NHẬP MÔN HÌNH HỌC SYMPLECTIC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Dư Thị Phượng Hảo NHẬP MÔN HÌNH HỌC SYMPLECTIC Chuyên ngành : Hình học Tôpô Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Lê Anh Vũ Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy – người bước hướng dẫn phương pháp nghiên cứu đề tài kinh nghiệm thực đề tài, cung cấp nhiều tài liệu truyền đạt kiến thức quý báu suốt trình thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy tổ Hình học, khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp làm việc hiệu suốt trình học Cao học Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Tổ chức hành chính, phòng Khoa học Công nghệ Sau đại học, phòng Kế hoạch – Tài Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh; Ban giám hiệu trường THPT Bình Thạnh, Trảng Bàng, Tây Ninh toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2009 Tác giả Dư Thị Phượng Hảo DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU  Đại số Lie nhóm Lie G  Không gian đối ngẫu đại số Lie  Aut    Nhóm tự đẳng cấu tuyến tính  TeG Không gian tiếp xúc nhóm Lie G phần tử đơn vị e  V *  Tập 2-dạng không gian véctơ V  V  Tập dạng song tuyến tính phản đối xứng V C M  Không gian hàm khả vi vô hạn lần đa tạp M F M  Tập hàm nhẵn đa tạp M F  x0  Tập hàm nhẵn lân cận điểm x0 thuộc đa tạp M s  M  Tập s-dạng vi phân đa tạp M s H dR M  Nhóm đối đồng điều de Rham thứ s đa tạp M Diff  M  Nhóm phép vi phôi đa tạp M Sympl  M ,   Nhóm đồng cấu symplectic đa tạp M  (M ) Tập trường véctơ khả vi đa tạp M  sympl  M  Tập trường véctơ symplectic đa tạp M  ham  M  Tập trường véctơ hamilton đa tạp M F K-quỹ đạo chứa F nhóm Lie G   MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong suốt hai kỷ qua, nhà khoa học đặc biệt quan tâm đến “cơ học giải tích”, toán học kể đến nhà khoa học như: Euler, Lagrange, Laplace, Hamilton, Jacobi, Poisson, Liouville, Poincaré, Birkhoff, Carathéodory, Lie, E Cartan,… Từ đó, họ phát triển thành vài nhánh quan trọng toán học là: hình học vi phân, tính toán bất biến lý thuyết nhóm Lie đại số Lie, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng phương trình vi phân thường,… Trong suốt nửa kỷ qua, việc nghiên cứu cấu trúc hình học đa tạp vi phân, chẳng hạn cấu trúc Symplectic, Poisson, Contact,…lấy học giải tích học cổ điển làm tảng, giới thiệu nhiều phương pháp đại hình học vi phân, tạo sức sống lĩnh vực nghiên cứu hình học Cấu trúc Symplectic đa tạp vi phân 2-dạng đóng không suy biến Việc xây dựng cấu trúc Symplectic đa tạp vi phân hình thành khái niệm đa tạp Symplectic Việc nghiên cứu đa tạp Symplectic gọi hình học Symplectic Hình học Symplectic nhánh hình học vi phân, có nguồn gốc từ học cổ điển Hamilton gọi tôpô Symplectic, song sau tôpô Symplectic lĩnh vực liên quan đến vấn đề quan trọng mang tính chất toàn cục hình học Symplectic So với hình học Riemann, hình học Symplectic có số điểm giống có nhiều điểm khác Hình học Riemann nghiên cứu đa tạp vi phân trang bị 2-trường tenxơ đối xứng không suy biến, hình học Symplectic nghiên cứu đa tạp vi phân trang bị 2-dạng đóng không suy biến Khác đa tạp Riemann, đa tạp Symplectic phải có số chiều chẵn, định hướng tính chất bất biến địa phương độ cong Một điểm khác là, đa tạp vi phân tùy ý chấp nhận cấu trúc Symplectic, Hình học Symplectic chuyên đề tự chọn chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành toán Hình học – Tôpô Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, nhiên chuyên đề chưa trình bày Do định nghiên cứu tính chất hình học Symplectic với mục đích xây dựng cấu trúc Symplectic đa tạp vi phân thông thường Vì đề tài nghiên cứu mang tên: “NHẬP MÔN HÌNH HỌC SYMPLECTIC” Mục đích Giới thiệu tổng quan kiến thức đa tạp Symplectic Vấn đề có nhiều ứng dụng toán học, vật lý học lại biết đến tài liệu tham khảo tiếng việt Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đa tạp Symplectic tác động nhóm Lie đa tạp Symplectic Ý nghĩa khoa học thực tiễn Hy vọng luận văn góp tài liệu tham khảo cho sinh viên đại học ngành toán năm cuối học viên cao học ngành Hình học Tôpô Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, chương nội dung phần kết luận Cụ thể: Phần mở đầu: Giới thiệu đề tài nghiên cứu Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trình bày kiến thức đa tạp vi phân, đại số Lie nhóm Lie Chương 2: Đa tạp Symplectic Trình bày nội dung chính: không gian véctơ Symplectic, đa tạp Symplectic, đồng cấu symplectic, đa tạp đa tạp Symplectic, trường véctơ symplectic, trường véctơ hamilton định lí quan trọng Darboux, Moser Chương 3: Tác động nhóm Lie đa tạp Symplectic Trình bày tác động symplectic, tác động hamilton xây dựng cấu trúc symplectic K-quỹ đạo Phần kết luận: Đưa nhận xét vấn đề mở cần phải tiếp tục nghiên cứu tiếp sau đề tài Các kí hiệu dùng luận văn kí hiệu thông dụng giải thích dùng lần đầu (xem Danh mục kí hiệu) Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, trình bày lại kiến thức làm sở lý thuyết phục vụ đề tài Các định lí, hệ kết phát biểu không chứng minh Độc giả quan tâm đến chứng minh muốn tìm hiểu sâu đa tạp vi phân, nhóm Lie, đại số Lie xin xem thêm tài liệu [1], [2], [3], [7] [8] 1.1 Đa tạp vi phân 1.1.1 Đa tạp tôpô Giả sử M không gian tôpô Hausdorff có sở đếm Ta gọi M đa tạp tôpô n-chiều đồng phôi địa phương với không gian n-chiều  n , nghĩa với x  M , tồn lân cận mở U x đồng phôi  :U  V từ U lên tập mở V   n 1.1.2 Atlat khả vi - Cấu trúc khả vi Cặp U ,  xác định gọi đồ địa phương quanh x M, hay gọi tắt đồ Mỗi đồ U ,  quanh x U xác định hệ hàm x1 , , xn U nhận giá trị thực cho  ( y )   x1 ( y), , xn ( y )  , y U Ta nói U ; x1 , , xn  hệ tọa độ địa phương quanh x Một atlat (tập đồ) khả vi lớp C k 1  k    {} họ U ,  : i  I  đồ thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) Họ U i  phủ mở M; (ii) Với hai đồ U i ,i  U j , j  , U i  U j  , ánh xạ  j  i 1 i i xác định i U i  U j  ánh xạ khả vi lớp C k từ i U i  U j  lên  j U i  U j    Hai tập đồ C1  U i ,i  : i  I  C  V j , j  : j  J khả vi lớp C k gọi tương thích với hợp chúng tập đồ khả vi lớp C k Quan hệ “tương thích” quan hệ tương đương họ tập đồ khả vi lớp C k Mỗi lớp tương đương quan hệ tương đương gọi cấu trúc khả vi lớp C k M 1.1.3 Đa tạp vi phân Đa tạp tôpô n-chiều M với cấu trúc khả vi lớp C k cho gọi đa tạp vi phân n-chiều lớp C k Nếu k = , cấu trúc khả vi tương ứng gọi cấu trúc nhẵn M Khi ta gọi M đa tạp nhẵn 1.1.4 Đa tạp Cho P tập đa tạp khả vi n-chiều M Ta nói P đa tạp k-chiều M với x  P, tồn đồ U ,  M,  : U  U    n cho  ( x)     U  P   {0}   k  U  1.1.5 Tích đa tạp vi phân Cho đa tạp khả vi M với atlat A = U i ,i iI N với atlat B = V j , j  jJ Trên không