SKKN PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

_ : : 4/2013 Ợ I Ị Ọ THÔNG TIN CHUNG CÁ NHÂN ăm G í Địa 28/11/1984 ữ ỉ 39/4, k 7, â B ,B o , Đồ a Đ o 0933304908 Email: hanh281184@yahoo.com.vn C ụ Đ ị ô o r ễ o , Đồ a Ộ II  rì  ăm độ ậ bằ  C mô ao ấ Đ S m 2006 đ o o o Ọ III   S r ,B mô ăm ó k ók m D m ăm o bậ & Ộ rường X Ộ Ủ Ĩ ộc lập ­ ự ­ ạnh phúc guyễn rãi Ậ XÉ , ăm học 2012 ­ 2013 Ề ên đề tài: ọ tên tác giả: ĩnh vực: Quả lý P ươ ính Có o Lĩ mớ ế ro o Có í ụ đ đ rể k a, ế đ ụ đ rể k a, vực k ro c ó ó đ k ễđ o ế o đ đ o ị ó ó đị q đ ụ q ro ro đ Ậ Ủ ổ r Ổ í ị ók ă ụ ễn, ộ ếđ m rộ Ê l , Đ Đ q oặ ók Ô Ủ (Ký, ghi rõ h mô ă Đ Khá X ao rể k a, Khá Đ đ ợ ụ đ ao rể k a, Khá Đ a ễ q ao ụ k oa o đ oặ đổ mớ ị ó q ao áp dụng C ấ l ậ p dạy ọc mô T ó oặ đổ mớ o ó q mớ p mớ ế , đổ mớ Có í ụ P ươ dục o iệu o o o Tổ Toán ­ Tin học dục p p Có ÚY Ị ấ ) A Giới thiệu lí do, thuận lợi khó khăn việc làm đề tài phương trình mũ logarit I í làm đề tài mũ lo ar phần quan tr ng rì gi i tích lớp 12 ó ro đề thi t t nghi p, tuyể đ i h , ao đẳng hằ ăm V c gi rì mũ logarit đò ỏi h c sinh ph i nắm vữ đị a, í ất hàm s mũ lo ar , tính chất luỹ thừa với s mũ c, tính chất quy tắc tính logarit - rì - C đ r ợng h c sinh trung bình, yếu gặp nhiề k ó k ă ro c gi rì mũ lo ar nhiều lí do: không nắm vữ đị a, tính chất hàm s mũ lo ar , tính chất luỹ thừa với s mũ c, tính chất quy tắc tính logarit; không nắm vữ i al o t vi c ch n cách gi i phù hợp với mỗ trình H c sinh cần h th ng tập gi rì mũ logarit để rèn luy n kỹ ă rì mũ lo ar Vì thế, th c hi đề để đ a s kinh nghi m ó o c d y h c rì mũ lo ar hi u qu , đặc bi đ i với đ ợng h c sinh trung bình, yếu II Những thuận lợi khó khăn Thuận lợi - Nắm đ ợc k ó k ă ũ k a đ ợc sai lầm kiến th c h c sinh gi i rì mũ lo ar , đặc bi t h c sinh trung bình, yếu, qua trình d y h c, qua kì kiểm tra, thi h c kỳ - S ó ý, ú đỡ mặt chuyên môn đồng nghi p hó khăn - Vi c gi i đ ợc rì mũ lo ar l q a đến nhiều yếu t : kh ă ận dụng tính chất luỹ thừa với s mũ c, tính chất quy tắc tính logarit, kh ă l o t vi c ch n cách gi đ i với mỗ rì , Do đó, ộ đề tài h n chế vi c phát triển kỹ ă rì mũ lo ar h c sinh - H th ng tập gi rì mũ lo ar ó ể nhiều h n chế, a đa ng, phù hợp với tất c đ ợng h , đặc bi t h c sinh trung bình yế ì đa em rấ k ó k ă ro c nhớ vận dụng quy tắc tính logarit vào gi i tập B Nội dung I Yêu cầu kiến thức giải phương trình mũ logarit H c sinh cần nắm kiến th c sau : ịnh nghĩa, tính chất hàm số mũ logarit a) àm số mũ : y  a x (với a  ) Tậ x định : ¡ y '  a x ln a ế  a  hàm s Nế a  hàm s đồ b) ị bế bế r r ¡ ¡ àm số logarit : y  loga x (với a  a  ) Tậ x đị  0;    x ln a ế  a  hàm s Nế a  hàm s đồ y'  ị bế bế r  0;     0;    r Tính chất luỹ thừa với số mũ thực Cho hai s a m bn  a mn am  a mn