PHƯƠNG án GIẢI QUYẾT vấn đề của học SINH TRONG mô HÌNH hóa TOÁN học

Từ đó các nhà giáo dục có xu hướng dạy học toán theo hướng giúp HSđưa ra phương án giải quyết các vấn đề thực tế thông qua quá trình mô hình hóa toán học.Bên cạnh việc cung cấp cho học s

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-o0o -HUỲNH MINH TÂM

PHƯƠNG ÁN GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CỦA HỌC SINH TRONG MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN

Mã số: 62 14 10 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS TRẦN VUI

An Giang, năm 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quảnghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng vàchưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác

Huế, tháng 4 năm 2016

Huỳnh Minh Tâm

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Trần Vui, người

đã tận tình hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi có đủ niềm tin và nghị lực để hoàn thànhluận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn:

- Ban giám hiệu, quý thầy cô trong khoa toán trường Đại học Sư phạm Huế đã tậntình giảng dạy những kiến thức chuyên môn hết sức quý báu

- TS Trần Kiêm Minh, TS Nguyễn Đăng Minh Phúc, TS Nguyễn Thị Tân An, TS.Nguyễn Thị Duyến, TS Nguyễn Phương Thảo đã có những lời khuyên, những bàigiảng và tài liệu hết sức quý báu liên quan đến đề tài

- Ban Giám Hiệu và các em học sinh trường phổ thông Quốc Tế GIS tỉnh An Giang

đã tạo điều kiện tốt trong quá trình tiến hành thực nghiệm sư phạm

Lời cảm ơn chân thành đến các bạn cùng khóa đã luôn chia sẽ cùng tôi những buồnvui và khó khăn trong quá trình học tập

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè và đồngnghiệp đã động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài

Huế, tháng 6 năm 2016

Huỳnh Minh Tâm

Mô hình hóa toán họcHội đồng Quốc gia Giáo viên Toán Hoa KìSách giáo khoa

Trung học phổ thông

Mục Lục

Mục Lục iv

Chương 1 1

MỞ ĐẦU 1

1.1 Giới thiệu 1

1.1.1 Nhu cầu nghiên cứu 1

1.1.2 Phát biểu vấn đề nghiên cứu 4

1.2 Mục đích nghiên cứu 6

1.3 Nhiệm vụ nghiên cứu 6

1.4 Định nghĩa các thuật ngữ 7

1.5 Giả thuyết nghiên cứu 7

1.6 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 7

1.6.1 Khách thể nghiên cứu 7

1.6.2 Đối tượng nghiên cứu 7

1.6.3 Phạm vi nghiên cứu 7

1.7 Phương pháp nghiên cứu 7

1.7.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: 7

1.7.2 Phương pháp điều tra, quan sát: 8

1.7.3 Phương pháp nghiên cứu trường hợp: 8

1.7.4 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: 8

1.7.5 Phương pháp sử dụng thống kê toán học trong xử lí số liệu thực nghiệm 8

1.7.6 Phương pháp thống kê Toán học 8

1.8 Đóng góp của luận văn 8

1.8.1 Những đóng góp về mặt lý luận 8

1.8.2 Những đóng góp về mặt thực tiễn 9

1.9 Cấu trúc dự kiến của luận văn 9

Chương 2 10

TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 10

2.1 Một vài quan điểm về giải quyết vấn đề 10

2.2 Khái niệm giải quyết vấn đề 13

2.2.1 Mục tiêu của các phương án giải quyết vấn đề trong toán học 15

2.2.2 Các bước giải quyết vấn đề 15

2.3 Mô hình hóa toán học 25

2.3.3 Quy trình mô hình hóa toán học 29

a Sơ đồ của Pollak 29

b Sơ đồ của Blum và Leiß: 30

c Sơ đồ của Stillman, Galbraith, Brown và Edwards 31

d Sơ đồ theo PISA (2006) gồm 5 bước : 32

2.3.4 Quá trình mô hình hóa toán học được mô tả qua 4 bước 33

2.4 Thực trạng vận dụng mô hình hóa trong dạy học môn toán ở trường THPT: 37

4.6.1 Về bài toán có tính thực tiễn trong SGK môn Toán THPT 37

2.4.2 Thực trạng dạy học môn Toán theo hướng tăng cường liên hệ với thực tiễn 37

Chương 3 41

THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU 41

3.1.Thiết kế nghiên cứu 41

3.1.1 Nguyên tắc thiết kế mô hình hóa 41

3.1.2 Thiết kế hoạt động mô hình hóa 42

3.2 Đối tượng tham gia 43

3.3 Chủ đề của các bài toán khảo sát 44

3.4 Công cụ nghiên cứu 44

3.5 Bộ đề kiểm tra 44

3.5.1 Bài toán mô hình hàm số bậc nhất 46

3.5.2 Bài toán mô hình hàm số bậc hai 47

3.5.3 Bài toán mô hình phương trình và bất phương trình 47

Chương 4 54

CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 54

4.1 Cách thức tổ chức 54

4.2 Các kết quả nghiên cứu 54

4.2.1 Kết quả thu được từ bộ đề kiểm tra 54

4.3 Hình ảnh học sinh làm thực nghiệm: 69

4.4 Kết luận chung về thực nghiệm 71

Chương 5 73

KẾT LUẬN, LÝ GIẢI VÀ VẬN DỤNG 73

5.1 Kết luận cho các câu hỏi nghiên cứu 73

5.1.1 Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: 73

5.1.2 Câu hỏi nghiên cứu thứ hai: 74

5.2 Lý giải 75

5.2.1 Lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: 75

5.2.2 Lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai: 77

5.3 Vận dụng 78

viiiKẾT LUẬN 80

TÀI LIỆU THAM KHẢO 83

PHIẾU ĐIỀU TRA GIÁO VIÊN 85

Chương 1

MỞ ĐẦU1.1 Giới thiệu

1.1.1 Nhu cầu nghiên cứu

Trong những năm gần đây, các nhà hoạch định chính sách trên thế giới bắt đầu nỗlực cải cách giáo dục toán bằng việc tạo ra sự chuyển đổi cơ bản về nội dung, chươngtrình và phương pháp học toán của HS Những nỗ lực đổi mới tập trung vào việc pháttriển kĩ năng đưa ra phương án giải quyết vấn đề , phản ánh và giao tiếp toán học để giúp

HS đạt được học vấn toán học vừa rộng vừa sâu nhằm tạo ra nhiều cơ hội lựa chọn nghềnghiệp và giáo dục sau này Hòa nhập với xu hướng chung của thế giới, nền giáo dục củanước ta cũng có những động thái tích cực nhằm tạo ra sự chuyển biến cơ bản về chấtlượng của việc dạy học toán Dạy học toán ở trường phổ thông được khuyến khích chútrọng nhiều hơn đến việc phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của HS, bồi dưỡngphương pháp tự học, phát triển khả năng giải quyết vấn đề và ứng dụng toán học vào thựctiễn (Duyến, 2015)

Dạy học toán theo hướng gắn kết với thực tế, đặc biệt là mô hình hóa toán học(MHHTH) từ lâu đã thu hút sự quan tâm của các nhà nghiên cứu giáo dục toán MHHTHchính thức xuất hiện đầu tiên tại hội nghị của Freudenthal năm 1968 tại đây các nhà giáodục toán đã đưa ra nhiều vấn đề liên quan đến tiếp cận này như: Tại sao phải dạy toán để

có ích? Tại sao nhiều học sinh không thể sử dụng kiến thức toán đã học để giải quyết cácvấn đề thực tế mặc dù đạt được chứng chỉ xuất sắc về môn học này Dạy toán là phải dạysao cho học sinh có thể áp dụng toán vào những tình huống đơn giản của cuộc sống (tríchtheo Nguyễn Thị Tân An, 2014) Mối liên hệ giữa toán và mô hình hóa tiếp tục được đềcập đến tại hội nghị các nước nói tiếng Đức vào năm1977 bao gồm các thảo luận vềnhững khía cạnh của toán học ứng dụng trong giáo dục (An, 2012)

Một dấu mốc quan trọng trong việc giới thiệu MHHTH vào nhà trường là nghiên cứucủa Pollak vào năm 1979 trong nghiên cứu về ảnh hưởng của toán học lên các môn họckhác ở nhà trường Theo Pollak, giáo dục toán phải có trách nhiệm dạy cho học sinh cách

sử dụng toán trong cuộc sống hàng ngày Từ đó, dạy và học mô hình hóa trong nhàtrường trở thành một chủ đề nổi bật trên phạm vi toàn cầu Ví dụ, nghiên cứu của PISA,chương trình đánh giá học sinh quốc tế (Programme for International StudentAssessment), nhấn mạnh mục đích của giáo dục toán là phát triển khả năng học sinh sửdụng toán trong cuộc sống hiện tại và tương lai Hội nghị quốc tế về dạy mô hình hóa và

áp dụng toán ICTMA (International Conferences on the Teaching of MathematicalModelling and Applications) tổ chức 2 năm một lần với mục đích thúc đẩy ứng dụng và

mô hình hóa trong tất cả các lĩnh vực của giáo dục toán Xu hướng đưa mô hình hóa toánhọc vào chương trình, sách giáo khoa với các mức độ khác nhau ngày càng gia tăng.Chẳng hạn ở Đức, Hà Lan, Úc, Mỹ, mô hình hóa toán học là một trong những năng lựcbắt buộc của chuẩn giáo dục quốc gia về môn toán Ở Singapore, mô hình hóa toán họcđược đưa vào chương trình toán năm 2003 với mục đích nhấn mạnh tầm quan trọng của

mô hình hóa trong việc học toán cũng như đáp ứng các thách thức trong giáo dục toáncủa thế kỉ XXI

Các hoạt động MHHTH có thể là chất xúc tác giúp HS hiểu sâu hơn về các ý tưởngtoán học, kĩ năng giải quyết vấn đề và phát hiện các yếu tố toán học trong thực tiễn Sửdụng phương pháp MHHTH, GV có thể giúp HS thấy được các mô hình toán học nhưcác đường parabol, hypebol, côníc được thể hiện trong các hiện tượng trong cuộc sống

Do đó, MHHTh giúp việc học toán của HS trở nên có ý nghĩa hơn bằng cách tăng cường

và làm sáng tỏ các yếu tố toán học trong thực tiễn (Lesh & English, 2005; Ang, 2009;Dindyal, 2009) Tuy nhiên, để thực hiện được vấn đề này GV cần phải khắc phục một sốkhó khăn như: vấn đề lựa chọn tình huống thực tế phù hợp với khả năng nhận thức củaHS; trong quá trình thực hiện, phương pháp này đòi hỏi nhiều thời gian hơn các phươngpháp truyền thống khác, gặp khó khăn trong quá trình kiểm tra, đánh giá kết quả học tậpcủa HS

Trong khảo sát các bài toán thực tế, học sinh có cơ hội để đặt vấn đề rồi sau đó giảiquyết vấn đề đã đặt ra Trong các bài toán kết thúc mở được sử dụng trong khảo sát toán,các bài toán có bối cảnh thực tế cuộc sống thường gần gũi và lôi cuốn học sinh tham gia

tìm tòi lời giải Từ đó các nhà giáo dục có xu hướng dạy học toán theo hướng giúp HSđưa ra phương án giải quyết các vấn đề thực tế thông qua quá trình mô hình hóa toán học.Bên cạnh việc cung cấp cho học sinh những kiến thức và kĩ năng liên quan đến toánhọc như là khái niệm, định lý, công thức, quy tắc, dạy toán cần giúp học sinh phát triểnkhả năng kết nối các kiến thức, kĩ năng được học để đưa ra phương án giải quyết nhữngvấn đề thực tế Khi sử dụng toán để đưa ra phương án giải quyết các vấn đề trong lĩnhvực ngoài toán thì mô hình toán học và quá trình mô hình hóa toán học là những công cụcần thiết.