gian tôpô Hausdorff M  N xét atlat khả vi A  B = U i  V j ,i  j  iI , jJ M  N đa tạp khả vi gọi đa tạp tích hai đa tạp M N Chú ý: dim ( M  N )  dim M + dim N 1.2 Ánh xạ khả vi đa tạp vi phân 1.2.1 Định nghĩa Giả sử M, N hai đa tạp vi phân lớp C k với số chiều m, n tương ứng Ánh xạ liên tục f : M  N gọi khả vi lớp C k p  M với đồ U ,  quanh p V ,  quanh f(p) = q mà f U   V ánh xạ   f   1 :  U    V  khả vi điểm  ( p)   m N M f U V     f  1  (U )   m  (V )   n Ánh xạ f gọi khả vi lớp C k khả vi lớp C k điểm p  M 1.2.2 Nhận xét Nếu f : M  N g : N  P hai ánh xạ khả vi lớp C k g  f : M  P ánh xạ khả vi lớp C k Ánh xạ f : M  N gọi vi phôi lớp C k f song ánh f, f 1 khả vi lớp C k Hợp thành hai vi phôi lại vi phôi Từ sau, ngắn gọn, thuật ngữ “khả vi” có ý nghĩa “khả vi lớp C k ” với k 1  k    {} đủ cần thiết, k  , từ “khả vi” thay từ “nhẵn” Với x0 thuộc đa tạp nhẵn M, k    {}, ta kí hiệu: F  M    f : f hàm nhẵn M  F  x0    f : f hàm nhẵn lân cận x0  F k  M    f : f hàm khả vi lớp C k M  F k  x0    f : f hàm khả vi lớp C k lân cận x0  1.3 Không gian tiếp xúc – Phân thớ tiếp xúc – Ánh xạ tiếp xúc 1.3.1 Véctơ tiếp xúc Cho M đa tạp vi phân n-chiều, ta kí hiệu I  a,b – tập sau:  a,b  ,  a,b ,  a,b  ,  a,b Xét ánh xạ liên tục c : I  M , t  c  t  Khi I tập  a,b  ,  a,b ,  a,b  ,  a,b  , ta bảo c đường cong khả vi M tồn   đủ nhỏ ánh xạ khả vi c : (a   , b   )  M cho c I  c Một véctơ tiếp xúc với c x0  c  t0  ánh xạ X : F  x0    f  Xf  d  f  c dt t t0 Ta gọi Xf đạo hàm f theo hướng véctơ X hay đạo hàm f theo hướng c x0  c  t0  Tính chất Với f , g  F  x0  , ta có  X(f  g) = Xf  Xg;  X(  f) =  X(f);  X  f g    Xf  g ( x0 )  f ( x0 ). Xg  ; f , g  F  x0  (Quy tắc Newton – Leibniz) 1.3.2 Không gian tiếp xúc Cho M đa tạp vi phân n-chiều x0  M điểm tùy ý Véctơ tiếp xúc M x0 véctơ tiếp xúc X đường cong khả vi c x0 cho c  t0   x0  t0  I  tác động symplectic S    3.2.1.3 Mệnh đề Cho tác động sympleclic  : G  Sympl  M ,   G M, lấy tùy ý x  M , Gquỹ đạo x N  G  x  M i : N  M đơn cấu tắc, kí hiệu  N  i  Khi  N bất biến theo tác động G N Chứng minh Gọi  tác động G N, với Φ g   g N : N  N , g  G Ta có biểu đồ giao hoán sau  N g  i i  M   M N g nghĩa là: i  Φ g   g  i Do đó, g  G ta có * *  N  i  i   g*     g  i     i  Φ g    Φ*g  i    Φ*g  N 3.2.1.4 Tác động hamilton nhóm Lie G  , S ,  n Một tác động symplectic    M ,   gọi tác động hamilton trường véctơ sinh  hamilton Một cách tương đương, tác động symplectic    M ,   tác động hamilton có hàm H : M   cho X    dH , X trường véctơ sinh   Chú ý: S    nên tác động S tác động  với chu kì 2 :  2   Do tác động S gọi hamilton tác động  hamilton Như ta cần xét tác động S tác động   Tác động hamilton nhóm Lie tùy ý phát biểu nào? Nếu G   n  S   S (tích n lần) xuyến n-chiều, tác động symplectic  hamilton hạn chế  i  S1 : S  Sympl  M ,   hamilton, với S thành phần thứ i  Khi G tích S , để định nghĩa tác động hamilton, ta phải dùng hàm hamilton nâng cao, biết ánh xạ mômen xét phần 3.2.2 Tác động hamilton Giả sử  : G  Sympl  M ,   tác động symplectic  Trường hợp G   G  S Tác động symplectic  tác động hamilton có hàm H : M   cho X    dH , X trường véctơ sinh  Tương tự, ta có tương ứng 1-1 trường véctơ hamilton đầy M tác động hamilton  M  Tổng quát: thường sử dụng G không tích S  3.2.2.1 Tác động hamilton ánh xạ mômen Tác