + ï z - 3z + z + = x ỵ Nghiệm: (1;1;1) , (1 ± 2;1 ± 2;1 ± ) Bài Giải hệ phương trình sau: ì x - x + 6.log (6 - y ) = x ï ï í y - y + 6.log3 (6 - z) = y ï ï z - 2z + 6.log3 (6 - x ) = z ỵ ì x ïlog3 (6 - y ) = x2 - 2x + ï ï y · Điều kiện x, y, z £ HPT Û ïlog3 (6 - z) = (a) í y - 2y + ï ï z ïlog3 (6 - x ) = z - 2z + ï ỵ t , g(t ) = log3 (6 - t ) với t < Ta có: Xét hàm số f (t ) = t - 2t + 6-t + f ¢(t ) = > 0, "t < Þ f (t ) đồng biến t - 2t + + g¢(t ) = < 0, "t < Þ g(t ) nghịch biến t-6 ì f ( x ) = g( y) ï Khi đó: (a) Û í f ( y ) = g(z) ï f ( z) = g( x ) ỵ Giả sử x = min( x , y, z) Khi x £ y Þ f ( x ) £ f ( y ) Þ g( y) £ g( z) Þ y ³ z Þ f ( y ) ³ f (z) Þ g( z) ³ g( x ) Þ z £ x Þ f ( z) £ f ( x ) Þ g( x ) £ g( y ) Þ x ³ y Þ x = y = z x Với x = y = z ta có: log3 (6 - x ) = (b) x2 - 2x + t Hàm số f (t ) = đồng biến, g(t ) = log3 (6 - t ) nghịch biến f (3) = g(3) = t - 2t + nên (b) có nghiệm x = Nghiệm: (3;3;3) Bài Giải hệ phương trình sau: · Trang 55 Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng Vấn đề 6: Hệ phương trình giải phương pháp lượng giác hoá · Nếu x £ a (a > 0) ta đặt x = a cos a với a Ỵ [0; p ] · Nếu x + y = a (a > 0) ta đặt x = a sin a , y = a cos a với a Ỵ [0;2p ] ỉ p pư · Với số thực x ln có số a với a ẻ ỗ - ; ữ cho x = tan a è 2ø Bài Giải hệ phương trình sau: ì x - y2 + y - x = ï í ï(1 - x )(1 - y ) = ỵ (1) (2) ì1 - x ³ ï ì-1 £ x £ · Điều kiện: í Đặt x = cos a , y = cos b với a , b Ỵ [0; p ] Ûí ỵ-1 £ y £ ï1 - y ³ ỵ ì p ïa + b = ìcos a sin b + cos b sin a = Khi đó: HPT Û í Ûí ỵ(1 - cos a )(1 + cos b ) = ïsin a - cos a - sin a cos a - = (3) ỵ Đặt t = sin a - cos a , t £ Þ sin a cos a = - t2 - t2 - = Û t + 2t - = Þ t = Khi đó: (3) Û t ỉ pư p ìx = Với t = ta có: sin ỗ a - ữ = ị a = Þ b = Þ í è 4ø îy = Nghiệm: (0;1) Bài Giải hệ phương trình sau: ì 2( x - y )(1 + xy ) = ï í 2 ïx + y = ỵ (1) (2) · Do x + y = nên x, y Ỵ [ - 1;1] Đặt x = sin a , y = cos a với a Ỵ [0;2p ] Khi (1) Û 2(sin a - cos a )(1 + 2sin 2a ) = æ æ æ p öæ pö pö æ p ö p ö Û 4sin ç a - ÷ç sin 2a + sin ÷ = 8sin ỗ a - ữ sin ỗ a + ữ cos ỗ a - ữ = ố øè 6ø è 4ø è 12 ø è 12 ø ỉ ỉ p ưé p p ứ Û cos ỗ a - ữ cos - cos ỗ 2a - ÷ ú = 12 ø ë øû è è ỉ ỉ ỉ p p pử cos ỗ a - ữ - cos ỗ a - ữ cos ỗ 2a - ÷ = è 12 ø è 12 ø 6ø è é ỉ ỉ ỉ p pư p ứ cos ỗ a - ữ - cos ỗ 3a - ữ + cos ỗ a - ÷ ú = è 12 ø 4ø è 12 ø û ë è é 13p 2p êa = 36 + k ỉ ỉ pư pư