Trong cuộc sống, giải quyết vấn đề luôn là một kĩ năng cơ bản quan trọng của conngười Trong các kĩ năng giải quyết vấn đề thì kĩ năng đưa ra phương án giải quyết vấn

đề là năng lực của một cá nhân để sử dụng các quá trình nhận thức để đối mặt và giảiquyết các bối cảnh thực tế xuyên suốt các môn học ở đó con đường tìm ra lời giải làkhông rõ ràng ngay tức thì và các lĩnh vực hiểu biết hay chương trình có thể áp dụngđược không chỉ nằm trong một lĩnh vực toán, khoa học hay đọc Thật vậy, đối với nhiềungười giải quyết vấn đề là mục đích đầu tiên của giáo dục toán học Ủng hộ cho quanđiểm này, các nhà làm chương trình toán của nhiều nước đã đặt phương án giải quyết vấn

đề là kĩ năng cơ bản số một trong các kĩ năng cơ bản của toán học Các đặc trưng của giảiquyết vấn đề là tham khảo các mô tả về quá trình tìm tòi phương án giải quyết vấn đề

Cho đến nay, ở Việt Nam, có nhiều tác giả đã thực hiện các nghiên cứu về môhình hóa như Nguyễn Thị Tân An, Lê Thị Hoài Châu, Trần Dũng, Nguyễn Danh Nam,…Bên cạnh đó, chương trình sách giáo khoa môn Toán của Việt Nam ( ban cơ bản và nângcao) có rất ít bài toán có nội dung thực tế nên việc dạy để HS đưa ra phương án giảiquyết vấn đề bằng cách mô hình hóa toán học có vị trí khá mờ nhạt trong chương trìnhToán phổ thông và vẫn còn đang nặng về các kiến thức trừu tượng gắn liền với các biểudiễn ký hiệu, các bài tập nặng về kĩ thuật tính toán và ít gần gũi với thực tiễn hàng ngày.Trong chương trình thiếu các nhiệm vụ về giải quyết các vấn đề thực tế Việc đánh giáhọc sinh cũng chủ yếu dựa trên các bài kiểm tra, các kỳ thi mà nội dung đa phần tập trungvào các yêu cầu về ghi nhớ, nhắc lại hay áp dụng những kiến thức và kĩ năng đã được rèn

luyện, vận dụng các quy trình quen thuộc để giải quyết các bài toán tiêu biểu thường gặptrong sách giáo khoa và lớp học Thực tế đó hoàn toàn chệch hướng với xu thế chung màgiáo dục toán tiên tiến trên thế giới đã và đang hướng tới Chương trình đánh giá học sinhquốc tế PISA quan tâm nhiều đến những gì học sinh có thể làm được hơn là những điềucác em học được ở trường Do đó thay vì chú trọng vào phạm vi mà các học sinh thànhthạo chương trình học trong nhà trường thì quan trọng hơn là cần chú trọng đến việc rènluyện cho học sinh khả năng sử dụng kiến thức và kĩ năng của mình để đưa ra cácphương án giải quyết vấn đề để đáp ứng các thách thức của đời sống thực tế

Đã có những nghiên cứu giải quyết vấn đề thực tế trong dạy học toán ( Trần Vui,2014) bàn về việc ngiên cứu mối liên hệ giữa giải quyết vấn đề và mô hình hóa toán học.Những nghiên cứu này tập trung vào tiếp cận dạy học theo hướng giải quyết vấn đề thực

tế qua quá trình mô hình hóa toán học, còn những khoảng hở về các phương án giảiquyết vấn đề phu cần phải nghiên cứu Vì thế nghiên cứu này tập trung vào tìm hiểu cácphương án giải quyết vấn đề trong mô hình hóa toán học

1.1.2 Phát biểu vấn đề nghiên cứu

Trong các môn học đang được dạy tại nhà trường phổ thông hiện nay, Toán học làmôn học cơ bản, có ảnh hưởng đến nhiều môn học khác và có nhiều ứng dụng vào thực tế

của đời sống xã hội.“Toán học ra đời từ nhu cầu thực tiễn và lại quay về phục vụ thực tiễn” Để làm sáng tỏ mối liên hệ này, HS cần hiểu và vận dụng những kiến thức toán học

đã học để giải thích, dự đoán, kiểm chứng, mô hình hóa và đưa ra các phương án giảiquyết các vấn đề trong cuộc sống Bên cạnh đó, Toán học còn giúp học sinh rèn luyệnnhân cách và những phẩm chất cần có của người lao động mới: tính tỉ mỉ, tính cẩn thận,chính xác, tính sáng tạo, khả năng tư duy… Do đó, một trong những nhiệm vụ trọng tâmcủa giáo viên Toán khi giảng dạy ở nhà trường phổ thông là phải giúp học sinh có kĩnăng đưa ra các phương án giải quyết các bài toán có nội dung thực tế

Cho đến nay, những hiểu biết về sự hình thành các trình tự thực tế của giải quyết vấn

đề và xây dựng mô hình hóa các quá trình toán học của học sinh là chưa có nhiều Do đóhọc sinh trung học (tuổi từ 10-16) đã được quan sát trong khuôn khổ của một nghiên cứu

thực nghiệm định tính trong khi hoàn thành các nhiệm vụ dựa trên các tình huống thực tế

mở Điều này đòi hỏi ở học sinh một khả năng tư duy trừu tượng cao để có thể lĩnh hộitốt các kiến thức cần học và do đó đã gây ra nhiều khó khăn cho học sinh khi học tập mônToán ở nhà trường phổ thông, dần dần gây ra cho các em tâm lý chán ghét hay sợ họcToán Vì vậy, những giáo viên Toán cần phải tìm ra các phương pháp dạy học phù hợp đểtruyền thụ các kiến thức toán học một cách đơn giản, dễ hiểu nhưng vẫn đảm bảo đầy đủ,chính xác nội dung nhằm khơi gợi cho học sinh hứng thú học Toán.(Gilbert Greefrath,2015)

Quá trình MHH các tình huống thực tiễn cho thấy mối quan hệ giữa thực tiễn với cácvấn đề trong SGK dưới góc nhìn của toán học Do vậy, nó đòi hỏi HS cần vận dụng thànhthạo các thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừutượng hóa Ở trường phổ thông, cách tiếp cận này giúp việc học toán của HS trở nên thiếtthực và có ý nghĩa hơn, tạo động cơ và niềm say mê học tập môn Toán Những ứng dụngcủa toán học vào thực tiễn trong chương trình và SGK, cũng như trong thực tế dạy họcToán chưa được quan tâm một cách đúng mức và thường xuyên Trong các SGK mônToán và các tài liệu tham khảo về Toán thường chỉ tập trung chú ý những vấn đề, nhữngbài toán trong nội bộ Toán học, số lượng ví dụ, bài tập Toán có nội dung liên môn vàthực tế trong các SGK Đại số THPT để HS học và rèn luyện còn rất ít Một vấn đề quantrọng nữa là trong thực tế dạy học Toán ở trường phổ thông, GV không thường xuyên rènluyện cho HS thực hiện những ứng dụng của toán học vào thực tiễn Ở Việt Nam, chưa

có nhiều nghiên cứu vận dụng phương án giải quyết vấn đề bằng cách mô hình hóa toánhọc trong dạy học toán Chương trình SGK và các phương pháp dạy học hiện nay vẫnchưa giúp HS hiểu rõ về những ứng dụng của toán học trong thực tiễn.Vì vậy, kết quả của

đề tài có thể tạo ra một diễn đàn trao đổi về khả năng giảng dạy toán học ứng dụng cũngnhư làm rõ mạch kiến thức về mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn trong chương trìnhmôn Toán ở trường phổ thông

Từ các cơ sở lý luận và thực tiễn trên, chúng tôichọn đề tài để nghiên cứu xuyên suốt

trong luận văn này là: “Phương án giải quyết vấn đề của học sinh trong mô hình hóa toán học”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm hiểu phương án giải quyết trong MHHTH

Từ mục đích chung ở trên, trong nghiên cứu này, chúng tôi hướng đến các mục tiêu cụthể được trình bày qua các câu hỏi nghiên cứu như sau :

Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: HS lựa chọn phương án giải quyết vấn đề như thế nào

khi tiến hành hoạt động MHHTH?

Câu hỏi nghiên cứu thứ hai: Làm thế nào để phát triển phương án giải quyết cho

học sinh thông qua hoạt động mô hình hóa toán học?

Mục đích chính của nghiên cứu này là nghiên cứu về phương án giải quyết vấn đềtrong mô hình hóa toán học, nhằm thiết lập và mô tả bước đầu về quy trình mô hình hóatoán học và phương án giải quyết vấn đề áp dụng bởi các em học sinh Từ đó xây dựngmột số phương án giải quyết vấn đề với sự hỗ trợ mô hình hóa toán học sao cho quá trìnhdạy học chủ đề này đạt hiệu quả tốt nhất

1.3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài luận văn này nhằm thực hiện các nhiệm vụ nghiên cứu sau:

- Tìm hiểu phương án giải quyết vấn đề vào quá trình dạy học môn Toán

- Tìm hiểu tổng quát về phương án giải quyết vấn đề và mô hình hóa toán học

+ Thế nào là vấn đề? Thế nào là giải quyết vấn đề? Thế nào là mô hình hóa toán học?+ Tiến hành các phương án giải quyết vấn đề trong quá trình mô hình hóa toán học của học sinh được thể hiện như thế nào?

