MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

MỤC LỤCLỜI CẢM ƠN1MỤC LỤC2MỞ ĐẦU41. Lý do chọn đề tài42. Mục đích nghiên cứu53. Đối tượng nghiên cứu54. Phạm vi nghiên cứu55. Phương pháp nghiên cứu5NỘI DUNG6MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ6I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG6ĐỊNH NGHĨA61. Lũy thừa hai vế của phương trình6a) Phương pháp6b) Ví dụ minh họa72. Trục căn thức10a) Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung10b) Đưa về “hệ tạm”133. Phương trình biến đổi về tích14a) Sử dụng đẳng thức14b) Dùng hằng đẳng thức154. Bài tập áp dụng16II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ171. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường172. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến223. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn274. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích305. Đặt ẩn phụ đưa về hệ33a) Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường33b) Đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại I34c) Đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại II37d) Đặt ẩn phụ đưa về hệ gần đối xứng416. Bài tập áp dụng42III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ441. Dùng bất đẳng thức44a) Phương pháp44b)Ví dụ minh họa442. Bài tập áp dụng47IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ481. Phương pháp482. Bài tập áp dụng51V. CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC511. Phương pháp lượng giác51a) Phương pháp51b) Bài tập áp dụng562.Phương pháp véc tơ57a) Phương pháp57b)Ví dụ minh họa57c) Bài tập áp dụng59VI. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐHCĐ TRONG NHỮNG NĂM GẦN ĐÂY60KẾT LUẬN65TÀI LIỆU THAM KHẢO66MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng, nhưng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, trong khoa học lý thuyết và khoa học ứng dụng. Toán học là một môn học giữ một vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Tuy nhiên, nó là một một môn học khó, khô khan và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nổ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình. Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản, dạy học sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách.Trong chương trình Toán phổ thông, phương trình là một mảng kiến thức quan trọng. Giải phương trình là bài toán có nhiều dạng và giải rất linh hoạt, với nhiều học sinh kể cả học sinh khá giỏi nhiều khi còn lúng túng trước việc giải một phương trình, đặc biệt là phương trình vô tỉ.Trong những năm gần đây, phương trình vô tỉ thường xuyên xuất hiện ở câu II trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng. Vì vậy, việc trang bị cho học sinh những kiến thức liên quan đến phương trình vô tỉ kèm với phương pháp giải chúng là rất quan trọng. Như chúng ta đã biết phương trình vô tỉ có nhiều dạng và nhiều phương pháp giải khác nhau. Trong đề tài này, tôi xin trình bày “một số phương pháp giải phương trình vô tỉ”, mỗi phương pháp đều có bài tập minh họa được giải rõ ràng, dễ hiểu; sau mỗi phương pháp đều có bài tập áp dụng giúp học sinh có thể thực hành giải toán và nắm vững cái cốt lõi của mỗi phương pháp.Hy vọng nó sẽ góp phần giúp học sinh có thêm những kĩ năng cần thiết để giải phương trình vô tỉ nói riêng và các dạng phương trình nói chung.2. Mục đích nghiên cứuĐề tài này có tác dụng giúp cho học sinh rèn luyện được một số kĩ năng, phương pháp giải phương trình vô tỉ. Trang bị cho học sinh một số kiến thức cơ bản nhằm nâng cao rèn luyện khả năng tư duy và giải quyết các bài tập một cách chủ động.Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một số phương pháp tổng quát và một số kỹ năng cơ bản và phát hiện được đâu là điều kiện cần và đủ. Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi biến đổi. Hy vọng đề tài sẽ giúp các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp giải một lớp các bài toán về giải phương trình vô tỉ.3. Đối tượng nghiên cứuPhương trình vô tỉ.4. Phạm vi nghiên cứuNội dung phần phương trình vô tỉ và một số bài toán cơ bản, nâng cao nằm trong chương trình đại số 10.Một số bài giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn trong các đề thi Đại học Cao đẳng.5. Phương pháp nghiên cứuTổng hợp tài liệu liên quan, trình bày sắp xếp lại thành hệ thống.NỘI DUNGMỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶI. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNGĐỊNH NGHĨAHai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.Một số phép biến đổi tương đương.•Cộng trừ hai vế phương trình với cùng biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình.•Nhân chia hai vế phương trình với cùng biểu thức (luôn khác 0) mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình.•Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ hai vế của phương trình.•Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai căn bậc chẵn hai vế của phương trình cùng dương.1. Lũy thừa hai vế của phương trìnha) Phương phápVới các dạng phương trình cơ bản• • • • • • ta lập phương hai vế để đưa về phương trình dạng và sử dụng phép thế ta được phương trình hệ quả: •Phương trình dạng  Nếu thì ta biến đổi phương trình về dạng sau đó bình phương giải phương trình hệ quả sau đó kiểm tra nghiệm chọn nghiệm. Nếu mà thì ta biến đổi phương trình về dạng sau đó bình phương giải phương trình hệ quả sau đó kiểm tra nghiệm chọn nghiệm.b) Ví dụ minh họaVí dụ 1: Giải phương trình: GiảiLập phương 2 vế của phương trình: Vậy phương trình có nghiệm .Ví dụ 2: Giải phương trình: GiảiĐiều kiện: Đặt điều kiện Ta có: (thỏa)Vậy nghiệm của phương trình là ; .Ví dụ 3: Giải phương trình: Giải Vậy phương trình có nghiệm: .Ví dụ 4: Giải phương trình: Giải Vậy phương trình có nghiệm: .Ví dụ 5: Giải phương trình: (5)Giải Vậy phương trình có nghiệm: .Ví dụ 6: Giải phương trình: GiảiĐiều kiện: Ta có: (thỏa)Vậy nghiệm của phương trình là ; .Ví dụ 7: Giải phương trình sau: GiảiĐiều kiện: Thử lại thỏa mãn phương trìnhVậy là nghiệm của phương trình.Ví dụ 8: Giải phương trình sau: (8)GiảiĐiều kiện: Thử lại: , không thỏa Vậy phương trình (8) vô nghiệm.2. Trục căn thứca) Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chungMột số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm . Như vậy, phương trình luôn đưa được về dạng tích ta có thể giải phương trình hoặc chứng minh vô nghiệm, chú ý điều kiện của phương trình để ta đánh giá vô nghiệm.Ví dụ 1: Giải phương trình: GiảiĐiều kiện: Ta nhận thấy: và (1) (thỏa)Dễ dàng chứng minh được phương trình =0 vô nghiệm vì Vậy là nghiệm của phương trình.Ví dụ 2: Giải phương trình: (2)GiảiĐể phương trình có nghiệm thì: Ta nhận thấy: là nghiệm của phương trình, như vậy phương trình cóthể phân tích về dạng: ta biến đổi như sau:(2) Dễ dàng chứng minh được: Vậy là nghiệm của phương trình.Ví dụ 3: Giải phương trình: (3)GiảiĐiều kiện: Nhận thấy là nghiệm của phương trình, nên ta biến đổi phương trình như sau:(3) Phương trình () vô nghiệm vì: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .b) Đưa về “hệ tạm”Nếu phương trình vô tỉ có dạng mà: ở đây có thể là hằng số, có thể là biểu thức của Ta có thể giải như sau: khi đó ta có hệ: Ví dụ 1: Giải phương trình: GiảiTa thấy: Phương trình đã cho có nghiệm không phải là nghiệm của phương trìnhXét trục căn thức ta có: Ta có hệ phương trình: Thử lại thỏa, vậy phương trình có 2 nghiệm: .3. Phương trình biến đổi về tícha) Sử dụng đẳng thức Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)Giải(1) Vậy nghiệm của phương trình là: .Ví dụ 2: Giải phương trình: (2)Giải không phải là nghiệm , ta chia 2 vế cho :(2) Vậy nghiệm của phương trình là: .Ví dụ 3: Giải phương trình: (3)GiảiĐiều kiện: (3) (thỏa)Vậy nghiệm của phương trình là: .Ví dụ 4: Giải phương trình: GiảiĐiều kiện: Chia cả hai vế cho ta được: (thỏa)Vậy nghiệm của phương trình là: .b) Dùng hằng đẳng thứcBiến đổi phương trình về dạng: Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)GiảiĐiều kiện: (1) (thỏa)Vậy nghiệm của phương trình là: .Ví dụ 2: Giải phương trình: (2)GiảiĐiều kiện: (2) (thỏa)Vậy nghiệm của phương trình là: .Ví dụ 3: Giải phương trình: (3)Giải(3) Vậy nghiệm của phương trình là: .4. Bài tập áp dụngGiải các phương trình sau: 1. ĐS: 2. ĐS: 3. ĐS: 4. ĐS: 5. ĐS: vô nghiệm6. ĐS: 7. ĐS: 8. ĐS: 9. ĐS: 10. ĐS: 11. ĐS: 12. ĐS: 13. ĐS: 14. ĐS: 15. ĐS: 16. ĐS: 17. ĐS: 18. ĐS: II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thườngĐối với nhiều phương trình vô tỉ, để giải chúng ta có thể đặt và chú ý điều kiện của . Nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến và quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo thì việc đặt ẩn phụ xem như hoàn toànVí dụ 1: Giải phương trình: (1)GiảiĐiều kiện: Nhận xét: Đặt thì phương trình (1) trở thành: Với ta có phương trình: Vậy nghiệm của phương trình là .Ví dụ 2: Giải phương trình: (2)GiảiĐiều kiện: Đặt . Thay vào phương trình (2) ta được: (vì )Với ta có: Với ta có: Vậy nghiệm của phương trình là: .Ví dụ 3: Giải phương trình: (3)GiảiĐiều kiện: Đặt .Thay y vào phương trình (3) trở thành:(3) (vì )Với ta có phương trình: (thỏa)Vậy nghiệm của phương trình là: .Ví dụ 4: Giải phương trình: (4)GiảiĐiều kiện: Đặt ( ) phương trình trở thành:(4) (vì )Với ta có phương trình Vậy là nghiệm của phương trình.Ví dụ 5: Giải phương trình: GiảiĐiều kiện: Chia cả 2 vế cho x ta được phương trình: ()Đặt phương trình () trở thành:() Với ta có phương trình: Vậy nghiệm của phương trình là: .Ví dụ 6: Giải phương trình: GiảiTa thấy không phải là nghiệm của phương trình.Chia cả hai vế cho x ta được: ()Đặt phương trình () trở thành: Với ta có phương trình: Vậy nghiệm của phương trình là: .2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biếnChúng ta đã biết cách giải phương trình: (1) bằng cách:Xét phương trình trở thành:  thử trực tiếp.Các trường hợp sau cũng đưa được về dạng (1)• • Nếu thay các biểu thức bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạnga)Phương trình dạng: Như vậy phương trình có thể giải bằng phương pháp trên nếu Chú ý một số phân tích trước khi đặt ẩn phụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)GiảiĐiều kiện: Đặt (1) Với ta có phương trình: Với ta có phương trình: (thỏa)Vậy nghiệm của phương trình là: .Ví dụ 2: Giải phương trình: (2)GiảiĐiều kiện: (2) Đặt

