MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

MỤC LỤCLỜI CẢM ƠN1MỤC LỤC2MỞ ĐẦU41. Lý do chọn đề tài42. Mục đích nghiên cứu53. Đối tượng nghiên cứu54. Phạm vi nghiên cứu55. Phương pháp nghiên cứu5NỘI DUNG6MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ6I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG6ĐỊNH NGHĨA61. Lũy thừa hai vế của phương trình6a) Phương pháp6b) Ví dụ minh họa72. Trục căn thức10a) Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung10b) Đưa về “hệ tạm”133. Phương trình biến đổi về tích14a) Sử dụng đẳng thức14b) Dùng hằng đẳng thức154. Bài tập áp dụng16II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ171. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường172. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến223. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn274. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích305. Đặt ẩn phụ đưa về hệ33a) Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường33b) Đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại I34c) Đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại II37d) Đặt ẩn phụ đưa về hệ gần đối xứng416. Bài tập áp dụng42III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ441. Dùng bất đẳng thức44a) Phương pháp44b)Ví dụ minh họa442. Bài tập áp dụng47IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ481. Phương pháp482. Bài tập áp dụng51V. CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC511. Phương pháp lượng giác51a) Phương pháp51b) Bài tập áp dụng562.Phương pháp véc tơ57a) Phương pháp57b)Ví dụ minh họa57c) Bài tập áp dụng59VI. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐHCĐ TRONG NHỮNG NĂM GẦN ĐÂY60KẾT LUẬN65TÀI LIỆU THAM KHẢO66MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng, nhưng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, trong khoa học lý thuyết và khoa học ứng dụng. Toán học là một môn học giữ một vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Tuy nhiên, nó là một một môn học khó, khô khan và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nổ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình. Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản, dạy học sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách.Trong chương trình Toán phổ thông, phương trình là một mảng kiến thức quan trọng. Giải phương trình là bài toán có nhiều dạng và giải rất linh hoạt, với nhiều học sinh kể cả học sinh khá giỏi nhiều khi còn lúng túng trước việc giải một phương trình, đặc biệt là phương trình vô tỉ.Trong những năm gần đây, phương trình vô tỉ thường xuyên xuất hiện ở câu II trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng. Vì vậy, việc trang bị cho học sinh những kiến thức liên quan đến phương trình vô tỉ kèm với phương pháp giải chúng là rất quan trọng. Như chúng ta đã biết phương trình vô tỉ có nhiều dạng và nhiều phương pháp giải khác nhau. Trong đề tài này, tôi xin trình bày “một số phương pháp giải phương trình vô tỉ”, mỗi phương pháp đều có bài tập minh họa được giải rõ ràng, dễ hiểu; sau mỗi phương pháp đều có bài tập áp dụng giúp học sinh có thể thực hành giải toán và nắm vững cái cốt lõi của mỗi phương pháp.Hy vọng nó sẽ góp phần giúp học sinh có thêm những kĩ năng cần thiết để giải phương trình vô tỉ nói riêng và các dạng phương trình nói chung.2. Mục đích nghiên cứuĐề tài này có tác dụng giúp cho học sinh rèn luyện được một số kĩ năng, phương pháp giải phương trình vô tỉ. Trang bị cho học sinh một số kiến thức cơ bản nhằm nâng cao rèn luyện khả năng tư duy và giải quyết các bài tập một cách chủ động.Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một số phương pháp tổng quát và một số kỹ năng cơ bản và phát hiện được đâu là điều kiện cần và đủ. Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi biến đổi. Hy vọng đề tài sẽ giúp các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp giải một lớp các bài toán về giải phương trình vô tỉ.3. Đối tượng nghiên cứuPhương trình vô tỉ.4. Phạm vi nghiên cứuNội dung phần phương trình vô tỉ và một số bài toán cơ bản, nâng cao nằm trong chương trình đại số 10.Một số bài giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn trong các đề thi Đại học Cao đẳng.5. Phương pháp nghiên cứuTổng hợp tài liệu liên quan, trình bày sắp xếp lại thành hệ thống.NỘI DUNGMỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶI. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNGĐỊNH NGHĨAHai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.Một số phép biến đổi tương đương.•Cộng trừ hai vế phương trình với cùng biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình.•Nhân chia hai vế phương trình với cùng biểu thức (luôn khác 0) mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình.•Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ hai vế của phương trình.•Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai căn bậc chẵn hai vế của phương trình cùng dương.1. Lũy thừa hai vế của phương trìnha) Phương phápVới các dạng phương trình cơ bản• • • • • • ta lập phương hai vế để đưa về phương trình dạng và sử dụng phép thế ta được phương trình hệ quả: •Phương trình dạng  Nếu thì ta biến đổi phương trình về dạng sau đó bình phương giải phương trình hệ quả sau đó kiểm tra nghiệm chọn nghiệm. Nếu mà thì ta biến đổi phương trình về dạng sau đó bình phương giải phương trình hệ quả sau đó kiểm tra nghiệm chọn nghiệm.b) Ví dụ minh họaVí dụ 1: Giải phương trình: GiảiLập phương 2 vế của phương trình: Vậy phương trình có nghiệm .Ví dụ 2: Giải phương trình: GiảiĐiều kiện: Đặt điều kiện Ta có: (thỏa)Vậy nghiệm của phương trình là ; .Ví dụ 3: Giải phương trình: Giải Vậy phương trình có nghiệm: .Ví dụ 4: Giải phương trình: Giải Vậy phương trình có nghiệm: .Ví dụ 5: Giải phương trình: (5)Giải Vậy phương trình có nghiệm: .Ví dụ 6: Giải phương trình: GiảiĐiều kiện: Ta có: (thỏa)Vậy nghiệm của phương trình là ; .Ví dụ 7: Giải phương trình sau: GiảiĐiều kiện: Thử lại thỏa mãn phương trìnhVậy là nghiệm của phương trình.Ví dụ 8: Giải phương trình sau: (8)GiảiĐiều kiện: Thử lại: , không thỏa Vậy phương trình (8) vô nghiệm.2. Trục căn thứca) Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chungMột số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm . Như vậy, phương trình luôn đưa được về dạng tích ta có thể giải phương trình hoặc chứng minh vô nghiệm, chú ý điều kiện của phương trình để ta đánh giá vô nghiệm.Ví dụ 1: Giải phương trình: GiảiĐiều kiện: Ta nhận thấy: và (1) (thỏa)Dễ dàng chứng minh được phương trình =0 vô nghiệm vì Vậy là nghiệm của phương trình.Ví dụ 2: Giải phương trình: (2)GiảiĐể phương trình có nghiệm thì: Ta nhận thấy: là nghiệm của phương trình, như vậy phương trình cóthể phân tích về dạng: ta biến đổi như sau:(2) Dễ dàng chứng minh được: Vậy là nghiệm của phương trình.Ví dụ 3: Giải phương trình: (3)GiảiĐiều kiện: Nhận thấy là nghiệm của phương trình, nên ta biến đổi phương trình như sau:(3) Phương trình () vô nghiệm vì: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .b) Đưa về “hệ tạm”Nếu phương trình vô tỉ có dạng mà: ở đây có thể là hằng số, có thể là biểu thức của Ta có thể giải như sau: khi đó ta có hệ: Ví dụ 1: Giải phương trình: GiảiTa thấy: Phương trình đã cho có nghiệm không phải là nghiệm của phương trìnhXét trục căn thức ta có: Ta có hệ phương trình: Thử lại thỏa, vậy phương trình có 2 nghiệm: .3. Phương trình biến đổi về tícha) Sử dụng đẳng thức Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)Giải(1) Vậy nghiệm của phương trình là: .Ví dụ 2: Giải phương trình: (2)Giải không phải là nghiệm , ta chia 2 vế cho :(2) Vậy nghiệm của phương trình là: .Ví dụ 3: Giải phương trình: (3)GiảiĐiều kiện: (3) (thỏa)Vậy nghiệm của phương trình là: .Ví dụ 4: Giải phương trình: GiảiĐiều kiện: Chia cả hai vế cho ta được: (thỏa)Vậy nghiệm của phương trình là: .b) Dùng hằng đẳng thứcBiến đổi phương trình về dạng: Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)GiảiĐiều kiện: (1) (thỏa)Vậy nghiệm của phương trình là: .Ví dụ 2: Giải phương trình: (2)GiảiĐiều kiện: (2) (thỏa)Vậy nghiệm của phương trình là: .Ví dụ 3: Giải phương