skkn rèn luyện kỹ năng tính thể tích khối chóp đối với học sinh lớp 12

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Hình học không gian môn khoa học nghiên cứu hình dạng, độ lớn vị trí không gian vật thể, môn học khó nhiều học sinh phổ thông Rất nhiều em cảm thấy ngán ngại học môn học này, có em thuộc định lý, tính chất vận dụng vào giải tập, có em biết vẽ hình không đọc hình…! Bài toán tính thể tích khối chóp nội dung thường gặp kiểm tra cuối học kỳ, thi tốt nghiệp trung học phổ thông, thi tuyển sinh đại học – cao đẳng hàng năm Phần lớn em cảm thấy không thật thoải mái gặp nội dung này, em lúng túng vẽ hình, không xác định đường cao khối chóp nên không lập công thức tính thể tích khối chóp Việc học hình học không gian lớp 11, em dừng lại bước quan sát hình vẽ chiếu hình tiết dạy có ứng dụng công nghệ thông tin, mà hướng dẫn cụ thể thao tác để vẽ hình Do vậy, việc truyền đạt kiến thức liên quan đến hình học không gian nói chung tính thể tích khối chóp nói riêng đòi hỏi người Thầy cần có chọn lọc định lồng ghép ứng dụng công nghệ thông tin vào giảng, phải kiên nhẫn, hướng dẫn thao tác theo trình tự định, bước giúp em chủ động thực tìm kết toán Hoạt động chủ đạo thường xuyên trình học toán học sinh hoạt động giải tập, thông qua hình thành kỹ năng, kỹ xảo khắc sâu kiến thức Do việc hướng dẫn học sinh giải toán dừng lại việc cung cấp cho học sinh giải mẫu mà phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt mối quan hệ ràng buộc giả thiết kết luận toán, bước giúp học sinh độc lập suy nghĩ chủ động để giải tập củng cố kiến thức Sách giáo khoa Hình học 12 (chuẩn nâng cao) có nêu nội dung “tính thể tích khối đa diện”, phần lý thuyết đơn giản phần tập thật không đơn giản học sinh Do kỹ giải toán hình học không gian nói chung giải toán liên quan đến tính thể tích khối chóp nói riêng nhiều hạn chế nên em thường bị điểm gặp câu hỏi có liên quan đến nội dung đề thi tốt nghiệp tuyển sinh hàng năm Cảm thông với băn khoăn , lo lắng em từ thực tế giảng dạy, rút số kinh nghiệm việc thực bước cụ thể để hướng dẫn em tính thể tích khối chóp Nhằm giúp em chủ động ôn tập tự tin chuẩn bị bước vào kỳ thi trung học phổ thông quốc gia năm 2015 tới, từ đầu năm học 2014 – 2015, chọn viết thực đề tài: Rèn luyện kỹ tính thể tích khối chóp học sinh lớp 12 II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Cơ sở lý luận Quy trình dạy học hiểu tổ hợp thao tác giáo viên học sinh tiến hành theo trình tự định đối tượng nhận thức Chẳng hạn, quy trình bốn bước Polya để giải toán gồm : • Bước : Tìm hiểu nội dung toán • Bước : Tìm cách giải • Bước : Trình bày lời giải theo trình tự bước thích hợp • Bước : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải Một nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặc biệt với hình học hướng dẫn cho học sinh biết phân tích đề bài, thấy liên quan giả thiết kết luận, biết dựng hình định hướng cách giải Giải toán trình biến tri thức tổng quát thành cụ thể, thành kinh nghiệm thận, chặng đường nhiều thử thách, đòi hỏi nỗ lực bền bỉ đan xen chút sáng tạo học sinh Vì tìm cách giải toán phát minh Để giải toán tính khoảng cách, ta thực theo bước sau : • Bước : Đọc đề phân tích đề • Bước : Dựng hình phù hợp với nội dung đề • Bước : Liên hệ nội dung cần chứng minh với định lý, công thức có liên quan để giải toán Tuy nhiên qua thực tế , việc học nắm vững bước để vận dụng vào giải toán thật không đơn giản học sinh, trình trừu tượng hoá khái quát hóa việc rèn luyện tư toán học Do vậy, thông qua số toán cụ thể để hướng dẫn em làm quen dần với bước cụ thể, nhận biết dạng tập, bước giúp em hình thành kỹ năng, kỹ xảo, chủ động giải tình xảy trình giải toán, sở để em khắc sâu kiến thức Thực trạng trước thực giải pháp đề tài a Những khó khăn và những sai lầm mà học sinh thường mắc phải Trong đề tuyển sinh đại học – cao đẳng năm 2014 vừa qua, đề thi khối A, A 1, D cao đẳng có toán