skkn một số vấn đề về phương trình đường tròn trong mặt phẳng

BM 01-Bia SKKN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT XUÂN HƯNG Mã số: (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG Người thực hiện: Nguyễn Thị Thu Phương Lĩnh vực nghiên cứu: Toán 10 - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học môn: Toán  (Ghi rõ tên môn) - Lĩnh vực khác:  (Ghi rõ tên lĩnh vực) Có đính kèm: Các sản phẩm in SKKN  Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác (các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm) Năm học: 2015- 2016 BM02-LLKHSKKN SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC –––––––––––––––––– I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ tên: Nguyễn Thị Thu Phương Ngày tháng năm sinh: 16/10/1987 Nam, nữ: Nữ Địa chỉ: Xuân Hưng- Xuân Lộc- Đồng Nai Điện thoại: 0982 177 624 E-mail: nphuonggv@Gmail.com Chức vụ: Giáo viên Nhiệm vụ giao: Giảng dạy môn Toán Đơn vị công tác: Trường THPT Xuân Hưng II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân - Năm nhận bằng: 2011 - Chuyên ngành đào tạo: Giảng dạy môn Toán III KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: năm Số năm có kinh nghiệm: năm - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Môn toán trường phổ thông giữ vai trò, vị trí quan trọng môn học hỗ trợ đắc lực cho hầu hết môn học khác trường phổ thông như: Lý, Hoá, Sinh, Văn Như vậy, học tốt môn Toán tri thức Toán với phương pháp làm việc Toán trở thành công cụ để học tốt môn học khác Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kỹ toán học cần thiết, môn Toán rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ Thực tế nhà trường THPT nay, đặc biệt trường vùng nông thôn trường THPT Xuân Hưng chất lượng học tập môn Toán học sinh thấp, hầu hết em sợ học môn Toán Qua năm giảng dạy nhận thấy học sinh khối 10 học phương trình đường tròn, đặc biệt phần tập v phương trình đường tròn em khó tiếp thu áp dụng Mà tập v phương trình đường tròn lại có mặt đ thi học kì, đ thi THPT quốc gia Vì để gi p học sinh khối 10 học tốt phần tập phương trình đường tròn chọn đ tài ‘‘Một số vấn đ v phương trình đường tròn mặt ph ng II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Dựa kiến thức học v phương trình đường tròn mặt ph ng Từ hướng dẫn em vận dụng kiến thức học vào việc giải tập Thông qua ví dụ đưa gi p em cố lý thuyết biết vận dụng vào giải số tập tương tự III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP Chuyển thể từ kiến thức phức tạp thành thực hành đơn giản, dễ hiểu Giáo viên đưa li u lượng kiến thức vừa phải, thích hợp với lực u kiện học sinh Giáo viên tạo môi trường thân thiện thầy trò Luôn cho học sinh cảm giác gần gũi, dạy thật, học thật từ đầu Dạy theo u kiện thực tế không áp đặt chủ quan Đưa vấn đ liên quan đến phương trình đường tròn mặt ph ng: Vấn đề 1: Nhận dạng phương trình đường tròn tìm u kiện để phương trình phương trình đường tròn Vấn đề 2: Lập phương trình đường tròn Vấn đề 3: Sự tương giao đường th ng đường tròn Vấn đề 4: Sự tương giao hai đường tròn Vấn đề 5: Các toán liên quan đến họ đường tròn Vấn đề 6: Một số cách lập khác phương trình đường tròn Từ vấn đ vấn đ đưa phương pháp giải số dạng toán cụ thể, số ví dụ áp dụng từ đơn giản đến phức tạp Sau em biết lý thuyết ví dụ áp dụng giải số tập tương tự VẤN ĐỀ 1: NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TÌM ĐIỀU KIỆN Đ MỘT PHƯƠNG TRÌNH LÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Phương pháp: Cách 1: Đưa phương trình cho v dạng x2 + y2 - 2ax - 2by + c = Xét dấu biểu thức: T = a2 + b2 - c (1) * Nếu T (1) phương trình đường tròn tâm (a ;b) bán kính R= a2 + b2 - c * Nếu T  (1) phương trình đường tròn Cách : Đưa phương trình v dạng : (x - a)2 + (y - b)2 = T (2) * Nếu T R = T phương trình (2) phương trình đường tròn tâm (a ;b), bán kính * Nếu T  phương trình (2) phương trình đường tròn Các ví dụ : Ví dụ 1: Trong phương trình sau đây, phương trình phương trình đường tròn ? Tìm tâm bán kính có : a) x2 + y2 + 2x - 4y + = (1) b) x2 + y2 - 6x + 4y + 13 = (2) c) x2 + y2 + 4x - 6y - 12 = (3) d) 