Giải tích trên lớp các hàm tuần hoàn (LV01805)

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI ====== NGUYN TH THANH XUN GII TCH TRấN LP CC HM TUN HON Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS BI KIấN CNG H NI, 2015 LI CM N Lun ny c hon thnh ti trng i hc S phm H ni 2, di s hng dn ca thy giỏo, TS Bựi Kiờn Cng S giỳp v hng dn tn tỡnh ca thy giỏo sut quỏ trỡnh thc hin lun ny ó giỳp tỏc gi trng thnh hn rt nhiu cỏch tip cn mt mi Tỏc gi xin by t lũng bit n, lũng kớnh trng sõu sc nht i vi thy Tỏc gi xin trõn trng cm n Ban giỏm hiu trng i hc S phm H ni 2, phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo trng v cỏc thy cụ giỏo dy cao hc chuyờn ngnh Toỏn gii tớch ó giỳp , to iu kin thun li cho tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v nghiờn cu Tỏc gi xin chõn thnh cm n S Giỏo dc o To tnh Vnh Phỳc, Ban Giỏm hiu, cỏc thy cụ giỏo ng nghip trng THPT Vnh Yờn, tnh Vnh Phỳc cựng gia ỡnh, ngi thõn, bn bố ó giỳp , ng viờn v to iu kin thun li tỏc gi hon thnh khúa hc thc s v hon thnh lun ny H Ni, thỏng nm 2015 Tỏc gi Nguyn Th Thanh Xuõn LI CAM OAN Lun c hon thnh ti trng HSP H Ni di s hng dn ca TS Bựi Kiờn Cng Tụi xin cam oan Lun ny l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh Lun ny tụi ó k tha nhng thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc v ng nghip vi s trõn trng v bit n Tụi xin cam oan rng cỏc thụng tin trớch dn Lun ó c ch rừ ngun gc H Ni, thỏng nm 2015 Tỏc gi Nguyn Th Thanh Xuõn Mc lc Bng ký hiu M u Mt s kin thc chun b 1.1 Xuyn Rn 1.2 Mt s khụng gian hm trờn Zn 12 1.3 Mt s khụng gian hm trờn xuyn 13 Cỏc phộp toỏn gii tớch c bn trờn xuyn 18 2.1 Sai phõn hu hn trờn Zn 18 2.2 Khai trin Taylor v a thc trờn Zn 22 2.3 Mt s bt ng thc ri rc 28 2.4 Liờn h gia o hm v sai phõn 30 2.5 Khai trin Taylor ca hm tun hon 36 2.6 Bin i Fourier trờn xuyn 40 2.7 Khụng gian Sobolev trờn xuyn 41 Kt lun 43 Ti liu tham kho 44 Bng mt s kớ hiu R ng thng thc Rn khụng gian Euclid n - chiu Tn = (R/Z)n = Rn /Zn hỡnh xuyn Rn C m (Tn ) khụng gian ca hm kh vi liờn tc m ln tun hon chu k S(Zn ) khụng gian cỏc hm gim nhanh M U Lí DO CHN TI Gii tớch Fourier l mt ngnh toỏn hc vi nhiu mt ng dng phong phỳ khụng ch toỏn hc, m cũn khoa hc v k thut K t lm vic trờn dũng nhit, Jeam Baptise Joseph Fourier (t 21 thỏng nm 1768 n 16 thỏng nm 1830) lun ta "Theorie Analytique de la Chaleur", Chui Fourier v bin i Fourier ó i t thng li ny n thng li khỏc chin thng, lan ta cỏc lnh vc ca toỏn hc chng hn, phng trỡnh vi phõn o hm riờng, gii tớch iu hũa, lý thuyt biu din, lý thuyt s v hỡnh hc, toỏn