Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Luyện thi THPT Quốc gia

1 Chuyên đề Luyện thi THPT Quốc gia – Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Đây thường câu lấy điểm đề thi môn Toán, tập đòi hỏi mức cao dành cho bạn thật có tố chất Đây chuyên đề ngày một, ngày hai làm mà bạn phải làm thật nhiều rút kinh nghiệm kĩ thuật để áp dụng cho khác Chúc bạn thành công!  Bài (Đề thi THPT Quốc gia 2015) Giải phương trình:  x2  x   ( x  1)( x   2) x2  x  Ý tưởng: - Đầu tiên, bấm máy tính thử nghiệm có nghiệm đẹp x  Sau tìm nghiệm này, bạn phải làm để tách nhân tử chung ( x  2) Sau biến đổi ta ( x  2)( x  4) ( x  1)( x  2)  x2  x  x2 2 - x4 x 1  Để giải phương trình x2  x  x2 2 việc ta phải nhẩm nghiệm Tuy nhiên, không may mắn nghiệm xấu đoán Vì vậy, việc tách nhân tử chung khó khăn không Ở có mẹo nho nhỏ, để ý bạn thấy phương trình có dấu Vậy Đến đây, ta cần giải phương trình lại chắn x   ax  b,(a, b  Z ) Tại lại khẳng định vây? Vì: + Nếu x   ax2  b Bình phương lên, bậc nghiệm lẻ khó giải + Nếu x   ax  b x   ax  bx  c đề phải gợi ý thêm dấu Như vậy, từ ta có sở để giải phương trình May mắn thử x   x  1 Ta suy  x   x  Có cách để giải phương trình này: + Thứ nhất, bạn trục thức + Thứ hai, bạn xét hàm Sau lời giải chi tiết: Điều kiện x  2() Với điều kiện    phương trình cho tương đương với: x  ( x  2)( x  4) ( x  1)( x  2)  x4     x  2x  x2 2  x  x  x 1 x2 2 Cách Ta có: (1)  ( x  4)( x   2)  ( x  1)( x  x  3)   2  ( x   2)  x   2   x  1  2  x  1  2     Xét hàm số f (t )  (t  2)(t  2) (2) Ta có: f '(t )  3t  4t   f '(t )  0, t  R , nên f (t ) đồng biến R Do đó:  2  f ( x x  2)  f ( x  1)  x   x 1  13 Cách Ta có: (1)  ( x  4)( x   2)  ( x  1)( x  x  3)  x3  x  x   ( x  4) x     x3  x  x  1  ( x  3x  4)  ( x  4) x     ( x  1)( x  3x  1)  ( x  4) ( x  1)  x    x    x  3x   Chuyên đề Luyện thi THPT Quốc gia – Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình  x  3x    ( x  1)( x  3x  1)  ( x  4)  0  x 1  x     x4   x  3x  1  x  1  0 x 1  x     x  3x   x4   x  x   ( x  1) x   Vì với điều kiện x  2 x   x 1 x  2 1   ( x  2) x    x     x   (Vô lí) 2  Đối chiếu điều kiện ta nghiệm phương trình cho x  ; x   Nhận xét: - Ta thấy cách cách giải ngắn hay cách (đây cách giải Bộ GD) để nghĩ đến phương án xét hàm vấn đề, thuộc kinh nghiệm - Thông thường, theo phản xạ phòng thi thường nghĩ đến cách nhiều Vì kĩ thuật thường thấy giải phương trình Nhưng thấy cách giải phức tạp đòi hỏi đánh giá khéo léo thời gian Tại phân tích này?  x3  x  x   ( x  4) x     x3  x  x  1  ( x  3x  4)  ( x  4) x    Các bạn để ý ta đoán x   x  hiển nhiên ( x  4) x   ( x  4)( x  1)  x  3x   x3  y  xy  x  y    Bài Giải hệ phương trình  4 x  x    y  1 x     13 1  2 Ý tưởng: - Dễ thấy, phương trình (1) phương trình (các số hạng phương trình có bậc 3) nên ta phải chia vế cho x3 y Lưu ý phải kiểm điều kiện đảm bảo (x y >0) Sau biến x  t (kiểm tra điều kiện t), ta được: t   t  t  1 Ta dễ dàng đoán nghiệm t y = Nhưng để giải phương trình không đơn giản Nếu làm theo cách trục thông thường sau rút nhân tử chung t – khó mà đánh giá phương trình