Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 50 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
50
Dung lượng
418,38 KB
Nội dung
3.4. Chuỗi Taylor 193
và do tính liên tục của
f
,
f(x
n
) ! f(x)
.Vì
F
đóng,
f(x) 2 F
, hay nói cách
khác
x 2 f
Ă1
(F)
.Vậytađ chứng m inh rằng
f
Ă1
(F)
đóng.
Để chứng minh (b)
=)
(c), chỉ cần chú ý rằng mọi tập con mở
G
của
Y
là phần bù của tập con đóng
F
,tứclà,
G = Y ẵ F
.Khiđó,tacó
f
Ă1
(G)=X ẵ f
Ă1
(F)
.
Bâygiờtasẽchứngminhrằng(c)
=)
(a). Gọi
x
0
2 X
và
">0
tuỳýcố
định. Theo giả thiết, tập
f
Ă1
(B
Y
(f(x
0
);"))
là mở trong
X
.Do
x
0
là phần tử
của
f
Ă1
(B
Y
(f(x
0
);"))
,tồntại
>0
sao cho
B
X
(f(x
0
);") ẵ f
Ă1
(B
Y
(f(x
0
);"))
.
Vì vậy, ta có
f(B
X
(x
0
;)) ẵ B
Y
(f(x
0
);")
, tức là
f
liên tục tại
x
0
.
Vậy, ta đ chứng minh rằng ba điều kiện đầu tiên là tơng đơng.
Tiếp theo, ta chứng minh rằng (a)
=)
(d). Để làm vậy, lấy
y
0
2 f(A)
.Theo
định nghĩa nghịch ảnh của một tập dới tác động của ánh xạ
f
,tồntại
x
0
2 A
sao cho
f(x
0
)=g(x
0
)
. Do tính liên tục của
f
tại
x
0
,với
">0
cho
trớc, tồn tại hình cầu
B
X
(x
0
;)
sao cho
f(B
X
(x
0
;)) ẵ B
Y
(y
0
;"):
Vì
x
0
2 A
,tathấy
B
X
(x
0
;) \ A 6= ;
.Vậy
;6= f(B
X
(x
0
;) \A) ẵ B
Y
(y
0
;") \ f(A);
tức là
y
0
2 f(A)
.
Để chứng minh (d)
=)
(c), đặt
A = f
Ă1
(B)
.Khiđó
f(f
Ă1
(B)) ẵ f(f
Ă1
(B)) = B:
Từ đó
f
Ă1
(B) ẵ f
Ă1
(B)
.
Cuối cùng, ta chứng minh rằng (c)
=)
(b). Nếu
F
đóng, thì
F = F
.Theo
(c),
f
Ă1
(F) ẵ f
Ă1
(F);
tức là f
Ă1
(F) đóng.
1.7.2.
Kí hiệu
B(X)
là họ tất cả các tập con Borel của
X
,tứclà,
ắ
-đại số
các tập con của
X
chứa mọi tập mở. Kí hiệu
~
B
là họ các tập
B ẵ Y
sao cho
194 Chơng 3. Dy và chuỗi hàm
f
Ă1
(B) 2B(X)
.Khiđó
~
B
là
ắ
-đại số các tập con của
Y
.Vì
f
liên tục, suy
ra từ bài toán trớc rằng nghịch ảnh của mọi tập mở là mở. Do đó,
~
B
chứa
tất cả các tập con mở của
Y
.Từđó,
B(Y) ẵ
~
B
, suy ra nếu
B 2B(Y)
,thì
f
Ă1
(B) 2
~
B(X)
.
1.7.3.
Cho
X = Y = R
đợc trang bị metric Euclide thông thờng
d(x; y)=
jx Ăyj
.Xácđịnh
f(x)=sinẳx
và
F =
â
n +
1
n
: n á 2
ê
.Khiđó,
F
đóng trong
không gian metric
X
, vì nó chỉ chứa các điểm cô lập. Mặt khác,
f(F)=
n
sin
ẳ
2
; Ăsi n
ẳ
3
; sin
ẳ
4
;:::
o
khôngđóngtrong
Y
bởi vì nó không chứa điểm điểm tích luỹ của nó, tức là
điểm 0.