Û -2 cos ỗ 3a - ữ = cos ỗ 3a - ữ = (k ẻ Z ) è 4ø è 4ø êa = - 7p + k 2p 36 ë ì13p 37p 51p 17p 41p 65p ü Vì a Ỵ [0;2p ] nên a Ỵ í , , , , , ý ỵ 36 36 36 36 36 36 ỵ Trang 56 Trn S Tựng Hệ phương trình nhiều ẩn ìỉ 13p 13p ; cos ùỗ sin ù 36 36 Nghim: ( x; y) ẻ ớố ổ 17p 17p ùỗ sin ; cos ù 36 36 ỵè Bài Giải hệ phương trình sau: ổ 37p 37p ; cos ữ , ỗ sin 36 36 ø è ỉ 41p 41p ;cos ÷ , ç sin 36 36 ø è ì2 x + x y = y ï í2 y + y z = z ï2 z + z x = x ợ ổ 51p 51p ỹ ;cos ữ , ỗ sin ữ, ù 36 36 ứ ù ứ è ý ỉ 65p 65p ï ; cos ữ , ỗ sin ữ 36 36 ứ ù ứ ố ỵ (I) à T cỏc phng trỡnh ca h ta suy x, y, z ¹ ±1 ì 2x (1) ïy = - x2 ï 2y Do đó: (I) Û ï z = (2) í - y2 ï 2z ï (3) ïx = - z2 ỵ ỉ p pư Đặt x = tan a vi a ẻ ỗ - ; ữ cho tan a ,tan 2a ,tan 4a ¹ ±1 è 2ø ì y = tan 2a ï p Khi ta có: í z = tan 4a Þ tan 8a = tan a ị a = k (k ẻ Z ) ï x = tan 8a ỵ ỉ p pử Vỡ a ẻ ỗ - ; ữ nờn k = 0, ±1, ±2, ±3 è 2ø ìỉ ü kp k 2p k 4p ö Nghiệm: ( x; y; z) ẻ ớỗ tan ; tan ;tan ữ , k Ỵ Z , -3 £ k £ 3ý 7 ứ ợố ỵ Bi Gii h phương trình sau: ì x - 3z2 x - 3z + z3 = ï í y - 3x y - 3x + x3 = ï z - 3y z - 3y + y = î ì x (1 - 3z2 ) = 3z - z3 ï · HPT Û í y(1 - 3x ) = 3x - x (I) Từ hệ suy x, y, z ¹ ± ï z(1 - 3y ) = 3y - y3 ỵ ì 3z - z3 x= (1) ï - 3z2 ï ï ï 3x - x Do đó: (I) Û í y = (2) (II) - 3x ï ï 3y - y (3) ïz = - 3y ï ỵ ỉ p pư Đặt x = tan a vi a ẻ ỗ - ; ÷ cho tan a ,tan 3a ,tan 9a ¹ ± è 2ø ì y = tan 3a ï kp ( Khi ta có: í z = tan 9a Þ tan 27a = tan a Þ a = , kỴZ) 26 ï x = tan 27a î Trang 57 Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tựng ổ p pử Vỡ a ẻ ỗ - ; ÷ nên k £ 12 è 2ø ìỉ ü kp k 3p k 9p ö Nghiệm: ( x; y; z) ẻ ớỗ tan ; tan ;tan ữ , k Ỵ Z , -12 £ k £ 12 ý 26 26 26 ứ ợố ỵ ỡ ổ ổ ổ 1ử 1ử 1ử ù3 ỗ x + ữ = ỗ y + ữ = ỗ z + ÷ Bài Giải hệ phương trình sau: í è xø yø zø è è ï xy + yz + zx = ợ à Nhn xột: xyz x, y, z dấu Nếu ( x; y; z) nghiệm HPT (- x; - y; - z) nghiệm hệ, nên ta tìm nghiệm x , y, z dương hệ Đặt x = tan a , y = tan b , z = tan g (0 < a , b ,g < 900 ) ì ỉ ỉ ỉ ử (1) ù3 ỗ tan a + ữ = ỗ tan b + ữ = ỗ tan g + ữ Khi ú: HPT tr thành: í è tan a ø tan b ø tan g ø è è ï (2) ỵtan a tan b + tan b tan g + tan g tan a = ỉ + tan2 a ỉ + tan b ỉ + tan g Ta có: (1) Û ç = = ÷ = 4ç ÷ = 5ç ÷ Û sin 2a sin b sin 2g è tan a ø è tan b ø è tan g ø Từ (2) Þ tan g (tan a + tan b ) = - tan a tan b Þ cot g = tan(a + b ) Þ tan ( 900 - g ) = tan(a + b ) Þ a + b + g = 900 ì = = ï