bên khác Để ý: đổi, đặt t  t  1  t t  1  t  t  t  1  t  1   t  t   t  1  t  t  1   t  t  t  Trừ   t   mà t >0 x >1 y >1 (suy từ phương vế cho t  t ta (t  1) t     t  1  t     trình (2)) Ta cần đánh giá t  t  1  t   Việc đánh giá dễ dàng Từ ta suy x y - Thay vào (2) ta x  x    x  1 x   vế phương trình xuất  x  1, x   u  x  sau đưa hệ phương trình   v  x    x   x    x  1 x  Ta thấy  x  1   x  1  v  u  để giải  2  u  v   9u 2 Ta đặt Chuyên đề Luyện thi THPT Quốc gia – Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình  Bài giải x  Điều kiện xác định   Với điều kiện (*) phương trình (1) tương đương với: y 1     x2  x x      1 y y y  Đặt (3) x  t  Phương trình (3) trở thành t   t  t  1 y  t   (t  t )  t 2(t  1)  (t  t )  (t  1) (t  1)  t (t  1) 2(t  1)  t    t  0  (t  1) t     t  1  t      t 1 Suy x  y Thay vào (2) ta x  x    x  1 x  4 ( x  1)  ( x  1)  ( x  1)( x  1)  9( x  1) x  2 2   2 4  x 1  x 1   9( x  1) x   x     x  1 x   x   18( x  1) x  x 1  x 1  u  x  Đặt  ta có hệ phương trình  v  x   v  u   2  u  v   9u Lấy (4).(5) ta được: (u  v)(v2  u )  9u  10u  v3  u v  uv  u u u  10         v v v   x  u x 1      v x 1 y   5 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    ;  3 3  4  5 Vì t 2(t  1)  t   t  2t  Chuyên đề Luyện thi THPT Quốc gia – Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 1  2 2  2 x   x  y  x  y   Bài Giải hệ phương trình  3  2 x  y  Điều kiện xác định:  x  y  x2  y   1  1     x     y       2  2  Với điều kiện (*) 1   x   x  y  x  y  3    2x   10   x    3  x  y  x  y     x3  y   4  5 Từ (4) (5)  5x2  y  3x  y  x3  y3  x3  3x  5x2  y3  y  y  x(2 x  3)( x  1)  y(2 y  1)( y  1) Đặt t  x   (6) 2  10 1 t  t (2t  1)(t  1)  y(2 y  1)( y  1)  (t  y)(2t  yt  y  y  t  1)  Phương trình (6) trở thành t  y  2 2t  yt  y  y  t   x  y 1  2 2 x  3x  xy  y  y     3  1    Loai  y  x  2  Với x  y     y  y       3  1  y  x  Thoa   2    Với x2  3x  xy  y  y     3x  y  x (7)  y 1 (8) Thay (8) vào (7) ta y  xy  3x   2  10  x  nên  x  Suy ra: phương trình (9) vô nghiệm Vì   ( x  y)2   x  (9)   x  y    x2   1  3   Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    ;   2   Đánh giá: - Tại không giải phương trình 5x2  y  3x  y  x3  y cách phân tích đa thức thành nhân tử mà phải xét hàm? Ta thấy hệ thức bậc dấu hiệu phương trình khó mà nhận thấy nghiệm x  y  Vậy nên phải sử dụng phương pháp xét hàm! - Ở đây, ta giải tắt mà không cần phải thông qua biến t, nhiên để dễ hiểu tránh điểm đáng tiếc, ta nên trình bày rõ ràng - Cái khó toán cách chứng minh phương trình x2  3x  xy  y  y  vô nghiệm Điều cần tỉ mỉ kinh nghiệm để đánh giá điều kiện biến toán thật chặt 5 Chuyên đề Luyện thi THPT Quốc gia – Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 2      x y x  y (2 x  y ) y  x(2 x  y )    2( y  4) x  y   ( x  6) x  y   3( y  2)   Bài Giải hệ phương trình  1  2 x   Điều kiện xác định  y   Với điều kiện (*) (1) tương đương với: 2 x  y    Ta có: x y  a  b    1  x  y(2 x  y) y  x(2 x  y) c  b c  b  a  b  3  2  a  b c  b 2   (3) Thật vậy: ac  b2 2 2   a  b    c  b    ac  b    a  b   c  b   ac (a  c )   ac  b     ac  b Dấu “=” xảy a = c Áp dụng bất đẳng thức (4) ta có: Dấu “=” xảy  x y    2x  y  y   y  x(2 x  y) x  2x  y  x  y Thay x = y vào phương trình (2) ta được:  x  4 x    x  6 x   3 x  2 (4)  x  3 x     Điều kiện xác định PT (4):  1   x     x  Cách 1:   Dễ thấy x  nghiệm phương trình Với x  Ta có: Với điều kiện (**) (I) 2  x   x    x   x    x    2 2      x    x  3   x   (2 x  1)  x    x  3   x   (2 x  1)  2  x   x    x   x   3 x  2  x  4 x    x  6 x   2  x   x    x   x    x     x  x  78 x  x   x  x         5 6 Lấy (5) + (6) vế theo vế ta được:  x   x    x    x  x  78  6( x  4) x   x  x  48  x  x  12 x   x  x  48   x  x  12    x    x  x  12   x    (7) Chuyên đề Luyện thi THPT Quốc gia – Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình   x  nghiệm phương trình (7) (II) x  , chia vế (7) cho x  ta được:  x  x  12    3    x4   x  x  12 x  x  12 6 90 x4 x4  x  x  12 3 x4  x  10 x  24  x   ( III ) x   x; y    2;2  Từ (I); (II); (III) suy hệ phương trình có nghiệm  x; y    4;4   x; y    6;6  Cách 2:  x  4 x    x  6 2x   3 x  2   x   x   x3 3   x   x   2x     x  4   x     x  6   2x      1    x   x     0 2x     x3 3  x  x     x   x    x   2x  1    0 2x    x   x    x   x   x; y    2;2  Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    4;4   x; y    6;6   Nhận xét: Nếu giải theo cách toán ghép từ toán nhỏ Những điều cần ghi nhớ: - Bất đẳng thức:  a  b  c  b  ac  b2 a  c Dấu “=” xảy  ac  b - Kĩ thuật giải phương trình dạng  x  4 x    x  6 x   3 x  2 2  x   x    x   x    x    2 2   x    x  3   x   (2 x  1)  x    x  3   x   (2 x  1)  2  x   x    x   x   3 x  2  x  4 x    x  6 2x   - Cách giải phương trình dạng P x   Px Qx   Q x   + Xét Q(x) = (*) + Xét Q( x)  Chia vế phương trình cho Q  x  đặt t  P  x Q  x (chú ý điều kiện t) ta phương trình bậc ẩn t  t    Ghi chú: Phương trình (*) dạng phương trình biến x, y viết dạng đa thức 7 Chuyên đề Luyện thi THPT Quốc gia – Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 3 y  x  y   x  y  x   y   Bài Giải hệ phương trình     x  y 1   x  y 1  2 5 y  x  5 y  x    x  Điều kiện xác định: 2  x   y 1  y  1    y  không nghiệm hệ phương trình  y  , chia vế (1) cho y2 ta 2t   5t  4t  (3) Với t  3  x 1 5 ;   t   y 2  2t   t  4t  Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:  2t   3t t   4t  3t t  4t   2 2  3t  3t  6t   VT  3t   2 2t   2t  1.1  Lại có:  3t  1    3t  6t    1  2t   Dấu “=” xảy t   4t t    3t  6t  4  VT   t 1  x  y  x  x    x  x (4) Với x  y (2) trở thành 2  x  Điều kiện xác định (4)  x    1  x    Với điều kiện (**) 4   x      x  x   2 4   x  2 1 x   4  x2  x    x2  x    x   x   x   x  1 x  x 1    x  x  1 1   x 1  x x2  x   x 1  x  x  x 1   0  x  x 1  x  x 1    1 1  0  x 1  x  x  x 1  x   x      x   x  2 3   x 1 Chuyên đề Luyện thi THPT Quốc gia – Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình  1 x  x2  x      1  L x   1  0 x 1  x  x  x 1 1  (Vô lí  x  ) 1 1  Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y     ;     Kinh nghiệm: Khi ta dùng phương pháp không giải nghĩ đến bất đẳng thức  Bài Giải bất phương trình x2 2x  x  1   