Hàm số siêu giải tích trên mặt phẳng phức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 **************** BÙI THỊ THÙY HÀM SỐ SIÊU GIẢI TÍCH TRÊN MẶT PHẲNG PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn Hà Nội, 2013 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, ngày 05 tháng 11 năm 2013 Tác giả Bùi Thị Thùy Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Hàm số siêu giải tích trên mặt phẳng phức” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, ngày 05 tháng 11 năm 2013 Tác giả Bùi Thị Thùy Mục lục Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. HÀM SỐ SIÊU GIẢI TÍCH . 5 1.1. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1. Khái niệm hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. Các tính chất của hàm chỉnh hình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Hàm siêu phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1. Số siêu phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2. Hàm số siêu phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3. Toán tử D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Hàm siêu giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1. Khái niệm hàm số siêu giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2. Sự tồn tại nghiệm sinh của hàm siêu giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3. Công thức tích phân Cauchy đối với hàm siêu giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chương 2. HÀM SỐ SIÊU GIẢI TÍCH SUY RỘNG . . . 18 2.1. Toán tử Pompieu siêu phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.1. Các định nghĩa và định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.2. Toán tử Pompieu siêu phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.3. Các tính chất cơ bản của toán tử Pompieu siêu phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. Hàm số siêu giải tích suy rộng. Định lý Liouville . . . . . . . . 28 2.2.1. Hàm số siêu giải tích suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.2. Không gian L p,ν (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.3. Định lý Liouville. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1 2.3. Công thức tích phân Cauchy đối với hàm số siêu giải tích suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.1. Công thức tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.2. Các kết quả về tính trơn của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Lý thuyết hàm số chỉnh hình một biến phức đã được hình thành và phát triển từ lâu. Nhiều tính chất thú vị của hàm chỉnh hình đã được nghiên cứu trong Giáo trình hàm số một biến phức. Trong những năm 50-60 của thế kỷ 20, khái niệm hàm chỉnh hình một biến phức đã được mở rộng và khái quát thành hàm vectơ siêu giải tích và sau nữa là hàm vectơ siêu giải tích suy rộng. Nhiều tính chất của hàm số loại này tương tự của các hàm chỉnh hình đã được chứng minh. Vì vậy chúng tôi chọn đề tài luận văn thạc sĩ của mình là “Hàm số siêu giải tích trên mặt phẳng phức.”. Nội dung chính của luận văn được tham khảo từ chương 1 của tài liệu [2]. Bố cục của luận văn gồm 2 chương : Chương 1 trình bày các khái niệm, tính chất của các hàm chỉnh hình, hàm siêu phức và hàm siêu giải tích. Công thức tích phân Cauchy đối với hàm siêu giải tích. Chương 2 trình bày về toán tử Pompieu, khái niệm hàm siêu giải tích suy rộng, định lý Liouville và công thức tích phân Cauchy đối với hàm siêu giải tích suy rộng và các định lý về sự tồn tại và tính trơn của hàm siêu giải tích suy rộng. 3 2. Mục đích nghiên cứu Mô tả lý thuyết hàm số siêu giải tích trên mặt phẳng phức, các tính chất cơ bản của các hàm số này. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Tổng quan lý thuyết hàm chỉnh hình một biến phức; • Đưa ra khái niệm hàm siêu giải tích và siêu giải tích suy rộng; • Phát biểu và chứng minh các tính chất cơ bản của các hàm số trên. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Hàm số siêu giải tích và siêu giải tích suy rộng của một biến số phức, công thức tích phân Cauchy đối với các hàm số loại này. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết : thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để được một nghiên cứu tổng quan về hàm số chỉnh hình một biến phức và lý thuyết hàm siêu giải tích và siêu giải tích suy rộng. 6. Dự kiến đóng góp mới của đề tài Tổng quan về lý thuyết hàm siêu giải tích và siêu giải tích suy rộng. 4 Chương 1 HÀM SỐ SIÊU GIẢI TÍCH 1.1. Hàm chỉnh hình 1.1.1. Khái niệm hàm chỉnh hình Hàm f xác định trong miền Ω ⊂ C với giá trị trong C được gọi là chỉnh hình tại điểm z 0 ∈ Ω nếu tồn tại r > 0 để f là hàm C−khả vi tại mọi z ∈ D(z 0 , r) ⊂ Ω, tức là tồn tại giới hạn lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z = f  (z), trong đó D(z 0 , r) = {z ∈ C : |z − z 0 | < r}. Nếu f chỉnh hình tại mọi z ∈ Ω thì ta nói f chỉnh hình trên Ω. Nếu ta đặt z = x + iy, thì z = x − iy là liên hợp của số phức z. Hàm số f(z) là chỉnh hình khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình ∂f ∂z = 0 (1.1) trong đó ∂ ∂z = 1 2 ( ∂ ∂x + i ∂ ∂y ) là toán tử Cauchy-Riemann. Nếu ta đặt f = u + iv, trong đó u và v lần lượt là phần thực và phần ảo của f, thì phương trình (1.1) tương đương với hệ phương trình 5 Cauchy-Riemann sau đây        ∂u ∂x = ∂v ∂y ; ∂v ∂x = − ∂u ∂y . Nhận xét 1.1. Ta có thể mở rộng khái niệm nêu trên tới trường hợp Ω là miền tùy ý trong C còn f là ánh xạ từ Ω vào C bởi phép nghịch đảo. Như vậy khi z 0 hữu hạn còn f(z 0 ) = ∞ ta nói f chỉnh hình tại z 0 nếu 1 f chỉnh hình tại z 0 , còn khi z 0 = ∞ ta nói f chỉnh hình tại z 0 nếu f( 1 z ) chỉnh hình tại 0. 1.1.2. Các tính chất của hàm chỉnh hình Định lý 1.1. Giả sử Ω ⊂ C là một miền và H(Ω) là tập các hàm chỉnh hình trên Ω. Khi đó (i) H(Ω) là một không gian véctơ trên C; (ii) H(Ω) là một vành; (iii) Nếu f ∈ H(Ω) và f(z) = 0, ∀z ∈ H(Ω) thì 1 f ∈ H(Ω); (iv) Nếu f ∈ H(Ω) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi. Chứng minh. Ta chỉ chứng minh (iv), vì f chỉ nhận giá trị thực nên ∂f ∂x , ∂f ∂y cũng chỉ nhận giá trị thực. Hơn nữa, do f chỉnh hình nên từ hệ phương trình Cauchy-Riemann ta có ∂f ∂x = i ∂f ∂y . Từ đó ∂f ∂x = ∂f ∂y = 0. Vậy f = const. 6 Định lý 1.2. (về hàm hợp) Nếu f : Ω −→ Ω ∗ và g : Ω ∗ −→ C là các hàm chỉnh hình, ở đây Ω và Ω ∗ tương ứng là các miền trong mặt phẳng (z) và (ω), thì hàm g ◦ f : Ω −→ C cũng chỉnh hình. Định lý 1.3. Giả sử chuỗi lũy thừa ∞  n=0 C n z n có bán kính hội tụ R > 0. Khi đó tổng f(z) của nó chỉnh hình tại mọi điểm z mà |z| < R và đạo hàm phức của nó là ∞  n=1 nC n z n−1 . 1.2. Hàm siêu phức 1.2.1. Số siêu phức Giả sử r ∈ N và e là ma trận vuông cấp (r + 1) sau đây e :=         0 · · · 0 0 1 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . 0 · · · 1 0         (r+1)×(r+1) . (1.2) 7 [...]... wjz (1.7) j=0 1.3 Hàm siêu giải tích 1.3.1 Khái niệm hàm số siêu giải tích Định nghĩa 1.3 Hàm siêu phức w ∈ C 1 (Ω) là nghiệm của phương trình Dw(z) = 0, z∈Ω (1.8) được gọi là một hàm số siêu giải tích trong miền Ω Khái niệm hàm siêu giải tích là sự mở rộng khái niệm hàm chỉnh hình Hai tính chất sau của hàm siêu giải tích có thể dễ dàng kiểm tra : giả sử u và v là các hàm siêu giải tích Khi đó (i) D(uv)... hợp các số siêu phức là một đại số là giao hoán Dễ thấy |ab| ≤ |a||b| và |a + b| ≤ |a| + |b| Nếu a0 = 0, khi đó số siêu phức a có nghịch đảo a −1 1 1 hoặc = a a0 r (−1) k=0 8 k A a0 k , trong đó A là phần lũy linh của a 1.2.2 Hàm số siêu phức Giả sử ta có r + 1 hàm số với biến số phức và nhận giá trị phức w0 (z), w1 (z), · · ·, wr (z) Định nghĩa 1.2 Hàm số biến số phức và nhận giá trị số siêu phức r... t(z0 ) π tz Du dxdy t(z) − t(z0 ) Ω ∂Ω Nếu u là hàm siêu giải tích, thì tương