trình: (3)Giải(3) Vậy nghiệm của phương trình là: .4. Bài tập áp dụngGiải các phương trình sau: 1. ĐS: 2. ĐS: 3. ĐS: 4. ĐS: 5. ĐS: vô nghiệm6. ĐS: 7. ĐS: 8. ĐS: 9. ĐS: 10. ĐS: 11. ĐS: 12. ĐS: 13. ĐS: 14. ĐS: 15. ĐS: 16. ĐS: 17. ĐS: 18. ĐS: II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thườngĐối với nhiều phương trình vô tỉ, để giải chúng ta có thể đặt và chú ý điều kiện của . Nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến và quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo thì việc đặt ẩn phụ xem như hoàn toànVí dụ 1: Giải phương trình: (1)GiảiĐiều kiện: Nhận xét: Đặt thì phương trình (1) trở thành: Với ta có phương trình: Vậy nghiệm của phương trình là .Ví dụ 2: Giải phương trình: (2)GiảiĐiều kiện: Đặt . Thay vào phương trình (2) ta được: (vì )Với ta có: Với ta có: Vậy nghiệm của phương trình là: .Ví dụ 3: Giải phương trình: (3)GiảiĐiều kiện: Đặt .Thay y vào phương trình (3) trở thành:(3) (vì )Với ta có phương trình: (thỏa)Vậy nghiệm của phương trình là: .Ví dụ 4: Giải phương trình: (4)GiảiĐiều kiện: Đặt ( ) phương trình trở thành:(4) (vì )Với ta có phương trình Vậy là nghiệm của phương trình.Ví dụ 5: Giải phương trình: GiảiĐiều kiện: Chia cả 2 vế cho x ta được phương trình: ()Đặt phương trình () trở thành:() Với ta có phương trình: Vậy nghiệm của phương trình là: .Ví dụ 6: Giải phương trình: GiảiTa thấy không phải là nghiệm của phương trình.Chia cả hai vế cho x ta được: ()Đặt phương trình () trở thành: Với ta có phương trình: Vậy nghiệm của phương trình là: .2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biếnChúng ta đã biết cách giải phương trình: (1) bằng cách:Xét phương trình trở thành:  thử trực tiếp.Các trường hợp sau cũng đưa được về dạng (1)• • Nếu thay các biểu thức bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạnga)Phương trình dạng: Như vậy phương trình có thể giải bằng phương pháp trên nếu Chú ý một số phân tích trước khi đặt ẩn phụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)GiảiĐiều kiện: Đặt (1) Với ta có phương trình: Với ta có phương trình: (thỏa)Vậy nghiệm của phương trình là: .Ví dụ 2: Giải phương trình: (2)GiảiĐiều kiện: (2) Đặt

Tiểu luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Đề tài hoàn thành phần lớn nhờ vào giúp đỡ nhà trường, thầy cô bạn bè Trước hết xin cảm ơn Trường Đại Học Cần Thơ, Khoa Sư Phạm Bộ Môn Toán đưa học phần giúp sinh viên nói chung thân nói riêng có dịp để nghiên cứu, rèn luyện thân bổ sung kiến thức Cũng cung cấp nguồn tài liệu phong phú tạo điều kiện thuận lợi cho trình nghiên cứu Xin cảm ơn ThS Bùi Phương Uyên giảng viên Khoa Sư Phạm hướng dẫn thực đề tài Cảm ơn cô hướng dẫn tận tình suốt thời gian thực đề tài Những đóng góp quý báu cô góp phần quan trọng để hoàn thành tốt đề tài nội dung lẫn hình thức Xin cảm ơn tập thể lớp Sư Phạm Toán Tin K35 giúp đỡ việc sưu tầm tài liệu đóng góp ý kiến bổ ích để giúp hoàn thiện GVHD: Th.S Bùi Phương Uyên SVTH: Đinh Quốc Nam Tiểu luận tốt nghiệp MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài .2 Mục đích nghiên cứu .3 Đối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học mang tính trừu tượng, mô hình ứng dụng rộng rãi gần gũi lĩnh vực đời sống xã hội, khoa học lý thuyết khoa học ứng dụng Toán học môn học giữ vai trò quan trọng suốt bậc học phổ thông Tuy nhiên, một môn học khó, khô khan đòi hỏi học sinh phải có nổ lực lớn để chiếm lĩnh tri thức cho Dạy học sinh học Toán không cung cấp kiến thức bản, dạy học sinh giải tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải dạng toán, từ giúp em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách Trong chương trình Toán phổ thông, phương trình mảng kiến thức quan trọng Giải phương trình toán có nhiều dạng giải linh hoạt, với nhiều GVHD: Th.S Bùi Phương Uyên Nam SVTH: Đinh Quốc Tiểu luận tốt nghiệp học sinh kể học sinh giỏi nhiều lúng túng trước việc giải phương trình, đặc biệt phương trình vô tỉ Trong năm gần đây, phương trình vô tỉ thường xuyên xuất câu II đề thi tuyển sinh vào Đại học Cao đẳng Vì vậy, việc trang bị cho học sinh kiến