1 x 1 1 3  Ta có: x  x    x      2 4  Và 2x  x  1   2x  x  1   3  1 Do bất phương trình xác định x  Với x  2x  1   2x  x  1  1 x  , 1  0 x  1 2x  x  1  1 x  x   2x  x  1  0 x 1 Ta có: x  x  1  x   x  1  x  x   x  x   x  x  1   x  x  1   x  x  1   x  x  1  x  x   x  x    x  x  1  x  x    x  x  1  Do bất phương trình cho tương đương với:   x  x   x  x        x    Bài (Đề minh họa 2015) Giải bất phương trình x  x  x    x  x   (1) Điều kiện xác định x    Cách 1: Với điều kiện (*) bất phương trình (1) tương đương với: x  x   x  x  1 x     x  x    x  x  1 x    x  x   1 x     x   x  x  1 x    x  x     x  1 Chuyên đề Luyện thi THPT Quốc gia – Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình  x  x   x   x  x     x  1 (2) Đặt a  x  x    0; b  x   , phương trình (2) trở thành: ab  a  2b 2 x  x  2 Vậy nên a a    20 b b  a  ab  2b  x 1  1  a 2 b   x  x    x   x  x  x   x  x     13  x   13  Từ (*) (**) ta có nghiệm bất phương trình (1) 1  3;3  13  Cách 2: (Cách giải Bộ GD) Với điều kiện (*) bất phương trình (1) tương đương với x  x   x  x  1 x     x  x    x  x   x  1  x  x     x  1   x  x  2  x  1  x  x  2  x  1     x  x    x   nên Do với x thỏa (*), ta có  2  (2) x  x  2  x   x2  x     13  x   13  Kết hợp (*) (**) ta tập nghiệm bất phương trình cho 1  3;3  13  Nhận xét: Nếu giải theo cách 1, ta xử lí bất phương trình ab  a2  2b2 theo cách sau: ab  a  2b  a  ab  2b     a  b    ab  b     a  b  a  b   b  a  b     a  b  a  2b   Do a  b  nên a  2b  Hay  a  2b x  x  2  x   x  2x  4x   x2  6x     13  x   13 Kết hợp (*) (**) ta tập nghiệm bất phương trình cho 1  3;3  13   Bài (Đề thi THPT Quốc gia 2016) Giải phương trình: 3log    x   x  2log   Đáp án Bộ GD: Điều kiện  x  2    x   x log 9 x   1  log x        Khi phương trình cho tương đương với: 3log32   log    x   x  4log      x   x log 3 x   log 32 3 x    x   x  log  x  3log     x   x  log 3 x    10 Chuyên đề Luyện thi THPT Quốc gia – Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình  log    x   x  log  3x     x   x  x    x2  x2   x2  x2   x   81x  68 x    x2  68 81 Kết hợp với điều kiện (*) , ta có nghiệm x   3log3  17   x   x  log  3x   Vì  x  nên 3x  Mặt khác  2 x  2 x    2 x  2 x    x2      3x 2 x  2 x (1)   Do phương trình (1) vô nghiệm 17 Vậy phương trình cho có nghiệm x   x 12  y  y 12  x   12   Bài (Đề thi Đại học khối A, A1 năm 2014) Giải hệ phương trình    x  8x   y   Cách (Đáp án Bộ GD) Điều kiện xác định: 2  x  3; Ta có: x 12  y  x  12  y 2  y  12 y 12  x   y  12  x 2 x  Nên x 12  y  y 12  x   12 Do 1    y  12  x Thay vào (2) ta x3  x   10  x   x  3    x  3  x  x   0  10  x   Do x  nên x  x    x  3  10  x    x3  x    10  x  (3) 0 Do  3  x  Thay vào hệ đối chiếu điều kiện ta nghiệm  x; y    3;3   Cách Đặt a  12  y  a  0  y  12  a2 1  xa  12  a 12  x   12  122  12 x  12a  x a  12  xa 1  2 11 Chuyên đề Luyện thi THPT Quốc gia – Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình  xa  12  2 2 2 2 12  12 x  12a  x a  12  2.12 xa  x a  xa  12  2 12 x  2.12 xa  12a   xa  12   x  a   Ta có:  x  a    x  12  y   Thế (*) vào (2) ta 12  y  12  y  12  y   y     