CHƯƠNG III : PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARITI.Phương trình mũ và phương trình logarit : Định nghĩa:Phương trình mũ và phương trình logarit lần lượt là phương trình có chứa ẩn ở mũ và phương trình có chứa ẩn số trong dấu của phép toán logarit.•Phương trình mũ cơ bản:Phương trình có dạng ax=b (với a>0)Nếu b 0 thì phương trình vô nghiệm.Nếu thì phương trình có nghiệm x = logabNếu thì phương trình có nghiệm x = x0 RNếu thì phương trình vô nghiệm.•Phương trình logarit cơ bảnPhương trình có dạng: logax = b (0 0, ta được:cntn + cn1tn1 + c1t + c0 = 0 (t > 0)hoặc phương trình logarit dạng:bn + bn1 x+..,+ b1logax+ b0 = 0 (00, đặt t = logax, giải phương trình:bntn + bn1tn1 + b1t + b0 = 0 c) Giải phương trình trình bằng cách đoán nhận nghiệm của phương trình, rồi chứng minh ngoài nghiệm đó ra phương trình không còn nghiệm nào khác. Chú ý:Ta có thể sử dụng hai cách sau để chứng minh nghiệm duy nhất của phương trình Mệnh đề 1 : Xét phương trình f(x) = c (c là hằng số) (1)Gọi D là miền xác định của (1). Nếu trên D hàm số f(x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) và phương trình (1) có nghiệm thì nó nghiệm duy nhất trên D Mệnh đề 2 : Xét phương trình f(x) = g(x)Gọi D là miền xác định của (2). Nếu trên D hàm f(x) luôn đồng biến còn g(x) luôn nghịch biến (hoặc ngược lại) và phương trình (2) có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất trên D. d) Sử dụng đồ thị để giải một phương trình mũ hoặc phương trình logarit e)Đánh gíá 2 vế của phương trình :Cho phương trình f(x) = g(x) (1), có TXĐ DNếu f(x) a và g(x) a ( hoặc f(x) a và g(x) a) thì : (1) II. Bất phuơng trình mũ và logarit1.Định nghĩa Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit lần lượt là bất phương trình có chứa ẩn ở mũ và bất phương trình có chứa ẩn trong dấu của phép toán logarit..Bất phương trình mũ cơ bản. Bất phương trình ax > b ( 0 < a ≠ 1 )Nếu b ≤ 0 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x RNếu thì bất phương trình có nghiệm là x > logab Nếu thì bất phương trình có nghiệm là x < logab .Bất phương trình ax < b , ( 0 logab.Bất phương trình logarit cơ bản.Bất phương trình logax > b (0 < a ≠ 1)Nếu a > 1 thì bất phương trình có nghiệm là x > abNếu 0 < a < 1 thì bất phương trình có nghiệm là 0 < x < ab.Bất phương trình logax < b( 0 < a < b)Nếu a > 1 thì bất phương trình có nghiệm là 0 < x < abNếu 0 < a < 1 thì bất phương trình có nghiệm là x > ab(các bất phương trình sau đây cũng là các bất phương trình cơ bản ax ≥ b ; ax ≤ b ; logax ≥ b ; logax ≤ b (0 < a ≠ 1))Khi giải bất phương trình mũ và