thức liên quan đến phương trình vô tỉ kèm với phương pháp giải chúng quan trọng Như biết phương trình vô tỉ có nhiều dạng nhiều phương pháp giải khác Trong đề tài này, xin trình bày “một số phương pháp giải phương trình vô tỉ”, phương pháp có tập minh họa giải rõ ràng, dễ hiểu; sau phương pháp có tập áp dụng giúp học sinh thực hành giải toán nắm vững cốt lõi phương pháp Hy vọng góp phần giúp học sinh có thêm kĩ cần thiết để giải phương trình vô tỉ nói riêng dạng phương trình nói chung Mục đích nghiên cứu Đề tài có tác dụng giúp cho học sinh rèn luyện số kĩ năng, phương pháp giải phương trình vô tỉ Trang bị cho học sinh số kiến thức nhằm nâng cao rèn luyện khả tư giải tập cách chủ động Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh số phương pháp tổng quát số kỹ phát đâu điều kiện cần đủ Học sinh thông hiểu trình bày toán trình tự, logic, không mắc sai lầm biến đổi Hy vọng đề tài giúp em học sinh có nhìn toàn diện phương pháp giải lớp toán giải phương trình vô tỉ Đối tượng nghiên cứu Phương trình vô tỉ GVHD: Th.S Bùi Phương Uyên SVTH: Đinh Quốc Nam Tiểu luận tốt nghiệp Phạm vi nghiên cứu Nội dung phần phương trình vô tỉ số toán bản, nâng cao nằm chương trình đại số 10 Một số giải phương trình chứa ẩn dấu đề thi Đại học Cao đẳng Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp tài liệu liên quan, trình bày xếp lại thành hệ thống NỘI DUNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐỊNH NGHĨA  Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm  Một số phép biến đổi tương đương • Cộng trừ hai vế phương trình với biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện phương trình • Nhân chia hai vế phương trình với biểu thức (luôn khác 0) mà không làm thay đổi điều kiện phương trình • Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai bậc lẻ hai vế phương trình GVHD: Th.S Bùi Phương Uyên Nam SVTH: Đinh Quốc Tiểu luận tốt nghiệp • Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai bậc chẵn hai vế phương trình dương Lũy thừa hai vế phương trình a) Phương pháp Với dạng phương trình • k +1 • 2k • k +1 • 2k  g ( x ) ≥ f ( x) = g ( x) ⇔  2k  f ( x ) = g ( x ) f ( x ) = k +1 g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x )  g ( x ) ≥ f ( x ) = 2k g ( x ) ⇔   f ( x ) = g ( x )  f ( x ) ≥ 0và f ( x ) có nghĩa  f ( x ) + g ( x ) = h ( x ) ⇔  g ( x ) ≥ g ( x ) có nghĩa   f ( x ) + g ( x ) + f ( x ) g ( x ) = h ( x ) • • f ( x ) = g ( x ) ⇔ f ( x ) = g k +1 ( x ) A + B = C ta lập phương hai vế để đưa phương trình dạng A + B + 3 AB ( ) A + B = C sử dụng phép A + B = C ta phương trình hệ quả: A + B + 3 ABC = C • Phương trình dạng A+ B = C + D  Nếu A + C = B + D ta biến đổi phương trình dạng A − C = B − D sau bình phương giải phương trình hệ sau kiểm tra nghiệm chọn nghiệm  Nếu A + B = C + D mà AC = BD ta biến đổi phương trình dạng A − C = B − D sau bình phương giải phương trình hệ sau kiểm tra nghiệm chọn nghiệm GVHD: Th.S Bùi Phương Uyên SVTH: Đinh Quốc Nam Tiểu luận tốt nghiệp b) Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải phương trình: x + x + x + = x + (1) Giải Lập phương vế phương trình: Phương trình ( 1) ⇔ x3 + x + x + = ( x + 1) ⇔ x3 + 3x + 3x + = ⇔ ( x + ) ( x + x + 1) = ⇔ x+2=0 ⇔ x = −2 Vậy phương trình có nghiệm x = −2 Ví dụ 2: Giải phương trình: x + x + = −2 x − x − (2) Giải Điều kiện: − x − x − ≥ Đặt y = x + x + điều kiện y ≥ Ta có: − x − x − = −2( x + x) − = −2( y − 3) − = −2 y + (2) ⇔ y = −2 y + ⇔ y2 + y − = ⇔ y =1 ⇔ x2 + 4x + = ⇔ x2 + x + =  x = −2 − ⇔ (thỏa)  x = −2 + Vậy nghiệm phương trình x = −2 − ; x = −2 + Ví dụ 3: Giải phương trình: x + = 3x − (3) Giải ⇔ x + = 3x2 − ⇔ x2 − = ⇔ x = ± GVHD: Th.S Bùi Phương Uyên Nam SVTH: Đinh Quốc Tiểu luận tốt nghiệp Vậy phương trình có nghiệm: x = ± Ví dụ 4: Giải phương trình: x − x + − x + = (4) Giải 8 x − x = 8 x − x + = ( x − 1)  (4) ⇔  ⇔ x ≥  x − ≥  ⇔x= 4 Vậy phương trình có nghiệm: x = Ví dụ 5: Giải phương trình: x2 + x + = − x (5) Giải 2 − x ≥ x ≤ (5) ⇔  ⇔ x + 2x + = − x  x + 3x + = x ≤  x = −1  ⇔   x = −1 ⇔   x = −2   x = −2   x = −1 Vậy phương trình