Do đó: í sin 2a sin b sin 2g Þ 2a ,2 b ,2g góc tam giác ï0 < a , b ,g < 900 ; a + b + g = 900 ỵ có độ dài cạnh 3, 4, Do tam giác có độ dài cạnh 3, 4, tam giác vuông nên: 2g = 900 Þ g = 450 Þ z = tan g = tan a 2x + tan 2a = = Û = Þ x= 2 - tan a 1- x tan b 2y + tan b = = Û = Þ y= 2 - tan b 1- y æ1 ổ 1 Nghim: ỗ ; ;1ữ , ç - ; - ; -1÷ è3 ø è ø Bài Giải hệ phương trình sau: · HPT Trang 58 Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn Vấn đề 7: Hệ phương trình chứa tham số ì x2 y - x2 + y = ï Bài Tìm m để hệ phương trình: í có ba nghiệm phân biệt 2 ï m( x + y ) - x y = ỵ ì(m - 1) x + 2(m - 3) x + 2m - = ï · Hệ PT Û í x2 + y= ï x2 + ỵ ì2 x + = ï + Khi m = 1: Hệ PT Û í (VN ) x2 + y= ï x2 + ỵ (1) + Khi m ≠ Đặt t = x2 , t ³ Xét f (t ) = (m - 1)t + 2(m - 3)t + 2m - = (2) Hệ PT có nghiệm phân biệt Û (1) có ba nghiệm x phân biệt ì f (0) = ï Û (2) có nghiệm t = nghiệm t > Û í Û Û m = ( m - 3) >0 ïS = 1- m î Bài Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: ì2 x + xy - y = ï í 2 ï x + xy + y = m ỵ (I ) ì2 x = 1 ï · + Với y = HPT trở thành: í Hệ có nghiệm m = ïx = m ỵ ì ì ï2 t + t - = x ï y Û ï2 t + t - = + Với y ¹ Đặt = t (I) trở thành: í (II ) y í y ït + t + = m(2t + t - 1) ït + t + = m ỵ ï y2 ỵ Do (I) có nghiệm ( x; y) Û (II) có nghiệm (t; y ) Xét hệ (II), từ 2t + t - = ét < -1 Þ 2t + - > Û ê êt > y2 ë t2 + t + ổ1 cú nghim t ẻ (-Ơ; -1) ẩ ỗ ; +Ơ ữ ố2 ứ 2t + t - ỉ1 t + t +1 , t ẻ (-Ơ; -1) ẩ ỗ ; +Ơ ÷ Xét hàm số f (t ) = è2 ø 2t + t - é t = -3 - t + 6t + Ta có: f ¢(t ) = , f ¢(t ) = Û ê (2t + t - 1)2 ë t = -3 + Do (II) có nghiệm (t; y ) Û m = Dựa vào BBT hàm số f (t ) suy HPT có nghiệm m ³ ìx + y = m 14 + 28 + 11 Bài Biết ( x; y ) nghiệm hệ í 2 Hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ ỵx + y = - m biểu thức A = xy + 2( x + y ) Trang 59 Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng ìx + y = m · HPT Û í (I) ỵ xy = m - Hệ (I) có nghiệm Û S - P ³ Û m - 4m + 12 ³ Û -2 £ m £ A = P + 2S = m + 2m - Bài tốn tìm lớn nhất, nhỏ hàm số với m Ỵ é -2;2 ù ë û Đạo hàm A¢ = 2m + , A¢ = Û m = -1 ìx + y = Tìm max A = , m = hay í Û x = y =1 ỵ xy = ì x + y = -1 ì x = -2 ìx = A = - , m = -1 hay í í Ûí ỵ xy = -2 ỵy = ỵ y = -2 ì xy + x + y = m + Bài Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm nhất: í 2 ỵ x y + xy = m + · Nếu ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ ( y0 ; x0 ) nghiệm hệ Vậy hệ có nghiệm x0 = y0 ì x2 + x = m + ï 3 Khi đó, hệ trở thành: í Þ x0 + x0 = x0 + Û x0 - x0 - x + = ï2 x = m + ợ 2) x0 = -1ị m = -3 3) x0 = Þ m = 1) x0 = Þ m = Ngược lại: ì xy + x + y = ì S + P = ìS = ìS = 1) m = , hệ trở thành í (I) hoc (II) đớ ợSP = îP = îP = î x y + xy = Hệ (I) có nghiệm (1;1) , hệ (II) vơ nghiệm Như vậy, hệ cho có nghiệm ì xy + x + y = -1 ìS + P = -1 ìS = -2 ìS = 2) m = -3 , hệ trở thành í (I) v (II) đớ ợSP = -2 ỵP = ỵ P = -2 ỵ x y + xy = -2 Hệ (I) có nghiệm (-1; - 1) , hệ (II) có nghiệm (-1;2),(2; - 1) Như vậy, hệ cho có nghiệm ì ì 5 ìS = ì ï xy + x + y = ïS + P = ï ïS = 3) m = - , hệ trở thành í ®í Ûí (I) v í (II) ï x y + xy = ïP = ïP = ïSP = ỵ ỵ ỵ 4 ỵ ỉ1 1ư Hệ (I) cú nghim ỗ ; ữ , h (II) vụ nghiệm Như vậy, hệ cho có nghiệm è2 2ø ì 3ü ĐS: m Ỵ í1; - ý 4ỵ ợ ỡ x = y2 - y + m ï í ïy = x - x + m ỵ b) có nghiệm Bài Tìm m để hệ phương trình sau: a) có nghiệm éx = y · HPT Þ x - y = y - x + x - y Û x - y = ( x - y )(1 - x - y) Û ê ëx + y = a) *) Với x = y , ta x = x - x + m Û x - x + m = *) Với x = - y , ta x = x + x + m Û x + m = Trang 60 (1) (2) Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn é D¢ = - m ³ Vậy hệ có nghiệm Û pt có nghiệm Û ê Ûm £1 D2 = -4m ³ ë b) Nếu ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ ( y0 ; x0 ) nghiệm hệ Vậy hệ có nghiệm x0 = y0 2 Khi đó, ta có: x0 = x0 - x0 + m Û x0 - x0 + m = (*) Phương trình (*) có nghiệm x0 Û D / = - m = ì x = y2 - y + ï éx = y Thử lại, m = hệ trở thành: í Þê ëx + y = ïy = x - x + ỵ * Với x = y : ta có x = x - x + Û x - x + = Û x = Þ y = , nghiệm * Với x = - y : ta có Û x + = , vô nghiệm ĐS: m = Bài Chứng tỏ với m ¹ hệ phương trình sau có nghiệm nhất: ì m2 ï2 x = y + ï y í ï2 y = x + m ù x ợ à Vi m Þ y, m2 dấu, mặt khác x ³ nên y > Tương tự x > y ì2 x y = y + m ï éx = y HPT Û í Þ xy ( x - y ) = ( y - x )( y + x ) Û ê 2 ë x + y + xy = (*) ï2 y x = x + m ỵ (*) vơ nghiệm x > 0, y > ìx = y Vậy HPT Û í , ta cần chứng tỏ hệ có nghiệm 2 ỵ2 x - x = m (1) Xét hàm số f ( x ) = x - x , f ¢( x ) = x - x x -¥ f ¢( x ) f ( x) + 0 - -¥ 27 +¥ + +¥ Dựa vào BBT, đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số điểm có hồnh độ dương hay phương trình (1) có nghiệm dương m > Û m ¹ Bài Chứng tỏ với m > hệ phương trình sau có nghiệm nhất: ì ï3 x y - y - m = (1) í 2 ï3y x - x - m = (2) î · Nếu y £ VT (1) âm Þ (1) khơng