Tuyển tập 50 đề thi HSG toán lớp 9 (Có đáp án chi tiết)

Tuyển tập 50 đề thi HSG toán lớp 9 Tuyển tập 50 đề thi HSG toán lớp 9 Tuyển tập 50 đề thi HSG toán lớp 9 Tuyển tập 50 đề thi HSG toán lớp 9 Tuyển tập 50 đề thi HSG toán lớp 9 Tuyển tập 50 đề thi HSG toán lớp 9 Tuyển tập 50 đề thi HSG toán lớp 9 Tuyển tập 50 đề thi HSG toán lớp 9 Tuyển tập 50 đề thi HSG toán lớp 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS

BÌNH ĐỊNH KHOÁ NGÀY 18 – 3 – 2016

Đề chính thức Môn thi: TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 18/3/2016

2 1

x x

x x

a) Đặt AH =x Tính diện tích S của tam giác AHK theo R và x.Tìm x sao cho S đạt giá trị lớn nhất

5

AH

HK 

2 Một đường thẳng d thay đổi cắt hai cạnh Ox, Oy của một góc nhọn xOy lần lượt

thẳng d luôn đi qua một điểm cố định

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS

BÌNH ĐỊNH KHOÁ NGÀY: 18 – 3 – 2016

ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

(Bản hướng dẫn này có 03 trang)

y y

x

y y

2(3)2()42(

y y y y y

1

; 0

y x

y x

2 1

x x

x x

32 1

2 1

x x

x x

a b

3 Đặt: b c a  2 ; x c  a b 2 ; y a b c  2z

Vì trong tam giác tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại nên x, y, z >0 0,5

Bài Nội dung Điểm

Dấu ―=‖ xảy ra 3;

2

y x

24

A

C

K H

Bài Nội dung Điểm

4.2

OM ON  nên OM>1 Trên tia Ox lấy điểm D thoả OD=1 thì D nằm giữa hai

điểm O, M

Qua D kẻ đường thẳng song song với Oy cắt d tại I

Trên tia Oy lấy điểm E thoả OE=ID

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

2 Chứng minh với mọi số nguyên dương n lớn hơn 1 ta có 2 3 4 n1 n 3

Câu 4 (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có ABAC, nội tiếp đường tròn  O và ngoại tiếp đường tròn  I Điểm D thuộc cạnh AC sao cho ABD ACB Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DIC tại điểm thứ hai là E và cắt đường tròn  O tại điểm thứ hai là Q Đường thẳng đi qua E và

song song với AB cắt BD tại P

1 Chứng minh tam giác QBI cân;

2 Chứng minh BP BI BE BQ ;

3 Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, K là trung điểm của JE Chứng minh PK/ /JB

Câu 5 (2,0 điểm) Cho một lớp học có 35 học sinh, các học sinh này tổ chức một số câu lạc bộ môn

học Mỗi học sinh tham gia đúng một câu lạc bộ Nếu chọn ra 10 học sinh bất kì thì luôn có ít nhất 3 học sinh tham gia cùng một câu lạc bộ Chứng minh có một câu lạc bộ gồm ít nhất 9 học sinh

-Hết -Họ và tên thí sinh:……… -Hết -Họ, tên chữ ký GT1:………

Số báo danh:……… Họ, tên chữ ký GT2:………

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Suy ra

 11 1  11 1  11 1  1 13 1

x y z S

x x

x x

x x

x x

(1,0) Chứng minh với mọi số nguyên dương n lớn hơn 1 ta có 2 3 4 n1 n 3

Với mỗi số nguyên dương k ta có 2  2    

Cho tam giác nhọn ABC có AB AC , nội tiếp đường tròn  O và ngoại tiếp đường

tròn  I Điểm D thuộc cạnh AC sao cho ABD ACB Đường thẳng AI cắt đường

tròn ngoại tiếp tam giác DIC tại điểm thứ hai là E và cắt đường tròn  O tại điểm thứ

hai là Q Đường thẳng đi qua E và song song với AB cắt BD tại P

4 Chứng minh tam giác QBI cân;

5 Chứng minh BP BI BE BQ ;

6 Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, K là trung điểm của JE Chứng minh

