Bài tập hệ phương trình nhiều ẩn ôn thi đại học

Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn Nguyên tắc chung đ

TRAÀN SÓ TUØNG

›š & ›š

TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

Naêm 2012

Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như:

phương pháp thế, phương pháp cộng đại số

2 Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các

phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1 Giải các hệ phương trình sau:

y x

Bài 7 Trong các hệ phương trình sau hãy:

i) Giải và biện luận ii) Tìm m Î Z để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên

Bài 8 Trong các hệ phương trình sau hãy:

i) Giải và biện luận

ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m

Bài 9 Trong các hệ phương trình sau:

i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên

ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m

ï + + =î

ĐS:

1 Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai

· Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia

· Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn

· Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này

î (với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x))

(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi)

· Đặt S = x + y, P = xy

· Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P

· Giải hệ (II) ta tìm được S và P

· Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: X2-SX P+ = 0

í

êî =ê

· Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I)

Chú ý: Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm ( ; ) thì y x x y0 0 ( ; )0 0

cũng là nghiệm của hệ Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì x0 =y0

· Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0)

· Khi x ¹ 0, đặt y kx= Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y)

II HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN

VẤN ĐỀ 1: Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai

Bài 1 Giải các hệ phương trình sau:

ìï + + + =í

ì+ =

ï +ïí

ï +î

ì + + =

îd)

x y

y x

x y

1366

ì + =ï

ïîd)

9

ì+ + =ïï

ĐS: a)(3; 3),( 3;3),(2;3),(3,2),( 4; 3),( 3; 4),(2; 4),( 4;2)- - - b)

Bài 6 Giải các hệ phương trình sau:

ìï = +í

ìï = - +í

ìï + =í

234

2

ì

ïí

32

ì+ =ïï

í

ï + =ïî

c)

x x y y y x

2 2 2 2

23

23

=ïïí

+

ïîd)

12

x y

1 32

1 32

ïïí

y x

x

2 2

2 2

22

ì

= +ïï

Vấn đề 1: Phương pháp thế

Từ phương trình đơn giản nhất của hệ hoặc từ phương trình tích tìm cách rút một ẩn theo

ẩn kia, rồi thế vào phương trình còn lại Giải phương trình này Số nghiệm của hệ tuỳ thuộc số nghiệm của phương trình này

Một số dạng thường gặp:

· Dạng 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x (hoặc y)

· Dạng 2: Trong hệ có một phương trình có thể đưa về dạng tích của các biểu thức bậc

nhất hai ẩn

· Dạng 3: Trong hệ có một phương trình có thể đưa về dạng phương trình bậc hai của

một ẩn với ẩn còn lại là tham số

Chú ý: Đôi khi có thể ta phải kết hợp biến đổi cả 2 phương trình của hệ để đưa về một

x x x

2

13

ì = ïïé =

íê = ïê

-ïë = - ±î

= +ïî

Bài 4 Giải hệ phương trình sau: x xy y

Bài 6 Giải hệ phương trình sau: x x y

-+ =êë

Nghiệm:

Bài 12 Giải hệ phương trình sau: x xy x y

x xy x y

2 2

1716

Bài 14 Giải hệ phương trình sau:

-ïî

· Lấy (1) (2)± ta được:

x y x

x y y

ìï + =í

ïî Û x y x y

331

ì + =

í - =î

21

é =

-=

ïí

- +

ï =ïî

ì =

ï =í

ï =î

Thay vào HPT ta được: z2 = 1 Þ z = ± 1

ïî

· Lấy (1) 3 (2)- ´ , ta được (x-4)3= -(3 y)3 Þ x = - 7 y

Nghiệm: (3;4),(4;3)

Bài 22 Giải hệ phương trình sau: xy x y

5173

5

é+ =ê

ê

ê + = ë

é

= êê

-ê = - = ë

· Từ (2): x y2 2= Û9 xy = ± 3

· Khi: xy = , ta có: x3 3-y3= và 4 x3.( )-y3 = - 27

Suy ra: x3;(-y3) là các nghiệm của phương trình: X2-4X-27 0= Û X= ±2 31

Vậy nghiệm của Hệ PT là x=32+ 31,y= -32- 31

hoặc x=32- 31,y= -32+ 31

· Khi: xy = - , ta có: x3 3-y3= - và 4 x3.( )-y3 =27

Suy ra: x3;(-y3) là nghiệm của phương trình: X2+4X+27 0= (PTVN)