LỜI CẢM ƠN

Đề tài này được hoàn thành phần lớn nhờ vào sự giúp đỡ của nhà trường, thầy

cô và bạn bè của tôi

Trước hết tôi xin cảm ơn Trường Đại Học Cần Thơ, Khoa Sư Phạm và Bộ MônToán đã đưa ra học phần này giúp sinh viên nói chung và bản thân tôi nói riêng có dịp

để nghiên cứu, rèn luyện bản thân và bổ sung kiến thức của mình Cũng như đã cungcấp nguồn tài liệu phong phú và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình nghiêncứu

Xin cảm ơn ThS Bùi Phương Uyên giảng viên Khoa Sư Phạm đã hướng dẫntôi thực hiện đề tài này Cảm ơn cô đã hướng dẫn tận tình trong suốt thời gian tôi thựchiện đề tài Những đóng góp quý báu của cô đã góp phần quan trọng để tôi có thể hoànthành tốt đề tài cả về nội dung lẫn hình thức

Xin cảm ơn tập thể lớp Sư Phạm Toán Tin K35 đã giúp đỡ tôi trong việc sưutầm tài liệu và đóng góp những ý kiến bổ ích để giúp tôi hoàn thiện hơn

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 2

1 Lý do chọn đề tài 2

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Đối tượng nghiên cứu 3

4 Phạm vi nghiên cứu 4

5 Phương pháp nghiên cứu 4

NỘI DUNG 4

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 4

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng, nhưng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, trong khoa học lý thuyết và khoa học ứng dụng Toán học là một môn học giữ một vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông Tuy nhiên, nó là một một môn học khó, khô khan và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nổ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản, dạy học sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách

Trong chương trình Toán phổ thông, phương trình là một mảng kiến thức quan trọng Giải phương trình là bài toán có nhiều dạng và giải rất linh hoạt, với nhiều

học sinh kể cả học sinh khá giỏi nhiều khi còn lúng túng trước việc giải mộtphương trình, đặc biệt là phương trình vô tỉ.

Trong những năm gần đây, phương trình vô tỉ thường xuyên xuất hiện ở câu IItrong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng Vì vậy, việc trang bị cho họcsinh những kiến thức liên quan đến phương trình vô tỉ kèm với phương pháp giảichúng là rất quan trọng Như chúng ta đã biết phương trình vô tỉ có nhiều dạng vànhiều phương pháp giải khác nhau Trong đề tài này, tôi xin trình bày “một sốphương pháp giải phương trình vô tỉ”, mỗi phương pháp đều có bài tập minh họađược giải rõ ràng, dễ hiểu; sau mỗi phương pháp đều có bài tập áp dụng giúp họcsinh có thể thực hành giải toán và nắm vững cái cốt lõi của mỗi phương pháp

Hy vọng nó sẽ góp phần giúp học sinh có thêm những kĩ năng cần thiết để giảiphương trình vô tỉ nói riêng và các dạng phương trình nói chung

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này có tác dụng giúp cho học sinh rèn luyện được một số kĩ năng, phươngpháp giải phương trình vô tỉ Trang bị cho học sinh một số kiến thức cơ bản nhằm nângcao rèn luyện khả năng tư duy và giải quyết các bài tập một cách chủ động

Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một sốphương pháp tổng quát và một số kỹ năng cơ bản và phát hiện được đâu là điều kiệncần và đủ Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, khôngmắc sai lầm khi biến đổi Hy vọng đề tài sẽ giúp các em học sinh có một cái nhìn toàndiện cũng như phương pháp giải một lớp các bài toán về giải phương trình vô tỉ

3 Đối tượng nghiên cứu

Phương trình vô tỉ

-5 Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp tài liệu liên quan, trình bày sắp xếp lại thành hệ thống

NỘI DUNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

ĐỊNH NGHĨA

 Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm

 Một số phép biến đổi tương đương

• Cộng trừ hai vế phương trình với cùng biểu thức mà không làm thay đổiđiều kiện của phương trình

• Nhân chia hai vế phương trình với cùng biểu thức (luôn khác 0) màkhông làm thay đổi điều kiện của phương trình

• Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ hai vế của phương trình

• Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai căn bậc chẵn hai vế của phương trìnhcùng dương.

1 Lũy thừa hai vế của phương trình

• Phương trình dạng A+ B = C + D

 Nếu A+C =B+D thì ta biến đổi phương trình về dạng

D B C

A− = − sau đó bình phương giải phương trình hệ quảsau đó kiểm tra nghiệm chọn nghiệm

 Nếu A+ B = C + D mà AC=BD thì ta biến đổiphương trình về dạng A− C = B− D sau đó bình phương giảiphương trình hệ quả sau đó kiểm tra nghiệm chọn nghiệm

và f x( ) có nghĩa

và g x( ) có nghĩa

b) Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 2x3+6x2+6x+ = +3 x 1 (1)

GiảiLập phương 2 vế của phương trình:

x x x

x x x x

Đặt y= x2+4x+3 điều kiện y≥0

Ta có: −2x2 −8x−3=−2(x2 +4x)−3=−2(y2 −3)−3=−2y2 +3

2 2

2 2

22

x

x

(thỏa)Vậy nghiệm của phương trình là x=−2− 2;x=−2+ 2

Vậy phương trình có nghiệm: x= ± 2.