tính thể tích khối chóp Các em có chung cảm nhận câu khó, không làm được! Qua tìm hiểu trao đổi với em nguyên nhân vẽ hình chưa chuẩn xác, không xác định đường cao khối chóp lúng túng tính toán nhớ sai công thức Bài toán tính thể tích khối chóp đa dạng nên tạo không khó khăn trình hướng dẫn, truyền đạt giáo viên việc tiếp thu kiến thức học sinh Tuy nhiên biết xếp phân tích cụ thể yếu tố có liên quan toán, biết gợi mở phát huy tính tích cực học sinh, tạo hứng thú cho học sinh giải toán tính thể tích khối chóp b Biện pháp khắc phục Khắc phục những hạn chế nêu trên, cần có những bước thật cụ thể: + Các tiết bài tập cần chuẩn bị thật chu đáo, phải được thiết kế theo trình tự từ dễ đến khó, chú ý vào các dạng toán bản, tạo hứng thú cho học sinh, giúp các em quen dần với các dạng toán có liên quan + Bài tập nêu sách giáo khoa thường rất phức tạp, vậy hướng dẫn học sinh ta cần điều chỉnh một số giả thiết cho phù hợp với khả nhận thức của các em + Cần tạo điều kiện cho các em có sự chuẩn bị bị ở nhà theo tổ nhóm, qua mỗi dạng toán cần hướng dẫn các em nhận xét để rút những bài học kinh nghiệm nhằm khắc sâu kiến thức và rèn luyện kỹ giải bài toán tính toán + Giáo viên cần hướng dẫn em dựng hình đọc chi tiết hình, làm sở định hướng công việc cần làm theo trình tự định, qua nâng cao nhận thức em nhận định giải công việc sống sau + Qua tập, giáo viên cần hướng dẫn em nhận xét cở sở phân tích, suy luận để giải tập khác có liên quan Các giải pháp nêu phần sau giải pháp thay phần giải pháp có, giải pháp tỉ mỉ hơn, cụ thể khoa học hơn; giúp em tiếp thu vận dụng tốt III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP Gồm hai phần: Phần một: Hệ thống kiến thức liên quan đến toán tính thể tích khối chóp Phần hai: Thực toán tính thể tích khối chóp Các dạng toán thường gặp : • Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy • Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy • Khối chóp • Một số dạng khác PHẦN MỘT Hệ thống kiến thức liên quan đến toán tính thể tích khối chóp Thông thường, toán hình chóp chia thành hai dạng sau: Hình chóp Hình chóp có cạnh bên, mặt bên vuông góc với mặt đáy Hình chóp S S S S A C A C A H B B A C N D O B H C M B SA ⊥ ( ABC ) ( SAB ) ⊥ ( ABC ) Đa giác đáy: Hình chóp tam giác Hình chóp tứ giác SH ⊥ ( ABC ) SO ⊥ ( ABCD ) - Tam giác vuông, tam giác cân - Tam giác đều, tam giác thường HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN Tam giác Công thức tính diện tích tam giác: 1 S ABC = aha bhb chc  = =2 A 1 S ABC = bc sin A = ac sin B = ab sin C 2  b c B H a C  S ABC = abc R ( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC )  S ABC = pr ( r là bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC )  S ABC =  Các tam giác đặc biệt: p ( p − a )( p − b)( p − c ) với: p= a+b+c Tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông A A B 2  BA = BH BC , CA = CH CB  AB AC = BC AH  AH = BH CH 1 = + 2 AB AC  AH C H Hệ thức lượng tam giác vuông: 2  Định lí Pitago: BC = AB + AC S ABC =  Diện tích tam giác ABC: Cho tam giác ABC vuông A B )) Tỷ số lượng giác tam giác vuông:  A ( H C    Cho tam giác ABC cân A ) A H ( AB AC sin B = cos C = AC BC sin C = cos B = AB BC tan B = cot C = AC AB tan C = cot B = AB AC Tam giác cân Gọi H trung điểm BC ⇒ AH ⊥ BC  AH = BH tan B = CH tan C C B Cho tam giác ABC cạnh a A  Diện tích tam giác ABC: H AH BC Tam giác Gọi H trung điểm BC ⇒ AH ⊥ BC  Độ dài đường cao: B S ∆ABC = AH = C  Diện tích tam giác ABC: a S ABC a2 = AH BC = Tứ giác A D O B C Hình vuông  Diện tích hình vuông ABCD cạnh a S ABCD = AB = a  Độ dài đường chéo hình vuông ABCD cạnh a AC = BD = AB = a A Hình chữ nhật  Diện tích hình chữ nhật ABCD D S ABCD = AB.BC O B  Độ dài đường chéo hình chữ nhật ABCD C AC = BD = AB + BC Hình thoi  Diện tích hình thoi ABCD A B S ABCD = D O AC.BD C  Hai đường chéo hình thoi ABCD: AC ⊥ BD A Hình thang  Diện tích hình thang ABCD B S ABCD = D