Những dạng toán cơ bản ôn thi THPT quốc gia môn toán

Giáo viên soạn: trần ngọc thắng ; x + lg(1 + x ) = x lg + lg b) lg( x + 8) = lg( x + 58) + lg( x + x + 4) c) log x + log x = log x ; a) CÁC BÀI TỐN VỀ MŨ VÀ LƠGARÍT: Bài I: 1) Giải phương trình sau: 8.3 x + 3.2 x = 24 + x b) 12.3 x + 3.15 x − x + = 20 a) ; 2(log x) = log x log ( x + − 1) 3 d) 2) Giải phương trình sau: ; 9.2 x = 32 x + x+5 x + 17 d) x − x − 32 = 0,25.128 c) a) b) c) (2 − ) + (2 + ) = 14 (5 − 21) + 7(5 + 21) = x x x x b) x +3 2 2 x + − 9.2 x + x + 2 x + = l) 2 (D- 03) x − x − 22 + x − x = (7 + ) ( ) ) ( ) x ; 3) Giải phương trình sau: ; ( a) log ( x + 2) = log x c) log ( x − 4) + x = log [8( x + 2)] ; e) x − + 16 = 10.2 x − x x ; b) log x = log + x ; (8 + )tgx + (8 − )tgx = 16 k) ( c) 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = e) x +1 + x + = x + + 16 g) 25 x + 10 x = 2 x +1 i) log (4 x + 4) = x − log (2 x + − 3) log − log 2.5 − = d) lg x − lg x log ( x ) + log x = 2 ; d) h) ; x 2) Giải phương trình sau: a) log 2 + log x = ; d) ) log ( x+1) =x log x   log  x +  = log x   Bài IV: ; 1) Giải bất phương trình sau: x a) −32− +2 = (4x ) − 16 x + log ( x − 3) > log ( x + 1) − log ( x + 1) >0 x − 3x − c) lg ( x − 1) > lg(5 − x ) + 1 log x < log 1 + x − d) 3 ; b) Bài II: 1) Giải bất phương trình sau: a) +1 1x 1x > 12   + 3   3 3 ; b) x +1 x+4 +2 ( x − x−1 ≥2 2) Giải bất phương trình sau: a) x −2 x 1 ≥  3 x− x−1 b) ( ) +1 x+1 ≥ ) x+2 + 16 [ 1) Giải phương trình sau: ( ; ) 2) Giải bất phương trình sau: a) log 22 x + log x − > (log x − 3) ; b) Bài III: ] log 22 x − log x + ≤ Giáo viên soạn: trần ngọc thắng log 32 x − log (8 x ) log x + log x < c) ; d) 8) log 22 x − log x − > 2(log x + 1) log x − dx ∫ x(x + 2) (a ≠ dx x−a 2) ∫ ( x − a)( x − b) dx = a − b ln x − b 12) 3) ∫x 4) dx ∫ ∫x = dx (a ≠ ch÷a) ∫x (a ≠ 1) (häc sinh tù lµm c¸c phÇn nµy, gi¸o viªn chÊm 7) dx + 1) ∫ x( x 6) 1) x ln + +C x + 2( x + 2) dx + 2) dx =∫ ∫x x x3 dx + 2x + x 14) ∫ x(x x dx + 1) 15) 10 a sin x + b cos x ∫ c sin x + d cos x dx a sin x + b cos x ∫ c sin x + d cos x dx =Ax+Bln c sin x + d cos x +C ( x + 2) − x 1 dx = ∫ [ − x( x + 2) ( x + 2) 2 x ( x + 2) ∫ 2) sin x − cos x ∫ sin x − cos x dx ∫ + tgx dx 4) dx ∫ + 3tgx tÝnh sin x + cos x dx + sin x Ta cã : sin x + cos x sin x + cos x dx = dx = ∫ − (sin x − cos x) + sin x  d (sin x − cos x) d (sin x − cos x   ∫  +∫  − (sin x − cos x) + (sin x − cos x)  + (sin x − cos x ) ln +C − (sin x − cos x) = ]dx= sin x ∫ cos x + sin x dx 3) ∫ ∫ x( x ∫ x( x + 2) 13) x4 −1 dx − 5)( x − x + 1) B Mét sè d¹ng kh¸c dx xdx 1 1 x2 = = ( − ) d ( x ) = ln +C ∫ x( x + 1) ∫ x ( x + 1) ∫ x x + x2 +1 5) II Ap dơng : tÝnh x − 3x − 20 3) ∫ x − x − dx 4) x2 +1 dx − 3x + Ta ®ỵc VN x dx −1 dx ( x + 2) I C¸ch lµm : t×m A ; B cho : asinx+bcosx=A(c sinx+d cosx)+B (c sinx+d cosx)’ 0) tÝnh c¸c tÝch ph©n sau A D¹ng : −1 +C a ax + b Nguyªn hµm cđa c¸c hµm lỵng gi¸c xdx − 5x + 2) ∫x b) = ln x + x + a + C x2 + a B Bµi tËp 1) ∫ x( x dx x−a = ln +C 2a x + a −a ∫ (ax + b) 5) 0) +C ∫x x Chó ý häc sinh tù chøng minh c¸c kÕt qu¶ sau dx 10) 1− Nguyªn hµm cđa c¸c hµm Ph©n thøc ∫ ax + b = a ln ax + b + C dx ∫ ( x + 1)( x + 2) d (x + ) x2 −1 x − 3x + x2 x dx = = ln +C dx 11) ∫ = ∫ ∫ 1 1 x + 5x + ( x + x + 1)( x − 3x + 1) ( x + + )( x − + ) ( x + + 5)( x + − 3) a Lý thut 1) 9) 2) sin x ∫ sin x − sin x − sin x dx Hd : ms=8cos3xsin3x suy ®¸p sè - sin x − ln +C 48 sin 3x + Giáo viên soạn: trần ngọc thắng 3) ∫ dx π sin x sin( x + ) cot gx ∫ + sin 4) dx x ( §s : ln VN π sin( x + ) cos x ∫ sin x(1 + sin = dx ∫ sin x cos x dx 5) sin x (§S : x) ∫ 2) I= x ) dx = ∫ ®s lµ I= d (sin x) sin x = ln +C sin x(1 + sin x) + sin x 3) 2) dx ∫ (sin x + cos x) 4) ∫ sin e ∫x dx (§S : I=- − ln x 5) cos x dx x ∫ sin 6) C Bµi tËp vỊ nhµ π π ) cot g ( x + )dx 1) sin x dx x ∫ cos 3) TÝnh tÝch ph©n b»ng ph¬ng ph¸p ®ỉi biÕn β 2) dx ∫α a + x ∫ α ; ta ®Ỉt x=atgt a − x dx ; ∫ ∈ [0; π ] ) ∫ π ) (§s: 12 x x2 −1 ln x ∫1+ x 2) π dx (§s : 0) 4) x4 +1 ∫0 x + dx (§s : sin xdx x ∫ + cos A (§S : I= π ) (§s: ln 3+2 ) 5) ∫x + x dx (§s : 848 ) 105 dx a2 − x2 Lý thut b b b udv = uv − vdu ∫a a ∫a π π (t ∈ (− ; ) ) 2 ta ®Ỉt x=a.sint ) hc x=a.cost (t B Bµi tËp Bµi tÝnh: 1) I= tÝnh : ∫ 2dx x 4x − dx −1  dt = x dx   ⇒t = Ta ®ỵc :  x =  x = ⇒ t =   Ta cã : I= ∫ (trong ®ã u=u(x) ; v=v(x) lµ c¸c hµm cã ®¹o hµm liªn tơc trªn [a;b] π π (t ∈ [ − ; ] 2 B.Bµi tËp 1) I= x dx ∫0 x + TÝnh tÝch ph©n b»ng ph¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn Mét sè d¹ng vµ c¸ch ®ỉi biÕn: víi a d¬ng β 4) I= TÝnh : dx Lý thut 1) π ) ( Häc sinh lµm b¶ng vµ nh¸p, Gv chÊm ,ch÷a) §ỵc π 3) 54 sin x dx x + cos x ∫ tg ( x + −π π ; ]) 2 15 3) I= tg x + tg x + ln tgx − + C) 2tg x dx ∫ (sin x + cos x) (t ∈ [ Hd : ®Ỉt x=sint häc sinh lµm c¸c bµi tËp sau : tÝnh 1) − x dx 2dx x 4− x ⇒ I = −∫ dx ; ®Ỉt t= dt 4−t = ∫ dt 4−t x2 dx x == ∫x e Gi¶i: ta cã I= π 2) I= π ∫e sin x 1 x2 1 x e d ( x ) = ∫ y.e y dy =  = ∫ 20 20 sin x cos x dx Giáo viên soạn: trần ngọc thắng Gi¶i :  dt = sin x cos xdx  ®Ỉt t=sin x ⇒  x = ⇒ t =  π x = ⇒ t =  Ta ®ỵc I= 1 1 π ∫ e (1 − t ) dt =  ∫ e dt − ∫ te dt  =  = t t t 3) ∫ xe dx e−2 I= ∫ sin x dx π xdx 5) ∫ π sin x  dt = x dx ⇒ dx = 2tdt  ⇒ x = ⇒ t = x = π ⇒ t = π   π 7) (§S : x sin x dx x ∫ cos −π ∫ cos(ln x)dx e −1 π (e + 1) ; ®s: 1) (§S : 2- − ) e x ∫ e sin (πx)dx 2) ∫ sin x dx (§S: π − 6) (§S: π π ln − − ) 32 4) I= ∫ x lg NÕu f(x) lµ hµm lỴ, liªn tơc trªn [-a;a] th× xdx tÝnh a −a −a ∫ f ( x)dx = NÕu f(x) lµ hµm tn hoµn víi chu k× T, liªn tơc trªn [0;T]; [a;a+T] th× a a ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx −a 10 4) ∫ −α 5) T f ( x)dx = ∫ f ( x)dx Víi a>0, f(x) lµ hµm ch½n, liªn tơc trªn R, Víi mäi sè thùc α 50 99 (§S: 50+ ) ln 10 ln 10 C Bµi tËp vỊ nhµ 8) π    2 −3 ln − ln( − 1)) a (§S : ∫ xdx 4π 5π − ln tg ) 12 2 (§S : 2) I= a +T ∫ x.tg ∫ sin x ln(tgx)dx π NÕu f(x) lµ hµm ch½n, liªn tơc trªn [-a;a] th× 3) 3) I= 6) CMR: e −1 ) π π π + ln ) A.Lý thut tÝnh: e (§S : (ln x)dx ( Hd : ®Ỉt t=lnx ta ®a vỊ tÝch ph©n míi ) H/s lµm ; Gv chÊm , ch÷a ∫ ln x dx TÝch ph©n cđa mét sè hµm ®Ỉc biƯt 1) I= ∫ cos 4) eπ Bµi π e2 (§S : ∫ 2t sin tdt =  = 2π 4) I= π − 1) π Ta ®ỵc I= (§S: π Gi¶i : ®Ỉt t= x ∫ cos x ln(1 + cos x)dx 2 (e + 1) ) π2 3) 2) π (§S : 4- ) e −x  π 1) sin(ln x) dx (§S : (e + 1)) ∫1 e2 α ta cã : α f ( x) dx = f ( x)dx a x + −∫α NÕu f(x) liªn tơc trªn [0; π ] th× π π ∫ xf (sin x)dx = ∫ f (sin x)dx Giáo viên soạn: trần ngọc thắng NÕu f(x) liªn tơc trªn [ 0; 6) a) b) π π 0 π ] x4 I= ∫ x dx −1 + 1) ∫ f (sin x)dx = ∫ f (cos x)dx π π 0 Ta ®ỵc −1 ∫ f (cot gx)dx = ∫ f 1) I= 2) ∫ (e −1 x − 3x + x − x + dx cos x ∫π − π VN 3) ∫π HD +) CM hµm f(x)= x − 3x + x − x cos x π +) Ta ®ỵc : I= π dx ∫π f ( x)dx + ∫π cos − − 4) x = π tgx π − 4 2) ∫ sin xdx (§S : 0) π =2 1) I= ∫ 3) − cos x dx ) VN 4) x + cos x dx x ∫ − sin −π Bµi (§S ln 3) π 5) (§S : π dx π ) − 2) π sin x sin x cos x dx ex +1 (§S: 0) 5) ∫π − sin x + cos x dx 6x +1 (§S : 5π ) 32 ∫ x.sin x cos xdx dx = −dt  §Ỉt:x= π − t ⇒  x = ⇒ t = π x = π ⇒ t =  I= π π π 0 2 ∫ (π − t ) sin(π − t ) cos (π − t )(−dt ) = ∫ (π − x).sin x cos xdx = π ∫ sin x cos xdx − I π (§S: Gi¶i (H/s lµm ë líp phÇn 2;3) (§S: 4008 0 2004π Bµi tÝnh 2π 2005 ∫ −π lµ hµm lỴ dx + 1)( x + 1) 2x +1 π +) Cm bµi to¸n x x sin x − 1 x dx =  = −∫1 1 Do vËy I= tÝnh : π ®Ỉt t=-x I= Bµi tËp Bµi Gi¶i : ( −t ) t4 2t 1 (− dt ) = ∫ dt = ∫ t t dt = ∫ (1 − t )t dt = ∫ (1 − x ) x dx = ∫ x dx − I −t +1 + + +1 −1 −1 −1 −1 −1 +1 2t ∫2 (tgx)dx Gi¸o viªn chøng minh c¸c bµi to¸n trªn , yªu cÇu h/s biÕt c¸ch chøng minh vµ nhí kÕt qu¶ B dt = −dx  ⇒  x = −1 ⇒ t =  x = ⇒ t = −1  th× ∫π cos x ln( x + − x + 1) dx (§S 0) Do vËy I= ππ π sin x cos x.dx =  = ∫0 tÝnh Giáo viên soạn: trần ngọc thắng π 2) x sin x ∫ + cos x dx (§S: π2 ) 3) x= y ; x+y-2=0 ;y=0 4) y=x2 ; y= x2 5) y=x2 ; y= x2 27 ;y = 27 x VN π 3) ∫ x cos 2π (§S : ) 35 x sin xdx π x sin x dx 4) ∫ + cos x Bµi 1) CMR : π π 2) sin n x ∫0 sin n x + cos n x dx b) π ∫ ( sin x − cos x )dx c) π cos x − sin x ∫0 (sin x + cos x) dx DiƯn tÝch h×nh ph¼ng-ThĨ tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay 1) (§S: 27ln3) Bµi : TÝnh thĨ tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay sinh quay miỊn (D) giíi h¹n bëi c¸c ®êng: π A (§S: 8ln3) 7) y=ex ; y=e-x ;x=1 TÝnh: a) x Lý thut MiỊn (D) giíi h¹n bëi c¸c ®êng : y=f(x); y=g(x); x=a;x=b cã diªn tÝch: ∫ f ( x ) − g ( x) dx y=4-x2 ; y=2+x2 quanh Ox 2) y=x2 ; x=y2 3) y=2x-x2 ; y=x2-2x quanh Ox 4) y=-x2+4x ; trơc Ox : a) quanh Ox Quanh Ox 5) a (§S : Quanh Ox (§S : MiỊn (D) giíi h¹n bëi c¸c ®êng: y=f(x);y=0;x=a;x=b quay quanh trơc Ox nã t¹o vËt trĨ trßn xoay cã thĨ tÝch : V Ox= π 6) b ∫f 3) a) Quanh Ox MiỊn (D) giíi h¹n bëi c¸c ®êng: x=f(y);x=0;y=a;y=b quay quanh trơc Oy nã t¹o vËt trĨ trßn xoay cã thĨ tÝch : V Oy= π b ∫f ( y )dy 16π ) 512π ) Quanh Oy 15 (§S : 128π ) 256π ) Quanh Oy (§S : 128π ) y=x2+1 ; Ox ; Oy ; x=2 ( x)dx a (§S : y=(x-2)2 ;y=4 a) 2) (§S : 16 π ) 1) b SD = ( ®vdt)) 6) y=x2 ; x=y2 n ∫ sin xdx = ∫ cos xdx n ;y = (§S: (§S : 206π ) 15 b) Quanh Oy (§S : 12 π ) Mét sè bµi to¸n vỊ ho¸n vÞ, chØnh hỵp, tỉ hỵp Ch÷a bµi thi kh¶o s¸t ë tn vµ d¹y nh÷ng phÇn sau: a Bµi 1: B.Bµi tËp Bµi 1: TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng: 1) y= x − 4x + 2) y= x −1 ; y = x + ;y=3 (§S: 8(®vdt)) (§S: 73 ( ®vdt)) Mét trêng tiĨu häc cã 50 häc sinh ®¹t danh hiƯu ch¸u ngoan B¸c Hå, ®ã cã cỈp anh em sinh ®«i cÇn chän mét nhãm häc sinh sè 50 häc sinh trªn ®i dù §¹i héi ch¸u ngoan B¸c Hå, cho nhãm kh«ng cã cỈp anh em sinh ®«i nµo.Hái cã bao nhiªu c¸ch chän? (§S: 19480) Bµi 2: Mét tỉ sinh viªn cã 20 em ®ã cã em chØ biÕt tiÕng Anh , em chØ biÕt tiÕng Ph¸p vµ em chØ biÕt tiÕng §øc CÇn lËp mét nhãm ®i thùc tÕ gåm em biÕt Giáo viên soạn: trần ngọc thắng tiÕng Anh, em biÕt tiÕng Ph¸p vµ hai em biÕt tiÕng §øc Hái cã bao nhiªu c¸ch chän? Bµi 14 : mét hép ®ùng bi xanh vµ bi ®á cã kÝch thíc kh¸c nhau.Hái cã bao nhiªu c¸ch lÊy bi ®ã cã Ýt nhÊt bi ®á? (§S: 66) (§S: 19600) Dïng ®¹o hµm, tÝch ph©n vµo khai triĨn nhÞ thøc NiuTon Bµi 3: Mét líp häc cã 30 häc sinh nam vµ 15 häc sinh n÷ Cã häc sinh ®ỵc chän ®Ĩ lËp mét tèp ca.Hái cã bao nhiªu c¸chchon kh¸c nÕu: a) chän t ý? b) cã Ýt nhÊt hai n÷? (§S: 5413695) A Dïng ®¹o hµm vµo khai triĨn nhÞ thøc NiuTon Bµi1: CMR: a) Bµi 4: b) Mét ®éi v¨n nghƯ cã 20 ngêi gåm 10 nam vµ 10 n÷ Hái cã bao nhiªu c¸ch chon ngêi cho: a) cã ®óng nam? (§S: 5400) b) cã Ýt nhÊt nam vµ Ýt nhÊt n÷? (§S: 12900) c) cã ®óng viªn bi ®á? b) sè bi xanh b»ng sè bi ®á? Bµi 6: sè 16 häc sinh cã häc sinh giái, kh¸, trung b×nh Cã bao nhiªu c¸ch chia 16 häc sinh ®ã thµnh tỉ , mçi tỉ ngêi cho mçi tỉ ®Ịu cã häc sinh giái vµ mçi tỉ Ýt nhÊt hai häc sinh kh¸? (§S: 7560) Bµi 7: cã nhµ to¸n häc nam, nhµ to¸n häc n÷ vµ nhµ vËt lý nam LËp mét ®oµn c«ng t¸c cÇn cã c¶ nam vµ n÷, c¶ nhµ to¸n häc vµ nhµ vËt lý.Hái cã bao nhiªu c¸ch? (§S: 90) Bµi : Cã häc sinh nam vµ häc sinh n÷ ®ỵc xÕp thµnh mét hµng däc ®Ĩ ®i vµo líp Hái cã bao nhiªu c¸ch s¾p xÕp ®Ĩ cã ®óng hai häc sinh nam ®øng xen kÏ häc sinh n÷? C n1 − 2C n2 + 3C n3 −  + (−1) n −1 nC nn = 100 a) TÝnh a97 b) TÝnh i i (§S: -1293600) 100 ∑a i =0 (§S: 1) i 100 c) TÝnh ∑ ia i =0 (§S: -100) i Bµi 3:tÝnh : 2004 C 2004 + 2C 2004 + 3C 2004 +  + 2005C 2004 a) (§S: 22004.1003) Gv ch÷a b»ng hai c¸ch 2000 Bµi 9: b) ∑ (k + 1)C k =0 k +1 2000 (§S: 1001.22000) VN ∀n ∈ N * Bµi 4: CM n ∑k a) k =1 Bµi 11: cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã b¶y ch÷ sè , ®ã ch÷ sè cã mỈt lÇn nh ng kh«ng ®øng c¹nh nhau, ch÷ sè cã mỈt lÇn , c¸c ch÷ sè kh¸c cã mỈt kh«ng qu¸ lÇn?