có nghiệm:   x = −2 Ví dụ 6: Giải phương trình: x + − x − = 12 − x (6) Giải Điều kiện: ≤ x ≤ 12 Ta có: GVHD: Th.S Bùi Phương Uyên SVTH: Đinh Quốc Nam Tiểu luận tốt nghiệp (6) ⇔ x + = 12 − x + x − ⇔ x + = + ( 12 − x ) ( x − ) ⇔ 19 x − x − 84 = x − ⇔ ( 19 x − x − 84 ) = x − x + 16 ⇔ 76 x − x − 336 − x + x − 16 = ⇔ x − 84 x + 352 = 44   ⇔ ( x − 8)  x − ÷ =   x = ⇔ (thỏa)  x = 44  Vậy nghiệm phương trình x = ; x = Ví dụ 7: Giải phương trình sau: 44 x + + 3x + = x + x + ( 7) Giải Điều kiện: x ≥ ( 7) ⇔ x + + 3x + = x + x + ⇔ 3x + − x + = x − x + ⇒ x + − ( x + 3)(2 x + 2) + x + = x − x( x + 3) + x + ⇔ ( x + 3)(2 x + 2) = x( x + 3) ⇔ x + x + = x + 12 x ⇔ x + x + = x + 12 x ⇔ x2 − 2x + = ⇔ x =1 Thử lại x = thỏa mãn phương trình Vậy x = nghiệm phương trình Ví dụ 8: Giải phương trình sau: GVHD: Th.S Bùi Phương Uyên Nam x3 + + x +1 = x2 − x +1 + x + x+3 (8) SVTH: Đinh Quốc Tiểu luận tốt nghiệp Giải  x ≥ −1  x ≠ −3 Điều kiện:  x3 + − x + = x2 − x + − x + x+3 x3 + ⇒ − x + + x + = x − x + − ( x + 1)( x − x + 1) + x + x+3 x3 + ⇔ = x2 − x −1 x+3 ⇔ x + = ( x − x − 1)( x + 3) (8) ⇔ ⇔ x3 + = x3 + x − x − ⇔ x2 − x − = x = 1− ⇔  x = + Thử lại: x = 1− , x = + không thỏa Vậy phương trình (8) vô nghiệm Trục thức a) Trục thức để xuất nhân tử chung Một số phương trình vô tỉ ta nhẩm nghiệm x0 Như vậy, phương trình đưa dạng tích ( x − xn ) A ( x ) = ta giải phương trình A ( x ) = chứng minh A ( x ) = vô nghiệm, ý điều kiện phương trình để ta đánh giá A ( x ) = vô nghiệm (1) Ví dụ 1: Giải phương trình: 3x − x + − x − = ( x − x − 1) − x − x + Giải x ≤ −  Điều kiện:  +  x ≥ GVHD: Th.S Bùi Phương Uyên SVTH: Đinh Quốc Nam Tiểu luận tốt nghiệp 2 Ta nhận thấy: ( x − x + 1) − ( x − x − 3) = −2 ( x − ) 2 ( x − ) − ( x − 3x + ) = ( x − ) (1) ⇔ x − x + − ( x − x − 1) = x − − x − x + ⇒ −2 ( x − ) ( ) 3x − 5x + + x − x + 3( x − 2) = x − + x − 3x +  ⇔ ( x − 2)  +  x − + x − x + 3x − x + + x − x +  ( )  ÷= ÷ ÷  ⇔ x = (thỏa) Dễ dàng chứng minh phương trình x − + x − 3x + + ( ) =0 vô nghiệm 3x − x + + x − x + 1 +  VT > 0, ∀x ∈ ( −∞; 2] ∪  ; +∞ ÷ ÷   Vậy x = nghiệm phương trình Ví dụ 2: Giải phương trình: x + 12 + = x + x + (2) Giải Để phương trình có nghiệm thì: x + 12 − x + = x − ≥ ⇔ x ≥ Ta nhận thấy: x = nghiệm phương trình, phương trình phân tích dạng: ( x − ) A ( x ) = 0, ta biến đổi sau: (2) ⇔ x + 12 − = x − + x + − GVHD: Th.S Bùi Phương Uyên Nam 10 SVTH: Đinh Quốc Tiểu luận tốt nghiệp ( Ví dụ 1: Giải phương trình + − x = x + − x ) Giải Điều kiện x ≤  −π π  ; ÷ phương trình trở thành  2 Đặt x = sin t ; t ∈  + cos t = sin t ( + cos t ) t ⇔ cos  ÷ = sin t + s in2t 2 t  3t  t ⇔ cos  ÷ = 2sin  ÷cos  ÷ 2 2 2  t   3t   ⇔ cos  ÷ sin  ÷− 1 =  2 2   t t = ( 2k + 1) π cos  ÷ =    ⇔ ⇔ π k∈Z) t = + k 4π (   3t   sin  ÷ =  2 Kết hợp với điều kiện t suy t = π π  Vậy phương trình có nghiệm x = sin  ÷ = 6 Ví dụ 2: Giải phương trình + − x  ( + x ) −  2 − x2  ( 1− x)  = +  3 ( 2) Giải Điều kiện: x ≤ Khi VP > Nếu x ∈ [ −1;0] Nếu x ∈ [ 0;1] (1+ x) (1+ x) GVHD: Th.S Bùi Phương Uyên 3 − − ( 1− x) ( 1− x) 51 3 ≤ nên phương trình ( 2) vô nghiệm ≥0 SVTH: Đinh Quốc Nam Tiểu luận tốt nghiệp  π Đặt x = cos t ; t ∈  0; ÷ ta có:    t  t   t  t  sin  ÷+ cos  ÷ cos3  ÷− sin  ÷ = + sin t     2    2   ⇔ cos 1 + sin t ÷ = + sin t   ⇔ ( cos t − 1) ( + sin t ) ⇔ cos t = Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 3: Giải phương trình − x + + x = 1− 2x 1+ 2x + + 2x 1− 2x Giải Điều kiện: x ≤ Đặt x = cos t ; t ∈ ( 0; π ) phương trình trở thành  t  t  t t sin  ÷+ cos  ÷ = tan  ÷+ cot  ÷          ⇔ ( + sin t ) = sin t ⇔ sin t + sin t − = ⇔ cos t = Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 4: Giải phương trình x3 − 3x = x + ( 4) Giải Điều kiện: x ≥ −2 Nếu x ≥ x − 3x = x + x ( x − ) > x > x + Vậy để giải phương trình ( 4) ta cần xét x ∈ [ −2; 2] Đặt x = cos t ; t ∈ ( 0; π ) phương trình cho trở thành GVHD: Th.S Bùi Phương Uyên Nam 52 SVTH: Đinh Quốc Tiểu luận tốt nghiệp  3t = t cos 3t = cos  ÷ ⇔  2 3t =  t  k 4π + k 2π t = ⇔ (k ∈ Z ) −t k 4π  + k 2π t =t =   4π t = Kết hợp với điều kiện t ta  t = t = 4π  Vậy