1. Trang chủ
  2. » Khoa Học Tự Nhiên

Tài liệu Bài tập giải tích nâng cao dịch Đoàn Chi P5 docx

50 567 3

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 50
Dung lượng 418,38 KB

Nội dung

3.4. Chuỗi Taylor 193 và do tính liên tục của f , f(x n ) ! f(x) .Vì F đóng, f(x) 2 F , hay nói cách khác x 2 f Ă1 (F) .Vậytađ chứng m inh rằng f Ă1 (F) đóng. Để chứng minh (b) =) (c), chỉ cần chú ý rằng mọi tập con mở G của Y là phần bù của tập con đóng F ,tứclà, G = Y ẵ F .Khiđó,tacó f Ă1 (G)=X ẵ f Ă1 (F) . Bâygiờtasẽchứngminhrằng(c) =) (a). Gọi x 0 2 X và ">0 tuỳýcố định. Theo giả thiết, tập f Ă1 (B Y (f(x 0 );")) là mở trong X .Do x 0 là phần tử của f Ă1 (B Y (f(x 0 );")) ,tồntại >0 sao cho B X (f(x 0 );") ẵ f Ă1 (B Y (f(x 0 );")) . Vì vậy, ta có f(B X (x 0 ;)) ẵ B Y (f(x 0 );") , tức là f liên tục tại x 0 . Vậy, ta đ chứng minh rằng ba điều kiện đầu tiên là tơng đơng. Tiếp theo, ta chứng minh rằng (a) =) (d). Để làm vậy, lấy y 0 2 f(A) .Theo định nghĩa nghịch ảnh của một tập dới tác động của ánh xạ f ,tồntại x 0 2 A sao cho f(x 0 )=g(x 0 ) . Do tính liên tục của f tại x 0 ,với ">0 cho trớc, tồn tại hình cầu B X (x 0 ;) sao cho f(B X (x 0 ;)) ẵ B Y (y 0 ;"): Vì x 0 2 A ,tathấy B X (x 0 ;) \ A 6= ; .Vậy ;6= f(B X (x 0 ;) \A) ẵ B Y (y 0 ;") \ f(A); tức là y 0 2 f(A) . Để chứng minh (d) =) (c), đặt A = f Ă1 (B) .Khiđó f(f Ă1 (B)) ẵ f(f Ă1 (B)) = B: Từ đó f Ă1 (B) ẵ f Ă1 (B) . Cuối cùng, ta chứng minh rằng (c) =) (b). Nếu F đóng, thì F = F .Theo (c), f Ă1 (F) ẵ f Ă1 (F); tức là f Ă1 (F) đóng. 1.7.2. Kí hiệu B(X) là họ tất cả các tập con Borel của X ,tứclà, ắ -đại số các tập con của X chứa mọi tập mở. Kí hiệu ~ B là họ các tập B ẵ Y sao cho 194 Chơng 3. Dy và chuỗi hàm f Ă1 (B) 2B(X) .Khiđó ~ B là ắ -đại số các tập con của Y .Vì f liên tục, suy ra từ bài toán trớc rằng nghịch ảnh của mọi tập mở là mở. Do đó, ~ B chứa tất cả các tập con mở của Y .Từđó, B(Y) ẵ ~ B , suy ra nếu B 2B(Y) ,thì f Ă1 (B) 2 ~ B(X) . 1.7.3. Cho X = Y = R đợc trang bị metric Euclide thông thờng d(x; y)= jx Ăyj .Xácđịnh f(x)=sinẳx và F = â n + 1 n : n á 2 ê .Khiđó, F đóng trong không gian metric X , vì nó chỉ chứa các điểm cô lập. Mặt khác, f(F)= n sin ẳ 2 ; Ăsi n ẳ 3 ; sin ẳ 4 ;::: o khôngđóngtrong Y bởi vì nó không chứa điểm điểm tích luỹ của nó, tức là điểm 0. Lấy X và Y nh trên đồng thời xác định f(x)=x(x Ă 2) 2 và G =(1; 3) . Khi đó, f(F)=[0; 3) . 