4

x x

x x

22

x

x x

x x

Thử lại x= 1 thỏa mãn phương trình

Vậy x= 1 là nghiệm của phương trình

Ví dụ 8: Giải phương trình sau: 3 1+ +1= 2 − +1+ +3

+

+

x x

x x

x

(8)

13

x x

x x x

x x x x

+

++

++

Thử lại: x=1− 3, x=1+ 3 không thỏa

Vậy phương trình (8) vô nghiệm

2 Trục căn thức

a) Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung

Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x0 Như vậy, phươngtrình luôn đưa được về dạng tích (x x A x− n) ( ) =0 ta có thể giải phương trình A x( ) =0

hoặc chứng minh A x( ) =0 vô nghiệm, chú ý điều kiện của phương trình để ta đánh giá

 ≤ −

+

 ≥



(1)

Nhận thấy x= 3 là nghiệm của phương trình, nên ta biến đổi phương trình như sau:

Nếu phương trình vô tỉ có dạng A+ B C= , mà: A B− =αC ở đây C có thể làhằng số, có thể là biểu thức của x

Ta có thể giải như sau:

x x

Chia cả hai vế cho x+3 ta được:

13

x

x x x

1 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường

Đối với nhiều phương trình vô tỉ, để giải chúng ta có thể đặt t= f x( ) và chú ý

điều kiện của t Nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến t và quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo t thì việc đặt ẩn phụ xem như hoàn toàn

Ví dụ 1: Giải phương trình: x− x2 −1+ x+ x2 −1 =2 (1)

GiảiĐiều kiện: x2 −1≥0⇔ x≥1

Nhận xét: x− x2 −1. x+ x2 −1 =1

Đặt t = x− x2 −1(t >0) thì phương trình (1) trở thành:

2

12

⇔ =

Với t =1 ta có phương trình:

121

11

11

2 2

2 2

x x

x x

Vậy nghiệm của phương trình là x=1

Ví dụ 2: Giải phương trình: 2x2 −6x−1= 4x+5 (2)

GiảiĐiều kiện:

1)5(4

616

25102

14

564

522

2 2

2 4

2 4

2 2 2

=

−

−

−+

⇔

=+

t t t

t t

t t

t t

2213

21

221

t

t t

Đặt y = x−1(1≤ x≤ 5)⇔ y2 = x−1.Thay y vào phương trình (3) trở thành:

(3) ⇔ y2 +1+ 5+ y =6

( 4)( 5) 0

02010

525

10

55

2 2

4 4 2

=

−

−

−+

⇔

=+

y y y

y y

y

y y

211

y y

GiảiĐiều kiện:0≤ x≤1

Đặt y = 1− x ⇔ y2 =1− x (0 ≤ x≤ 1) phương trình trở thành:(4)⇔(1−y2) (2 = 2005−y2) (1− y)2

(1−y) (2 1+y)2 =(2005−y2)(1−y)2

⇔

Vậy x=0 là nghiệm của phương trình.

Ví dụ 5: Giải phương trình: 2 +2 −1 =3x+1

x x x

GiảiĐiều kiện:− 1 ≤x≤ 0

Chia cả 2 vế cho x ta được phương trình:

x x

x

x+2 −1 =3+1

03

12

1

=

−

−+

−

⇔

x

x x

Đặt = −1(t≥0)

x x

t phương trình (*) trở thành:

(*)

131

032

⇔

t t t

t t

Với t = 1 ta có phương trình:

11

x x

x

x x

Ta thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình

Chia cả hai vế cho x ta được:

x x

x x x

x+ 3 2 − =2+1

211

Đặt 3 1

x x

t

t t

Với t =1 ta có phương trình:

2 3

2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến

Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u2+αuv+βv2 =0 (1) bằng cách:

Đặt u= x+1,v= x2− +x 1

(1)⇔2(u2+v2)=5uv⇔2u2+2v2−5uv=0

2 2 2

1

22

(2)⇔3(x− +1) 2(x2+ + =x 1) 7 (x−1) (x2+ +x 1)

Đặt u x= −1,v x= 2+ +x 1

914

4 6

x x

GiảiĐặt

2 2

( ) ( )