Lấy
X
và
Y
nh trên đồng thời xác định
f(x)=x(x Ă 2)
2
và
G =(1; 3)
.
Khi đó,
f(F)=[0; 3)
.
1.7.4.
Nếu
y
n
inf f(F)
,thì
y
n
= f(x
n
)
,ởđây
x
n
2 F;n=1; 2; 3;:::
.Nếu
F
compact trong
X
,thìtồntạidycon
fx
n
k
g
của
fx
n
g
hộitụtới
x 2 F
.Dotính
liên tục của
f
,
fy
n
k
g
xác định bởi
y
n
k
= f(x
n
k
)
là dyconcủa
fy
n
g
hội tụ tới
f(x)inff(F)
. Vậy tính compact của
f(F)
đợc chứng minh.
1.7.5.
Gọi
fx
n
g
là dy các phần tử trong
F
1
[F
2
[:::[F
m
hội tụ tới
x
.Khi
đó, tồn tại ít nhất một dy
F
i
chứa dycon
fx
n
k
g
. Do đó, dy
fx
n
g
có thể
phân tích thành hữu hạn d yconsaochomỗidy con đợc chứa trong một
tập
F
i
.Do
F
i
đóng và
f
liên tục trên
F
i
,
f(x
n
k
)=f
jF
i
(x
n
k
) ! f
jF
i
(x)=f(x)
.
Suy ra rằng
ff(x
n
)g
đợc phân tích thành hữu hạn dyconhộitụtới
f(x)
,
tức là
ff(x
n
)g
hộitụtới
f(x)
.
Để thấy rằng khảng định không đúng trong trờng hợp vô hạn tập, xét
F
i
xác định nh sau :
F
0
= f0g; F
i
=
â
1
i
ê
;i=1; 2; 3;:::
. Hàm cho bở i
f(x)=
(
1
với
x 2 F
i
;i=1; 2; 3;::: ;
0
với
x 2 F
0
;
liên tục trên mỗi
F
i
;i=0; 1; 2; 3;:::
,nhng không liên tục trên tập
1
S
i=0
F
i
.
3.4. Chuỗi Taylor 195
1.7.6.
Lấy tuỳ ý
x
0
2[
t2T
G
t
. Khi đó, tồn tại
t
0
2 T
sao cho
x
0
2 G
t
0
.Vì
G
t
0
mở và giới hạn của
f
trên
G
t
0
là liên tục, với
">0
, tồn tại
>0
sao c ho nếu
x 2 B(x
0
;) ẵ G
t
0
,thì
f(x)=f
jG
t
0
(x) 2 B
Ă
f
jG
t
0
(x
0
);"
Â
, tức là
f
liên tục tại
x
0
.
1.7.7.
Giả sử rằng với mọ tập compact
A ẵ X
,
f
jA
là liên tục. Nếu dy
fx
n
g
các phần tử của
X
hội tụ tới
x
,thìtập
A = fx; x
1
;x
2
;x
3
;:::g
là compact
trong
X
.Vậy,
f(x
n
)=f
jA
(x
n
) ! f
jA
(x)=f(x)
.Vậy
f
liên tục trên
X
.Bao
hàm ngợc lại là rõ ràng.
1.7.8.
Tính liên tục của
f
Ă1
tơng đơng với điêuf kiện
f(G)
mở trong
Y
với mỗi
G
mở trong
X
.Nếu
G
mở trong
X
,thì
G
C
= X ẵ G
,coinh tập
con đóng của không gian compact
X
là com pact. Theo kết quả của 1.7.4,
f(G
C
)=bY ẵ f(G)
cũng compact, và do đó đóng. Điều này có nghĩa
f(G)
mở.
Để chỉ ra tính compact là giả thiết cố t yếu, xét
f :(0; 1) [f2g!(0; 1]
cho
bởi
f(x)=x
với
x 2 (0; 1)
và
f(2) = 1
. Rõ ràng,
f
là song ánh liên tục từ
(0; 1 [f2g)
lên
(0; 1]
.Vì
f
Ă1
(x)=x
với
x 2 (0; 1)
và
f
Ă1
(1) = 2
,hàmngợc
không liên tục trên
(0; 1]
.
1.7.9.