t gi vi phõn, Ngy nay, vi phộp bin i Fourier trờn xuyn, lý thuyt gi vi phõn trờn xuyn ó c nghiờn cu, phỏt trin rng rói (xem [3],[4]) phỏt trin nhng lý thuyt ú, trc tiờn cn nghiờn cu cỏc phộp toỏn gii tớch trờn cỏc lp hm tun hon Nhm h thng húa v cỏc phộp tớnh gii tớch trờn xuyn v c s hng dn ca TS Bựi Kiờn Cng, tụi ó mnh dn chn ti nghiờn cu: "Gii tớch trờn lp cỏc hm tun hon" thc hin lun tt nghip thc s MC CH NGHIấN CU Nghiờn cu v hm tun hon v tun hon húa Nghiờn cu cỏc phộp tớnh gii tớch trờn xuyn NHIM V NGHIấN CU Nghiờn cu cỏc phộp tớnh trờn xuyn I TNG V PHM VI NGHIấN CU - Cỏc phộp tớnh gii tớch trờn Rn , trờn xuyn - Mt s khụng gian hm trờn Rn v trờn xuyn - Bin i Fourier trờn lp hm tun hon PHNG PHP NGHIấN CU Tng hp kin thc thu thp c qua nhng ti liu liờn quan n ti v s dng cỏc phng phỏp nghiờn cu ca gii tớch hm NHNG ểNG GểP CA TI Lun l ti liu tng quan v gii tớch trờn lp cỏc hm tun hon Chng Mt s kin thc chun b 1.1 Xuyn Rn Chỳng ta kớ hiu cho hỡnh xuyn Tn = (R/Z)n = Rn /Zn v cú th ng nht Tn vi hỡnh lp phng [0; 1)n Rn , ú ta ng nht o trờn hỡnh xuyn vi gii hn ca o Eucliean trờn hỡnh lp phng ny Hm trờn Tn cng cú th c coi l hm trờn Rn hm tun hon chu k theo mi hng ta , tc l f (x + k) = f (x), x [0, 1]n v k Zn Chỳng ta thng núi rng nhng hm ú l tun hon (thay vỡ Zn - tun hon) Chớnh xỏc hn ta nh ngha quan h tng ng trờn khụng gian Eucliean Rn x y x y Zn , ú cỏc lp tng ng l [x] = {y Rn : x y} = {x + k : k Zn} 10 im x Rn c ỏnh x t nhiờn ti im [x] Tn v ta thng vit x Tn thay cho [x] Tn Chỳng ta cú th ng nht cỏc hm trờn Tn vi Zn - tun hon, hm trờn Rn mt cỏch t nhiờn f : T C ng nht vi hm g : Rn C tha g (x) = f ([x]) , x Rn Trong trng hp nh vy chỳng ta thng vit g = f v g (x) = f (x) v ta núi nh sau: "f l tun hon" "g C (T)n " "g C (R)n l tun hon" Vớ d 1.1 Hỡnh xuyn chiu T1 = R1 Z1 l ng cu vi ng trũn S1 = z R2 : z = = {(cos (t) , sin (t)) ; t R} qua ỏnh x [t] (cos (2t) ; sin (2t)) nờn chỳng ta ng nht mi hm trờn T1 vi hm trờn S1 Chỳng ta s s dng mt s ký hiu sau: Mt vộc t = (j )nj=1 Nn0 c gi l mt a ch s Nu x = (xj )nj=1 Rn v Nn0 ta vit x := x1 xnn Vi cỏc a ch s ngha l j j , j {1; ; n} Ta vit ! := ! n! v ! := n , = ! ( )! n 11 v ú (x + y) = vi Nn v x Rn chỳng ta vit || := x y (1.1) (1.2) j , j=1 1/2 n x2j x := , (1.3) j=1 x := x11 xnn , ú xj = xj Ta dựng kớ hiu Dxj = i2xj = i2 x , ú i = j v o Ta cng kớ hiu x = 1+ x 1/2 l n nh ngha 1.1 (Hm tun hon) Cho hm f : Rn Y l hm tun hon hay tun hon chu k 1, nu f (x + k) = f (x) , x Rn , k Zn Khụng gian ca hm kh vi liờn tc m ln tun hon chu k c ký hiu bi C m (Tn ) Khụng gian cỏc hm