- Hệ thống quá trình mô hình hóa toán học và các phương án giải quyết vấn đề trong mô hình hóa toán học

- Tìm hiểu thực trạng dạy học mô hình hóa toán học ở nhà trường phổ thông hiện nay: Việc dạy học chủ đề này diễn ra như thế nào?

- Xây dựng các mô hình hóa toán học để có thể áp dụng phương án giải quyết vấn đề vào dạy học một cách có hiệu quả nhất

- Thực trạng dạy học môn Toán theo hướng tăng cường liên hệ với thực tiễn

- Thực nghiệm sư phạm

1.4 Định nghĩa các thuật ngữ

Mô hình hóa toán học là quá trình giải quyết những vấn đề thực tế bằng công cụ

toán học.(Trần Vui, 2006)

Vấn đề: là một tình huống đặt ra cho cá nhân hoặc một nhóm để giải quyết mà khi

đối mặt với tình huống này họ không thấy ngay các phương pháp hoặc con đường để thuđược lời giải (Trần Vui, 2006)

Giải quyết vấn đề: chỉ quá trình mà một cá nhân sử dụng kiến thức, kĩ năng và hiểu

biết đã học được trước đó để đáp ứng đòi hỏi của những tình huống đang gặp phải(Stepphen Krulik and Jesse A.Rudnick, 1980)

1.5 Giả thuyết nghiên cứu

Dạy học theo tiếp cận phát triển các phương án giải quyết vấn đề bằng cách mô hìnhhóa toán học hỗ trợ học sinh vận dụng các kiến thức được học để đưa ra các phương ángiải quyết các bài toán thực tế một cách sáng tạo Từ đó các em sẽ hình thành và pháttriển và tự tin để đưa ra phương án giải quyết khi gặp các vấn đề toán học có nội dungthực tế Góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn Toán theo định hướng phát triển kĩnăng đưa ra phương án giải quyết khi đối mặt một vấn đề thực tế cho HS ở trường THPT

1.6 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

1.6.1 Khách thể nghiên cứu

Quá trình dạy học môn Toán

1.6.2 Đối tượng nghiên cứu

Phương án giải quyết vấn đề trong mô hình hóa

1.6.3 Phạm vi nghiên cứu

Do thời gian nghiên cứu có hạn nên trong khuôn khổ bài luận văn này, chúng tôi chỉtập trung nghiên cứu các mô hình hóa toán học đơn giản và đưa ra những phương án giảiquyết vấn đề của học sinh về các mô hình hóa toán học đó

1.7 Phương pháp nghiên cứu

1.7.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận:

Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu trong và ngoài nước về các vấn đề liên quan đến đề tàicủa luận văn

1.7.2 Phương pháp điều tra, quan sát:

Quan sát, điều tra thực trạng về việc vận dụng phương pháp MHH trong dạy học mônToán ở trường THPT qua các hình thức: sử dụng phiếu điều tra, dự giờ, quan sát, nhật kíghi chép, phỏng vấn trực tiếp GV ở trường THPT

1.7.3 Phương pháp nghiên cứu trường hợp:

Phỏng vấn trực tiếp nhóm HS

1.7.4 Phương pháp thực nghiệm sư phạm:

Tổ chức dạy thực nghiệm tại một số trường THPT để kiểm nghiệm tính khả thi vàhiệu quả của nội dung nghiên cứu được đề xuất

1.7.5 Phương pháp sử dụng thống kê toán học trong xử lí số liệu thực nghiệm.

Hình thức thực nghiệm: Cho học sinh làm bài kiểm tra gồm 5 bài tập (có 3 dạng).

Trong đó, 2 bài toán áp dụng mô hình hóa để giải bài toán thực tế với sự hướng dẫn củagiáo viên và 3 bài toán yêu cầu các em tự làm (mô hình này sẽ được đề xuất trong phầnsau của luận văn)

Lưu ý là giáo viên không hướng dẫn học sinh phương án giải mà chỉ cho các em quansát việc mô hình hóa bài toán, dùng các yếu tố động để các em tự phát hiện phương ángiải quyết vấn đề

Mục đích thực nghiệm: Kiểm tra giả thuyết nghiên cứu.

1.7.6 Phương pháp thống kê Toán học

Phân tích, xử lý số liệu thu được từ việc thực nghiệm

1.8 Đóng góp của luận văn

1.8.1 Những đóng góp về mặt lý luận

Góp phần làm rõ thêm vai trò quan trọng của việc vận dụng các phương án để giảiquyết một số bài toán có nội dung thực tiễn

Đề xuất được những quan điểm cơ bản đối với việc thiết kế một số tình huống MHHtrong dạy học Toán và xây dựng hệ thống bài toán có nội dung thực tiễn và đưa ra đượcnhững gợi ý, những chỉ dẫn về vận dụng phương pháp MHH để giải quyết hệ thống bàitập đó

1.8.2 Những đóng góp về mặt thực tiễn

Nâng cao hiệu quả dạy và học nội dung Đại số lớp 10 ở trường THPT, tăng cườngtính ứng dụng thực tiễn của toán học trong chương trình môn Toán ở trường THPT Kết quả luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho GV và HS trong quátrình giảng dạy và học tập môn Toán ở trường THPT

Làm cơ sở để phát triển những nghiên cứu sâu, rộng hơn về những vấn đề có liênquan trong luận văn

1.9 Cấu trúc dự kiến của luận văn

Ngoài phần mục lục, tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày trong năm chương:Chương 1 Mở đầu

Chương 2 Tổng quan các vấn đề nghiên cứu

Chương 3 Thiết kế nghiên cứu

Chương 4 Các kết quả nghiên cứu

Chương 5 Kết luận, lý giải và vận dụng

Chương 2

TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Mục đích của chương này là xác định và làm rõ nền tảng lý thuyết, tóm tắt sơ lượccác nghiên cứu liên quan đến đề tài

2.1 Một vài quan điểm về giải quyết vấn đề

Người ta đã thừa nhận một cách rộng rãi rằng: Giải quyết vấn đề là một kĩ năng cơbản quan trọng của con người Thật vậy, đối với nhiều người giải quyết vấn đề là mụcđích đầu tiên của giáo dục toán học Ủng hộ cho quan điểm này, các nhà làm chươngtrình toán của nhiều nước đã đặt giải quyết vấn đề là kĩ năng cơ bản số một trong các kĩnăng cơ bản của toán học

Hội đồng giáo viên toán quốc gia của Hoa Kỳ (The National Council of Teachers ofMathematics, viết tắt là NCTM) được thành lập vào năm 1920, đã phát triển thành tổchức lớn nhất trên thế giới liên quan đến giáo dục toán học, có hơn 80.000 thành viên trênkhắp Hoa Kỳ, Canada và quốc tế

Có ý kiến cho rằng “Trong giáo dục toán, nếu giải quyết các vấn đề thường xuyên bị

bỏ qua thì một phần quan trọng của giáo dục toán học đang bị bỏ qua” Trong bài báo

“Khả năng giải quyết vấn đề là gì?”, Laterell (2000, [15]) đã tổng hợp một số quan điểm

về khái niệm giải quyết vấn đề của NCTM, các nhà giáo dục toán và các nhà toán học.Một số chương trình đào tạo theo định hướng của NCTM nhằm mục đích hình thànhkhả năng giải quyết vấn đề của học sinh và tuyên bố là “học sinh thành công hơn trongviệc giải quyết các nhiệm vụ so với chương trình dạy học truyền thống” (Huntley,Rasmussen, Villarubi, Sangtong và Fey, 2000; Schoen và Ziebarth, 1998) Một bộ phậnnghiên cứu (Latterell, 2000) đã so sánh khả năng giải quyết vấn đề của học sinh trongchương trình dạy học theo định hướng của NCTM với học sinh được học theo chươngtrình dạy học truyền thống cho thấy không có sự khác biệt có ý nghĩa về mặt thống kêđược đo bằng các bài kiểm tra tự luận Tuy nhiên, khó khăn xuất hiện trong nghiên cứu làcâu hỏi: “Khả năng giải quyết vấn đề” có nghĩa là gì?

Wickelgren (1974) mô tả giải quyết vấn đề trong toán học và các khóa học khoa học,tuyên bố "Tôi đã vô cùng bị kích thích bởi tôi đã bỏ ra hàng trăm giờ nhìn thật kĩ vào cácvấn đề mà không có bất kỳ ý tưởng hay để thử tiếp cận tiếp tục cố gắng giải quyết vấnđề" (p ix) Quan điểm của ông về giải quyết vấn đề là tìm kiếm một công cụ bị mất (hoặctiến trình) để giải quyết vấn đề.

Sự khác biệt giữa vấn đề không quen thuộc và vấn đề quen thuộc có vẻ là một yếu tốthen chốt để giải thích vì sao hiện nay giải quyết vấn đề lại được các nhà giáo dục toánquan tâm Carpenter (1988) nhấn mạnh rằng “Học tập là một tập hợp các quy trình giảiquyết vấn đề chứ không phải là vấn đề được giải quyết” Lester (1985) đã phát biểu nhưsau: “Mục đích chính của hướng dẫn giải quyết vấn đề toán học không phải là để trang bịcho học sinh một loạt các kĩ năng và quy trình mà để cho phép các em tự mình suy nghĩ”.Giá trị của các kĩ năng và quy trình hướng dẫn nên được đánh giá trong chừng mực các kĩnăng và quy trình tăng cường thực sự linh hoạt, cách suy nghĩ độc lập của chính học sinh.Dowshen (1980) đã tiến hành một phân tích quan trọng của nghiên cứu về giải quyếtvấn đề trong toán học ở các trường THCS Một trong số mười hai kết luận của ônglà:“Một người giải quyết vấn đề hiệu quả có xu hướng sử dụng một loạt các phương ándựa trên kinh nghiệm, thực hiện một số kế hoạch khi giải quyết vấn đề, khả năng thử vàsai, có các kĩ năng số học tốt, tự tin vào khả năng toán học của cá nhân mình, có xuhướng kiểm tra câu trả lời cho hợp lý và có thể đánh giá câu trả lời, hiểu biết vấn đề trướckhi cố gắng để giải quyết nó”

Theo NCTM, giải quyết vấn đề là một trong mười tiêu chuẩn xuất hiện trên tất cả cáccấp học ở Hoa Kỳ Các tác giả đã định nghĩa giải quyết vấn đề là “Tham gia vào mộtnhiệm vụ mà các phương án giải không được biết trước” và tuyên bố rằng “giải quyết vấn

đề là một phần của việc học toán, không phải là một phần riêng biệt của chương trìnhtoán Nó nên là một phần được lồng ghép trong chương trình nhằm hỗ trợ sự phát triểncủa hiểu biết toán học cho học sinh” “Việc giải quyết vấn đề nên đóng góp vào nội dungcác kiến thức toán học, các bối cảnh nên bao gồm các lĩnh vực khác ngoài toán học, họcsinh có thể áp dụng các phương án và có kiến thức về giải quyết vấn đề” (NCTM, 2000)

Lester (1983) định nghĩa "một vấn đề như là một nhiệm vụ mà: (1) các cá nhân hoặcnhóm phải đối phó với vấn đề yêu cầu hoặc cần phải tìm một giải pháp: (2) Đó khôngphải là một tiến trình đạt được dễ dàng đảm bảo hoặc hoàn toàn xác định giải pháp; và (3)các cá nhân hoặc nhóm phải thực hiện và cố gắng để tìm một "giải pháp" (tr 231-232).Sau định nghĩa này, giải quyết vấn đề sẽ trở thành một trong những hoạt động tham giakhi thực hiện một nhiệm vụ.