động symplectic  tác động hamilton tồn ánh xạ  : M  * thỏa mãn hai điều kiện sau: (1) Với X  , giả sử:   X : M  ,  X  p  :  ( p), X thành phần  dọc theo X  X # trường véctơ M sinh nhóm 1-tham số exp tX , t    G Khi đó: d  X  X #  , nghĩa  X hàm hamilton X # (2)  đẳng biến tương thích với tác động  G M tác động đối phụ hợp K G   , nghĩa   g  K ( g )   , g  G Ta gọi: ( M , , G,  ) G-không gian hamilton  ánh xạ mômen 3.2.2.2 Nhận xét Định nghĩa tổng quát 3.2.2.1 tương thích với định nghĩa nêu trường hợp G , S , n , điều kiện đẳng biến trở thành bất biến tác động đối phụ hợp tầm thường  Trường hợp G  S (hoặc  ), ta có   ,     , ánh xạ mômen  : M   thỏa mãn tính chất sau: (1) Với phần tử sinh X  1 , ta định nghĩa   X  p     p     p  hay  X    X # trường véctơ chuẩn tắc M sinh tác động S Khi đó: d   X #   (2)  bất biến: LX #   X #  d   X #  X #     Trường hợp G   n xuyến n-chiều, ta có    n ,     n , ánh xạ mômen  : M   thỏa mãn tính chất sau: (1) Với trường véctơ sở X i  n  X i hàm hamilton X i# (2)  bất biến 3.2.3 Các ví dụ i   a) Cho  n ,    dzi  dzi   dxi  dyi   ri dri  di  đa tạp Symplectic   Xét tác động S  n ,   sau: t  S   t  phép nhân eit  hamilton với ánh xạ mômen:  :    , n z + số c z Với z   z1 , z2 , zn  zi   xi , yi  , ta chuyển sang hệ tọa độ cực  ri ,i  nhân tử  thứ i (i = 1,2, …, n), nghĩa  xi  ri cosi ;   yi  ri sin i Ta có: ri  xi2  yi2  zi2    trường véctơ sở nhân tử   yi  xi i xi yi  thứ i (i = 1,2, …, n) Do đó:  z   zi2   ri2 suy d    d   ri   X#        trường véctơ sinh   n Khi 1  n với trường véctơ Y n ta có   X # , Y    ri dri  di  X # ,Y    ri Vậy: X #      X #     ri dri   dri Y  di Y    ri dri Y  1 dri   d   ri   d   2   b) Trên đa tạp Symplectic       ,    dxi  dyi  , với hệ tọa độ   i 1 {x1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3} Xét tác động 3 lên  phép tịnh tiến:  :   Sympl   ,   , a   a đó:  a  x, y    a  x, y  ,   x, y     3  3 Với X  a   a1 , a2 , a3    , ta có  X #  a1     a2  a3 x1 x2 x3  Ánh xạ mômen  :   3 ,  x, y   y   X  x, y    a  x, y     x, y  , a  y.a, ta có 3     X #    dxi  dyi  X #    dyi  d   yi   d  y.a   d  X i 1 i 1  i 1  Ta gọi:  y véctơ mômen ứng với véctơ xác định x   mômen tuyến tính c) Giả sử nhóm Lie G tác động hamilton lên hai đa tạp Symplectic M j ,  j  , j  1,2 Các ánh xạ mômen tương ứng  j : M j    Khi G tác động hamilton lên đa tạp tích Symplectic M  M ,    1*1   2*  cách sau:  g  p1 , p2    g  p1  , g  p2   ; g  G,   p1 , p2   M  M , ứng với ánh xạ mômen xác định  : M1  M   *  p1, p2     p1, p2  : 1  p1   2  p2   Kiểm tra điều kiện (1), X  , p  ( p1 , p2 )  M  M , ta có   X ( p ) :  ( p), X  1 ( p1 )  2 ( p2 ), X  1  p1  , X  2  p2  , X  1X  p1   2X  p2   1X   p    2X   p     1X    2X     p  Vậy:  X  1X    2X    Với X # sinh exp tX , t   tính toán được: X #    X #  1*1   2*    1*1  X #    2*  X #       1*  d 1X    2*  d 2X   d  1*  1X   d  2*  2X    d  1X    2X     d  X  Kiểm tra điều kiện (2), ta có   1  g   p1    K ( g )  1   p1  , p1  M 1;   2  g   p2    K ( g )  2   p2  , p2  M ;  1  g  p1    2  g  p2    K ( g )  1  p1    K ( g )  2  p2      g  p1  , g  p2    K ( g )  1  p1   2  p2      g  p1 , p2    K( g )    p1 , p2      g  K ( g )   3.3 Cấu trúc symplectic K-quỹ đạo Trong phần này, xây dựng cấu trúc symplectic K-quỹ đạo MD5nhóm liên thông đơn liên mà