/ /

PK JB

4.1

(2,0) Ta có AI là phân giác của BAC nên Q là điểm chính giữa của cung BC của (O)

Suy ra BAQQAC QBC

0,5

Ta có

2

BAC AEPBAE (hai góc so le trong),

suy ra

2

ABC BAC BEP 

0,5

K

H J

Q O P

Theo a) ta có

2

BAC ABC

Suy ra hai tam giác PBE và QBI đồng dạng, suy ra BP BE BP BI BE BQ

và PH BE với H là trung điểm của BE

2

BAC ABC DBE 

, suy ra JBE90o hay JB vuông góc BE

0,75

Suy ra PH//JB, suy ra P, H, K thẳng hàng hay PK//JB 0,25

5

(2,0)

Cho một lớp học có 35 học sinh, các học sinh này tổ chức một số câu lạc bộ môn học

Mỗi học sinh tham gia đúng một câu lạc bộ Nếu chọn ra 10 học sinh bất kì thì luôn

có ít nhất 3 học sinh tham gia cùng một câu lạc bộ Chứng minh có một câu lạc bộ

gồm ít nhất 9 học sinh

Giả sử tất cả các câu lạc bộ đều có không quá 8 học sinh

Gọi N là số câu lạc bộ có hơn 1 học sinh

Nếu N 4 , từ 5 trong số các câu lạc bộ này, chọn mỗi câu lạc bộ 2 học sinh, khi đó 10

học sinh này không thỏa mãn điều kiện bài toán

0,5

Nếu N<4 , khi đó số học sinh tham gia các câu lạc bộ này không quá 3.8 24 , nghĩa là

còn ít nhất 35 24 11  học sinh, mỗi học sinh tham gia 1 câu lạc bộ mà câu lạc bộ này

chỉ có 1 học sinh Chọn 10 học sinh trong số này, không thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy N=4

0,5

Số học sinh tham gia 4 câu lạc bộ này không quá 4.8 32 , nghĩa là còn ít nhất 3 học

sinh, mỗi học sinh tham gia 1 câu lạc bộ mà câu lạc bộ này chỉ có 1 học sinh

0,5

Chọn 2 trong số học sinh này và mỗi câu lạc bộ trên chọn 2 học sinh, khi đó 10 học sinh

không thỏa mãn điều kiện

0,25

Vậy điều giả sử sai, nghĩa là tồn tại một câu lạc bộ có ít nhất 9 học sinh tham gia 0,25

Ghi chú: Các cách giải khác với đáp án mà đúng và phù hợp với chương trình, thì giám khảo

thống nhất chia điểm thành phần tương ứng

-HẾT -SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS

NĂM HỌC 2015 – 2016

Môn thi: TOÁN - BẢNG A

Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (3 điểm)

; 20152; 20142; ; 19992 gam thành ba nhóm

có khối lượng bằng nhau (không được chia nhỏ các vật đó)

EA  EB có giá trị nhỏ nhất

Câu 5 (2 điểm)

Tìm hình vuông có kích thước nhỏ nhất để trong hình vuông đó có thể sắp xếp được 5 hình tròn có bán kính bằng 1 sao cho không có hai hình tròn bất kì nào trong chúng có điểm trong chung

- HẾT -

Đề chính thức

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS

NĂM HỌC 2015 – 2016

Môn thi: TOÁN - BẢNG A

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Hướng dẫn chấm thi gồm 04 trang

Câu 1 (3 điểm)

a Chia 18 vật có khối lượng 20162

; 20152; 20142; .; 19992 gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau (không được chia nhỏ các vật đó)

b Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3x + 171 = y2

Lần thứ hai, chia 6 vật có khối lượng 2005 2

, , 20102 thành ba phần: B+25, B+17, B+13 Lần thứ ba, chia 6 vật có khối lượng 2011 2