logarit, ta cần đặc biệt chú ý tính chất đơn điệu của hàm số mũ và hàm số logarit cùng với các giá trị được thừa nhận của ẩn. 2.Một vài phương pháp giải bất phương trình mũ và logarit:a) Đưa hai vế của bất phương trình về cùng cơ số:Bất phương trình (1)Nếu , bất phương trình (1) Nếu , bất phương trình (1) Bất phương trình (2)Nếu , bất phương trình (2) Nếu , bất phương trình (2) b) Phương pháp đặt ẩn phụ.+ Tìm lượng chung, đặt ẩn phụ, quy bpt mũ ( hay logarit) về bpt đại số.+ Giải bpt đại số trung gian, sau đó giải các bpt mũ hay logarit cơ bản.c) Sử dụng đồ thị để xác định nghiệm của bất phương trình.BÀI TẬP PT MŨ VÀ LOGARIT Giải: a)Ta có: Ta thấy () có 1 nghiệm khi đó là duy nhấtVì hàm số là hàm đồng biến là hàm nghịch biến b)Giải () Ta thấy x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình (), vì VT () là hàm nghịch biến, VP() là hàm đồng biến. Vậy nghiệm của phương trình là Giải:a)Ta có: 72 + 108 = 180 72 + 3.36 = 180 72 = 108 3.36 cos72 = cos3. 36 2 1= ( 4 3. ) 4 + 2 3 1 = 0 ( + 1)(4 2 1) = 0 (loại) (2) Từ (2) ta có: = 2. 1 = Phương trình (1) trở thành : + = 3. + = 3 (3)Đặt : t = (t > 0)Mà : . = 1 = Thay vào pt (3) ta được : t + = 3 3t + 1 = 0 Với t = ta có phương trình : = = x = 2. t = = ()Mà : . = 1 = Từ (), ta có : = x = 2.Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 2 và x = 2. b) (1)Đặt t = ( t > 0 ) = Phương trình (1) trở thành Với =1 =0Vậy nghiệm của phương trình là =0c) Xét hàm < 0 là hàm giảm trên R.Ta thấy f(2) =1 nên phương trình f(x) =1 có nghiệm duy nhất là x=2.Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 2.Giải:
CHƯƠNG III : PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT I Phương trình mũ phương trình logarit : Định nghĩa: Phương trình mũ phương trình logarit phương trình có chứa ẩn mũ phương trình có chứa ẩn số dấu phép toán logarit • Phương trình mũ bản: Phương trình có dạng ax=b (với a>0) - Nếu b ≤ phương trình vô nghiệm - Nếu - Nếu - Nếu b > phương trình có nghiệm x = logab a ≠ b = phương trình có nghiệm x = x0 ∈ R a = b ≠ phương trình vô nghiệm a = • Phương trình logarit Phương trình có dạng: logax = b (0 ⇔ f ( x) = g ( x ) (0 < a ≠ ) g ( x) > f ( x) = g ( x ) ⇔ Chú ý: phép logarit hóa mũ hóa để giải phương trình mũ thay đổi miền xác định phương trình thực cần cẩn thận trường hợp đưa đến phương trình không tương đương với phương trình cho b) Phương pháp đặt ẩn phụ: Cho hàm mũ ( hay hàm logarit) u(x) đó, F(u) hàm số đại số đối số u Nếu đặt t = u(x) phương trình F[u(x)] = trở thành phương trình đại số ẩn số t F(t) = Nếu F(t) = có nghiệm thực t1, t2,…,tk việc giải