AH ( AB + DC ) C H  AH ⊥ DC ⇒   Dựng:  H ∈ DC AH đường cao hình thang ABCD d Góc đường thẳng d mặt phẳng (P) A d’ ϕ( H P) M 00 ≤ ϕ ≤ 900  Góc đường thẳng d mặt phẳng (P) góc đường thẳng d đường thẳng d’ hình chiếu vuông góc d mặt phẳng (P) Thực hiện: Bước Tìm hình chiếu d’ d (P) Bước Khi đó, góc d (P) góc d d’ Góc hai mặt phẳng (P) (Q) (Q b H  Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng năm hai mặt phẳng vuông góc với giao tuyến điểm Thực hiện: Bước Xác định giao tuyến d (P) (Q) )ϕ d a (P0 ≤ ϕ ≤ 90 Bước Tìm (P) đường thẳng a vuông góc với d (Q) đường thẳng b vuông góc với d Bước Khi đó, góc hai mặtt phẳng (P) (Q) góc hai đường thẳng a b Thể tích khối chóp S A V = Bh Công thức tính thể tích khối chóp: C H Trong đó:  B diện tích đa giác đáy  h chiều cao hình chóp B Thể tích khối tứ diện Cho tứ diện ABCD cạnh a A  Tất các cạnh  Tất mặt tam giác  Gọi H trọng tâm tam giác BCD ⇒ AH ⊥ ( BCD ) , AH đường cao hình tứ diện B D H  Thể tích khối tứ diện cạnh a: M VABCD = C (xem toán 20) 1 a a a3 AH SBCD = = 3 12 (đvtt) PHẦN HAI Thực toán tính thể tích khối chóp A Phương pháp thực Để giải toán tính thể tích khối chóp, cần thực theo bước sau: + Bước Đọc kỹ nội dung đề bài, phân tích nhận dạng khối chóp + Bước Xác định đường cao khối chóp + Bước Dựng hình thể nội dung giả thiết hình vẽ + Bước Lập công thức tính thể tích khối chóp + Bước Tính diện tích đa giác đáy tính độ dài đường cao khối chóp B Nội dung, biện pháp thực giải pháp đề tài  Yêu cầu giáo viên: + Các tiết tập cần chuẩn bị thật chu đáo, thiết kế theo trình tự từ dễ đến khó, cần ý vào dạng tập bản, tạo hứng thú cho học sinh, giúp em quen dần với dạng toán có liên quan + Bài tập nêu sách giáo khoa thường phức tạp, hướng dẫn giải, giáo viên cần điều chỉnh số giả thiết cho phù hợp với khả nhận thức học sinh  Yêu cầu học sinh: + Cần nắm vững phần lý thuyết, thuộc công thức hoạt động tích cực tiết tập + Qua dạng tập cần suy nghĩ để khắc sâu, làm sở để hoàn thành tập theo yêu cầu giáo viên C Thực toán tính thể tích khối chóp Khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy Bài toán Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy Biết AB = a 2, AC = SB = a với < a ∈ ¡ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Hướng dẫn Hình vẽ S Xác định đường cao khối chóp  SA vuông góc với mặt đáy ⇒ SA đường cao khối chóp A C  Đáy tam giác ABC vuông B B Bài giải  Lập công thức tính thể tích khối chóp VS ABC = SA.S ABC Thể tích khối chóp S.ABC:  Tính độ dài cạnh góc vuông BC Tam giác ABC vuông B:  Tính diện tích tam giác ABC BC = AC − AB = 3a − 2a = a Diện tích tam giác ABC:  Tính độ dài đường cao SA S ABC =  Tính thể tích khối chóp S.ABC a2 AB.BC = 2 SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AB Tam giác SAB vuông A: SA = SB − AB = 3a − 2a = a a3 VS ABC = SA.S ABC = (đvtt) Bài toán Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy Biết AC = a 2, SB = a với < a ∈ ¡ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Hướng dẫn Nhận xét: Bài toán tương tự toán 1, Hình vẽ S khác: đáy tam giác ABC vuông cân B Xác định đường cao khối chóp  SA vuông góc với mặt đáy ⇒ SA đường cao khối chóp A C B  Đáy tam giác ABC vuông B Bài giải  Lập công thức tính thể tích khối chóp  Tính độ dài cạnh góc vuông ( AB = BC )  Tính diện tích tam giác ABC  Tính độ dài đường cao SA VS ABC = SA.S ABC Thể tích khối chóp S.ABC: Tam giác ABC vuông cân B: AB = AC = 2a ⇒ AB = a Diện tích tam giác ABC: S ABC = a2 AB = 2 SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AB Tam giác SAB vuông A:  Tính thể tích khối chóp S.ABC SA = SB − AB = 3a − a = a a3 VS ABC = SA.S ABC = (đvtt) Bài toán Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a với < a ∈ ¡ , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy Biết SB = a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Hướng dẫn Hình vẽ Nhận xét: Bài toán tương tự toán 1, khác: đáy tam giác ABC cạnh 