2x2 + 2y2 - 4x + 8y - = (4) e) 4x2 + 3y2 - 6x - 3y - = (5) Giải: a) (1) có dạng x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0, với a = -1, b = 2, c = Ta có : a2 + b2 - c = (-1)2 + 22 - = -4 < Vậy (1) phương trình đường tròn b) (2) có dạng : x2 + y2 - 2ax - 2by + c = với a = 3, b = -2, c = 13 Ta có : a2 + b2 - c = 32 + (-2)2 - 13 = Vậy (2) phương trình đường tròn c) (3) có dạng : x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0, với a = -2, b = c = -12 Ta có : a2 + b2 - c = (-2)2 + 32 - (-12) = 25 > Vậy (3) phương trình đường tròn tâm O(-2 ;3), bán kính R = a2 + b2 - c = 25 =5 d) Ta có : (4)  x2 + y2 - 2x + 4y - =  (x -1)2 + (y + 2)2 = Vậy ( ) phương trình đường tròn tâm (1 ; -2), bán kính R = e) Phương trình (5) phương trình đường tròn hệ số x y2 khác Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 + y2 - 2mx + 6my + 9m + = (1) a) Với giá trị m (1) phương trình đường tròn? b) Nếu (1) phương trình đường tròn tìm toạ độ tâm bán kính đường tròn theo m Giải: a) (1) có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = với a = m, b = -3m c = 9m + (1) phương trình đường tròn khi: a2 + b2 - c > mà a2 + b2 - c >  m2 + (-3m)2 - 9m - >  10m2 - 9m - >  m > m < -1  10 -1 (1) phương trình đường tròn tâm (m, -3m) 10 có bán kính R = 10m2 - 9m - b) Khi m m < Một số tập ứng dụng: Bài 1: Tìm toạ độ tâm bán kính đường tròn sau: a) (x + 4)2 + (y - 2)2 = d) x2 + y2 - 6x - 4y + c = 36 b) (x - 5)2 + (y + 7)2 = 16 e) x2 + y2 + 8x - 6y - = c) x2 + y2 = g) 4x2 + 4y2 - 8x - 12y - = Bài 2: Trong phương trình sau, phương trình biểu diễn đường tròn ? Tìm tâm bán kính có a) x2 + y2 + 2x + 3y + 10 = c) x2 + y2 - 2x - 6y - 10 = b) 3x2 + y2 - 2x - 5y - = d) 2x2 + 2y2 - 6x - 4y - = Bài 3: Cho phương trình : x2 + y2 - 6mx + 8my + 23m + = (2) a) Với giá trị m (2) phương trình đường tròn b) Nếu (2) phương trình đường tròn tìm toạ độ tâm bán kính đường tròn VẤN ĐỀ 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Một số d ng t án ập phương t nh đư ng t n: D ng 1: Lập phương trình đường tròn qua điểm cho trước Cách 1: * Tìm toạ độ tâm (a b) đường tròn (C) * Tìm bán kính đường tròn (C) * Viết phương trình (C) theo dạng: (x - a)2 + (y - b2) = R2 Cách 2: * Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = * Từ u kiện đ đưa đến hệ phương trình với ẩn số a, b, c Giải hệ phương trình tìm a, b, c từ tìm phương trình đường tròn (C) Chú ý: Đường tròn (C) qua A, B  IA2 = IB2 = R2 Trong dạng có toán hay gặp “viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC toán toán viết phương trình đường tròn qua ba điểm A, B, C không th ng hàng cho trước Ta thường giải toán theo cách Ví dụ 3: Lập phương trình đường tròn (C) trường hợp sau: a) (C) có tâm I(2; -3) qua M(-2; 3) b) (C) có đường kính AB với A(1 1) B(7 5) Giải: a) Ta có: IM = (-2 - 2)2 + (3 + 3)2 = 52 Vậy phương trình (C) là: (x - 2)2 + (y + 3)2 = 52 b) Tâm (C) trung điểm AB Ta có: Do đó: xI =  yI = = A= xA + xB 1+7 = =4 2 yA + yB 1+5 = =3 2 (1 - 4)2 + (1- 3)2 = 13 Vậy phương trình (C) là: (x - 4)2 + (y - 3)2 = 13 Ví dụ 4: Lập phương trình đường tròn (C) qua ba điểm A(-2; 4), B(5; 5), C(6; -2) Giải: Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = (a2 + b2 - c > 0) (C) qua ba điểm A, B, C khi: 4 + 16 + 4a - 16b + c = 4a - 16b + c = -20 25 + 25 - 10a - 10b + c =  10a + 10b - c = 50  36 + - 12a + 4b + c = 12a - 4b - c = 40 a = -2 -1 b = c = - 20 Vậy phương trình đường tròn có dạng: x2 + y2 + 4x + y -20 = D ng 2: Lập phương trình đường tròn tiếp x c với đường th ng: Chú ý: * Đường tròn (C) tiếp x c với đường th ng   d(I, ) = R * Đường tròn (C) qua A tiếp x c với đường th ng  A  d(I, ) = IA * Đường tròn (C) tiếp x c với hai đường th ng 1 2  d(I,1) = d(I, 2) = R Ví dụ 5: Lập phương trình đường tròn (C) trường hợp sau: a) (C) có tâm (1 3) tiếp x c x b) (C) có tâm (1 1) tiếp x c với đường th ng : 3x + 4y -1 = Giải: a) Đường th ng x có phương trình: y = () Ta có: R = d(I, ) = |1| = Vậy phương trình đường tròn (C) có dạng: (x -1)2 + (y - 3)2 = b) Ta có: R = d(I, ) = |3.1+4.1-1| 2 +4 = Vậy phương trình đường tròn (C) là: (x - 1)2 + (y - 