phương trình ban đầu quy việc giải k phương trình: u(x) = ti ( i= 1,…,k) Nói riêng, phương pháp dùng để giải phương trình mũ có dạng: cnanx + cn-1a(n-1)x + …+ c1ax + c0 = ( i= 1,…,k) Sau đặt ax = t với điều kiện t > 0, ta được: cntn + cn-1tn-1 + c1t + c0 = (t > 0) phương trình logarit dạng: n n −1 bn log a + bn-1 log a x+ ,+ b1logax+ b0 = (00, đặt t = logax, giải phương trình: bntn + bn-1tn-1 + b1t + b0 = c) Giải phương trình trình cách đoán nhận nghiệm phương trình, chứng minh nghiệm phương trình không nghiệm khác Chú ý:Ta sử dụng hai cách sau để chứng minh nghiệm phương trình Mệnh đề : Xét phương trình f(x) = c (c số) (1) Gọi D miền xác định (1) Nếu D hàm số f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) phương trình (1) có nghiệm nghiệm D Mệnh đề : Xét phương trình f(x) = g(x) Gọi D miền xác định (2) Nếu D hàm f(x) đồng biến g(x) nghịch biến (hoặc ngược lại) phương trình (2) có nghiệm nghiệm D d) Sử dụng đồ thị để giải phương trình mũ phương trình logarit e)Đánh gíá vế phương trình : Cho phương trình f(x) = g(x) (1), có TXĐ D Nếu f(x) ≤ a g(x) ≥ a ( f(x) ≥ a g(x) ≤ a) : f ( x) = a g ( x) = a (1) ⇔ II Bất phuơng trình mũ logarit 1.Định nghĩa Bất phương trình mũ bất phương trình logarit bất phương trình có chứa ẩn mũ bất phương trình có chứa ẩn dấu phép toán logarit .Bất phương trình mũ Bất phương trình ax > b ( < a ≠ ) Nếu b ≤ bất phương trình nghiệm với x∈ R Nếu a > b > bất phương trình có nghiệm x > logab Nếu 0 < a < b>0 bất phương trình có nghiệm x < logab Bất phương trình ax < b , ( bất phương trình có nghiệm x < logab b > Nếu 0 < a < bất phương trình có nghiệm x > logab b>0 Bất phương trình logarit Bất phương trình logax > b (0 < a ≠ 1) Nếu a > bất phương trình có nghiệm x > ab Nếu < a < bất phương trình có nghiệm < x < ab Bất phương trình logax < b( < a < b) Nếu a > bất phương trình có nghiệm < x < ab Nếu < a < bất phương trình có nghiệm x > ab (các bất phương trình sau bất phương trình ax ≥ b ; ax ≤ b ; logax ≥ b ; logax ≤ b (0 < a ≠ 1) ) Khi giải bất phương trình mũ logarit, ta cần đặc biệt ý tính chất đơn điệu hàm số mũ hàm số logarit với giá trị thừa nhận ẩn 2.Một vài phương pháp giải bất phương trình mũ logarit: a) Đưa hai vế bất phương trình số: Bất phương trình a f ( x ) > a g ( x ) (0 < a ≠ 1) (1) Nếu a > , bất phương trình (1) ⇔ f ( x) > g ( x) Nếu < a < , bất phương trình (1) ⇔ f ( x ) < g ( x) Bất phương trình log a f ( x) > log a g ( x ) (0 < a ≠ 1) (2) f ( x) > g ( x) g ( x) > Nếu a > , bất phương trình (2) ⇔ Nếu f ( x) < g ( x) < a < , bất phương trình (2) ⇔ f ( x) < b) Phương pháp đặt