Gọi
d
1
và
d
2
lần lợt là các metric của
X
và
Y
. Do tính liên tục của
f
,với
">0
cho trớc và
x 2 X
, tồn tại
(x) > 0
sao cho
d
1
(y; x) <(x)
kéo theo
d
1
(f(y);f(x)) <
"
2
:(1)
Vì họ các hình cầu
â
B
Ă
x;
1
2
(x)
Â
: x 2 X
ê
là phủ mở của không gian compact
X
,tồntạiphủconhữuhạn
ẵ
B
à
x
i
;
1
2
(x
i
)
ả
: i =1; 2;::: ;n
ắ
:(2)
Đặt
=
1
2
minf(x
1
);(x
2
);::: ;(x
n
)g
và lấy
x
và
y
trong
X
sao cho
d
1
(x; y) <
. Vì họ (2) là một phủ của
X
, tồn tại
i 2f1 ; 2;::: ;ng
sao cho
d
1
(x; x
i
) <
1
2
(x
i
)
.Khiđó
d
1
(y;x
i
) <d
1
(y; x)+d
1
(x; x
i
) <+
1
2
(x
i
) (x
i
):
196 Chơng 3. Dy và chuỗi hàm
Do đó, theo (1),
d
2
(f(x);f(y)) d
2
(f(x);f(x
i
)) + d
2
(f(x
i
);f(y)) <":
1.7.10.
Với
x
0
;x2 X
và
y 2 A
,
dist(x; A) d(x; y) d(x; x
0
)+d(x
0
;y):
Vậy
dist(x; A) d(x; x
0
)+dist(x
0
; A)
.Từđó
dist(x; A) Ădist(x
0
; A) d(x; x
0
):
Cũng nh vậy,
dist(x
0
; A) Ădist(x; A) d(x; x
0
)
.Dođó
jdist(x; A) Ă dist(x
0
; A)j d(x; x
0
);
và vì vậy
f
liên tục đều trên
X
.
1.7.11.
Nếu
f(X)
không liên thông, thì tồn tại các tập con mở rời nhau, khác
rỗng
G
1
và
G
2
sao cho
G
1
[ G
2
= f(X)
. Tính liên tục của
f
suy ra rằng
f
Ă1
(G
i
);i=1; 2
, là mở. Rõ ràng, chúng khác rỗng, rời nhau và hợp của
chúng bằng
X
, mâu thuẫn.
1.7.12.
Gọi
d
1
và
d
2
lần lợt là các metric trên
X
và
Y
.Giảsử
f
liên
tục tại
x
0
2 A
.Khiđó,với
">0
cho trớc, c ó thể tìm
>0
sao cho
f(x) 2 Bf(x
0
);"=2
bất cứ khi nào
x 2 B(x
0
;) \ A
. Do đó,,
d
2
(f(x);f(y)) <"
với mọi
x; y 2 B(x
0
;)\A
. Suy ra rằng
o
f
(x
0
)=0
.Ngợc lại, nếu
o
f
(x
0
)=0
,
thì với
">0
, tồn tại
"
> 0
sao cho
0 <<
"
kéo theo
diam(f(A \ B(x
0
;))) <":
Từ đó
d
1
(x; x
0
) <
kéo theo
d
2
(f(x);f(x
0
)) diam(f(A \ B(x
0
;))) <":
3.4. Chuỗi Taylor 197
1.7.13.
Đặt
B = fx 2 A : o
f
(x) á "g
và gọi
fx
n
g
là dy các điểm của
B
hội
tụ tới
x
0
.Vì
B ẵ A;x
0
2 A
.Vìvậy,
o
f
(x
0
)
đợc xác định đúng đắn. Ngoài
ra, với mọi
>0
, tồn tại
n 2 N
sao cho
B(x
n
;=2) ẵ B(x
0
;)
.Từđó
diam(f(A \ B(x
0
;))) á diam(f(A \ B(x
n
;=2))) á o
f
(x
n
) á ":
Suy ra rằng
o
f
(x
0
) á "
, hay nói cách khác,
x
0
2 B
.
1.7.14.
Theo kết quả của 1.7.12, tập
C
các điểm liên tục của
f
bằng tập các
điểm mà trên đó dao dộ triệt tiêu. Đặt
B
n
= fx 2 X : o
f
(x) <frac1ng:
Suy ra từ bài toán trớc rằng
B
n
mở trong
X
. Mặt khác,
C =
1
\
n=1
B
n
;
tức là, tập các điểm liên tục của
f
có kiểu
G
. Suy ra rằng tập
X n C
các
điểm gián đoạn của
f
có kiểu
F
ắ
trong
X
.
