Tài liệu bồi dưỡng học sinh lớp 9 môn toán sưu tầm (12)

SCH THAM KHO -*** - TI LIU CHUYấN ễN THI LP 10 Lnh vc: Khoa hc t nhiờn / Mụn: Toỏn Tỏc gi: Tng hp su tm Chc v: Giỏo viờn Nm hc : 2015 - 2016 Ti liu chuyờn toỏn lp ụn thi vo lp 10 CC NI DUNG ễN TP TON LP VN I: RT GN BIU THC Cõu 1: Rỳt gn cỏc biu thc sau: 13 + + a) A= 2+ 3 x yy x xy + b) B= vi x > ; y > ; x y xy x y c)C= ( 42 d) D= + ) 63 Cõu 2: Cho biu thc : x2 x2 x x +1 1) Tỡm iu kin ca x biu thc A cú ngha 2) Rỳt gn biu thc A 3) Gii phng trỡnh theo x A = -2 a a a a +1 a + Cõu 3: Cho biu thc: A = ữ ữ: a a a+ a a2 A=( + )2 a) Vi nhng giỏ tr no ca a thỡ A xỏc nh b) Rỳt gn biu thc A c) Vi nhng giỏ tr nguyờn no ca a thỡ A cú giỏ tr nguyờn Cõu 4: a) Rỳt gn biu thc: x +1 m2 n2 + A = 45 20 ; B = ( vi x 0; x ) +n; C = ữ: x +1 x m+n x b) Chng minh rng C < a : + (a>0; a ) Cõu 5: Cho biu thc Q = a a + a a a + a) Rỳt gn Q b) Tớnh giỏ tr ca Q a = + 2 c) Tỡm cỏc giỏ tr ca Q cho Q < x 1 x x + Cõu 6: Cho biu thc P = ữ ữ ữ: ữ x x +1 9x x +1 a) Tỡm iu kin ca x P cú ngha b) Rỳt gn P c) Tỡm cỏc giỏ tr ca x P = x x 3x + x + Cõu 7: Cho biu thc P = ữ ữ: x + ữ ữ x x + x a) Tỡm iu kin ca x P cú ngha Ti liu chuyờn toỏn lp ụn thi vo lp 10 b) Rỳt gn P c) Tớm cỏc giỏ tr nguyờn ca x P cú giỏ tr nguyờn x 2 : C\õu 8: Cho biu thc P = vi x 0; x ữ ữ x x ữ x + x x x + x a) Rỳt gn P b) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x P cú giỏ tr nguyờn c) Tỡm GTNN ca P v giỏ tr tng ng ca x x x +2 : Cõu 9: Cho biu thc P = ữ ữ vi x 0; x ữ x x + x +1 x 2x +1 a) Rỳt gn P b) Tỡm cỏc giỏ tr ca x P > c) Tớnh giỏ tr ca P x = - d) Tỡm GTLN ca P v giỏ tr tng ng ca x VN II: GII PHNG TRèNH H PHNG TRèNH Cõu 1: Gii phng trỡnh v h phng trỡnh: a) x = 2y x y = x x +1 + 1= b) Cõu 2: Gii cỏc phng trỡnh sau : + =2 a) b) x4 + 3x2 = x2 x Cõu 3: Gii pt v h phng trỡnh sau: 3x + 2y = x + y = a) b) 15 x + y = x y = c) x x + = c) x2 x + = Cõu 4: Cho phng trỡnh bc hai: x + x = v gi hai nghim ca phng trỡnh l x1 v x2 Khụng gii phng trỡnh, tớnh giỏ tr ca cỏc biu thc sau: 1 2 a) + b) x1 + x2 x1 x2 1 c) + d) x1 + x2 x1 x2 Cõu 4: Gii phng trỡnh, h phng trỡnh, bt phng trỡnh sau: a) - 3x -9 b) x +1 = x - c)2(x + 1) = x 1 x y =1 d) (2 x )(1 + x ) = x + e) + = x y Cõu 5: Cho phng trỡnh bc hai n s x: x - 2(m + 1)x + m - = (1) a) Gii phng trỡnh (1) m = -5 b) Chng minh phng trỡnh (1) luụn cú hai nghim phõn bit x 1; x2 vi mi giỏ tr ca m c) Tỡm GTNN ca biu thc M = x1 x2 Cõu 6: Cho phng trỡnh bc hai n s x: x2 - 2mx - m2 - = (1) Ti liu chuyờn toỏn lp ụn thi vo lp 10 a) Chng minh phng trỡnh (1) luụn luụn cú hai nghim phõn bit vi mi giỏ tr ca m b) Hóy tỡm mt h thc liờn h gia hai nghim x1, x2 ca phng trỡnh m khụng ph thuc vo m x1 x + = c) Tỡm m tha h thc x x1 2 Cõu 7: Cho phng trỡnh bc hai n s x: x - 2(m + 1)x + m - = (1) a) Chng minh phng trỡnh (1) luụn luụn cú hai nghim phõn bit vi mi giỏ tr ca m b) Gi x1, x2 l hai nghim phõn bit ca phng trỡnh (1) Tỡm m 3( x1 + x2 ) = 5x1.x2 Cõu 8: Cho phng trỡnh x2 - 2(m - 1)x + 2m - = a) Chng minh rng phng trỡnh luụn cú hai nghim phõn bit vi mi giỏ tr ca m b) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim trỏi du Khi ú hai nghim mang du gỡ? c) Tỡm GTLN ca biu thc A = 4x1x2 - x12 - x22 Cõu 9: Cho Phng trỡnh bc hai n s x: x2 - 4x - m2 - = (1) a) Chng minh phng trỡnh (1) luụn cú nghim vi mi giỏ tr ca m b) Tớnh giỏ tr biu thc A = x12 + x22 bit 2x1 + 3x2 = 13, (x1, x2 l hai nghim ca phng trỡnh (1)) Cõu 10: Cho phng trỡnh bc hai n s x: x2 - (m - 1)x - m2 + m - = (1) a) Chng minh phng trỡnh (1) luụn cú hai nghim phõn bit vi mi giỏ tr ca m b) Tỡm nhng giỏ tr ca m phng trỡnh (1) cú hai nghim trỏi du c) Gi x1; x2 l hai nghim ca phng trỡnh (1) Tỡm m x13 + x23 > Cõu 11: Cho phng trỡnh: x2 - mx + m - = (m l tham s) a) Chng t phng trỡnh luụn cú hai nghim x 1, x2 vi mi giỏ tr ca m Tớnh nghim kộp (nu cú) ca phng trỡnh b) Tỡm m cho phng trỡnh cú nghim ny gp hai ln nghim c) t A = x12 + x22 - 6x1x2 Tỡm m A = Tỡm giỏ tr nh nht ca A Cõu 12: Cho phng trỡnh: x2 2(2m + 1)x + 2m = a) Gii phng trỡnh m = v chng t tớch hai nghim ca phng trỡnh luụn nh hn b) Cú giỏ tr no ca m phng trỡnh cú nghim kộp khụng? c) Gi x1, x2 l hai nghim ca phng trỡnh, chng minh rng biu thc: M = x1(1 x2) + x2(1 x1) l mt hng s Cõu 13: Cho phng trỡnh x2 - (m - 1)x - m2 + m - = a) Chng minh rng vi mi giỏ tr ca m phng trỡnh luụn cú hai nghim trỏi du b) Tỡm giỏ tr nh nht ca tng x12 + x22, ú x1, x2 l hai nghim ca phng trỡnh c) Tỡm m x1 = 2x2 VN III: HM S V TH Cõu 1: a) V th (P): y = -2x2 b) Ly im A, B, C trờn (P), A cú honh l 2, B cú tung l 8, C cú honh l Tớnh din tớch tam giỏc ABC Em cú nhn xột gỡ v cnh AC ca tam giỏc ABC Cõu 2: a) V th hm s : y = -2x2 b) Vit phng trỡnh ng thng qua im A(1; 4) v B(-2; 1) Cõu 3: Cho hm s y = x2 v y = x + a) V th ca cỏc hm s ny trờn cựng mt mt phng ta Oxy b) Tỡm ta cỏc giao im A,B ca th hai hm s trờn bng phộp tớnh c) Tớnh din tớch tam giỏc OAB Ti liu chuyờn toỏn lp ụn thi vo lp 10 Cõu 4: Trong mt phng ta Oxy, cho ng thng (d): y = ( k 1) x + (k l tham s) v parabol (P): y = x a) Khi k = , hy tỡm to giao im ca ng thng (d) v parabol (P); b) Chng minh rng vi bt k giỏ tr no ca k thỡ ng thng (d) luụn ct parabol (P) ti hai im phõn bit; c) Gi y 1; y2 l tung cỏc giao im ca ng thng (d) v parabol (P) Tỡm k cho: y1 + y = y1 y Cõu 5: Cho hm s : y = x 1) Nờu xỏc nh, chiu bin thiờn v v thi ca hm s 2) Lp phng trỡnh ng thng i qua im (2 , -6) cú h s gỳc a v tip xỳc vi th hm s trờn x2 Cõu 6: Cho hm s: y = v y = - x a) V th hai hm s trờn cựng mt h trc to b) Vit phng trỡnh cỏc ng thng song song vi ng thng y = - x v ct x2 th hm s y = ti im cú tung l Cõu 7: Cho ng thng (d) cú phng trỡnh: y = 3(2m + 3) 2mx v Parapol (P) cú phng trỡnh y = x2 a) nh m hm s y = 3(2m + 3) 2mx luụn luụn ng bin b) Bin lun theo m s giao im ca (d) v (P) c) Tỡm m (d) ct (P) ti hai im cú honh cựng du Cõu 8: Trong mt phng to cho im A (1; 2) v ng thng (d1): y = 2x +3 a) V (d1) im A cú thuc (d1) khụng? Ti sao? b) Lp phng trỡnh ng thng (d2) i qua im A v song song vi ng (d1) Tớnh khong cỏch gia hai ng thng (d1) v (d2) Cõu 9: Cho cỏc ng thng cú phng trỡnh nh sau: (d1): y = 3x + 1, (d2): y = 2x v (d3): y = (3 m)2 x + m (vi m 3) a) Tỡm ta giao im A