1.7.4. Nếu y n inf f(F) ,thì y n = f(x n ) ,ởđây x n 2 F;n=1; 2; 3;::: .Nếu F compact trong X ,thìtồntạidycon fx n k g của fx n g hộitụtới x 2 F .Dotính liên tục của f , fy n k g xác định bởi y n k = f(x n k ) là dyconcủa fy n g hội tụ tới f(x)inff(F) . Vậy tính compact của f(F) đợc chứng minh. 1.7.5. Gọi fx n g là dy các phần tử trong F 1 [F 2 [:::[F m hội tụ tới x .Khi đó, tồn tại ít nhất một dy F i chứa dycon fx n k g . Do đó, dy fx n g có thể phân tích thành hữu hạn d yconsaochomỗidy con đợc chứa trong một tập F i .Do F i đóng và f liên tục trên F i , f(x n k )=f jF i (x n k ) ! f jF i (x)=f(x) . Suy ra rằng ff(x n )g đợc phân tích thành hữu hạn dyconhộitụtới f(x) , tức là ff(x n )g hộitụtới f(x) . Để thấy rằng khảng định không đúng trong trờng hợp vô hạn tập, xét F i xác định nh sau : F 0 = f0g; F i = â 1 i ê ;i=1; 2; 3;::: . Hàm cho bở i f(x)= ( 1 với x 2 F i ;i=1; 2; 3;::: ; 0 với x 2 F 0 ; liên tục trên mỗi F i ;i=0; 1; 2; 3;::: ,nhng không liên tục trên tập 1 S i=0 F i . 3.4. Chuỗi Taylor 195 1.7.6. Lấy tuỳ ý x 0 2[ t2T G t . Khi đó, tồn tại t 0 2 T sao cho x 0 2 G t 0 .Vì G t 0 mở và giới hạn của f trên G t 0 là liên tục, với ">0 , tồn tại >0 sao c ho nếu x 2 B(x 0 ;) ẵ G t 0 ,thì f(x)=f jG t 0 (x) 2 B Ă f jG t 0 (x 0 );" Â , tức là f liên tục tại x 0 . 1.7.7. Giả sử rằng với mọ tập compact A ẵ X , f jA là liên tục. Nếu dy fx n g các phần tử của X hội tụ tới x ,thìtập A = fx; x 1 ;x 2 ;x 3 ;:::g là compact trong X .Vậy, f(x n )=f jA (x n ) ! f jA (x)=f(x) .Vậy f liên tục trên X .Bao hàm ngợc lại là rõ ràng. 1.7.8. Tính liên tục của f Ă1 tơng đơng với điêuf kiện f(G) mở trong Y với mỗi G mở trong X .Nếu G mở trong X ,thì G C = X ẵ G ,coinh tập con đóng của không gian compact X là com pact. Theo kết quả của 1.7.4, f(G C )=bY ẵ f(G) cũng compact, và do đó đóng. Điều này có nghĩa f(G) mở. Để chỉ ra tính compact là giả thiết cố t yếu, xét f :(0; 1) [f2g!(0; 1] cho bởi f(x)=x với x 2 (0; 1) và f(2) = 1 . Rõ ràng, f là song ánh liên tục từ (0; 1 [f2g) lên (0; 1] .Vì f Ă1 (x)=x với x 2 (0; 1) và f Ă1 (1) = 2 ,hàmngợc không liên tục trên (0; 1] . 