tự như vậy ta có công thức tích phân Cauchy Hệ quả 1.1 Nếu u là hàm siêu giải tích trong miền Ω, thì u(z0 ) = 1 2πi u(z)dt(z) t(z) − t(z0 ) (1.14) ∂Ω Từ biểu diễn tích phân Cauchy (1.14) ta có thể xác định sự biểu diễn hữu ích sau của hàm siêu giải tích theo r + 1 các hàm giải tích Với ký hiệu ∆(z, z0 ) := T (z) − T (z0 )... + JΩ (Dw), trong đó Φ(z) là hàm siêu phức trong Ω và liên tục trong Ω Chú ý rằng, JΩ (Dw) là siêu giải tích trong C \ Ω và triệt tiêu tại vô hạn, ta kết luận rằng Φ có dạng đã cho Hệ quả 2.5 Nếu ψ là hàm siêu giải tích bên ngoài một miền bị chặn Ω, liên tục trên C \ Ω, và |t−k (z)ψ(z)| là bị chặn khi |z| → ∞ với số nguyên không âm K nào đó, thì tồn tại các hằng số siêu phức ak , k = 0, · · · , K, sao... 1 Vì vậy wp là giải tích trong Ω và do đó các không điểm của nó bị cô lập (chú ý rằng cực điểm cũng bị cô lập) Bây giờ chúng ta giới thiệu khái niệm nghiệm sinh 1.3.2 Sự tồn tại nghiệm sinh của hàm siêu giải tích Cho B k (Ω) là không gian các hàm siêu phức liên tục và bị chặn cùng với các đạo hàm tới cấp k trong Ω Cho B k,α (Ω) là không gian các hàm siêu phức thuộc B k (Ω) và có đạo hàm cấp k của nó...       (2.10) với các phần tử là hàm số biến số phức nhận giá trị phức và A, B là các ma trận vuông cùng cỡ với Q và cũng có phần tử là hàm số biến số phức nhận giá trị phức Các ma trận Q giao hoán với các ma trận khác cùng dạng và là lũy linh khi cả đường chéo chính triệt tiêu Định nghĩa 2.3 Nghiệm của phương trình (2.9) được gọi là một hàm 28 siêu giải tích suy rộng Bây giờ ta xét toán tử M... (qtz ) = (tz + qtz ) = Dt = 0, ∂z ∂z ∂z ∂z điều này cho ta đẳng thức được mô tả trong định lý 1.3.3 Công thức tích phân Cauchy đối với hàm siêu giải tích Định lý 1.6 (Douglis, 1953)(Công thức tích phân Cauchy đối với hàm siêu giải tích) Cho Ω, ∂Ω, và t như Định lý 1.5 Cho u ∈ C 1 (Ω) là hàm siêu phức và cho z0 ∈ Ω Khi đó u(z0 ) = 1 2πi 1 u(z)dt(z) − t(z) − t(z0 ) π tz Du dxdy t(z) − t(z0 ) Ω ∂Ω 14 (1.12)... đó Φ là hàm siêu giải tích Đảo lại, nếu Φ là hàm siêu giải tích và v ∈ L1 (Ω), thì Φ + JΩ v ∈ L1 (Ω) và D(Φ + JΩ v) trong loc Ω Chứng minh Nếu Φ = w − JΩ v, thì DΦ = Dw − DJΩ v = v − v = 0 trong Ω Vì vậy Φ là hàm siêu giải tích Nếu DΦ = 0, thì Φ ∈ Lp (Ω) loc với p > 1 theo Định lý 2.4, và do đó Φ ∈ L1 (Ω), D(Φ + JΩ v) = 0 là loc hiển nhiên Trong mục tiếp theo, M (·) sẽ được ký hiệu là một hằng số phụ... l 1 l ∂ ∆(z, z0 ) l l! ∂z r−1 (−1)m ∆(ζ, z0 )m dt(ζ) m+1 (ζ − z) m=0 (1.15) 17 Chương 2 HÀM SỐ SIÊU GIẢI TÍCH SUY RỘNG 2.1 Toán tử Pompieu siêu phức 2.1.1 Các định nghĩa và định lý Một hàm siêu phức r ek wk (z) w(z) = k=0 được gọi là thuộc Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞, nếu 1 p p |w, Ω|p := |w| dxdy < ∞ Ω Dễ thấy yêu cầu trên tương đương với 1 p p ||wk , Ω||p := |wk | dxdy < ∞, k = 0, · · · , r Ω Ta sẽ nói rằng,... Định lý 2.11 ta có 1 2πi t(ζ)−K−1 ψ(ζ) dt(ζ) ∂Ω t(ζ) − t(z) 1 t(ζ)−K−1 = ψ(ζ)dt(ζ) 2πi ∂Ω t(ζ) − t(z) K −K−1 t(z)k − t(z) k=0 1 2πi 27 t(ζ)−k−1 ψ(ζ)dt(ζ) ∂Ω (2.8) 2.2 Hàm số siêu giải tích suy rộng Định lý Liouville 2.2.1 Hàm số siêu giải tích suy rộng Ta xét phương trình sau có dạng mở rộng so với (1.8) wz + Qwz + Aw + Bw = 0 trong đó Q là ma trận với các khối tựa đường chéo sau đây   q00     . chất của các hàm chỉnh hình, hàm siêu phức và hàm siêu giải tích. Công thức tích phân Cauchy đối với hàm siêu giải tích. Chương 2 trình bày về toán tử Pompieu, khái niệm hàm siêu giải tích suy rộng,. (1.7) 1.3. Hàm siêu giải tích 1.3.1. Khái niệm hàm số siêu giải tích Định nghĩa 1.3. Hàm siêu phức w ∈ C 1 (Ω) là nghiệm của phương trình Dw(z) = 0, z ∈ Ω (1.8) được gọi là một hàm số siêu giải tích. a. 1.2.2. Hàm số siêu phức Giả sử ta có r + 1 hàm số với biến số phức và nhận giá trị phức w 0 (z), w 1 (z), · · ·, w r (z). Định nghĩa 1.2. Hàm số biến số phức và nhận giá trị số siêu phức w(z)