BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN LỜI NÓI ĐẦU: Trong năm gần với phát triển Toán học, người yêu Toán tìm nhiều phương pháp giải hay toán hay không kèm cho mạch toán bất đẳng thức Trong bất đẳng thức có điều kiện có hội nở rộ Câu hỏi lại thể để dành cho bạn trả lời sau thực yêu bất đẳng thức Trong kỳ thi tuyển sinh Đại Học – Cao Đẳng gần bất đẳng thức bất đẳng thức có điều kiện Từ thực tế viết chuyên đề nhỏ nhằm hình thành hoàn thiện phương pháp hoàn thiện hệ thống tập dạng để em học tập tốt NỘI DUNG CHÍNH Chương I Trước hết chương trình thi Đại Học sử dụng hai BĐT BĐT Côsi (AM - GM) cho 2, số không âm BĐT Bunhiacopxki (Cauchy Schwarz) cho cặp số BĐT AM-GM: BĐT C-S Dạng Các biến thoả mãn đẳng thức: Cơ sở lý luận: Trong làm tập bất đẳng thức em thường mắc sai lầm thực liên tiếp bước đánh giá dấu “=”ở bước không Do dấu “=”ở bước cuối Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN hàm số f ( x) = sin x + 3cosx Một lời giải sai lầm: π Chúng ta xét khoảng 0; , ta có: sin x ≤ sinx 2 Suy ra: f ( x) ≤ sinx + 3cosx ≤ 12 + Vậy, Maxf(x) = ( 3) =2 (1) (2) Nhận xét: Hàm số nhận GTLN ta phải có dấu (1) (2) x = sinx=1 x = π thoả mãn: π ⇔ , hệ vô nghiệm sin x+ ÷ ≤ π x = * Đến ta có đặt câu hỏi tự nhiên Tại không nhẫm đoán dấu xảy đâu để không sai lầm Phương pháp giải: Bài ĐH 2003_A Cho số dương x, y, z thoả mãn: x + y + z =1 Chứng minh rằng: x2 + 1 + y + + z + ≥ 82 x y z Giải Phân tích toán: Ta thấy biểu thức dấu có dạng m + n nên ta nghĩ đến BĐT Bunhiacôpki, độ dài vectơ Cách Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki phải có dạng (a + b )(m + n ) , ta có m = x; n = , a, b x 2 Ta thấy (a + b )( x + xảy x = y = z = 82( x + a a ) ≥ ( +bx) = bx Với dự đoán dấu , dấu “=”đạt x2 x x ta có: 9a = b từ chọn a = 1; b = 1 9 = (12 + 92 ) x + ÷ ≥ x + ÷, tương tự với hai biến lại ta có: x x x 82.P ≥ x + y + z + 81 x+ y+z (*) Đặt x + y + z = t, khảo sát hàm f (t ) = t + 81 ta có f (t ) ≥ 82 từ suy điều t phải chứng minh Dấu “=” có x = y = z = * Sai lầm dấu “=”có thể có (*)> Nếu áp dụng BĐT Cô si ta có t + 81 ≥ 18 t dẫn đến sai lầm Bài ĐH 2005_A Cho x, y, z > 0, * Tổng quát: 1 + + = CM: x y z 1 + + ≤1 2x + y + z x + y + z x + y + 2z 1 1 1 + + = M , CMR: + + ≤? x y z kx + y + z x + ky + z x + y + kz Bài (T3 Old or New) Cho số thực dương thoả mãn: xyz = CMR b+c c+a a+b + + ≤ a + b + c +3 a b c Bài Cho a, b, c, x, y, z số thực dương thoả mãn: x + y + z = CMR: ax+by+cz+2 (ab+bc+ca)(xy+yz+zx) ≤ a + b + c Bài Cho a, b, c số thực dương thoả abc = CMR: a + b3 + c3 ≥ a b + c + b c + a + c a + b 1+ ≥ a + b + c ab + bc + ca Bài Cho ba số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c + abc = 1 abc ≤ a + b + c ≤ ab + bc + ca ≤ 3 ab + bc + ca ≤ ≤ a + b2 + c + 2abc Bài Cho số thực thoả mãn x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = chứng minh rằng: | cosx1 | + | cosx | + | cosx | + | cosx | + | cosx |≥ Bài Cho số dương thoả mãn x + y + z = xyz CMR: xy + yz+ zx ≥ 3+ x + + y + + z + Bài Cho a, b, c > thoả mãn a + b + c = CMR: a + b b2 + c c2 + a + + ≥2 b+c c+a a+b Bài 10 Cho số x, y, z > thoả mãn x + y + z = xyz : xyz ≥ 27 xy + yz + zx ≥ 27 x + y + z ≥ xy + yz + zx ≥ 2( x + y + z ) + Bài 11 Các số dương a, b, c thoả mãn xy + yz + zx + 2xyz = Chứng minh rằng: xyz ≤ x + y + z ≥ 3 1 + + ≥ 4( x + y + z ) x y z Bài 12 Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c = CMR: (2M_ 2008) a + bc b + ca c + ab + + ≤ c + ab a + bc b + ca abc Bài 13 Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 1, t ìm GTNN P biết: P= x y z xy xz zy + + − − − y z x z y x Bài 14 ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 1, t ìm GTLN P biết: P= xy 25 yz 16 yz + + + z + x + 26 x + y + x + y Bài 15 Cho x, y, z không âm thoả mãn: x + y + z = Tìm MinP, P = x + y + z + xyz Bài 16 Cho x, y z dương thoả mãn x + y + z = tìm giá trị nhỏ biểu thức: x3 y3 z3 P= + + x + yz y + zx z + xy