nghiệm phương trình là: x = cos  Nếu x= 4π 4π ; x = cos x ≥ a ta đặt: a a π  −π π  ;t ∈  ; ÷ ; t ≠ x = ; t ∈ ( 0; π ) ; t ≠ sin t cos t  2  Ví dụ 1: Giải phương trình x  +   ÷= x2 −1  (1) Giải Điều kiện: x ≥ Đặt x =  −π π  ;t ∈  ; ÷ ; t ≠ phương trình trở thành sin t  2 1   + cot t ) = ⇔ − cos t = cot t ⇔ cos t  cos t + ÷= ( sin t sin t   cos t = −π ⇔ ⇔t= + kπ − s in2t = 12  (k ∈ Z ) Kết hợp với điều kiện t suy t = Vậy phương trình có nghiệm  x= TỔNG QUÁT: Giải phương trình x  a +  GVHD: Th.S Bùi Phương Uyên 53 −π 12 =−  −π  sin  ÷  12  ( ) +1  ÷= a x2 −1  SVTH: Đinh Quốc Nam Tiểu luận tốt nghiệp Ví dụ 2: Giải phương trình x + 3x x2 − =2 Giải Điều kiện: x > x= π ; t ∈ ( 0; π ) ; t ≠ phương trình trở thành: cos t 1 π + = 2 ⇔ + s in2t = 2sin 2t ⇔ s in2t = ⇔ t = cos t sin t ⇒x= =3 π  (thỏa điề kiện) cos  ÷ 4 Vậy phương trình có nghiệm x = TỔNG QUÁT: Giải phương trình x + ax x2 − a = b với a , b số cho trước  Đặt  −π π  x = tan t , t ∈  ; ÷ để đưa phương trình lượng giác đơn giản  2 Ví dụ 1: Giải phương trình x3 − 3 x − 3x + = (1) Giải Do x = ± (1) ⇔ không nghiệm phương trình nên 3x − x3 = ( 2) − 3x  −π π  ; ÷ Khí phương trình ( 2) trở thành  2 Đặt x = tan t , t ∈  tan3t = ⇔ t = π kπ + (k ∈ Z ) GVHD: Th.S Bùi Phương Uyên Nam 54 SVTH: Đinh Quốc Tiểu luận tốt nghiệp Vậy phương trình cho có ba nghiệm: π   4π x = tan  ÷, x = tan  9    7π ÷, x = tan     ÷  x + ( x + 1) x +1 + = 2x x ( − x2 ) Ví dụ 2: Giải phương trình Giải Điều kiện x ≠ 0, x ≠ ±1 π  −π π  ; ÷, t ≠ 0, t ≠ ± Khí phương trình trở thành:  2 Đặt x = tan t , t ∈  1  1  + = ⇔ − 1 + ÷= cos t s in2t s in4t cos t  2s int 2sin t cos 2t  ⇔ 2sin t cos 2t + cos 2t − = ⇔ 2sin t ( − 2sin t ) − 2sin t =   −π sin t = t = + k 2π  ⇔ sin t ( − sin t − 2sin t ) = ⇔ sin t = −1 ⇔  ( k ∈ Z) π   t = + k 2π −1  sin t =  Kết hợp với điều kiện suy t = π π  Vậy phương trình có nghiệm x = tan  ÷ =   b) Bài tập áp dụng x −1 + 4x2 −1 = ĐS: x = 2 1 + =2 x − x2 ĐS: x = 1+ x = − 2 GVHD: Th.S Bùi Phương Uyên 55 SVTH: Đinh Quốc Nam Tiểu luận tốt nghiệp x + (1 − x )3 = x 2(1 − x ) x = − − 2 − 2 ĐS: x = 4 x3 − 3x = − x π 5π 3π − ĐS: x = cos ; x = cos ; x = cos = 8 2.Phương pháp véc tơ a) Phương pháp r r r r  a +b ≤ a + b r r Dấu " = " xảy ⇔ a hướng với b r r r r  a − b ≤ a −b r r Dấu " = " xảy ⇔ a hướng với b r r r r  a −b ≤ a + b r r Dấu " = " xảy ⇔ a ngược hướng với b rr r r  ab ≤ a b r r Dấu " = " xảy ⇔ a ngược hướng với b b)Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải phương trình x − x + − x − 10 x + 50 = (1) Giải r r r r Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn a = ( x − 2;1) ; b = ( x − 5;5 ) ⇒ a − b = ( 3; −4 ) r ( x − 2) Khi a = r b = ( x − 5) 2 + = x2 − 4x + + 25 = x − 10 x + 50 GVHD: Th.S Bùi Phương Uyên Nam 56 SVTH: Đinh Quốc Tiểu luận tốt nghiệp r r a − b = + 16 = r r a−b = x − x + − x − 10 x + 50 Ta có: r r r r a − b ≤ a − b (*) r r Do đó, (1) ⇔ (*) xảy dấu " = " ⇔ a hướng với b   x − = k ( x − 5) x=  r  r  ⇔ a = kb (k > 0) ⇔ 1 = 5k ⇔ k > k =   5 Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 2: Giải phương trình x − x + 816 − x + 10 x + 267 = 2003 ( 2) Giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn: r r r r a = − x; 20 ; b = + x;11 ⇒ a + b = 9;31 ( ) r ( ) ( Khi a = ( − x) + 800 = x − x + 816 r b = ( + x) + 242 = x + 10 x + 267 ) r r a + b = 81 + 1922 = 2003 r r r r Ta có: a + b ≤ a + b (*) r r Do đó, ( 2) ⇔ (*) xảy dấu " = " ⇔ a hướng với b −56  4 − x = k ( + x ) x=  r  r   31 ⇔ a = kb (k > 0) ⇔ 20 = 11 2k ⇔  k > k = 20   11 GVHD: Th.S Bùi Phương Uyên 57 SVTH: Đinh Quốc Nam Tiểu luận tốt nghiệp −56 31 Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 3: Giải phương trình x3 − 18 x + 36 x − x3 = + x Giải 9 x − 18 x ≥ 9 x − 18 ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ 2≤ x≤4 Điều kiện:    36 − x ≥ x ≤ 36 x − x ≥ r Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn a = ( ) r x − 18 x ; 36 x − x3 ; b = ( 1;1) rr Khi ab = x − 18 x + 36 x − x r r a b = 18 x = x rr r r Từ phương trình + x = ab ≤ a b = x ⇔ ( x − 3) ≤ ⇔ x = Thử lại ta x = nghiệm phương trình