ca (d1) v (d2) b) Tỡm cỏc giỏ tr ca m cỏc ng thng (d1), (d2), (d3) ng quy c) Gi B l giao im ca ng thng (d1) vi trc honh, C l giao im ca ng thng (d2) vi trc honh Tớnh on BC VN IV: GII BI TON BNG CCH LP PT V HPT Cõu 1: Hai giỏ sỏch cú 450 cun Nu chuyn t giỏ th nht sang giỏ th hai 50 cun thỡ s sỏch giỏ th hai bng s sỏch giỏ th nht.Tỡm s sỏch lỳc u mi giỏ Cõu 2: Mt on xe ti nhn chuyờn ch 15 tn hng Khi sp hnh thỡ xe phi iu i lm cụng vic khỏc, nờn mi xe cn li phi ch nhiu hn 0,5 tn hng so vi d nh Hi thc t cú bao nhiờu xe tham gia chuyn (bit lng hng mi xe ch nh nhau) Cu 3: Hai vũi nc cựng chy vo cỏi b khụng cú nc gi thỡ y b Nu riờng vũi th nht chy gi, sau ú úng li v m vũi th hai chy tip gi na thỡ c 2/5 b Hi nu chy riờng thỡ mi vũi chy y b bao lõu? Cõu 4: Mt ngi i xe mỏy hnh t Hoi n i Quy Nhn Sau ú 75 phỳt, trờn cựng tuyn ng ú mt ễ tụ hnh t Quy Nhn i Hoi n vi tc ln hn tc ca xe mỏy l 20 km/gi Hai xe gp ti Phự Cỏt Tớnh tc ca mi xe, gi thit rng Quy Nhn cỏch Hoi n 100 km v Quy Nhn cỏch Phự Cỏt 30 km Cõu 5: Mt ễ tụ khỏch v mt ễ tụ ti cựng xut phỏt t a im A i n a im B ng di 180 km tc ca ễ tụ khỏch ln hn ễ tụ ti 10 km/h nờn ễ tụ khỏch n B trc Ti liu chuyờn toỏn lp ụn thi vo lp 10 ễ tụ ti 36 phỳt Tớnh tc ca mi ễ tụ Bit rng quỏ trỡnh i t A n B tc ca mi ễ tụ khụng i Cõu 6: Mt mụ tụ i t thnh ph A n thnh ph B vi tc v thi gian ú d nh Nu mụ tụ tng tc thờm 5km/h th n B sm hn thi gian d nh l 20 phỳt Nu mụ tụ gim tc 5km/h thỡ n B chm hn 24 phỳt so vi thi gian d nh Tớnh di qung ng t thnh ph A n thnh ph B Cõu 7: Mt ca nụ xuụi dũng t bn sụng A n bn sụng B cỏch 24 km ; cựng lỳc ú, cng t A v B mt bố na trụi vi tc dũng nc l km/h Khi n B ca nụ quay li v gp bố na ti a im C cỏch A l km Tớnh tc thc ca ca nụ Cõu 8: Khong cỏch gia hai thnh ph A v B l 180 km Mt ễ tụ i t A n B, ngh 90 phỳt B, ri li t B v A Thi gian lỳc i n lỳc tr v A l 10 gi Bit tc lỳc v kộm tc lỳc i l km/h Tớnh tc lỳc i ca ễ tụ Cõu 9: Cho mt tha rung hỡnh ch nht cú din tớch 100m Tớnh di cỏc cnh ca tha rung Bit rng nu tng chiu rng ca tha rung lờn 2m v gim chiu di ca tha rung i 5m thỡ din tớch ca tha rung tng thờm 5m2 VN V: HèNH HC Cau 1: T mt im A nm ngoi ng trũn (O)v cc tip tuyn AB, AC vi (O) (B, C l cỏc tip im) K dõy CD // AB, tia AD ct (O) ti E (E khỏc D) 1) Chng minh t giỏc ABOC ni tip 2) Chng minh ãACB = ãAOC 3) Chng minh AB2 = AE.AD 4) Tia CE ct AB ti I Chng minh IA = IB Cõu 2: Cho na ng trũn tõm O, ng kớnh BC im A thuc na ng trũn ú Dng hỡnh vuụng ABCD thuc na mt phng b AB, khụng cha nh C Gi F l giao im ca AE v na ng trũn (O) Gi K l giao im ca CFv ED a Chng minh rng im E, B, F, K nm trn mt ng trũn b Tam giỏc BKC l tam giỏc gỡ ? Vỡ ? Cõu 3: Cho ng trũn tõm O bỏn kớnh R, hai im C v D thuc ng trũn, B l trung im ca cung nh CD K ng kớnh BA ; trờn tia i ca tia AB ly im S, ni S vi C ct (O) ti M; MD ct AB ti K; MB ct AC ti H a) Chng minh = , t ú => t giỏc AMHK ni tip b) Chng minh : HK // CD c) Chng minh : OK.OS = R2 Cõu 4: Cho tam giỏc cú ba gúc nhn ABC ni tip ng trũn tõm O H l trc tõm ca tam giỏc D l mt im trờn cung BC khụng cha im A a) Xỏc nh v trớ ca im D t giỏc BHCD