Phương trình của đường thẳng

Phương trình tổng quát của đường thẳngEm hãy chọn đáp án đúng Nếu hai mặt phẳng cắt nhau thì giao của hai mặt phẳng là: A.. Một đường cong... Phương trình tổng quát của đường thẳngNhư v

Tiết 53: §6 PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG

O

z

d

1 Phương trình tổng quát của đường thẳng

Em hãy chọn đáp án đúng

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau thì giao của hai mặt phẳng là:

A Một điểm

B Một đường thẳng

C Một đoạn thẳng

D Một đường cong

1 Phương trình tổng quát của đường thẳng

Như vậy trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d Ta có thể coi d là giao của

hai mặt phẳng () và (')

α

α '

d

1 Phương trình tổng quát của đường thẳng

α

α '

d

Vậy nếu (): Ax + By + Cz + D = 0

và ('): A'x + B'y + C'z + D' = 0 thì ta có thể xem tập

hợp các điểm M(x; y; z)  (d) là nghiệm của hệ phương trình nào?

Trả lời:

M(x; y; z)  (d) là nghiệm của hệ phương trình:

0

Ax By Cz D

A x B y C z D

ïï

íï + + + =

ïî

M

1 Phương trình tổng quát của đường thẳng

Ax By Cz D

A x B y C z D

ïï

íï + + + = ïî

với các điều kiện A2 + B 2 + C 2 ≠ 0, A' 2 + B' 2 + C' 2 ≠ 0 và

A : B : C ≠ A' : B' : C' gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.

Vậy để viết phương trình tổng quát của đường thẳng ta phải làm gì ?

Ví dụ: đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng: 2x + 3y + z +5 = 0

và mặt phẳng x – 2y + 2z – 1 = 0.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

x y z

x y z

ïï

íï - + - = ïî

2 Phương trình tham số của đường thẳng

d

u r v r

w ur

Em hãy đọc SGK trang

89, quan sát vào hình vẽ

và cho biết những vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d) ?

u r

B ChØ cã vect¬ lµ vtcp cña (d)

A Vect¬ w ur

C C¶ hai vect¬ vµ lµ vtcp

cña (d).

u r v r

D C¶ ba vect¬ trªn lµ vtcp

cña (d).

 Vectơ u r ¹ 0 r gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ( d ) nếu :

dường thẳng chứa song song hoặc trùng với ( d ).u r

2 Phương trình tham số của đường thẳng

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d đi qua điểm M0 (x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương

* Bài toán:

O

z

d

( ; ; )

u r = a b c

Tìm điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y; z) nằm trên d

M0

M

u r

Giải:

Khi M  d, em có nhận xét gì về quan hệ giữa vectơ M0M và vectơ u ?

2 Phương trình tham số của đường thẳng

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d đi qua điểm M0 (x0; y0; y0) và có vectơ chỉ phương

* Bài toán:

O

z

d

( ; ; )

u r = a b c

Tìm điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y; z) nằm trên d

M0

M

u r

Giải:

M  d  M0M cùng phương

với vectơ u

Tức là  t   sao cho M0M = tu

Mặt khác M0M = (x – x0; y – y0; z – z0)

Nên: x – x0 = ta

y – y0 = tb , z – z0 = tc

2 Phương trình tham số của đường thẳng

O

z

d

M0

M

u r

x – x0 = ta , y – y0 = tb , z – z0 = tc

từ đó ta có:

x =

y =

z =

x0 + at

y0 + bt

z0 + ct

(a2 + b2 + c2 ≠ 0

Ngược lại mọi điểm M (x; y; z) thoả mãn hệ phương trình trên đều nằm trên một đường thẳng

ìïï

íï

ïî

Chú ý: Trong hệ pt trên t gọi là tham số Với mỗi giá trị của t ta có một điểm M nằm trên d

Để viết phương trình tham số của đường thẳng ta cần phải xác định được hai yếu tố: toạ độ một điểm mà đường thẳng đị qua

và toạ độ một vtcp nào đó của đường thẳng.