Schoenfeld (1992) xem xét nghiên cứu về giải quyết vấn đề toán học, chỉ ra rằng giảiquyết vấn đề đã có "phức tạp và thường có thể xảy ra mâu thuẫn về ý nghĩa qua cácnăm"(p 337) Các định nghĩa đã thay đổi từ xử lý thông tin dựa trên định nghĩa 1 (NhưWickelgren và Lester), ngày nay tồn tại xu hướng toán học hóa trong trường học

Lesh & Doerr (1998) cho rằng "Hầu hết tiêu chí quan trọng để phân biệt giữa 'vấn đềkhác lạ' với 'bài tập' là các học sinh phải luôn tự cải tiến / thay đổi / mở rộng hiểu biết banđầu không đầy đủ (nhưng tự động phát triển) về mô hình khái niệm để tạo ra giải thíchvấn đề một cách 'thành công' (p 9) Sự khác biệt giữa hai quan điểm này là quan điểmđầu tiên về giải quyết vấn đề như là việc tìm kiếm một tiến trình mạnh mẽ có liên kết tốt

với các điều đã cho để đạt được mục tiêu, trong khi quan điểm mô hình gợi ý của Lesh

xem giải thích điều đã cho và mục tiêu như là thách thức lớn, việc lựa chọn và áp dụngcác tiến trình vào một chu trình tích hợp của các giai đoạn giải thích về giải quyết vấn đề.Theo khía cạnh của mô hình gợi ý, thay vì sử dụng một giải thích hoặc tiến trình cố định

để xử lý dữ liệu, sinh viên hoạt động chủ yếu dựa vào cách giải thích riêng của các em.Trong việc giải thích mô hình gợi ý, chúng tôi sẽ quan sát phần lớn những gì học sinhđang cố gắng thực hiện để tìm ra vấn đề là gì, và một khi hoàn thành việc lựa chọn vàthực hiện các tiến trình không phải là quá khó đối với các em

Trong một cuốn sách bồi dưỡng giáo viên về phát triển khả năng giải quyết vấn đềCharles, Mason, Nofsinger(1985), 150 điều đã được đề cập và mục tiêu của vấn đề đãđược tổ chức thành các loại mà vẫn còn phổ biến trong các văn bản toán học trong trườnghọc ngày nay Các hoạt động kĩ năng giải quyết vấn đề được mô tả như những vấn đềthúc đẩy sự phát triển về quá trình suy nghĩ tham gia vào giải quyết vấn đề, chẳng hạn

như: đưa ra một hình ảnh, viết một câu chuyện liên quan đến vấn đề Vấn đề có một haynhiều bước giải được mô tả như là "lựa chọn các hoạt động " có vấn đề.

Theo quan điểm của Gagne (1965) đặc tính khác biệt của giải quyết vấn đề là nó đòi

hỏi người giải quyết vấn đề phải kết hợp một số công cụ nhỏ hơn hoặc ít phức tạp hơn(hoặc các nguyên tắc, hoặc quy trình, hoặc các quy tắc) để tạo thành một công cụ lớn hơnhoặc phức tạp hơn Đây là công cụ xây dựng các quan điểm kế tiếp có một số thiếu sót từmột quan điểm mô hình và mô hình hóa Thứ nhất, tư duy về mặt toán học là nhìn thấy ítnhất như mô hình về cách giải quyết vấn đề Đặc biệt, việc giải thích tình huống toán học

- định lượng, kích thước của chúng và mô tả chúng bằng cách sử dụng hệ thống các mốiquan hệ toán học tối thiểu giống như biên soạn và thực hiện một loạt các tính toán hoặctiến trình dựa trên nguyên tắc khác Thứ hai, cách giải thích được mở rộng, tinh tế, sửađổi thường liên quan đến việc phân loại ra và tích hợp giải thích không ổn định ít nhấtcàng nhiều càng tốt vì nó liên quan đến việc nối kết kiến thức trước đó để hình thành nênmột hệ thống hoàn toàn mớivà phức tạp hơn Những mô hình, hoặc giải thích thường pháttriển dọc theo một loạt các khía cạnh khác nhau Hơn nữa, vào lúc bắt đầu của một quytrình giải quyết vấn đề, các mô hình có liên quan đến xu hướng phát triển các giai đoạntrung gian

2.2 Khái niệm giải quyết vấn đề

Đôi khi người ta hay gọi vấn đề toán học một cách ngắn gọn là bài toán Đươngnhiên, mấu chốt trong quá trình giải quyết vấn đề là các vấn đề cần phải được giải Mộtkhó khăn chính trong việc thảo luận về giải quyết vấn đề là việc thiếu nhất trí về những gìquy định một “bài toán”

Một vấn đề là một nhiệm vụ mà:

 Người đối đầu với nó muốn hoặc cần phải tìm một giải pháp

 Người giải toán không có quy trình sẵn sàng cho việc tìm kiếm các giải pháp

 Người giải toán phải nỗ lực để tìm giải pháp giải quyết vấn đề Khái niệm giảiquyết vấn đề của các nhà giáo dục toán phù hợp với khái niệm được đưa ra bởi NCTM.Đặc biệt, tất cả các nhà giáo dục toán nhấn mạnh vào sự cần thiết của vấn đề có tínhkhông quen thuộc Các giải pháp là không quen thuộc với học sinh, sau đó học sinh thực

hiện bất cứ điều gì để đạt được một giải pháp đều được xem như là giải quyết vấn đề.Một số nhà giáo dục toán bổ sung một số các tiêu chí ngoài bản chất không quen thuộccủa vấn đề là: con đường dẫn đến giải pháp cần trong tầm tay của học sinh, học sinhmuốn hoặc cần tìm một giải pháp, suy luận và kiến thức phải được sử dụng trong quátrình giải quyết vấn đề Tóm lại, theo quan điểm của những nhà giáo dục toán, giải quyếtvấn đề xảy ra trong quá trình học sinh tìm cách giải quyết một tình huống mà các phươngpháp tiếp cận là không quen thuộc hoặc không rõ ràng đối với học sinh Khi định nghĩa

về giải quyết vấn đề, các nhà toán học lại không đề cập đến việc vấn đề phải không quenthuộc nhưng lại đặt ra một số yêu cầu về vấn đề để loại trừ các vấn đề ở SGK mà họcsinh đã được dạy phương pháp giải

Kantowski (1980) cho rằng “Một vấn đề là một tình huống mà cá nhân người đối mặtvới nó không có thuật toán mà phải có một giải pháp để giải quyết Kiến thức liên quancủa người đó phải được đặt cùng nhau trong một cách thức mới để giải quyết vấn đề” Polya (1980) khẳng định: “Biết toán học là để giải quyết vấn đề”

Schoen và Ziebarth (1998), Huntley, Rasmussen, Villarubi, Sangtong và Fey (2000)đều cho rằng: “Học sinh thành công hơn trong việc giải quyết các nhiệm vụ so vớichương trình dạy học truyền thống”

Kết quả nghiên cứu cho thấy học sinh thường xuyên không xem lại công việc củamình khi cảm thấy vấn đề được giải quyết xong (Schoen và Oehmke, 1980; Singh, 1982).Nói chung, các nhà toán học đã cố gắng để mô tả cách tiếp cận có tính thuật toán của họcsinh Giải quyết các vấn đề quen thuộc cũng là một kĩ năng cần thiết và có giá trị với cácnhà toán học Giải quyết các vấn đề quen thuộc không chỉ đơn giản là áp dụng kĩ năng cótính quy trình bởi vì học sinh phải quyết định phải áp dụng quy trình nào để giải quyết.Tóm lại, theo quan điểm của những nhà giáo dục toán, giải quyết vấn đề xảy ra trong quátrình học sinh tìm cách giải quyết một tình huống mà các phương pháp tiếp cận là khôngquen thuộc hoặc không rõ ràng đối với học sinh

Như vậy, có nhiều quan điểm về khái niệm giải quyết vấn đề Trong luận văn này, tôi

sử dụng định nghĩa giải quyết vấn đề của Krulik và Rudnick (1980): “Giải quyết vấn đềchỉ quá trình mà một cá nhân sử dụng kiến thức, kĩ năng và hiểu biết đã học được trước

đó để đưa ra các phương án giải quyết vấn đề nhằm đáp ứng đòi hỏi của những tìnhhuống đang gặp phải” vì định nghĩa này khá rõ ràng và bao quát được nhiệm vụ, ý nghĩacủa dạy học giải quyết vấn đề.