n a m  ab   a m bm a, b hai s th c m, n, ta có: m am a    m b b a  m n  a mn Tính chất quy tắc tính logarit a) Tính chất log a  0;log a a  a loga b  b;log a  a    b) Quy tắc tính logarit a , b1 , b2 a  , ta có: loga  b1b2   loga b1  loga b2 * Với s b1  log a b1  log a b2 b2 * Với s a , b a  ,   ¡ , n  ¥ * , ta có: log a   log a b b log a b   log a b log a n b  log a b n ý log a x  2log a x , x  log a * Với s a , b, c a  , c  , ta có: log c b  log a b.logc a  logc b log c a log a b  ,b  logb a log a b  log a b,    log a b  II hương trình mũ logarit r ớc hết, h c sinh cần biết tìm nghi m rì mũ lo ar b Sa đó, c sinh vận dụng tính chất lũ ừa quy tắc tính lo ar để biế đổ rì mũ logarit khác d b n d đ biết cách gi i bằ đ a ề ù ; đặt ẩn phụ đ a ề rì bậc hai, bậ ba, …; lo ar óa a ế (đ i vớ rì mũ) oặ mũ óa a ế (đ i vớ rì lo ar ); ù í đồng biến, nghịch biến hàm s ; … Phương trình mũ a x  b (I) với a  a  Nếu b  (I) vô nghi m Nếu b  (I) có nghi m x  log a b Ví dụ Gi rì a x a)  b) e x  1 hương trình logarit loga x  b (II) với a  a  (II) có nghi m x  a b Ví dụ rì Gi a a) log3 x  b) ln x  3 c) log 1  x   1 II ác phương pháp giải phương trình mũ logarit ưa số Với a  a  1, ta có : f  x a g x  f  x  g  x ① a ②   f  x  g  x log a f  x   log a g  x      f  x  (có thể a đ ều ki n f  x   g  x   ) - H c sinh cần nắm vững tính chất lũ ừa với s mũ quy tắ í lo ar để vận dụng vào biế đổ rì logarit d b n - Lưu ý : log a x  2log a x , với x  log a x3  3log a x , với x  log a x  log a x , với x  Ví dụ rì Gi a a) x.3x  36 b) 32 x  93 x1 c) 3x  x1 d) 3x  22 x1 e) 3x 1  x  3x  x 1 c mũ ướng dẫn lời giải a) Sử dụng  ab   a m b m để biế đổi: x.3x   2.3 L i gi i: x m x.3x  36  x  62  x    b) Sử dụng  a m   a mn để biế đổi: 32 x  32 n x L i gi i: 32 x  93 x1  x  93 x1  x  3x   x   x c) Chia hai vế cho x L i gi i: 3x  x1 x 3   7 7  x  log   d) Biế đổi : 22 x1  22 x 21 chia hai vế cho x x L i gi i: 3x  22 x1  3x  x.2 1 x 4   2 3  x  log e) Chuyển vế, rút g n chia hai vế cho x x L i gi i: 3x 1  x  3x  x 1  2.3x  3.2 x x 3    2  x 1 Ví dụ Gi rì a a) log 3.log3  x  1  log x b) log3 2.log5 x  log5 2.log  x  1 c) log x  log 1  x  d) log 9.log3 x  log 2 2  x e) 2log 25 x  log5 1  x   log5 7log 2x ướng dẫn lời giải a) Dùng công th c : loga b.logc a  logc b L i gi i: log2 3.log3  x  1  log2 x  log  x  1  log x 2 x   x  x   x 1 b) Dùng công th c : log a b  log c b log c a L i gi i: log3 2.log5 x  log5 2.log3  x  1 log5 x log3  x  1   log5 log3  log x  log  x  1  x2  x   2 x    x 1 c) ìm đ ều ki log a b   x định, dùng công th c: log a b,   log a b   log a b L i gi i: Điều ki n x  x2  định :    x  1  x   Vớ đ ều ki n trên, ta có : log x  log 1  x  log x  log 1  x  2  log x  log 1  x   x  1  x   x  (thỏa đ ều ki n) Vậy nghi m rì l x   d) Dùng