Bài 34 Giải hệ phương trình sau: x y

1( - ) 1æç + ö÷= Û0 é =ê 1

= ë

· Dễ thấy x 0= không thoả mãn (2) nên (2) Û y x

é

= ê

-ê =ë

-=+ Thay vào (1) ta được:

x

x x

x

2 2

· Với y = 0 Þ x 0= là nghiệm của hệ

Với y 0 ¹ , nhân (1) với y - rồi cộng với (2), ta được:

í

-î

Nghiệm: ( 1; 1)- -

Bài 43 Giải hệ phương trình sau:

x y x

x y

y x y

· + Với x 0= Þ y 1 = Þ (0;1) là 1 nghiệm của HPT

+ Với y 0 = không thoả HPT

3 2

=+

3 15

ì+ = -ïï

x2

3 1

ì+ = -ïï

é =

ê =

ê = ë

Thay (2) vào (1) ta được: (x y- )(2x2-5xy+2 ) 0y2 = Û x y x y

y 22x

é =

ê =

ê =ë

Nghiệm: (2;1),( 1; 2)- -

Bài 48 Giải hệ phương trình sau: x y x y xy

é =

ê = ë

- Nghiệm: (3; 1),(3; 7)- -

Bài 52 Giải hệ phương trình sau: x y xy

Û xy y(3 2-4xy x+ 2) 0= Û

x y

x y

x y

003

é =

ê =

ê =ê

=êë

Bài 54 Giải hệ phương trình sau: x y

é =

ê = ê

-ê =ë

ïî

· Thay (1) vào (2) ta được: x3+xy2 = +x x y2 Ûx2+y2 = +1 xy Þxy 1 =

Nghiệm: ( 1; 1),(1;1)- -

Bài 58 Giải hệ phương trình sau: x xy y

· Thay (2) vào (1) ta được: x3+2xy2+(8y2+x y2) = 0 Û x3+x y2 +2xy2+8y3 = (3) 0

Dễ thấy y 0 = không thoả HPT

Với y 0 ¹ , đặt t x

y

= ta được: (3) Û t3+ + + = t2 2 8 0t Û t= -2 Þ x = - 2y Nghiệm: (2; 1),( 2;1)- -

Bài 59 Giải hệ phương trình sau: x y

· Thay (1) vào (2) ta được: xy x+ 2 =2(2x2-y2) Û x3 2-2y2-xy = 0 (3)

Dễ thấy x 0= không thoả HPT

= êë

Þ y x y 3x

2

é =ê

= êë

Bài 61 Giải hệ phương trình sau:

Để PT này có nghiệm đối với y thì ta phải có:

Bài 63 Giải hệ phương trình sau: xy y

xy x

2 2

4 82

ìï = í

-= +ïî

· Nếu xy ³ 4 thì HPT Û xy y

xy x

2 2

ìï = í

-= +ïî

x

2 2

4 2- - = - ç8 æ + ö÷

è ø Û 2(2-x2) 0= Û x2 = (loại) 2

Kết luận: Nghiệm (x; y) của hệ: ( 2; 8 ,) (- 2;- 8)

Bài 64 Giải hệ phương trình sau: x x x y y y

x y 5 8 (1)(2)

í - =î

ìï =í

ïî

Nghiệm: (1;1)

Bài 67 Giải hệ phương trình sau: x y xy

Vậy hệ có hai nghiệm là: ( 3; 3 ,) (- 3;- 3)

Bài 70 Giải hệ phương trình sau: x y x y

ì + =

î Û uvì =í =î 22 Þ xyì =í = -î 23 Nghiệm: (2; 3)-

Bài 71 Giải hệ phương trình sau:

2 - - - - =3 0Û t2 2- - = t 3 0 Û t t 31

2

é = ê

-=êë

Þ x y y

x y y

3

33

+ Với 3 - = - Þ y 0 x y y £ Thay vào (2) ta được: x y y

y x y

23

ì - =í- = + -

4

ïí

=êë

+ = Þ vô nghiệm Nghiệm: (3;2)

Bài 73 Giải hệ phương trình sau: x x y xy y

ì ³ï

í ³

ïî (1) Û ( x+ y)( x -2 y)= 0 Û x -2 y = 0 Û x=4y

Thay vào (2) ta được: 4y - = 1 1Û y 1

2

= Þ x 2= Nghiệm: 2;1

= , thế vào (2) ta được : y3 2-2y+24 0= Vô nghiệm

Kết luận: hệ phương trình có 2 nghiệm là: x x

ï - + =î

· Điều kiện: xì ³í ³îy 00 Ta có: (1) Û y = x+ -3 x (nhân lượng liên hợp)

Thay vào (2) ta được: x + = + 3 x 1 Û x 1= Þ y 1 =

î Ta có (1) Û xy+ y+ =1 x Thay vào (2) ta được: x + 1- = x 1 Û xxé =ê =ë 10

ïî

Nhân (1) với (2) vế theo vế ta được:

+ïî

Û í

-+ïî

Nhân (1) với (2) vế theo vế ta được:

x y y x

3 + = - Û x(3 -2 )y 2=5y2 Nghiệm:

Bài 94 Giải hệ phương trình sau:

·

Vấn đề 2: Phương pháp đặt ẩn phụ

Biến đổi các phương trình của hệ để có thể đặt ẩn phụ, rồi chuyển về hệ cơ bản

Thông thường đưa về dạng: f u v

ì = +

î HPT Û u vì + =í =îuv 189 Nghiệm: (1;3),( 3;15),( 1- - - 7;6 3 7),( 1+ - + 7;6 3 7)-

Bài 3 Giải hệ phương trình sau: x y x y

ìï = í

xy y x

ì+ + + = -ïï

í

ïî

= +ïïí

ï = +ïî

ì = +ïï

í

ï = +ïî

HPT Û u v

u v

1 1 2

36

ìï + =í

ï + =î

ì

= +ïï

í

ï = +ïî

ì

=-++++

=-+++

+

011)

1(

030)

2()

1(

2 2

3 2

2 3

y y y x y x

xy y y x y y x

x y

2

232

Đặt

u x v

x y

212

ì =ï

ï = î

(với u 2 ³ )

Bài 14 Giải hệ phương trình sau:

x y x

ì

=+

=+358

152

3 3

2 2

y x

xy y x

ì

=++

=++

64

9)2)(

2(

x

y x x

x

· Hệ PT Û x x x y

x x x y

2 2

ì = +í

Bài 19 Giải hệ phương trình sau:

y x

=ê-

So sánh điều kiện ta được 4 nghiệm của Hệ PT

Bài 20 Giải hệ phương trình sau: x x

11

Bài 21 Giải hệ phương trình sau: xy x y

x y2 2 xy y2

1 7

1 13

ì + + =í

· Dễ thấy y ¹ 0 HPT Û

x x

y y x x

1ì

= +ïïí

ï =ïî

HPT Û u v

u2 v

713

ì + =

21 9 54

é

= êê

-±

ê =êë

1 22

ï

ïî

· Dễ thấy y ¹ HPT 0 Û

x y

x x

y y

3 3

Bài 24 Giải hệ phương trình sau: y xy x

ïî

· Dễ thấy y ¹ 0 HPT Û

x x

1ì

= +ïïí

ï =ïî

x y x y

ïí+

ï =í

ï = + î

- HPT Û u vì + =í =îuv 1 2 Nghiệm: (1;2),( 2;5)-

Bài 26 Giải hệ phương trình sau: x y y xy

y y

2

2 2

æ ö

ç ÷

ïè øî

Û

x x

y

2ì

=

-ïî Û u v u v

12

2 11

ì

- =ïï

í

ï =ïî

Û x yé = = -ê = =ëx y 21

+ Với u v 2= = thì

x y x y

2 22

ì

- =ïï

í

ï =ïî

y y

x x

2 2

v

y

2 2

111

+ Với uvì = -í =î 125 Þ

x

y x

y

2 2

1

1 12

ì+ + = -ïï

y

2 2

1

1 3

ì+ + =ïï

2, 1

é

êê

ïí

x y

x

2 2

í

ï = ïî

- Đặt

u x v y

1

ì =ï

ìï + - =í

- + =ïî

Lấy (1) (2)- ta được: 2(u2-v2) 2(+ u v - = ) 0 Û u vé - =ê + + =ëu v 1 00

é = - =ê

= - =ê

ë

. Nghiệm:

Bài 34 Giải hệ phương trình sau: x x y

í+ =

Bài 38 Giải hệ phương trình sau: x y x y

ï - =í

ï + =î

Þ

u v x

v

v u v u y

22 2

6( )2

=ïïí

Bài 43 Giải hệ phương trình sau: x y

· Đặt u x

v y

3 3

11

ì + =

í + =î

í = î

é =

-ê =ë

Bài 48 Giải hệ phương trình sau: x y

í + =ïî

Vấn đề 3: Phương pháp đánh giá

Từ điều kiện của ẩn, xét trường hợp xảy ra dấu "=" ở bất đẳng thức

Bài 1 Giải hệ phương trình sau:

+ Nếu x > 3 thì từ (b) suy ra: y3 =9 (x x- +3) 27 27> Þ > y 3

từ (c) suy ra: z3 =9 (y y- +3) 27 27> Þ >z 3Þ (d) không thoả mãn

+ Tương tự, nếu x < 3 thì từ (a) Þ 0 < z < 3 Þ 0 < y <3 Þ (d) không thoả mãn

+ Nếu x = 3 thì từ (b) Þ y = 3; thay vào (c) Þ z = 3

ï

ï - =î

+

= Nghiệm x = y = z = ( )2

5 14

y z y

z x z

2 2 2 2 2 2

212121

ì

=ï

+ï

í+ïï

=ï

ï +î

· Nếu x = 0 thì y = 0, z = 0 Þ Hệ có nghiệm (x; y; z) = (0; 0; 0)

· Nếu x ¹ 0 thì y > 0, z > 0 Þ x > 0

Ta có: y x x x

x x

2

21

+ Tương tự ta suy ra được: y £ x £ z £ y Þ x = y = z

Dễ dàng thấy (x; y) = (2; 2) là một nghiệm của hệ

Nếu x > 2 thì từ (1) Þ y < 2 Nhưng từ (2) Þ x – 2 và y – 2 cùng dấu Þ Mâu thuẫn Nếu x < 2 thì cũng suy ra điều mâu thuẫn tương tự

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 2

Bài 5 Giải hệ phương trình sau: x y x

21

-ïí

= +ïî

· Từ (2) Þ y

y y

Bài 8 Giải hệ phương trình sau:

xy

x x xy

Bài 10 Giải hệ phương trình sau: x y

ïî

1 00

ìï - ³í

Vấn đề 4: Phương pháp hàm số

Chọn hàm số thích hợp, rồi sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b) Khi đó, với mọi

ì =

ï =í

ï =î

, thường sử dụng tính đơn

điệu của hàm số để chứng minh x = y = z

– Xét tính đơn điệu hàm số f(t)

– Chứng tỏ x < y, x > y, … không xảy ra

– Từ đó suy ra x = y = z Thế vào hệ đã cho để giải tìm x, y, z

Bài 1 Giải hệ phương trình sau: x x y y

ïî

· Từ (2) Þ x8£1, y4£ 1Þ x £1, y £ 1

Xét hàm số f t( )= -t3 5 ,t tÎ -[ 1;1] Þ f t¢( ) 3= t2- <5 0," Î -t [ 1;1] Þ f(t) nghịch biến trên [–1; 1]