2.2.1 Mục tiêu của các phương án giải quyết vấn đề trong toán học

Trong giáo dục toán, mục tiêu của giải quyết vấn đề được đặt ra để giúp tích cực hóamôi trường dạy học trên lớp Sau đây là một số mục tiêu cụ thể của giải quyết vấn đềtrong toán học nhằm tạo điều kiện cho tất cả học sinh để:

 Cải thiện sự sẵn sàng và kiên trì của học sinh khi đưa ra các phương án giải quyếtcác vấn đề

 Cải thiện khả năng tự phát hiện khái niệm của học sinh thông qua hoạt động đưa raphương án giải quyết vấn đề

 Làm cho học sinh nhận ra được một vấn đề có thể được giải quyết theo nhiềuphương án khác nhau

 Nâng cao năng lực thực hiện các phương án giải quyết vấn đề một cách chính xác

 Kiến tạo những kiến thức toán học mới thông qua giải quyết vấn

 Theo dõi và phản ánh về sự tiến triển của quá trình giải quyết vấn

đề Giới thiệu hoặc tích hợp các ngành khác của toán học

 Cung cấp cho học sinh cơ hội tư duy khác nhau và thực hiện đánh giá năng lựchọc sinh có giá trị và đích thực

2.2.2 Các bước giải quyết vấn đề

Khi dạy học theo định hướng giải quyết vấn đề, chúng ta thường hướng dẫn học sinhthực hiện theo bốn bước cơ bản của Polya (1973): hiểu vấn đề, tìm kiếm phương án giảiquyết vấn đề, giải quyết vấn đề, nhìn lại Bốn bước này được trình bày cụ thể sau đây:

Bước 1: Hiểu vấn đề

Sẽ không có cơ hội giải quyết một vấn đề nếu không hiểu được nó Bước đầu tiên là

“hiểu” và “khám phá vấn đề”, không chỉ là việc đọc vấn đề mà cần có sự phân tích, tìmkiếm các từ khóa để có sự định hướng tìm phương án phù hợp Phải hiểu vấn đề trước khigiải quyết vấn đề Đọc vấn đề một cách cẩn thận để tìm tất cả các manh mối, xác địnhnhững gì mà các câu hỏi yêu cầu

Sự quan sát có thể dẫn đến sự khám phá, phát hiện ra các mẫu hình, quy luật, tạo chohọc sinh nhiều cơ hội có kết quả cao hơn nếu có một vài nhận xét tốt Những phát hiện,nhận xét này chỉ là cái nhìn tổng thể, phỏng đoán và không chứng minh Tự đặt và trả lờicác câu hỏi như: Cái gì cần phải tìm? Cái gì đã có? Điều kiện là gì?

Bước 2: Tìm kiếm phương án giải quyết vấn đề

Bước này là tìm kiếm một phương án, bước này có xu hướng dành cho một vấn đềđơn giản, dễ dàng tìm được phương án phù hợp ngay sau khi hiểu vấn đề Tuy nhiên,chắc chắn là có những vấn đề mà học sinh phải làm việc với các thông tin đã cho trướckhi các em có thể nghĩ đến một phương án hợp lý Bước thăm dò này cũng sẽ giúp họcsinh hiểu vấn đề tốt hơn và có thể làm cho các em nhận ra một số mẫu thông tin có thể bị

bỏ sót trong bước đầu tiên

Trong các hướng dẫn tìm tòi lời giải ở trên, thì “chọn phương án” được nhiều ngườicho là khó nhất Một phương án là một phần của quá trình giải quyết vấn đề nhằm đưa raphương hướng giải mà học sinh cần phải sử dụng để tìm câu trả lời Việc chọn phương ángiải được cân nhắc từ các giai đoạn đọc hiểu và thăm dò Những phương án giải là khôngđặc trưng cho từng loại bài toán như các thuật giải toán Những phương án thường được

sử dụng tổng hợp Một câu hỏi khó trong giải quyết vấn đề là làm thế nào để chọn đượcphương án giải phù hợp Điều gì sẽ mách bảo cho học sinh chọn phương án nào? Giốngnhư bất kỳ một kĩ năng nào, thành công trong giải quyết vấn đề đi đôi với thực hành Nếuhọc sinh cần phải thành công trong giải quyết vấn đề, các em phải thường xuyên thựchành kĩ năng giải quyết vấn đề chính thông qua việc thực sự giải các bài toán Các em

phải nổ lực để giải các bài toán bằng cách sử dụng càng nhiều phương án giải toán nếu cóthể được

Có nhiều phương án cụ thể trong giải quyết vấn đề Việc chọn những phương án phùhợp với đối tượng học sinh là cần thiết Trong phần này chúng tôi liệt kê mười phương ánphổ biến thường hay được sử dụng ở bậc học phổ thông trong những tình huống toán vàcuộc sống Trong lớp học toán những phương án này sẽ cung cấp một kế hoạch đan xen

để giải quyết các tình huống có vấn đề nảy sinh trong bản thân chương trình toán

Các phương án này thường được sử dụng khi giải toán (giải quyết các vấn đề toánhọc) và cho ra lời giải mong muốn Tuy vậy, chúng ta thường sử dụng các phương ánnày để giải quyết các vấn đề thực tế mà chúng ta có thể không để ý đến chúng Sau đây,chúng ta cùng xem xét một số biểu hiện đó

Krulik và Rudnick (1987) đã đưa ra mười phương án GQVĐ:

 Phân tích đi lên: Cách tiếp cận tốt nhất để xác định lộ trình tối ưu từ thành phố

này đến thành phố khác phụ thuộc vào số con đường từ điểm xuất phát và số con đường

đi tới điểm đến Khi con đường từ điểm xuất phát ít hơn thì cách làm xuôi là phươngpháp tối ưu Khi có nhiều con đường từ điểm xuất phát và chỉ có một hay hai con đườngđến điểm đến, một cách thức hiệu quả để lên lộ trình cho chuyến đi là định vị điểm đếntrên bản đồ, xác định xem con đường nào dẫn ngược đến điểm xuất phát và xác định xemcon đường nào tốt hơn để đến điểm cần đến Tiếp tục quá trình này (tức là làm ngược)bạn có thể tìm ra con đường để tiếp cận với điểm xuất phát Ở bước này, bạn có thể vẽ racon đường trên bản đồ kết nối giữa điểm xuất phát và điểm đến

 Tìm kiếm một quy luật: Con người thường tìm kiếm quy luật để nhớ các số

(khoá số, số điện thoại…) Việc phát hiện ra những quy luật sẽ là công cụ hữu ích hỗ trợtrí nhớ của con người Chẳng hạn, khi ngang qua một thành phố mà hầu hết các conđường nằm trên lưới hình chữ nhật, một người tài xế khôn ngoan sẽ cố gắng tránh đèn đỏcàng nhiều càng tốt Việc nhận ra quy luật thường xuyên như thế này được dùng để tránhcác nút đèn giao thông nhằm giảm thiểu thời gian hao phí

 Tiếp cận vấn đề theo một cách nhìn mới: Bạn được yêu cầu xác định số người

có mặt trong một hội nghị Đếm số người hiện có hiển nhiên không phải là một phương

án tối ưu khi có ít ghế trống trong khán đài Lúc đó bạn đếm số ghế trống để biết số ngườivắng mặt, sau đó tính số người có mặt bằng cách lấy tổng số người của hiệp hội đó trừ đinhững người vắng mặt Ví dụ này là cách tiếp cận vấn đề từ một cách nhìn khác với việcđếm hay “ước lượng” số người có mặt

 Giải quyết vấn đề tương tự nhưng đơn giản hơn: Khi mới mua máy tính mọi

người thường không học cách sử dụng tất cả các chức năng của máy tính vào một thờiđiểm Thay vào đó, họ học cách sử dụng một vài chức năng cơ bản, tức là xem xét mộtchuỗi các vấn đề đơn giản hơn Chuỗi những vấn đề đơn giản này sẽ kết nối thành mộtchuỗi các thao tác phong phú hơn Bằng cách giải quyết các vấn đề đơn giản hơn và thunhận một vài kỹ thuật ở vào mỗi thời điểm, cuối cùng bạn có thể nắm vững phương ángiải quyết cho toàn bộ vấn đề phức tạp

 Xét các trường hợp đặc biệt: Khi quan sát kính chắn gió của xe ô tô bạn thấy xe

ướt hơn nếu xe chạy nhanh trong mưa, do đó bạn có khuynh hướng kết luận rằng chiếc xe

sẽ không bị ướt như thế nếu bạn lái xe với tốc độ chậm Điều này dẫn đến câu hỏi là “nên

đi chậm hay đi nhanh trong mưa để đỡ bị ướt?” Bạn hãy xem xét mức độ ẩm ướt ở phíatrước cơ thể bạn khi đi dưới mưa trong hai trường hợp đặc biệt, một là đi rất nhanh và thứhai là đi rất chậm (hầu như không di chuyển) Trong trường hợp đầu tiên, sẽ có mộtlượng nước mưa ở trên đầu của bạn nhưng nếu bạn di chuyển với tốc độ gần như làkhông thì bạn sẽ bị ướt sũng Vì vậy, có thể kết luận rằng, bạn di chuyển càng nhanh bạncàng khô ráo Hoặc khi bạn dự tính mua một đồ vật gì đó thì phải ước lượn giá thấp nhất

và cao nhất có thể và định hướng giá cả từ đó để mặc cả với người bán hàng

 Minh họa bằng hình vẽ: Các sơ đồ và hình vẽ thường được sử dụng để hỗ trợ quá

trình GQVĐ nảy sinh trong cuộc sống Chúng ta dùng bản đồ để xác định cách đến mộtđịa điểm nào đó Đôi lúc chúng ta phác thảo ra bản đồ riêng của cá nhân để giải thích lộtrình của mình cho một người khác Vẽ ra một sơ đồ làm cho việc mô tả rõ ràng hơn và

dễ dàng theo dõi hơn

 Đoán và thử: Một ví dụ thường được sử dụng để minh họa cho phương án này là

việc “thọc” khi chúng ta luộc miếng thịt để xem thử thịt đã chín hay chưa Chúng ta nênđưa một nhiệt kế vào giữa miếng thịt hơn là cắt miếng thịt một cách vội vã Chúng ta cóthể đọc nhiệt độ bên trong miếng thịt để làm sáng tỏ phỏng đoán của mình và giúp xácđịnh tình trạng chín của miếng thịt chính xác hơn Nếu dự đoán ban đầu của chúng tarằng miếng thịt đã chín tỏ ra không đúng khi kiểm tra bằng nhiệt kế, chúng ta tiếp tụcluộc thêm một vài phút nữa cho tới khi bản thân sẵn sàng đoán lại Một quy trình tương

tự được dùng bởi thợ mộc khi họ không biết chính xác số đo của một mảnh gỗ hình dạng

kì dị để tra vào một nơi nào đó Người thợ mộc sẽ xác định xem kích cỡ, hình dạng củamảnh gỗ đó rồi liên tục kiểm tra sự vừa vặn của miếng gỗ vào vị trí cần tra Một luật sưmuốn xác định một khách hàng có tội hay không có thể chọn một câu hỏi và kiểm trakhách hàng đó Câu trả lời của khách hàng có thể giúp cho luật sư dự đoán về sự vô tộihay có tội để xem xét có nên đại diện cho khách hàng đó không