1.7.9. Gọi d 1 và d 2 lần lợt là các metric của X và Y . Do tính liên tục của f ,với ">0 cho trớc và x 2 X , tồn tại (x) > 0 sao cho d 1 (y; x) <(x) kéo theo d 1 (f(y);f(x)) < " 2 :(1) Vì họ các hình cầu â B Ă x; 1 2 (x) Â : x 2 X ê là phủ mở của không gian compact X ,tồntạiphủconhữuhạn ẵ B à x i ; 1 2 (x i ) ả : i =1; 2;::: ;n ắ :(2) Đặt = 1 2 minf(x 1 );(x 2 );::: ;(x n )g và lấy x và y trong X sao cho d 1 (x; y) < . Vì họ (2) là một phủ của X , tồn tại i 2f1 ; 2;::: ;ng sao cho d 1 (x; x i ) < 1 2 (x i ) .Khiđó d 1 (y;x i ) <d 1 (y; x)+d 1 (x; x i ) <+ 1 2 (x i ) (x i ): 196 Chơng 3. Dy và chuỗi hàm Do đó, theo (1), d 2 (f(x);f(y)) d 2 (f(x);f(x i )) + d 2 (f(x i );f(y)) <": 1.7.10. Với x 0 ;x2 X và y 2 A , dist(x; A) d(x; y) d(x; x 0 )+d(x 0 ;y): Vậy dist(x; A) d(x; x 0 )+dist(x 0 ; A) .Từđó dist(x; A) Ădist(x 0 ; A) d(x; x 0 ): Cũng nh vậy, dist(x 0 ; A) Ădist(x; A) d(x; x 0 ) .Dođó jdist(x; A) Ă dist(x 0 ; A)j d(x; x 0 ); và vì vậy f liên tục đều trên X . 1.7.11. Nếu f(X) không liên thông, thì tồn tại các tập con mở rời nhau, khác rỗng G 1 và G 2 sao cho G 1 [ G 2 = f(X) . Tính liên tục của f suy ra rằng f Ă1 (G i );i=1; 2 , là mở. Rõ ràng, chúng khác rỗng, rời nhau và hợp của chúng bằng X , mâu thuẫn. 1.7.12. Gọi d 1 và d 2 lần lợt là các metric trên X và Y .Giảsử f liên tục tại x 0 2 A .Khiđó,với ">0 cho trớc, c ó thể tìm >0 sao cho f(x) 2 Bf(x 0 );"=2 bất cứ khi nào x 2 B(x 0 ;) \ A . Do đó,, d 2 (f(x);f(y)) <" với mọi x; y 2 B(x 0 ;)\A . Suy ra rằng o f (x 0 )=0 .Ngợc lại, nếu o f (x 0 )=0 , thì với ">0 , tồn tại " > 0 sao cho 0 << " kéo theo diam(f(A \ B(x 0 ;))) <": Từ đó d 1 (x; x 0 ) < kéo theo d 2 (f(x);f(x 0 )) diam(f(A \ B(x 0 ;))) <": 3.4. Chuỗi Taylor 197 1.7.13. Đặt B = fx 2 A : o f (x) á "g và gọi fx n g là dy các điểm của B hội tụ tới x 0 .Vì B ẵ A;x 0 2 A .Vìvậy, o f (x 0 ) đợc xác định đúng đắn. Ngoài ra, với mọi >0 , tồn tại n 2 N sao cho B(x n ;=2) ẵ B(x 0 ;) .Từđó diam(f(A \ B(x 0 ;))) á diam(f(A \ B(x n ;=2))) á o f (x n ) á ": Suy ra rằng o f (x 0 ) á " , hay nói cách khác, x 0 2 B . 1.7.14. Theo kết quả của 1.7.12, tập C các điểm liên tục của f bằng tập các điểm mà trên đó dao dộ triệt tiêu. Đặt B n = fx 2 X : o f (x) <frac1ng: Suy ra từ bài toán trớc rằng B n mở trong X . Mặt khác, C = 1 \ n=1 B n ; tức là, tập các điểm liên tục của f có kiểu G . Suy ra rằng tập X n C các điểm gián đoạn của f có kiểu F ắ trong X . 