công th c sau: log a b   log a b ; loga b.logc a  logc b ; log a b   log a b,  ; log a n b  log a b n L i gi i: 2  x  log 32.log 3 x  log   x  log 9.log3 x  log 2 22 2 log x  log   x  3  log x  log   x   x   x   x 1 x   e) ìm đ ều ki x định Dùng công th c sau : log a b   log a b,   ; loga  b1b2   loga b1  loga b2 ; log a b   log a b L i gi i : Đ ều ki x định :  x  Với  x  , ta có: 2log 25 x  log5 1  x   log5 7log 2x  log5 x  log5 1  x   2log5 7log7  x   log  x 1  x    2log  x   log5  x  x   log5  x   x  x2  x2  5x2  x  10 x   x   rì Vậy nghi m l x ặt ẩn phụ Đ i với s rì (nếu có) rì mũ lo ar , a ó đặt ẩn phụ để đ a vớ l ý đặ đ ều ki n cho ẩn phụ đ Ví dụ 5x 5x    x : x 1 1 rì Gi Giải Đặt t  x > 0, rì trở thành : t t2   t 1 t 1  t  t  1  t    t   t  1   t  1 3t  5 t >0  t  1 5 Do x   x  log 3 Vậ rì ó m x  log  Ví dụ Gi rì  : log x   log3 x Giải Đ ều ki x định : x  Đặt t  log2 x  x  2t , t   log 2t  t   t log3 t   log  t  log 3 11 rì rở thành: Do log x  log 3  x  log 3 rì Vậ m x  ó log 3 Một số phương trình mũ logarit biến đổi quy phương trình bậc hai bậc ba, … ẩn phụ Ví dụ Gi rì a a) 25 x  x1   (1) b)    (2) c)  25           (3)    3 d)  e) x  2.4 x  x   (5) f)  g) 8x  2.12 x  18x  2.27 x  (7) x x x 74 x   x  2   x 7    x   (4) x    (6) ướng dẫn giải: a) (1) l rì bậ a đ i với t  x , ( t  )   25 x  x1    5x b) (2) l rì  5.5x   x bậ a đ i với t  ,  t   bậ 5 a đ i với t    ,  t   3 x c) (3) l  d) Vì  rì  74 nên (4) l e) (5) l rì rì bậ  a đ i với t   bậ ba đ i với t  x ,  t   12  x f) Vì   t     1 (6) l rì bậ ba đ i với  ,  t  0 x (7) cho 27 x đ ợ rì g) Chia hai vế 2 3 rì x đ i với t    ,  t   Đ a) b) c) d) e) f) g) 0; log5 2log5 0 0;1 rì 0;log 2 ô m Ví dụ Gi rì a a) ln x  ln x   b) log 22 x  log x   c) log3 2.log x.log3 x  log x 3  ướng dẫn giải : a) Đặt t  ln x m rì l : x  e; x  e2 b) log 22 x  log x    log 22 x  2log x   m rì c) log3 2.log x.log3 x  log l : x  2; x  x 3   log 32 x  2log x   m rì 13 l : x  3; x  27 bậc ba Một số dạng phương trình mũ logarit quy bậc hai thường gặp: ① rì ng k1a x  k2b x  k3  , với a b hai s khác thỏa ab  (a b hai s nghị đ o), k1 , k2 , k3 s th c khác Cách gi i: nhân c hai vế với a x (hoặc b x ) đ a ề rì bậc hai x x đ i với a (hoặc b ) Đ i với d ng này, cần nhận biết cặp s nghị đ o, chẳng h :   ;   ;   Ví dụ rì Gi a a) x  2.5 x   b) c)     1 x   2 1  x   1  x 1   x x 0 ướng dẫn lời giải a) Nhân hai vế với x , đ a ề rì a đ i với x bậ x  2.5 x     5x   5x   5 x   x  x0 5  2 b) Vì    1   nên nhân hai vế đ a ề  rì  x 1          1  bậ   a đ i với x 1     rì  ới   x 1   1 2x  x 1   x 1  x  x0  2 x c) Chia hai vế rì  1 o x , nhân hai vế với     x 1 1  1, đ a ề 2 rì 14 bậ x 1 ,  1 a đ i với       x 1    x 1  2x  x x  1  1     2  1  2               2x x  1 1    20    x 1  1  