Tuy nhiên, người giải quyết vấn đề nên đoán và sau đó kiểm tra tính đúng đắn của cácphỏng đoán lặp đi lặp lại cho đến khi giá trị đúng của cái không biết được tìm thấy(Nathan & Koedinger, 2000; Stacey & MacGregor, 2000) Đoán và kiểm tra không chỉ làphương án phổ biến cho những người học chưa có kinh nghiệm, mà còn được ưa chuộngbởi những học sinh có một nền tảng đại số chính thức (JOHANNING, 2004, 2007).Phương án này là một sự hợp thành quan trọng của những phương án liên quan đến nănglực Gallagher (2000) mô tả "đoán và kiểm tra" như một cách tiếp cận thử và sai để giảiquyết một vấn đề Polya (1945) nhấn mạnh: “Nhiều suy đoán là sai, nhưng lại hữu íchtrong việc dẫn đến một cách tốt hơn” Cần lưu ý rằng “Nếu một học sinh đoán nhưngkhông thể giải thích các lời giải hoặc không thể sử dụng đoán để kiểm tra lại lời giải, thìđoán không được xem như là một phương án (Malloy và Jones, 1998) Học sinh nêndùng phương án đoán và kiểm tra khi các em có ít ý tưởng để giải quyết vấn đề Giáoviên cần lưu ý cho học sinh sự khác biệt giữa “ đoán mò” và “đoán một cách thôngminh”, hay “đoán một cách có hệ thống” Một ví dụ thường được sử dụng cho chiến lượcnày là việc “chọc” khi chúng ta nướng thịt để xem thử dùng được hay chưa Chúng ta nênđưa một nhiệt kế vào giữa miếng thịt hơn là cắt miếng thịt một cách vội vã Chúng ta có

thể đọc nhiệt độ bên trong miếng thịt để làm sáng tỏ phỏng đoán của ta, giúp chúng ta xácđịnh tình trạng chín của miếng thịt chính xác hơn Chúng ta đang đoán và thử Nếu dựđoán ban đầu của chúng ta rằng miếng thịt đã dùng được tỏ ra không đúng khi chúng takiểm tra bằng nhiệt kế, chúng ta tiếp tục nướng thêm một vài phút nữa cho tới khi chúng

ta sẵn sàng đoán lại Một quy trình tương tự được dùng bởi thợ mộc khi họ không biếtchính xác số đo của một mảnh gỗ hình dạng kì dị để tra vào một nơi nào đó Người thợmộc cũng định xem kích cỡ, hình dạng của mảnh gỗ đó rồi bằng các kiểm tra liên tục sựvừa vặn và thay đổi miếng gỗ để giải quyết vấn đề này

 Xem xét tất cả các khả năng có thể xảy ra: Giả sử rằng bạn được yêu cầu tham

dự một cuộc họp tại một khách sạn cách nhà bạn khoảng 150 km Cách thức để tìm rađược con đường di chuyển từ nhà đến đến khách sạn tốt nhất là liệt kê tất cả nhữngphương án đi lại (tàu lửa, máy bay, ô tô, xe bus, trực thăng …) sau đó loại trừ để tìm raphương án khả thi nhất

 Sắp xếp các dữ liệu: Phương án này thường xuất hiện nhiều trong cuộc sống khi

lên kế hoạch Khi bạn lên kế hoạch cho một hoạt động nào đó, một câu hỏi luôn được đặt

ra là làm cách nào để tiến hành hoạt động một cách hiệu quả nhất Tổ chức, sắp xếp cáchành động cụ thể liên quan theo thời gian, địa điểm, mức độ khó khăn… để hoàn thànhđược nhiệm vụ Chẳng hạn, bạn chuẩn bị đi mua sắm và muốn sử dụng thời gian hợp lýnhất có thể Bạn có thể liệt kê những hàng hóa cần mua và sắp xếp chúng theo một trật tựphù hợp nhất để tránh đám đông và di chuyển nhiều giữa các quầy hàng

 Suy luận logic: Trong các tình huống hàng ngày, chúng ta thường dựa vào suy

luận logic để GQVĐ gặp phải Sức mạnh của luận chứng thường dựa vào tính đúng đắncủa những quy tắc suy luận logic được sử dụng Việc bạn sử dụng các quy tắc suy luậnlogic ảnh hưởng đến sự thành công và thất bại trong các vụ kiện ở toà cũng như sự thăngtiến hay thụt lùi trong công việc

Lưu ý: có thể sử dụng các phương án khác nhau để giải quyết cùng một vấn đề.

Học sinh cần phải phát triển nhiều phương án cụ thể để giải quyết các vấn đề, chẳnghạn như sử dụng mô hình, tìm kiếm công thức, hoặc thử với một số giá trị hoặc trườnghợp đặc biệt Những phương án cụ thể này cần đến sự quan tâm của việc dạy học nếu họcsinh cần phải học Tuy nhiên, sự bộc lộ của các phương án cụ thể trong giải quyết vấn đềphải được đưa vào suốt chương trình dạy học Học sinh cũng cần phải học để theo dõi,điều chỉnh và áp dụng những phương án trong lúc các em đang sử dụng để giải quyết mộtvấn đề

Giáo viên đóng một vai trò quan trọng trong việc phát triển những phẩm chất về giảiquyết vấn đề của học sinh Giáo viên phải chọn được những vấn đề lôi cuốn được họcsinh Phải tạo ra được một môi trường nhằm động viên học sinh khám phá, dám mạohiểm, chia sẻ thất bại và thành công và luôn đặt câu hỏi với nhau Trong những môitrường có tính động viên như vậy, học sinh phát triển được tính tự tin các em cần phải có

để khám phá các vấn đề và khả năng đưa ra những điều chỉnh trong phương án cụ thể vềgiải quyết vấn đề của mình

Bước 3: Sử dụng phương án để giải quyết vấn đề

Sau khi khám phá các thông tin liên quan đến vấn đề và quyết định kế hoạch giảiquyết vấn đề.Có thể xem bước thứ ba là bước “giải quyết vấn đề” Hy vọng rằng ở bướcnày, vấn đề sẽ được giải quyết và thu được một câu trả lời Sau khi vạch ra cho mình một

kế hoạch, nên thử thực hiện và xem xét có thể có những câu trả lời nào Bạn có thể nhìnthấy một cách rõ ràng rằng bước này là chính xác? Nhưng bạn có thể chứng minh bướcnày là chính xác hay không?

Bước 4: Nhìn lại

Sau khi đã thử thực hiện kế hoạch và tìm thấy một câu trả lời, quay trở lại vấn đề này

và xem xét liệu vấn đề đã được giải quyết trọn vẹn chưa Đôi khi ta dễ dàng bỏ qua mộtđiều gì đó Nếu phát hiện ra sai lầm nào thì phải kiểm tra lại phương án và bước giảiquyết vấn đề, cố gắng giải quyết vấn đề lại một lần nữa

Sau khi có câu trả lời, đa số học sinh sẽ dừng lại.Nhưng các em nên có thói quen nhìnlại những gì đã làm.Trước hết là kiểm tra các bước lập luận, trình bày và đảm bảo rằng

mình đã không phạm bất kỳ lỗi nào.Thứ hai, để đảm bảo rằng câu trả lời học sinh nhậnđược là câu trả lời cho vấn đề được yêu cầu giải quyết chứ không phải là câu trả lời chovấn đề mà các em nghĩ là được yêu cầu giải quyết.Thứ ba, khi nhìn lại và suy nghĩ thêmmột chút về vấn đề, học sinh thường có thể nhìn thấy một cách khác để giải quyết vấn đề.Giải pháp mới này có thể là một giải pháp hợp lý hơn so với cách làm cũ và có thể cungcấp cái nhìn sâu sắc hơn vào những gì đang thực sự xảy ra.Cuối cùng, khi nhìn lại cáchgiải của mình, những học sinh giỏi có thể tổng quát hoặc mở rộng vấn đề.

Cần có sự phân biệt giữa “tổng quát vấn đề” và “mở rộng vấn đề” Tổng quát vấn đề

có nghĩa là tạo ra một vấn đề mới mà vấn đề ban đầu là một trường hợp đặc biệt Mởrộng một vấn đề là một ý tưởng liên quan Chẳng hạn, hai bạn A và B lần lượt đưa ngựa

về phía đích, mỗi lần đến lượt phải đi ít nhất 1 ô, nhiều nhất 2 ô Người đưa ngựa về đíchtrước là người thắng cuộc Các em hãy tìm cách chơi để thắng cuộc Ví dụ: Điểm đíchvới số 20:

2 → 5 → 8 → 11 → 14 → 17 → 20

Có thể mở rộng vấn đề theo cách khác như sau: thay điều kiện 2 ô bởi đi 3 ô hoặc 4 ôthì ta sẽ có một cách đi mới để đến đích Khi đó, bài toán đầu tiên không phải là mộttrường hợp đặc biệt của bài toán mới này, do đó, mặc dù là một vấn đề liên quan chặt chẽvới bài toán gốc nhưng bài toán mới này không phải là một sự tổng quát mà chỉ là một sự

mở rộng Ở thời của Pythagoras, một tam giác vuông được biết đến trong tam giác có độdài ba cạnh là 3, 4, 5.Tương tự như vậy, người ta tìm được các tam giác vuông khác có

độ dài 3 cạnh là 5, 12, 13 và 7, 24, 25 Pythagoras đã tổng quát để hiển thị mối liên hệ

giữa ba cạnh a, b, c của một tam giác vuông là b2 + a2 = c2 Điều này dẫn chúng ta đếnmột khía cạnh của giải quyết vấn đề, đó là sự biện minh (hoặc chứng minh).Học sinhthường có thể đoán được câu trả lời cho một vấn đề nhưng các em vẫn chưa hoàn thànhđược cách giải cho đến khi có thể tự chứng minh được câu trả lời của mình.Bạn có thểkiểm tra kết quả?Bạn có thể kiểm tra các bước lập luận?Bạn có thể rút ra kết quả kháckhông?

Mặc dù đã có bốn bước của giải quyết vấn đề theo thứ tự trên, nhưng đối với các vấn

đề thực sự khó và phức tạp, cách giải quyết không chỉ đơn giản là thực hiện đủ bốn bước

theo thứ tự trên Hình 2.1 thể hiện quá trình giải quyết vấn đề trong thực tế, có thể có sự

di chuyển hợp lý giữa các bước để có cách giải quyết phù hợp và hiệu quả

Sơ đồ 1: Giải quyết vấn đề.

