Hệ phương trình luyện thi THPT quốc gia ( Thầy Lâm Phong )

ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA) RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH HƯƠNG ĐẾN KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016 Biên soạn trình bày: Hứa Lâm Phong (Sài Gòn – 06/06/2016)  x  xy  y  x  y  y [1] Giải hệ phương trình  2   x  y  x  x  18  y  x; y   (Trích đề thi thử THPT Chuyên Thái Bình)  y  HDG 1  x2  xy  y  y  x  y  với đk   x   x  xy x  xy  y  y   xy x    x  y   2 x y  x  xy  y  y   ,x  ,y       0 x y x y    2 Thay x  y  5x  x  x  3x  18  x  5x  x  x  x  18  x      5x  x  x  3x  18  25x  10 x x  3x  18   x  x   x  x   x    2x2  9x   2  x2  6x x   3 2   6x  x  3 x3  5 x   6x  x  3  3   9  3b a  x 0   (Giải thích: x  x   a x  x  b  x    ) x 1 2  5a  4b  b     u  v u  x  x 2 2   u  v  uv  u  uv  v   u, v  Đặt      u  v v  x     61 x  tm  2  Với u  v  x  x  x   x  x      x   61  km    x   tm  2 Với u  v  x  x   x    x  33 x  27     x    ktm   HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016  HỨA LÂM PHONG (0933524179) GROUP TOÁN 3K ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)   61  61  ; Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  ;  ,     2   4 y   x  29  x   y   [2a] Giải hệ phương trình   x; y  y 2 3  y  3x  y x   x    (Trích đề thi thử THPT Kim Liên, Hà Nội) Đặt u  x    x  u2  (đk: x  7 )   Khi 1  y  y   u2    29 u  y  y  4u3  u  f  y   f  u    Xét hàm f t  4t  t t   , f ' t   12t   0,  t   f  t  đồng biến   Do *   y  u  y  x   thay vào ta được: x7  (nhẩm nghiệm phân tích theo CASIO - HSTL)    3x2  x   3x2  x   x7   x  1   x       x7       x  1     x  x     3x  5x     3x2  5x    0  x7   x7      x  1   x  1     3            3x2  5x           3       3x  5x    0   x  21  x   x7  x  1     5  73 37  73 x  tm   y   6 ● Với x  x      x  5  73  ktm    7  69  x  l x     ● Với x  21  3 x     7  69 35  69 3 x  21  x  24 x  16  x n  y     6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 HỨA LÂM PHONG (0933524179) GROUP TOÁN 3K ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)  5  73 37  73   7  69 35  69   ,  ; ; Vậy hệ phương trình có hai nghiệm      6 6     Cách khác 1: để giải phương trình 3x  x  Đặt z   x7 3 x7   z  1  x   z  z  x  Đồng thời pt thành 3x  x  z  3z  z  x  Do ta có hệ phương trình  (hệ đối xứng loại 2, em tự làm tiếp nhé)  3x  x  z  (Giải thích phương trình có dạng Và đặt x  ax2  bx  c  mx  n ta đặt  VT '   x   b a b  mx  n  để chuyển hệ đối xứng loại 2) a Cách khác 2: Đặt t  x7 m   3t  x    3mt  mx  m  3mt  mx  m  Khi 3x  x   t  3mt  mx  m  0  3mt  t  3x2    m x  m       Xét    12m 3x2    m x  m   36mx2  72m  12m2 x  84m2  36m   Và xét    12m  72m Để     144m 84m2  36m   có dạng bình phương bình     m  1 Do ta có: 3t  t  3x  x   Xét    12  3x  x    36 x  84 x  49   x  2  ,  x    6x  x1 t  6 Đến ta có: pt   (học sinh tự làm tiếp nhé) t   x     x 6  x  x  y y   [2b] Giải hệ phương trình:   x; y  x  x  x   x y       HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 HỨA LÂM PHONG (0933524179)  GROUP TOÁN 3K ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA) (Sưu tầm Facebook 13/05/2016) Điều kiện: y  1, x  x   3   u  x x  u Đặt  pt(1) thành u3  u  v2  v   y  v  v  y            u3  v  u  v    u  v  u2  uv  v    u  v 0  y   x   x   y  1 3 Thay vào pt(2) ta được: x4  x3  x2   x3   x4  x3  x3  x2    x  x  1  x  x  1  0 x x 1 1   x   y  1  x  x  1  x  0   x   y  x3  x2      ,x  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  ; 1 ,  1;   x    x  y  y  [3] Giải hệ phương trình   x; y  2 2 x  y  3x  12  5x   x  11   (THPT Lục Ngạn, Bắc Giang) Đặt u   x   x   u2 (đk:   x3)  Khi 1   u2  u  y  y   y  y  u3  u  f  y   f  u   Dễ dàng chứng minh hàm f t  t  t đồng biến (phần xin dành cho bạn đọc)  y  u  y   x   y   x thay vào pt   ta được:    2x2  4x   x   x  11  (nhẩm nghiệm x = 2, x = -1) Xét 4  2a  b a  x2 5x   ax  b     5x    x     x 1 1  a  b b  Xét   2c  d c    x2 x  11  cx  d     x  11   x   x 1   2  a  b d  HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 HỨA LÂM PHONG (0933524179) GROUP TOÁN 3K ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 pt  x  x      2x  2x    THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)    5x    x    5x    x   x  11   x   0 x  11  x  x2  x   2x2  x    0 5x   x  x  11  x        x   y  1  x2  x   1  1     5x   x   x  11  x   x  1  y         ,x  ;       5x   x  x2  x     x  11   x     x     x     Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  ; 1 ,  1;  2  2 x  5x  y  y  x  1   x  y  1 y  x   [4] Giải hệ phương trình :   x, y  2 x  x   x  y  x  y  y    (THPT Mỹ Đức, Hà Nội) ĐK: y  x, x  y  , x  y  X 100 Giả sử  1  20502  Y  303Y   201  Y  Y  100   Y  201  x  Shift Calc   Do ta cần tạo nhân tử x   y Từ ta đưa đến hướng phân tích sau: 1   2x2  5x  y  3yx  3y     2x  y  1 yx 0       y   x  1 y  x  x     x  y   y  x    *       2 Xét pt *  y  x  y  x  5x   (xem x ẩn y tham số) y  x  nghiệm nên dung lược đồ Horner để nhẩm nghiệm Ta có bảng Horner sau:   2x  1 3x  x   x  5x   Do y  x  y  x  5x   y  2x  y  x  2  Trở lại pt, ta có:   y  x  1 y  x     y  x  1 y  x     y  x  1 y  x   HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016  y  2x  yx 0  yx      y  x    3 HỨA LÂM PHONG (0933524179) GROUP TOÁN 3K ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA) t   n  Ở pt    t  t     t  y  x 0 t  2  l   y  x 1 y  x 1  2 TH1: y  x   x  x   x   x   x  x   3x   4x   9x   3x  4x    9x    (nhẩm nghiệm x = 0)  3x  4x  4x      9x   x3   9x      4x     ,x     0 x0 y1 9x       2 TH2: y  x   x  x   3x   5x   x  x   3x2  x   3x   5x  (nhẩm nghiệm x = 0, x = 1)  1  b a    x 0    3x   ax  b  x 1   2  a  b  b  Xét    2  d c   5x   cx  d  x 0     x   3  c  d  d    x    x  1  x    x    x  x    x     x    Do pt thành  x    x  1 3x   x  x2  x  3x   x    5x    x    3x  3x  5x   x  x2  x  x2  x  5x   x          x   y  1 1  x2  x    3     3x   x   5x   x  x   y       ,x      Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  ; 1 , 1;  2 x  xy  x  y  y  y   [5] Giải hệ phương trình:   x; y   2y  x    2x  y      (THPT Phúc Thành, Hải Dương) HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 HỨA LÂM PHONG (0933524179) GROUP TOÁN 3K ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA) 2 x  y   ĐK:  y  1   2x  5y    x  y  1  y  y  1   2 y  x     2x  5y     2x  y  y  1  5  1  b a1 Xét x  y   a  x  y   b  y  1    b  4 x 0 4  b Khi pt   2x  y   2x  y  y  1   3 y1  0 u  x  y  * u  v  tm    u2  3uv  4v    Đặt  u  4v  ktm  v  y    2x  y  y   2x  y  y   x  y    Thay vào phương trình ta được: 4y2  2y   2y  y  4y2  2y   y   2y  4y2  y   2   4y  4y   y   y  1  y  y   y  1  y    4 y  y  y   y  y  16  16 y  25 y  12 y    y   x  Vậy hệ phương trình có nghiệm  ;       4x3  x2 y   y y   4x3  x2  3y  [6] Giải hệ phương trình   x; y  x3 y  2x2  x x3 y  y  y     (Thầy Dương Văn Vũ – Bài 588) ĐK: x  y,y   x  y  (Nhận xét pt(2) thừa số có “y” dựa vào đánh giá điều kiện ban đầu ta đưa đến việc chia bớt vế pt(2) cho “y”)    x3   2x2  x  x3  y  y  2 shift calc 3  Y  997500 Xét X  100  100  19900 100  Y  2Y  HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 HỨA LÂM PHONG (0933524179) GROUP TOÁN 3K ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016  Y  1003  2500  1003  THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA) 100 x2 x2  x3   y  x3  0 4 Do ta đưa đến cách phân tích theo lượng liên hợp sau:  x x x3  y    2x2  x  y 2  x2 x3  y  x 0  2x3   y  2x2  x x x3  y    x  x  1   x2   x2   x  y       y  x   4x3  x2  4y  x   x  y    2     x3   2x2  x       0 ,x Thay vào pt(1) ta được: y y   y y   y  y (nhẩm nghiệm y = 7)      y y   y  y y   3y   4y y  7 y6 4 y 7  y2 y2 3 0   4y y2    y   x  x  28   x    y  7   y6 4  y2 3  0 ,y 6 2;7 Vậy hệ phương trình có nghiệm Cách khác phân tích nhân tử cho pt(2) (đổi biến không hoàn toàn)    x3   2x2  x   x  y  y Đặt k    x3  y   y  x3  k  Pt thành x3  x2  x k  x3  k (xem k ẩn x tham số quy pt bậc 2)     k  x2  x k  x3  Xét   x  x      8x3  4x4  4x3  x2  2x2  x   (hạnh phúc mỉm cười với hy vọng ^^)  x  2x2 k  *    x  2x2 k     2x2  x x  x  x3  y   4x3  x2  y 2  2x  x   x  ktm  HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 HỨA LÂM PHONG (0933524179) GROUP TOÁN 3K ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)  x   x  y   x  x  y  [7a] Giải hệ phương trình   x; y  2  x x    x  y   2x  x  y   (THPT Hùng Vương, Bình Phước)  x  y   DK :   x  y   Y 100   x2  x     shift x  97  x2  x  101   x  101  y  calc   Do ta cần tạo nhân tử x  y      x2  x     x2  x     x  y    x2  x  2x2  x  y   x y 1 xy3 2  x  y 1 x  y    x2  x    x  y  1   1    x2  x   x  y    y  x   xy3 2     0  Thay vào phương trình ta được:  x   x   x  x  x  (nhẩm nghiệm x = - nghiệm bội nghiệm vô tỷ quen thuộc, bạn đọc tự kiểm tra) h  1  1  a  b  a    b  h'  1  1  a  a ? Xét h  x   x    ax  b    b ? Do ta có cách phân tích sau:  x  2     2x    x    x3  x2  x    x     x  2   x  2  2x  3   x   2x   x  x2  2x  2  x  3x    x  1  x    2x   x   2 x2   x  1   x  2   2x   x    x  1  y     x    x   x   x        x2  x    x   x   (chú ý nghiệm vô tỷ ^^) Dùng chức MTCT SHIFT CALC pt ta HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 SHIFT  RCL A X  1, 414213562  x  A HỨA LÂM PHONG (0933524179) GROUP TOÁN 3K ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 x A x    A   , 414213562  A   x    x  1 Thay vào  3   x      x  2 THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)  x    x  1  x  x    x   x  1  x    x  1 2x   x  x2    x  2 2x   x     x2      x2    x   y    tm     2x  x 2       x    y     ktm   x   x     2 x   x        9x2 3x  31  31 2 x   y    2x       ktm  x 9 x   Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  1; 2  hay  2; 1  Cách khác: (đổi biến không hoàn toàn) Dặt t  x  y    y  x   t pt (2) thành x        x t  x  x   t  x  x t  x  x   t   t      t  2  x  x  x  t     t   t       xt2 0   x  y   x2  x   x  y    x  y    x  y  0  y2  3y x  y   x  x; y  [7b] Giải hệ phương trình:   x   3y   x  y     (THPT Hà Huy Tập, Nghệ An) DK : x  1, y  ,x  y  3 1  x2  xy  3x  y2  3y   x2  xy  2y2    3x  3y     x  y  x  y    x  y     x  y  x  y     x  y 0 ,x1 ,y  HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 HỨA LÂM PHONG (0933524179) GROUP TOÁN 3K ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA) Thay vào phương trình (2) ta được: x3  x  x3  x2    x  1 x2     x  x   x  x   x  1   2x3  2x2   x2  x   x4  x2   x2   x2  2x3  2x2   x2  x   2x3  2x2   x2  x     x  1 x4  x2    x  1 x4  x2  x2   x2 x2   x2 0   2x   0  x  x    2 2   2x  2x   x  x x 3x      13  13 x4  x2    x2  x y 2   2 2  x   x   x  1 x  x    x  1 x  x          3   x    x  1 x  x   x  x  x   x2   x3  x2   x x3  x2   x3  x2  x    x 2x2      x 2x3  2x2   2x2  2x   x   2x  2x    x2   x  2x3  2x2   2x2  2x  1   x   y    0  x   2x  2x   0   13  13 ; Vậy nghiệm hệ phương trình  ;  ;   2   y   y   y  x   xy  x [14c] Giải hệ phương trình:    y    x   y    x  y      x; y   (THPT Thanh Chương, Nghệ An, Lần 1) 1  x  0  x   Nhận xét: VT1   VP1  x  Từ điều kiện   xy   y  Phân tích tìm nhân tử nghiệm phương trình CASIO: x 100  1  Shift 9Y   2Y   Y  100   40 Y  700   Y  100  x  y  Calc HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 HỨA LÂM PHONG (0933524179) GROUP TOÁN 3K ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 1     THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)  x y   y   y  x   3x  y  x   y   y  x  y   y   y  x   x 4  y  x  y  x    y   y  x  y   y   y  x   x  xy  x   y  x 0 4 x    y  x 0    11y  x   y  x   y x 4 x0yx    y   y   y  x   x       ,x ,y  Thay vào pt(2) ta  x  1  x   x    x  x (nhẩm nghiệm x = 0)     2x  x  2x  x  2x   2x   1 x  1 x 1   1 x  1 x  2x 1 x  1 x 0    2x   x   x   0 1 x  1 x   x   y     x   x   x   x   , x   1; 1        Vậy nghiệm hệ phương trình  ;  2 x  xy  x  y  x y  y  [15a] Giải hệ phương trình  y  x  y  16   x; y  1  y  x      2   x  8y     (THPT Minh Châu, tổ Tự Nhiên) ĐK: x  y   , x  1 1  x3  xy  x  y  x2 y  y   x  x y    xy  y    x  y    2x2  x  y   y  x  y    x  y     x  y   x  y  1   x  y 0 Thay vào phương trình (2) ta được: HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 y  y  16  1 y   2 4y  8y    HỨA LÂM PHONG (0933524179)  y   ĐK: y   GROUP TOÁN 3K ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016  THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)  y   y      y  4  y     2y   4y2  8y   y   x    y  2  2y        y  2   y  4   2y    4y  8y   y      2y    y  y   3     y    y      y  y    y  1   y   y   y  12 y    y    y    y     y  12 y    y   y  1   y  2   y  2 2y   4y2  8y  2y   2y  2 4 y  10 y  2y   2y  2   y  10 y        y  16 y  y     y  1 y  10 y      13  y   y  10 y        2y   13   y  1     y   ktm     2y   2y  2   2y    y  1      y    y      y    y  1 y    y  1 y      y  1 y   y     y  1 y     y     VN    13  13  ; Vậy nghiệm hệ phương trình  ;  ,       Cách khác phân tích nhân tử CASIO cho phương trình (1) 1 Shift y  100  2X  10001X  2.100  400X  200    X  200  y  x  y  Calc      x x  y  10 y    y  1 x  y  y   [16] Giải hệ phương trình   x; y   x  x  y  y  y  (Sở GD&ĐT Bạc Liêu) ĐK: y  , x  y  y  Nhận xét VP   y   VT1   x  Phân tích CASIO tìm nhân tử cho phương trình (1), ta có: HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 HỨA LÂM PHONG (0933524179) GROUP TOÁN 3K ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016  THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)    1 shift y  100  X X  51005  3.101 X  10201   X  101  y   x  y   calc   Do ta có: x3   y  1 x2  y  10 y  x   y  1  Ta dùng bảng Horner với nghiệm nhẩm x  y  3  y  1 y 1 2  y  1  y  1  y  1 2 3  y  1 pt   x  y  1  x   y  1 x   y  1    x  y    0 Thay vào pt(2) ta được: y   y  y   y *  ĐK: y   hay  y    1 Nhẩm nghiệm CASIO ta được: y  4 ;   4  h    2  a  b  a    a ? Xét h  y   y   ay  b    1   1 b ? h      ab0 b  2  4   5  h    1  4c  d  c     c ? Xét g  y   y  y    cy  d        1  d ? h      cd0 d  4          Do  1  y  y    y  1  y   y  1  1     25 y  y    y  1 y  y    y  1 24 y  102 y  24 y  y    y  1 3 3 25 y   y  1  y   y  1 4 y  17 y  y   y  1 y   x    0  y  17 y    y   x   y2  4y   y  y   y  1      4     ,y0 ;      ;      5 1 Vậy nghiệm hệ phương trình  ;  ,  ;  4 4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 HỨA LÂM PHONG (0933524179) GROUP TOÁN 3K ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)     8 x  x  x   y y  y   [17a] Giải hệ phương trình   x; y   xy   y   y  x   y  12 x    (THPT Nguyễn Thái Học, lần 3) Đặt u  2x    2x  u2  Khi phương trình (1) thành   8u u   u  y  y  y  8u  8u  8u  y  y  y   2u    2u    2u   y  y  y  f  2u   f  y *  Xét hàm f  t   t  2t  4t , f '  t   3t  4t   2t   t    , t  Do hàm số f  t  đồng biến nên *   2u  y   y   x  1  x   y2  Thay vào phương trình (2) ta được: y   1         y    y   y2 1   y2  y2  1  5y    1         y3 3y2  2y   y   y2  y   5y  2  y  y  y   y   y   *  , y   Nhẩm nghiệm y = nghiệm kép Do đó:  2  2a  b  a  h       a ? h  y   y    ay  b      1  b ?  a0 b  h'    4  *    y  y  y    y       y  y  y  12   y    y    y     y   y    16  y     y   y    y  6 0  y  2   y    2y  3   y   0 y    y  6 2   y   x  y2 0   y  2  2y    y    y      y   y    y   y     y       Pt     y   y   y  y    VN   ,y  HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 HỨA LÂM PHONG (0933524179) GROUP TOÁN 3K ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA) Vậy nghiệm hệ phương trình 1;  Cách khác giải pt(*) (Lũy thừa) *   y  y  y   y   y   Đặt t  y    y  t  phương trình thành t 2    t2      t   2t   t  9t  2t  18t   (Chú ý: nghiệm nguyên phương trình ước số hệ số tự do, nhẩm nghiệm ta t  ,t  1 , đồng thời nghiệm bội)  t  2  t  1 t   2t   t   y   x   t  1  ktm   t  1   ktm   t  1   ktm     x  xy  y y    x; y  [17b] Giải hệ phương trình   x   y    (Sở GD&ĐT Tỉnh Lâm Đồng) ĐK: x   Nhận xét pt(1) có bậc cao nên ta nghĩ đến việc “chia bớt” (cụ thể ta chọn việc chia bớt cho y n , cần lưu ý bậc cao x Do ta chia cho y Chú ý: chia cho y ta phải xét trường hợp y   x3  Ta có y  hệ thành   VN  x   2   x x Với y  ta có  1       y    y  y y  x x  x   x2 x 2   y   y    y   y   y      y  y     x  y  y y       y  0 Thay vào phương trình (2), ta được: HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 4x   3x   (nhẩm nghiệm x = 2) HỨA LÂM PHONG (0933524179) GROUP TOÁN 3K ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016  4x      x  2 4x    2  3x     THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)  x  2 3x      x  2   4x      0  3x   3x        x   y  1  3x      ,x  Vậy nghiệm hệ phương trình  ; 1 hay  ; 1 Cách khác: (phân tích CASIO tìm nhân tử cho pt(1))   1 shift y  100  X  8X.1002  8.100 1002     X  20000  y  x  y  calc   Khi pt x  y x  y y   *  Do ta sử dụng lược đồ Horner cho pt(1) (xem x ẩn, y tham số): 2y2 2y  8 y y  8y2 4y  8y  *    x  y  x2  y x  y  y    x  y 0    x  x  y  x  y  x   1  [18] Giải hệ phương trình:   x; y   x  10   y   y  16   x  y x   y      Thi thử lần – Group BĐT – OXY : Cho người bắt đầu (Sáng tác: Hứa Lâm Phong) 2 x2      x  y  ĐK:  *   y   y  16    x3  y x3      Ta có: x  10    y   y  16   HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 x    y x3   3y HỨA LÂM PHONG (0933524179) GROUP TOÁN 3K ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016  x  20    THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)  y  10  3y    y  10  y    x    y x3   y  x3   x3  y  0  y  10  y     y    y  2 3  x   x  y Thay vào pt  1 ta được: x    x  x   x   1 *        x  x  x    x  x   DK : x    ;   ; 2    2     x  x    x2    x  2  x  2  x 2  x  x x   x2   x     x2    x   x    x  1  x    x  1 2 x    x  1 2 x  x   x    x  1 0 0   x 0  2 x  x      x2   x   2x    2x  1   x   x     3   x2   x x   x         Cách 1: Dùng “cộng, trừ, nhân vế theo vế” Chứng minh pt(3) vô nghiệm x2 x Xét 2x2 x2 4x x 1 x2 2x2 x x2 2x2 x2 4x x2 x x 2x2 2x xa b x2 4x a bx 2x2 2x 2x 1 x Dat a b 2x2 x2 a; b Trừ vế theo vế phương trình ta có:  x  1 a  b   x2  2x    x  1 4 Công vế theo vế phương trình ta có:  x  1 a  b   3x2  6x   3  x  1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 HỨA LÂM PHONG (0933524179)  5 GROUP TOÁN 3K ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA)   Nhân vế theo vế tương ứng hai pt (4) (5) ta được:  x  1 a2  b2  3  x  1     x  1  x  x   3  x  1     x  1  x   3  x  1   x  1   x  1 3   x  x   x   VN  Cách 2: Dùng định thức Crammer để chứng minh pt(3) vô nghiệm x2 D x Da D a x2 1; Da 2x x x x x2 x x2 x x2 2x3 1, Db x x 1 6x x2 x x2 x x x2 x x x 2 x 2 3x x x2 x2 2x2 2x x2 x2 2x Khong thoa * x Cách khác giải phương trình x x2 2x2 x2 Nhận xét x  không nghiệm pt nên ta có: x VN x2 6x x x 1 2 x2 Đặt t  x  x2 x 2 x x 16 x2 x x2 x x  HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016  x x x x x x2  16  y   x2  12  y  2x   1  [19]   x  y  y  4y x  2y   y     x2 1 1   t   x2  , ta pt thành: x x  4x  1 2  3  ;  2t  t  4t  , t     2   x; y   HỨA LÂM PHONG (0933524179) GROUP TOÁN 3K ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA) (trích đề thi thử lần 2, Group Toán 3K, Thầy Hứa Lâm Phong) Lời giải túy:      ; 2 x   ;   ĐK:   2   x  y      x  2y   y2  4y  x  2y   y  2 u  x  y Đặt   u, v    u2  uv   v    v  y  y  x  y   y  16  x  u2  16  v  u      u   u   v      x  y   y  2     x  y  x  x  2y   y  2     không thỏa hệ nên loại y    y  2   Với Với y  16  x thay vào phương trình (1) ta được: x  x2  x2   x2  4x  *   x  x  2 x   2 x  x         x2  x2  x *   x  x x     x  x2  x2         2x2      x2   x     x2    x  2  x2    x  2  x  x  x2    x           2 x   1  x     8x  x   x   ; 2    x    x  1  x    x  1 2 x    x  1 2 x  x  2 x    x  1  x  2 x  x      x2   x    2x2  0 0     x   y  15 2 x    x  1     ,x ; 2    15  Vậy nghiệm hệ phương trình  1;    ● Bình luận: Qua hệ này, tác giả có số nhận xét sau HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 HỨA LÂM PHONG (0933524179) GROUP TOÁN 3K ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA) Một là, đa số em học sinh khai thác phương trình (2) để tìm mối liên hệ x,y Các em dùng cách đặt ẩn phụ, đổi biến không toàn, liên hợp, v,v Cách 1: Đặt ẩn phụ (so với đáp án đặt ẩn phụ) Đặt u  x  y   u2  x  y  x  u2  y    u2   y  y  u  y  16 y  16   u   y   4u  16  y  u2  16   u    y2  4y  u     x  2y    y    x  y    A  P/s: nhiều bạn “ngộ nhận” cho  y    x  y  mà không ý A  B     B  Cách 2: Dùng CASIO tìm nhân tử liên hợp  2 Shift y  100  X  200  10400 X  200  41616   X  184  16  200  16  y Calc Do ta cần tạo nhân tử  x  y  16  cho pt(2)  2  x  2y   y2  4y     x  y  16  y  y    x  y  16        x  2y    y  2  y2  4y   xx22yy164   x  y  16    0 y2  4y  0  x  2y    x  y   y2  4y P/s: nhiều bạn “ngộ nhận” cho   x       !!!!  y  2 x  2y  y2  4y Hai là, sau xử lý pt(2) thành công thay quan hệ y  16  x vào pt(2) ta giải tiếp pt(1) không khó để em phát x  nghiệm bội Nhưng có lẽ phần khó khăn nằm phần chứng minh vô nghiệm Ở toán bạn sử dụng tập điều kiện để chia thành miền mà chứng minh Sau số cách chứng minh thú vị x   x 1       3   x2   x x   x       Cách 1: Dùng “cộng, trừ, nhân vế theo vế” Chứng minh pt(3) vô nghiệm HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 HỨA LÂM PHONG (0933524179) GROUP TOÁN 3K ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 x2 x Xét 2x2 THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA) x2 4x x x2 x x2 2x2 x2 4x 2x x2 4x x 2x2 xa b x2 bx 2x 2x2 a x 2x 2x 1 x a Dat x2 b 2x a; b Trừ vế theo vế phương trình ta có:  x  1 a  b   x2  2x    x  1 4 Công vế theo vế phương trình ta có:  x  1 a  b   3x2  6x   3  x  1   Nhân vế theo vế tương ứng hai pt (4) (5) ta được:  x  1 a2  b2  3  x  1     x  1  x  x   3  x  1     x  1  x   3  x  1   x  1   x  1 2  5 3   x  x   x   VN  Cách 2: Dùng định thức Crammer để chứng minh pt(3) vô nghiệm x2 D x Da D a x2 1; Da 2x x x x x2 x x2 x x2 2x3 1, Db x x 6x x2 x x2 x x x2 x x x 2 x 2 3x x x2 x2 2 x 6x x2 VN x x2 2x 1 x 2x2 2x x HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 Khong thoa * HỨA LÂM PHONG (0933524179) GROUP TOÁN 3K ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA) Ba là, ta tự đặt câu hỏi “có thể không dùng liên hợp để giải hay không ?” vướng víu khâu “chứng minh vô nghiệm !” Dĩ nhiên lời giải đáp án “quá vi diệu” theo cách Ở tác giả đề nghị thêm vài hướng phân tích khác: Cách 1: Sử dụng đánh giá bất đẳng thức pt (2)    2x        x  2 x   2 x  x  2  x2     2x  x2  x2      2  x2  x   2x2        x  1.x   Ta có VT     2x2           2 x   1  x     8x   x   x   ; 2   2x2  Bunyakovsky  Bunyakovsky  1  1     1  x   x  VT   x Do  VP   x2  x   4x2   x  1  (suy nghĩ tiếp !) x2 Cách 2: Đặt ẩn phụ hoàn toàn với pt: x 2x2 Nhận xét x  không nghiệm pt nên ta có: x2 x2 x2 Đặt t  x  x2 x x 16 x2 x x2 x x x2 x2 x x 4x x x x x2 1   t   x2  , ta pt thành: x x  3  ;  2t  t  4t  , t     2  Suy nghĩ tiếp ! Chúc em ôn tập hiệu đạt kết cao kì thi tới ! Gmail: windylamphong@gmail.com Facebook: http://facebook.com/lamphong.windy Group Toán 3[K] – Thầy Lâm Phong (0933524179) HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 HỨA LÂM PHONG (0933524179) GROUP TOÁN 3K ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA) HỨA LÂM PHONG (0933524179) GROUP TOÁN 3K ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 THẦY LÂM PHONG (FB: PHONG LÂM HỨA) HỨA LÂM PHONG (0933524179) GROUP TOÁN 3K