= êë

2 2

1

¢ = + > " ¹ Þ f t() đồng biến trên các khoảng ( ;0),(0;-¥ +¥ Do đó: )

(2 3 ) 1 (1)( 2) 3 (2)

3 3

ï = +ïî

Lấy (3) (4)+ ta được: y y

x x

í

ïî

· Đặt u xì = -í = -îv y 11 HPT Û u v

u u

v v

2 2

1 3

1 3

ìï + + =í

Xét hàm số: g u( )= -u log3(u+ u2+ 1) Þ g u¢( ) 0> Þ g(u) đồng biến

Mà g(0) = 0 nên u = 0 là nghiệm duy nhất của (2)

-ïî

ïî

· Điều kiện: - £ £4 x 1 Ta có: (1) Û y2 3+ =y 2(1-x) 1- +x 1- x (3)

Xét hàm số f t( ) 2= t3+ t Þ f t() đồng biến trên R Do đó (3) Û y= 1- x

Thay vào (2) ta được: 3 2- x + 1- = +x 4 x + (4) 4

Ta có: VT của (4) là hàm số nghịch biến trên ( 4;1)- , VP của (4) là hàm số đồng biến trên

( 4;1)- , nên (4) có nghiệm duy nhất x= -3

ïî

Xét hàm số f t( )= -t cost Þ f t¢ = +( ) 1 sint³ "0, t Þ f t() đồng biến trên R

Do đó (1) Û f x( )= f y( ) Û x y = Thay vào (2) ta được: x3-3x-18 0= Û x 3= Nghiệm: (3;3)

Bài 24 Giải hệ phương trình sau:

·

Vấn đề 5: Hệ phương trình hoán vị vòng quanh

Để giải các hệ phương trình hoán vị vòng quanh

x f y

y f z

z f x

( )( )( )

ì =

ï =í

ï =î

, thường sử dụng tính đơn

điệu của hàm số để chứng minh x = y = z

– Xét tính đơn điệu hàm số f(t)

– Chứng tỏ x < y, x > y, … không xảy ra

– Từ đó suy ra x = y = z Thế vào hệ đã cho để giải tìm x, y, z

Bài 1 Giải hệ phương trình sau:

ï + =î

x 2 y 2 z 2

(2 1)(2 1)(2 1) 15 ( )(2 1)(2 1)(2 1) 15 ( )

ï - =î

Û x y z

123

ì =ï

=í

ï =î

+ Trường hợp (b) Þ x

y z

ì = ï

= í

ï = î

Û x y z

012

ì =ï

= í

ï = î

Từ hệ (I) ta suy ra được: + nếu x 1< thì y<1,z < 1 + nếu x 1> thì y>1,z > 1

Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f t() ta chứng minh được x y z = =

ï

=í

= Nghiệm: (1;1;1),( 1; 1; 1)- - -

=++-

x z

z z

z y

y y

y x

x x

4153

4153

4153

2 3

2 3

2 3

Xét hàm số f t( )= -t3 3t2+ + 5 1t Nghiệm: (1;1;1) , (1± 2;1± 2;1± 2)

Bài 6 Giải hệ phương trình sau:

3 2

x x y z

y y z x

Vấn đề 6: Hệ phương trình giải được bằng phương pháp lượng giác hoá

· Nếu x a a£ ( >0) ta đặt x a cosa= với aÎ[0; ]p

· Nếu x2+y2 =a a( > ta đặt x0) = asin ,a y= acosa với aÎ[0;2 ]p

· Với mọi số thực x luôn có một số a với ;

a sao cho x tan= a

Bài 1 Giải hệ phương trình sau: x y y x

ïî Đặt x=cos ,a y=cosb với a b, Î[0; ]p

Khi đó: HPT Û cos sinìí -î(1 cos )(1 cos ) 2a a b++cos sinb b =a =1 Û 2

sin cos sin cos 1 0 (3)