Có thể xem quá trình giải quyết vấn đề như là một phương pháp khoa học trong hình2.2

Sơ đồ 2: giải quyết vấn đề

Trên đây, chúng tôi đã trình bày các phương án giải quyết vấn đề thường được sửdụng trong toán học nói chung Các phương án giải quyết vấn đề cụ thể đối với các bàitoán mô hình hóa toán học sẽ được trình bày cụ thể ở chương tiếp theo

2.3 Chuyển đổi giữa thực tế và toán học

Chúng tôi quan tâm đến những quy trình lập kế hoạch có tầm quan trọng đặc biệtđối với việc hoàn thành nhiệm vụ giải quyết vấn đề, để mô tả mối tương quan đó trong

Hiểu vấn đề

Phương án Nhìn lại

xây dựng mô hình và quy trình giải quyết vấn đề Do đó, những yếu tố của quá trình lập

kế hoạch được mô tả và phân bổ vào các giai đoạn của quá trình tạo nên mô hình

Vì vậy cần phải có kế hoạch chuyển đổi giữa thực tế và toán học Có ba loại chuyểnđổi:

 Loại thứ nhất chuyển đổi từ thực tế đến toán học

 Loại thứ hai là sự chuyển đổi từ toán học đến thực tế

 Loại thứ ba là một quá trình chuyển đổi nhiều chiều giữa thực tế và toán học.Một phần mô hình trong thực tế hoặc toán học, nếu đơn giản hóa và giả định đượcthực hiện trong giai đoạn lập kế hoạch thường nằm trong lĩnh vực thực tế hoặc toán họctương ứng Các bước lập kế hoạch có thể là nhận biết với việc tạo ra mô hình thực sựhoặc mô hình toán học tương ứng, trong việc xây dựng mô hình mang tính chu trình.Theo quan sát ban đầu, các yếu tố đã đề cập ở trên là thích hợp cho các đặc tính của cácloại kế hoạch sau:

Loại I: Sau định hướng để hướng dẫn học sinh tiếp cận giai đoạn cho lập kế hoạch vàthảo luận về các đơn giản hóa tình huống thực tế theo chiều sâu rất mất thời gian Do đórất dễ thành công

Loại II: Định hướng giai đoạn để các học sinh được tự do tư duy và thời gian rấtngắn Trong các cuộc thảo luận của các em chủ yếu là về tình huống thực tế Các mô hìnhhóa toán học được sử dụng nhưng không được thảo luận

Loại III: Học sinh thường xuyên cần giai đoạn định hướng để xem các vấn đề trongbối cảnh thực tế

Từ một tình huống thực tế dẫn đến một mô hình hóa toán học, Müller và Wittmann(1984) trình bày một chu trình theo mô hình hóa Đặc biệt là mô tả rõ ràng mô hình hóahiển thị một bước từ thực tế đến các mô hình toán học được trình bày bởi Schupp(1988) Mô hình này chia tách toán học và thực tế theo cùng một chiều hướng Ngoài ra,phân biệt việc thực hiện giữa các vấn đề và giải pháp theo một chiều hướng thứ hai.Các

mô hình của Fischer và Malle (1985, tr 101) mô tả chi tiết các bước từ tình huốngthực tế

để mô hình hóa toán học Đặc biệt là quá trình thu thập dữ liệu quan tâm cho các vấn đềđược sử dụng trong mô hình

2.3 Mô hình hóa toán học.

2.3.1 Khái niệm mô hình hóa toán học

Người ta thường nghĩ toán học ở nhà trường ít được sử dụng trong cuộc sống hàng ngày Mô hình hóa toán học sẽ là cầu nối các suy luận trong lớp học và suy luận trongnhững tình huống thực tế Luận văn trình bày một số lí do cần thiết của mô hình hóatrong dạy học toán, chỉ ra các yếu tố cơ bản của chu trình mô hình hóa, quá trình mô hìnhhóa và minh họa cho các yếu tố đó; giới thiệu tóm tắt lịch sử và các tiếp cận lý thuyết về

mô hình hóa trong giáo dục toán để thấy được sự quan tâm trong lĩnh vực này

Mô hình hóa: Điều này liên quan đến việc chuyển thể “thực tế” thành các cấu trúctoán, giải thích các mô hình toán theo nghĩa “thực tế”, làm việc với một mô hình toán,làm cho mô hình thỏa đáng, phản ánh, phân tích và đưa ra sự phê phán cũng như các kếtquả của nó, giao tiếp về mô hình và các kết quả của nó (bao gồm hạn chế của các kết quảnhư vậy), giám sát và điều khiển quá trình mô hình hóa

Mô hình hóa là phương pháp xây dựng và cải tiến một mô hình toán học nhằm diễnđạt và mô tả các bài toán thực tiễn Qua các nghiên cứu thực nghiệm, các nhà giáo dụctoán học đã nhận ra được tầm quan trọng của phương pháp MHH trong quá trình dạy họctoán ở trường phổ thông (Smith & Wood, 2001; Vasco, 1999; Martinez-Luacles, 2005;Carrejo & Marshall, 2007) Phương pháp này giúp HS làm quen với việc sử dụng các loạibiểu diễn dữ liệu khác nhau; giải quyết các bài toán thực tiễn bằng cách lựa chọn và sửdụng các công cụ, phương pháp toán học phù hợp Qua đó, giúp HS hiểu sâu và nắm chắccác kiến thức toán học Lesh & Zawojewski (2007) khẳng định rằng MHH toán học giúp

HS phát triển sự thông hiểu các khái niệm và quá trình toán học Quá trình MHH giúp HS

hệ thống hóa các khái niệm, ý tưởng toán học; nắm được cách thức xây dựng mối quan

hệ giữa các ý tưởng đó Những mô hình này được thể hiện rõ ràng hơn với sự trợ giúpcủa CNTT như: biểu diễn đồ thị, biểu đồ; tìm mối quan hệ; dự đoán; toán học hóa, môphỏng,…(Lesh, Yoon & Zawojewski, 2007) Hơn nữa, thông qua MHH, HS đượckhuyến khích tham gia các hoạt động “hệ thống các khái niệm toán học” giúp các em có

được cái nhìn hệ thống hơn về lập luận và chứng minh toán học dưới các dạng ngôn ngữnói, ký hiệu, đồ thị, sơ đồ, công thức, phương trình (Lesh & Doerr, 2003).

Qua các nghiên cứu, các nhà toán học cũng như các nhà giáo dục toán học đã nhận rađược tầm quan trọng của MHH trong quá trình dạy học toán ở trường phổ thông (Smith

& Wood, 2001; Vasco, 1999; Martinez-Luacles, 2005; Carrejo & Marshall, 2007).Phương pháp MHH trong dạy học giúp HS phát triển nhiều kĩ năng toán học, đồng thời

nó cũng đòi hỏi nhiều kĩ năng, kiến thức và kinh nghiệm từ GV hơn là phương pháp dạyhọc GQVĐ (Martinez-Luacles, 2005)

GQVĐ cũng là một trong những kĩ năng quan trọng của cuộc sống Nó liên quan đếncác hoạt động như phân tích, tổng hợp, thông hiểu, lập luận, dự đoán, đánh giá và đốichiếu Đó là mục tiêu tổng quát và một thành tố cơ bản trong chương trình môn Toán ởnhiều nước trên thế giới Quá trình GQVĐ thường được xác định tương ứng với từng đốitượng HS và tập trung vào quy trình thực hiện (Zawojewski, 2007) Trong khi đó, quátrình MHH yêu cầu hiểu các dữ liệu ban đầu, hợp tác nhóm để thiết kế mô hình, nắmđược những hạn chế và cải tiến mô hình Cả hai quá trình MHH và GQVĐ đều hỗ trợ HSgiải toán, phát triển tư duy và điều khiển quá trình nhận thức

Những thập kỷ gần đây, sự cần thiết để thúc đẩy mô hình hóa (MHH) toán học trongnhà trường ngày càng được chấp nhận rộng rãi nhằm đáp ứng mục tiêu tăng cường giáodục toán theo hướng thực tế được đặt ra bởi nhiều quan điểm giáo dục từ giữa thế kỉ XXđến nay

Mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đềtoán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lờigiải trong bối cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhậnđược(An, 2012)

Mô hình hóa toán học là một hoạt động phức hợp, đòi hỏi học sinh phải có nhiềunăng lực khác nhau trong các lĩnh vực toán học khác nhau cũng như có kiến thức liênquan đến các tình huống thực tế được xem xét Thông qua mô hình hóa, học sinh họccách sử dụng các biểu diễn khác nhau, lựa chọn và áp dụng các phương pháp, công cụtoán học phù hợp trong việc giải quyết vấn đề (An, 2012)

Việc đưa mô hình hóa toán học vào dạy và học toán đã được nhiều sự ủng hộ vìnhững lí do sau:

 Áp dụng các phương pháp, công cụ toán học phù hợp trong việc giải quyết vấn đềliên quan đến các tình huống thực tế được xem xét

 Mô hình hóa toán học cho phép học sinh kết nối toán học nhà trường với thế giớithực, chỉ ra khả năng ứng dụng của các ý tưởng toán Mô hình hóa cung cấp cho học sinhmột bức tranh rộng hơn, phong phú hơn về toán học, giúp cho việc học toán trở nên ýnghĩa hơn, giúp học sinh thấy được mối liên hệ giữa toán học với thực tế và ngược lại

 Mô hình hóa hỗ trợ việc học các khái niệm và quá trình toán học của học sinh nhưtạo động cơ, giúp hình thành và hiểu khái niệm , đặc biệt củng cố việc hiểu toán khi ápdụng vào những tình huống mới

 Mô hình hóa giúp trang bị cho học sinh các năng lực để có thể sử dụng toán giảiquyết những tình huống của cuộc sống

Các nhiệm vụ mô hình hóa toán học thường yêu cầu học sinh phát triển một mô hìnhcủa mình và khám phá để đáp ứng những yêu cầu nào đó, cung cấp cơ hội để học sinhphát triển kĩ năng giải quyết vấn đề và khảo sát toán Đối với nhiệm vụ mô hình hóa, mộtcông cụ chiến lược cụ thể là cần thiết, đó là chu trình mô hình hóa toán học

Để dễ hình dung, chúng ta có thể xem khảo sát toán là mở rộng của giải quyết vấn đề.Trong khảo sát toán, học sinh có cơ hội để đặt vấn đề rồi sau đó giải quyết vấn đề đã đặt

ra Trong các bài toán kết thúc mở được sử dụng trong khảo sát toán, các bài toán có bốicảnh thực tế cuộc sống thường gần gũi và lôi cuốn học sinh tham gia Từ đó các nhà giáodục có xu hướng dạy học toán theo hướng giải quyết các vấn đề thực tế thông qua quátrình mô hình hóa toán học

Có thể thấy MHH toán học hỗ trợ HS phát triển kĩ năng đưa ra phương án GQVĐthực tế Vận dụng MHH toán học vào dạy học toán ở trường trung học phổ thông là đápứng định hướng đổi mới nội dung, chương trình và phương pháp dạy học toán theohướng gắn liền với thực tiễn hiện nay

2.3.2 Một số khái niệm liên quan đến mô hình hóa toán học

Các nhà giáo dục toán quan niệm thế giới mà chúng ta đang sống được tách thành haiphần, thế giới thực và thế giới toán học.