, , 20162 thành ba phần: C+25, C+17, C+13

0,5

Lúc này ta chia thành các nhóm như sau: Nhóm thứ nhất A+25, B+17, C+13;

nhóm thứ hai B+25, C+17, A+13; nhóm thứ ba C+25, A+17, B+13 Khối

lượng của mỗi nhóm đều bằng A + B + C + 55 gam

0,25

Nếu x – 2 = 2k + 1 là số lẻ thì 3 2k + 1

+ 19 = (32k + 1 + 1) + 18 = 4.B + 18 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên không thể là số chính phương

z z

x y

x y

x y

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm (O).Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B

là các tiếp điểm) Cát tuyến MPQ không đi qua O (P nằm giữa M, Q) Gọi H là giao điểm của OM

và AB

a Chứng minh HPO HQO

b Tìm điểm E thuộc cung lớn AB sao cho tổng 1 1

MPA đồng dạng MAQ (g.g), suy ra MA2 = MP.MQ (1) 0,75

MAO vuông tại A, có đường cao AH nên MA2

Từ (1) và (2) suy ra MP.MQ = MH.MO hay MP MO

MPH và MOQ có góc M chung kết hợp với (*) ta suy ra MPH đồng

Do đó tứ giác PQOH là tứ giác nội tiếp  HPOHQO= 1

BAO O‘EB =O‘EF (c.g.c) suy ra O‘B = O‘F (4) 0,5

Từ (3) và (4) suy ra O‘ là tâm cung chứa góc

2

dựng trên đoạn thẳng BC

(cung đó và cung lớn AB cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB)

0,5

Do đó AF lớn nhất khi nó là đường kính của (O‘) khi E  O‘ (***) 0,25

Từ (**) và (***) suy ra E là điểm chính giữa cung lớn AB thì 1 1

EAEB có giá trị nhỏ nhất

B Q

O'

F

E

5

(2,0) 2,0

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD cạnh là a > 2 chứa 5 hình tròn bán kính

bằng 1 sao cho không có hai hình tròn nào trong chúng có điểm trong chung

Suy ra tâm của các hình tròn này nằm trong hình vuông MNPQ tâm O cạnh là

(a-2) và MN // AB Các đường trung bình của hình vuông MNPQ chia hình

vuông này thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau

0,75

Theo nguyên lí Dirichle tồn tại một hình vuông nhỏ chứa ít nhất 2 trong 5 tâm

của các hình tròn nói trên, chẳng hạn đó là O1 và O2 0,5

Do 5 hình tròn này không có hai hình tròn nào có điểm trong chung nên O1O2

Mặt khác O1O2 cùng nằm trong một hình vuông nhỏ có cạnh là 2

2

a nên

1 2

2 22

0,5 Vậy hình vuông ABCD có cạnh ( 2 2 2 ) thỏa mãn yêu cầu bài toán 0,25

20.00

Lưu ý: 1 Nếu học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng cho câu đó,

2 Riêng câu 4, học sinh không vẽ hình hay vẽ hình sai thì không chấm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

Năm học 2013 – 2014 Môn thi : TOÁN

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 – 14n – 256 là một số chính phương

b) Cho a là số tự nhiên lớn hơn 5 và không chia hết cho 5

Chứng minh rằng a8n  3a4n  4 chia hết cho 5, với mọi số tự nhiên n

a) Cho hình bình hành ABCD, các điểm M và N theo thứ tự thuộc các cạnh AB và BC sao cho AN

= CM Gọi K là giao điểm của AN và CM Chứng minh rằng KD là tia phân giác của góc AKC

b) Cho ∆ABC vuông ở A (AB < AC) Biết BC = 4  4 3 và bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC bằng 2 Tính số đo góc B và góc C của ∆ABC

Câu 5 (3 điểm).

Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O Trên cạnh BC lấy một điểm D tùy ý (D khác B và C) Đường tròn tâm O1 qua D và tiếp xúc với AB tại B; đường tròn tâm O2 qua D và tiếp xúc với AC tại C; hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là E

a) Chứng minh rằng khi D di động trên cạnh BC thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định b) Giả sử ∆ABC cân tại A, chứng minh rằng tích AD.AE không phụ thuộc vào vị trí điểm D trên

cạnh BC

-HẾT -

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

Năm học 2013 – 2014

MÔN: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC

0,250,250,25 0,25

Câu Nội dung Điểm

0,25

0,250,250,250,25

Câu Nội dung Điểm

Ta có hệ sau :

2 2

0,25

0,250,25

Thay z = –2 vào phương trình (1) ta được: X2 – 4X + 4 = 0 (2)

Giải phương trình (2) được nghiệm X1 = X2 = 2  x = y = 2

Vậy hệ đã cho có nghiệm: x = 2, y = 2, z = –2

0,25

0,25

0,250,250,25

0,25

0,250,25

abc + a2 + b2 + c2 + 1 + 2a + 2b + 2c + 2ab + 2ab + 2bc ≥ 0

 abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 0

0,250,25 0,250,25

0,250,25 0,25

0,25

Câu Nội dung Điểm

0,25 0,25

0,250,25

0,250,250,25

Câu Nội dung Điểm

a) Kéo dài ED cắt (O) tại I

AB là tiếp tuyến của (O1)  ABD  BED

AC là tiếp tuyến của (O2)  ACD  CED

 Tứ giác ABEC nội tiếp (O)

 AI//BC  I cố định

Vậy DE luôn đi qua điểm cố định I

0,25 0,25 0,25

0,250,250,25

b) Ta có: AB  IC (vì AI//BC)

∆ABC cân tại A AB  AC

 AC  IC   I A

 A, D, E thẳng hàng

 AD.AE = AB2 (vì ∆ABE ∆ADB)

 AD.AE không phụ thuộc vào vị trí của điểm D trên cạnh BC

0,250,250,250,25 0,25 0,25

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

HẢI PHÕNG

(Đề thi gồm 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

CẤP THCS NĂM HỌC 2015 - 2016

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi 12/ 4/ 2016

Bài 1 (2,0 điểm)

b) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:

1 Cho tam giác ABC cân tại A ( ), vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với hai cạnh

AB, AC lần lượt tại điểm B, điểm C Trên cung BC của (O) nằm trong tam giác ABC lấy một điểm M Gọi I; H; K theo thứ tự là hình chiếu của điểm M trên BC; CA; AB và P

là giao điểm của MB với IK, Q là giao điểm của MC với IH Gọi (O1) và (O2 ) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp MPK và MQH Gọi D là trung điểm của đoạn BC; N là giao điểm thứ hai của (O1) và (O2) Chứng minh:

a) PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1) và (O2 )

b) ba điểm M, N, D thẳng hàng

2 Trên dây cung AB của (O) (AB không đi qua tâm O) lấy hai điểm P và Q sao cho AP

= PQ = QB Vẽ bán kính OK, OH thứ tự qua điểm P và điểm Q Chứng minh

Bài 5 (1,0 điểm)

Cho 2017 đường thẳng phân biệt đều cắt hai cạnh đối của một hình vuông thành hai phần có tỉ số diện tích là 1:2 Chứng minh rằng trong 2017 đường thẳng trên có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy

-Hết -

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1: Giám thị 2:

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

- Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng thì cho điểm tối đa

- Tổng điểm bài thi: 10 điểm

Bài 1

(2 điểm)

1a) (1,0 điểm) + Đặt u = 3 20 14 2 ; v = 3 20 14 2

1b) (1,0 điểm)

Ta có x  y z xyz  4 4(x  y z) 4 xyz 16 0,25 đKhi đó ta có: x(4 y)(4 z)   x(164y4zyz)

 x(yz4 xyz4x)  x ( yz2 x )2  xyz2x (1)

0,25 đ

Hệ đã cho đương đương với

2 2

2 2

y 2x 3 0 (1)(I)

xz y2016y 2015z

2sđ CM) PIQICMIBM

Hai tia QP; QH nằm khác phía đối với QM

 PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O2) tại tiếp điểm Q (1)

Tương tự ta có:

PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O1) tại tiếp điểm P (2)

Từ (1) và (2)  PQ là tiếp tuyến chung của đường tròn (O1) và (O2)

0,25 đ

4.1b (1,0 điểm)

Gọi E; D‘lần lượt là giao điểm của NM với PQ và BC

Ta có PE2 EM.EN(vì PEM NEP)