(§S: 8120) ta cã : n k =2 Bµi n C 5: n −1 t×m + C n n ∑ k.3 C nk = n(n + 1).2 n − b) ∑ k.(k − 1)C c) Bµi 12: cã bao nhiªu c¸ch chia 10 ®å vËt hoµn toµn kh¸c cho ngêi cho mçi ngêi ®ỵc Ýt nhÊt mét ®å vËt? (§S: 210-2) Bµi 13 : mét hép ®ùng 2n viªn bi , ®ã cã n bi ®á gièng hƯt vµ n bi xanh kh¸c ®«i mét Hái cã bao nhiªu c¸ch kh¸c lÊy n bi tõ hép ®ã? (§S: n) ∑a x i =0 VN: Bµi 10: mét bi liªn hoan cã cỈp nam n÷, ®ã cã cỈp lµ vỵ chång.CÇn chon ngêi ®øng tỉ chøc liªn hoan mµ ®ã kh«ng cã cỈp vỵ chång nµo.Hái cã bao nhiªu c¸ch? ( lµm b»ng hai c¸ch) n −1 C n1 + n −1 C n2 + 3.2 n −3 C n3 +  + nC nn = n.3 n −1 (§S: 21600) Trong mét m«n häc,thÇy gi¸o cã 30 c©u hái kh¸c gåm cau hái khã ,10 c©u hái trung b×nh,15 c©u hái dƠ Tõ 30 c©u hái ®ã cã thĨ lËp ®ỵc bao nhiªu ®Ị kiĨm tra,mâi ®Ị gåm c©u hái kh¸c cho mçi ®Ị nhÊt thiÕt ph¶i cã ®đ3 lo¹i c©u hái (khã,trung b×nh dƠ) vµ Ýt nhÊt cã hai c©u dƠ ta cã : C n1 + 2C n2 + 3C n3 +  + nC nn = n.2 n −1 Bµi 2: ®Ỉt (x-2)100= Bµi 5: cã viªn bi xanh, viªn bi ®á, viªn bi vµng cã kÝch thíc ®«i mét kh¸c nhau.hái cã bao nhiªu c¸ch chän viªn bi cho: a) ∀n ∈ N * n −2 k n sè + 3.C 3 n k =1 C nk = n.4 n −1 = n.( n − 1)2 n −2 nguyªn n −3 n −k d¬ng n cho: +  + n.C = 48 n n Giáo viên soạn: trần ngọc thắng B Dïng tÝch ph©n vµo khai triĨn nhÞ thøc NiuTon Bµi 1: CMR: ∀n ∈ N * Bµi 1: TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a ®êng chÐo cđa mét h×nh lËp ph¬ng vµ ®êng chÐo cđa mét mỈt bªn nÕu chóng kh«ng c¾t nhau, biÕt c¹nh cđa h×nh lËp ph¬ng b»ng a ta cã : 1 n +1 − C n0 + C n1 + C n2 +  + C nn = n +1 n +1 a) b) Bµi 2: Cho tø diƯn OABC cã c¸c tam gi¸c OAB, OAC,OBC vu«ng t¹i O.Gäi 1 ( −1) n n C n0 − C n1 + C n2 −  + Cn = n +1 n +1 a) 1 −1 C n0 + C n1 + C n2 2 +  + C nn n = n +1 2(n + 1) Cho h×nh lËp ph¬ng ABCDA’B’C’D’ cã c¹nh b»ng a 2 2 C + C + C +  + C 66 −2 ) 7 (§S: 2002 + C 2003 + C 2003 ++ C 2003 2003 (§S: 1 1 1 C19 − C19 + C19 −  + C1918 − C1919 20 21 (§S: b) S= C 2003 b) 2003 ) 2004 Bµi 4: n + T×m kho¶ng c¸ch gi÷a hai mỈt ph¼ng (AB’D’) vµ (C’BD) d) T×m cosin cđa gãc gi÷a hai mỈt ph¼ng: (DA’C) vµ (ABB’A’) Cho h×nh lËp ph¬ng ABCDA’B’C’D’ c¹nh a.C¸c ®iĨm M thc AD’ vµ N thc DB cho AM=DN=k( 0 −−−−> −> −> −> B(-1;2;-1), OC = i + j − k ; OD = − i + j + k 1.Chứng minh ABCD hình tứ diện có cặp cạnh đối 2.Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD 3.Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp hình tứ diện ABCD 22.Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( S) : x2 + y2 + z2 – 2x + 2y + 4z x + y − = x −1 y z ; ( ∆2 ) : = = – = hai đường thẳng ( ∆1 ) :  x − z = − 1 −  1.Chứng minh ( ∆1 ) ( ∆ ) chéo 2.Viết phương trình tiếp diện mặt cầu ( S) biết tiếp diện song song với hai đường thẳng ( ∆1 ) ( ∆ ) 23 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) ( P) : x + y + z − = đường thẳng (d) có phương trình giao tuyến hai mặt phẳng: x + z − = 2y-3z=0 1.Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M (1;0;-2) qua (d) 2.Viết phương trình tắc đường thẳng (d’) hình chiếu vng góc (d) lên mặt phẳng (P) 24 Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;2;3) đường thẳng d có phương trình x −1 y + z − = = 2 α qua A vng góc d Tìm tọa độ giao điểm d mặt phẳng α Viết phương trình mặt phẳng 25 Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;4) 1) Viết phương trình mặt phẳng α qua ba điểm A, B, C Chứng tỏ OABC tứ diện 2) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện OABC 26 Trong Kg Oxyz cho điểm A(2;0;1), mặt phẳng (P): x − y + z + = x = 1+ t  đường thẳng (d):  y = 2t z = + t  1.Lập phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, vuông góc cắt đường thẳng (d) x y z −1 27 Trong Kg Oxyz cho điểm A(3;4;2), đường thẳng (d): = = mặt phẳng (P): x + y + z − = 1.Lập phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) cho biết toạ độ tiếp điểm 12 Giáo viên soạn: trần ngọc thắng Viết phương trình đường thẳng qua A, vuông góc (d) song song với mặt phẳng (P) 28 Trong khơng gian Oxyz cho ba điểm A( 2; -1 ;1), B( 0;2 ;- 3) C( -1 ; ;0) 1.Chứng minh A,B,C khơng thẳng hàng Viết phương trình mặt phẳng (ABC) 2.Viết phương trình tham số đường thẳng BC 29 Trong khơng gian cho hai điểm A(1;0;-2) , B( -1 ; -1 ;3) mặt phẳng (P) : 2x – y +2z + = Viết phương trình mặt phẳng ( Q) qua hai điểm A,B vng góc với mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) x = 1+ t  30 Trong khơng gian (Oxyz) cho đường thẳng (d):  y = − t z = + t  mặt phẳng (P): 2x+y+2z =0 Chứng tỏ (d) cắt (P).Tìm giao điểm Tìm điểm M thuộc (P) cho khoảng cách từ M đến (P) 2.Từ lập phương trình mặt cầu có tâm M tiếp xúc với (P) 31 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (S) : x + y2 + z2 – 2x + 2y + 4z – = x + y − = x −1 y z hai đường thẳng (∆1) :  , (∆2) : = = −1 −1  x − 2z = 1) Chứng minh (∆1) (∆2) chéo 2) Viết phương trình tiếp diện mặt cầu (S), biết tiếp diện song song với hai đường thẳng (∆1) (∆2) 32 Trong khơng gian Oxyz cho điểm A(5;-6;1) B(1;0;-5) r Viết phương trình tắc đường thẳng ( ∆ ) qua B có véctơ phương u (3;1;2) Tính cosin góc hai đường thẳng AB ( ∆ ) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A chứa ( ∆ ) 33 Trong khơng gian Oxyz cho điểm A(3;-2;-2), B(3;-2;0), C(0;2;1), D(-;1;2) 1)Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Từ suy ABCD tứ diện 2)Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) 34 Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1,0,0); B(0,2,0); C(0,0,3) Viết phương trình tổng qt mặt phẳng qua ba điểm:A, B, C Lập phương trình đường thẳng (d) qua C vng góc mặt phẳng (ABC) 35 Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1,0,0); B(0,2,0); C(0,0,3) Viết phương trình tổng qt mặt phẳng qua ba điểm:A, B, C Gọi (d) đường thẳng qua C vng góc mặt phẳng (ABC) 3.Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng (d) mặt phẳng (Oxy) 36 Cho mặt cầu (S) có đường kính AB biết A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7) Tìm toạ độ tâm I bán kính r mặt cầu (S) Lập phương trình mặt cầu (S) 37 Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A(-1; 2; 0), B(-3; 0; 2), C(1; 2; 3), D(0; 3; -2) 1.Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa AD song song với BC x +1 y + z + 38 Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng d : = = 2 điểm A(3;2;0) 1.Tìm tọa độ hình chiếu vng góc H A lên d Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua đường thẳng d 39 Trong khơng gian Oxyz cho x = 1+ t x − y + z − =  d1 :  d2 :  y = + t x + y − 2z + =  z = + 2t  đường thẳng 1) Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 song song với d2 2) Cho điểm M(2;1;4) Tìm tọa độ điểm H d2 cho độ dài MH nhỏ x − y +1 z − 40 Cho đường thẳng d : = = mặt phẳng −1 ( α ) : 4x + y + z − = Tìm tọa độ giao điểm A d ( α ) Viết phương trình mặt cầu ( S ) tâm A tiếp xúc mặt phẳng (Oyz) Tính góc ϕ đường thẳng d mặt phẳng ( α ) 41 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ( ∆ ) : mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = x − y +1 z + = = −2 1.Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng ( ∆ ) mặt phẳng (P) Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng ( ∆ ) mặt phẳng (P) 42 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 1; −2; ) đường thẳng x = + t ( d ) :  y = − t  z = 2t  1.Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa điểm A đường thẳng (d) 13 Giáo viên soạn: trần ngọc thắng 2.Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng (d) 43 Trong khơng gian Oxyz cho điểm M (1,1,1) mặt phẳng (α ) : − x + y − z + = Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M vng góc với mặt phẳng (α ) 44 Trong khơng gian Oxyz cho hai đường thẳng  x = + 2t  ∆1 :  y = −1 + t z =1  2.Tính khoảng cách đường thẳng ( ∆ ) mặt phẳng (α ) 45 1.Viết phương trình đường thẳng qua M(1,2,-3) vng góc với mặt phẳng (P): x 2y + 4z - 35=0 2.Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A(2,-1,3), B(4,0,1), C(-10,5,3) 46 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(0 ; 1; –3), N(2 ; ; 1) 1) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (P) qua N vuông góc với MN 47 Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3) Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua M song song với mặt phẳng x − y + 3z − = Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1) tiếp xúc với mặt phẳng ( α ) 48 Viết PT mp qua A(3,1,-1), B(2,-1,4) vng góc với mặt phẳng ( β ) : 2x – y + 3z + =0 49 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng  x = − 2t  x −1 y − z (∆ ) :  y = −5 + 3t (∆1 ) : = = , −2 −1 z =  Chứng minh đường thẳng (∆1 ) đường thẳng (∆ ) chéo Viết PTMP ( P ) chứa đường thẳng (∆1 ) song song với đường thẳng (∆ ) 50.Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng (P ) : x + y + z + = mặt cầu (S) : x + y + z − x + y − z + = Tìm điểm N hình chiếu điểm M lên mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) A CÁC BÀI TỐN VỀ HÀM SỐ VÀ CÁC DẠNG TỐN LIÊN QUAN: Bài I: Cho hàm số 2) 3) 4) 6) Biện luận theo m số giao điểm (Cm) trục hồnh Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số m = -3 Viết phương trình tiếp tun với (C) điểm M(x0;y0) thuộc (C) , biết f”(x0)=0 Chứng minh tiếp tuyến với (C) M có hệ số góc nhỏ Đường thẳng ( ∆ ) có hệ số góc k qua điểm M câu 4), giả sử ( ∆ ) cắt thêm đồ thị (C) hai điểm A B Chứng minh M trung điểm AB tiếp tuyến với (C) A B song song với Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) trục hồnh 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số : Bài II: 1.Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa ( ∆1 ) song song ( ∆ ) y = x + m( x + 1) + có đồ thị (C ) m x Tìm m để (Cm) có tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d) : 5) x =  ∆2 :  y = 1+ t  z = 3−t  y = 1− 1) 2) a) b) 3) 4) 5) y= 2x − − x +1 Đường thẳng (d) qua I(1; -2) có hệ số góc k Biện luận theo k số giao điểm (d) (C) Trong trường hợp (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A B Chứng minh tiếp tuyến với (C) A B song song với Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x+y+2009=0 Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình mx+x-m=0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi: (C), trục hồnh đường thẳng x = -1 Bài III: 1) Cho hàm số y = − x + (m + 1) x + m − (1) a) Định giá trị tham số m để hàm số có điểm cực trị b) Khi m = 0, tìm giá trị lớn hàm số đoạn   − ;1 2) Khảo sát vẽ đồ thi (C) hàm số (1) m = 3) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình : x − x + 2m − = 4) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm M(x0 ; y0) ∈ (C), biết f ”(x0) = 5) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) trục hồnh Bài IV: 1) 2) 3) 4) y = − x + 3x − Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình : x − x + m − = Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số : Viết phương trình tiếp tun với (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 9x + y + = Đường thẳng (d) qua điểm M(0;-2) có hệ số góc k a) Định giá trị tham số k để (d) cắt (C) điểm phân biệt b) Khi k = -1, tính diện tích hình phẳng giỡi hạn bỡi (C) (d) 5) Chứng minh tiếp tuyến với (C) điểm M(0;-2) có hệ số góc lớn Bài V: Cho hàm số y= x+2 x +1 có đồ thị (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) 2) Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng (d) : y = mx + cắt đồ thị hàm số cho hai điểm phân biệt 3) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn bỡi đường : đồ thị (C); tiệm cận ngang (C) ; trục tung đường thẳng x = cho hình phẳng quay xung 14 Giáo viên soạn: trần ngọc thắng quanh trục Ox 4) Viết phương trình tiếp tun với (C) trường hợp sau: a) Tại giao điểm (C) với trục tung b) Tiếp tuyến song song với đường phân giác thứ hai c) Tiếp tuyến vng góc với dường thẳng (D): 4x-y+2009=0 d) Tiếp tuyến qua điể M(-1; 3) 5) Tìm tên trục tung điểm kẽ tiếp tuyến với (C) 6) Tính tích khoảng cách từ điểm đồ thị (C) đến hai đường tiệm cân (C) 7) Tiếp tuyến với (C) điểm A (C) cắt hai tiệm cận hai điểm P,Q Chứng minh diện tích tgiác IPQ khơng đổi (với I giao điểm hai tiệm cận) 7) Tìm điểm (C) để tổng khoảng cách từ đến hai tiệm cận nhỏ Bài VI: Cho hàm số y = x − 2x có đồ thị (C) x − x + 2m − m = có nghiệm phân biệt 4) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh cho hình phẳng giới hạn bỡi (C), trục hồnh, trục tung đường thẳng x = quay xung quanh trục Ox B 1) 2) 3) 4) y = x − x − 12 x + 1  y = − x + x + đoạn − 2;  2  − 2x + (1;3] y= x −1 y = x −1 + − x 6) y= y= y = x − 2mx + m − , tìm giá trị tham số m để hàm số có cực trị x + mx + y= x+m 2) Định giá trị tham số m để hàm số 3) Tìm m để hàm số 4) 5) 6) đạt cực tiểu điểm x = π cos x − m cos x đạt cực tiểu x = π Tìm m để hàm số y = sin x + m sin x đạt cực đại x = 3 Tìm a, b để hàm số : y = x + ax + bx + có cực đại x = -1 2 Tìm m để hàm số y = − x − ( m − m + 2) x − (3m + 1) x − m đạt cực trị y= x = -2 Bài II: 1) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số : x − x −1 y= x +1 2) Tìm giá trị tham số m để hàm số y = mx − 3(m − 1) x + 9(m − 2) x có điểm cực đại, cực tiểu x1, x2 thỏa điều kiện x1+2x2 = C CÁC BÀI TỐN VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT: ] x + ax + b x2 +1 đạt GTLN GTNN (-1) Bài III: Tìm GTLN GTNN hàm số sau: 1) [ ln x , ∀x ∈ ; e x Bài II: Tìm a b hàm số : Bài I: Cho hàm số [ − 2;2] π6  16   , ∀x ∈  ∫ sin xdx ; 4 5) y = x + x 0    CÁC BÀI TỐN VỀ CỰC TRỊ: 1) đoạn 1) Khảo sát biến thiên vẽ (C) 2) Viết phương trình tieps tuyến với (C) qua gốc tọa độ 3) Dựa vào đồ thị (C), xác định m để phương trình Bài I: Tìm GTLN GTNN hàm số sau: 3) 1+ x4 (1 + x ) sin x + y= sin x + sin x + y= ; 2) y= 4) y = sin x + − sin x 6) y = cos x(1 + sin x ) ,với x ∈ [ 0;2π ] 7) f(x)= sin ; 5) y = x + − x2 sin x + cos x , với x ∈ ; [ 0; π ] ; x + sin x cos x + Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số : y = – x3 + 3mx – m có đồ thị ( Cm ) 1.Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = – 2.Khảo sát hàm số ( C1 ) ứng với m = – 3.Viết phương trình tiếp tuyến với ( C1 ) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng có pt y= x +2 Câu Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m – m tham số 1.Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu 2.Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = Câu 3: Cho hàm số số y = - x3 + 3x2 – 2, gọi đồ thị hàm số ( C) 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C) điểm có hồnh độ nghiệm phương trình y// = 15 Giáo viên soạn: trần ngọc thắng Câu 1.Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số a f (x) Câu 5: = −x + − Cho hàm số x+2 [ −1; 2] b f(x) = 2sinx + sin2x  3π  0;  y = x − 2x − có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b) Dùng đồ thị (C ) , biện luận theo m số nghiệm thực phương trình x − 2x − m = c)Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = Câu Cho hàm số y= x −3 x−2 (*) 2x3 + 3x2 − 12x + [−1;2] có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b) Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng (d) : y = mx + cắt đồ thị hàm số cho hai điểm phân biệt E CÁC BÀI TỐN VỀ NGUN HÀM , TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG: Bài I: 1) Tìm ngun hàm y = f(x) = M(2 ; -2ln2) x + x + , biết đồ thị ngun hàm qua x2 + x − 2) Tìm ngun hàm F(x)của hàm số f(x) = x − 3x + 3x − ( x − 1) 3) Cho P(x) = a.sin2x – b.cos2x Tìm a, b biết: π  P '   = −2 ; 2 biết :F(0) = - 2b ∫ adx = b Bài II: 1) Tính tích phân sau: a) dx I= ∫ x + 3x + ; b) x K=∫ dx ( x + 1) ; c) 2x J=∫ dx 01 + + x 2) Tính tích phân sau: a) π /4 I = ∫ sin x.sin 3xdx ; b) π /4 J = ∫ sin x.sin 3x.cos 5xdx , 16 Giáo viên soạn: trần ngọc thắng c) π K = ∫ cos5 xdx ; π H = ∫ sin xdx π e) I= ∫ dx cosx π g) I = ∫ tan2 xdx ; π I= ∫ dx π sin x.cos2 x ; f) d) π I = ∫ ( tanx + cotx) dx π h) ln x( + ln x + x ) dx ∫1 x ; b) K = a) ∫( −2 x − x + − x − )dx x +1 J=∫5 dx , 2x + x + ) 1 dx d) I = ∫ ( x + 1) ( x + ) c) c) t= 1 ⇒ dt =  +  x +1 ⇒ dt = t f) N = (HD: tách làm hai tích phân , TP dùng PP đổi biến, TP dùng PPTPTP) 5) Tính tích phân sau: x2 +1 I= ∫ dx x +1 d) e3 3) Tính tích phân sau: a) π a) ; b) J = ∫ x ln ( x + 1) dx I = ∫ x.sin xdx 0 π cosx + x).sin xdx ; c) K = ∫ (e L = ∫ x x + 1dx π x dx e) M = ∫ ; π sin x (HD: Đặt t = 2x+1 HD: Đặt t = x + 1+ x +   x + + x +  dx =  dx  ( x + 1)( x + 2)  x+2 1 ( x + 1)( x + 2) dx π2 P = ∫ sin xdx R = ∫ x 3.e x dx e2 ; g) V = ∫ (2 x − 1)( e −x ∫ ; e S = ∫ (1 − x ).ln xdx e) T = ∫ (2x − 1) ln xdx π U = ∫ (x − 1) cos 3xdx b) Q = ln x x dx d) ; ) + sin x dx f) π h) W = ∫ π x(1 + cos x) dx sin x HD: Câu g) tách làm tích phân phần 4) Tính tích phân sau: 17 Giáo viên soạn: trần ngọc thắng π Câu h) W = π x cos x dx + ∫π sin x π∫ x sin x dx 4) Cho z = − sau tính tích phân PP tích d) F } = x, x =y quay quanh trục 0y b) +4=0 z -2+3i)=0 ; z ( z + 9)( z − z − 4) = 1) Xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: a) z số ảo ; b) z+i z−i số thực dương , z≠i G CÁC BÀI TỐN VỀ MẶT TRỊN XOAY VÀ KHỐI TRỊN XOAY: Bài I: Một hình trụ có bán kính đáy R đường cao R 1) Chứng minh với số phứcz, z’ ta có: a) z =2 z số ảo b) z =5 phần thực z lần phần ảo 3) Thực phép tính: ; ; b) g) (1 + i)3 + 3i − 2i − 4i i 4−i Hai điểm A, B nằm đường tròn cho z + z ' = z + z ', zz ' = z.z ' góc tạo bỡi AB trục hình trụ 300 1/ Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ 2/ Tính thể tích khối trụ tương ứng 2) Tìm số phức z thỏa mãn trường hợp: (1 + i)(4 − 3i) −5 + 6i − 2i d) + + 3i − 6i z = z − + 4i 2) Xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: Bài I: (1 − i)2 - (2 + 3i) c) z4-2z2-3 = Bài III: CÁC BÀI TỐN VỀ SỐ PHỨC: a) ;  z + z + z = + 2i  3) Giải hệ pt:  2z + z − z = + 5i  z + 2z + 3z3 = + 2i  4) Tìm số phức z để cho: z.z + 3(z − z) = − 3i   a) ( H ) : x = 0, x = 1, y = 0, y = quay quanh trục 0x x −4   ( H) :{ y z2 + x + 2) Giải phương trình với hai ẩn x, y: a) x+y+(x-y)i+1=0 ; b) x-1+yi=-x+1+xi+i 2/ Tính thể tích vật thể tròn xoay hình (H): b) a) (iz-1)(z+3i)( ( H ) : { y = x − 2x, vàhai tiếp tuyến O vàA(4;8) } (z) 1) Giải pt ẩn số phức z: ( H ) : { x = 0, y = 3x / + 1, y = x } x c) ( H ) : { y = , y = 4x + 1} ; d) ( H ) : { y2 = 4x, vàhai tiếp tuyến kẽtừM(-2;1) của(P)} ; b) N = Bài II:  π sin x   a) ( H ) :  x = 0, x = , y = 0, y =  ; b) sin x + cos x   e) + z + z2 z a) M = phân phần Bài III: 1) Tính diện tích hình phẳng (H): , Hãy tính : + i 2 Bài II: Một thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có cạnh góc vng a 1/ Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón 2/ Tính thể tích khối nón tương ứng ; c) Bài III: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a góc ASB α Tính diện tích xung quanh hình chóp chứng minh đường cao hình chóp a α cot − 2 Bài IV: Cho tứ diện có cạnh a 1/ Xác định tân bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 2/ Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tương ứng 18 Giáo viên soạn: trần ngọc thắng H CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN: Bài I:Trong không gian với hệ tọa độ oxyz, cho mặt phẳng ( α ) :x+z+2 = đường thẳng d: x −1 y − z +1 = = −2 (α) (α) x −1 y − z − = = (α) 2/ Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) vuông góc tìm giao điểm A d với ( ∆ ) hình chiếu vuông góc d (α) Bài II: 1/ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy đường cao a a) Tính khoảng cách hai đường thẳng SC AB b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc SA mặt phẳng (BCD) 2/ Trong không gian với hệ toạ độ Đề Các Oxyz, cho đường thẳng ( ∆ ) có phương trình : x −1 y − z = = mặt phẳng (Q) qua điểm M(1;1;1) có véc −1 tơ ptuyến n = ( 2;−1;−2) Tìm toạ độ điểm thuộc ( ∆ ) cho khoảng cách từ điểm đến mp(Q) Bài III: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: (α) với 3/ Điểm M (d) có hoành độ 3, tính khoảng cách từ M 3/ Tìm điểm d cho khoảng cách từ đến ( α ) :3x+y+2z+2=0 1/ Xác đònh toạ độ giao điểm A (d) 2/ Viết phương trình đường thẳng mp 1/ Tính góc nhọn tạo d (α) Bài IV: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d) :  x = + 2t  y = − t z = 3t  mp (P) : 2x-y-2z+1 = 1/ Tìm điểm thuộc đường thẳng d cho khoảng cách từ điểm đến mp (P) 2/ Gọi K điểm đối xứng I(2;-1;3) qua đường thẳng d Xác đònh toạ độ K 3/ Viết phương trình mặt cầu tâm A(-2;0;2) tiếp xúc với mp(P) đến (α) Bài V: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1;1;1) , B(1;2;1) , C(1;1;2) , D(2;2;1) 1/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) tính chiều cao vẽ từ đỉnh D tứ diện ABCD 2/ Tính chiều cao tam giác ABC vẽ từ đỉnh A 3/ Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD Cho biết tâm bán kính nó? 4/ Bài VI: Trong hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm: A(1;0;0) ; B(0;-2;0) OC = i − j ; OD = j + 2k 1/ Tính góc ABC góc tạo bỡi hai đường thẳng AD BC 2/ Lập phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác đònh tâm bán kính mặt cầu 3/ Viết phương trình tiếp diện (S) tiếp điểm D Bài VII: Trong mặt phẳng toạ độ Oxyz cho bốn điểm: A(1;0;0) ; B(0;-2;0) ; C(1;-2;0) ; D(0;3;2) 1/ Ch/ minh ABCD tứ diện tính chiều cao tứ diện vẽ từ đỉnh A 2/ Tìm điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (BCD) 3/ Tính chiều cao tam giác ABC vẽ từ đỉnh C.Viết phương trình đường cao qua C tam giác ABC Xác đònh trực tâm H tam giác ABC CÁC BÀI TỐN VIẾT SÁT VỚI BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG III SGK Bài I: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1;1;1) , B(1;2;1) , C(1;1;2) , D(2;2;1) 1/ Viết phương trình mp(BCD) Tính chiều cao tứ diện tứ diện ABCD vẽ từ đỉnh A 2/ Tính khoảng cách hai đường thẳng AD BC 3/ Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD 4/ Viết phương trình mặt cầu tâm A nhận đường thẳng CD làm tiếp tuyến Bài II: Trong hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(2;-1;-1), véc tơ a =(3;5;−1) đường thẳng d có phương trình  x = + 4t   y = + 3t  z = ty  19 Giáo viên soạn: trần ngọc thắng 1/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A vng góc với giá véc tơ a 2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa điểm A đường thẳng d 3/ Tìm giao điểm M đường thẳng d mặt phẳng (P) 4/ Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A vng góc với giá véc tơ a cắt đường thẳng d 5/ Viết phương trình mặt cầu tâm A’ tiếp xúc với đường thẳng d.