2a Xác định đường cao khối chóp  SA vuông góc với mặt đáy ⇒ SA đường cao khối chóp S A C M B  Đáy tam giác ABC cạnh 2a Bài giải  Lập công thức tính thể tích khối chóp  Tính độ dài đường cao tam giác AB AM = VS ABC = SA.S ABC Thể tích khối chóp S.ABC: Trong tam giác ABC cạnh 2a , gọi M  Tính diện tích tam giác ABC  Tính độ dài đường cao SA  AM ⊥ BC  ⇒ 2a =a  AM = trung điểm BC  Diện tích tam giác ABC:  Tính thể tích khối chóp S.ABC S ABC = AM BC = a SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AB Tam giác SAB vuông A: SA = SB − AB = 5a − 4a = a VS ABC a3 = SA.S ∆ABC = 3 (đvtt) Bài toán Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AC = a với < a ∈ ¡ , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, góc SB mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Hướng dẫn Hình vẽ Nhận xét: Bài toán tương tự toán 2, thêm: góc SB (ABC) 600 Xác định đường cao khối chóp  SA vuông góc với mặt đáy ⇒ SA đường cao khối chóp S A C 60 ( B  Đáy tam giác ABC vuông cân B Bài giải  Lập công thức tính thể tích khối chóp  Tính độ dài cạnh góc vuông ( AB = BC ) VS ABC = SA.S∆ABC Thể tích khối chóp S.ABC: Tam giác ABC vuông cân B: AB = AC = a ⇒ AB = a  Tính diện tích tam giác ABC  Xác định góc SB với (ABC) Diện tích tam giác ABC:  Tính độ dài đường cao SA SA ⊥ ( ABC ) ⇒ S ∆ABC = a2 AB = AB hình chiếu vuông góc SB (ABC)  Tính thể tích khối chóp S.ABC · ⇒ góc SB với (ABC) SBA = 600 10  Tính thể tích khối chóp S.ABC Diện tích tam giác ABC: S ABC = 3a AM BC = Tam giác SHA vuông H SH = SA2 − AH = 4a − a = a a3 VS ABC = SH S ABC = (đvtt) Bài toán 18 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a , cạnh bên a với < a ∈¡ Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Hướng dẫn Hình vẽ Nhận xét: Hình chóp tứ giác đểu hình chóp có đáy hình vuông, tâm O đáy hình chiếu vuông góc đỉnh S đáy S A  AB = BC = CD = DA = 2a D O  SA = SB = SC = SD = a B C Bài giải  Xác định đường cao khối chóp  Lập công thức tính thể tích khối chóp  Tính diện tích hình vuông ABCD Gọi O = AC ∩ BD ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) VS ABCD = SO.S ABCD Thể tích khối chóp S.ABCD: Diện tích hình vuông ABCD: S ABCD = 4a AC đường chéo hình vuông cạnh OA = Tính độ dài đường cao SO ⇒ AC = 2a Dó đó:  Tính thể tích khối chóp S.ABCD Tam giác SOA vuông O 2a AC =a 2 SO = SA2 − OA2 = 3a − 2a = a VS ABCD 4a = SO.S ABCD = 3 (đvtt) Bài toán 19 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a với < a ∈¡ , cạnh bên tạo với đáy góc 45 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Hướng dẫn Nhận xét: Hình vẽ S 22  Bài toán 19 tương tự toán 18  AB = BC = CD = DA = 2a A  Góc cạnh bên mặt đáy 45 ) 450 D O B  Xác định đường cao khối chóp  Lập công thức tính thể tích khối chóp  Tính diện tích hình vuông ABCD  Xác định góc cạnh bên với đáy Tính độ dài đường cao SO C Bài giải Gọi O = AC ∩ BD ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) VS ABCD = SO.S ABCD Thể tích khối chóp S.ABCD: Diện tích hình vuông ABCD: S ABCD = 4a SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ BO hình chiếu vuông góc cạnh bên SB (ABCD)  Tính thể tích khối chóp S.ABCD · · ⇒ SBO góc SB (ABCD); SBO = 45 Tam giác SOB vuông O · tan SBO = tan 450 = SO ⇒ SO = OB = a OB 4a VS ABCD = SO.S ABCD = 3 (đvtt) Bài toán 20 Tính thể tích khối tứ diện ABCD cạnh a với < a ∈ ¡ Hướng dẫn Nhận xét: Hình vẽ A  Cách giải tương tự 17  Hình tứ diện hình chóp  Các mặt tam giác  VABCD = VA.BCD D B H M C 23  Xác định đường cao khối tứ diện  Lập công thức tính thể tích khối tứ diện Bài giải Trong tam giác BCD cạnh a , gọi M trung  BM ⊥ CD  ⇒ a  BM = điểm CD  Gọi H trọng tâm ∆BCD ⇒ AH ⊥ ( BCD ) Thể tích khối tứ diện ABCD: AH S BCD  Tính diện tích tam giác BCD VABCD = VA BCD = Tính độ dài đường cao AH  H ∈ BM   2 a a =  BH = BM = 3   Tính thể tích khối tứ diện ABCD a2 S ∆BCD = BM CD = Diện tích tam giác BCD: Tam giác AHB vuông H AH = AB − BH = a − VABCD = VA.BCD = a2 a = 3 a3 AH S BCD = 12 (đvtt) Một số dạng khác Bài toán 21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a , với < a ∈¡ Hình chiếu vuông góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) trung điểm H cạnh AB Góc mặt phẳng (SCD) mặt phẳng (ABCD) 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a (Trích đề kiểm tra học kỳ II lớp 12 năm học 2014 – 2015 Tỉnh Đồng Nai) Hướng dẫn Hình vẽ Nhận xét:  Hình chiếu vuông góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) trung điểm H cạnh AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) (dễ dàng xác định đường cao khối chóp) S A D 600 B H ( M C 24  Xác định góc hai măt phẳng (SCD) (ABCD) Bài giải SH ⊥ ( ABCD )  Lập công thức tính thể tích khối chóp  Tính diện tích hình vuông ABCD VS ABCD = SH S ABCD Thể tích khối chóp S.ABCD: Diện tích hình vuông ABCD: S ABCD = 4a  Xác định góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) Tính độ dài đường cao SH  Tính thể tích khối chóp S.ABCD Gọi M trung điểm CD ⇒ HM ⊥ CD SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ CD   ⇒ CD ⊥ ( SHM ) ⇒ SM ⊥ CD HM ⊥ CD  ( SCD ) ∩ ( ABCD ) = CD  ·  SM ⊂ ( SCD ) , SM ⊥ CD ⇒ SMH   HM ⊂ ( ABCD ) , HM ⊥ CD góc · hai mặt phẳng (SCD) (ABCD); SMH = 60 Tam giác SHM vuông H: · tan SMH = tan 600 = SH ⇒ SH = HM tan 600 = 2a HM 8a 3 VS ABCD = SH S ABCD = 3 (đvtt) Bài toán 22 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , với < a ∈¡ Hình chiếu vuông góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = HB Góc SC mặt phẳng (ABC) 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a (Trích đề tuyển sinh khối A A1 năm 2014 ) Hướng dẫn Hình vẽ Nhận xét:  Hình chiếu vuông góc đỉnh S mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = HB ⇒ SH ⊥ ( ABC ) S 600( A (dễ dàng xác định đường C M H cao khối chóp)  Xác định góc SC (ABC) B Bài giải SH ⊥ ( ABC ) 25  Lập công thức tính thể tích khối chóp VS ABC = SH S ABC Thể tích khối chóp S.ABC: Trong tam giác ABC cạnh a , gọi M trung điểm  Tính diện tích tam giác ABC  Xác định góc SC (ABC)  MA = MB AB a ⇒ MH = =  6  HA = HB CM ⊥ AB  ⇒ a CM = AB  a2 S∆ABC = CM AB = Diện tích tam giác ABC: SH ⊥ ( ABC ) ⇒ AC hình chiếu vuông góc SC · (ABC) ⇒ góc SC (ABC) SCA = 60 M trung điểm AB ⇒ MH = AB a = 6 Tính độ dài đường cao SH  Tính thể tích khối chóp S.ABC Tam giác MHC vuông M: a3 VS ABC = SH S ABC = 12 CH = CM + MH = SH = HC.tan 600 = Tam giác SHC vuông H: a a 21 (đvtt) Bài toán 23 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , với < a ∈¡ Gọi M, N trung điểm AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM theo a (Trích đề tuyển sinh khối A năm 2010 ) Hướng dẫn Nhận xét:  Tính thể tích khối chóp S.CDNM Hình vẽ S  Dựa vào hình học phẳng để tính diện tích tứ giác CDNM A N D M B N A H H M B C D C Bài giải 26  Lập công thức tính thể tích khối chóp SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( CDNM ) VS CDNM = SH SCDNM Thể tích khối chóp S.CDNM:  Tính diện tích tứ giác CDNM  SH = a Diện tích tứ giác CDNM  SCDNM = S ABCD − ( S ∆AMN + S ∆BMC ) 1  = AB −  AM AN + BM BC ÷ 2   Tính thể tích khối chóp S.CDNM  a a  5a = a2 −  + ÷=   5a 3 VS CDNM = SH SCDNM = 24 (đvtt) Bài toán 24 Cho hình chóp S.ABC có hình chiếu vuông góc H đỉnh S mặt đáy trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, biết AB = AC = 5a, BC = 6a ,với < a ∈ ¡ Góc mặt bên (SBC) với mặt đáy 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Hướng dẫn Nhận xét:  H tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC Hình vẽ S A N B P r r H M A r P N C C 600 ( H M B Bài giải  Lập công thức tính thể tích khối chóp  Tính diện tích tam giác ABC Sử dụng công thức Hêrông: S= p ( p − a) ( p − b) ( p − c) SH ⊥ ( ABC ) VS ABC = SH S ABC Thể tích khối chóp S.ABC: Nửa chu vi tam giác ABC: p= ( AB + BC + CA) = 8a p − AB = 8a − 5a = 3a ; p − AC = 8a − 5a = 3a ; p − BC = 8a − 6a = 2a 27  Xác định góc (SBC) (ABC) Diện tích