Luận văn giải tích trên lớp các hàm tuần hoàn

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI ===bdBIg8=== NGUYN TH THANH XUN GII TCH TRấN LP CC HM TUN HON Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS BI KIấN CNG H NI, 2015 LI CM N Lun ny c hon thnh ti trng i hc S phm H ni 2, di s hng dn ca thy giỏo, TS Bựi Kiờn Cng S giỳp v hng dn tn tỡnh ca thy giỏo sut quỏ trỡnh thc hin lun ny ó giỳp tỏc gi trng thnh hn rt nhiu cỏch tip cn mt mi Tỏc gi xin by t lũng bit n, lũng kớnh trng sõu sc nht i vi thy Tỏc gi xin trõn trng cm n Ban giỏm hiu trng i hc S phm H ni 2, phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo trng v cỏc thy cụ giỏo dy cao hc chuyờn ngnh Toỏn gii tớch ó giỳp , to iu kin thun li cho tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v nghiờn cu Tỏc gi xin chõn thnh cm n S Giỏo dc o To tnh Vnh Phỳc, Ban Giỏm hiu, cỏc thy cụ giỏo ng nghip trng TH PT Vnh Yờn, tnh Vnh Phỳc cựng gia ỡnh, ngi thõn, bn bố ó giỳp , ng viờn v to iu kin thun li tỏc gi hon thnh khúa hc thc s v hon thnh lun ny H Ni, thỏng nm 2015 Tỏc gi N guyn T h T hanh X uõn LI CAM OAN Lun c hon thnh ti trng HSP H Ni di s hng dn ca TS Bựi Kiờn Cng Tụi xin cam oan Lun ny l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh Lun ny tụi ó k tha nhng thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc v ng nghip vi s trõn trng v bit n Tụi xin cam oan rng cỏc thụng tin trớch dn Lun ó c ch rừ ngun gc H Ni, thỏng nm 2015 Tỏc gi N guyn T h T hanh X uõn M c lc B ng ký h i u M u M t s kin th c chun b Xuyn M " 1.2 Mt s khụng gian hm trờn Z " 12 1.3 Mt s khụng gian hm trờn x u y n 13 Cỏc phộp toỏn gii tớch c bn trờn xu yn 18 2.1 Sai phõn hu hn trờn z n 18 2.2 Khai trin Taylor v a thc trờn z n 22 2.3 Mt s bt ng thc ri r c 28 2.4 Liờn h gia o hm v sai p h õ n 30 2.5 Khai trin Taylor ca hm tun h o n 36 2.6 Bin i Fourier trờn x u y n 40 2.7 Khụng gian Sobolev trờn x u y n 41 1.1 K t lun Ti liu tham kho 43 44 B n g m t s kớ hiu K ng thng thc Mn khụng gian Euclid n - chiu Tn = (M/Z)" = M"/Z" hỡnh xuyn M" (jm ^-pỡ) khụng gian ca hm kh vi liờn tc m ln tun hon chu k c th a m ón g( x) = f ( [ x] ) , Vx e R" Trong trng hp nh vy chỳng ta thng vit g = / v g (X) = / (x) v ta núi nh sau: " / l tun hon" "g e c (T)n" "g G C 00 (M) l tun hon" V d 1.1 Hỡnh xuyn chiu T = M1 / z l ng cu vi ng trũn s = {z G M2 : |^| = 1} = {(cos (t ), sin ( t ) ) ; t Ê M} qua ỏnh x [ớ] I y (cos {2tè) ; sin (27rt)) nờn chỳng ta ng nht mi hm trờn T vi hm trờn s Chỳng ta s s dng mt s ký hiu sau: Mt vộc t a = (j)n=1 Nq c gi l mt a ch s Nu X = {Xj)n=1 Ê Mn v a Ê Nq ta vit xa := X1 -X^n Vi cỏc a ch s a < ngha l aj < /3j, Vj G { ; n} Ta vit /3! := /?i! /3J v 11 v ú (1.1) (x + y = /3 1 / ô ) tezn ?1/94 T ú ta c \g\\ = lZn TiGZn feZ" j S dng A Jn ] = dựng B 2.7 ta cú ( = A t f V {k) ( ^ -fc= ^ ( ớ7/)) ^ J 77=0 N-l = l ỡ * j Ơ> ( + A j [*, k, vỡ ( - k (ei2X - l ) k = kei2nx (ei2nx - ) k~l - k ei2wx - ) k i k- = k - l ) ] 38 suy r * / d m n ( i2T dx 7 = 2nx _ = x Ta cú _ jj(k) .2-KX _ fj_ d _ c=0 \i2 dx x= = k\ Nh vy ta c Dx^ (ei2nx l ) fe = j\j fc, vỡ vy bng cỏch ỏp dng x=0 Dx ^ c v ca cụng thc (2.18), ta nhn c D J[ ]a{x) = j\a,j (0) x=0 nh lý c chng minh T nh lý trờn, ta suy c h qu sau cho cỏc hm song tun hon c (T X H qu 2.4 (Chui