x 1   2  ng : k1a x  k2b2 x  k3  a.b   , với a b hai s x rì ② k  x0 1; k1 , k2 , k3 s th c khác Cách gi i: chia c hai vế cho a x (hoặc b x ), đ a ề a b x b a rì bậc x a đ i với   (hoặc   ) Ví dụ 10 rì Gi a) x   1 x c)   a) ướng dẫn giải Chia hai vế b) a 25  15  2.9  x 1 5 3 2x 2x   1    1  2x 2x  2x   4x  o 9x , đ a ề rì rì bậ a đ i x với   b) Nhận xét: Chia hai vế đ i với   1  1  rì o  1  2 3 1 15  1 2x ,đ a ề rì bậc hai c) Nhận xét:   1 rì Chia hai vế đ i với  1  o   1 2x ,đ a ề rì bậc hai 1   1 Đ : a) b) c) ③ ng : k1 loga x  k2 log x a  k3  , với a s 1; k1 , k2 , k3 s th c khác Cách gi ìm đ ều ki n xác định, nhân hai vế với loga x , đ a ề trình bậ a đ i với loga x rì k Ví dụ 11 Gi rì : log5 x  3log x   Giải Đ ều ki x định : x  x  Vớ đ ều ki n ta có : log5 x  3log x     log5 x   4log5 x   log5 x   log5 x  x    x  125 rì Vậy nghi m l x  5; x  125 Logarit hóa hai vế phương trình mũ, mũ hóa hai vế phương trình logarit a) Logarit hóa hai vế phương trình mũ - Với s a , b a  , ta có: g x a  b    f  x   g  x  log a b - Đ i vớ lấy logarit hai vế f  x rì mũ k ó đ a ề ù 16 đ ợc Ví dụ 12 rì Gi a) x  x b)  x a x c) 25  73 x x ướng dẫn lời giải a) Lấ lo ar L i gi i : c hai vế x  x  x log  x  x  x  log2 b) Lấ lo ar L i gi i : c hai vế x   x  log x  x  log   x   log2 x  x c) Lấ lo ar L i gi i : 25  73 x x  x  3x log x 5     log 3  x  log  log  b) ũ hóa hai vế phương trình logarit Với s a khác 1, ta có: g x log a f  x   g  x   f  x   a   Ví dụ 13 Gi i rì a) log  log x  1  sau: 17   b) log 5 x1   x Giải a) log  log x  1   log3 x   2  log3 x   x3   b) log 5 x1   x  x 1   52 x  52 x  5.5 x   5x  1  x 5   x  log5 ưa dạng tích C Ví dụ 14 Gi rì mũ logarit có nhiề rình sau: a) 15 x  3x 1  x   b) 21x  x  x1  7.2 x  Giải a) 15 x  3x 1  x    3x  x     x      3x  1 5x  3  3x  x   x   x  log 5  b) 21x  x  x1  7.2 x   3x  x  x    x  x   18 đ a ề d ng tích   3x   x  x   3x   x  log      x x      Ví dụ 15 Gi i rì sau : a) log2 x.log3 x  log3 x  2log2 x   b) log  2log x  x Giải a) log2 x.log3 x  log3 x  2log2 x     log x  1  log3 x    log x  x    x  log3 x  b) Đ ều ki x định : x  x  Vớ đ ều ki n ta có :  2log x  x  log3  log3 x  2log x   log3 x.log x  log3 x  2log x     log3 x   log x  1  log log3 x  2  log x  1  x    x  rì Vậy nghi m 19 l x  5; x  ùng tính đồng biến, nghịch biến hàm số Nếu hàm s y  f  x  đồng biến (hoặc nghịch biến) kho ng K tồn t i x0 thuộc K thỏa f  x0   ì rì f  x   có nghi m x  x0 K ác bước chứng minh phương trình có nghiệm khoảng K: B ớc 1: Chuyển vế đ a rì ề d ng f  x   , với hàm s f x đị ó đ o hàm K B ớc 2: Tính đ o hàm hàm s f K ch ng minh hàm s f đ đ u K B ớc 3: Tìm nghi m x0 thuộc K rì f  x  B ớc 4: Kết luậ rì f  x   có nghi m x  x0 K Lưu ý : - H c sinh cần nắm công th í đ o hàm hàm s : hàm s