1.7.15. Xét hàm định nghĩa bởi (so sánh với 1.2.3 (a)) f(x)= 8 > < > : 0 nếu x hữu tỷ. 0 nếu x =0; 1 q nếu x = p q ;p2 Z;q 2 N; và p; q nguyên tố cùng nhau. 1.7.16. [S. S. Kim, Amer. Math. Monthly 106 (1999), 258-259]. Gọi A có kiểu F ắ trong R ,tứclà 1 [ n=1 F n = A; ởđây F n đóng. Không mất tổng quát, có thể giả sử rằng F n ẵ F n+1 với n 2 N . Thực vậy, chỉ cần thay F n bởi F 1 [F 2 [ÂÂÂF n .Nếu A = R , thì, chẳng hạn, f(x)= Q (x) gián đoạn tại mỗi x 2 R .Nếu A 6= R , thì ta định nghĩa hàm g bằng cách đặt g(x)= 8 < : P n2K 1 2 n nếu x 2 A; 0 nếu x 2 R ẵ A; 198 Chơng 3. Dy và chuỗi hàm ởđây K = fn : x 2 F n g ,vàtađặt f(x)=g(x) à Q (x) Ă 1 2 ả : Trớc hết, ta chỉ ra rằng mỗi điểm của A là điểm giám đoạn của f . Thực vậy, nếu x 2 A o , thì mọi lân cận của x chứa một điểm mà tại đó dấu của f khác dấu của f(x) .Nếu x 2 @A \A ,thì f(x) 6=0 và mọi lân cận của x chứa mộtđiểmmàtạiđó f triệt tiêu. Vì A = A o [ (@A \ A) ,hàm f gián đoạn trên A . Bây giờ, ta phải chỉ ra rằng f liên tục trên R ẵ A .Tacó f(x)=0 nếu x=2 A . Nếu dy fx k g hội tụ tới x và x k 2 A ,thìvớimọi n , tồn tại k n sao cho x k 2 F n với k á k n .(Nếucóvôhạn x k trong F n nào đó, thì x cũng nằm trong F n .) Do đó, với k á k n , g(x k )= 1 2 n+1 + 1 2 n+2 + :::= 1 2 n ; tức là lim k!1 g(x k )=0=g(x) . 1.7.17. Không. Mọi hàm xác định trên không gian metric rời rạc là liên tục. 1.7.18. Trớc hết giả sử rằng x 2 @A = A \X n A . Vì mỗi hình cầu B(x; ) chứa các điểm của A và các điểm của X n A ,tacó o A (x)=1 . Bây giờ, giả sử rằng o A (x) > 0 . Điều này có nghĩa với mọi >0 , sup â A(x) Ă A(y) : y 2 B(x; ) ê = o A (x; ) > 0: Do đó, mỗi hình cầu B(x; ) phỉa chứa các điểm của A và các điểm của X nA . Từ đó, x 2 @A = A \ X nA . Rõ ràng, nếu A vừa mở, vừa đóng, thì @A = ; .Vìvậy,theo1.7.12, A liên tục trên X .Ngợc lại, nếu A liên tục trên X ,thì @A = ; .Bâygiờ, ta chứng minh rằng A ẵ A . Nếu không, tồn tại x 2 A n A ẵ X nA ,mâu thuẫn. Có thể chứng minh hoàn toàn tơng tự rằng X nA cũng đóng. 1.7.19. Với x 2 A và >0 ta có o f (x; )=supfd 2 (f(x);f(y)) : y 2 B(x; )g =supfd 2 (f(x);f(y)) : y 2 A \ B(x; )g +supfd 2 (f(x);f(y)) : y 2 (X n A) \B(x; )g 3.4. Chuỗi Taylor 199 Vậy o f (x; ) supfd 2 (g 1 (x);g 1 (y)) : y 2 A \B(x; )g +supfd 2 (g 1 (x);g 2 (y)) : y 2 (X nA) \ B(x; )g o g 1 (x; )+supfd 