tam giác ABC: S = p ( p − AB ) ( p − AC ) ( p − BC ) = 8a.3a.3a.2a = 12a Gọi M, N, P hình chiếu vuông góc H BC, AB AC ⇒ HM ⊥ BC ⇒ HM = HN = HP = r ( bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC)  SH ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SHM ) ⇒ SM ⊥ BC   HM ⊥ BC Tính độ dài đường cao SH ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC   SM ⊂ ( SBC ) , SM ⊥ BC ⇒   HM ⊂ ( ABC ) , HM ⊥ BC góc hai mặt phẳng Sử dụng công thức: S = pr · (SBC) (ABC) SMH = 60 Ta có:  Tính thể tích khối chóp S.ABC S ∆ABC = pr = p.HM ⇒ HM = S ∆ABC 12a 3a = = p 8a Tam giác SHM vuông H SH = HM tan 600 = 3a VS ABC = SH S ABC = 6a 3 (đvtt) Bài toán 25 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, < a ∈¡ AC = 2a , với · , ACB = 30 , hình chiếu vuông góc H đỉnh S mặt đáy trung điểm cạnh AC SH = a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a (Trích đề thi minh họa – kỳ thi THPT Quốc gia năm 2015 ) Hướng dẫn Nhận xét:  Hình chiếu vuông góc H đỉnh S mặt đáy trung điểm cạnh AC  Dễ dàng xác định đường cao khối chóp hình thành công thức tính thể tích khối chóp  Để tính diện tích đáy, tham khảo cách tính toán 12 Hình vẽ S A H 300 ( C B 28 Bài giải  Lập công thức tính thể tích khối chóp  Tính diện tích tam giác ABC S∆ABC = S∆ABC = AB.BC AC.BC sin 300 Ta có: SH ⊥ ( ABC ) ; SH = a VS ABC = SH S ABC Thể tích khối chóp S.ABC: Tam giác ABC vuông B, ta có:   sin ·ACB = sin 300 = AB ⇒ AB = AC.sin30 = a AC cos ·ACB = cos 300 = BC ⇒ BC = AC.cos 300 = a AC  Tính thể tích khối chóp S.ABC Diện tích tam giác ABC: VS ABC S∆ABC = a2 AB.BC = 2 a3 = SH S ABC = (đvtt) Bài toán 26 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a ,với < a ∈¡ Hai mặt bên (SAB) (SAC) vuông góc với mặt đáy, cạnh SB tạo với mặt đáy góc 30 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Hướng dẫn Hình vẽ  Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) cắt S theo giao tuyến d vuông góc với d ⊥ ( R) mặt phẳng (R)  A ( SAB ) ∩ ( SAC ) = SA  ⇒ SA ⊥ ( ABC ) ( SAB ) ⊥ ( ABC )  ( SAC ) ⊥ ( ABC )  Xác định đường cao khối chóp  Lập công thức tính thể tích khối chóp C 300 ( M B Bài giải ( SAB ) ∩ ( SAC ) = SA  ⇒ SA ⊥ ( ABC ) ( SAB ) ⊥ ( ABC )  ( SAC ) ⊥ ( ABC ) VS ABC = SA.S ABC Thể tích khối chóp S.ABC: 29 Trong tam giác ABC cạnh a , gọi M trung  Tính diện tích tam giác ABC  AM ⊥ BC  ⇒ a  AM = điểm BC  Diện tích tam giác ABC: S∆ABC = a2 AM BC = Tính độ dài đường cao SA SA ⊥ ( ABC ) ⇒ AB  Tính thể tích khối chóp S.ABC (ABC) ⇒ góc SB (ABC) SBA = 30 hình chiếu vuông góc SB · Tam giác SAB vuông A: VS ABC a3 = SA.S ABC = 12 SA = AB.tan 300 = a (đvtt) Bài tập áp dụng Đề Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh C, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy Biết SA = a, SB = a , với < a ∈¡ Đáp án VS ABC = a3 VS ABC = a3 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , với < a ∈ ¡ , mặt bên SBC tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABC) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Biết AB = a ,với < a ∈¡ cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SC tạo với mặt 0 phẳng đáy góc 45 tạo với mặt phẳng (SAB) góc 30 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a VS ABCD = a3 Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân đỉnh B, AC = a , với < a ∈ ¡ , ·ABC = 1200 Biết SA = SB = SC , cạnh bên SA tạo với mặt đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a VS ABC = a3 (Hướng dẫn: Gọi H hình chiếu vuông góc đỉnh S (ABC), SA = SB = SC nên OA = OB = OC ) 30 Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a , AC = 2a với < a ∈ ¡ , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , với < a ∈ ¡ Hình chiếu vuông góc H đỉnh S điểm thuộc BD cho HD = 3HB Góc cạnh bên SC với mặt đáy 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a , AC = 7a với < a ∈¡ VS ABC = VS ABCD = a3 a3 30 12 , mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo với mặt đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , với < a ∈ ¡ , mặt bên (SAB) tạo với mặt đáy góc 900, mặt bên lại VS ABC = 8a 3 VS ABC = a3 32 tạo với đáy góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AD = a ,với < a ∈ ¡ Trên cạnh AB lấy điểm M cho AM = AB = 2a , a , cạnh AC cắt VS HCD = 4a 15 VS ABC = a3 12 MD H Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.HCD theo a Bài 10 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, biết BC = a ,với < a ∈ ¡ , mặt bên (SAC) vuông góc với mặt đáy, mặt bên lại tạo với đáy góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Bài 11 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, biết a 70 AB = 2a, AC = a, SC = ,với < a ∈¡ Hình chiếu đỉnh S lên mặt phẳng VS ABC = 2a 15 (ABC) trung điểm cạnh AB Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a 31 Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D, AB = AD = 2a , CD = a ,với < a ∈¡ Góc hai mặt phẳng (SBC) VS ABCD = (ABCD) 60 ,Gọi I trung điểm AD Hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với mặt đáy ABCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo 3a 15 a IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Thông qua dạng tập trên, em dần chủ động việc đọc phân tích nội dung đề bài, biết xác định đường cao khối chóp, biết dựng hình trình bày toán tính thể tích khối chóp dạng Bằng bước thực cụ thể, em bớt lúng túng xếp ý tưởng để trình bày giải, giúp em bước phát triển khả lập luận cách có hệ thống trước vấn đề đặt Thật vậy, tiết ôn tập cuối học kỳ I cuối năm học, đặc biệt trình ôn tập chuẩn bị cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia năm 2015 em cảm thấy an tâm, tự tin giải toán tính thể tích khối chóp toán liên quan đến tính thể tích khối đa diện Qua khảo sát, nhìn chung em biết vận dụng linh hoạt, biết nhận biết vấn đề định hướng cách giải cho dạng tập Với cách làm cụ thể chi tiết này, học sinh có lực học trung bình – yếu tiếp thu nội dung toán tính thể tích khối chóp Trong năm học 2014 – 2015, đề tài: “Rèn luyện kỹ tính thể tích khối chóp” tiến hành khảo sát ba lần, cụ thể sau: Khảo sát lần Thời gian: ngày 09 tháng năm 2014 Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp 12A10 12A12 năm học 2014 - 2015 Đề khảo sát : Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 3a , cạnh bên với 2a < a ∈¡ a) Tính diện tích tam giác ABC b) Tính khoảng cách tử S đến mặt phẳng (ABC) Kết khảo sát Lớp Giỏi Sĩ số Khá SL % SL % Trung bình SL % Yếu SL % Kém SL % 12A10 12A12 39 40 5.1 7.5 10.3 15.0 19 22 48.7 55.0 20.5 12.5 15.4 10.0 Cộng 79 6.3 10 12.7 41 51.9 13 16.4 10 12.7 Nhận xét :  Rất nhiều học sinh không nhận biết hình chóp nên vẽ hình sai  Lúng túng việc tính diện tích tam giác  Không xác định khoảng cách tử S đến mặt phẳng (ABC) Khảo sát lần Thời gian: ngày 02 tháng 12 năm 2014 32 Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp 12A10 12A12 năm học 2014 - 2015 Đề khảo sát : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a , với < a ∈¡ , cạnh bên tạo với mặt đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Kết khảo sát Giỏi Khá Trung bình SL % Yếu Kém SL % Lớp Sĩ số SL % SL % SL % 12A10 12A12 38 40 5.3 7.5 15.8 17.5 23 24 60.5 60.0 13.1 10.0 2 5.3 5.0 Cộng 78 6.4 13 16.7 47 60.3 11.5 5.1 Nhận xét :  Nhận biết hình chóp đều, nhiên lúng túng việc dựng đường cao khối chóp  Còn hạn chế việc xác định góc đường thẳng mặt phẳng  Trình bày toán tính thể tích chưa chặt chẽ, cần góp ý bổ sung nhiều Khảo sát lần Thời gian: ngày 16 tháng năm 2015 Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp 12A10 12A12 năm học 2014 - 2015 Đề khảo sát: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông a , với < a ∈¡ , cạnh bên SB vuông góc với đáy cạnh bên SC tạo với mặt đáy góc 60 a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) Kết khảo sát Giỏi Khá Trung bình SL % Yếu Kém SL % Lớp Sĩ số SL % SL % SL % 12A10 12A12 