c) Bài tập áp dụng x − x + 20 + x + x + 29 = 97 ĐS: x = x − x + + x + 12 x + 25 = x + 12 x + 29 ĐS: x = x − x + + x − 12 x + 13 = 13 ĐS: x = x x + + − x − x + = ĐS: x = 1; x = + x − x + + x + x + 10 = 29 ĐS: x = GVHD: Th.S Bùi Phương Uyên Nam 58 SVTH: Đinh Quốc Tiểu luận tốt nghiệp VI MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐH-CĐ TRONG NHỮNG NĂM GẦN ĐÂY Giải phương trình: + x − x = x + − x (*) ( ĐHQG HN, khối A-2000) Giải Điều kiện: ≤ x ≤ Cách 1+ x − x2 = x + − x ( )   ⇔ 1 + x − x2 ÷ = x + − x   4 ⇔ 1+ x − x2 + ( x − x2 ) = + x ( − x ) ⇔ ( x − x2 ) − x − x2 = ) ( ⇔ x − x2 x − x2 − =  x − x2 =  x − x2 =   ⇔ 3⇔ 2 x −x+ =0 x − x =    x = ( thỏa điều kiện) ⇔ x = ( PTVN ) Vậy phương trình có nghiệm: x = x = Cách Đặt t = x + − x ⇒ x − x2 = t −1 Phương trình(*) 1+ (t > 0) trở thành: t = t −1 = t ⇔ t − 3t + = ⇔  t = GVHD: Th.S Bùi Phương Uyên 59 SVTH: Đinh Quốc Nam Tiểu luận tốt nghiệp Với t = ta có phương trình:  x = ( thỏa điều kiện) x + − x = ⇔ x − x2 = ⇔ x − x2 = ⇔  x = Với t = ta có phương trình: x + − x = ⇔ x − x2 = ⇔ x − x2 = 9 ⇔ x2 − x + = 4 ( PTVN ) Vậy phương trình có nghiệm: x = x = Cách Nhận xét: Đặt ( x) +( 1− x x = sin α , ≤ α ≤ ) = ta nghĩ đến đẳng thức: sin α + cos α = π 2 Phương trình( *) trở thành: + sin α − sin α = sin α + − sin α ⇔ + 2sin α cos α = 3sin α + 3cos α (cos α ≥ 0) ⇔ ( sin α + cos α ) − ( sin α + cos α ) + = sin α + cos α = ⇔ ⇔ sin α + cos α = sin α + cos α = π  ⇔ sin  α + ÷ = 4  π π  α + = + k 2π  π π  4 ⇔ sin  α + ÷ = sin ⇔  (k ∈ Z ) 4  α + π = 3π + k 2π  4 α ⇔ α  α ⇔ α  = k 2π (k ∈ Z ) π = + k 2π =0 π Vì ( ≤ α ≤ ) π = Với α = ta có x (=thỏa ⇔điều x = 0kiện) GVHD: Th.S Bùi Phương Uyên Nam 60 SVTH: Đinh Quốc Tiểu luận tốt nghiệp Với α = π ta có x = ⇔ x = ( thỏa điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm: x = x = Giải phương trình: x + + x + − x + = (ĐH-CĐ,D-2005) Giải Cách 1: Điều kiện: x ≥ −1 Khi phương trình cho tương đương ( ) ( ) x +1 +1 − x +1 = ⇔ x +1 +1 − x +1 = ⇔ x +1 = ⇔ x +1 = ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Cách 2: Đặt: t = x + 1, t ≥ ⇔ x = t − Khi phương trình cho tương đương t + + 2t − t = ⇔ t + + 2t = t + ⇔ 2( t + 1) = t + ⇔t=2 Khi t = ta x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = 3) Giải phương trình 2 x − + x − 3x + = (ĐH-CĐ, D-2006) Giải Đặt: t = x − 1, t ≥ ⇔ x = t + Khi phương trình cho tương đương: GVHD: Th.S Bùi Phương Uyên 61 SVTH: Đinh Quốc Nam Tiểu luận tốt nghiệp   t +1 t +1  − 2t +  + = t − 4t + 4t − = ⇔ 2    t ≥  t ≥ ( ) t = ( t − 1) t + 2t − = ⇔ ⇔ t ≥ t = − Khi t = ta x = Khi t = − ta x = − Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = x = − Giải phương trình 23 x − + − x − = (ĐH-CĐ, A-2009) Giải u = 3 x − Đặt:  v = − x , v ≥ Khi ta có hệ phương trình:  − 2u  − 2u v = v =  2u + 3v =    − 2u   2  = ⇔ 15u + 4u − 32u + 40 = 5u + 3v = ⇔ 5u + 3   v ≥  v ≥  v ≥      − 2u  − 2u v = v =   u = −2  ⇔ ( u + ) 15u − 26u + 20 = ⇔  v ≥ 15u − 26u + 20 = (VN)  v ≥    u = −2 ⇔ v = u = −2 3 x − = −8 ⇔ x = −2 Khi  ta có hệ phương trình  v = 6 − x = 16 ( ) Giải phương trình x + − − x + x − 14 x − = (ĐH-CĐ,B-2010) GVHD: Th.S Bùi Phương Uyên Nam 62 SVTH: Đinh Quốc Tiểu luận tốt nghiệp Giải −1 ≤x≤6 Điều kiện: Phương trình cho tương đương x + − + − − x + x − 14 x − = 3( x − 5) x −5 ⇔ + + ( 3x + 1)( x − 5) = 3x + + + − x x − = ⇔  + + ( x + 1) =  x + + + − x ⇔ x=5   Vì 3x + + + + − x + ( 3x + 1) > 0∀x ∈ − ;6   Vậy phương trình cho có nghiệm là: Giải phương trình: x + − − x + x4 =− 5x.2 = 10 − x (ĐH-CĐ, B-2011) Giải Điều kiện: − ≤ x ≤ Phương trình cho tương đương ( ) x + − 2 − x = 10 − x − 4 − x Đặt: t = x + − 2 − x ;−2 ≤ x ≤ ⇒ −4 ≤ t ≤ (*) Khi phương trình cho tương đương t = 3t = t ⇔  t = ( loại) t = ⇔ x + = 2 − x ⇔ x + = − 4x ⇔ x = Với Vậy phương trình cho có nghiệm x = 5 KẾT LUẬN Trên số phương pháp giải phương trình vô tỷ khuôn khổ chương trình phổ thông Bài tiểu luận đưa phương pháp giải kèm theo ví dụ minh họa hệ thống số tập áp dụng ứng phương pháp giải Sau đọc xong phương pháp giải tập minh họa, bạn GVHD: Th.S Bùi Phương Uyên 63 SVTH: Đinh Quốc