2 2

3 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai dạng:

2 2

x x

0

x x

2

x

t= ta có phương trình:

( ) ( )

2

2 4

20

8 4

x x x

t t x t

x t x t

4 Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích

Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích

Xuất phát từ một số hệ “đại số” đẹp chúng ta có thể tạo ra những phương trình

vô tỉ mà khi giải nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ

Đặt

235

22

GiảiTXĐ: R

Phương trình viết lại: (x+1) (x− +2) 3 x2+3x+2(3 x+ −1 3 x+2) =0(*)Đặt

3 3

12

a) Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường

Đặt u=α( )x v, =β( )x và mối quan hệ giữa α( )x và β( )x

Từ đó tìm được theo u v,

Ví dụ 1: Giải phương trình: x3 25−x x3 ( +3 25−x3)=30

Giải Đặt y= 335−x3 ⇔x3+y3 =35

Khi đó ta có hệ phương trình: ( )

3035



( )

2330

3

2

x y

Đặt u= x−1,v= 5+ x−1(u≥0,v≥0) ta được hệ phương trình:

( ) ( )

2 2

u v u v

⇔u v, là 2 nghiệm của phương trình X2−3X + =2 0

1221

u v u v

17

11

(loại vì 32−4.16 0< )

2 0

21

u v

X X

u v

Vậy nghiệm của phương trình là x= 1

c) Đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại II

Dạng 1: Giải phương trình x n+ =b a ax b n −

Đặt t= n ax b− ta có hệ phương trình đối xứng loại II:

n n



Ví dụ 1: Giải phương trình: x3+ =1 2 23 x−1

GiảiĐặt t= 3 2x−1 ta có hệ phương trình:

3 3

( )

2 2

( ) ( )

( ) ( )

2 2

6 5 214

x I

 Nếu f x( ) ≥a và đẳng thức này xảy ra khi và chỉ khix S∈ 1 ; g x( ) ≤a và

đẳng thức này xảy ra khi và chỉ khix S∈ 2 thì phương trình f x( ) =g x( ) có

nghiệm khi và chỉ khi x S∈ ∩1 S2 và x S∈ ∩1 S2 là nghiệm của phương trình ấy.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= 1

Vậy phương trình có nghiệm x= 1

Ví dụ 2: Giải phương trình: 4 x+ =1 x2−5x+14 ( 2)

GiảiĐiều kiện: x≥ −1

x x x

x x x x

x

x x

Vậy phương trình có nghiệm là x= 0.

Ví dụ 5: Giải phương trình 2 2 9 (5)

x + = ++

GiảiĐiều kiện: x>0

Biến đổi phương trình ta có: ( )2

2 2

21

51

Các hướng áp dụng theo Trần Phương – Lê Hồng Đức ( Tuyển tập các chuyên

đề luyện thi đại học môn toán: Đại số sơ cấp)

 Hướng 1: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f x( ) =k

Bước 2: Chứng minh f x( ) là hàm số liên tục và đơn điệu

Bước 3: Nhận xét: ( Chẳng hạn với trường hợp f x( ) là hàm đồng biến) Với x x= 0 ⇔ f x( ) = f x( )0 =k, do đó x x= 0 là nghiệm.

Với x x> 0 ⇔ f x( ) > f x( )0 =k, do đó phương trình vô nghiệm.

Với x x< 0 ⇔ f x( ) < f x( )0 =k, do đó phương trình vô nghiệm.

 Hướng 2: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f x( ) = g x( )

Bước 2: Chứng minh số f x( ) liên tục và đồng biến, còn hàm số g x( ) làhàm hằng hoặc liên tục và nghịch biến trên tạp cần xét

Bước 3: Nhẩm tìm nghiệm sao cho f x( )0 =g x( )0 .Kết luận x x= 0 là

nghiệm duy nhất của phương trình

 Hướng 3: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f u( ) = f v( ) ( )*