†Với A’ điểm đối xứng với A qua đường thẳng d Bài III: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình 5x – y + 11z + = hai đường thẳng d: x = + t   y = −2 + t z = − t  ; d’ :  x = + 2t '   y = −4 − t '  z = + 5t '  x + y + z − x + y − z + 10 = 2 x + y + z − x + y − z − 11 = mặt phẳng (P) có phương trình x + 2y – 2z – = 1/ Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) Gọi (C) đường tròn giao tuyến (P) (S) Xác định tọa độ tâm tính bán kính (C) 2/ Cho điểm A(2;3;0) nằm mặt cầu (S) Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm A 3/ Chứng minh đường thẳng d :  x = −3 + 5t   y = − 2t  z = 3t  cắt mặt cầu (S) Xác định tọa độ giao điểm chúng BÀI TẬP THỂ TÍCH Bài (TN06) Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SB = a Tính VS ABCD (Đ.S: a 2) 3 a ) a 2) song song với hai đường thẳng d, d’ 4/ Viết phương trình đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng d, d’ Bài IX: Trong khơng gian Oxyz cho mặt cầu (S) : (Đ.S: Bài (TN07 lần 2) Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = AC Tính VS ABCD (Đ.S: 1/ Chứng minh d với d’ chéo tính khoảng cách chúng 2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm M(2;1;1) song song với hai đường thẳng d, d’ 3/ Viết phương trình mặt phẳng (R) tiếp xúc với mặt cầu (S) : Bài (TN07 lần 1) Cho chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, SA vuông góc với đáy Biết SA = AB = BC = a Tính VS ABC Bài (TN09) Cho chóp S.ABC có đáy SBC tam giác · cạnh a, SA vuông góc với đáy BAC = 1200 Tính VS ABC (Đ.S: a 2) 36 Bài Cho chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, AB = AC = a Mặt bên qua cạnh huyền BC vuông góc với đáy, hai mặt bên lại hợp với mặt đáy góc 600 Tính VS ABC (Đ.S: a 3) 12 Bài Cho chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi vuông góc Gọi M trung điểm AB Tính Tính VS BCM Biết AB = AC = 3, CB = (Đ.S: Bài ) 20 Giáo viên soạn: trần ngọc thắng Cho chóp S.ABCD có tất cạnh Biết V = a Tính độ dài cạnh hình chóp (Đ.S:3a) Bài Cho chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, SA vuông góc với đáy, ·ACB = 600 , BC = a, SA = a Gọi M trung điểm SB a Chứng minh ( SAB ) ⊥ ( SBC ) b Tính VM ABC (Đ.S: a ) A(2;1;3) mét kho¶ng b»ng 2 Qua ®iĨm vµ chøa ®êng §i qua N(-2;3;1) vµ chøa ®êng th¼ng d: x − y +1 z + = = −2 Qua ®iĨm vµ song song víi ®êng Qua A(-1;2;3) , B(1;3;-1) vµ song song víi ®êng d: x − y +1 z + = = −2 a Cho d: khoảng cách từ G đến (SCD) x y −1 z + = = vµ c¸ch ®iĨm −1 Chøa ®êng nµy vµ song song víi ®êng Bài Cho chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam giác SAC, a Tính d ( O, ( SCD ) ) , với O tâm đáy tính thể tích khối chóp S.ABCD (Đ.S: h×nh 12 n¨m häc 2009 - 2010 c Vu«ng gãc víi d : A MỈt ph¼ng: Nguyªn t¾c “ BiÕt ®iĨm ®i qua , biÕt VTPT th× cã PTTQ ” Qua ®iĨm vµ vu«ng gãc víi ®êng a §i qua M (2;1;3) vµ vu«ng gãc víi AB víi A = (1;2;2), B = (0;- 4;4) b MỈt ph¼ng trung trùc cđa ®o¹n AB víi A = (2;1;3) vµ B = (0;3;-1) x −1 y + z +1 x −8 y + z + = = = = vµ d’: ViÕt −1 PT mp(P) chøa d, mp (Q) chøa d’vµ P// Q b Cho A(- 2;- 3;- 2), B(- 8;- 5;- 7) ,C(3;- 4;- 1) vµ D(0;- 6;- 3) ViÕt PT mp(P) chøa AB vµ // víi CD Chøa ®êng d’: x −1 y + z +1 = = Chøa d: x −1 y + z +1 = = vµ ViÕt PT mỈt ph¼ng qua ®iĨm a A(1;2;3), B(-2;1;1) vµ C(-1;-3;-4) ; b Qua K, M, N víi K, M, N lµ h×nh chiÕu cđa P(3;2;4) trªn c¸c trơc Ox, Oy, Oz c §iĨm A, B, C lÇn lỵt n»m trªn trơc Tam gi¸c ABC cã träng t©m G(1;- 1;2) ViÕt PT mp(ABC) d §iĨm I(1;-2;-1) cã h×nh chiÕu trªn mỈt : Oxy, Oyz, Ozx lµ A,B, C ViÕt PT mp(ABC) Chøa ®iĨm vµ vu«ng gãc víi mỈt Chøa A(10;8;-3) , B(15;-1;-13) vµ vu«ng gãc víi mỈt (P) : 7x + y - 6z -10 = Chøa ®êng vµ vu«ng gãc víi mỈt 21 Giáo viên soạn: trần ngọc thắng Chøa ®êng d : x −8 y + z + = = vµ vu«ng gãc víi 12 −11 −16 mỈt (P) : 7x + y - 6z -10 = §i qua ®iĨm vµ song song víi ®êng §i qua M(10;8;-3) vµ song song víi ®êng d: x −1 y + z +1 x − 15 y + z + 13 = = = = vµ d’ : 2 10 C¸ch ®Ịu mỈt ph¼ng kh¸c : LËp PT mỈt ph¼ng c¸ch ®Ịu mỈt: (P) : x + 2y +3z - 14 = vµ (Q) : x + 2y +3z + = 11 C¸ch ®Ịu ®êng chÐo nhau: d: x − y + z +1 = = x − y +1 z − = = vµ d’: 2 12 TiÕp xóc víi mỈt cÇu t¹i ®iĨm ViÕt PT mỈt ph¼ng tiÕp xóc víi mỈt cÇu : (x - 2) + y2 + (z - 3)2 = T¹i ®iĨm A(3;2; 1) 13 §i qua ®iĨm vµ giao tun mỈt ph¼ng §iĨm E(6;-11;10) vµ giao tun mỈt : (P) : 2x 10y + 7z -39 = 0, (Q) :3x - 2y + 2z - 20 = 14 Chøa giao tun mỈt vu«ng gãc víi mỈt thø Chøa giao cđa (P) : 19x + 13y - 28z + 21 = vµ (Q) : 129x - 33y - 84z - 297 = ®ång thêi vu«ng gãc víi mỈt (R) : 2x - y - 2z - = 15 Chøa giao tun mỈt vµ // víi ®êng th¼ng ¿ Cho mp(P) : 11x - 28y - 2z - 66 = ; mp (Q) : 7x + 19y - 16z +39 = vµ ®êng th¼ng d : x − y + z +1 = = 2 ViÕt PT mp chøa giao tun cđa (P) vµ (Q) ®ång thêi // C¸c bµi to¸n c¬ b¶n vỊ Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng D¹ng : ViÕt PT ®ường thẳng (d) qua r M(xo ;yo ;zo) có vtcp u = (a; b; c) Ph¬ng