2 (g 1 (x);g 2 (y)) : y 2 (X nA) \B(x; )g o g 1 (x; ) +supfd 2 (g 1 (x);g 2 (x)) + d 2 (g 2 (x);g 2 (y)) : y 2 (X nA) \B(x; )g o g 1 (x; )+d 2 (g 1 (x);g 2 (x)) + o g 2 (x; ): Vì g 1 và g 2 liên tục, ta có, theo 1.7.12, o f (x) d 2 (g 1 (x);g 2 (x)):(1) Bây giờ, ta phải chứng minh rằng với x 2 A. o f (x) á d 2 (g 1 (x);g 2 (x)):(2) Gọi f n g là dy các số dơng hội tụ tới 0 .Vì A o = ; ,tập X nA trù mật trong X . Vậy mỗi hình cầu B(x; n ) chứa một điểm y n của X n A .Dođó, supfd 2 (f(x);f(y)) : y 2 B(x; n )g á supfd 2 (g 1 (x);g 2 (y)) : y 2 B(x; n ) \ (X nA)g á d 2 (g 1 (x);g 2 (y n )): Kết hợp với tính liên tục của g 2 suy ra lim n!1 supfd 2 (f(x);f(y)) : y 2 B(x; n )gád 2 (g 1 (x);g 2 (x)): Từ đó suy ra ( 2). S u y ra từ (1) và (2) rằng đẳng thức cần chứng minh đúng với x 2 A . Theo cách tơngtự(dùngtínhtrùmậtcủa A ) có thể chứng minh đẳn thức này cũng đúng cho x 2 X nA . 200 Chơng 3. Dy và chuỗi hàm 1.7.20. Giả sử rằng ff n g là dy các hàm liên tục trên X sao cho f(x)= lim n!1 f n (x) .Với ">0 ,đặt P m (")=fx 2 X : jf(x) Ă f m (x)j "g và G(")= 1 S m=1 (P m (")) o . Ta sẽ chứng minh rằng C = 1 T n=1 G(1=n) là tập các điểm liên tục của f .Trớc hết ta s ẽ chứng minh rằng nếu f liên tục tại x 0 , thì x 0 2 C .Vì f(x)= lim n!1 f n (x) , tồn tại m sao cho jf(x 0 ) Ăf m (x 0 )j " 3 : Suy ra từ tính liên tục của f và f m tại x 0 rằng tồn tại một hình cầu B(x 0 ;) sao cho với x 2 B(x 0 ;) , jf(x) Ăf(x 0 )j " 3 và jf m (x) Ăf m (x 0 )j " 3 : Do đó, jf(x)Ăf m (x)j " nếu x 2 B(x 0 ;) . Điều này có nghĩa x 0 2 (P m (")) o ẵ G(") .Vì ">0 có thể chọn tuỳ ý, ta có x 0 2 C . Bây giờ nếu x 0 2 C = 1 \ n=1 G(1=n); thì, với mọi ">0;x 0 2 G("=3) . Vậy tồn tại số nguyên dơng m sao cho x 0 2 (P m (")) o . Do đó tồn tại hình cầu B(x 0 ;) sao cho nếu x 2 B(x 0 ;) ,thì jf(x) Ăf m (x)j " 3 : Vì f m liên tục, điều này chỉ ra rằng f liên tục tại x 0 . Bây giờ, ta phải chứng minh rằng X n C thuộc phạm trù thứ nhất. Để làm vậy, xác định F m (")=fx 2 X : jf m (x) Ăf m+k (x)j " với mọi k 2 Ng: Tính liên tục của f n ;n2 N , suy ra rằng F m (") đóng. Vì f(x) = lim n!1 f n (x);x2 X ,tathấyrằng X = 1 S m=1 F m (") và F m (") ẵ P m (") .Dođó, 1 [ m=1 (F m (")) o ẵ G("): 3.4. Chuỗi Taylor 201 Bây giờ chú ý rằng với mọi F ẵ X , phần trong của F n F o bằng rỗng, bởi vì (F ẵ F o ) o n F o n (F o ) o = ; . N goài ra, nếu F đóng, thì F n F o đóng và vì vậy F n F o trù mật khắp nơi. Vì rằng X n 1 [ m=1 (F m (")) o ẵ 1 [ m=1 (F m (") n (F m (")) o ); tập X n 1 S m=1 (F m (")) o thuộc phạm trù thứ nhất. Cuối cùng, quan sát rằng X n C = X n 1 [ n=1 G(1=n)= 1 [ n=1 (X nG(1=n)): Vì vậy, tập X nC các điểm gián đoạn của f thuộc phạm trù thứ nhất. 1.7.21. Ta sẽ dùng kí hiệu của lời giải của bài toán trớc. Ta có X n G(1=k) ẵ X n 1 [ m=1 (F m (1=k)) o ẵ 1 [ m=1 (F m (1=k) n (F m (1=k)) o ): Từ đó, 1 [ k=1 (X n G(1=k)) ẵ 1 [ k=1 1 [ m=1 (F m (1=k) n (F m (1=k)) o ): Vậy, X nC là tập con của hợp đếm đợc các tập đóng và k hông đâu trù mật (các phần bù của chúng mở và trù mật trong X ). Suy ra rằng C chứa giao đếm đợc các tập mở và trù mật. Theo định lí Baire, C trù mật trong X . 1.7.22. Với ">0 ,đặt F k = f0g[ \ nák n x>0: f x n " o ;k=1; 2; 3;::: : Vì f liên tục, các tập là đó ng (xem, chẳng hạn, 1.7.1). Theo giả thiết, S k=1 F k = [0; 1) . Theo định lí Baire, ít nhất một trong các tập F k có phần trong khác rỗng. Do đó, tồn tại a>0; >0 ,và k 2 N sao cho (a Ă ; a + ) ẵ F k . Không mất tổng quát, có thể giả sử rằng a k .Nếu 0 <x và n = Ê a x Ô ,thì 202 Chơng 3. Dy và chuỗi hàm a Ă a Ă x<nx a<a+ ,và n á k .Vậy nx 2 F k , và theo định nghĩa của F k , f(x)= f nx n "; suy ra lim x!0 + f(x)=0 . 1.7.23. Định nghĩa F n nh sau : F n = fx 2 X : jf(x)j n với mọi f 2Fg: Suy ra từ tính liên tục của f rằng F n đóng. T heo giả thiết, với mọi x 2 X , tồn tại số nguyên dơng n x sao cho jf(x)j n x với mọi f 2F n x .Dođó, X = 1 S n=1 F n .Vì (X;d 1 ) thuộc phạm trù thứ hai, tồn tại F n 0 có phần trong khác rỗng. Đặt G = F o n 0 .Vìvậy, jf(x)j n 0 với mọi f 2F và mỗi x 2 G . 1.7.24. Ta biết rằng f 1 \ n=1 F n ! ẵ 1 \ n=1 f(F n ): Bây giờ, ta chứng minh rằng nếu f liên tục, thì 1 \ n=1 f(F n ) ẵ f 1 \ n=1 F n ! : Lấy y 2 1 T n=1 f(F n ) . Khi đó, với mọi số nguyên dơng n; y 2 f(F n ) , hay nói cách khác, y = f(x n ) . theo định lí về các tập lồng nhau của Cantor, 1 T n=1 f(F n )= fx 0 g với x 0 2 X với x 0 2 X nào đó. Do tính liên tục của f , y = lim n!1 f(x n )= f(x 0 ) .Vậy y 2 f à 1 T n=1 f(F n ) ả . 1.7.25. Với u; v 2 X ta có d(f u ;f v )=supfjd 1 (u; x) Ăd 1 (v; x)j : x 2 Xg d 1 (u; v): Ngoài ra, d(f u ;f v )=supfjd 1 (u; x) Ăd 1 (v; x)j : x 2 Xg jd 1 (u; x) Ăd 1 (v; x)j = d 1 (u; v): [...]