Tài liệu ôn tập giải tích

Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM Giải Tích Mục Lục Dạng 1: Khảo Sát Hàm Số Và Vẽ Đồ Thị Dạng 2: Tích Phân Suy Rộng Dạng 3: Ứng Dụng Tích Phân Dạng 4: Tích Phân Bất Định 11 Dạng 5: Phương trình vi phân cấp 14 Dạng : Phương trình vi phân cấp 18 Dạng 7: Hệ phương trình vi phân 19 Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM Giải Tích Dạng 1: Khảo Sát Hàm Số Và Vẽ Đồ Thị Quy trình làm toán: - Tìm miền xác định (MXĐ) hàm số, nêu thêm tính chẵn – lẻ tính tuần hoàn hàm số - Tính giới hạn tìm tiệm cận:  Tiệm cận đứng: tính điểm biên không xác định hàm số Tính giá trị lim+ 𝑓(𝑥) lim− 𝑓(𝑥), giá trị tiến vô cùng, ta có 𝑥→𝑥0 𝑥→𝑥0 tiệm cận đứng 𝑥 = 𝑥0  Tiệm cận ngang – xiên: tính biến số tiến vô Tính 𝐿1 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞ 𝑓(𝑥), 𝐿1 tồn hữu hạn ta có đường tiệm cận ngang 𝑦 = 𝐿1 Nếu 𝐿1 = ±∞, xét tiếp giới hạn 𝑎 = lim 𝑓(𝑥) 𝑥→+∞ 𝑥 , a tồn hữu hạn ta có tiệm cận xiên 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 với b tính công thức 𝑏 = lim (𝑓 (𝑥) − 𝑎𝑥), ngược lại ta nói hàm số tiệm cận x tiến 𝑥→+∞ +∞ Xét tương tự x tiến −∞ - Tìm khoảng tăng giảm tìm cực trị: tính đạo hàm cấp y’(x) tìm nghiệm khoảng có dấu xác định hàm 𝑦′(𝑥) (dấu âm dương) - Lập bảng biến thiên: giống bảng biến thiên học lớp 12 Nêu khoảng tăng giảm điểm cực trị hàm số - Vẽ đồ thị: vẽ điểm – đường đặc biệt đồ thị: đường tiệm cận, điểm giao với trục tọa độ (nếu có thể), điểm cực trị (tại điểm cực trị vẽ đường nằm ngang ngắn qua điểm đó, tiếp tuyến hàm điểm cực trị) Sau vẽ đồ thị (không thiết phải xác không vẽ sai nhiều) Ví dụ 1: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 −2𝑥+1 𝑥 −4 Giải: - Miền xác định: 𝐷 = ℝ/{−2;2} 𝐷 = (−∞; −2) ∪ (−2; 2) ∪ (2; +∞) 𝑥 ≠ ±2 (một cách được) - Giới hạn: lim − 𝑓(𝑥) = lim − 𝑥→−2 𝑥→−2 (𝑥−2)(𝑥+2) lim + 𝑓(𝑥) = lim + 𝑥→−2 (𝑥−1)2 𝑥→−2 (𝑥−2)(𝑥+2) lim− 𝑓(𝑥) = lim− 𝑥→2 (𝑥−1)2 (𝑥−1)2 𝑥→2 (𝑥−2)(𝑥+2) = +∞ = −∞ ⟹ TCĐ 𝑥 = −2 = −∞ Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM lim+ 𝑓(𝑥) = lim+ 𝑥→2 𝑥→2 (𝑥−2)(𝑥+2) lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→∞ (𝑥−1)2 𝑥 −2𝑥+1 𝑥→∞ 𝑥 −4 - Đạo hàm cấp 1: 𝑦 ′ = Giải Tích = +∞ ⟹ TCĐ 𝑥 = = ⟹ TCN 𝑦 = 2𝑥 −10𝑥+8 (𝑥 −4)2 𝑦′ = ⟺ 𝑥 = ∨ 𝑥 = - Bảng biến thiên: Hàm số tăng khoảng (−∞; −2), (−2; 1) (4; +∞); giảm khoảng (1; 2) (2; 4) Hàm số có cực đại (0; 1) cực tiểu (4; ) - Vẽ đồ thị: Ví dụ 2: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = ln2 |𝑥| 𝑥2 Giải: Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM Giải Tích - Miền xác định 𝑥 ≠ Hàm số hàm chẵn, ta cần xét bên x>0 sau lấy đối xứng - Giới hạn: lim+ 𝑓(𝑥) = lim ln2 𝑥 𝑥→0+ 𝑥 𝑥→0 lim 𝑓(𝑥) = lim ln2 𝑥 𝑥→+∞ 𝑥 𝑥→+∞ = +∞ ⟹ TCĐ 𝑥 = = (theo tính chất VCL) Suy đồ thị có tiệm cận ngang 𝑦 = - Đạo hàm cấp (khi x>0): 𝑦 ′ = ( ln2 𝑥 𝑥2 ′ ) =− ln 𝑥.(ln 𝑥−1) 𝑥3 𝑦′ = ⟺ 𝑥 = ∨ 𝑥 = 𝑒 - Bảng biến thiên x −∞ y’ + -e -1 - + || - + +∞ y - +∞ 𝑒 −2 +∞ e 𝑒 −2 0 Hàm số tăng khoảng (−∞; −𝑒), (−1; 0) (1; 𝑒) Hàm số giảm khoảng (-e;-1), (0;1) (𝑒; −∞) Hàm số có cực đại (−𝑒; 𝑒 −2 ) (𝑒; 𝑒 −2 ) cực tiểu (-1;0) (1;0) - Vẽ đồ thị: Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM Giải Tích Dạng 2: Tích Phân Suy Rộng Bài Toán : Khảo sát hội tụ tích phân Xác định loại tích phân suy rộng Loại 1: Tích phân cận vô tận: f(x) không âm với x>a Loại 2: Tích phân hàm không bị chặn 𝑏 ∫𝑎 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 Với a≤c≤b Bước 2: Tìm hàm g(x) tương đương với f(x) hay đánh giá f(x) lớn hay nhỏ g(x) Bước 3: Nếu hàm nhỏ hay lớn dùng tiêu chuẩn so sánh 1, hàm tương đương dùng tiêu chuẩn so sánh Tiêu chuẩn so sánh 1: Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM Giải Tích Cho hàm f(x), g(x) không âm, khả tích [a,+∞) thỏa f(x) ≥ g(x) lân cận ∞ Ta có: Tính phân bản: Hoặc: hội tụ α[...]... ): đặt 𝑡 = √ 𝑐𝑥+𝑑 để đưa tích phân này về tích phân hàm hữu tỉ theo t 12 Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM Giải Tích 1 d Tích phân của hàm vô tỉ 𝑓(𝑥, √𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐): đặt 𝑢 = √𝑎 (𝑥 + 𝑏 2𝑎 ), đưa tam thức bậc hai về dạng 𝑢2 + 𝑎2 , 𝑢2 − 𝑎2 , 𝑎2 − 𝑢2 và dùng những cách tính tích phân mà ta đã biết tương ứng với mỗi dạng cụ thể để tính e Tích phân Chebyshev với... 𝜑(𝑡2) = 𝑏 thì 𝑏 𝑡2 ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝜑(𝑡 ))𝜑′ (𝑡 )𝑑𝑡 𝑎 𝑡1 + Với phương pháp tích phân từng phần: nếu u(x), v(x) khả vi, liên tục trên [a,b] thì: 𝑏 𝑏 𝑏 ∫ 𝑢 𝑥)𝑣 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)| − ∫ 𝑢(𝑥)𝑣 ′ (𝑥)𝑑𝑥 𝑎 𝑎 𝑎 ′( Ví dụ : Tính tích phân sau bằng 3 cách 13 Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM Giải Tích 1 Giải: Cách 1: Phương pháp đồng nhất hệ số Cách 2: Phương pháp trị số riêng... phương trình 1 y(0) = , y’(0)=0 ; 4 thỏa điều kiện Giải : 18 Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM Ví dụ 2 : Tìm nghiệm riêng của phương trình y(0)=1 y’(0)=0 Giải Tích 1 thỏa mãn điều kiện Giải : Dạng 7: Hệ phương trình vi phân Kiến thức cần nhớ: xem slide bài giảng và ví dụ trong đó để hiểu rỏ hơn ^^ PHƯƠNG PHÁP GIẢI: KHỬ Ví dụ : t  x '  x '(t )  2 y  e ... Hợp: CTV Giải Tích Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM Giải Tích 1 yr = 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝑞(𝑥)𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BERNOULLI : 𝑦 ′ + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑦 𝛼 𝑞(𝑥) -Dạng: Trong đó 𝛼 ≠ 0,1 -Phương pháp:  Chia cả hai vế cho 𝑦 𝛼  Đặt 𝑢 = 𝑦1−𝛼  Phương trình trở thành: 𝑢′ + (1 − 𝛼)𝑝(𝑥)𝑢 = (1 − 𝛼)𝑞(𝑥) (phương trình tuyến tính)  Giải phương trình tuyến tính trên rồi thay giá trị ẩn cần tìm vào  BÀI TẬP ÁP... Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM Giải Tích 1 Dạng 4: Tích Phân Bất Định Kiến thức cần nhớ I Nguyên hàm và tích phân bất định: 1 Nguyên hàm: - Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trong khoảng (a,b) nếu với mọi x trong khoảng (a,b) ta đều có F’(x) = f(x) 2 Tích phân bất định: - Nếu hàm F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C (C là hằng số bất kì) được gọi là tích phân bất định của f(x), kí... 3(C1et  C2e2t  2tet )  et  2C1et  C2e 2 t  (4t  3)e t 20 Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM Giải Tích 1 Ta được nghiệm của hệ phương trình vi phân  x  2C1et  C2e2 t  (4t  3)e t  t 2t t  y  C1e  C2e  2te 1/2016 21 Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích ... 𝑎 𝑑𝑥 = ln |𝑥 + √𝑥 2 ± 𝑎2 | + 𝐶 + ∫ √𝑎2 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑎2 2 𝑥 𝑥√𝑎2 −𝑥 2 𝑎 2 arcsin + +𝐶 3 Cách tính tích phân bất định: a Phương pháp đổi biến thứ nhất: - Đặt x = 𝜑(𝑡), 𝜑(𝑡) là hàm khả vi và có hàm ngược t = 𝜑 −1 (𝑥) thì ta có: 11 Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM Giải Tích 1 ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝜑(𝑡 ))𝜑′ (𝑡 )𝑑𝑡 Nếu nguyên hàm của 𝑓(𝜑(𝑡 ))𝜑′ (𝑡 ) là G(t) thì: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥... Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM Giải Tích 1 Chọn đường đi (0,0) → (𝑥, 0) → (𝑥, 𝑦) 𝑦 𝑥 𝑈(𝑥, 𝑦) = ∫ 3𝑥𝑑𝑥 + ∫(2𝑥 − 9𝑦)𝑑𝑦 0 0 3 9 2 2 = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 − 𝑦 2 Vậy nghiệm tổng quát của (5) là : 3 9 2 2 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 − 𝑦 2 = 𝐶 Dạng 6 : Phương trình vi phân cấp 2 Kiến thức cần nhớ : xem slide bài giảng chi tiết hơn Phương pháp chung : ** giải theo phương trình vi phân... trong trường hợp nó không có nghiệm thực Khi đó: 𝑀𝑥 + 𝑁 ∫ 𝑑𝑥 2 (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑘 𝑀𝑏 𝑀 𝑑(𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) (𝑁 − 𝑎 ) 𝑑𝑥 ∫ ∫ = + 𝑘 2 𝑘 𝑘 2𝑎 (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐) 𝑎 𝑏 2 𝑐 𝑏2 [(𝑥 + ) + − ] 2𝑎 𝑎 4𝑎2 Đặt u = 𝑥 + 𝑏 2𝑎 4𝑎𝑐− 𝑏2 ,v=√ 4𝑎2 Khi đó tích phân thứ hai sẽ có dạng ∫ (𝑢2 𝑑𝑢 +𝑣 2 )𝑘 và khi đó ta sẽ có được tích phân ban đầu thành tổng hai tích phân dạng cơ bản mà ta đã biết ở phần trên 𝑛 𝑎𝑥+𝑏 c Tích phân của hàm vô... x '  x '(t )  2 y  e   y '  y '(t )   x  3y  e t 19 Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM Giải Tích 1  y   x ' 3y ' et  y  2 y  e t  3y ' e t   t t  x '  2 y  e  x '  2 y  e Thế pt2 vào pt1 ta được (3) :  y " 3y ' 2 y  2et ** giải theo phương trình vi phân cấp 2 Bước 1 : phương trình đặc trưng : k2 – 3k + 2 = 0  k=1