kim tra l khụng gian cỏc hm kh vi vụ hn C (Tn) = mZ+ C m (Tn ) vi tụ pụ xỏc nh bi: Dóy hm uj hi t v hm u C (Tn) nu v ch nu uj hi t u n u vi mi a ch s Nn Kớ hiu D(Tn ) 30 Nh li = + 1/2 Khi ú ta cú Mnh 2.2 (Bt ng thc Peetre) Vi mi s R v , Rn ta cú + s 2|s| s |s| Chng minh Chỳng ta cú + + , cho + t 2t t t, t Ta cng cú t 2t t + t hay + t 2t t t Vy mnh c chng minh 2.4 Liờn h gia o hm v sai phõn Di ỏnh sỏng ca gii tớch hin i, nhng li ca Charles Jordan cha ht giỏ tr: "Tm quan trng ca s Stirling phộp tớnh c bn ca gii tớch cha c nhn thc y v him c s dng iu ny l vỡ mt thc t rng cỏc tỏc gi khỏc gii thiu chỳng vi nhng nh ngha v kớ hiu khỏc m khụng bit hoc khụng cp n vic h ang x lý cựng mt s" Nhiu tớnh cht ca nhng s ny cú th c tỡm thy v chỳng cú th c xỏc nh theo nhiu cỏch khỏc Chỳng ta s trỡnh by vic gii thớch 31 quan h ca cỏc s ú vi toỏn t hp di mt cỏch tip cn khỏc theo mc ớch thit lp mi liờn h gia o hm v sai phõn nh ngha 2.4 (Cỏc s Stirling) Cho x R v j, k N0 cho (j) j k Cỏc s Stirling Sk loi c nh ngha bi cụng thc k x (k) (j) Sk x j = j=0 (j) Tớnh nht ca Sk c xỏc nh bi k , l rừ rng Cỏc s Stirling loi ký hiu j k x(k) = j=0 k x j j (j) Vi j < v j > k, Ta m rng t nhiờn cỏc s Stirling bi Sk := v k = j Cho , Zn Ta nh ngha cỏc s Stirling loi v loi nhiu chiu bi S() := S(11 ) S(nn ) , n := n B 2.7 Cho j, k N0 Khi ú (j) Sk = j! d dx j x(k) x=0 k , = j k j j! =0 32 Chng minh Cụng thc th nht l h qu trc tip nh ngha ca (j) Sk Vi cụng thc th hai, ta cú k k (i) j k j = i =0 i=0 k = =0 i=0 B c chng minh k k (j) i i,j = j! i i B 2.8 Cho x Rn v , Nn0 Khi ú () 1) x = S x v S = () ! x x x=0 () 2) x = x v = () ! =0 B 2.9 (Cụng thc quy cho cỏc s Stirling) Cỏc s Stirling xỏc nh nht bng phộp quy k (0) Sk = 0,k , = 0,k , k (k) S = 1, = 1, k k k (j) = 0, Sk = 0, j k+1 k (j) (j1) (j) S = Sk kSk , = j j1 k+1 k N0 , k N0 , j < hoc j > k, k +j , j 1, k 0, j ú p,q l kớ hiu Kronecker nh ngha bi p,q = v p,q = vi p = q 33 (0) Chng minh T x(0) = = S0 v xk+1 = x (x 1) (x k) chỳng ta (0) (k) (j) thy rng Sk = 0,k v Sk = vi mi k N0 S kin Sk = = k j < hoc j > k ch cn nhc li phn nh ngha c m j rng ca cỏc s Stirling Gi s rng x(k) = (j) j k j=0 Sk x Khi ú k+1 (j) j=1 Sk+1xj = x(k+1) = (x k) x(k) k = (k) Sk xk+1 (0) kSk (j1) Sk + j=1 (j) kSk xj k+1 (j1) Sk = j=0 (j) kSk xj k Trng hp cỏc s Stirling loi c chng minh Chc chn = k k k k k x(j) Khi ú = 0,k Gi s x = j=0 1, k N0 v j k k k+1 (j) k+1 k x(j) x =x = xx = x j j j=0 j=0 k k = (x j + j) x(j) j j=0 k k k x(j) x(j+1) + j = j j j=0 k k k x(j) , = +j j1 j k+1 j=0 34 k bi phộp quy Vỡ vy, ta cú th tớnh