1.7.15.
Xét hàm định nghĩa bởi (so sánh với 1.2.3 (a))
f(x)=
8
>
<
>
:
0
nếu
x
hữu tỷ.
0
nếu
x =0;
1
q
nếu
x =
p
q
;p2 Z;q 2 N;
và
p; q
nguyên tố cùng nhau.
1.7.16.
[S. S. Kim, Amer. Math. Monthly 106 (1999), 258-259]. Gọi
A
có
kiểu
F
ắ
trong
R
,tứclà
1
[
n=1
F
n
= A;
ởđây
F
n
đóng. Không mất tổng quát, có thể giả sử rằng
F
n
ẵ F
n+1
với
n 2 N
. Thực vậy, chỉ cần thay
F
n
bởi
F
1
[F
2
[ÂÂÂF
n
.Nếu
A = R
, thì, chẳng
hạn,
f(x)=
Q
(x)
gián đoạntại mỗi
x 2 R
.Nếu
A 6= R
, thì ta định nghĩa
hàm
g
bằng cách đặt
g(x)=
8
<
:
P
n2K
1
2
n
nếu
x 2 A;
0
nếu
x 2 R ẵ A;
198 Chơng 3. Dy và chuỗi hàm
ởđây
K = fn : x 2 F
n
g
,vàtađặt
f(x)=g(x)
à
Q
(x) Ă
1
2
ả
:
Trớc hết, ta chỉ ra rằng mỗi điểm của
A
là điểm giám đoạn của
f
. Thực
vậy, nếu
x 2 A
o
, thì mọi lân cận của
x
chứa một điểm mà tại đó dấu của
f
khác dấu của
f(x)
.Nếu
x 2 @A \A
,thì
f(x) 6=0
và mọi lân cận của
x
chứa
mộtđiểmmàtạiđó
f
triệt tiêu. Vì
A = A
o
[ (@A \ A)
,hàm
f
gián đoạn
trên
A
. Bây giờ, ta phải chỉ ra rằng
f
liên tục trên
R ẵ A
.Tacó
f(x)=0
nếu
x=2 A
. Nếu dy
fx
k
g
hội tụ tới
x
và
x
k
2 A
,thìvớimọi
n
, tồn tại
k
n
sao
cho
x
k
2 F
n
với
k á k
n
.(Nếucóvôhạn
x
k
trong
F
n
nào đó, thì
x
cũng nằm
trong
F
n
.) Do đó, với
k á k
n
,
g(x
k
)=
1
2
n+1
+
1
2
n+2
+ :::=
1
2
n
;
tức là
lim
k!1
g(x
k
)=0=g(x)
.
1.7.17.
Không. Mọi hàm xác định trên không gian metric rời rạc là liên tục.
1.7.18.
Trớc hết giả sử rằng
x 2 @A = A \X n A
. Vì mỗi hình cầu
B(x; )
chứa các điểm của
A
và các điểm của
X n A
,tacó
o
A
(x)=1
.
Bây giờ, giả sử rằng
o
A
(x) > 0
. Điều này có nghĩa với mọi
>0
,
sup
â
A(x)
Ă
A(y)
: y 2 B(x; )
ê
= o
A
(x; ) > 0:
Do đó, mỗi hình cầu
B(x; )
phỉa chứa các điểm của
A
và các điểm của
X nA
.
Từ đó,
x 2 @A = A \ X nA
.
Rõ ràng, nếu
A
vừa mở, vừa đóng, thì
@A = ;
.Vìvậy,theo1.7.12,
A
liên tục trên
X
.Ngợc lại, nếu
A
liên tục trên
X
,thì
@A = ;
.Bâygiờ,
ta chứng minh rằng
A ẵ A
. Nếu không, tồn tại
x 2 A n A ẵ X nA
,mâu
thuẫn. Có thể chứng minh hoàn toàn tơng tự rằng
X nA
cũng đóng.
1.7.19.