ẩn phụ + Tìm lượng chung, đặt ẩn phụ, quy bpt mũ ( hay logarit) bpt đại số + Giải bpt đại số trung gian, sau giải bpt mũ hay logarit c) Sử dụng đồ thị để xác định nghiệm bất phương trình BÀI TẬP PT MŨ VÀ LOGARIT Bài Giải phương trình a) x x = x(3 − x) + 2( x − 1) b) x −1 x + x(3 x − x ) = 2(2 x − x −1 ) Giải: a)Ta có: x x = x ( − x ) + ( x − 1) ⇔ ( x − ) x = − ( x − 1) ( x − ) ⇔ ( x − ) ( x + x − 1) = x = ⇔ x = − x ( *) Ta thấy (*) có nghiệm x = Vì hàm số y = x hàm đồng biến ∀x ∈ R y = − x hàm nghịch biến ∀x ∈ R b) 3x −1 x + x (3 x − x ) = 2(2 x − 3x −1 ) 3x 2 x + 3x x − x x = ×2 x − 3x 3 2 1 ⇔ 3x x + x + ÷= x ( x + 2) 3 3 ⇔ ⇔ 3x ( x +1)( x + 2) = x ( x + 2) x x ⇔ ( x + 2) 3 ( x +1) − =0 x + = ⇔ x x 3 ( x +1) − = x = ⇔ x ÷ = x +1 Giải (*) Ta thấy x=0 nghiệm phương trình (*), VT (*) hàm nghịch biến, VP(*) hàm đồng biến Vậy nghiệm phương trình T = { 2, 0} Bài Giải phương trình : a) (cos 72 ) x + (cos 36 ) x = 3.2 − x (1) b) ( − ) x + ( + ) x = c) ( − ) x + ( + ) x = x Giải: a)Ta có: 72 + 108 = 180 ⇔ 72 + 3.36 = 180 ⇔ 72 = 108 - 3.36 ⇔ cos72 = - cos3 36 ⇔ cos 36 - 1= - ( cos 36 - cos 36 ) ⇔ cos 36 + cos 36 - cos 36 - = ⇔ ( cos 36 + 1)(4 cos 36 - cos 36 - 1) = ⇔ cos 36 = −1 (loại) 0 4 cos 36 − cos 36 − = (2) 1+ cos 36 = Từ (2) ta có: 1− (loai) cos 36 = 1+ ⇒ cos 72 = -1= x −1 x −1 1+ + = − x Phương trình (1) trở thành : x x −1 1+ + = (3) ⇔ x −1 (t > 0) Đặt : t = x −1 1+ 1+ = Mà : = ⇒ ÷ ÷ ÷ ÷ t 3+ t = 2 Thay vào pt (3) ta : t + = ⇔ t - 3t + = ⇔ t 3− t = 3+ Với t = ta có phương trình : x −1 −1 3+ = = 2 −2 ⇔ x = -2 x − ⇒ − 3− t= = (**) 2 −1 3− 3+ 3− Mà : =1 ⇒ = 2 2 x 2 −1 −1 = ⇒ x = Từ (**), ta có : Vậy phương trình có nghiệm x = x = -2 b) ( − ) x + ( + ) x = (1) Đặt t = ( − ) x ( t > ) ⇒ ( + )x = t Phương trình (1) trở thành t+ =2 t ⇔ t − 2t + = ⇔ t =1 Với t = ⇒ ( − ) x =1 ⇔ x =0 Vậy nghiệm phương trình x =0 c) ( − ) x + ( + ) x = x 2− x 2+ x ) +( ) =1 2 ⇔( Xét hàm f ( x) = ( − ) x + ( + ) x ⇒ f ' ( x) = ( 2− x 2− 2+ x 2+ < ∀x ∈ R ) ln +( ) ln 2 2 ⇒ f ( x) hàm giảm R Ta thấy f(2) =1 nên phương trình f(x) =1 có nghiệm x=2 Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài Giải phương trình : x −3 x + + x + x +5 = x +3 x + + 2 Giải: x −3 x + +4 x2 + x +5 ⇔4 x2 −3 x + +4 ⇔4 x2 −3 x + (1 − ⇔ (4 x +6 x +5 =4 x2 +6 x +5 x2 +3 x + =4 x2 + x +5 − 1)(1 − x2 −3 x + ) + (4 +1 x −3 x + x2 +6 x +5 x2 +6 x +5 +1 − 1) = )=0 4 x +6 x +5 − = x + x + = ⇔ ⇔ x −3 x + −1 = 4 x − x + = x = ±1 ⇔ x = x = −5 Bài Giải phương trình : x log = x 3log x − x log (1) 2 Giải: (1) ⇔ 32 log x = x 3log 2 x - 3log x Đặt t=log 2x ⇒ x= t Khi đó, ta được: 