lũ thừa, hàm s mũ, m lo ar , … - H c sinh sử dụ k ìm đ ợc nghi m rì m đ ợc nghi m l ất Ví dụ 16 rì Gi a a) 3x  x   b) 3x  x  13  c) 3x  x  x  d) x  3x  x  ướng dẫn giải a) Ch ng minh hàm s Chỉ : f 1  Kết luậ rì f  x   3x  x  đồng biến ¡ m x  ó b) Ch ng minh hàm s y  3x  x  13 đồng biến ¡ rì ó m x  20 o 8x rì c) Chia hai vế x x  3  5 Ch ng minh hàm s y        nghịch biến ¡ 8 8 rì ó m x  o 6x rì d) Chuyển vế chia hai vế x x x 1 1 1 Ch ng minh hàm s y           nghịch biến  3  2  6 ¡ rì ó m x  Ví dụ 17 rì Gi a a) log3 x  x   b) log x x  log     c) log 3x   x  ướng dẫn giải a) Ch ng minh hàm s y  log3 x  x  đồng biến  0;   rì ó m x  b) Ch ng minh hàm s y  log  0;   rì ó x x  log  đồng biến m x  c) Chuyển vế   Ch ng minh hàm s y  log3 3x   x  nghịch biến ¡ rì ó m x  21 IV Bài tập tự rèn luyện rì Gi a 3x1.22 x3  1) : x  Đ x  32 x1  12 2) : x  Đ x 1  32 x 1 3) : x  log 15 Đ log x  log 4) x2  : x5 Đ log5 4.log8 x  log5 5) : x Đ 1  x  2log x  log  x  1  log 3log 6) x : x2 Đ ớng dẫn: Đ a ề ù 7) 49 x  x   Đ : x0  8) Đ 74   x : x  log 2 log 22 x  log 9) Đ  2 3  x 20 x2   : x  2; x  ớng dẫn : biế đổi rì 10) x  71 x   Đ : x  0; x  22 bậc hai 11) 49 x  2.25 x  35 x  : x  log Đ 12) log7 x  log x 49   : x Đ ; x  49 13) log 3. log x  1  2log x  : x Đ ;x  ớng dẫn : nhân chia hai vế với biểu th c thích hợ đ a ề trình bậc hai 14) x  x   : x0 Đ 15) x  x  21 x  : x  Đ 16) log 32 x  log 22 x   : x2 Đ 17) log 22 x  log x  2log x  : x  Đ ớng dẫn : biế đổi rì bậc ba 18) 35 x  x1  x   : x  log7 5; x  Đ 19) log  log x  x : x  49; x  Đ ớng dẫn: biế đổ 20) 45  54 x Đ rì d ng tích x : x  log  log  23 21) 49 x log7 x  x : x  7; x  49 Đ   22) log 7 x   x : x  log7 Đ ớng dẫn: Logarit hoá hai vế rì mũ, mũ óa a ế trình logarit 23) x  x  12  : x  Đ 24) x  x  12 x  : x  Đ x 2 x 25)      3 Đ : x  1 26) x 1  x.3x  x   Đ : x  27) ln 1  x   x Đ : x  28) log  3x  1  x Đ ớng dẫ : x  Dù í đồng biến, nghịch biến hàm s C Kết học kinh nghiệm I Kết Các ví dụ tập ro đề tài vừa củng c kiến th c cho h c sinh lớp 12 đị a í ất hàm s mũ m logarit; tính chấ lũ ừa với s mũ c quy tắc tính logarit; vừa rèn luy n cho h c , đặc bi t h c sinh trung bình yếu, kỹ ă ận dụng kiến th c vào gi rì mũ lo ar H c sinh tham kh o ví dụ th c hành gi i tập nộ đề để vừa rèn luy n kỹ ă ận dụng kiến th c b n vào gi rì mũ logarit, vừa nắm vữ i không lúng túng vi c 24 ch n cách gi i phù hợp với mỗ rì rì mũ lo ar đ ợc nâng cao Từ đó, u qu d y h c II Bài học kinh nghiệm Trong trình d y h c, nhận thấ đa s h c sinh không nắm vững kiến th b n nên gặ k ó k ă ro c gi rì mũ lo ar Do đó, ần nâng cao kh ă vận dụng kiến th c b n vào gi rì mũ lo ar h c sinh thông qua h th ng ví dụ tập t rèn luy n Nếu h c sinh nắm đ ợc kiến th c b n h đ ợc cách vận dụng kiến th c vào gi i tập h c sinh nắm vữ i không lúng túng vi c gi i rì mũ lo ar ữa gười thực Phạm Thúy Hạnh 25 [...]