Với
x 2 A
và
>0
ta có
o
f
(x; )=supfd
2
(f(x);f(y)) : y 2 B(x; )g
=supfd
2
(f(x);f(y)) : y 2 A \ B(x; )g
+supfd
2
(f(x);f(y)) : y 2 (X n A) \B(x; )g
3.4. Chuỗi Taylor 199
Vậy
o
f
(x; )
supfd
2
(g
1
(x);g
1
(y)) : y 2 A \B(x; )g
+supfd
2
(g
1
(x);g
2
(y)) : y 2 (X nA) \ B(x; )g
o
g
1
(x; )+supfd
2
(g
1
(x);g
2
(y)) : y 2 (X nA) \B(x; )g
o
g
1
(x; )
+supfd
2
(g
1
(x);g
2
(x)) + d
2
(g
2
(x);g
2
(y)) : y 2 (X nA) \B(x; )g
o
g
1
(x; )+d
2
(g
1
(x);g
2
(x)) + o
g
2
(x; ):
Vì
g
1
và
g
2
liên tục, ta có, theo 1.7.12,
o
f
(x) d
2
(g
1
(x);g
2
(x)):(1)
Bây giờ, ta phải chứng minh rằng với x 2 A.
o
f
(x) á d
2
(g
1
(x);g
2
(x)):(2)
Gọi
f
n
g
là dy các số dơng hội tụ tới
0
.Vì
A
o
= ;
,tập
X nA
trù mật trong
X
. Vậy mỗi hình cầu
B(x;
n
)
chứa một điểm
y
n
của
X n A
.Dođó,
supfd
2
(f(x);f(y)) : y 2 B(x;
n
)g
á supfd
2
(g
1
(x);g
2
(y)) : y 2 B(x;
n
) \ (X nA)g
á d
2
(g
1
(x);g
2
(y
n
)):
Kết hợp với tính liên tục của
g
2
suy ra
lim
n!1
supfd
2
(f(x);f(y)) : y 2 B(x;
n
)gád
2
(g
1
(x);g
2
(x)):
Từ đó suy ra ( 2). S u y ra từ (1) và (2) rằng đẳng thức cần chứng minh đúng
với
x 2 A
. Theo cách tơngtự(dùngtínhtrùmậtcủa
A
) có thể chứng minh
đẳn thức này cũng đúng cho
x 2 X nA
.
200 Chơng 3. Dy và chuỗi hàm
1.7.20.
Giả sử rằng
ff
n
g
là dy các hàm liên tục trên
X
sao cho
f(x)=
lim
n!1
f
n
(x)
.Với
">0
,đặt
P
m
(")=fx 2 X : jf(x) Ă f
m
(x)j "g
và
G(")=
1
S
m=1
(P
m
("))
o
. Ta sẽ chứng minh rằng
C =
1
T
n=1
G(1=n)
là tập các
điểm liên tục của
f
.Trớc hết ta s ẽ chứng minh rằng nếu
f
liên tục tại
x
0
,
thì
x
0
2 C
.Vì
f(x)= lim
n!1
f
n
(x)
, tồn tại
m
sao cho
jf(x
0
) Ăf
m
(x
0
)j
"
3
:
Suy ra từ tính liên tục của
f
và
f
m
tại
x
0
rằng tồn tại một hình cầu
B(x
0
;)
sao cho với
x 2 B(x
0
;)
,
jf(x) Ăf(x
0
)j
"
3
và
jf
m
(x) Ăf
m
(x
0
)j
"
3
:
Do đó,
jf(x)Ăf
m
(x)j "
nếu
x 2 B(x
0
;)
. Điều này có nghĩa
x
0
2 (P
m
("))
o
ẵ
G(")
.Vì
">0
có thể chọn tuỳ ý, ta có
x
0
2 C
.