1)2 = 36 25 Ví dụ 6: Lập phương trình đường tròn tiếp x c với hai trục toạ độ qua M(1;2) x, y Giải: Vì đường tròn tiếp x c x, y qua M(1 2) thuộc góc phần tư thứ nên đường tròn cần tìm thuộc góc phần tư thứ Do tâm đường tròn có toạ độ ( ), 0, bán kính đường tròn Ta có: IM = R  (R - 1)2 + (R - 1)2 = R2 R =  R2 - 6R + =  R =  Vậy có hai đường tròn thoã mãn u kiện toán là: (x - 1)2 + (y - 1)2 = (x - 1)2 + (y - 1)2 = 25 Ví dụ 7: Cho hai đường th ng 1: 4x - 3y + = 2: 3x + 4y - = Viết phương trình đường tròn có tâm nằm đường th ng : x - y - = tiếp xúc với 1 2 Giải: Đường tròn cần tìm có tâm nằm đường th ng  suy toạ độ tâm có dạng (a +1; a) Ta có: d(I;1) = |4(a+1) - 3a + 1| 2 + (-3) = |a + 5| |3(a + 1) + 4a - 4| |7a - 1| d(I;2) = 32 + 42 = Vì đường tròn tiếp x c với 1 2 nên ta có: |a + 5| = |7a - 1| 7a - = a +  |a + 5| = |7a - 1|  7a - = - a -  6a =  8a = -   a = a = -1  36 Với a =  I(2;1) R =  phương trình đường tròn: (x - 2)2 + (y - 1)2 = 25 Với a = -1 -1  I( ; ) , R = 2 10 12  12 81  x y +      phương trình đường tròn: 2 +  2 = 100  Ví dụ 8: Lập phương trình đường tròn qua hai điểm A(-1 0), B(1 2) tiếp x c với đường th ng : x - y - = Giải: Gọi (a b) bán kính đường tròn (C) cần tìm suy phương trình (C) là: (x - a)2 + (y - b)2 = R2 (C) tiếp x c : x - y - =  d(I,) = R  |a - b - 1| =R A, B  (C)  (-1 - a)2 + b2 = R2  2 (a - 1) + (b - 2) = R2  (a - 1)2 + b2 = (a - b - 1) (1)  (a - b - 1)2 2 (a - 1) + (b - 2) = (2) Từ (1) (2) suy ra: (a + 1)2 + b2 = (a - 1)2 + (b-2)2  a = - b Thay a = - b vào (2) ta có: b2 + (b - 2)2 = 2b2  b =  a = , R = Phương trình (C) là: x2 + (y - 1)2 = Ví dụ 9: Viết phương trình đường tròn (C) tiếp x c với trục hoành điểm A(2 0) qua B(5 1) Giải: Đường tròn (C) tiếp x c với x A(6 0) nên a = 6, |b| = Khi đó: Đường tròn (C) có tâm (a b), bán kính có phương trình: (x - a)2 + (y - b)2 = R2 (1) (1)  (x - 6)2 + (y - b)2 = b2 B(5;1)  (C)  (5 - 2)2 + (1 - b)2 = b2  2b = 10  b =  R = Phương trình (C) là: (x - 2)2 + (y - 5)2 = 25 D ng 3: Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC Cách 1: * Viết phương trình đường phân giác hai góc tam giác * Tìm giao điểm hai đường phân giác ta toạ độ tâm * Tính khoảng cách từ tâm đường tròn nội tiếp đến cạnh tam giác ta Cách 2: *Tính diện tích ABC độ dài cạnh tam giác để suy bán kính S đường tròn nội tiếp : r = p * Gọi (x,y) tâm đường tròn nội tiếp tam giác, suy khoảng cách từ tâm đến ba cạnh r Từ thành lập hệ phương trình ẩn x y * Giải hệ phương trình tìm x, y từ có phương trình đường tròn phải tìm Ví dụ 10: Cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: 2x + y - = BC: x + 2y + = 0; AC: 2x - y + giác ABC = Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam Giải: Phương trình đường phân giác góc A: 2x + y - 2x - y + = 5 x - = (1) x + = (2)   Ta có: (- - 7).((1 - 7) >  B C nằm v phía (1)  (1) đường phân giác góc A Vậy phân giác góc A đường th ng (2) Các đường phân giác góc B là: x - y - = (3) 2x + y - x + 2y + =  x + y - = (4)  5 10 d(I1,) = R1   d(I2,) = R2 Giải hệ ta tìm a, b Ví dụ 20: Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 - 6x + = (C2): x2 + y2 - 12x - 6y + 44 = a) Tìm tâm bán kính (C1) (C2) b) Lập phương trình tiếp tuyến chung (C1) (C2 Giải: a) (C1) có tâm I1(3 ;0) có bán kính R1 = (C2) có tâm I2(6 ;3) có bán kính R2 = b) Xét đường th ng  có phương trình : x = m  x - m = Đường th ng  tiếp x c (C1) (C2): |3 - m| = d(I1,) = R1     d(I2,) = R2 |6 - m| = m = m =  m =  m = m=5 Vậy ta có (C1) (C2) có tiếp tuyến chung thứ 1: x - = Xét đường th ng  có phương trình : y = ax + b  ax - y + b =  tiếp tuyến chung hai đường th ng d(I1,) = R1  d(I2,) = R2  |3a2+ b| = (1) a +1 6a - + b  a2 + = (2) Từ (1) (2)  |3a + b| = 2|6a - + b| T ng hợp 1: 3a + b = 2(6a - + b)  b = - 9a (3) Thay vào (2) ta được: |6a - + - 9a| = a2 +  |3 - 3a| = a2 +  - 18a + 9a2 = a2 +  4a2 - 9a + =  a1 =  a = 2 + 17 - 17 20 Thay giá trị k vào (3) ta tính được: b1 =  b = 2 -35 - 17 -35 + 17 Vậy ta tiếp tuyến 1: y = + 17 -35 - 17 x+ 8 Vậy ta tiếp tuyến 2: y = - 17 -35 + x+ 8 Trường hợp : 3a + b = -2(6a - + b)  3b = - 15a  m = - 5a (4) Thay