2 Phương trình tham số của đường thẳng

Vậy em hãy định nghĩa phương trình tham số của đường thẳng ?

0 0

ì = + ïï

ïï = + íï

ï = +

ïïî

với điều kiện a2 + b 2 + c 2 ≠ 0 gọi là phương trình tham số của đường

thẳng.

Vậy để viết phương trình tham số của đường thẳng ta cần xác định mấy yếu tố ?



2 Phương trình tham số của đường thẳng

Ví dụ 1: Đường thẳng d đi qua điểm (2; 0; -1) và có vectơ chỉ

phương (-1; 3; 5) có phương trình tham số là:

5

A y

ì = - +

ïï

ïï =

íï

ï =

-ïïî

2

1 5

B y t

ì = -ïï

ïï = íï

ï =- + ïïî

2

1 5

ì = + ïï

ïï = + íï

ï =- + ïïî

0 0

x x at

y y bt

z z ct

ïï

íï

ï = + ïïî

với điều kiện a2 + b 2 + c 2 ≠ 0 gọi là phương trình tham số của đường thẳng.

2 Phương trình tham số của đường thẳng

Ví dụ 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai

điểm A(0; 2; 1) và B(1; -1; 3)

Thi tốt nghiệp BT THPT lần 1 năm 2007

0 0

x x at

y y bt

z z ct

ïï

íï

ï = +

ïïî

với điều kiện a2 + b 2 + c 2 ≠ 0 gọi là phương trình tham số của đường thẳng.

Giải:

Em hãy tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng

AB ?

Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương uur AB = (1; 3;2)

-Vậy phương trình tham số của đường thẳng AB là:

ìïï

íï

ïî

x =

y =

z =

0 + 1.t

2 + (-3).t

1 + 2.t

 ìïï íï ïî

x =

y =

z =

t

2 - 3t

1 + 2.t

Từ phương trình tham số, với x = x0 + at

 t = ?

0

t

a

-=

Với y = y0 + bt

 t = ?

0

t

b

-=

Với z = z0 + ct

 t = ?

0

t

c

-=

hoặc c bằng 0 thì

sao nhỉ ?

Trong trường hợp một hoặc hai trong ba số a,

b, c bằng 0 thì ta vẫn viết PT trên với quy ước: Nếu mẫu số bằng 0 thì tử cũng bằng không (chẳng hạn a = 0 thì x -

x0 = 0 …)

3 Phương trình chính tắc của đường thẳng

với điều kiện a2 + b 2 + c 2 ≠ 0 gọi là phương trình chính tắc của đường

thẳng.

Ví dụ : Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai

điểm M(3; 4; 1) và N(2; 3; 4)

Thi tốt nghiệp BT THPT lần 2 năm 2007

Giải:

Đường thẳng MN có một vectơ chỉ phương MN = - uuur ( 1; 1;3)

-Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng MN là:

-4 Chú ý

Tóm tắt những nội dung chính:

Ax By Cz D

A x B y C z D

ïï

íï + + + = ïî

với các điều kiện A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 và A : B : C ≠ A' : B' : C' gọi là

phương trình tổng quát của đường thẳng.

0 0

x x at

y y bt

z z ct

ïï

íï

ï = +

ïïî

với điều kiện a2 + b 2 + c 2 ≠ 0 gọi là phương trình tham số của đường thẳng.



với điều kiện a2 + b 2 + c 2 ≠ 0 gọi là phương trình chính tắc của đường

thẳng.

Bài tập về nhà

Bài 1,2,3 ,5 SGK trang 91

Hướng dẫn bài 2a trang 91:

Tìm phương trình của đường thẳng trong trường hợp đi qua điểm (4; 3; 1)

và song song với đường thẳng:

3

ïï

-íï

ï = + ïïî

Từ giả thiết suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng là: u =r (2; 3;2)

-Vậy phương trình của đường thẳng cần tìm là:

ïï

-íï

ï = + ïïî

Em đã chọn đúng !

Em đã chọn sai ! Hãy kiểm tra lại.