Bây giờ nếu
x
0
2 C =
1
\
n=1
G(1=n);
thì, với mọi
">0;x
0
2 G("=3)
. Vậy tồn tại số nguyên dơng
m
sao cho
x
0
2 (P
m
("))
o
. Do đó tồn tại hình cầu
B(x
0
;)
sao cho nếu
x 2 B(x
0
;)
,thì
jf(x) Ăf
m
(x)j
"
3
:
Vì
f
m
liên tục, điều này chỉ ra rằng
f
liên tục tại
x
0
. Bây giờ, ta phải chứng
minh rằng
X n C
thuộc phạm trù thứ nhất. Để làm vậy, xác định
F
m
(")=fx 2 X : jf
m
(x) Ăf
m+k
(x)j "
với mọi
k 2 Ng:
Tính liên tục của
f
n
;n2 N
, suy ra rằng
F
m
(")
đóng. Vì
f(x) = lim
n!1
f
n
(x);x2
X
,tathấyrằng
X =
1
S
m=1
F
m
(")
và
F
m
(") ẵ P
m
(")
.Dođó,
1
[
m=1
(F
m
("))
o
ẵ G("):
3.4. Chuỗi Taylor 201
Bây giờ chú ý rằng với mọi
F ẵ X
, phần trong của
F n F
o
bằng rỗng, bởi vì
(F ẵ F
o
)
o
n F
o
n (F
o
)
o
= ;
. N goài ra, nếu
F
đóng, thì
F n F
o
đóng và vì vậy
F n F
o
trù mật khắp nơi. Vì rằng
X n
1
[
m=1
(F
m
("))
o
ẵ
1
[
m=1
(F
m
(") n (F
m
("))
o
);
tập
X n
1
S
m=1
(F
m
("))
o
thuộc phạm trù thứ nhất. Cuối cùng, quan sát rằng
X n C = X n
1
[
n=1
G(1=n)=
1
[
n=1
(X nG(1=n)):
Vì vậy, tập
X nC
các điểm gián đoạn của
f
thuộc phạm trù thứ nhất.
1.7.21.
Ta sẽ dùng kí hiệu của lời giải của bài toán trớc. Ta có
X n G(1=k) ẵ X n
1
[
m=1
(F
m
(1=k))
o
ẵ
1
[
m=1
(F
m
(1=k) n (F
m
(1=k))
o
):
Từ đó,
1
[
k=1
(X n G(1=k)) ẵ
1
[
k=1
1
[
m=1
(F
m
(1=k) n (F
m
(1=k))
o
):
Vậy,
X nC
là tập con của hợp đếm đợc các tập đóng và k hông đâu trù mật
(các phần bù của chúng mở và trù mật trong
X
). Suy ra rằng
C
chứa giao
đếm đợc các tập mở và trù mật. Theo định lí Baire,
C
trù mật trong
X
.
1.7.22.
Với
">0
,đặt
F
k
= f0g[
\
nák
n
x>0:
f
x
n
"
o
;k=1; 2; 3;::: :
Vì
f
liên tục, các tập là đó ng (xem, chẳng hạn, 1.7.1). Theo giả thiết,
S
k=1
F
k
=
[0; 1)
. Theo định lí Baire, ít nhất một trong các tập
F
k
có phần trong khác
rỗng. Do đó, tồn tại
a>0; >0
,và
k 2 N
sao cho
(a Ă ; a + ) ẵ F
k
. Không
mất tổng quát, có thể giả sử rằng
a
k
.Nếu
0 <x
và
n =
Ê
a
x
Ô
,thì
202 Chơng 3. Dy và chuỗi hàm
a Ă a Ă x<nx a<a+
,và
n á k
.Vậy
nx 2 F
k
, và theo định nghĩa
của
F
k
,
f(x)=
f
nx
n
";
suy ra
lim
x!0
+
f(x)=0
.
1.7.23.
Định nghĩa
F
n
nh sau :
F
n
= fx 2 X : jf(x)j n
với mọi
f 2Fg:
Suy ra từ tính liên tục của
f
rằng
F
n
đóng. T heo giả thiết, với mọi
x 2 X
,
tồn tại số nguyên dơng
n
x
sao cho
jf(x)j n
x
với mọi
f 2F
n
x
.Dođó,
X =
1
S
n=1
F
n
.Vì
(X;d
1
)
thuộc phạm trù thứ hai, tồn tại
F
n
0
có phần trong
khác rỗng. Đặt
G = F
o
n
0
.Vìvậy,
jf(x)j n
0
với mọi
f 2F
và mỗi
x 2 G
.
1.7.24.
Ta biết rằng
f
1
\
n=1
F
n
!
ẵ
1
\
n=1
f(F
n
):
Bây giờ, ta chứng minh rằng nếu
f
liên tục, thì
1
\
n=1
f(F
n
) ẵ f
1
\
n=1
F
n
!