p

a b

ìï + =í

· Do x2+y2 = nên x y1 , Î -[ 1;1] Đặt x=sin ,a y=cosa với aÎ[0;2 ]p

Khi đó (1) Û 2(sin a -cos )(1 2sin 2 )a + a = 3

Û 4sin sin2 sin 3

ê = - +ë

x y z y z x

ï =í-ï

tan2tan 4tan8

ì =ï

=í

ï =î

a a

z

x x y

x

y y z

y

3 2 3 2 3 2

-=í-ï

-=ï-ïî

tan3tan 9tan 27

ì =ï

=í

ï =î

a a

· Nhận xét: xyz 0 ¹ và x y z , , cùng dấu Nếu x y z ( ; ; ) là một nghiệm của HPT thì

x y z

( ; ; )- - - cũng là nghiệm của hệ, nên ta sẽ tìm nghiệm x y z , , dương của hệ

Đặt x=tan ,a y=tan ,b z=tan (0g <a b g, , <90 )0

Khi đó: HPT trở thành:

Ta có: (1) Û 3 1 tan2 4 1 tan2 5 1 tan2

3

1 tan

b b

Vấn đề 7: Hệ phương trình chứa tham số

2 2

21

+ Khi m = 1: Hệ PT Û x

VN x

y x

2 2 2

( )2

ìï =í

t t

y

2

2 2

í

ï + + =ïî

->

êë

Do đó (II) có nghiệm ( ; ) Û t y m t t

t t

2 2

1

+ +

=+ - có nghiệm t ( ; 1) 1;

1( )

+ +

=+ - , t ( ; 1) 1;

minA = - , tại 4 m= -1 hay x y x

ì + + = +

î

· Nếu(x y0 0; ) là nghiệm của hệ thì (y x0 0; )cũng là nghiệm của hệ

Vậy nếu hệ có nghiệm duy nhất thì x0=y0

ïí

î î (I) hoặc SPì =í =î 12 (II)

Hệ (I) có nghiệm( )1;1 , hệ (II) vô nghiệm Như vậy, hệ đã cho có nghiệm duy nhất 2) m= -3, hệ trở thành xy x y

x y xy2 2

12

ì+ + =ï

í

î

S P SP

5414

ì+ =ï

® í

î

S P

114

ì =ï

Û í =

ïî (I) v S P

141

ìï =í

ï =î

ìï = - +í

ïî a) có nghiệm b) có nghiệm duy nhất

Vậy hệ có nghiệm Û một trong 2 pt có nghiệm m

m

1 2

D D

é ¢ = - ³

b) Nếu (x y0; 0) là nghiệm của hệ thì (y x0 0; ) cũng là nghiệm của hệ

Vậy nếu hệ có nghiệm duy nhất thì x0=y0

* Với x y = : ta có x x= 2- +x 1Ûx2-2x+ =1 0 Û =x 1 Þ = , nghiệm duy nhất y 1

* Với x = - : ta có y Ûx2+ = , vô nghiệm 1 0

y x

x

2 2

2 2

22

ì

= +ïï

Þ cùng dấu, mặt khác 2x2 ³ nên y0 > Tương tự 0 x 0>

f x'( ) 9= x2-4x , f x'( ) 0 x 0,x 4

9

Dựa vào BBT ta thấy với mọi m 0 > phương trình f x ( ) = có nghiệm m x 0> duy nhất

Bài 8 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: x y

u v m

uv 2m 3

ì + =

Û í = -î (II)

Hệ (I) có nghiệm ( )x y; Û hệ (II) có nghiệm u v ( ; ) với u³0;v ³ 0

Ta biết u v , là nghiệm của phương trình f t( )= -t2 mt+2m - = (*), nên hệ (II) có 3 0

nghiệm u³0,v ³ khi và chỉ khi (*) có nghiệm kép không âm hay có hai nghiệm phân 0

biệt không âm

032

ì

ï

Ûí ³ï

³ïî

m m

6

2

é ³êÛ

£ £ê

ìï + + =í

+ + =

ïî (II)

Vì u³0, v ³ nên điều kiện cần để hệ có nghiệm là 0 m 2³

Ngược lại với m 2³ thì: