Nhập môn hình học symplectic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Dư Thị Phượng Hảo NHẬP MÔN HÌNH HỌC SYMPLECTIC Chuyên ngành : Hình học Tôpô Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Lê Anh Vũ Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy – người bước hướng dẫn phương pháp nghiên cứu đề tài kinh nghiệm thực đề tài, cung cấp nhiều tài liệu truyền đạt kiến thức quý báu suốt trình thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy tổ Hình học, khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp làm việc hiệu suốt trình học Cao học Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Tổ chức hành chính, phòng Khoa học Công nghệ Sau đại học, phòng Kế hoạch – Tài Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh; Ban giám hiệu trường THPT Bình Thạnh, Trảng Bàng, Tây Ninh toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2009 Tác giả Dư Thị Phượng Hảo DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU  Đại số Lie nhóm Lie G  Không gian đối ngẫu đại số Lie  Aut    Nhóm tự đẳng cấu tuyến tính  TeG Không gian tiếp xúc nhóm Lie G phần tử đơn vị e  V *  Tập 2-dạng không gian véctơ V  V  Tập dạng song tuyến tính phản đối xứng V C M  Không gian hàm khả vi vô hạn lần đa tạp M F M  Tập hàm nhẵn đa tạp M F  x0  Tập hàm nhẵn lân cận điểm x0 thuộc đa tạp M s  M  Tập s-dạng vi phân đa tạp M s H dR M  Nhóm đối đồng điều de Rham thứ s đa tạp M Diff  M  Nhóm phép vi phôi đa tạp M Sympl  M ,   Nhóm đồng cấu symplectic đa tạp M  (M ) Tập trường véctơ khả vi đa tạp M  sympl  M  Tập trường véctơ symplectic đa tạp M  ham  M  Tập trường véctơ hamilton đa tạp M F K-quỹ đạo chứa F nhóm Lie G   MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong suốt hai kỷ qua, nhà khoa học đặc biệt quan tâm đến “cơ học giải tích”, toán học kể đến nhà khoa học như: Euler, Lagrange, Laplace, Hamilton, Jacobi, Poisson, Liouville, Poincaré, Birkhoff, Carathéodory, Lie, E Cartan,… Từ đó, họ phát triển thành vài nhánh quan trọng toán học là: hình học vi phân, tính toán bất biến lý thuyết nhóm Lie đại số Lie, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng phương trình vi phân thường,… Trong suốt nửa kỷ qua, việc nghiên cứu cấu trúc hình học đa tạp vi phân, chẳng hạn cấu trúc Symplectic, Poisson, Contact,…lấy học giải tích học cổ điển làm tảng, giới thiệu nhiều phương pháp đại hình học vi phân, tạo sức sống lĩnh vực nghiên cứu hình học Cấu trúc Symplectic đa tạp vi phân 2-dạng đóng không suy biến Việc xây dựng cấu trúc Symplectic đa tạp vi phân hình thành khái niệm đa tạp Symplectic Việc nghiên cứu đa tạp Symplectic gọi hình học Symplectic Hình học Symplectic nhánh hình học vi phân, có nguồn gốc từ học cổ điển Hamilton gọi tôpô Symplectic, song sau tôpô Symplectic lĩnh vực liên quan đến vấn đề quan trọng mang tính chất toàn cục hình học Symplectic So với hình học Riemann, hình học Symplectic có số điểm giống có nhiều điểm khác Hình học Riemann nghiên cứu đa tạp vi phân trang bị 2-trường tenxơ đối xứng không suy biến, hình học Symplectic nghiên cứu đa tạp vi phân trang bị 2-dạng đóng không suy biến Khác đa tạp Riemann, đa tạp Symplectic phải có số chiều chẵn, định hướng tính chất bất biến địa phương độ cong Một điểm khác là, đa tạp vi phân tùy ý chấp nhận cấu trúc Symplectic, Hình học Symplectic chuyên đề tự chọn chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành toán Hình học – Tôpô Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, nhiên chuyên đề chưa trình bày Do định nghiên cứu tính chất hình học Symplectic với mục đích xây dựng cấu trúc Symplectic đa tạp vi phân thông thường Vì đề tài nghiên cứu mang tên: “NHẬP MÔN HÌNH HỌC SYMPLECTIC” Mục đích Giới thiệu tổng quan kiến thức đa tạp Symplectic Vấn đề có nhiều ứng dụng toán học, vật lý học lại biết đến tài liệu tham khảo tiếng việt Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đa tạp Symplectic tác động nhóm Lie đa tạp Symplectic Ý nghĩa khoa học thực tiễn Hy vọng luận văn góp tài liệu tham khảo cho sinh viên đại học ngành toán năm cuối học viên cao học ngành Hình học Tôpô Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, chương nội dung phần kết luận Cụ thể: Phần mở đầu: Giới thiệu đề tài nghiên cứu Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trình bày kiến thức đa tạp vi phân, đại số Lie nhóm Lie Chương 2: Đa tạp Symplectic Trình bày nội dung chính: không gian véctơ Symplectic, đa tạp Symplectic, đồng cấu symplectic, đa tạp đa tạp Symplectic, trường véctơ symplectic, trường véctơ hamilton định lí quan trọng Darboux, Moser Chương 3: Tác động nhóm Lie đa tạp Symplectic Trình bày tác động symplectic, tác động hamilton xây dựng cấu trúc symplectic K-quỹ đạo Phần kết luận: Đưa nhận xét vấn đề mở cần phải tiếp tục nghiên cứu tiếp sau đề tài Các kí hiệu dùng luận văn kí hiệu thông dụng giải thích dùng lần đầu (xem Danh mục kí hiệu) Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, trình bày lại kiến thức làm sở lý thuyết phục vụ đề tài Các định lí, hệ kết phát biểu không chứng minh Độc giả quan tâm đến chứng minh muốn tìm hiểu sâu đa tạp vi phân, nhóm Lie, đại số Lie xin xem thêm tài liệu [1], [2], [3], [7] [8] 1.1 Đa tạp vi phân 1.1.1 Đa tạp tôpô Giả sử M không gian tôpô Hausdorff có sở đếm Ta gọi M đa tạp tôpô n-chiều đồng phôi địa phương với không gian n-chiều  n , nghĩa với x  M , tồn lân cận mở U x đồng phôi  :U  V từ U lên tập mở V   n 1.1.2 Atlat khả vi - Cấu trúc khả vi Cặp U ,  xác định gọi đồ địa phương quanh x M, hay gọi tắt đồ Mỗi đồ U ,  quanh x U xác định hệ hàm x1 , , xn U nhận giá trị thực cho  ( y )   x1 ( y), , xn ( y )  , y U Ta nói U ; x1 , , xn  hệ tọa độ địa phương quanh x Một atlat (tập đồ) khả vi lớp C k 1  k    {} họ U ,  : i  I  đồ thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) Họ U i  phủ mở M; (ii) Với hai đồ U i ,i  U j , j  , U i  U j  , ánh xạ  j  i 1 i i xác định i U i  U j  ánh xạ khả vi lớp C k từ i U i  U j  lên  j U i  U j    Hai tập đồ C1  U i ,i  : i  I  C  V j , j  : j  J khả vi lớp C k gọi tương thích với hợp chúng tập đồ khả vi lớp C k Quan hệ “tương thích” quan hệ tương đương họ tập đồ khả vi lớp C k Mỗi lớp tương đương quan hệ tương đương gọi cấu trúc khả vi lớp C k M 1.1.3 Đa tạp vi phân Đa tạp tôpô n-chiều M với cấu trúc khả vi lớp C k cho gọi đa tạp vi phân n-chiều lớp C k Nếu k = , cấu trúc khả vi tương ứng gọi cấu trúc nhẵn M Khi ta gọi M đa tạp nhẵn 1.1.4 Đa tạp Cho P tập đa tạp khả vi n-chiều M Ta nói P đa tạp k-chiều M với x  P, tồn đồ U ,  M,  : U  U    n cho  ( x)     U  P   {0}   k  U  1.1.5 Tích đa tạp vi phân Cho đa tạp khả vi M với atlat A = U i ,i iI N với atlat B = V j , j  jJ Trên không gian tôpô Hausdorff M  N xét atlat khả vi A  B = U i  V j ,i  j  iI , jJ M  N đa tạp khả vi gọi đa tạp tích hai đa tạp M N Chú ý: dim ( M  N )  dim M + dim N 1.2 Ánh xạ khả vi đa tạp vi phân 1.2.1 Định nghĩa Giả sử M, N hai đa tạp vi phân lớp C k với số chiều m, n tương ứng Ánh xạ liên tục f : M  N gọi khả vi lớp C k p  M với đồ U ,  quanh p V ,  quanh f(p) = q mà f U   V ánh xạ   f   1 :  U    V  khả vi điểm  ( p)   m N M f U V     f  1  (U )   m  (V )   n Ánh xạ f gọi khả vi lớp C k khả vi lớp C k điểm p  M 1.2.2 Nhận xét Nếu f : M  N g : N  P hai ánh xạ khả vi lớp C k g  f : M  P ánh xạ khả vi lớp C k Ánh xạ f : M  N gọi vi phôi lớp C k f song ánh f, f 1 khả vi lớp C k Hợp thành hai vi phôi lại vi phôi Từ sau, ngắn gọn, thuật ngữ “khả vi” có ý nghĩa “khả vi lớp C k ” với k 1  k    {} đủ cần thiết, k  , từ “khả vi” thay từ “nhẵn” Với x0 thuộc đa tạp nhẵn M, k    {}, ta kí hiệu: F  M    f : f hàm nhẵn M  F  x0    f : f hàm nhẵn lân cận x0  F k  M    f : f hàm khả vi lớp C k M  F k  x0    f : f hàm khả vi lớp C k lân cận x0  1.3 Không gian tiếp xúc – Phân thớ tiếp xúc – Ánh xạ tiếp xúc 1.3.1 Véctơ tiếp xúc Cho M đa tạp vi phân n-chiều, ta kí hiệu I  a,b – tập sau:  a,b  ,  a,b ,  a,b  ,  a,b Xét ánh xạ liên tục c : I  M , t  c  t  Khi I tập  a,b  ,  a,b ,  a,b  ,  a,b  , ta bảo c đường cong khả vi M tồn   đủ nhỏ ánh xạ khả vi c : (a   , b   )  M cho c I  c Một véctơ tiếp xúc với c x0  c  t0  ánh xạ X : F  x0    f  Xf  d  f  c dt t t0 Ta gọi Xf đạo hàm f theo hướng véctơ X hay đạo hàm f theo hướng c x0  c  t0  Tính chất Với f , g  F  x0  , ta có  X(f  g) = Xf  Xg;  X(  f) =  X(f);  X  f g    Xf  g ( x0 )  f ( x0 ). Xg  ; f , g  F  x0  (Quy tắc Newton – Leibniz) 1.3.2 Không gian tiếp xúc Cho M đa tạp vi phân n-chiều x0  M điểm tùy ý Véctơ tiếp xúc M x0 véctơ tiếp xúc X đường cong khả vi c x0 cho c  t0   x0  t0  I  Không gian tiếp xúc M x0 tập hợp véctơ tiếp xúc M x0 , kí hiệu Tx0 M không gian véctơ  với phép toán ( X , Y )  X  Y ; (, X )  X xác định sau  X Y f    X  f    Xf  ;   , X,Y  Tx M , f  F ( x0 )  Xf  Yf ; Không gian tiếp xúc Tx0 M không gian véctơ thực n-chiều với sở      , , ,   xn x0   x1 x0 x2 x0 1.3.3 Phân thớ tiếp xúc Đặt TM   Tx M , TM với phép chiếu  : TM  M , X  Tx M   ( X ) : x xM gọi phân thớ tiếp xúc M 1.3.4 Trường véctơ Cho M đa tạp vi phân n-chiều, TM phân thớ tiếp xúc M Cho U tập mở M xét ánh xạ X : U  TM x  X x  Tx M X gọi trường véctơ U Khi U = M ta nhận khái niệm trường véctơ M Xét U ,  đồ địa phương với tọa độ cho  .   