j B 2.10 Gi s i, j, N N0 cho i, j N Khi ú N N k j (k) (i) Sj = i,j = Sk i k k=0 k=0 Chng minh Nh tớnh cht i xng, ta ch cn chng minh tng th nht bng i,j Ta cú j xj = k=0 N = N j j (k) (k) x = x k k k=0 N k j j (i) i Sk x = k k i=0 k=0 k=0 N N j (i) i Sk = x k i=0 N (i) Sk x i i=0 k=0 Ký hiu (k) l o hm cp k thụng thng ca hm Khi ú ta cú th xp x sai phõn nh o hm nh lý 2.2 (Sai phõn xp x bng o hm) Tn ti cỏc hng s d R1 c N,j , cN,j > vi mi N N0 v j < N cho vi mi C v R1 cỏc bt ng thc sau õy ỳng N j! k (k) j (N ) () ( + ) , () c N,j max [0,j] k! j (2.14) k=j (j) () N k=j j! (j) k Sk () cdN,j max (N ) ( + ) (2.15) [0,N 1] k! 35 Chng minh Chỳ ý rng ta khụng th ng dng chui Taylor ri rc bi vỡ s d ca nú ch xỏc nh trờn Z1 i vi bin s Chui Taylor c in khụng cú s bt li ny ( + ) = N k=0 (N ) (k) () k + ( ()) N k! N! Chỳng ta s dng cụng thc sai s dng Lagrange õy () l im trờn on v + Gi s N > j S dng jn = dựng B 2.7 ta cú j () N 1 (k) (N ) () k + ( ()) N k! N! k=0 =0 N j! k (k) j (N ) = ( ()) N () + k! j N! = j k=j =0 (2.16) S dng cụng thc Leibniz i vi s d, chỳng ta thy rng giỏ tr tuyt (N ) (j ) vi j [, + j] v ú (2.14) i ca nú b chn bi c N,j l ỳng i vi bt ng thc sau (2.15) tớnh trc giao ca s Stirling 36 (B 2.10) v (2.16) l cn thit ỏnh giỏ sau õy: N N N i! (i) k i! (i) k! j (j) S () = S () k! k k! k j! k k=i k=i j=k N i! (i) k (N ) Sk ( ()) N k! N! k=i j N j i! (j) (i) = Sk () k k! + k=i + N k=i (i) =0 k=i i! (i) k (N ) Sk ( ()) N k! N! = () + N k=i =0 i! (i) k (N ) Sk ( ()) N k! N! , =0 ú giỏ tr tuyt i ca s d c c tớnh bi cdN,j (N ) (N ) vi j [, + j] nh lý c chng minh 2.5 Khai trin Taylor ca hm tun hon i vi gii tớch ton cc trờn xuyn, chui Taylor thng khụng cú tỏc dng thiu tớnh tun hon Bõy gi chỳng ta s trỡnh by mt cụng c lp vo nhc im ny Chỳ ý 2.7 (Ci tin cỏc o hm riờng) Cho N0 chỳng ta s a vo dng vit gn ca cỏc o hm riờng Dx := Dx11 Dxnn , Dx() := Dx(1 ) Dx(nn ) , 37 vi k N0 , Dxkl i2 xl := k1 Dx(k) l := j=0 k , j i2 xl (2.17) (0) theo tinh thn ca cỏc s Stirling õy, Dx0 = I = Dx nh lý 2.3 (Khai trin Taylor trờn T1 ) Mi hm a C T1 u cú phộp biu din Taylor tun hon a (x) = N j=0 i2x e j! j Dz(j) a (z) z=0 + aN (x) ei2x N , ú aN C T1 Chng minh Vi j N0 , chỳng a nh ngha hm aj bi j (0) aj (x)a ei2x , nu x = o, a0 (x) := a (x) , aj+1 (x) := D a (x) , nu x = x j Bng phng phỏp quy np ta cú aj+1 thuc C T1 Nh vy aj (x) = aj (0) + aj+1 (x) ei2x , v mt cỏch quy a (x) = N j ei2x aj (0) + aN (x) ei2x j=0 Vỡ vy, ta ch cũn phi chng minh rng aj (0) = (j) rng biu thc Dx j > k, vỡ k i2 x ei2x ei2x k k x=0 j! N (2.18) (j) Dx a (x) x=0 