ph¸p: PT tham sè cđa ®êng th¼ng d lµ: x = xo + at  (d) : y = yo + bt ; t∈¡ z = z + ct o  cã PT chÝnh t¾c lµ: Chó ý: NÕu abc ≠ th× (d) x − xo y − yo z- z0 = = a b c Chó ý: §©y lµ bµi to¸n c¬ b¶n VỊ nguyªn t¾c mn viÕt PT ®êng th¼ng d cÇn biÕt to¹ ®é ®iĨm thc d vµ to¹ ®é vÐc t¬ chØ ph¬ng cđa d D¹ng 2: Đườnguu thẳng (d) qua ®iĨm A, B ur Bíc 1: T×m AB Bíc 2: ViÕt PT ®êng th¼ng d ®i qua ®iĨm A uuur vµ nhËn AB lµm vÐc t¬ chØ ph¬ng D¹ng 3: ViÕt PT ®ường thẳng (d) qua A song song víi ®êng th¼ng ∆ r B1: Tìm VTCP u cđa ∆ r B2: ViÕt PT ®êng th¼ng d ®i qua A vµ nhËn u lµm VTCP D¹ng 4: ViÕt PT ®ường thẳng (d) qua ®iĨm A vuông góc mp(α) r B1: Tìm VTPT (α) n B2: ViÕt PT ®êng th¼ng d ®i qua ®iĨm A vµ r nhËn n lµm VTCP D¹ng 5: ViÕt PT ®ường thẳng (d) ®i qua ®iĨm A vuông góc víi c¶ ®êng th¼ng (d1),(d2) ur uu r B1: Tìmc¸c VTCP u1 , u2 cđa d1; d2 22 Giáo viên soạn: trần ngọc thắng B2: §êng th¼ng d có VTCP lµ: ur uu r r  u , u u =  2  B3: ViÕt PT ®êng th¼ng d ®i qua ®iĨm A vµ r nhËn u lµm VTCP D¹ng 6: ViÕt PT cđa ®êng th¼ng d lµ giao tun cđa hai mp: (P): Ax+By+Cz+D=0 (Q): A’x+B’y+C’z+D’=0 C¸ch 1: Ax + By + Cz + D = t×m mét A ' x + B' y + C ' z + D ' = B1: Gi¶i hƯ  nghiƯm (x ; y ; z ) ta ®ỵc ®iĨm M (x ; y ; z ) ∈ d (Cho Èn gi¸ trÞ x¸c ®Þnh råi gi¶i hƯ víi Èn cßn l¹i t×m Èn cßn l¹i) B2: §êng th¼ng d cã VTCP lµ: r b c c a a b u = ; ; ÷  b ' c' c' a' a' b'  B3: ViÕt PT ®êng th¼ng d ®i qua ®iĨm M r (x ; y ; z ) vµ nhËn u lµm VTCP C¸ch 2: B1: T×m to¹ ®é ®iĨm A, B ∈ d (T×m nghiƯm cđa hƯ 2PT trªn) B2: ViÕt PT ®êng th¼ng AB C¸ch 3: §Ỉt Èn b»ng t (ch¼ng h¹n x=t), gi¶i hƯ PT víi Èn cßn l¹i theo t råi suy PT tham sè cđa d D¹ng 7: ViÕt PT h×nh chiÕu cđa ®êng th¼ng d trªn mp(P) B1: ViÕt PTmp(Q) chøa d vµ vu«ng gãc víi mp(P) B2: H×nh chiÕu cÇn t×m d’= (P) ∩ (Q) (Chó ý: NÕu d ⊥ (P) th× h×nh chiÕu cđa d lµ ®iĨm H= d ∩ (P) Dạng : ViÕt PT đường thẳng d ®i qua điểm A cắt hai đường thẳng d1 , d2 C¸ch 1: B1: ViÕt PT mặt phẳng ( α ) ®i qua điểm A chứa đường thẳng d1 B2: Tìm giao điểm B= (α) ∩ d B3: §êng th¼ng cÇn t×m lµ ®t ®i qua ®iĨm A, B C¸ch 2: B1: ViÕt PT mặt phẳng ( α ) ®i qua điểm A chứa đường thẳng d1 B2: ViÕt PT mặt phẳng ( β ) ®i qua điểm A chứa đường thẳng d2 B3: §êng th¼ng cÇn t×m d = (α) ∩ (β) D¹ng 9: ViÕt PT ®êng th¼ng d song song víi d1 vµ c¾t c¶ hai ®êng th¼ng d2 vµ d3 B1: ViÕt PT mp(P) song song víi d1 vµ chøa d2 B2: ViÕt PT mp(Q) song song víi d1 vµ chøa d3 B3: §êng th¼ng cÇn t×m d= (P) ∩ (Q) D¹ng 10: ViÕt PT đường thẳng d ®i qua điểm A, vng góc đường thẳng d1 cắt đường thẳng d2 C¸ch 1: B1: ViÕt PT mặt phẳng ( α ) qua điểm A vng góc đường thẳng d1 B2: Tìm giao điểm B = (α) ∩ d B3 : §êng th¼ng cÇn t×m lµ ®êng th¼ng ®i qua ®iĨm A, B C¸ch 2: B1: ViÕt PT mp ( α ) ®i qua ®iĨm A vµ vu«ng gãc víi d1 B2: ViÕt PT mp (β) ®i qua ®iĨm A vµ chøa d2 B3: §êng th¼ng cÇn t×m d = (α) ∩ (β) Dạng 11 : Lập đường thẳng d ®i qua điểm A , song song mặt phẳng ( α ) cắt đường thẳng d’ C¸ch 1: B1: ViÕt PT mp(P) ®i qua ®iĨm A vµ song song víi mp( α ) B2: ViÕt PT mp(Q) ®i qua ®iĨm A vµ chøa ®êng th¼ng d’ 23 Giáo viên soạn: trần ngọc thắng B3: §êng th¼ng cÇn t×m d = (P) ∩ (Q) C¸ch 2: B1: ViÕt PT mặt phẳng (P) qua điểm A song song mặt phẳng ( α ) B2: Tìm giao điểm B = (P) ∩ d ' B3: Đường thẳng cÇn t×m d ®i qua hai điểm A B D¹ng 12: ViÕt PT đường thẳng d nằm mp( P ) cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước B1: Tìm giao điểm A = d1 ∩ (P) ; B = d ∩ (P) B2: d đường thẳng qua hai điểm A B D¹ng 13: ViÕt PT đường thẳng d nằm mp( P ) vng góc đường thẳng d’ cho trước giao điểm I d’ mp( P ) B1: Tìm giao điểm I = d’ ∩ ( P ) r r r r r   v = u, B2: T×m VTCP u cđa d’ vµ VTPT n cđa (P) vµ  n (Chó ý : C¸ch cho ta t×m ®ỵc ®é dµi ®o¹n vu«ng gãc chung cđa hai ®êng th¼ng chÐo nhau) D¹ng 15: ViÕt PT ®êng th¼ng d vu«ng gãc víi mp(P) vµ c¾t c¶ hai ®êng th¼ng d1 vµ d2 B1: ViÕt PT mp(P) chøa d1 vµ vu«ng gãc víi (P) B2: ViÕt PT mp(Q) chøa d2 vµ vu«ng gãc víi (P) B3: §êng th¼ng cÇn t×m d = (P) ∩ (Q) D¹ng 16: Lập đường thẳng d ®i qua điểm A , c¾t vµ vng góc víi đường thẳng d PP gi¶i: §©y lµ trêng hỵp ®Ỉc biƯt cđa d¹ng 10 r B3: ViÕt PT ®ường thẳng d qua điểm I có VTCP v D¹ng 14: ViÕt PT ®êng vu«ng gãc chung d cđa hai ®êng th¼ng chÐo d1, d2 C¸ch 1: uu r uur B1: T×m c¸c VTCP u1 , u cđa d1 vµ d2 Khi ®ã ®êng r uu r uur th¼ng d cã VTCP lµ u =  u1 , u  uu r r uu r uur r uur B2: ViÕt PT mp(P) chøa d1 vµ cã VTPT n1 =  u, u1  B3: ViÕt PT mp(Q) chøa d2 vµ cã VTPT n =  u, u  B4: §êng th¼ng cÇn t×m d = (P) ∩ (Q) (Lóc nµy ta chØ cÇn t×m thªm ®iĨm M thc d) C¸ch 2: B1: Gäi M(x0+at; y0+bt; z0+ct)∈ d1 ; N(x0’+a’t’; y0’+b’t’; z0’+c’t’) ∈ d lµ ch©n c¸c ®êng vu«ng gãc chung cđa d1 vµ d2 uuuu r uu r MN.u1 =  MN ⊥ d1 ⇒  uuuu ⇒ t, t ' r uur B2: Ta cã  MN.u =  MN ⊥ d  B3: Thay t vµ t’ t×m ®ỵc vµo to¹ ®é M, N t×m ®ỵc M, N §êng th¼ng cÇn t×m d lµ ®êng th¼ng ®i qua ®iĨm M, N 24 ... B(4,0,1), C(-10,5,3) 46 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(0 ; 1; –3), N(2 ; ; 1) 1) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (P) qua N vuông góc với MN 47 Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3)... ngọc thắng (§S: ®êng trßn t©m I(1;1), b¸n kÝnh ƠN TẬP MƠN TỐN LỚP 12 THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THƠNG (CƠ BẢN) 1.Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  x = + 4t  (d ) :  y =... 13 §i qua ®iĨm vµ giao tun mỈt ph¼ng §iĨm E(6;-11;10) vµ giao tun mỈt : (P) : 2x 10y + 7z -39 = 0, (Q) :3x - 2y + 2z - 20 = 14 Chøa giao tun mỈt vu«ng gãc víi mỈt thø Chøa giao cđa (P) : 19x