l hỡnh bỡnh hnh b) Gi P v Q ln lt l cỏc im i xng ca im D qua cỏc ng thng AB v AC Chng minh rng im P; H; Q thng hng c) Tỡm v trớ ca im D PQ cú di ln nht Cõu5: Cho ng trũn (O) ng kớnh AB = 2R v C l mt im thuc ng trũn (C A ; C B ) Trờn na mt phng b AB cú cha im C, k tia Ax tip xỳc vi ng trũn (O), gi M l im chớnh gia ca cung nh AC Tia BC ct Ax ti Q, tia AM ct BC ti N a) Chng minh cỏc tam giỏc BAN v MCN cõn b) Khi MB = MQ, tớnh BC theo R Cõu 6: Cho VABC cõn ti A vi AB > BC im D di ng trờn cnh AB,(D khụng trựng vi A, B) Gi (O) l ng trũn ngoi tip VBCD Tip tuyn ca (O) ti C v D ct K a) Chng minh t giỏc ADCK ni tip b) T giỏc ABCK l hỡnh gỡ? Vỡ sao? c/ Xỏc nh v tr im D cho t giỏc ABCK l hỡnh bỡnh hnh Cõu: Cho na ng trũn tõm O ng kớnh AB=2R C l trung im ca on AO, ng Ti liu chuyờn toỏn lp ụn thi vo lp 10 thng Cx vuụng gúc vi AB, Cx ct na ng trũn (O) ti I K l mt im bt k nm trờn on CI (K khỏc C; K khỏc I), Tia Ax ct na ng trũn ú cho ti M Tip tuyn vi na ng trũn ti M ct Cx ti N, tia BM ct Cx ti D a) Chng minh bn im A, C, M, D cựng thuc mt ng trũn b) Chng minh tam gic MNK l tam giỏc cõn c) Tớnh din tớch tam giỏc ABD K l trung im ca on thng CI d) Khi K di ng trờn on CI thỡ tõm ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ADK di chuyn trũn ng no? Cõu 8: Cho ng trũn (O) v hai im A, B phõn bit thuc (O) cho ng thng AB khụng i qua tõm O Trờn tia i ca tia AB ly im M khỏc A, t M k hai tip tuyn phõn bit ME, MF vi ng trũn (O) (E, F l cỏc tip im) Gi H l trung im ca dõy cung AB Cỏc im K v I theo th t l giao im ca ng thng EF vi cỏc ng thng OM v OH 1/ Chng minh im M, O, H, E, F cựng nm trờn mt ng trũn 2/ Chng minh: OH.OI = OK OM 3/ Chng minh: IA, IB l cỏc tip im ca ng trũn (O) Cõu 9: Cho tam giỏc ABC cõn ti A, ni tip ng trũn (O) K ng kớnh AD Gi M l trung im ca AC, I l trung im ca OD a) Chng minh: OM // DC b) Chng minh tam giỏc ICM cõn c) BM ct AD ti N Chng minh IC2 = IA.IN Cõu 10: T im P c nh nm ngoi ng trũn (O;R) k hai tip tuyn PA, PB (A, B l hai tip im) v mt cỏt tuyn PMN (M nm gia P v N) vi ng trũn (O) Gi K l trung im ca on thng MN, BK ct ng trũn (O;R) ti F Chng minh rng: a) T giỏc PAOB ni tip c mt ng trũn Xỏc nh bỏn kớnh ng trũn ú b) PB2 = PM.PN c) AF//MN d) Khi ng trũn (O) thay i v i qua im M, N c nh thỡ hai im A, B thuc mt ng trũn MT S B ấ LUYN TP :I 2a + + a3 a . a Bi 1: Cho biu thc P = 3 a a + a + + a a) Rỳt gn P b) Xột du ca biu thc P a Bi 2: Gii bi toỏn bng cỏch lp phng trỡnh Mt ca nụ xuụi t A n B vi tc 30km/h, sau ú li ngc t B v A Thi gian xuụi ớt hn thi gian ngc 1h20 phỳt Tớnh khong cỏch gia hai bn A v B bit rng tc dũng nc l 5km/h v tc riờng ca ca nụ xuụi v ngc l bng Bi 3: Cho tam gớac ABC cõn ti A, 1/6 Bi2: Cho phng trỡnh x2-2(m+2)x+m+1=0 (n x) a) Gii phng trỡnh m = b) Tỡm cỏc GT ca m phng trỡnh cú hai nghim trỏi du c) Gi x1,x2 l hai nghim ca phng trỡnh.Tỡm GTca m : ` x1(1-2x2)+ x2(1-2x1) =m2 Bi 3: Cho tam giỏc ABC(AB>AC ; >900) I, K th t l cỏc trung im ca AB, AC Cỏc ng trũn ng kớnh AB,AC ct ti im th hai D; tia BA ct ng trũn (K) ti im th hai E, tia CA ct ng trũn (I) ti im th hai F a) Chng minh bai im B,C,D