:
Lấy
y 2
1
T
n=1
f(F
n
)
. Khi đó, với mọi số nguyên dơng
n; y 2 f(F
n
)
, hay nói cách
khác,
y = f(x
n
)
. theo định lí về các tập lồng nhau của Cantor,
1
T
n=1
f(F
n
)=
fx
0
g
với
x
0
2 X
với
x
0
2 X
nào đó. Do tính liên tục của
f
,
y = lim
n!1
f(x
n
)=
f(x
0
)
.Vậy
y 2 f
à
1
T
n=1
f(F
n
)
ả
.
1.7.25.
Với
u; v 2 X
ta có
d(f
u
;f
v
)=supfjd
1
(u; x) Ăd
1
(v; x)j : x 2 Xg d
1
(u; v):
Ngoài ra,
d(f
u
;f
v
)=supfjd
1
(u; x) Ăd
1
(v; x)j : x 2 Xg
jd
1
(u; x) Ăd
1
(v; x)j = d
1
(u; v):
[...]... (n) 1 x f = Ă n+1 f f Ă x x x xn x à ả 1 1 = n+2 f (n+1) : x x n 2.1.38 Chứng minh dưới đây được dựa theo bài báo của S Roman [Amer Math Monthly 87 (1980), 805-809], mặc dù tác giả sử dụng những kiến thức giải tích hàm nhưng chứng minh khá sơ cấp Ta xét phiếm hàm tuyến tính L : P ! R xác định trên tập P các đa thức hệ số thực Kí hiệu hL; P (x)i là giá trị của phiếm hàm L tại đa thức P (x) Xét phiếm hàm... metric compact là liên tục đều Nếu X là compact, thì mỗi tập fx 2 X : ẵ(x) > "g; " > 0, là hữu hạn Mặt khác, giả sử rằng tồn tại một số " > 0 sao cho tập fx 2 X : ẵ(x) > "g là hữu hạn Vì họ các hình cầu B(x; "); x 2 X là phủ mở của X, nó có phủ con hữu hạn, mâu thuẫn với ẵ(x) > " với vô hạn x Bâygiờ giả sử mọi hàm thực liên tục trên X là liên tục đều và tập x 2 X : ẵ(x) > " hữu hạn Ta sẽ chứng minh rằng... minh rằng X compact Gọi fxn g là dy các điểm của X Nếu một số hạng của dy này được lặp lại vô hạn lần, thì rõ ràng tồn tại một dy con hội tụ Nếu không, thì lim ẵ(xn ) = 0, vì tập n!1 fx 2 X : ẵ(x) > "g là hữu hạn Theo kết quả của bài toán trước, fxn g chứa một dy con hội tụ 3.4 Chuỗi Taylor 205 1.7.29 Chỉ cần xét X = [0; 1] [ f2g [ f3g [ f4g [ : : : được trang bị chuẩn Euclide d1 (x; y) = jx Ă yj 206... tương tự Ta có 0 0 infff+ (x) : x 2 (a; b)g 0 supff+ (x) : x 2 (a; b)g: 2.1.26 Ta áp dụng kết quả bài trên cho hàm x 7! f(x) Ă f (b) Ă f (a) (x Ă a): bĂa Chương 2 Vi phân 220 0 Tương tự ta có kết quả cho f+ (x), tức là f (b) Ă f (a) 0 supff+ (x) : x 2 (a; b)g: bĂa 0 infff+ (x) : x 2 (a; b)g 2.1.27 Từ bài trên ta có f (x + h) Ă f (x) h 0 supffĂ (z) : z 2 (x; x + h)g: 0 infffĂ (z) : z 2 (x; x + h)g... (2m+1) (0) = (1Ă)m (2m)! 