38 40 10.5 15.0 13 16 34.2 40.0 19 17 50.0 42.5 5.3 2.5 0 0.0 0.0 Cộng 78 10 12.8 29 37.2 36 46.2 3.8 0.0 Nhận xét :  Đã khắc phục hạn chế việc nhận dạng hình chóp vẽ hình  Trình bày hoàn thiện toán tính thể tích khối chóp  Đa số biết tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Tuy kết khiêm tốn, chưa thật mong đợi; với trách nhiệm lo lắng người thầy, chừng mực định cảm thấy an tâm học trò biết chủ động, vận dụng linh hoạt kiến thức hình học để giải toán liên quan đến tính thể tích khối chóp nói riêng tính thể tích khối đa diện nói chung, giúp em tự tin ôn tập, chuẩn bị bước vào kỳ thi trung học phổ thông quốc gia năm 2015 tổ chức vào đầu tháng tới V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Để giúp học sinh học tốt môn toán, qua thực tế giảng dạy thông qua việc hướng dẫn học sinh làm quen với dạng toán tính thể tích khối chóp, đề xuất số ý kiến sau: 33 Giáo viên cần hướng dẫn học sinh phát huy khả quan sát, bởi vì toán học quan sát có hai mục đích: thứ thu nhận kiến thức mới, thứ hai vận dụng kiến thức để giải tập Việc vận dụng công nghệ thông tin vào dạy tiết hình học cần thiết cần có chọn lọc hợp lí Mỗi dựng hình, cần nhắc nhở học sinh ý thao tác mối liên hệ thao tác nhằm bước nâng cao lực nhận thức trước vấn đề dù đơn giản hay phức tạp Bồi dưỡng cho học sinh thói quen tính toán xác Thể qua nội dung : đọc kỹ đề, tính toán tỉ mỉ, xác định điểm, các đỉnh , đường cao khối chóp hợp lý, kiên trì kiểm tra lại kết trình bày toán cách lôgích Học sinh cần có chuẩn bị trước đến lớp Bởi chuẩn bị học sinh có dịp làm quen với kiến thức mới, quy luật nhận thức người lần hoàn thành, mà phải qua tiến trình: từ đến biết, từ đơn giản đến phức tạp Chuẩn bị giúp học sinh xác định ý cần ý học lớp, làm sở đề xuất ý kiến với giáo viên vướng mắc có liên quan đến học KẾT LUẬN: Tôi nghĩ : tiến thành đạt học sinh mong ước, nguồn động viên tích cực người thầy Qua trình nghiên cứu vận dụng đề tài vào thực tế giảng dạy, nhận thấy nội dung, phương pháp chuyên đề thực giúp ích cho em nhiều, tạo điều kiện cho em chủ động giải tập liên quan đến tính thể tích khối đa diện nói chung tính thể tích khối chóp nói riêng Rất mong nhận nhiều góp ý, sẻ chia quý đồng nghiệp VI TÀI LIỆU THAM KHẢO  Hình học 11 ( sách giáo khoa ) - Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), NXB Giáo dục, 2008  Hình học 11 ( sách giáo viên ) - Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), NXB Giáo dục, 2008  Hình học 12 ( sách giáo khoa ) - Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), NXB Giáo dục, 2008  Hình học 12 ( sách giáo viên ) - Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), NXB Giáo dục, 2008  Làm để học tốt môn Toán - Đào Văn Trung, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2001  Hướng dẫn ôn tập kì thi trung học phổ thông quốc gia năm học 2014-2015, môn Toán, Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Doãn Minh Cường, Nguyễn khắc Minh, Phạm Đức Tài – NXB Giáo dục, 2015 34 NGƯỜI THỰC HIỆN : Nguyễn Thanh Lam MỤC LỤC  Trang I Lý chọn đề tài II Cơ sở lý luận thực tiễn .2 Cơ sở lí luận 2 Thực trạng trước thực giải pháp đề tài III Tổ chức thực giải pháp Phần một: Hệ thống kiến thức liên quan đến toán tính thể tích khối chóp Phần hai: Thực toán tính thể tích khối chóp .7 Khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy .7 Bài toán Bài toán Bài toán Bài toán Bài toán Bài toán 10 Bài toán 11 Bài toán 12 Bài toán 12 35 Bài toán 10 13 Khối chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy 14 Bài toán 11 14 Bài toán 12 14 Bài toán 13 15 Bài toán 14 16 Bài toán 15 16 Bài toán 16 17 Khối chóp 18 Bài toán 17 18 Bài toán 18 18 Bài toán 19 19 Bài toán 20 19 Một số dạng khác 20 Bài toán 21 20 Bài toán 22 21 Bài toán 23 22 Bài toán 24 22 Bài toán 25 23 Bài toán 26 24 Bài tập áp dụng .25 IV Hiệu đề tài 26 V Đề xuất, khuyến nghị khả áp dụng 28 VI Tài liệu tham khảo .29 36