2t =2 2t t - t ⇔ 2t + t =2 2t t ⇔ t + t =(4.3) t ⇔( t t ) + ( ) =1 12 12 ⇔ ( ) t + ( ) t =1 ( 2) 4 4 Nhẩm thấy t=1 nghiệm ( 2) Vì hàm số y= ( ) t + ( ) t nghịch biến nên t=1 nghiệm (2) Với t=1 ⇒ x=2 Bài Giải phương trình : x − 21− x + 3x − 31− x + x −1 − 5− x = Giải Ta có : x − 21− x + 3x − 31− x + x −1 − 5− x = ⇔ x + 3x − 5− x = 21− x + 31− x − 5− (1− x ) (*) Đặt f (t ) = 2t + 3t − 5−t Ta có f ' (t ) = 2t ln + 3t ln + 5t ln > Vậy f(t) hàm số đồng biến R Từ (*) ta có : f(x)=f(1-x) Mà f(t) hàm số đồng biến nên ta x =1− x ⇔x= nghiệm phương trình Bài Giải phương trình: a) − x.2 x + 23− x − x = (1) b) 3.4 x + (3x − 10).2 x + − x = Giải: −x=0 2x 8.2 x − x.2 x.2 x + − x.2 x ⇔ =0 2x ⇔ 8(2 x + 1) − x.2 x (2 x + 1) = a )(1) ⇔ − x.2 x + ⇔ (2 x + 1)(8 − x.2 x ) = ⇔ − x.2 x = ⇔ x.2 x = ( *) Ta thấy x = không nghiệm phương trình suy x ≠ Khi đó: x ( *) ⇔ Xét : = x f ( x ) = 2x ⇒ f ' ( x ) = 2x > 0∀x ln Suy f(x) đồng biến R 8 ⇒ g ' ( x ) = − < 0∀x ≠ x x Suy g(x) nghịch biến R \ { 0} g ( x) = Ta có: f(2) = g(2) Suy x = nghiệm phương trình cho b) Cách 1: ( *) ⇔ 3.4 x + 3x.2 x − 10.2 x + − x = ⇔ (3.4 x − 10.2 x + 3) + (3x.2 x − x) = ⇔ 3(2 x − 3)(2 x − ) + x(3.2 x − 1) = x x ⇔ (2 − 3)(3.2 − 1) + x(3.2 x − 1) = ⇔ (3.2 x − 1)(2 x + x − 3) = (3.2 x − 1) = (1) ⇔ x + x − = (2) Giải (1): 3.2 x − = 10 (1) ⇔ (log x) − log x + = m(log x − 3) (2) t = log x, t ≥ Đặt Phương trình (2) viết lại t − 2t + = m(t − 3) (3) Để phương trình (1) có nghiệm x ∈ [ 32;+∞] phương trình (3) có nghiệm t ≥ (3) ⇔ m = t − 2t + t −3 (d): y = m (C): y = t − 2t + t −3 y' = Ta có − 2t (t − 3) t − 2t + < t ≥ Ta có bảng biến thiên t -∞ y’ y +∞ Để phương trình có nghiệm 1≤ m ≤ : BÀI TẬP BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Bài 11 Giải bất phương trình sau : x−2 a 5log x < b log x [log (9 x − 72)] ≤ Giải: a) log3 x−2 x x−2 > x > x ⇔ log b) log [log x − 72 )]≤1 (1) x log (9 x − 72) > ⇔ x > log 73 đk < x ≠ (1) ⇔ log (9 x − 72) ≤ x ⇔ x −72 ≤ x ⇔ x − x − 72 ≤ Đặt t=3x >0 Khi ta được: t - t - 72 ≤ ⇔ t ∈ (0;9] ⇒ x ∈ (−∞;2) Bài 12 Giải bất phương trình a )6 log x + x log x ≤12(*) log x + ) − log ( x + 1) b) ( > (1) x − 3x + Giải: a) Điều kiện: x > (*) ⇔ x log6 x Trường hợp x ≥ từ (**) ⇔ log x ≤ log x = ≤ = x log x (**) log x ⇔ log 62 x ≤ ⇔ −1 ≤ log x ≤ ⇔ ≤x≤6 So điều kiện ta 1≤ x ≤ 30 Trường hợp 0< x < từ (**) ⇔ log x ≥ log x ⇔ log 62 x ≤ ⇔ ≤x≤6 ≤ x x > −1 ⇔ b)Điều kiện : x + > x ≠ x − 3x + ≠ So điều kiện ta Cho : log ( x + ) − log ( x + 1) = ⇔ log ( x + ) = log ( x + 1) ⇔ ( x + ) = ( x + 1) 3 ⇔ x3 + 3x − x − = x = x = −3 x = −1 Cho: x − 3x + = x = −1 ⇔ x = Bảng xét dấu: x -∞ -3 Tử Mẫu - - vt -1 + + 0 - +∞ + - - + + - Vậy: 1< x < Bài 13 Giải bất phương trình sau : a) 52 x +1 + x +1 > 30 + x.30 x b) x + x.2 x +1 + 3.2 x > x 2 x + x + 12 c) x +1 + x.3 x − x x + x − x − < 2 31 Giải: 52 x +1 + x +1 > 30 + x.30 x ⇔ 5.