Taylor song tun hon) Mi hm a T1) u cú biu din Taylor N - a (x , y) = ^ T (ei2l{y~x) - l ) D p{ a (z, y) 3=0 + aN (x,y) ú aN Ê c (T X T 1) Bõy gi chỳng ta trỡnh by trng hp tng quỏt nh lý 2.4 (Khai trin Taylor tun hon trờn Tn) Mi hm a e c (Tn) u cú biu din Taylor tun hon a M= E (e'2 - !),a(*) +Eô M^2'1 !) M 0vi mi G {1, , đ (a i,0 ,0 , ,0 ) (*^) (ai,a2,0, ,0) () a (ai, ,afc,0, ,0) ( ) đ i ( ^ ) ' 'ỡ ) ặ n ) n} ú ((ai,0,0, ,0))Q,2 (0 ) x 2ỡ : = a(oii,. ,an) ix ) x n) ) ( a ( a i , , Q fc_ i , , , ) ) afe ( j ) j x k ỡ ) x n ) ((ai, ,a_i,0))a (0) J0, x n) Khi ú chỳng ta thu c N - a (x ) = ^ (ei2nxi ~ ô1 = a 1+ a = N lp li, ta cú ) e i a (ôl>0, - , 0) ( , x 2, x n) 40 Chỳ ý rng (ei2nx l ) a = /3\a , ú ta cú 2.6 Bin i Fourier trờn xuyn Khỏc vi trng hp hm trờn khụng gian Euclid R" bt u xỏc nh bin i Fourier trờn khụng gian hm th l khụng gian Schwartz, i vi cỏc hm tun hon, chỳng ta bt u bng vic xỏc nh bin i Fourier trờn C(T") nh ngha 2.5 (Bin i Fourier tun hon) Cho / e C(Tn) Bin i Fourier ca / , ký hiu / l mt hm xỏc nh trờn Z" bi (2.19) s Anh x A c gi l phộp bin i Fourier tun hon M nh 2.3 Phộp bin i Fourier l mt song ỏnh t (Tn) lờn S ( Z n) vi ỏnh x ngc J : s (Zn) >c (Tn) xỏc nh bi f ( x ) = ^ 'i ( - Vi mi h e s (Zn); ta cú 41 Chỳ ý 2.8 Vi vic xỏc nh bin i Fourier ca cỏc hm L 2(T") nh cụng thc (1.6) thc s l m rng ca phộp bin i Fourier nờu ti nh ngha 2.5 nh ngha 2.6 (Phộp bin i Fourier trờn (T)) Ký hiu ( o Ip) (X) = p {x) v cho u Ê D'(Tn), ta nh ngha bin i Fourier ca hm u bi (TnU, ) := (u, I o F T}ip) (2 20 ) M nh 2.4 Nu u G D (T") thỡ TjnU G tS (Zn); tc l Tu xỏc nh im trờn 2.7 zn Khụng gian Sobolev trờn xuyn nh ngha 2.7 (Khụng gian Sobolev H s(Tn)) Cho s G M Khụng gian Sobolev cỏc hm tun hon, ký hiu H s(Tn), gm t t c cỏc hm u D'(T") cho ()8(Ê) G / 2(Z") vi chun II ||jô(T") cho bi (2 21) nh lý 2.5 Hm delta Dirac tun hon c biu din bi (x) = ei2nx^, hoc bi ú (Ê) = cho thuc H s(T) v ch s < n/2 nh lý 2.6 Vi e^(x) = ei2X^ thỡ ||e^IIjy-(T) = (Ê)sN h n x ộ t Ta thy rng hp J eR H s(T") l khụng gian i ngu ca 00(TTi) theo tụpụ yu ca nú Do ú (2 22 ) 42 M n h 2.5 (Khụng gian Sobolev l khụng gian Hilbert) Vi mi s G l , khụng gian Sobolev H s(T") l mt khụng gian Hibert vi tớch vụ hng (u,v)Hs{Tằ) := { Ê ) 2s{Ê)v{Ê) n h lý 2.7 (a thc lng giỏc l trự m t) Da thc lng giỏc (v ú 00(T)J l trự mt mi H s(Tn) n h lý 2.8 (Phộp nhỳng l compact) Bao hm thc L : #*(Ơ") H s(T) l compact vi s < t n h lý 2.9 (nh lý nhỳng) Cho m G N v s > m + n/2, thỡ H s(T) c cm(Tn) H q u 2.5 P l H s{Tn) = (Tn) seR 43 K t lun Lun l mt cụng trỡnh nghiờn cu tng quan v phộp tớnh gii tớch trờn mt s ri rc v trờn xuyn v ó trỡnh by mt s chớnh sau: Hỡnh xuyn v mt s khụng gian hm trờn xuyn Mt s khụng gian hm trờn Z" v cỏc phộp toỏn ri rc nhng khụng gian ú, c th l phộp tớnh sai phõn, khai trin Fourier ri rc, Bờn cnh cỏc phộp tớnh gii tớch c in xuyn, chỳng tụi trỡnh by mi quan h gia o hm v sai phõn nh l h qu ca vic gii thiu cỏc s Stirling Phộp bin i Fourier trờn lp cỏc hm tun hon v i ngu, gii thiu v khụng gian Sobolev tun hon Vi phm vi lun v thi gian, cng nh kh nng cũn hn ch nờn tỏc gi cha th tỡm hiu nghiờn cu sõu hn, phỏt trin thờm cỏc kt qu ó a v lun khụng trỏnh nhng thiu sút Kớnh mong quý thy cụ v cỏc bn gúp ý lun c hon thin Xin trõn trng cỏm n!