thng hng b) Chng minh t giỏc BFEC ni tip c) Chng minh ba ng thng AD, BF, CE ng quy d) Gi H l giao im th hai ca tia DF vi ng trũn ngoi tip tam giỏc AEF Hóy so sỏnh di cỏc on thng DH,DE Bi4: Xột hai phng trỡnh bc hai : ax2+bx+c = 0; cx2 +bx+a = Tỡm h thc gia a,b,c l iu kin cn v hai phng trỡnh trờn cú mt nghim chung nht :III x 2 : Bi 1: Cho biu thc A = x +1 x x x + x x x 1) Rỳt gn A 2) Vi GT no ca x thỡ A t GTNN v tỡm GTNN ú Bi 2: Gii bi toỏn bng cỏch lp phng trỡnh Mt ngi i xe mỏy t A n B cỏch 120km vi tc d nh trc Sau i c quỏng ng AB ngi ú tng tc lờn 10km/h trờn quóng ng cũn li Tỡm tc d nh v thi gian ln bỏnh trờn ng, bit rng ngi ú n B sm hn d nh 24 phỳt Bi3:Cho ng trũn (O) bỏn kớnh R v mt dõy BC c nh Gi A l im chớnh gia ca cung nh BC Ly im M trờn cung nh AC, k tia Bx vuụng gúc vi tia MA I v ct tia CM ti D 1) Chng minh AMD=ABC v MA l tia phõn giỏc ca gúc BMD 2) Chng minh A l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc BCD v gúc BDC cú ln khụng ph thuc vo v trớ im M 3) Tia DA ct tia BC ti E v ct ng trũn (O) ti im th hai F, chng minh AB l tip tuyn ca ng trũn ngoai tip tam giỏc BEF 4) Chng minh tớch P=AE.AF khụng i M di ng Tớnh P theo bỏn kớnh R v ABC = Bi4: Cho hai bt phng trỡnh : 3mx -2m>x+1 (1) m-2x0 c) Tỡm cỏc s m cú cỏc GT ca x tho P x = m x Bi 2(3 im): Gii bi toỏn bng cỏch lp phng trỡnh Mt xe ti v mt xe cựng hnh t A i n B Xe ti i vi tc 40km/h, xe i vi tc 60km/h Saukhi mi xe i c na ng thỡ xe ngh 40 phỳt ri chy tip n B; xe ti trờn quóng ng cũn li ó tng võn tc thờm 10km/h nhng n B chm hn xe na gi Hóy tớnh quóng ng AB Bi 3(4 im): Cho ng trũn (O) v mt im A nm ngoi ng trũn T A k hai tip tuyn AB,AC v cỏt tuyn AMN vi ng trũn (B,C,M,N thuc ng trũn; AM x + n Bi 2(3 im): Gii bi toỏn bng cỏch lp phng trỡnh Mt ca nụ chy trờn sụng 8h, xuụi dũng 81 km v ngc dũng 105km Mt ln khỏc cng chy trờn khỳc sụng ú, ca nụ ny chy 4h, xuụi dũng 54km v ngc dũng 42km Hóy tớnh tc xuụi dũng v ngc dũng ca ca nụ, bit võn tc dũng nc v tc riờng ca ca nụ khụng i Bai3(4im):Cho ng trũn (O) ng kớnh AB=2R, dõy MN vuụng gúc vi dõy AB ti I cho IA< IB Trờn on MI ly im E (E khỏc M v I).Tia AE ct ng trũn ti im th hai K a) Chng minh t giỏc IEKB ni tip b) C/m tam giỏc AME,AKM ng dng v AM2 =AE.AK c) C/m: AE.AK+BI.BA=4R2 d) Xỏc nh v trớ im I cho chu vi tam giỏc MIO t GTLN ( ) Ti liu chuyờn toỏn lp ụn thi vo lp 10 :VII B.Bi bt buc(8 im): x+2 x x : Bi 1(2,5 im): Cho biu thc P = x x + x + 1 x a) Rỳt gn P b) Tỡm cỏc GT ca x P x = y = x + y = 13 13 3 Hoặc x = ;y= x = ;y= 13 13 13 13 Bài 2: Cho a b, c ba số không âm a + b +c = Chứng minh : a+b + b+c + c+a Giải : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacỗp xki cho ba số : ;1 ;1 a + b , b + c , c + a Ta có : (1 a + b +1 b + c +1 c + a ) (1+1+1) ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) ( a + b + b + c + c + a ) 3( a + b + b + c + c + a) = a + b + b + c + c + a (đpcm) Bài : Cho a2 + b2 + c2 + d2 = Chứng minh : ( x2 + ax + b)2 + ( x2 + cx + d)2 ( 2x2 + )2 (x R) Giải : b x a áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho ba số x x Ta có (x2 + ax + b)2 ( x2 + a2 + b2) ( x2 + x2 + 1) x c d áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho ba số x x Ta có (x2 + cx + d)2 ( x2 + c2 + d2) ( x2 + x2 + 1) Cộng vế với vế hai bất đẳng thức ta đợc : ( x2 + ax + b)2 + ( x2 + cx + d)2 ( x2 + x2 + 1)( x2 + a2 + b2 + x2 + c2 + d2) ( x2 + ax + b)2 + ( x2 + cx + d)2 ( 2x2 + )( 2x2 + ) = ( 2x2 + )2 ( a2 + b2 + c2 + d2 = ) (đpcm) Bài : Chứng minh bất đẳng thức : a2 + b2 + c2 ab + bc + ca Giải : Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : ab + bc + ca a + b + c b + c + a ab + bc + ca a2 + b2 + c2 (đpcm) * Bài tập vận dụng : Bài : Cho x y + y x = Chứng minh : x2 + y2 = Bài : Chứng minh số nguyên dơng n : n +1 + + ++ n n Bài : Chứng minh : a + b = a2 + b2 Bài : Cho a, b, c > abc = Chứng minh : Dấu " = " xảy : 36 Ti liu chuyờn toỏn lp ụn thi vo lp 10 1 + + a (b + c ) b (c + a ) c ( a + b) Phơng pháp : Dùng tính chất tỉ số giá trị tuyệt đối * Tính chất : - Tính chất tỉ số : Cho a , b ,c > : a a a+c Nếu < < b b b+c a a a+c Nếu > > b b b+c - Giá trị tuyệt đối : | x | < -1 < x < Nếu | x | x2 | x| * Ví dụ : Bài 1: Cho a+ b > Chứng minh a4 + b4 > Giải: Ta có : a + b > > (1) Bình phơng hai vế : ( a + b)2 > a2 + 2ab + b2 > (2) Mặt khác : ( a - b)2 a2 + 2ab + b2 (3) Cộng vế (2) (3) : 2( a2 + b2 ) > a2 + b2 > (4) Bình phơng hai vế (4) : a4 + 2a2b2 + b4 > (5) Mặt khác : ( a2 - b2)2 a4 - 2a2b2 + b4 (6) Cộng vế (5) (6) ta có : 1 2( a4 + b4) > (đpcm) a + b4 > Bài : Cho a , b, c số đo ba cạnh tam giác Chứng minh : ab bc ca | + + | c nên tồn tam giác ABC có cạnh AB = a , A AC = b đờng cao AH = c áp dụng định lí Py ta go cho b a hai tam gíac vuông AHB AHC ta có : c BH = a c B C CH = b c H Do diện tích ABC : 1 S= c ( a c + b c ) = ( c(a c) + c(b c) 2 1 Mặt khác S = a b sinA ab 2 (do sinA ) a + b + b + c + c + a Từ suy : c ( a c + b c ) ab Dấu " = " xảy ABC vuông A tức 1 1 1 = + = + (đpcm) 2 AC c a b AH AB * Bài tập vận dụng : Bài :Chứng minh bất đẳng thức sau phơng pháp hình học : a + b b + c b( a + c ) với số dơng a, b , c Bài : Chứng minh bất đẳng thức sau với a, b, c, d > (a + c )(b + c ) + (a + d )(b + d ) ( a + b)( c + d ) a, b, c, d số thực dơng NG DNG CA BT NG THC : 1- ng dng 1: Gii bi toỏn tỡm cc tr : - Phng phỏp: Nu f(x) m thỡ f(x) cú giỏ tr nh nht l m Nu f(x) M thỡ f(x) cú giỏ tr ln nht l M Khi tỡm cc tr ca mt biu thc cú cha du giỏ tr tuyt i, ta dng cỏc bt ng thc cha du giỏ tr tuyt i Nhc li mt s tớnh cht: + = vi mi A + A vi mi A Du ''= '' xy A = + A + B A + B Du '' = '' xy AB - Cỏc bi tp: Bi 1.1: Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P = + Gii p dng tớnh cht ca bt ng thc cha du giỏ tr tuyt i, ta cú: P= + =1 Du = xy (x - 2)(3 - x) x Vy P = x Bi 1.2 : Cho a < b < c < d, tỡm f(x) = x a + x b + x c + x d Hng dn: Tng t Bi tỡm c f(x) = d + c - b - a b x c 40 Ti liu chuyờn toỏn lp ụn thi vo lp 10 Bi 1.3 Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc A = (x2 + x)(x2 + x - 4) Gii A = (x2 + x)(x2 + x - 4) t t = x2 + x - => A = (t - 2)(t + 2) = t2 - - Du = xy t = x2 + x - = (x - 1)(x + 2) = x = -2; x = Vy A = - x = -2 hoc x = ; Bi 