vào (2) ta được: |6a - + - 5a| = a2 + |a - 1| = a2 +  (a - 1)2 = a2 +  a2 - 2a + = a2 +  a = Thay giá trị a vào ( ) ta b = Vậy ta tiếp tuyến 4: y = VẤN ĐỀ : CÁC ÀI TOÁN LI N UAN ĐẾN HỌ ĐƯỜNG TRÒN Trong vấn đ ta thường gặp số toán liên quan đến họ đường tròn sau: Cho họ đường tròn (Cm): f(x,y,m) = Bài toán 1: Tìm tập hợp tâm đường tròn (Cm) Phương pháp giải: - Tìm u kiện để phương trình cho phương trình đường tròn - Tìm toạ độ tâm đường tròn cho (theo m) xI  yI = f(m) = g(m) - Từ hệ khử m để tìm mối liên hệ xI yI - Kết hợp với u kiện tìm để giới hạn quỹ tích tìm Bài toán 2: Tìm điểm cố định mà họ đường tròn qua với m Phương pháp giải: * Giả sử A(x0 ;y0) điểm cố định mà họ đường tròn qua với m  phương trình (x,y,m) = đ ng với m * Viết phương trình dạng phương trình ẩn m sau cho tất hệ số m kể hệ số tự * Giải hệ ta tìm x0 y0 21 Bài toán 3: Tìm điểm mà họ đường tròn không qua với m Phương pháp giải: * Giả sử A(x0 ;y0) điểm mà họ đường tròn không qua với m  phương trình (x,y,m) = vô nghiệm với m * Viết phương trình dạng phương trình ẩn m sau cho tất hệ số m hệ số tự khác * Giải hệ ta tìm u kiện x0 y0 Ví dụ 21 : Cho đường cong (Cm) có phương trình : x2 + y2 + (m + 2)x - (m + 4)y + m + = a) Chứng minh (Cm) đường tròn với giá trị m b) Tìm tập hợp tâm đường tròn (Cm) m thay đổi c) Chứng minh m thay đổi, họ đường tròn (Cm) qua hai điểm cố định d) Tìm điểm mặt ph ng toạ độ mà họ (Cm) không qua dù m lấy giá trị Giải: a) Phương trình (Cm) có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = với a = - m+2 m+4 ,b= ,c=m+1 2  m + 22 m + 42 m2 + 4m +  +  - (m + 1) =     Ta có: a2 + b2 - c = - với m Vậy (Cm) đường tròn với giá trị m b) Toạ độ tâm m đường tròn (Cm) là: x = - m + 2  m+4 y = 2x = -(m +2) (1)  2y = m + (2)  Cộng vế (1) với (2), ta được: 2x + 2y = hay x + y - = Vậy tập hợp tâm đường tròn (C) đường th ng có phương trình: x + y - = c) Gọi M(x0;y0) điểm cố định mà họ (Cm) qua ta có: x02 + y02 +(m + 2)x0 - (m + 4) y0 + m + = 0, m  (x0 - y0 + 1)m + x02 + y02+ 2x0 - 4y0 + m + = 0, m x - y + = (1) 0  x + y 2+ 2x - 4y + = (2)  0 0 Từ (1) suy : x0 = y0 - 1, thay vào (2) ta được: y0 = (y0 -1) + y02 + 2(y0 - 1) - 4y0 + =  2y02 - 4y02 =  y =  22 Với y0 = x0 = -1 Ta điểm M1(-1;0) Với y0 = x0 = Ta điểm M2(1;2) Vậy họ đường tròn (Cm) qua hai điểm cố định M1(-1;0) M2(1;2) d) (Cm) không qua điểm (x1 ;y1) với m  phương trình ẩn m (x1 - y1 + 1)m + x12 + y12 + 2x1 - 4y1 + = vô nghiệm x1 - y1 + = y1 = x1 +     x1 + y1 + 2x1 - 4y1 + ≠ x1 ≠ 1 Vậy tập hợp điểm mặt ph ng toạ độ mà họ (Cm) không qua với giá trị m đường th ng  có phương trình : y = x + bỏ hai điểm M1(-1;0) M2(1;2) Một số tập áp dụng: Bài 1) Cho họ đường tròn (Cm) có phương trình : x2 + y2 - 4mx - 2my + m2 - m - = 2 Tìm tập hợp tâm (Cm) m thay đổi Bài 2) Cho hai đường tròn: (C1) x2 + y2 + 6x - 4y - = (C2) x2 + y2 - 10x - 6y + 30 = Chứng minh (C1) tiếp x c (C2) Bài 3) Cho họ đường tròn (Cm) có phương trình: x2 + y2 - 7mx + 2my + m - = Tìm m để họ (Cm) tiếp x c với đường tròn : x2 + y2 - 6x +7 = Bài 4) Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 - 2x + 4y - = (C2): x2 + y2 + 2x - 4y - 14 = a) Xác định giao điểm (C1) (C2) b) Viết phương trình đường tròn qua hai giao điểm điểm A(0 ;1) Bài 5) Cho họ đường tròn : x2 + y2 - 2mx - 2(m + 1)y + 2m - = a) Chứng minh m thay đổi, họ đường tròn qua hai điểm cố định b) Chứng minh với m, họ đường tròn luôn cắt trục tung hai điểm phân biệt Bài 6) Cho hai đường tròn (C1): (x - 1)2 + (y - 2)2 = (C2): (x - 2)2 + (y - 1)2 = Lập phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn Bài 7) Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 - 4x - 8y + 11 = (C2): x2 + y2 - 2x - 2y - = 23 a) Xét vị trí tương đối hai đường tròn (C1) (C2) b) Viết phương trình tiếp tuyến chung (C1) (C2) Bài 8) Cho đường cong (Cm) có phương trình: x2 + y2 + 2mx - 2(m + 1)y - = a) Chứng minh (Cm) đường tròn với giá trị m b) Tìm tập hợp tâm đường tròn m thay đổi c) Chứng minh m thay đổi, họ đường tròn qua hai điểm cố định d) Tìm điểm mặt ph ng toạ độ mà họ không qua dù m lấy giá trị VẤN ĐỀ 6: MỘT SỐ CÁCH LẬP KHÁC