QE2  EM.EN(vì QEM NEQ)

0,5 đ

1

1 1

H K

Gọi MN; EF là đường nối trung điểm

hai cạnh đối của hình vuông (hình vẽ)

Lập luận tương tự ta tìm được các điểm H; J; K cố định (hình vẽ) 0,25 đ

Có 4 điểm cố định mà có 2017 đường thẳng đi qua nên theo nguyên lý

Đirichlet ít nhất phải có 505 đường thẳng đồng quy 0,25 đ

- Hết

-Q P

O

N

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2015-2016

Khóa ngày 23 tháng 3 năm 2016

Môn thi: TOÁN

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I), AI cắt (O) tại M

(khác A), Jlà điểm đối xứng với Iqua M Gọi N là điểm chính giữa của cung ABM, NIvà NJ

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2015-2016

Khóa ngày 23 tháng 3 năm 2016

Môn thi: TOÁN

LỚP 9

Đáp án này gồm có 04 trang

YÊU CẦU CHUNG

* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lôgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng

* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau

có liên quan Ở câu 3 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0

* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm

* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài

* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài

Dấu ‗=‘ xãy ra khi và chỉ khi 1 0 1

a Cho phương trình: 2 x2  2 mx  m2   2 0 (tham số m) Tìm m để

phương trình có hai nghiệm x , x1 2 thỏa mãn | 2 x x1 2   x1 x2   4 | 6 1,50

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I), AI cắt

(O) tại M(khác A), Jlà điểm đối xứng với Iqua M Gọi Nlà điểm chính

giữa của cung ABM, NIvà NJ lần lượt cắt (O) tại E và F

a Chứng minh MI  MB Từ đó suy ra BIJ và CIJ là các tam giác vuông

   

A B MIB IAB IBA (2) (tính chất góc ngoài tam giác) 0,25

Từ (1) và (2) suy ra tam giác MBI cân tại M, do đó MI = MB

5

Từ (1) và (2) suy ra M  1

Dấu ‗=‘ xãy ra khi a   b 1

Vậy giá trị lớn nhất của M bằng 1 khi a   b 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH

TỈNH PHÖ YÊN LỚP 9 THCS, NĂM HỌC 2015-2016

Môn TOÁN Ngày thi : 02/3/2016

Thời gian : 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4,00 điểm) Cho biểu thức:

1

21

3)(

1(

11

a a

a a

a

a a a a

a a p

a) Rút gọn biểu thức P

b) Chứng minh rằng với mọi giái trị của a (thỏa điều kiện thích hợp) ta đều có P>6

Câu 2.(4.50 điểm) Giải phương trình 4x25x12 x2x19x3

Câu 3 (4,00 điểm) Cho ba số không âm x,y,z thỏa mãn 2

21

12

1

12

minh rằng AC vuông góc với MN

Câu 5 (5.00 điểm) Cho tam giac ABC nội tiếp đường tròn tâm O,G là trọng tâm.Tiếp tuyến tại B

của (O) cắt CG tại M.Tiếp tuyến tại C của (O) cắt BG tại N.Gọi X, theo thứ tự là giao điểm của

CN ,AN và đường thẳng qua B song song với AC; ,T theo thứ tự là giao điểm của BM,AM và đường thẳng qua C song song với AB Chứng minh rằng :

a) AB.CZ = AC.BX

b) M AˆB N AˆC

-Hết -

Thí sinh không sử dụng tài iệu.Giám thị không giải thích gì thêm

1(

11

a a

a a

a

a a a a

a a p

a) Rút gọn biểu thức P

4

22

2222

)1(

22

)1)(

1(

)1(

2.)1)(

1(2

)1)(

1(

222.1)

1(

)1(

)1)(

1(

2233.1)

1(

)1)(

1()

1(

)1)(

1(

)

)1)(

1(

)1)(

2()1)(

1(

)1(3)(

1(

)1(

1)

1(

a

a a a

a

a a

a a

a a a

a a

a a

a a

a a a

a a

a a a

a a

a a

a a a

a a a

a a

a

a a a a

a

a a a

a a

a a a

a

a a a

a a

a

a a

a

a p

b) Chứng minh rằng với mọi giái trị của a (thỏa điều kiện thích hợp) ta đều có P>6