... (n) 1 x f = Ă n+1 f f Ă x x x xn x à ả 1 1 = n+2 f (n+1) : x x n 2.1.38 Chứng minh dưới đây được dựa theo bài báo của S Roman [Amer Math Monthly 87 (1980), 805-809], mặc dù tác giả sử dụng những kiến thức giải tích hàm nhưng chứng minh khá sơ cấp Ta xét phiếm hàm tuyến tính L : P ! R xác định trên tập P các đa thức hệ số thực Kí hiệu hL; P (x)i là giá trị của phiếm hàm L tại đa thức P (x) Xét phiếm hàm... metric compact là liên tục đều Nếu X là compact, thì mỗi tập fx 2 X : ẵ(x) > "g; " > 0, là hữu hạn Mặt khác, giả sử rằng tồn tại một số " > 0 sao cho tập fx 2 X : ẵ(x) > "g là hữu hạn Vì họ các hình cầu B(x; "); x 2 X là phủ mở của X, nó có phủ con hữu hạn, mâu thuẫn với ẵ(x) > " với vô hạn x Bâygiờ giả sử mọi hàm thực liên tục trên X là liên tục đều và tập x 2 X : ẵ(x) > " hữu hạn Ta sẽ chứng minh rằng... minh rằng X compact Gọi fxn g là dy các điểm của X Nếu một số hạng của dy này được lặp lại vô hạn lần, thì rõ ràng tồn tại một dy con hội tụ Nếu không, thì lim ẵ(xn ) = 0, vì tập n!1 fx 2 X : ẵ(x) > "g là hữu hạn Theo kết quả của bài toán trước, fxn g chứa một dy con hội tụ 3.4 Chuỗi Taylor 205 1.7.29 Chỉ cần xét X = [0; 1] [ f2g [ f3g [ f4g [ : : : được trang bị chuẩn Euclide d1 (x; y) = jx Ă yj 206... tương tự Ta có 0 0 infff+ (x) : x 2 (a; b)g 0 supff+ (x) : x 2 (a; b)g: 2.1.26 Ta áp dụng kết quả bài trên cho hàm x 7! f(x) Ă f (b) Ă f (a) (x Ă a): bĂa Chương 2 Vi phân 220 0 Tương tự ta có kết quả cho f+ (x), tức là f (b) Ă f (a) 0 supff+ (x) : x 2 (a; b)g: bĂa 0 infff+ (x) : x 2 (a; b)g 2.1.27 Từ bài trên ta có f (x + h) Ă f (x) h 0 supffĂ (z) : z 2 (x; x + h)g: 0 infffĂ (z) : z 2 (x; x + h)g... (2m+1) (0) = (1Ă)m (2m)! 2.1.31 Sử dụng phép quy nạp 2.1.32 (a) Sử dụng công thức Leibniz (n) (f (x)g(x)) = n X ànả k=0 và đẳng thức (a) trong bài trên k f (nĂk) (x)g (k) (x) 2.1 Đạo hàm của hàm số thực 221 (b) Sử dụng công thức Leibniz và đẳng thức (b) trong bài trên 2.1.33 Rõ ràng nếu x > 1 thì f(x) > 0, f 0 (x) > 0 và f 00 (x) < 0 Đạo hàm hàm số (f(x))2 = x2 Ă 1 n lần (n á 3) và sử dụng công thức... g các số nguyên dương sao cho các tập vô hạn F1 = fxnk : k 2 Ng và F2 = fynk : k 2 Ng đóng và rời nhau Theo bổ đề Urysohn, tồn tại hàm liên tục f : X ! R sao cho f bằng 1 trên F1 và bằng 0 trên F2 Vậy jf (xnk ) Ă f(ynk )j = 1 và lim d1 (xnk ; ynk ) = 0: k!1 Từ đó f liên tục nhưng không liên tục đều trên X, mâuthuẫn (a) Để chỉ ra rằng (b) suy ra (a), kí hiệu A là tập các điểm giới hạn của X Theo (b),... 