x1 (.), , xn (.)  Khi n trường véctơ X U viết dạng X   i i 1  , i : U   xi hàm U, i  1,2, , n Ta bảo X trường véctơ khả vi U i hàm khả vi U, với i =1,2,…,n Tập trường véctơ khả vi U kí hiệu  (U ) Trường véctơ X M gọi khả vi X U khả vi U với đồ U ,  M Tập trường véctơ khả vi M kí hiệu  ( M ) 1.3.5 Tích Lie hai trường véctơ Với X , Y   ( M ), tích Lie X Y, kí hiệu [X,Y], xác định sau:  X ,Y  f : X Yf   Y  Xf  , f  F  M  Tương tự xác định [X,Y] X , Y   (U ) 1.3.6 Ánh xạ tiếp xúc Giả sử M, N hai đa tạp vi phân  : M  N ánh xạ khả vi Với x  M , xét ánh xạ Tx : Tx M  T ( x ) N , X  Tx  X xác định sau: Tx  X  f : X  f    , f  F  ( x)  Khi Tx ánh xạ tuyến tính Từ đó, ta xác định ánh xạ:  :TM  TN X   X với  X  f : X  f    , f  F  N  Ta gọi  ánh xạ tiếp xúc ánh xạ khả vi  1.3.7 Phân bố Cho đa tạp vi phân n-chiều M đa tạp mở U M Một phân bố r- chiều (0  r  n ) U tương ứng E : x  E x liên kết điểm x U với không gian r-chiều Ex Tx M Trường véctơ khả vi X U gọi thuộc phân bố E X x  E x , x U Phân bố r-chiều E gọi khả vi tồn r trường véctơ khả vi X , , X r U cho Ex  X1x , , X rx , x  U Lúc đó, ta nói E sinh X , , X r Phân bố r-chiều E gọi khả tích với x U tồn đa tạp r-chiều N U chứa x cho E y  Ty N , y  N Khi U = M ta có khái niệm phân bố, phân bố khả vi, phân bố khả tích M 1.3.8 Định lí 1.3.8.1 Định lí Flow-Box Nếu X , , X r trường véctơ nhẵn đa tạp nhẵn n-chiều M thỏa mãn [ X i , X j ]  0, i, j với p  M mà r trường véctơ X  p  , , X r  p  độc lập tuyến tính Tp M tồn hệ tọa độ địa phương U ; x1 , x2 , , xn  lân cận mở U p cho X  U   ,X r  x1 xr U Hệ (định lí Flow-Box) Cho M đa tạp nhẵn E phân bố nhẵn M Khi E khả tích E đóng tích Lie trường véctơ, tức với hai trường véctơ tùy ý X, Y thuộc E có [ X ,Y ] thuộc E 1.3.8.2 Định lí Frobenius địa phương Cho M đa tạp nhẵn n-chiều, E phân bố r-chiều nhẵn khả tích M Khi với pM có lân cận U p tồn hệ tọa độ địa phương U ; x1, x2 , , xr , y1, , ynr  cho E U sinh trường véctơ    , , , x1 x2 xr 1.4 Nhóm tham số – Đạo hàm Lie – Hợp luân trường véctơ 1.4.1 Nhóm 1-tham số 1.4.1.1 Đường cong tích phân Giả sử X trường véctơ khả vi đa tạp M Đường cong khả vi c(t) M gọi đường cong tích phân trường X giá trị tham số t0 , véctơ X c (t0 )  c  t0  Ta gọi X c (t0 )  c  t0  véctơ tiếp xúc c x  c (t0 ) Hơn nữa, với p0  M , tồn đường cong tích phân c(t) trường X, xác định t   , với   cho c    p0 1.4.1.2 Nhóm 1- tham số toàn cục Ta gọi nhóm - tham số phép vi phôi M (hay nhóm 1- tham số toàn cục) ánh xạ  :   M  M , (t , x)   (t , x) (còn viết t ( x) ) thoả mãn hai tính