Nam Tiểu luận tốt nghiệp giải tập áp dụng sau phương pháp mà giải tập chứa khác Mặc dù làm việc nghiêm túc cố gắng tham khảo nhiều tài liệu trình bày cách tốt nhất, nhiên tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận thông cảm quí thầy cô Chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bộ Giáo dục đào tạo, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), (2006) SGK SBT Đại số 10 Nâng cao, Nhà xuất giáo dục GVHD: Th.S Bùi Phương Uyên Nam 64 SVTH: Đinh Quốc Tiểu luận tốt nghiệp [2] Lê Hồng Đức, (Chủ biên) – Đào Thiện Khải – Lê Bích Ngọc, (2004) Phương pháp giải toán đại số- T.3- Phương trình, bất phương trình hệ vô tỷ - Đại học Sư phạm Hà Nội [3] Phạm An Hòa, Giải toán theo chuyên đề Phương trình bất phương trình vô tỉ, NXB Đại học sư phạm [4] Nguyễn Ngọc Khoa, Các dạng toán bản- Giải tích,NXB Đại học quốc gia Hà Nội Website [5]http://www.mathvn.com [6]www.nxbgd.vn/toanhoctuoitre [7]http://www.tailieu.vn [8] http://www.violet.vn GVHD: Th.S Bùi Phương Uyên 65 SVTH: Đinh Quốc Nam [...]... = 3 3 II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 1 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường Đối với nhiều phương trình vô tỉ, để giải chúng ta có thể đặt t = f ( x ) và chú ý điều kiện của t Nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến t và quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo t thì việc đặt ẩn phụ xem như hoàn toàn Ví dụ 1: Giải phương trình: x − x2 −1 + x + x2 −1 = 2 (1) Giải Điều... phương trình là x = 8; x = 5 + 61 2 3 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai f ( x ) Q ( x ) = f ( x ) + P ( x ) x với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương trình đã cho Đặt f ( x) = t ,t ≥ 0 2 Phương trình đã cho trở thành t − tQ ( x ) + P ( x ) = 0 Sau đó giải t theo x rồi thay vào giải phương trình f ( x ) = t và đưa ra kết luận ) ( 2 2 2 Ví dụ 1: Giải phương. .. 2 + nv 2 Nếu thay các biểu thức A ( x ) , B ( y ) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng a) Phương trình dạng: aA ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) B ( x ) Như vậy phương trình Q ( x ) = α P ( x ) có thể giải bằng phương pháp trên nếu  P ( x ) = A ( x ) B ( x )  Q ( x ) = aA ( x ) + bB ( x ) Chú ý một số phân tích trước khi đặt ẩn phụ: ( ) x 3 + 1 = ( x + 1) x 2 − x +... ta có phương trình 1− x = 1 ⇔ x = 0 Vậy x = 0 là nghiệm của phương trình Ví dụ 5: Giải phương trình: x 2 + 2 x x − 1 = 3x + 1 x Giải Điều kiện: − 1 ≤ x ≤ 0 Chia cả 2 vế cho x ta được phương trình: x+2 x− ⇔ x− 1 1 = 3+ x x 1 1 + 2 x − − 3 = 0 (*) x x Đặt t = x − 1 ( t ≥ 0) phương trình (*) trở thành: x ⇔ t 2 + 2t − 3 = 0 t = 1 (*) ⇔  t = −3 ⇔ t =1 Với t = 1 ta có phương trình: GVHD: Th.S Bùi Phương. .. y ta có phương trình: x ≥ 0 x+2 = x ⇔  2 ⇔ x=2 x − x − 2 = 0 Với x = −2 y ta có phương trình: x+2 = − x ≤ 0 x ⇔ 2 ⇔ x = 2−2 3 2 x − 4x − 8 = 0 Vậy nghiệm của phương trình là: x = 2; x = 2 − 2 3 b) Phương trình dạng: α u + β v = mu 2 + nv 2 Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện ” hơn dạng trên, nhưng nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên Ví dụ 1: Giải phương trình: x... không thỏa điều kiện x ta có phương trình: 2 ) 2 4 − x2 = x 2  x ≥ 0 ⇔ 2 2 8 4 − x = x ( ⇔x= ) 4 2 (thỏa) 3 Vậy nghiệm của phương trình là: x = GVHD: Th.S Bùi Phương Uyên 29 4 2 3 SVTH: Đinh Quốc Nam Tiểu luận tốt nghiệp 4 Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích Xuất phát từ một số hệ “đại số đẹp chúng ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ mà khi giải nó chúng ta lại đặt nhiều... x = 9  ⇔ 7 x = 7 ⇔ x =1  x2 − x = 0   x = 0 Thay các giá trị -1;0;1;9 vào phương trình đã cho thỏa phương trình Vậy phương trình có 4 nghiệm -1;0;1;9 Ví dụ 4: Giải phương trình: GVHD: Th.S Bùi Phương Uyên 3 x 2 + 3x + 2 31 ( 3 ) x +1 − 3 x + 2 = 1 SVTH: Đinh Quốc Nam Tiểu luận tốt nghiệp Giải TXĐ: R Phương trình viết lại: ( x + 1) ( x − 2 ) + 3 x 2 + 3x + 2  a = 3 x + 1 Đặt  b = − 3 x... 4  ( ) Phương trình (*) vô nghiệm vì: x+3 1+ 3 (x 2 ) 2 −1 + 2 3 x2 −1 + 4 = 1+ ( x+3 3 ) 2 x2 − 1 + 1 + 3