MD5-đại số tương ứng có ideal dẫn xuất giao hoán bốn chiều Lê Anh Vũ Dương Quang Hòa đưa [4] Trước hết, ta nhắc lại cách xây dựng cấu trúc symplectic K-quỹ đạo giới thiệu Kirillov Độc giả quan tâm đến chứng minh xin xem tài liệu [11] Kirillov 3.3.1 Cấu trúc symplectic K-quỹ đạo Cho  K-quỹ đạo G * Khi cấu trúc symplectic B  xác định sau B ( F )  K ( X ) F , K (Y ) F   F ,[ X ,Y ] ;  F  ; X ,Y    Hơn nữa, K-biểu diễn tác động symplectic K-quỹ đạo, nói riêng K (g )  B   B , g  G Do  , B  G-đa tạp Symplectic 3.3.2 Cấu trúc symplectic K-quỹ đạo vài MD5-nhóm liên thông đơn liên mà MD5-đại số tương ứng có ideal dẫn xuất giao hoán bốn chiều 3.3.2.1 Nhắc lại kết có liên quan (xem [4]) Trong 14 họ MD5-nhóm liên thông đơn liên đưa [4], ta xét họ điển hình G  G5,4,1(1 , ,3 ) với   5,4,1( 1 ,2 ,3 )   MD5-đại số tương ứng G, 1 , 2 , 3   \ {0,1}, 1  2  3  1 Ta chọn sở thích hợp  X , X , X , X , X   cho ideal dẫn xuất  (nó chiều giao hoán)  cho  : [ ,  ]  X , X , X , X   Không gian đối ngẫu  kí hiệu   Ta có đồng thức     với sở đối ngẫu  X1, X , X , X , X  X  , X 2 , X 3 , X 4 , X 5  sở Xét phần tử tùy ý F  ,  ,  , ,      5 Ta kí hiệu F K-quỹ đạo chứa F G     K-quỹ đạo chứa F  ,  ,  ,  ,  nhóm G  G5,4,1( 1 , ,3 ) không chiều hai chiều mô tả tất 16 trường hợp, song ta xét trường hợp điển hình để xây dựng cấu trúc symplectic K-quỹ đạo Tất nhiên trường hợp lại làm tương tự Cụ thể, ta xét trường hợp liệt kê (xem [4], định lí 3.3.1) (i) Nếu       0,   F   F  x,0,0,0, s  : .s  0 nửa mặt phẳng hai chiều Hai trường hợp sau quỹ đạo mặt trụ hai chiều (ii) Nếu     ,   0,   3   s F   F  x,0,0, t , s  : t     ;  s  0     (iii) Nếu   ,   ,   ,   2 3   s s F   F  x,0, z , t , s  : z     ; t     ;  s         3.3.2.2 Cấu trúc symplectic K-quỹ đạo nhóm Lie G  G5,4,1(1 , ,3 ) Với MD5-đại số   5,4,1( 1 ,2 ,3 )  5 , ta có ad X1  1 0   0  0 0 3 0  ; 1 , 2 , 3   \ {0,1}, 1  2  3  1 0  1 Nghĩa là: [ X , X ]  1 X ; [ X , X ]  2 X ; [ X , X ]  3 X ; [ X , X ]  X Lấy phần tử tùy ý Y ( a, b, c, d , f )  Tính toán trực tiếp ta [ X ,Y ]  b1 X  c2 X  d 3 X  f X ; [ X , Y ]  aX Với F  F , ta có BF ( F )  K* ( X ) F , K* ( X ) F    F ,[ X , X ] Chọn F   F , ta BF ( F )  K* ( X ) F , K* ( X ) F   F ,[ X , X ]   Trường hợp (i): Với       0,   tức F  ,0,0,0,  ta có  K ( X ) F , Y  F , [ X , Y ]   f .  K ( X ) F   X 5  K ( X ) F , Y  F , [ X , Y ]  a.  K ( X ) F   X 1 Mặt khác BF ( F )  K* ( X ) F , K* ( X ) F    Do BF   dX 1  dX 5 Trường hợp (ii): Với     ,   0,   tức F  ,0,0, ,  ta có:  K ( X ) F ,Y  F , [ X , Y ]    d .3   f .   K ( X ) F    3. X 4   X 5   K ( X ) F , Y  F , [ X , Y ]  a.  K ( X ) F   X 1 Mặt khác BF ( F )  K* ( X ) F , K* ( X ) F    Hay BF ( F )  3  X 4 , X 1   BF ( F )   X 5 , X 1    Do đó, sai đồng cấu symplectic, BF xác định sau BF  1 dX 1  dX 4  dX 1  dX 5 2 3 2 Trường hợp (iii): Với   0,  ,  0,  tức F  ,0,  , ,  ta có :  K ( X ) F , Y  F , [ X , Y ]    c.2   d .3   f .   K ( X ) F    2  X 3  3  X 4   X 5   K ( X ) F , Y  F , [ X , Y ]  a.  K ( X ) F   X 1 Mặt khác BF ( F )  K* ( X ) F , K* ( X ) F    Hay BF ( F )  2  X 3  3  X 4   X 5 , X 1    Do đó, sai đồng cấu symplectic, BF xác định sau BF  1 dX 1  dX 3  dX 1  dX 4  dX 1  dX 5 3 2 3 3 3 KẾT LUẬN Tóm lại, luận văn vẽ nên tranh tổng quan đa tạp Symplectic sau Giới thiệu khái niệm không gian véctơ Symplectic, đa tạp Symplectic với vài ví dụ cụ thể, xây dựng chi tiết dạng symplectic phân thớ đối tiếp xúc T  M đa tạp nhẵn M cho trước, phép vi phôi đa tạp nhẵn cảm sinh đồng cấu symplectic phân thớ đối tiếp xúc tương ứng chúng Ở địa phương, đa tạp Symplectic 2n-chiều nhau, điều khẳng định định lí Darboux Trên đa tạp Symplectic, nghiên cứu đa tạp Lagrang vài tính chất trường véctơ symplectic, trường véctơ hamilton Xây dựng đa tạp Lagrang phân thớ đối tiếp xúc T  M đa tạp nhẵn M cho trước, ta chứng minh đồng cấu symplectic f :  M , 1    M , 2  xác định đa tạp Lagrang        ngược lại Sự tương đương đa tạp tích Symplectic M  M ,  1 2   cấu trúc symplectic thể thông qua định lí Moser Cuối chương hai, minh họa mối liên hệ đa tạp Symplectic học Hamilton Trình bày tác động nhóm Lie đa tạp Symplectic, tác động symplectic tác động hamilton Trong phần này, minh họa cụ thể, xây dựng cấu trúc symplectic K-quỹ đạo họ nhóm Lie đặc biệt Lê Anh Vũ Dương Quang Hòa đưa [4] Trên đây, nghiên cứu tính chất hình học Symplectic Định lí Moser Darboux phần Bài toán sau “Cho M đa tạp nhẵn 2n-chiều, X đa tạp k-chiều M Giả sử U , U lận cận X  , 1 dạng symplectic U , U1 Khi có tồn đồng cấu symplectic bảo toàn X hay không? Cụ thể hơn, có vi phôi  :U  U1 cho  *1  0   X   X ” Định lí Moser ứng với X=M, định lí Darboux ứng với X={điểm} Còn X đa tạp Lagrang với hai cấu trúc  , 1 xuất định lí lân cận Lagrang Weinstein (xem [8]) Chính sung túc, giàu có hình học Symplectic nhà Symplectic đặt chuỗi vấn đề cần nghiên cứu sâu nữa, chẳng hạn như: toán phân loại cấu trúc symplectic, tồn cấu trúc symplectic, tồn ánh xạ mômen,… Các độc giả quan tâm đến hình học Symplectic xin tiếp tục nghiên cứu vấn đề Vì thời gian có hạn đặc biệt trình độ thân hạn chế, chắn nhiều vấn đề đáng quan tâm khác mà chưa nhận thấy Bản luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý độc giả Chúng xin chân thành cảm ơn độc giả đã, quan tâm đóng góp ý kiến cho luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2009 Tác giả TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn (2005), Lí thuyết liên thông hình học Riemann, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội Nguyễn Văn Đoành (2006), Đa tạp khả vi, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội Đoàn Quỳnh (2003), Hình học vi phân, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội Lê Anh Vũ, Dương Quang Hòa (2007), “Bức tranh hình học K-quỹ đạo MD5-nhóm liên thông đơn liên mà MD5-đại số tương ứng có ideal dẫn xuất giao hoán bốn chiều”, Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, 12(46), tr 13 – 28 Tiếng Anh Rolf Berndt (2001), An Introduction to Symplectic Geometry, AMS Bookstore, USA Robert L Bryant (1993), An Introduction to Lie Groups and Symplectic Geometry, Publications Math Duke Edu J Butterfield (2005), “On Symplectic Reduction in Classical Mechanics”, arXiv:physics/0507/0507194v1 Ana Cannas da Silva (2001), Lectures on Symplectic Geometry, Lecture Notes in Mathematics 1764, Springer, Berlin Ana Cannas da Silva (2002), Introduction to Symplectic and Hamiltonian Geometry, Notes for a Short Course at IMPA Rio de Janeiro 10 Ana Cannas da Silva (2005), “Symplectic Geometry”, arXiv:math/ 0505366v1 11 A A Kirillov (2004), Lectures on The Orbit Method, AMS Bookstore, USA 12 Le Anh Vu, Kar Ping Shum (2008), Classification of 5-dimensional MD-algebras having commutative derived ideals, Advances in Algebra and Combinatorics,  2008 World Scientific Publishing Co., pp 353 – 371 13 Paulette Libermann, Charles-Michel Marle (1987), Symplectic Geometry and Analytical Mechanics, Springer, Paris 14 D McDuff, D Salamon (1995), Introduction to Symplectic Topology, Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, New York 15 J Moser (1965), On the volume elements on a manifolds, Trans Amer Math Soc 120, pp 286-294 BẢNG CHỈ DẪN CÁC KHÁI NIỆM Ánh xạ đẳng biến, 69 G-không gian Hamilton, 73 Ánh xạ đồng luân, 21 Hệ Định lí Flow-Box, 11 Ánh xạ khả vi đa tạp vi phân, Hợp luân, 14 Ánh xạ mômen, 73 Ánh xạ mũ, 25 Ideal, 23 Ánh xạ song tuyến tính phản đối xứng, 27 Ánh xạ tiếp xúc, 10 Atlat khả vi, Biểu diễn địa phương dạng vi phân, 16 Biểu diễn đối phụ hợp, 68 Biểu diễn phụ hợp, 67 Cấu trúc khả vi, Cấu trúc symplectic tuyến tính, 28 Cấu trúc symplectic K-quỹ đạo, 78 Cấu trúc symplectic K-quỹ đạo nhóm G5,4,1(1 , ,3 ) , 80 Cấu trúc symplectic, 35 Công thức Cartan, 19 Dạng symplectic phân thớ đối tiếp xúc, 40 Dạng vi phân, 16 Đa tạp Lagrang phân thớ đối tiếp xúc, 47 Đa tạp Lagrang, 47 Đa tạp symplectic, 47 Kéo lùi dạng vi phân, 18 Không gian   phần bù, 33 Không gian Lagrang, 34 Không gian symplectic, 34 Không gian đối tiếp xúc, 15 Không gian tiếp xúc, Không gian véctơ Symplectic, 30 Móc poisson, 53 Nhóm 1- tham số địa phương, 13 Nhóm 1- tham số toàn cục, 12 Nhóm đối đồng điều de Rham, 20 Nhóm Lie, 23 Nhóm ổn định, 64 Phân bố, 10 Phân thớ đối tiếp xúc, 15, 39 Phân thớ tiếp xúc, Phép (flow) trường véctơ, 14 Đa tạp con, Phép rút gọn symplectic không gian véctơ, 31 Đa tạp Symplectic, 36 Quỹ đạo, 64 Sự tương đương cấu trúc symplectic, 54 Sự tương đương tác động phải tác động trái, 64 Tác động hamilton, 72 Tác động phải, 62 Tác động symplectic, 70 Tác động trái, 63 Đa tạp tôpô, Đa tạp vi phân, Đại số Lie con, 23 Đại số Lie tương ứng nhóm Lie, 24 Đại số Lie, 22 Đạo hàm Lie, 19 Đẳng cấu đại số Lie, 23 Định lí Flow-Box, 11 Định lí Frobenius địa phương, 11 Định lí (Dạng chuẩn ánh xạ song tuyến tính phản đối xứng), 28 Định lí Darboux thu gọn, 45 Định lí Darboux, 44 Định lí Moser I, 56 Định lí Moser II, 58 Định lí (Phép nâng phép vi phôi), 42 Tích đa tạp vi phân, Tích Lie hai trường véctơ, Tích symplectic, 39 Tích trong, 19 Toán tử đồng luân, 21 Trường véctơ đa tạp M kết hợp với X  , 67 Trường véctơ hamilton, 51 Trường véctơ symplectic, 50 Trường véctơ, Véctơ tiếp xúc, Đồng cấu đại số Lie, 23 Vi phân dạng vi phân, 18 Đồng cấu nhóm cảm sinh, 21 Vi phân toàn phần hàm khả vi, 15 Đồng cấu symplectic không gian véctơ Symplectic, 35 Vi phôi, Đồng cấu symplectic, 38 Đường cong tích phân, 12 [...]... tạp Symplectic 2n-chiều đều giống như đa tạp Symplectic  2n ,  0  Điều này được xét trong định lí Darboux ở phần sau 2.2.3 Đồng cấu symplectic 2.2.3.1 Định nghĩa Cho  M ,   và  N ,   là các đa tạp Symplectic, ánh xạ nhẵn  : M  N được gọi là ánh xạ symplectic nếu *      Ánh xạ symplectic  : M  N được gọi là đồng cấu symplectic nếu  là vi phôi 2.2.3.2 Nhận xét Nếu còn có đa tạp Symplectic. .. cấu symplectic giữa các không gian véctơ Symplectic 2.1.5.1 Định nghĩa Một đồng cấu symplectic  giữa các không gian véctơ Symplectic V ,   và V ,   là một đẳng cấu tuyến tính   : V  V ' sao cho  * '  , ở đó    u, v     (u), (v)  * V ,   và V ,   được gọi là đồng cấu symplectic nếu tồn tại một đồng cấu symplectic giữa chúng 2.1.5.2 Nhận xét  Quan hệ đồng cấu symplectic. .. symplectic  : N  P thì phép hợp :M  P thành       cũng             là đồng cấu symplectic Bởi vì: Tập hợp tất cả các đồng cấu symplectic trên đa tạp Symplectic  M ,   với phép hợp thành lập thành một nhóm con của Diff  M  , kí hiệu là Sympl  M ,   2.2.4 Tích symplectic Nếu  M ,   và  N ,   là các đa tạp Symplectic 2n-chiều thì trên M  N có một cấu trúc symplectic. .. Symplectic, đa tạp Symplectic với một vài ví dụ cụ thể, xây dựng dạng symplectic trên phân thớ đối tiếp xúc của một đa tạp nhẵn cho trước Ở địa phương, mọi đa tạp Symplectic 2nchiều đều như nhau, điều này được khẳng định trong định lí Darboux Trên đa tạp Symplectic, chúng tôi còn nghiên cứu một vài tính chất cơ bản của trường véctơ symplectic và hamilton Sự tương đương giữa các cấu trúc symplectic được...  là không gian véctơ Symplectic hữu hạn chiều, một không gian con W  V được gọi là:  Không gian con symplectic nếu W  W   {0}, tức là  |W không suy biến  Không gian con Lagrang nếu W  W , nghĩa là  |W  0 và 1 dimW  dim M 2 2.1.4.4 Ví dụ Cho V , B  là không gian véctơ Symplectic với cơ sở symplectic e1 , , en , f1 , , f n  Khi đó: W  e1 , f1 là không gian con symplectic W  e1 , e2... cấu trúc symplectic (hoặc dạng symplectic) nếu  thỏa mãn hai tính chất sau: (i)  là dạng đóng nghĩa là d  0; (ii)  không suy biến Từ điều kiện không suy biến ta có   p là cấu trúc symplectic tuyến tính trên Tp M , p  M  dim Tp M  dim M là số chẵn   n là dạng thể tích nên đa tạp Symplectic định hướng được Chú ý  không suy biến   n       0 (tích ngoài n-lần) 2.2.2 Đa tạp Symplectic. .. chẵn  Mọi không gian véctơ Symplectic 2n-chiều V ,   đều đồng cấu symplectic với   2 n , B0  2.2 Đa tạp Symplectic Cho  là 2-dạng (nhẵn) trên đa tạp M, tức là với mỗi p  M được đặt tương ứng với ánh xạ  p : T p M  Tp M   sao cho  p là dạng song tuyến tính, phản đối xứng trên không gian tiếp xúc Tp M của M tại điểm p và  p phụ thuộc nhẵn theo p 2.2.1 Cấu trúc symplectic Một 2-dạng  trên... theo công thức B x, y  B  x, y  , ở đó x, y lần lượt là các lớp trong V của x và y trong V Khi đó symplectic 2.1.3.1 Định nghĩa Nếu B là dạng song tuyến tính phản đối xứng trên không gian véctơ V thì không gian   symplectic V , B được gọi là phép thu gọn symplectic của V , B  Dùng phép thu gọn symplectic, đồng nhất  2 V  với không gian  2 V   các 2-dạng ngoài trên V và áp dụng mệnh đề... N B là bất biến của V , B   k  2n  m  dimV nên n cũng là bất biến của V , B  và 2n được gọi là hạng của B 2.1.2 Không gian véctơ Symplectic 2.1.2.1 Định nghĩa Không gian véctơ Symplectic là một cặp V , B  , ở đó V là không gian véctơ và B là cấu trúc symplectic tuyến tính trên V  : V  V * được xác định bởi: Từ định nghĩa trên ta xây dựng ánh xạ tuyến tính B  ( x )( y )  B ( x, y ), x,... đó: nếu  0 ( p )(u , v )  0, v thì u  0 hay  0 ( p ) không suy biến Vậy   2 n ,  0  là đa tạp Symplectic b) Cho M  n với hệ tọa độ tuyến tính  z1 , z2 , , zn  và 2-dạng  0  i  dzk  d zk 2 là cấu trúc symplectic trên  n , kiểm tra tương tự như ví dụ trên ta được   n , 0  là đa tạp Symplectic Chú ý n    n 2n vì zk  xk  iyk Do đó:  0   dxk  dyk k 1  Trên nhân tử  thứ