chất sau: (i) Với t   , t      t,. : M  M , x  t  x  vi phôi; (ii) Với t ,s   , p  M , ta có t  s  p   t   s  p  Mỗi nhóm 1- tham số phép vi phôi t t M sinh trường véctơ X cách sau: lấy p  M , xét đường cong x  t   t  p  mà gọi quỹ đạo điểm p Ta xác định X p : x   Quỹ đạo t  p  đường cong tích phân qua p trường véctơ X 1.4.1.3 Nhóm 1- tham số địa phương Kí hiệu I     ,   ,   U tập mở M Nhóm - tham số địa phương vi phôi địa phương M xác định I  U ánh xạ  : I  M  M , (t , x )   (t , x) (còn viết t ( x ) ) thoả mãn hai tính chất sau: (i) Với t  I , t :U  M , x  t  x  vi phôi từ U lên tập mở t U   M ; (ii) Với t , s, t  s  I  p U , s  p  U t  s  p   t   s  p  Để đơn giản ta thường dùng kí hiệu (t ) để nhóm 1-tham số địa phương mà không rõ tập U Rõ ràng, tương tự nhóm 1-tham số toàn cục (t ) sinh trường véctơ X xác định U X p  x(0), x(t )  t ( p ) 1.4.1.4 Định lí Nếu X trường véctơ khả vi đa tạp M với p0  M , tồn lân cận U p0 , số   nhóm 1- tham số địa phương phép vi phôi địa phương t : U  M , t  I cho (t ) sinh trường véctơ X cho Khi ta nói X sinh nhóm 1-tham số địa phương vi phôi địa phương t lân cận điểm p0 Nếu X sinh nhóm toàn cục X gọi trường véctơ đầy 1.4.2 Hợp luân trường véctơ Giả sử M đa tạp  : M    M ánh xạ Với t  , ta đặt t ( x) :  ( x, t ), x  M 1.4.2.1 Định nghĩa hợp luân Ánh xạ  gọi hợp luân thỏa mãn hai điều kiện sau:  t : M  M vi phôi, t  ;    id M Khi cho hợp luân ta trường véctơ phụ thuộc thời gian, tức họ trường véctơ X t ,  t    xác định sau: X t ( x)  nghĩa d  s ( y ) ; x  M , y  t1 ( x), ds s t d t  X t  t dt Ngược lại cho trường véctơ phụ thuộc thời gian M compăc tồn hợp luân  thỏa mãn phương trình Giả sử M compăc, ta có tương ứng  sau: 11 {Hợp luân M}  {Trường véctơ phụ thuộc thời gian M} t , t    X t , t   1.4.2.2 Phép (flow) trường véctơ Nếu X t  X không phụ thuộc vào t hợp luân tương ứng với gọi phép (flow) X, kí hiệu exptX, nghĩa {exp tX : M  M , t  } họ phép vi phôi nhẵn thỏa mãn:  exp tX  t 0  id M ; d  exp tX  ( p)  X  exp tX ( p)  , p  M dt 1.5 Dạng vi phân đa tạp 1.5.1 Không gian đối tiếp xúc – Phân thớ đối tiếp xúc Cho M đa tạp vi phân n-chiều, x0  M điểm tùy ý Tx0 M      không gian tiếp M xúc x0 có sở  , , ,   x  x  x x x x 0  n  Khi không gian đối ngẫu Tx0 M Tx*0 M  { : Tx0 M   /  ánh xạ tuyến tính} gọi không gian đối tiếp xúc M x0 Mỗi phần tử Tx0 M gọi véctơ đối   tiếp xúc x0 Đương nhiên, sở Tx0 M dx1 x , dx2 x , , dxn x đối ngẫu sở 0     , , ,  xn x0  x1 x0 x2 x0 Đặt T M      Tx M , * T M với phép xM   Tx*M    ( ) : x gọi phân thớ đối tiếp xúc M 1.5.2 Vi phân toàn phần hàm khả vi chiếu   : T M  M , Cho U tập mở  n ánh xạ khả vi f : U   Vi phân toàn phần f n f ( x) dxi i 1 xi x   x1 , , xn  U xác định df ( x)   Cho f hàm nhẵn đa tạp nhẵn M Vi phân f x  M ánh xạ tuyến tính df x : Tx M  , X x  df x  X x   X x  f  1.5.3 Dạng vi phân Cho M đa tạp vi phân n-chiều lớp C k , k  Một dạng vi phân  bậc s (còn gọi s-dạng  ) M quy tắc tương ứng p  M với s-dạng tuyến tính phản đối xứng  ( p) Tp M , (0  s  n) Mỗi hàm f : M   gọi dạng vi phân bậc 1.5.4 Biểu diễn địa phương dạng vi phân Giả sử U ; x1, , xn     đồ địa phương đa tạp khả vi M,    xi  (i  1,2, , n) trường véctơ sở dxi  (i  1,2, , n) dạng vi phân bậc    U, đối ngẫu với    xi  Khi dạng vi phân  bậc s U biểu diễn dạng:  ( p)   i i ( p ) dxi   dxi s s 1 i1  is  m i1 is hàm xác định U Dạng vi phân  gọi khả vi lớp C l (l  k ) với p  M hệ tọa độ địa phương U ; x1 , , xn  tùy ý quanh p, hàm i i  C l (U ) s Mỗi dạng vi phân  bậc s   s  n  M xem ánh xạ (mà ta kí hiệu  ) từ  ( M )    ( M ) (s lần) đến tập hàm M Cụ thể  :  X , , X s     X1 , , X s  xác định sau   X1, , X s   ( p)   ( p)  X1 , , X s p p  , X , , X   (M ) s Rõ ràng,  khả vi lớp C l   X 1, , X s   F  M  , với X , , X s   ( M ) Tập dạng vi phân bậc s lớp C l M kí hiệu ls ( M ) Tập có cấu trúc không gian véctơ thực với phép toán tuyến tính định nghĩa theo điểm Đặt l  M    ls  M  Khi l  M  trở thành   đại số với phép nhân s 0 xác định theo điểm, tức với   lk ,  ls , tích    lk  s   cho sau     ( p)   ( p)   ( p), p  M Từ sau, để đơn giản ta kí hiệu  s ( M ) tập s-dạng M khả vi đến lớp đủ để thực phép toán 1.5.5 Tính chất Cho dạng vi phân k-dạng , s-dạng  , r-dạng  đa tạp vi phân M   k , s, r  n  Khi đó:               ; k s       1    ;                s  r 1.6 Vi phân dạng vi phân 1.6.1 Định nghĩa Giả sử  s-dạng đa tạp vi phân M   s  n  dim M  Vi phân  (s+1)-dạng d thỏa mãn tính chất sau:  d      d  d (với  k-dạng) k  s;  d      d    (1) s   d ;  Nếu f hàm khả vi M df vi phân hàm f xác định df ( X )  Xf , với X    M  ;  d  df   0, f hàm khả vi M Chú ý: d  d   với  r-dạng   r  n  dim M  1.6.2 Kéo lùi dạng vi phân 1.6.2.1 Định nghĩa Cho M, N hai đa tạp vi phân  : M  N khả vi Giả sử  s-dạng vi phân N Khi   s-dạng vi phân M xác định sau    X , , X s  :   X , , X s  ; X , , X s   ( M ) 1.6.2.2 Tính chất Nếu f : M   hàm khả vi   f  f    Nếu có ánh xạ khả vi g : N  P  g        g  Cho  , dạng vi phân N Khi đó:              ;               , s-dạng Vi phân d giao hoán với   , tức d        d  1.6.3 Tích đạo hàm Lie 1.6.3.1 Tích Cho trường véctơ X s-dạng vi phân  đa tạp khả vi M Khi tích X với  (s-1)-dạng vi phân, kí hiệu i X  X  xác định X   X , , X s1     X , X , , X s1  Tính chất X        X      ( 1) s    X   , với s-dạng  1.6.3.2 Đạo hàm Lie  Giả sử X trường véctơ đa tạp vi phân M Ta định nghĩa:  Đạo hàm Lie hàm f : M   dọc theo X LX f : Xf ;  Đạo hàm Lie trường véctơ Y dọc theo X LX Y :  X ,Y  ;  Đạo hàm Lie s-dạng  dọc theo X LX  : X  d  d  X   (công thức Cartan)  Giả sử t phép X Ta có: d  LX   lim  t     t ; t 0 t dt t 0  d  t   t LX  dt  Giả sử  : M    M , t ( p )   ( p, t ) hợp luân trường véctơ phụ thuộc thời gian X t , t   Khi đó:  d  t   t LX t  ; dt  Nếu t  , t họ nhẵn s-dạng d  d  t t  t  LX t t  t dt dt     1.6.4 Liên hệ tích trong, vi phân đạo hàm Lie