2.1.31 Sử dụng phép quy nạp 2.1.32 (a) Sử dụng công thức Leibniz (n) (f (x)g(x)) = n X ànả k=0 và đẳng thức (a) trong bài trên k f (nĂk) (x)g (k) (x) 2.1 Đạo hàm của hàm số thực 221 (b) Sử dụng công thức Leibniz và đẳng thức (b) trong bài trên 2.1.33 Rõ ràng nếu x > 1 thì f(x) > 0, f 0 (x) > 0 và f 00 (x) < 0 Đạo hàm hàm số (f(x))2 = x2 Ă 1 n lần (n á 3) và sử dụng công thức... g các số nguyên dương sao cho các tập vô hạn F1 = fxnk : k 2 Ng và F2 = fynk : k 2 Ng đóng và rời nhau Theo bổ đề Urysohn, tồn tại hàm liên tục f : X ! R sao cho f bằng 1 trên F1 và bằng 0 trên F2 Vậy jf (xnk ) Ă f(ynk )j = 1 và lim d1 (xnk ; ynk ) = 0: k!1 Từ đó f liên tục nhưng không liên tục đều trên X, mâuthuẫn (a) Để chỉ ra rằng (b) suy ra (a), kí hiệu A là tập các điểm giới hạn của X Theo (b),... 4 : x6 x Sử dụng kết quả của bài 1.1.12 ta được f 00 (0) = 0, từ đó suy ra f 00 cũng liên tục trên R Cuối cùng ta được ( Ă1Â 2 eĂ1=x P x với x 6= 0; (n) f (x) = với x = 0; 0 trong đó P là một đa thức, do đó với mọi n 2 N f (n) (x) liên tục trên R Chương 2 Vi phân 228 (b) Tương tự câu (a) ta có g (n) (0) = 0 với n 2 N, đồng thời ta được g 2 C 1 (R) (c) Hàm số đang xét là tích của hai hàm f1 và f2 thuộc... và ta có à n ả0 Q n !0 jfk j n Y X jfk j0 (x) k=1 (x) = ln jfk j (x) = : n Q fk (x) k=1 k=1 jfk j k=1 0 Chú ý rằng jfk j0 (x) = sgn(fk (x))fk (x) ta suy ra điều phải chứng minh 2.1.21 Sử dụng kết quả bài trên, thay thế fk bởi fk =gk : 2.1.22 (a) Rõ ràng f và jf j liên tục tại x = 0 Hơn nữa f 0 (0) = 1 và jf j0 (0) không tồn tại (xem 2.1.19) 2.1 Đạo hàm của hàm số thực 219 (b) f và jf j chỉ liên tục... tương đương 2n (2n) f2n (Ă1) (Ă1)k (2n Ă 1)! X =i : 22n cos2n (2kĂ1)ẳ k=1 4n (2n) (2n) Vì f2n (Ă1) thực nên suy ra f2n (Ă1) = 0 2.1.35 Kí hiệu L(x) và R(x) là vế trái và vế phải của đẳng thức trong đề bài, rõ ràng L và R là các đa thức bậc n + 1 và L(0) = R(0) = 0 Do đó ta Chương 2 Vi phân 222 cần chứng minh rằng L0 (x) = R0 (x); x 2 R Ta có 0 L (x) = n X P (k) (0) k=0 k! xk = P (x); n n (k) X (0) k... các giá trị x = xk ; k = 1; 2; : : : ; n Cho Q(x) 1 ta có 1= n X k=1 n 1 Y (x Ă xj ): P 0 (xk ) j=1 j6=k Tính toán hệ số của xnĂ1 ta được n X k=1 1 P 0 (xk ) =0 với n á 2: 2.1.18 Sử dụng các kết quả bài trước với (a) (b) P (x) = x(x + 1)(x + 2) Â Â Â (x + n) và Q(x) = n!; P (x) = x(x + 2)(x + 4) Â Â Â (x + 2n) và Q(x) = n!2n : 2.1.19 Rõ ràng đạo hàm của jf j tồn tạitại mỗi điểm x thoả mn f(x) 6= . đóng.
1.7.2.
Kí hiệu
B(X)
là họ tất cả các tập con Borel của
X
,tứclà,
ắ
-đại số
các tập con của
X
chứa mọi tập mở. Kí hiệu
~
B
là họ các tập
B ẵ Y
sao cho
194 Chơng. 2B(X)
.Khiđó
~
B
là
ắ
-đại số các tập con của
Y
.Vì
f
liên tục, suy
ra từ bài toán trớc rằng nghịch ảnh của mọi tập mở là mở. Do đó,
~
B
chứa
tất cả các tập con mở của
Y
.Từđó,
B(Y)