thỏa mãn , suy y > Tương tự x > Lấy (1) - (2) , ta được: 3x y - 3y x + x - y = Û ( x - y)(3 xy + x + y ) = (3) Vì x , y > nên (3) Û x = y Thay vào (1) ta được: f ( x ) = x - x = m Trang 61 Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng Dựa vào BBT ta thấy với m > phương trình f ( x ) = m có nghiệm x > f '( x ) = x - x , f '( x ) = Û x = 0, x = ì x + y =1 ï ï x x + y y = - 3m ỵ Bài Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: í (D – 2004) ìu + v = ìu + v = · Đặt u = x , v = y (u ³ 0, v ³ 0) Hệ PT Û í 3 Ûí ỵuv = m ỵu + v = - 3m ĐS: £ m £ ì2 y - x = m (1) Bài Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm nhất: í ỵ y + xy = (2) · Từ (1) Þ x = y - m , nên (2) Û ìy £ ï y - my = - y Û í (vì y ¹ 0) m= y- +2 ù y ợ 1 + ị f ¢( y ) = + >0 y y2 Dựa vào BTT ta kết luận hệ có nghiệm Û m > ĐS: m > ì ï x + + y - = m (1) (I) Bài 10 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: í ï x + y = m - 4m + (2) ỵ Xét f ( y ) = y - ìu = x + ìu + v = m ï ìu + v = m · Đặt í (II) (u, v ³ 0) , ta hệ í 2 Ûí îuv = 2m - ïv = y - îu + v = m - m + î Hệ (I) có nghiệm ( x; y ) Û hệ (II) có nghiệm (u; v) với u ³ 0; v ³ Ta biết u, v nghiệm phương trình f ( t ) = t - mt + 2m - = (*), nên hệ (II) có nghiệm u ³ 0, v ³ (*) có nghiệm kép khơng âm hay có hai nghiệm phân biệt khơng âm ì ìS - P ³ ìm2 - 8m + 12 ³ ïm £ 2, m ³ ém ³ ï ï ï Û íS ³ Û ím ³ Û ê3 Û ím ³ ê £m£2 ïP ³ ï2 m - ³ ï ë2 ỵ ỵ m³ ï ỵ ĐS: £ m £ Ú m ³ ì2 x + y - = m ï Bài 11 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: í ï2 y + x - = m î · Đặt u = x - ³ Þ x = u2 + , v = y - ³ Þ y = v2 + ì2 u + + v = m ï HPT trở thành: í (II) ï2 v + + u = m ỵ Vì u ³ 0, v ³ nên điều kiện cần để hệ có nghiệm m ³ Ngược lại với m ³ thì: Trang 62 Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn é ìu = v êí 2u + u + - m = (II) Þ (u - v)(2u + 2v - 1) = Hệ (II) Û ê ỵ ê ì2u + 2v - = ê í2u2 + v + - m = ëỵ Với hệ (A), PT: 2u2 + u + - m = có P = ( A) ( B) 2-m £ (vì m ³ ) nên có nghiệm u0 2 Khi hệ (II) có nghiệm u = v = u0 Þ hệ ban đầu có nghiệm x = y = u0 + ĐS: m ³ Chú ý: Ta khơng cần xét hệ (B), cần (A) có nghiệm hệ ban đầu có nghiệm ì x + + - y = m (1) ï Bài 12 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: í ï y + + - x = m (2) ỵ · Điều kiện: -1 £ x, y £ Lấy (1) - (2) ta được: x +1 - - x = y +1 - - y (3) Xét hàm số f (t ) = t + - - t Þ f (t ) đồng biến (-1;3) Do (3) Û x = y Thay vào (1) ta được: g( x ) = x + + - x = m (4) HPT có nghiệm Û (4) có nghiệm 1 g( x ) hàm số liên tục [ - 1;3] g '( x ) = , g '( x ) = Û x = x +1 - x Dựa vào BBT ta có (4) có nghiệm Û £ m £ 2 Kết luận: £ m £ 2 Bài 13 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: ì x - y + 3y - x - = (1) ï í 2 ï x + - x - y - y + m = (2) ỵ · Điều kiện -1 £ x £ 1; £ y £ Khi - £ y - £ nên: (1) Û x - x = ( y - 1) - 3( y - 1) Û f ( x) = f ( y - 1) f (t ) = t - 3t , t Ỵ [- 1;1] Ta có: f ' (t ) = 3t - 0"t ẻ [- 1;1] ị f (t ) đồng biến đoạn [- 1;1] Do (1) Û x = y - , vào (2) ta m = 2 y - y + y - y - Đặt t = y - y , £ y £ nên £ t £ Khi (2) Û m = f (t ) với f (t ) = t + 2t - 1, t Ỵ [0;1] Xét hàm số g(t ) = t + 2t - đoạn [0;1] , ta có g '(t ) = 2t + , g '(t ) = Û t = -1 Suy bảng biến thiên g(t ) = t + 2t - đoạn [0;1] là: x g’(x) + g(x) -1 Từ bảng biến thiên, suy giá trị cần tìm m m Ỵ [- 1;2] Bài 14 Tìm m để hệ phương trình sau: · Trang 63 Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng Vấn đề 8: Giải phương trình cách đưa hệ phương trình Bài Giải phương trình sau: 8x + = x +1 - · Đặt x = u > 0; x +1 - = v ì ì u3 + = v ìu = v > ï u3 + = v ï Ta hệ í Ûí Ûí 2 ï ï(u - v)(u + uv + v + 2) = ỵu - u + = ỵv + = 2u ỵ éx = Û ê ê x = log -1 + ë Bài Giải phương trình sau: x3 + = 23 x - ì x3 + = 2y ï · Đặt y = x - Ta hệ í Þ ( x - y )( x + y + xy + 2) = Û x = y ïy + = 2x ỵ éx = Þ x3 - x + = Û ê ê x = -1 ± ë Bài Giải phương trình sau: 3 x - + - 5x - = · Đặt u = 3x - 2, v = - x , v ³ (*) ì - 2u ì2u + 3v = ïv = ì u = -2 Ta có hệ: í Ûí Ûí Þ x = –2 ỵv = ỵ5u + 3v = ï15u + 4u - 32u + 40 = î Bài Giải phương trình sau: · Trang 64 Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn ĐỀ THI ĐẠI HỌC ì3 x - y = x - y ï ïx + y = x + y + ỵ Bài (ĐH 2002B) Giải hệ phương trình: ổ3 1ử S: (1;1), ỗ ; ữ ố2 2ứ ì 1 ïx - = y Baøi (ĐH 2003A) Giải hệ phương trình: í x y ï2 y = x + ỵ ỉ -1 + -1 + ỉ -1 - -1 - ; ; S: (1;1), ỗ ữ, ỗ ữ è 2 ø è 2 ø ì y2 + 3y = ï ï x2 Baøi (ĐH 2003B) Giải hệ phương trình: í ï3 x = x + ï y2 ỵ ĐS: (1; 1) ì x + y =1 ï ï x x + y y = - 3m ỵ Bài (ĐH 2004D) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm í ĐS: £ m £ ì x - my = - 4m (m ỵmx + y = 3m + Baøi (ĐH 2004A–db1) Gọi (x; y) nghiệm hệ phương trình í tham số) Tìm giá trị lớn biểu thức A = x + y - x , m thay đổi ĐS: ì Bài (ĐH 2005A–db1) Giải hệ phương