y  12  y  y      y  12  y  12  y    y   3  y  3 y  0 12  y   y     y  12  y    Do    y3    0  12  y   y   12  y  Thay vào hệ đối chiếu điều kiện ta nghiệm  x; y    3;3   Cách   Đặt a  x; 12  x ; b  12  y ; y   a  b  12 12 1  a  b  2ab  a  b  x  12  y  2  x  x   10  x    x  3  x  x  1    x   x  10  x  x     x  3x  1   x2   10  x  x   y  3 x   x  x  1  0 10  x    x  x  1   10  x     x   Đặt f  x    x  3x  1 f ' x     x    10  x     x   Phương trình vô nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    3;3 12 Chuyên đề Luyện thi THPT Quốc gia – Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình  2 1  x  1 y  1  xy  Bài 10 Giải hệ phương trình   x  y  xy  x  y  14      Bài giải Ta có:    x  x  y    y  y  14     y     y  y  14   3 y  10 y  Để tồn giá trị x    3 y  10 y   Chứng minh tương tự ta có  x  1 y  10  1  Vì x, y  nên     x    y    x  y  Xét hàm số f (t )  2t  t (t > 0) Ta có f '  t      t   t2 Suy hàm f đồng biến nửa khoảng  0;  7  f   f 1  f  x  f  y   f   f 3 Theo đề f  x  f  y    10   3    16999  f  x f  y  630 x  nên  Thử lại ta thấy với x  2; y  ta thấy phương trình (2) không thỏa y 1 Vậy hệ phương trình cho vô nghiệm  Nhận xét: Đây dạng toán hay: dùng tam thức bậc để chặn biến x, y đánh giá vế phương trình 3  x  y  4x  y  Bài 11 Giải hệ phương trình  2  x  3y   Bài giải  x3  y  x  y   2  x  3y  1  2  x3  y  x  y   2 4  x  y  Lấy (1) nhân (2) vế theo vế ta x y  xy  y  y    x   y  x  5 y  x  4x Trường hợp Thay y  vào hệ ta   x   x  2 2 2 x3  x  Trường hợp x   y  y   x thay vào hệ ta   4 x   Nghiệm  x; y    2;0   x  1 Nghiệm  x; y    1; 1 13 Chuyên đề Luyện thi THPT Quốc gia – Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình  1   5  Trường hợp x  5 y thay vào hệ ta nghiệm  x; y    ; ; ;    7  7 Vậy hệ cho có nghiệm  x; y    2;0    1   5  ; ; ;   7  7  x; y    1; 1  x; y    Nhận xét Khi gặp hệ phương trình dạng ta nên nhân vế theo vế phương trình để đưa phương trình với ẩn x, y để giải Cách giải phương trình ẩn: - Xét y = - Xét y  , sau chia vế phương trình cho y n (với n bậc phương trình) Đặt t x , đưa phương trình ẩn t để giải y  1 2 x y  y  x  x  Bài 12 Giải hệ phương trình    x   y    x  1    Lời giải Điều kiện xác định y  1     x   y    x  1  Ta có:       y 1   x20  x  2  y   Với x  thay vào hệ phương trình ta có  3 (mâu thuẫn)  y  y  y Chia vế phương trình (1) cho x ta     x  x3 x x  y  f    f  x  x Xét hàm số f  t   t  2t có f '  t   3t   Suy hàm số f đơn điệu tăng Do  x  2 y x x  x  y  (Vì x2 y  y3  x4  x6  ) Thay vào phương trình (2) ta có: x    x  1  3  u  x Đặt   v  x   u  2 v  v2  2u  x  0 Phương trình (3) trở thành:  v2  uv  2v  2u    v  u  v  2    Vậy hệ phương trình cho có nghiệm S   3;3 , v2  3;3  Bài 13 (Đề thi thử Lần 1/2016 Chuyên Lê Quý Đôn Bình Định)  y  x  y    x  y    10 x 1  Giải hệ phương trình  2  y   3 y  3x    3x  y  x  30    2 x Chuyên đề Luyện thi THPT Quốc gia – Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 14   Điều kiện y  4 Với điều kiện (*) 1   y    x  x  y    L  y  5  4   y  x  x Thay y  x2  x vào phương trình (2) ta x2  x   3 x2  x    x  