Bước 2: Xét hàm số y= f x( ), chứng minh hàm số f x( ) đơn điệu

Bước 3: Khí đó ( )* ⇔ =u v giải phương trình này tìm x

Ví dụ 1: Giải phương trình: x+ x− +5 x+ +7 x+16 14=

GiảiĐiều kiện: x≥5

Với x> 9, f x( ) > f ( )9 =14 do đó phương trình vô nghiệm

Với x<9, f x( ) < f ( )9 =14 do đó phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=9

x x x x

ππ

Ví dụ 1: Giải phương trình 2 ( 2)

GiảiĐiều kiện x ≤1

Nếu x≥2 thì x3−3x x x x= + ( 2− > >4) x x+2

Vậy để giải phương trình ( 4) ta chỉ cần xét x∈ −[ 2; 2]

Đặt x=2cos ;t t∈(0;π) khi đó phương trình đã cho trở thành

52

42

k t

t

t k t

ππ

ππ

t

t t

ππ

Ví dụ 2: Giải phương trình 32 2

9

x x

x

−

GiảiĐiều kiện: x >3

(thỏa điề kiện)

Vậy phương trình có một nghiệm x=3 2

TỔNG QUÁT: Giải phương trình x ax2 b

3

1 3

x x x

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm:

2

2

11

1

x x

x

x x x

++

−

GiảiĐiều kiện x≠0,x≠ ±1

2

21

k k

Vậy phương trình có nghiệm 5

4

x=

Ví dụ 2: Giải phương trình x2− +8x 816− x2+10x+267= 2003 ( 2)

GiảiTrong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:

11

x k x x

k k

Vậy phương trình có nghiệm 56

VI MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ TRONG ĐỀ THI TUYỂN

SINH ĐH-CĐ TRONG NHỮNG NĂM GẦN ĐÂY

2 2

2 2

9

42

01

t t

( thỏa điều kiện)

(*)

(*)

k Z k

π

απα

( thỏa điều kiện)

( thỏa điều kiện)

Vì ( 0

2

πα

≤ ≤ )( *)

1

411

12411

⇔

=+

⇔

=+

−++

⇔

=+

−++

x x

x

x x

x x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x= 3

Cách 2:

Đặt: t = x+1,t≥0⇔x=t2−1

Khi đó phương trình đã cho tương đương

( )2

4 1

2 4 2

1 2 4 2

2 2

=

⇔

+

= +

⇔ +

= + +

⇔

=

− + +

t

t t t

t t

t t t

,12

Khi đó phương trình đã cho tương đương:

( thỏa điều kiện)

10

0121

0

01440

012

132

12

2 2

2 4 2

2 2

t

t t

t t t

t

t t t t

t t

23

3

v x v

x u

−+

−+

=+

42

0

(VN)0202615

23

28

0

0202615

23

28

0

040324

153

28

0

83

28353

28

0

835

832

2 2

2 3

2 2

2 3

v u

v

u u

u

u v

v

u u

u

u v

v

u u

u

u v

v

u u

u v

v

v u

v u

823

x

5 Giải phương trình 3x+1− 6−x+3x2−14x−8=0

(ĐH-CĐ,B-2010)

( loại)

GiảiĐiều kiện: 6

1

14

13

3

05

05136

1

54

13

53

051436

1413

−+

+++

−+

−+++

−

−+

−+

x

x x x

x

x x x

x x

x

x x x x

Vì +( + )> ∀ ∈− 

−+

++

10

136

1

14

13

3

x x

x x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:

6 Giải phương trình: 3 x+2−6 2−x+4 4−x2 =10−3x (ĐH-CĐ, B-2011)

GiảiĐiều kiện: − 2 ≤x≤ 2

Phương trình đã cho tương đương

5

x=

có thể giải được các bài tập áp dụng sau mỗi phương pháp mà có thể giải các bài tập chứa căn khác.

Mặc dù làm việc nghiêm túc và cố gắng tham khảo nhiều tài liệu và trình bày một cách tốt nhất, tuy nhiên không thể tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được sự thông cảm của quí thầy cô.

Chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Bộ Giáo dục và đào tạo, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ

biên), (2006) SGK và SBT Đại số 10 Nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục.

[2] Lê Hồng Đức, (Chủ biên) – Đào Thiện Khải – Lê Bích Ngọc, (2004) Phương pháp giải toán đại số- T.3- Phương trình, bất phương trình và hệ vô tỷ - Đại học Sư phạm