PHƯƠNG TRÌNH DƯỜNG TRÒN Đây cách lập phương trình đường tròn không theo vấn đ cụ thể năm vấn đ Những cách lập phương trình theo cách ngẫu hứng Lời giải đưa dựa kiến thức có với lối suy diễn đơn giản Trong vấn đê đưa số ví dụ hay sử dụng đ thi Ví dụ 22: Cho hai điểm A(2 0), B(6 0) Viết phương trình (C) tiếp x c khoảng cách từ tâm (C) tới B x A Giải: Gọi , tâm bán kính (C): Vì (C) tiếp x c x A  toạ độ (2 b) IB =  (6 - 2)2 + (4 - b)2 =  (4 - b)2 = 4 - b = b = I(2;1), R = IA =  4 - b = -3  b =  I(2;7), R = IA =    2 (C): (x - 2) + (y - 1) = Vậy có hai đường tròn: (C): (x - 2)2 + (y - 7)2 = 49  Ví dụ 23: Trong mặt ph ng toạ độ xy cho hai đường th ng d: x - 7y + 10 = : 2x + y = Viết phương trình đường tròn (C) có tâm nằm , tiếp x c d A(4;2) Giải: Gọi , tâm bán kính (C) Vì I   : y = -2x  toạ độ (t -2t) Vì d tiếp x c (C) A nên ta có: A  d    IA  Ud  IA.Ud =  (4 - t ;2 + 2t)(7 ;1) =  7(4 - t) + 1(2 + 2t) =  5t = 30  t = 24  I(6 ;-12), R = IA = 200  (C) có phương trình : (x - 6)2 + (y + 12)2 = 200 Ví dụ 24 : (ĐHKA 2010) Cho hai đường th ng d1 : 3x + y = 0, d2 : 3x - y = Viết phương trình đường tròn (T) tiếp x c d1 A cắt d2 B, C cho ABC vuông B diện tích  ABC , xA > Giải: Gọi , tâm bán kính (T) Theo giả thiết  trung điểm AC, = A A  d1 : y = - 3x  toạ độ A(t ;- 3t) Đường th qua A(t ;- 3t)   ng AC :  vectơ pháp tuyến n = U d = (-1,  3)  AC có phương trình: -1(x - t) + 3(y + 3t) =  x - 3y - 4t =  3x - y = x = -2t   y = -2 3t x - 3y - 4t = C = AC  d2  toạ độ C nghiệm hệ :  Đường th ng AB : qua A(t ;- 3t)  vectơ pháp tuyến  n = Ud = (1,  3)  AB có phương trình : 1(x - t) + 3(y + 3t) =  x + 3y + 2t = B = AB  d2  toạ độ B nghiệm hệ : x + 3y + 2t =   3x - y = SABC =  x = - t  3t y = -  t 3  B- , - t  2 3  AB BC =  3t2 9t2 = 2 t4 = 1  t2 =    A    -2   ; - 1 ; C t =  t =   -1 (loại) xA >  -3 , R = AI =  2 ; 2  I ; 25  (T) có phương trình : x +  2  32  + y +  = 2 3  Ví dụ 25: Cho ba đường th ng d1: x + y + = 0, d2: 7x - y + = 0, : 4x + 3y - = Viết phương trình (C) có tâm nằm , đồng thời tiếp x c d1, d2 Giải: Gọi , tâm bán kính (C) : : 4x + 3y - =  y = - 4x  - 4t Vì I    toạ độ It;    Vì (C) tiếp x c d1 , d2 nên ta có: d(I,d1) = I(I,d2) = R    - 4t   + 4 t +   1+1 |14 - t| = = - 4t   + 4 7t   72 + (-1)2 14 - t = 5t + t = 25t + 10  |14 - t| = |5t + 2|  14 - t = -5t -  t = -   15 I(2;-2), R =  I(-4;6), R =   có hai phương trình đường tròn là: 2 (C): (x - 2) + (y + 2) =  2 (C): (x + 4) + (y - 6) = 18 Ví dụ 26: Trong mặt ph ng toạ độ xy cho phương trình đường tròn (C): (x - 2)2 + y2 = hai đường th ng 1: x - y = 0, 2: x - 7y = Tìm tâm K bán kính (C1) biết (C1) tiếp x c với 1, 2 tâm K nằm (C) Giải: Gọi K(a b) tâm bán kính (C1) Vì K  (C)  (a - 2)2 + b2 = (1) 26 Vì (C1) tiếp x c 1 , 2 nên ta có: d(I,) = d(I,2)  |a - b| = |a - 7b| 2 + (-7)  |a - b| |a - 7b| = 50 5(a - b) = a - 7b b = -2a  5|a - b| = |a - 7b|  5(a - b) = -a + 7b  a = 2b   Với b = -2a thay vào (1) ta có: 25a2 - 20a + 16 = (vô nghiệm) Với a = 2b thay vào (1) ta có: (5b - 4)2 =  b = 8 4  a =  K5; 5 , R =   5 Ví dụ 27: Viết phương trình đường tròn (C) qua hai điểm M(1 1), N(2 ) đồng thời tiếp x c với : 2x - y - = Giải: Gọi (a,b), IM = IN tâm bán kính (C) Theo giả thiết ta có:  IM = d(I,) 2 2 (a b) + (b 1) = (a 2) + (b 4) 2  IM = IN |2a - b + 9|2    2 2  IM = d (I,) (a - b) + (b - 1) =      a = 3b  (a - 1)2 + (b - 1)2 = a = 3, b =   (2a - b + 9) a = -357, b = 122  I(-357;122) , R = IM 2 (C): (x -3) + (y- 2) =  (C): (x + 357)2 + (y - 122)2 = 142805  Ví dụ 28: Cho đường tròn (C): (x - 1)2 + (y - 2)2 = đường th ng có phương trình x - y - = Viết phương trình đường tròn (T) đối xứng với (C) qua d Giải: (C) có tâm I(1;2), bán kính R = Gọi ’, ’ tâm bán kính đường tròn (T) Khi ta có: ’ = = ’ đối xứng với qua d Lấy H  d: y = x -  toạ độ H(t; t - 1)   HI  Ud =  (1 - t ;3 - t)(1 ;1) =  -2t + =  t =  H(2 ;1) Vì ’ đối xứng với qua d nên H trung điểm ’  toạ độ ’(3 0)  phương trình (T): (x - 3)2 + y2 = 27 Ví dụ 29: (ĐHKA 2007) Cho tam giác ABC, A(0 ;2), B(-2 ;-2), C(4 ;-2) Gọi H chân đường cao k từ B Hai điểm M,N trung điểm AB, BC Viết phương trình đường tròn qua H, M, N Giải: M, N trung điểm AB, AC nên toạ độ M, N : M(-1 ;0), N(1 ;-2)   AC(4 ;-4)  véc tơ pháp tuyến AC n (1 ;1)  phương trình tổng quát AC : x + y - =  BH qua B(-2 ;-2) có véc tơ pháp tuyến AC (1 ;-1)  BH có phương trình: (x+ 2) - (y + 2) =  x - y = Ta có H = AC  BH  Toạ độ H nghiệm hệ : x  y =1 =  H(1 ;1) Giả sử đường tròn (C) qua M, N, H có phương trình : x2 + y2 - 2ax - 2by + c = (a2 + b2 - c > 0) Vì H, M, N  (C) nên ta có : a = -1   b= c = -22 2 (-1) + - 2a.1 - 2b.0 + c = 2a - c - = 2 1 + (-2) - 2a.1 - 2b.