4 : x6 x Sử dụng kết quả của bài 1.1.12 ta được f 00 (0) = 0, từ đó suy ra f 00 cũng liên tục trên R Cuối cùng ta được ( Ă1Â 2 eĂ1=x P x với x 6= 0; (n) f (x) = với x = 0; 0 trong đó P là một đa thức, do đó với mọi n 2 N f (n) (x) liên tục trên R Chương 2 Vi phân 228 (b) Tương tự câu (a) ta có g (n) (0) = 0 với n 2 N, đồng thời ta được g 2 C 1 (R) (c) Hàm số đang xét là tích của hai hàm f1 và f2 thuộc... và ta có à n ả0 Q n !0 jfk j n Y X jfk j0 (x) k=1 (x) = ln jfk j (x) = : n Q fk (x) k=1 k=1 jfk j k=1 0 Chú ý rằng jfk j0 (x) = sgn(fk (x))fk (x) ta suy ra điều phải chứng minh 2.1.21 Sử dụng kết quả bài trên, thay thế fk bởi fk =gk : 2.1.22 (a) Rõ ràng f và jf j liên tục tại x = 0 Hơn nữa f 0 (0) = 1 và jf j0 (0) không tồn tại (xem 2.1.19) 2.1 Đạo hàm của hàm số thực 219 (b) f và jf j chỉ liên tục... tương đương 2n (2n) f2n (Ă1) (Ă1)k (2n Ă 1)! X =i : 22n cos2n (2kĂ1)ẳ k=1 4n (2n) (2n) Vì f2n (Ă1) thực nên suy ra f2n (Ă1) = 0 2.1.35 Kí hiệu L(x) và R(x) là vế trái và vế phải của đẳng thức trong đề bài, rõ ràng L và R là các đa thức bậc n + 1 và L(0) = R(0) = 0 Do đó ta Chương 2 Vi phân 222 cần chứng minh rằng L0 (x) = R0 (x); x 2 R Ta có 0 L (x) = n X P (k) (0) k=0 k! xk = P (x); n n (k) X (0) k... các giá trị x = xk ; k = 1; 2; : : : ; n Cho Q(x) 1 ta có 1= n X k=1 n 1 Y (x Ă xj ): P 0 (xk ) j=1 j6=k Tính toán hệ số của xnĂ1 ta được n X k=1 1 P 0 (xk ) =0 với n á 2: 2.1.18 Sử dụng các kết quả bài trước với (a) (b) P (x) = x(x + 1)(x + 2) Â Â Â (x + n) và Q(x) = n!; P (x) = x(x + 2)(x + 4) Â Â Â (x + 2n) và Q(x) = n!2n : 2.1.19 Rõ ràng đạo hàm của jf j tồn tại tại mỗi điểm x thoả mn f(x) 6= . đóng. 1.7.2. Kí hiệu B(X) là họ tất cả các tập con Borel của X ,tứclà, ắ -đại số các tập con của X chứa mọi tập mở. Kí hiệu ~ B là họ các tập B ẵ Y sao cho 194 Chơng. 2B(X) .Khiđó ~ B là ắ -đại số các tập con của Y .Vì f liên tục, suy ra từ bài toán trớc rằng nghịch ảnh của mọi tập mở là mở. Do đó, ~ B chứa tất cả các tập con mở của Y .Từđó, B(Y)

Ngày đăng: 21/01/2014, 19:20

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w