... 4log5 x  3  0 2 log5 x  1  log5 x  3 x  5   x  125 rì Vậy nghi m của l x  5; x  125 3 Logarit hóa hai vế phương trình mũ, mũ hóa hai vế phương trình logarit a) Logarit hóa hai vế phương trình mũ - Với các s a , b và a  1 , ta có: g x a  b    f  x   g  x  log a b - Đ i vớ lấy logarit hai vế f  x rì mũ k ó đ a ề ù 16 đ ợc thì có thể Ví dụ 12 rì Gi a) 7 x  2 x b) 2  5 x a... 2t , t  1  log 3 2t  t  1  t log3 2 1 t  1  log 3 2  t  log 3 3 2 11 rì rở thành: Do đó log 2 x  log 3 3  x  2 log 3 3 2 2 rì Vậ m là x  2 ó log 3 3 2 Một số phương trình mũ và logarit có thể được biến đổi quy về phương trình bậc hai hoặc bậc ba, … đối với ẩn phụ Ví dụ 7 Gi rì a a) 25 x  5 x1  4  0 (1) b) 5  5  2  0 (2) c)  25   5        2  0 (3)  9   3 d)  e)... phương trình logarit Với s a khác 1, ta có: g x log a f  x   g  x   f  x   a   Ví dụ 13 Gi i các rì a) log 4  log 3 x  1  sau: 1 2 17   b) log 5 5 x1  6  2 x Giải a) log 4  log 3 x  1   log3 x  1  4 1 2 1 2  log3 x  1  x3   b) log 5 5 x1  6  2 x  5 x 1  6  52 x  52 x  5.5 x  6  0 5x  1  x 5  6  x  log5 6 4 ưa về dạng tích C Ví dụ 14 Gi rì mũ và logarit. .. cho h c sinh lớp 12 về đị a í ất của hàm s mũ m logarit; tính chấ lũ ừa với s mũ c và quy tắc tính logarit; vừa rèn luy n cho h c , đặc bi t là các h c sinh trung bình và yếu, kỹ ă ận dụng các kiến th c này vào gi rì mũ lo ar H c sinh tham kh o các ví dụ và th c hành gi i các bài tập trong nộ đề để vừa rèn luy n kỹ ă ận dụng các kiến th c b n vào gi rì mũ logarit, vừa nắm vữ i và không còn lúng túng... 3 Đ ớng dẫn: biế đổ 20) 45  54 x Đ rì về d ng tích x : x  log 5  log 4 5  4 23 21) 49 x log7 x  x 3 : x  7; x  49 Đ   22) log 7 7 x  2  2 x : x  log7 2 Đ ớng dẫn: Logarit hoá hai vế rì mũ, mũ óa a ế trình logarit 23) 7 x  5 x  12  0 : x  1 Đ 24) 7 x  5 x  12 x  0 : x  1 Đ x 2 x 25)     2  0 3 2 Đ : x  1 26) 2 x 1  4 x.3x  2 x  2  0 Đ : x  1 27) ln 1  x ... 2  3  0  log 22 x  2log 2 x  3  0 m ủa rì c) log3 2.log 2 x.log3 x  log 1 8 l : x  2; x  3 x 3  0  log 32 x  2log 3 x  3  0 m ủa rì 13 l : x  3; x  1 27 bậc ba Một số dạng phương trình mũ và logarit quy về bậc hai thường gặp: ① rì ng k1a x  k2b x  k3  0 , với a và b là hai s khác 1 thỏa ab  1 (a và b là hai s nghị đ o), k1 , k2 , k3 là các s th c khác 0 Cách gi i: nhân c hai... biến, nghịch biến của hàm số Nếu hàm s y  f  x  đồng biến (hoặc nghịch biến) trên kho ng K và tồn t i x0 thuộc K thỏa f  x0   0 ì rì f  x   0 có nghi m duy nhất x  x0 trên K ác bước chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất trên khoảng K: B ớc 1: Chuyển vế đ a rì ề d ng f  x   0 , với hàm s f x đị ó đ o hàm trên K B ớc 2: Tính đ o hàm của hàm s f trên K và ch ng minh hàm s f đ đ u trên K