(-2) + c =  2a - 4b -c - = 12 + 12 - 2a.1 - 2b.1 + c = 2a + 2b - c - = Vậy phương trình đường tròn (C): x2 + y2 - x + y - = 28 IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI K t từ thực tiễn: Ban đầu học sinh gặp khó khăn định việc phân loại giải dạng tập nêu Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích toán v phương trình đường tròn mặt ph ng để lựa chọn phương pháp phù hợp Sau hướng dẫn học sinh yêu cầu học sinh giải số tập phương trình đường tròn sách giáo khoa Hình học lớp 10 số đ thi tuyển sinh vào đại học, cao đ ng trung học chuyên nghiệp năm trước em thận trọng tìm trình bày lời giải giải lượng lớn tập K t thực nghiệm: Sáng kiến áp dụng năm học 2015- 2016 Bài kiểm tra lớp 10B5 (năm học 201 -2015) không áp dụng sáng kiến lớp 10A10 ( năm học 2015- 2016) áp dụng sáng kiến kinh nghiệm sau: Xếp loại Giỏi Khá Tb yếu 10B5 12,5% 25% 55% 7,5% 10A10 22,5% 35% 40% 2,5% Đối tượng Sau thực sáng kiến học sinh học tập tích cực hứng th đặc biệt giải toán phương trình đường tròn thận trọng hiểu chất vấn đ không theo tính rập khuôn cách máy móc trước, việc thể việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Nghiên cứu, phân tích số vấn đ v phương trình mặt ph ng có nghĩa lớn trình dạy học áp dụng sáng kiến gi p học sinh nhìn thấy điểm yếu hiểu biết chưa thật thấu đáo v vấn đ này, từ phát huy học sinh tư độc lập, lực suy nghĩ tích cực chủ động củng cố trau dồi thêm kiến thức v phương trình đường tròn từ làm chủ kiến thức, đạt kết cao trình học tập kỳ thi THPT quốc gia 29 VI TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) - Nguyễn Mộng Hy (chủ biên) - Nguyễn Văn Đoành - Trần Đức Huyên Nhà xuất giáo dục, Sách giáo khoa Hình học lớp 10 Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) - Văn Như Cương (chủ biên) - Phạm Vũ Khuê- Bùi Văn Nghị Nhà xuất giáo dục, Sách giáo khoa Hình học lớp 10 nâng cao Nguyễn Mộng Hy (chủ biên) - Nguyễn Văn Đoành - Trần Đức Huyên Nhà xuất giáo dục, Sách tập Hình học lớp 10 Văn Như Cương (chủ biên) - Phạm Vũ Khuê - Trần Hữu Nam Nhà xuất giáo dục, Sách tập Hình học lớp 10 nâng cao NGƯỜI THỰC HIỆN Nguyễn Thị Thu Phương 30 MỤC LỤC I Lí chọn đ tài……………………………………………………………… II Cơ sở lí luận thực tiễn………………………………………………………3 III Tổ chức thực giải pháp………………………………………………3 Vấn đ 1: Nhận dạng phương trình đường tròn tìm u kiện để phương trình phương trình đường tròn.……………………………………………………….5 Vấn đ 2: Lập phương trình đường tròn………………………………………… Vấn đ 3: Sự tương giao đường th ng đường tròn………………………12 Vấn đ : Sự tương giao hai đường tròn……………………………………18 Vấn đ 5: Các toán liên quan đến họ đường tròn…………………………… 21 Vấn đ 6: Một số cách lập khác phương trình đường tròn………………… 24 IV Hiệu đ tài………………………………………………………… 29 V Đ xuất, khuyến nghị khả áp dụng……………………………………….29 VI Tài liệu tham khảo………………………………………………………… 29 31 BM01b-CĐCN SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT XUÂN HƯNG ––––––––––– CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc ập - Tự d - H nh phúc –––––––––––––––––––––––– Xuân Hưng, ngày 12 tháng 04 năm 2016 PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐI M, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2015-2016 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: Một số vấn đ v phương trình đường tròn mặt ph ng Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Thu Phương, Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trường THPT Xuân Hưng Họ tên giám khảo 1: Chức vụ: Đơn vị: Số điện thoại giám khảo: * Nhận xét, đánh giá, ch điểm x p i sáng ki n kinh nghiệm: Tính Điểm: …………./6,0 Hiệu Điểm: …………./8,0 Khả áp dụng Điểm: …………./6,0 Nhận xét khác (nếu có): Tổng số điểm: /20 X p i: Phiếu giám khảo đơn vị đánh giá, chấm điểm, xếp loại theo quy định Sở Giáo dục Đào tạo; ghi đầy đủ, rõ ràng thông tin, có ký tên xác nhận giám khảo đóng kèm vào sáng kiến kinh nghiệm liền trước Phiếu nhận xét, đánh giá sáng kiến kinh nghiệm đơn vị GIÁM KHẢO (Ký tên, ghi rõ họ tên) 32 BM01b-CĐCN SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT XUÂN HƯNG ––––––––––– CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc ập - Tự d - H nh phúc –––––––––––––––––––––––– Xuân Hưng, ngày 12 tháng 04 năm 2016 PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐI M, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2015-2016 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: Một số vấn đ v phương trình đường tròn mặt ph ng Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Thu Phương, Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trường THPT Xuân Hưng Họ tên giám khảo 2: Chức vụ: Đơn vị: Số điện thoại giám khảo: * Nhận xét, đánh giá, ch điểm x p i sáng ki n kinh nghiệm: Tính Điểm: …………./6,0 Hiệu Điểm: …………./8,0 Khả áp dụng Điểm: …………./6,0 Nhận xét khác (nếu có): Tổng số điểm: /20 X p i: Phiếu giám khảo đơn vị đánh giá, chấm điểm, xếp loại theo quy định Sở Giáo dục Đào tạo; ghi đầy đủ, rõ ràng thông tin, có ký tên xác nhận giám khảo đóng kèm vào sáng kiến kinh nghiệm liền trước Phiếu nhận xét, đánh giá sáng kiến kinh nghiệm đơn vị GIÁM KHẢO (Ký tên, ghi rõ họ tên) 33 BM04-NXĐGSKKN SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT XUÂN HƯNG ––––––––––– CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc ập - Tự d - H nh phúc –––––––––––––––––––––––– Xuân Hưng, ngày 12 tháng 04 năm 2016 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2015-2016 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: Một số vấn đ v phương trình đường tròn mặt ph ng Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Thu Phương, Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trường THPT Xuân Hưng Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào ô tương ứng, ghi rõ tên môn lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học môn:  - Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác:  Sáng kiến kinh nghiệm triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành  Tính (Đánh dấu X vào ô đây) - Đ giải pháp thay hoàn toàn mới, bảo đảm tính khoa học, đ ng đắn  - Đ giải pháp thay phần giải pháp có, bảo đảm tính khoa học, đ ng đắn  - Giải pháp gần áp dụng đơn vị khác chưa áp dụng đơn vị mình, tác giả tổ chức thực có hiệu cho đơn vị  Hiệu (Đánh dấu X vào ô đây) - Giải pháp thay hoàn toàn mới, thực toàn ngành có hiệu cao  - Giải pháp thay phần giải pháp có, thực toàn ngành có hiệu cao  - Giải pháp thay hoàn toàn mới, thực đơn vị có hiệu cao  - Giải pháp thay phần giải pháp có, thực đơn vị có hiệu  - Giải pháp gần áp dụng đơn vị khác chưa áp dụng đơn vị mình, tác giả tổ chức thực có hiệu cho đơn vị  Khả áp dụng (Đánh dấu X vào ô dòng đây) - Cung cấp luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, sách: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong quan, đơn vị, sở GD&ĐT  Trong ngành  - Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ vào sống: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong quan, đơn vị, sở GD&ĐT  Trong ngành  - Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong quan, đơn vị, sở GD&ĐT  Trong ngành  X p i chung: Xuất sắc  Khá  Đạt  Không xếp loại  Cá nhân viết sáng kiến kinh nghiệm cam kết không chép tài liệu người khác chép lại nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ Tổ trưởng Thủ trưởng đơn vị xác nhận sáng kiến kinh nghiệm tổ chức thực đơn vị, Hội đồng khoa học, sáng kiến đơn vị xem xét, đánh giá, cho điểm, xếp loại theo quy định Phiếu đánh dấu X đầy đủ ô tương ứng, có ký tên xác nhận tác giả người có thẩm quyền, đóng dấu đơn vị đóng kèm vào cuối sáng kiến kinh nghiệm NGƯỜI THỰC HIỆN SKKN (Ký tên ghi rõ họ tên) XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN (Ký tên ghi rõ họ tên) THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký tên, ghi rõ họ tên đóng dấu đơn vị) 34 [...]