Ta có 2  2 2 2 2 4

a

a a

154)(

3

9

(

)12

154)(

39

(

3

9

)12

154)(

39()12

154)(

12

15

4

(

.3912

1

5

4

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

x x

x x x

x x

x

x x x

x x

x x x

x x

x x

x

x x

x x

x

Ta dễ chứng minh được phương trình 4x2 5x12 x2 x11= 0 vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

3

1



x

Câu 3 (4,00 điểm) Cho ba số không âm x,y,z thỏa mãn 2.

21

12

1

12

21(

42

21

22

1

22

1

1121

1121

1

z y

yz z

z y

y z

y

Tương tự ta có :

)21)(

21(

42

21

1,)21)(

21(

42

21

1

y x

xy z

z x

641

)21)(

21)(

21(

8

8)21)(

21)(

21(

1

)21()21()21(

64

821

1.21

1.21

1

2 2

2

2 2 2

z y

x

xyz z

y x

z y

x

z y x z

y x

Câu 4 (2.50 điểm) Cho hình bình hành ABCD có Aˆ900 Dựng các tam giác vuông cân tại A là BAM và DAN (B và N cùng nửa mặt phẳng bờ AD, D và M cùng nửa mặt phẳng bờ AB) Chứng

minh rằng AC vuông góc với MN

Gọi H à giao điểm của MN và AC

Ta có :

v D A B M A

N

v M A D D A B D A B B A

N

v M A B D

A

N

2ˆˆ

2ˆˆ

ˆˆ

2ˆˆ

Do đó hai tam giác bằng nhau

Suy ra : B AˆC A MˆN(Hai góc tương ứng)

Trong tam giác AHM có góc AMN +góc MAH =góc BAC + góc HAM=góc BAM = 900 Vậy : góc AHM = 900.Hay AC vuông góc với MN (đpcm)

Câu 5 (5.00 điểm) Cho tam giac ABC nội tiếp đường tròn tâm O,G là trọng tâm.Tiếp tuyến tại B

của (O) cắt CG tại M.Tiếp tuyến tại C của (O) cắt BG tại N.Gọi X, theo thứ tự là giao điểm của

CN ,AN và đường thẳng qua B song song với AC; ,T theo thứ tự là giao điểm của BM,AM và đường thẳng qua C song song với AB Chứng minh rằng :

a) AB.CZ = AC.BX

b) M AˆB N AˆC

Xét tam giác BZC và tam giác ACB ta có : Góc CBZ = Góc BAC ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tt và dây cùng chắn 1 cung)

Góc BCZ = Góc ABC ( so le trong ,AB//CX)

Nên tam giác BZC đồng dạng với tam giác ACB (g-g)

=>

AB

BC BC

CZ AC

BZ

BC AC

AB 



=> AB.CZ= BC.BC (1) Tương tự tam giác ABC đồng dạng với tam giác CXB (g-g)

CB

AC BX

BC CX

AB  



CB

AC BX

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÖ THỌ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

Lớp 9 THCS năm học 2014-2015

Môn Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề thi có 01 trang

-

Câu 1 (3,0 điểm)

a)Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x2  y2 xyx y2

b) Chứng minh rằng với ba số tự nhiên a,b,c trong đó có đúng một số lẻ và hai số chẵn ta

c b a a c b c b a c b

111

2 2

2 2

2016

12014

11

5

13

114

12

113

11

4

1211

2 2

2 2

y x y x

xy x

y y x

Câu 4 (7,0 điểm)

Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O; R) ,( BC<2R),A là điểm di động trên cung lớn BC,( A không trùng B,C) Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC;EF cắt BC tại P ,qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt AC tại Q và cắt AB tại R

a) Chứng minh tứ giác BQCR là tứ giác nội tiếp

b) Gọi M là trung điểm cạnh BC Chứng minh hai tam giác EPM,và DEM là hai tam giác đồng dạng

c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định

y yz

3

- Hết -

ĐỀ CHÍNH THỨC