trình: í x + y + x + y = ỵ x ( x + y + 1) + y( y + 1) = ĐS: ( 2; - ) , ( - 2; ) , (1; -2), (-2;1) ì Bài (ĐH 2005A–db2) Giải hệ phương trình: í x + y + - x + y = ỵ3 x + y = ĐS: (2; -1) ì ï x + y - xy = ï x +1 + y +1 = ỵ Bài (ĐH 2006A) Giải hệ phương trình: í ĐS: (3; 3) Đặt t = xy ì x + + y( y + x ) = y ï Bài (ĐH 2006A–db1) Giải hệ phương trình: í ï( x + 1)( y + x - 2) = y ỵ ĐS: (1;2), (-2;5) ì x - x = y3 + y ï Bài 10 (ĐH 2006A–db2) Giải hệ phương trình: í ï x - = 3( y + 1) ỵ Trang 65 Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng ỉ 6 ỉ 6 S: (3;1), (-3; -1), ỗ -4 ; ;ữ, ỗ ÷ 13 13 ø è 13 13 ø è Chú ý: 3( x - y3 ) = 6(4 x + y ) = ( x - 3y )(4 x + y) ì( x - y )( x + y ) = 13 ï 2 ï( x + y)( x - y ) = 25 ỵ Bài 11 (ĐH 2006B–db2) Giải hệ phương trình: í ì 3 ĐS: (3;2), (-2; -3) HPT Û í x - y = 19 ỵ xy( x - y ) = ì x - xy + y = 3( x - y ) ï Bài 12 (ĐH 2006D–db1) Giải hệ phương trình: í 2 ï x + xy + y = 7( x - y ) ỵ ìu = x - y ĐS: (2;1), (-1; -2) Đặt í ỵv = xy Bài 13 (ĐH 2007D) Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: ì 1 ïx + x + y + y = ï í 1 ï x3 + + y3 + = 15m - 10 ï x3 y3 ỵ ì ïu = x + x ï £ m £ Ú m ³ 22 Đặt í ( u ³ 2, v ³ ) Dùng PP hàm số ĐS: ïv = y + y ï ỵ ì x - x3 y + x y2 = ï Bài 14 (ĐH 2007A–db2) Giải hệ phương trình: í ï x y - x + xy = î ìu = x - xy ï ĐS: (1;1), (-1; -1) Đặt í Cách 2: Hệ PT Û ïv = x y ỵ (1) (2) ì x ( x - 1) = ì x = ±1 Ûí í ỵ xy = î xy - = ì xy = x2 + y ïx + ï x - 2x + Baøi 15 (ĐH 2007B–db2) Giải hệ phương trình: í xy ïy + = y2 + x ï y - 2y + ỵ ĐS: (0; 0), (1;1) Cộng PT vế theo vế, ta được: ỉ 1 2 VT = xy ỗ + ữ = x + y = VP 2 3 ỗ ( x - 1) + ( y - 1) + ÷ è ø éx = y = Mà VT £ xy £ x + y = VP Dấu "=" xảy Û ê ëx = y = ì2 x - y - m = ỵ x + xy = Bài 16 (ĐH 2007D–db2) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm nhất: í ìx £ ĐS: m > PT Û í Dùng tam thức bậc hai î x + (2 - m) x - = Trang 66 Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn ì ï x + y + x y + xy + xy = - Bài 17 (ĐH 2008A) Giải hệ phương trình: í ï x + y + xy(1 + x ) = ỵ ỉ ì 25 ổ 3ử S: ỗ ; - ữ , ỗ 1; - ữ t ớu = x + y 16 ø è 2ø è îv = xy ì x + x3 y + x y2 = x + ï Bài 18 (ĐH 2008B) Giải hệ phương trình: í ï x + xy = x + ợ ổ 17 S: ỗ -4; ữ HPT Þ x( x + 4)3 = Þ x = -4 ( x ¹ 0) è 4ø ì xy + x + y = x - y ï Baøi 19 (ĐH 2008D) Giải hệ phương trình: í ï x 2y - y x - = x - 2y ỵ ì( x + y )( x - y - 1) = ĐS: (5; 2) HPT Û í Chú ý x + y > ỵ x 2y - y x - = x - 2y ì xy + x + = y Baøi 20 (ĐH 2009B) Giải hệ phương trình: í 2 ỵ x y + xy + = 13y ì ùu = x + y ổ 1ử ù S: ỗ 1; ÷ , (3;1) Đặt í è 3ø ïv = x ï y ỵ ì x ( x + y + 1) - = ï Bài 21 (ĐH 2009D) Giải hệ phương trình: í ( x + y )2 +1 = ï x ỵ ì ìu = x + y ïx + y +1- x = ỉ 3ư ï ï S: (1;1), ỗ 2; - ữ HPT Đặt í è 2ø ï( x + y )2 ïv = x +1 = ỵ ï x2 ỵ Bài 22 (ĐH 2010A) ì(4 x + 1) x + ( y - 3) - y = ï Giải hệ phương trình: í 2 ï4 x + y + - x = ỵ ỉ1 ỉ5 S: ỗ ;2 ữ HPT ị x + ỗ - x ữ + - x - = Dùng phương pháp hàm số è2 ø è2 ø ì5 x y - xy + 3y - 2( x + y ) = (1) ï Baøi 23 (ĐH 2011A) Giải hệ phương trình: í 2 (2) ï xy( x + y ) + = ( x + y ) ỵ ĐS: Ta có: (2) Û ( xy - 1)( x + y - 2) = Û xy = Ú x + y = æ 10 10 ỉ 10 10 Hệ cú nghim: (1;1), (-1; -1), ỗ ; ;ữ, ỗữ ố 5 ø è 5 ø ì ï2 x - ( y + 2) x + xy = m Bài 24 (ĐH 2011D) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: í ï x + x - y = - 2m ỵ Trang 67 Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng ì( x - x )(2 x - y ) = m ï ĐS: HPT Û í ï( x - x ) + (2 x - y ) = - 2m ỵ ì ï (1) Đặt íu = x - x , u ³ - (2) ïv = x - y ỵ -u + u Với u ³ - , ta có: (1) Û m(2u + 1) = -u2 + u Û m = 2u + Xét hàm số f (u) = -u + u ,u³- 2u + Dựa vào bảng biến thiên ta suy giá trị cần tìm là: m £ 2- ì x - x - x + 22 = y + 3y - y ï Baøi 25 (ĐH 2012A) Giải hệ phương trình: í ( x , y Ỵ R) x + y2 - x + y = ù ợ ổ1 3ử ổ3 1ử S: ỗ ; - ữ , ỗ ; - ữ ố2 2ø è2 2ø ì xy + x - = Bài 26 (ĐH 2012D) Giải hệ phương trình: í ( x , y Ỵ R) 2 ỵ2 x - x y + x + y - xy - y = æ -1 + ổ -1 - S: (1;1), ỗ ; ữ, ỗ ;- ữ ố ø è ø Chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp em học sinh đọc tập tài liệu transitung_tv@yahoo.com Trang 68 ... thế, phương pháp cộng đại số Hệ phương trình bậc nhiều ẩn Nguyên tắc chung để giải hệ phương trình nhiều ẩn khử bớt ẩn để đưa phương trình hay hệ phương trình có số ẩn Để khử bớt ẩn, ta dùng phương. .. î ĐS: Bài Trang Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn II HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai · Từ phương trình bậc rút ẩn theo ẩn · Thế vào phương trình. .. Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn III HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC Vấn đề 1: Phương pháp Từ phương trình đơn giản hệ từ phương trình tích tìm cách rút ẩn theo ẩn kia, vào phương trình cịn lại Giải phương