... những điểm trong mặt ph ng toạ độ mà họ không đi qua dù m lấy bất cứ giá trị nào VẤN ĐỀ 6: MỘT SỐ CÁCH LẬP KHÁC PHƯƠNG TRÌNH DƯỜNG TRÒN Đây là những cách lập phương trình đường tròn không theo một vấn đ nào cụ thể trong năm vấn đ trên Những cách lập phương trình này theo một cách ngẫu hứng Lời giải đưa ra dựa trên những kiến thức đã có với lối suy diễn đơn giản Trong vấn đê này tôi chỉ đưa ra một số ví... và hứng th đặc biệt khi giải bài toán phương trình đường tròn rất thận trọng và hiểu bản chất của vấn đ chứ không theo tính rập khuôn một cách máy móc như trước, đó là việc thể hiện việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Nghiên cứu, phân tích một số vấn đ v phương trình trong mặt ph ng có nghĩa rất lớn trong quá trình dạy học vì khi áp dụng... như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài tập phương trình đường tròn trong sách giáo khoa Hình học lớp 10 và một số bài trong các đ thi tuyển sinh vào đại học, cao đ ng và trung học chuyên nghiệp của các năm trước thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trình bày lời giải và đã giải được một lượng lớn bài tập đó 2 K t quả thực nghiệm: Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2015- 2016 Bài kiểm tra... nghiệm: Một số vấn đ v phương trình đường tròn trong mặt ph ng Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Thu Phương, Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trường THPT Xuân Hưng Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn:  - Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác:  Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong. .. Viết phương trình đường th ng qua T1, T2 VẤN ĐỀ 4 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN D ng 1 : Vị trí tương đối của hai đường tròn Cho Hai đường tròn (C1): x2 + y2 - 2a1x - 2b1y + c1 = 0 (C2): x2 + y2 - 2a1x - 2b1y + c1 = 0 Để xét vị trí tương đối của (C1) và (C2) ta có hai phương pháp sau : 18 Phương pháp 1 : Xét số giao điểm của (C1) và (C2) Số giao điểm của (C1) và (C2) là số nghiệm của hệ phương. .. THỰC HIỆN Nguyễn Thị Thu Phương 30 MỤC LỤC I Lí do chọn đ tài……………………………………………………………… 3 II Cơ sở lí luận và thực tiễn………………………………………………………3 III Tổ chức thực hiện các giải pháp………………………………………………3 Vấn đ 1: Nhận dạng phương trình đường tròn tìm đi u kiện để một phương trình là phương trình đường tròn.……………………………………………………….5 Vấn đ 2: Lập phương trình đường tròn………………………………………… 6 Vấn đ 3: Sự tương giao giữa... trị a vào ( ) ta được b = 2 Vậy ta được tiếp tuyến 4: y = 2 VẤN ĐỀ 5 : CÁC ÀI TOÁN LI N UAN ĐẾN HỌ ĐƯỜNG TRÒN Trong vấn đ này ta thường gặp một số bài toán liên quan đến họ đường tròn như sau: Cho họ đường tròn (Cm): f(x,y,m) = 0 Bài toán 1: Tìm tập hợp tâm của đường tròn (Cm) Phương pháp giải: - Tìm đi u kiện để phương trình đã cho là phương trình đường tròn - Tìm toạ độ tâm của đường tròn đã cho... (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây) - Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành  - Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành  - Đã được áp dụng trong thực tế... XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2015-2016 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: Một số vấn đ v phương trình đường tròn trong mặt ph ng Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Thu Phương, Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trường THPT Xuân Hưng Họ và tên giám khảo 2: Chức vụ: Đơn vị: Số điện thoại của giám khảo: * Nhận xét, đánh giá, ch điểm và x p i sáng ki n kinh... + c = 0 2a + 2b - c - 2 = 0 Vậy phương trình đường tròn (C): x2 + y2 - x + y - 2 = 0 28 IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI 1 K t quả từ thực tiễn: Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc phân loại và giải những dạng bài tập như đã nêu Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích một bài toán v phương trình đường tròn trong mặt ph ng để lựa chọn phương pháp phù hợp Sau khi hướng