(5 x ) + 6.6 x > 30 + (5 x ) x a) ⇔ (5 x ) (5 − x ) − 6(5 − x ) > ⇔ (5 − x )[(5 x ) − 6] > 0(*) Bảng xét dấu: x − log + - 5−6 (5 x ) − x VP (*) log log + - 0 + + + + - Dựa vào bảng xét dấu, ta có: log < x < log b) 2 x + x.2 x +1 + 3.2 x > x 2 x + x + 12 2 ⇔ (4 − x ) x + (2 x − 8) x + 3(2 x − 4) > 2 ⇔ (2 x − 4) x − (2 x − 8) x − 3(2 x − 4) < ⇔ (2 x − 4)( x − x − 3) < 2 x − > 2 x − < ⇔ ∨ x − x − < x − x − > x < − ∨ x > − < x < ⇔ ∨ − < x < x < −1 ∨ x > < x 3 Vậy tập nghiệm bất phương trình T = ( −∞, −1) ∪ , +∞ ÷ 2 Bài 14.Giải bất phương trình sau : − 1 − 3x 2 b) 25 x − x +1 + x − x +1 ≥ 34.15 x − x c) 32 x − 8.3x + x x + − 9.9 x+ > a) x +1 > Giải: 1 − 1 − 3x 1 ⇔ x +1 − >0 − 1 − 3x − x − x +1 + ⇔ >0 (3.3 x − 1)(1 − x ) a) x +1 ⇔ > − 4.3 x > (*) − 3.3 x + 4.3 x − Đặt t = x (t > 0) BPT (*) trở thành : Đặt f(t) = − 4t >0 − 3t + 4t − − 4t − 3t + 4t − BXD t 2-4t -3t2+4t-1 −∞ + - | + + | + | +∞ - 33 f(t) - 1 ⇔ < t || + 1 < 3x < ⇔ x 1 < - || + − < x < log ⇔ < x Vậy tập nghiệm bpt : S = (-1 , -log 2) ∪ (0 , + ∞ ) b) 252 x − x +1 + 92 x − x 2 +1 ≥ 34.152 x − x 2 ⇔ 25.252 x − x + 9.92 x − x ≥ 34.152 x − x 2 5 ⇔ 25.( ) 2(2 x − x ) − 34.( )(2 x − x ) + ≥ (1) 3 Đặt t = ( )(2 x − x ) (t>0) (1) ⇔ 25t − 34t + ≥ ⇔ t ∈ (−∞; ] ∪ [1; +∞) 25 Kết hợp với điều kiện t > ⇒ t ∈ (0; c) Điều kiện Ta có: Đặt t = 3x − x+4 ] ∪ [1; +∞) 25 x ≥ −4 32 x − 8.3x + x x + − 9.9 x + > ⇔ 32( x − x + ) − 8.3x − x + − > >0 , bất phương trình trở thành : t − 8t − > ⇔ (t + 1)(t − 9) > ⇔ t − > (vì t + > ) ⇔t >9 ⇔ 3x − x + > ⇔ x− x+4 > ⇔ x+4 < x−2 x − ≥ ⇔ x + < x − 4x + ⇔ x>5 Vậy bất phương trình cho có nghiệm x >5 Bài 15 Giải bất phương trình sau : log x + log x − ≤ 34 ĐK: x>0 và x ≠ (1) ⇔ log x + log x − ≤ ⇔ log x + t+ Giải: −3≤ log x −3≤ t (t − ) + t − 3t + 4 ⇔t 0, x ≠ Điều kiện : 36 ( 1) ⇔ − − log a x < log a x − log a x − log 2a x ⇔ 1 a • Với t >2 ⇔ log a x > (2) Nếu a > (2) ⇔ x > a2 Nếu < a a x (*) • Với a >1, ta có bpt: (*) ⇔ log a x log a x +1 > log a a x 37 ⇔ log a x (log a x + 1) > + log a x ⇔ log a x > log a x < − ⇔ log a x > x < a− ⇔ x > a • Với 0< a 1, tập nghiệm bpt: S = (−∞, a − ) ∪ (a , +∞) Với 0< a m < 11 − ⇔ m > 11 + Khi đó: f ( t ) ≤ ⇔ t1 ≤ t ≤ t2 Ta có: P = t1.t2 = − (m + 3) , S = t1 + t2 = m +1 39 P < S < Nếu m < 11 − , ta có: ⇒ t1 < < t2 f ( t ) ≤ có nghiệm dương t2, (1) có nghiệm P < ⇒ t1 < < t2 