- Thế giới toán học: là phần thế giới bao gồm các đối tượng, kí hiệu, quan hệ, cấu

trúc toán học (Blum và Niss, 1991)

- Thế giới thực: là thuật ngữ được dùng để mô tả phần thế giới bên ngoài thế giới

toán học, đó có thể là một môn học, ngành khoa học khác, lĩnh vực thực hành, phạm viliên quan đến cuộc sống cá nhân hoặc xã hội (Blum và Niss, 1991)

Khi đó, tình huống thực tế là tình huống được đặt ra trong thế giới thực với các dữ

liệu thực Tuy nhiên, tiếp cận từ khía cạnh MHHTH, nội dung của hoạt động dạy họctoán ở nhà trường chỉ tập trung xét các tình huống thực tế mà có thể sử dụng toán học đểphân tích và mô tả

Bên cạnh việc phân biệt hai lĩnh vực thế giới thực và thế giới toán học, các nhànghiên cứu giáo dục toán cũng đưa ra một số thuật ngữ khi tiếp cận các vấn đề liên quanđến MHHTH:

- Mô hình: Là một mẫu, một đại diện, một minh họa được thiết kế để mô tả cấu trúc,

cách vận hành của một sự vật, hiện tượng hay một khái niệm Về mặt trực giác, người

ta thường nghĩ đến mô hình theo ý nghĩa vật lý (Swetz và Hartzler, 1991)

- Mô hình vật lý: Là một bản sao thường khác về kích cỡ nhưng có cùng tính chất với

đối tượng gốc mà mô hình đó biểu diễn (Swetz và Hartzler, 1991), ví dụ một mô hìnhthuyền buồm cũng có thể nổi và được đẩy đi bởi gió như thuyền thật Ngoài ra, các môhình lý thuyết cũng được xây dựng

- Mô hình lý thuyết: Là tập hợp các quy tắc biểu diễn một sự vật, hiện tượng trong

đầu của người quan sát Khi các quy tắc đó là quy tắc toán học thì một mô hình toán được

tạo ra Hay nói cách khác, mô hình toán học là một cấu trúc toán học (đồ thị, bảng biểu,

phương trình, hệ phương trình, biểu thức đại số, hàm số…) gồm các kí hiệu và các quan

hệ toán học biểu diễn, mô tả các đặc điểm của một tình huống, một hiện tượng hay mộtđối tượng thực được nghiên cứu (Swetz và Hartzler, 1991) Ví dụ, trong xây dựng, thay

vì đo độ võng của dầm sau khi thi công, một mô hình lý thuyết cho phép tính độ võngdưới một tải trọng là cần thiết giúp tiết kiệm nhiều thời gian và công sức Thông qua thử

nghiệm, quan sát, tính toán, mô hình được xác định bởi công thức tính độ võng là f = PL3

/ 48EJ, với P là tải trọng, L là chiều dài dầm, E là môđun đàn hồi và J là mômen quán

tính Dựa vào mô hình trên, người kĩ sư có thể tính toán và điều chỉnh các thông số ngay

từ khi thiết kế để đảm bảo độ võng cho phép

- Mô hình lí tưởng của một tình huống thực tế: Là tình huống có bối cảnh thực tế sau

khi đã được đơn giản hóa, cụ thể hóa và được xây dựng lại theo mục đích tiếp cận và sựquan tâm của người GQVĐ nhưng vẫn phản ánh một phần nào đó bản chất của tìnhhuống thực tế ban đầu (Blum và Niss, 1991)

2.3.3 Quy trình mô hình hóa toán học

Có nhiều cách tiếp cận về quá trình MHHTH (Blum & Lei β , 2006; Pollak, 1979,Stillman và nhóm tác giả, 2007) Tùy thuộc vào cách tiếp cận, mức độ phức tạp của tìnhhuống thực tế được xem xét hoặc mục đích nghiên cứu mà các nhà nghiên cứu giáo dục

sử dụng các sơ đồ MHHTH khác nhau nhưng những sơ đồ đó đều nhằm minh họa cácbước chính trong một quá trình lặp, bắt đầu với một tình huống thực tế và kết thúc vớiviệc đưa ra lời giải hoặc lặp lại quá trình để đạt được kết quả tốt hơn

a Sơ đồ của Pollak

Sơ đồ quá trình MHHTH do Pollak (1979) đề xuất là một trong những sơ đồ đầutiên biểu diễn sự chuyển đổi một cách giản đơn giữa toán và thực tế theo cả hai chiều khithực hiện MHHTH (xem An, 2014):

Sơ đồ 3 Quá trình mô hình hóa toán học của Pollak (1979)

Thế giới

toán học Thế giới thực

Từ một tình huống trong thực tế, người học cần “phiên dịch” tình huống đó sangngôn ngữ toán học hay nói cách khác là tạo ra một mô hình toán, tiếp tục giải toán trong

mô hình đó và lí giải kết quả đối với tình huống ban đầu Chiều của các mũi tên biểu diễnmột vòng lặp, cho phép đi quanh sơ đồ giữa thế giới thực và thế giới toán học nhiều lần.Qua thời gian, các nhà nghiên cứu đã phát triển những sơ đồ khác để cung cấp nhữnghình ảnh chi tiết hơn về quá trình MHHTH Phần lớn sự phát triển này tập trung vào việckhám phá các bước sẽ được tiến hành trong quá trình MHHTH và một điển hình là sơ đồcủa Blum và Leiß (2006)

b S đ c a Blum và Leiß: ơ đồ của Blum và Leiß: ồ của Blum và Leiß: ủa Blum và Leiß:

Blum và Leiß (2006) đã sử dụng sơ đồ gồm 7 bước để mô tả quá trình MHHTH Điểmnổi bật trong sơ đồ này là sự tách biệt giữa mô hình tình huống của tình huống thực tế và

mô hình lí tưởng vì hai nhà nghiên cứu này cho rằng đây là bước quan trọng của quá trìnhMHHTH mà mỗi HS ít nhiều đều phải trải qua

Sơ đồ 4 Quá trình mô hình hóa toán học của Blum và Leiß (2006)

Bước 1: Hiểu tình huống được cho, xây dựng một mô hình cho tình huống đó;

Bước 2: Đơn giản hóa tình huống và đưa các biến phù hợp vào để được mô hình thựccủa tình huống;

Bước 3: Chuyển từ mô hình thực sang mô hình toán;

Bước 4: Làm việc trong môi trường toán học để đạt được kết quả toán;

Bước 5: Thể hiện kết quả trong ngữ cảnh thực tế;

Bước 6: Xem xét tính phù hợp của kết quả hay phải thực hiện chu trình lần 2;

Bước 7: Trình bày cách giải quyết

c Sơ đồ của Stillman, Galbraith, Brown và Edwards

Ngược lại với hai sơ đồ trên, sơ đồ này không tách biệt giữa thế giới thực và thếgiới toán học Để biểu diễn sự phức tạp của sơ đồ, bên cạnh mô tả quá trình MHHTH,Stillman và các cộng sự (2007) đã nhấn mạnh đến tính chất phản ánh của quá trình thôngqua hai chiều mũi tên tại các điểm chuyển tiếp giữa mỗi giai đoạn, đồng thời chú ý đếncác hoạt động nhận thức của HS xảy ra trong suốt quá trình

d Sơ đồ theo PISA (2006) gồm 5 bước :

Bước 1: Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tế;

Bước 2: Nhận ra các kiến thức toán phù hợp với vấn đề, tổ chức lại vấn đề theo cáckhái niệm toán học;

Bước 3: Không ngừng cắt tỉa các yếu tố thực tế để chuyển vấn đề thành một bài toán

mà thể hiện trung thực cho tình huống;

Bước 4: Giải quyết bài toán;

Bước 5: Làm cho lời giải của bài toán có ý nghĩa đối với tình huống thực tế, xác địnhnhững hạn chế của lời giải

Lời giải thực

Vấn đề thực tế

Vấn đề toán học

Sơ đồ 5 Chu trình MHH theo PISA

Các chu trình MHH toán học giớithiệu trên đây đều gồm 4 yếu tố chính: toán họchóa, làm việc với toán, chuyển đổi và phản ánh Các yếu tố này mô tả những hoạt động

mà học sinh sẽ thực hiện trong suốt quá trình MHH

Quá trình MHH bắt đầu với 1 vấn đề thực tế - một vấn đề xuất phát từ thế giới thựcvới các dữ liệu thực

Quá trình MHH yêu cầu hiểu các dữ liệu ban đầu, hợp tác nhóm để thiết kế mô hình,nắm được những hạn chế và cải tiến mô hình

2.3.4 Quá trình mô hình hóa toán học được mô tả qua 4 bước.

*Bước 1 (Toán học hóa) : là quá trình chuyển đổi từ vấn đề thực sang vấn đề toánbằng cách thiết lập một mô hình toán học Để làm được điều này, học sinh đòi hỏi phảihiểu vấn đề, nghiên cứu thông tin được cho, loại bỏ các thông tin không cần thiết, đưa racác giả thuyết phù hợp và đơn giản hóa vấn đề để có thể giải quyết Học sinh cần nhận racác khái niệm toán học, các biến và biểu diễn vấn đề dưới dạng toán học, đưa ra một môhình toán như hình vẽ, đồ thị, hàm số hoặc hệ các phương trình

*Bước 2 (Giải toán): ở bước này đòi hỏi học sinh lựa chọn, sử dụng phương pháp vàcông cụ phù hợp để giải quyết vấn đề Sản phẩm cuối cùng ở bước này là một kết quảtoán học

*Bước 3 (Chuyển đổi): xem xét kết quả toán học trong ngữ cảnh của tình huống thực

tế ban đầu

*Bước 4 (Phản ánh): xem lại các giả thuyết và những hạn chế của mô hình, cácphương pháp cũng như công cụ được sử dụng trong giải quyết vấn đề Điều này có thểdẫn đến một sự cải tiến trong mô hình cũng như lời giải hoặc tạo ra một chu trình mớinếu cần thiết