Rừ trit tiờu, nu j < k cng trit tiờu = kei2x ei2x = k ei2x k1 k1 k ei2x k 38 suy k m i2 x m=1 ei2x k = k! Ta cú Dx(k) i2x e k x=0 k+k i2 x = k1 j=1 j i2 x ei2x k = k! (j) Nh vy ta c Dx (j) ei2x k x=0 = j!j,k , vỡ vy bng cỏch ỏp dng Dx c v ca cụng thc (2.18), ta nhn c Dx(j) a (x) x=0 = j!aj (0) nh lý c chng minh T nh lý trờn, ta suy c h qu sau cho cỏc hm song tun hon H qu 2.4 (Chui Taylor song tun hon) Mi hm a C T1 ì T1 u cú biu din Taylor a (x, y) = N j=0 i2(yx) e j! j Dz(j) a (z, y) + aN (x, y) ei2(yx) z=x N ú aN C T1 ì T1 Bõy gi chỳng ta trỡnh by trng hp tng quỏt nh lý 2.4 (Khai trin Taylor tun hon trờn Tn ) Mi hm a C (Tn) u cú biu din Taylor tun hon a (x) = || vi mi k {1, 2, , n} ú a(1 ,0,0, ,0) (x) := a1 (x1, x2, , xn) , a(1 ,2 ,0, ,0) (x) := a(1 ,0,0, ,0) (0, x2, , xn) , a(1 , ,k ,0, ,0) (x) := a(1 , ,k1 ,0, ,0) k a(1 , ,n ) (x) := a(1 , ,n1 ,0) n (0, , 0, xk, , xn) , (0, , 0, xn) Khi ú chỳng ta thu c a (x) = N 1 =0 ei2x1 1 a(1 ,0, ,0) (0, x2, , xn) + a(N,0, ,0) (x) ei2x1 = +2 [...]... các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Tn) với tô pô yếu ∗ Ký hiệu S (Rn ) là không gian kiểm tra Schwartz các hàm khả vi vô hạn giảm nhanh và S ′ (Rn ) là không gian đối ngẫu của nó Hạn chế của các hàm trong S (Rn ) trên lưới Zn có vị trí quan trọng trong tuần hoàn và giải tích rời rạc 1.2 Một số không gian hàm trên Zn Định nghĩa 1.2 (Không gian Schwartz S(Zn )) Ký hiệu S(Zn) là không gian các hàm. .. [ξ, ξ + j] Định lý được chứng minh 2.5 Khai triển Taylor của hàm tuần hoàn Đối với giải tích toàn cục trên xuyến, chuỗi Taylor thường không có tác dụng do thiếu tính tuần hoàn Bây giờ chúng ta sẽ trình bày một công cụ để lấp vào nhược điểm này Chú ý 2.7 (Cải tiến các đạo hàm riêng) Cho α ∈ N0 chúng ta sẽ đưa vào dạng viết gọn của các đạo hàm riêng Dxα := Dxα11 Dxαnn , Dx(α) := Dx(α1 1 ) Dx(αnn ) ,... trong C ∞ (Tn), vì vậy một hàm suy rộng được đặc trưng bởi giá trị chúng tại các véc tơ eξ với mọi ξ ∈ Zn Ngoài ra, tồn tại các ánh xạ tuyến tính u ∈ L(span{eξ |ξ ∈ Zn }, C) mà không thuộc L(C ∞(Tn), C), nhưng mà sự xác định của hệ số Fourier uˆ(ξ) = u(eξ ) hoàn toàn có ý nghĩa 18 Chương 2 Các phép toán giải tích cơ bản trên xuyến Nội dung chương này được trình bày dựa trên các tài liệu số [3], [4],... −M đúng với mọi ξ ∈ Zn Tô pô trên S(Zn ) được cho bởi họ nửa chuẩn pk , trong đó k ∈ N và pk (ϕ) := supξ∈Zn ξ j |ϕ(ξ)| Định nghĩa 1.3 (Hàm suy rộng ôn hòa S ′ (Zn )) Không gian đối ngẫu của S(Zn ) gồm tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S(Zn) được ký hiệu bởi S ′ (Zn) Mỗi hàm u ∈ S ′ (Zn) tác động lên hàm ϕ ∈ S(Zn) có dạng u(ξ)ϕ(ξ) u, ϕ := ξ∈Zn 13 Chú ý 1.2 Với hàm u : Zn → C tăng nhiều nhất... Lp (Tn ) Chứng minh Phát biểu bên trên suy ra từ định lý nội suy Riesz-Thorin bằng ước lượng đơn giản uˆ uˆ ℓ2 (Zn ) = u L2(Tn ) ℓ∞ (Zn ) ≤ u L1 (Tn ) và công thức Plancherel trong Nhận xét 1.2 Định nghĩa 1.7 (Không gian hàm suy rộng tuần hoàn D′ (Tn)) Không gian đối ngẫu D′ (Tn) = L(C ∞(Tn ), C) của không gian S(Tn ) được gọi là không gian các hàm suy rộng tuần hoàn Với u ∈ D′ (Tn) và ϕ ∈ C ∞(Tn),... con số này có thể được tìm thấy và chúng có thể được xác định theo nhiều cách khác nhau Chúng ta sẽ trình bày việc giải thích 31 quan hệ của các số đó với toán tổ hợp dưới một cách tiếp cận khác theo mục đích thiết lập mối liên hệ giữa đạo hàm và sai phân Định nghĩa 2.4 (Các số Stirling) Cho x ∈ R và j, k ∈ N0 sao cho (j) j ≤ k Các số Stirling Sk loại 1 được định nghĩa bởi công thức k x (k) (j) Sk x... ξ+η −t ≤ 2t η t ξ −t Vậy mệnh đề được chứng minh 2.4 Liên hệ giữa đạo hàm và sai phân Dưới ánh sáng của giải tích hiện đại, nhưng lời của Charles Jordan vẫn chưa hết giá trị: "Tầm quan trọng của số Stirling trong phép tính cơ bản của giải tích vẫn chưa được nhận thức đầy đủ và hiếm khi được sử dụng Điều này là vì một thực tế rằng các tác giả khác nhau giới thiệu chúng với những định nghĩa và kí hiệu... u(ϕ) = u, ϕ Nhận xét 1.2 1) Với bất kỳ ψ ∈ C ∞(Tn ), ϕ→ ϕ(x)ψ(x)dx Tn là một hàm suy rộng tuần hoàn, sinh ra phép nhúng ψ ∈ C ∞(Tn) ⊂ D′ (Tn ) Lập luận tương tự, ta cũng có phép nhúng của không gian Lp(Tn ), 1 ≤ p ≤ ∞, vào D′ (Tn) 17 2) Theo đẳng thức hàm kiểm tra ∂ α ψ, ϕ = ψ, (−1)|α| ∂ α ϕ , ta mở rộng định nghĩa đạo hàm của hàm suy rộng bởi ∂ α f, ϕ := f, (−1)|α|∂ α ϕ 3) Tôpô của D′ (Tn) = L(C ∞... k i=0 k=0 k=0   N N j  (i) i Sk = x k i=0 N (i) Sk x i i=0 k=0 Ký hiệu φ(k) là đạo hàm cấp k thông thường của hàm φ Khi đó ta có thể xấp xỉ sai phân nhờ đạo hàm Định lý 2.2 (Sai phân xấp xỉ bằng đạo hàm) Tồn tại các hằng số ∞ d R1 c∆ N,j , cN,j > 0 với mọi N ∈ N0 và j < N sao cho với mọi ϕ ∈ C và ξ ∈ R1 các bất đẳng thức sau đây đúng   N −1 j!  k  (k) j (N ) ∆ξ ϕ (ξ) − (ξ + η) , ϕ (ξ) ≤ c∆... [3], [4], [6] đã nêu trong danh mục các tài liệu tham khảo 2.1 Sai phân hữu hạn trên Zn Trong phần này chúng ta phát triển công thức tính rời rạc mà cụ thể chúng ta sẽ trình bày và chứng minh một phiên bản rời rạc của công thức khai triển Taylor trên Zn Chúng ta sẽ sử dụng vài quy ước mà sẽ được thực hiện trong công thức: Tổng trên một tập chỉ số rỗng bằng 0, tích trên một tập chỉ số rỗng bằng 0! =