Nếu m > 11 + , ta có: S > f ( t ) ≤ có nghiệm dương t2, (1) có nghiệm Vậy bpt (1) có nghiệm m ∈ (−∞,11 − 3) ∪ (11 + 3, +∞) b) x − m.2 x +1 + − 2m ≤ Đặt t = x (t > 0) BPT trở thành : t2 – 2mt + – 2m ≤ ⇔ t + ≤ 2m(t + 1) t2 + ≤ 2m (do t > 0) t +1 t2 + Đặt y = f(t) = t +1 ⇔ TXĐ : D = R \ {-1} f’(t) = t + 2t − (t + 1) t = ⇒ f (t ) = f’(t) = ⇔ t2 + 2t – = ⇔ t = −3 ⇒ f (t ) = −6 BBT −∞ t -3 +∞ f’(t) f(t) - + +∞ Vậy bpt có nghiệm : 2m ≥ ⇔ m ≥ Bài 20: Cho bất phương trình : log x + < log (ax + a) a) Giải bất phương trình với a = - b) Định a để bất phương trình cho có nghiệm 40 Giải a) Với a = -2 (*) ⇔ log x + < log (−2x-2) ĐK: x < -1 ⇔ x + < −2x-2 −2x-2 > ⇔ x + < 4x + + 8x x < −1 ⇔ 3x + x + > x < −1 x < −4 − 17 ⇔ x > −4 + 17 ⇔x< −4 − 17 b) (*) ⇔ x + < ax + a (1) Đặt f ( x) = ⇒ f ′( x) = x2 + x +1 x −1 ( x + 1)( x + 1) x2 + −1 (1) ⇔ x2 + >a x + x < −1 Vậy với a ∈ (−∞; −1) ∪ ( ; +∞) phương trình có nghiệm Bài 21: Xác định m để bất phương trình sau nghiệm với x dương : ( − 1) x − ( + 1) x < m 41 Giải Đặt t = ( − 1) , < t < x t Đặt f (t ) = t − t (1) ⇔ t − < m ⇒ f / (t ) = + > 0, ∀t ∈ (0,1) t2 ⇒ f(t) đồng biến khoảng (0,1) ⇒ f(t) 0 2 Bài 22: Tìm m cho bpt: m.92 x − x − (2m + 1).62 x − x + m.42 x − x ≤ thỏa với x ≥ (1) Giải: ⇔ m( ) x − x − (2m + 1).( ) x − x + m ≤ 4 (1) x2 − x ⇔ m(( ) ) − (2m + 1).( ) x − x + m ≤ 0(2) 2 x2 − x >0 Đặt t= = ( ) Khi (2) trở thành mt2-(2m+1)t+m ≤ (*) Xét g(x)=2x2-x g’(x)=4x-1=0 ⇔ x = x −∞ g’(x) g(x) + ∞ −1 4 +∞ + ∞ + 42 1 2 2x Vậy với x ≥ ⇒ g ( x ) ≥ ⇔ x − x ≥ ⇔ ( ) −x ≥1⇔ t ≥1 ĐK đề thỏa (*) có nghiệm với t ≥ (*) m(t − 2t + 1) ≤ t Khi t=1 bpt thỏa với m Khi t>1 Đặt f(t)= t D=R \ {1} (t − 1) −t + = ⇔ t = ±1 f (t)= (t − 1) t -∞ -1 +∞ ’ f’(t) f(t) - + +∞ + Vậy: (*) có nghiệm với t ≥ ⇔ m ≤ 43 [...]... ±1 Từ (1) và (2) suy ra | x |= 0 2 s inx = ±1 (2) (vô nghiệm) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 14 c) 3 sin x = cos x (1) DK: x ≥ 0 sin x Ta có: sin x ≥ 0 ⇒ 3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi sin x = 0va cos x ≤ 1 sin x = 0 x = k 2π (k ∈ N ) sin x = 0 x = kπ ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ Khi đó: (1) cos x = 1 sin x = 0 sin x = 0 x = lπ (l ∈ Z ) ⇔ l = k 2π ⇒ k = 0(k ∈ Z ) Bài 9 : Giải và biện luận theo... m 2 (C): y = t − 2t + 3 t −3 y' = Ta có − 2t (t − 3) 2 t 2 − 2t + 3 < 0 khi t ≥ 5 Ta có bảng biến thiên t -∞ y’ y 0 +∞ 5 3 2 1 Để phương trình có nghiệm thì 1≤ m ≤ 3 2 : BÀI TẬP BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Bài 11 Giải các bất phương trình sau : x−2 a 5log x < 1 3 b log x [log 3 (9 x − 72)] ≤ 1 Giải: a) 5 log3 x−2 x