4x3  x2  5x  30  3 Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: x  2x   x 3 x2  x   3  x   4 x Từ (4) (5) suy x2  x      x  x  8 2  x   8.8 8.8   4 x  x       x  x  18     4 x2  x   3 x2  x    2x2  x  26 6 Từ (3) (6) suy x  x3  x  x  30  x  x  26  x  x3  x  x     x    x  1   x  2; y  Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    2;0   Bài 14 (Đề thi thử T3/2015 Chuyên Lê Quý Đôn Bình Định)   x  y   x  xy  y  3x  y  Giải hệ phương trình   y  x    x  y    x   1  2 Lời giải x 1  Điều kiện xác định   x  1 y  x     Biến đổi vế trái phương trình thứ  2x  y    2x  y  2   2x  y    x  y  2  x  y  x  y  3x  y  3x  y 2 x  y   Dấu đẳng thức xảy  x  y  x  y   3 x  y   Thay vào (2) ta x  x   2 x   x    x  1   x  1    x  1  x   3  2x   y  15 Chuyên đề Luyện thi THPT Quốc gia – Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình x  ta Với x  chia vế phương trình (3) cho Đặt t  2x 1 Phương trình (4) trở thành x 1 2x 1  2 x 1 Khi x    4 t  t   t    t 2 t   x   4  x  1  x  x    x   2x 1   x    x   28   x   4 x  x     2x   2x 1 5   5  x 1  x 1   x 1 7 y  2    Vậy nghiệm hệ phương trình  x; y   1  ; 2       Bài 15 (Đề thi thử T1/2015 Chuyên Lê Quý Đôn Bình Định) 1  y  x  y  3  x   y  13 x  Giải hệ phương trình   x  y  x3    y    1  2 I  Lời giải  x2  y  Điều kiện xác định   x  0, y   x2  y   x  1, y  Nhận xét x  1, y  không nghiệm hệ Xét y  phương trình (1) hệ (I) x  x  y  1   y  1   y  1 x  y  1  2  x  x  3   y 1  y 1  Đặt t  x 0 y 1  3 x  Khi phương trình (3) trở thành t  t  t     t  1  t  t  2t  3   t  y 1 Với t  x   y  x  , vào phương trình (2) ta y 1 x  x   x    x  1  x  x    x    x  1       x2  x   0  x  x 1    2 3   x     x  1 x    x  1  16 Chuyên đề Luyện thi THPT Quốc gia – Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình    x  x  1    x     x  1  x2  x    x  Với x    0 x3    x  1   x2  x  2 1  x  1 1 3 y (thỏa điều kiện) 2 1   Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y     ;     Bài 16 (Chuyên ĐH Vinh L3/2016) Giải bất phương trình 3 x  1 x    x3  x   Lời giải Điều kiện x  1   Với điều kiện (*) bất phương trình cho tương đương với  x  1  x   x  1 x      x  1   x  1   x  1 x    x  1       x  1 x   2 x    x  1  x       x  1  x    2x  1  Do  x  1  x   0, 1 x   , ta xét trường hợp sau:  x  , vế trái bất phương trình =    x  Khi 1   x     2x    x2  x      x   Đối chiếu điều kiện ta nghiệm   x  x  Khi x   1  x   2 x    x2  x      x     Đối chiếu điều kiện ta nghiệm x   Vậy nghiệm bất phương trình   x  x   http://www.slideshare.net/unkownig/im-8-9-10-mn-ton-tuyn-tp-b-3-cu-phn-loi-trong-cc-thi-th-thptquc-gia-2015-mn-ton [...]... 0 Đặt f  x    x 2  3x  1 f ' x   0   x  0   10  x 2  1  2  3  x   Phương trình vô nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm là  x; y    3;3 12 Chuyên đề Luyện thi THPT Quốc gia – Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 7  2 2 1  2 x  1 2 y  1  xy  Bài 10 Giải hệ phương trình  2  x 2  y 2  xy  7 x  6 y  14  0  2    Bài giải Ta có:  2   x 2 ... Chuyên đề Luyện thi THPT Quốc gia – Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình    x  x  1 1    3 x 3  4    x  1 3  x2  x  1  0  x  Với x    0 2 x3  4   x  1   6 x2  x  1 2 2 1 5  x  1 2 1 5 3 5 y (thỏa điều kiện) 2 2 1 5 3  5  Vậy hệ phương trình có nghiệm là  x; y     2 ; 2     Bài 16 (Chuyên ĐH Vinh L3/2016) Giải bất phương trình 3 x... được 4 x 2  x  6  2 x  1  5 x  1   2 x  1 2  5  x  1    2 x  1  5 x  1  3  2x   y  0 15 Chuyên đề Luyện thi THPT Quốc gia – Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 2 x  1 ta được Với x  0 chia 2 vế của phương trình (3) cho Đặt t  2x 1 Phương trình (4) trở thành x 1 2x 1  2 x 1 Khi x  1   4 t  5 t 2  5  t  5   t 2 t  2 1  x  2  4  x ... y  0 vào hệ ta được  2  x  4  x  2 2 2 3 2 x3  2 x  Trường hợp 2 x   y  y   x thay vào hệ ta được  2  4 x  4  Nghiệm  x; y    2;0   x  1 Nghiệm  x; y    1; 1 13 Chuyên đề Luyện thi THPT Quốc gia – Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình  5 1   5 1  Trường hợp 3 x  5 y thay vào hệ ta được nghiệm  x; y    ; ; ;    7 7  7 7 Vậy hệ đã cho... gặp những hệ phương trình dạng này ta nên nhân vế theo vế của 2 phương trình để đưa về phương trình thuần nhất với 2 ẩn x, y để giải Cách giải phương trình thuần nhất 2 ẩn: - Xét y = 0 - Xét y  0 , sau đó chia cả 2 vế của phương trình thuần nhất cho y n (với n là bậc của phương trình) Đặt t x , đưa về phương trình 1 ẩn t để giải y 2 3 4 6  1 2 x y  y  2 x  x  Bài 12 Giải hệ phương trình  2... Phương trình (3) trở thành:  v2  uv  2v  2u  0   v  u  v  2  0   Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm S   3;3 , v2  3;3  Bài 13 (Đề thi thử Lần 1/2016 Chuyên Lê Quý Đôn Bình Định)  y  2 x  y  5   x 2  y  5   10 x 1  Giải hệ phương trình  1 2 2  y  4  3 3 y  3x  2   3x  y  5 x  30  4   2 x 3 Chuyên đề Luyện thi THPT Quốc gia – Phương trình, hệ. ..11 Chuyên đề Luyện thi THPT Quốc gia – Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình  xa  12  2 2 2 2 2 2 2 2 12  12 x  12a  x a  12  2.12 xa  x a  xa  12  2 2 12 x  2.12 xa  12a  0  xa  12  2  x  a   0 Ta có:  x ... nghiệm của hệ phương trình là  x; y   1  ; 2  7   2    Bài 15 (Đề thi thử T1/2015 Chuyên Lê Quý Đôn Bình Định) 1  y  x  3 y  3  x 2   y  13 x  Giải hệ phương trình   x 2  y  2 3 x3  4  2  y  2   1  2 I  Lời giải  x2  y  0 Điều kiện xác định   x  0, y  1  x2  y   x  1, y  1 Nhận xét x  1, y  1 không là nghiệm của hệ Xét y  1 thì phương trình (1)...  x f  y  2 630 x  2 7 nên  Thử lại ta thấy với x  2; y  1 ta thấy phương trình (2) không thỏa 2 y 1 Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm  Nhận xét: Đây là một dạng toán khá mới và hay: dùng tam thức bậc 2 để chặn các biến x, y và đánh giá các vế của phương trình 3 3  x  y  4x  2 y  Bài 11 Giải hệ phương trình  2 2  x  3y  4  Bài giải  x3  y 3  4 x  2 y   2 2  x  3y... x 2  1  0  x  2; y  0 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm là  x; y    2;0   Bài 14 (Đề thi thử T3/2015 Chuyên Lê Quý Đôn Bình Định)  2  4 x 2  y 2   5 x 2  2 xy  2 y 2  3x  2 y  Giải hệ phương trình   y 2  x  6  2  x  y   1  5 x  1  1  2 Lời giải x 1  0 Điều kiện xác định  2  x  1 y  x  6  0   Biến đổi vế trái phương trình thứ nhất  2x  y    2x 