1.4: Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: B = a3 + b3 + ab, bit a v b l hai s tho món: a +b=1 Gii B = (a + b)(a2 - ab + b2) + ab = a2 - ab + b2 + ab = a2 + b2 vỡ a+b = 1 Ta li cú: a2 + b 2ab => 2(a2 + b2) (a + b)2 = => a2 + b2 1 Vy B = a = b = 2 Bi 1.5: Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca biu thc: A = Gii D thy x+x+1 > vi mi x Ta cú 2(x - 1) => 2x - 4x + => 3(x - x + ) x + x + = > Du = xy x = Ta cú 2(x + 1) => 2x + 4x + => 3(x + x + ) x - x + = > Du = xy x = -1 Vy A Do ú A = x = 1; Max A = x = -1 1 Bi 1.6 : Cho ba s dng x, y, z tho : + + 1+ x 1+ y 1+ z Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = xyz Hng dn: T gi thit suy y 1 z (1 )+( 1)= + 1+ y 1+ y 1+ z 1+ x 1+ z Tng t : 1+ y yz (1 + y )(1 + z ) zx (1 + x)(1 + z ) xy 1+ z (1 + x)(1 + y ) Nhõn tng v ca cỏc bt ng thc c P = xyz 1 x = y = z = Bi 1.7 : Cho s dng a, b, c tho món: a + b + c = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: => Max P = a b c 2 F = ( a + ) + (b + ) + (c + ) Lc gii: 1 + + )+6 a b c Vn dng bt ng thc Bunhiacụpxki, ta cú : (a.1 + b.1 + c.2)2 3(a2 + b2 + c2) Ta cú : F = (a2 + b2 + c2) + ( 41 Ti liu chuyờn toỏn lp ụn thi vo lp 10 => a2 + b2 + c2 1 1 Tng t : ( + + ) ( + + ) (1) a b c a b c 1 Mt khỏc ta chng minh c ( + + )(a + b + c) a b c 1 => + + a + b + c = a b c 1 => ( + + ) 81(2) a b c 1 T (1) v (2) => ( + + ) 27 a b c => F + 27 + = 33 Du '' = '' xy : a = b = c = 1 Vy Min F = 33 a = b = c = 3 Bi 1.8 Tỡm giỏ tr ln nht ca P = 2x + 2x Gii TX : x 2 p dng bt ng thc Bunhiacụpxki, ta cú: (1 x + x )2 2(2x - + - 2x) = 2x + x hay P Du = xy x = 2x x = (tha TX) Vy Max P = x = 2 - ng dng 2: Gii phng trỡnh: - Phng phỏp: Bin i hai v ( VT, VP ) ca phng trỡnh, sau ú suy lun ch nghim ca phng trỡnh + Nu VT = VP ti mt hoc mt s giỏ tr no ú ca n (tho TX) => phng trỡnh cú nghim l s ú hoc nhng s ú + Nu VT > VP hoc VT < VP ti mi giỏ tr ca n => phng trỡnh vụ nghim - Cỏc vớ d : Bi 2.1: Gii phng trỡnh : x + x - x2 + 4x - = (*) Gii : TX : x 2 (*) x + x = x2 - 4x + Ta cú VP = (x - 2)2 + 2, du '' = '' xy x = ( tho TX ) VT (Bi - ng dng 1) => VT = VP = x = 42 Ti liu chuyờn toỏn lp ụn thi vo lp 10 Vy phng trỡnh (*) cú nghim x = Bi 2.2 : Gii phng trỡnh : x + x + = x2 - 6x + 13 Hng dn: Vi cỏch gii tng t Bi 1, ỏp dng bt ng thc Bunhiacụpxki ta c: VP Du '' = '' xy x = VT Du '' = '' xy x = x+2 x = => khụng cú giỏ tr no ca x VT = VP => Phng trỡnh vụ nghim Bi 2.3: Gii cỏc phng trỡnh sau bng phng phỏp dựng bt ng thc a, (x - 3x + 4) = (x - 2x + 3)(x - 4x + 5) (1) b, x x + 12 = x - 4x + x2 x + (2) Lc gii a, D nhn thy (x - 2x + 3) > v (x - 4x + 5) > p dng bt ng thc Cụsi cho hai s dng trờn ta cú: ( x x + 3) + ( x x + 5) ( x x + 3)( x x + 5) Hay (x - 3x + 4) (x - 2x + 3) (x - 4x + 5) Du = xy x - 2x + = x - 4x + x = Vy phng trỡnh (1) cú nghim x = b, (2) + = ( x 2) + ( x 2) + VT + = (du = xy x = 2) VP (du = xy x = 2) Vy VT = VP (= 4) x = hay phng trỡnh cú nghim x = Bi 2.4 : Ta thy Gii phng trỡnh : x 12 x + 16 + y y + 13 = Hng dn : x 12 x + 16 ; y y + 13 => VT x = x = Du '' = '' xy : y = y = => phng trỡnh cú nghim: (x = 2; y = 2) 3- ng dng 3: Gii h phng trỡnh - Phng phỏp: Dựng bt ng thc bin i tng phng trỡnh ca h, suy lun v kt lun nghim - Cỏc vớ d : Bi 3.1 : (1) x + y y + = Gii h phng trỡnh 2 (2) x + x y 2y = Lc gii : (1) x = - - 2(y - 1) x -1 x - (*) 43 Ti liu chuyờn toỏn lp ụn thi vo lp 10 (2) x2 = 2y 1+ y2 (vỡ 1+ y 2y) -1 x (**) T (*) v (**) => x = -1 Thay x = -1 vo (2) ta cú : y = => H phng trỡnh cú nghim nht : (x = -1; y = 1) Bi 3.2 : x + y + z =1 4 x + y + z = xyz Gii h phng trỡnh : Lc gii : p dng bt ng thc: A2 + B2 2AB du '' = '' xy A = B Ta cú : x4 + y4 2x2y2 ; y4 + z4 2y2z2 ; z4 + x4 2z2x2 => x4 + y4 + z4 x2y2 + y2z2 + z2x2 (*) Mt khỏc : x2y2 + y2z2 2xyz y2z2 + z2x2 2xyz x2y2 + z2x2 2xyz 2 => 2(x y + y2z2 + z2x2 ) 2xyz(x + y + z) = 2xyz => x2y2 + y2z2 + z2x2 xyz (**) T (*) v (**) => x4 + y4 + z4 xyz Du '' = '' xy : x = y = z m x + y + z = nờn : x = y = z = Vy h phng trỡnh cú nghim : x = y = z = 3 ng dng 4: Gii phng trỡnh nghim nguyờn - Phng phỏp: S dng hp lớ cỏc tớnh cht ca bt ng thc v bi toỏn nghim nguyờn tỡm nghim ca phng trỡnh - Cỏc vớ d : 1 + + Bi 4.1 : Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh : =2 x y z Gii : Khụng mt tớnh tng quỏt , ta gi s x y z => , ta cú : 1 2= + + => 2z , m z nguyờn dng x y z z 1 Vy z = Thay z = vo phng trỡnh ta c : + = x y 1 + Theo gi s x y, nờn = x y y y nguyờn dng nờn y = hoc y = Vi y = khụng thớch hp Vi y = ta cú : x = Vy (2 ; ; 1) l mt nghim ca phng trỡnh Hoỏn v cỏc s trờn, ta c nghim ca phng trỡnh l : (x; y; z) = (2 ; ; 1) ; (2 ; ; 2) ; (1 ; ; 2) Bi 4.2 Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh : 3(x + y) = xy (1) Hng dn: (1) + = Gii tng t Bi Bi 4.3 Tỡm s nguyờn dng cho tng ca chỳng bng tớch ca chỳng Gii Gi cỏc s nguyờn dng phi tỡm l x, y, z Ta cú: x + y + z = xyz (1) 44 Ti liu chuyờn toỏn lp ụn thi vo lp 10 Khụng mt tớnh tng quỏt , ta gi s x y z => xyz = x + y + z 3z Chia hai v ca bt ng thc xyz 3z cho s dng z ta cú : xy Suy xy { 1; 2;3} + Vi xy = thỡ x = ; y = Thay vo (1) ta cú z = -2 (loi) + Vi xy = thỡ x = ; y = Thay vo (1) ta cú z = + Vi xy = thỡ x = ; y = Thay vo (1) ta cú z = (loi vỡ trỏi vi gi s y z) Vy ba s cn tỡm l 1; 2; ng dng 5: Chng minh cỏc bi toỏn cú ni dung hỡnh hc - Phng phỏp: p dng bt ng thc tam giỏc: vi a, b, c l di ba cnh ca mt tam giỏc thỡ a 0), ta c: Ta cú : p - a = 1 4 + = p a p b ( p a ) + ( p b) c 1 + Tng t : p b p c a 1 + pa pc b 1 1 1 + + ) 4( + + ) => iu phi chng minh => 2( pa pc pc a b c Du '' = '' xy : p - a = p - b = p - c a = b = c Khi ú tam giỏc ABC l tam giỏc u Bi 5.2: Cho a, b, c , l di ba cnh ca mt tam giỏc CMR: (a + b - c)(b + c - a)(c + a -b) abc Gii: Bt ng thc v ba cnh ca tam giỏc cho ta vit b c < a < a (b c) a c a < b < b (c a ) b a b < c < c (a b) c 2 2 2 2 2 T ú => a (b c) b (c a) c (a b) a b c 45 Ti liu chuyờn toỏn lp ụn thi vo lp 10 (a+b-c) (a-b+c) (b-c+a) (b+c-a) (c-a+b) (c+a-b) a 2b 2c (a+b-c)2(b+c-a)2(c+a-b)2 a 2b c (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc (Vỡ a, b, c, l ba cnh ca mt tam giỏc nờn a + b - c > 0; b + c a > 0; c + a - b > v abc > ) Vy bt ng thc c chng minh Bi 5.3 : CMR mt tam giỏc nhn, tng di cỏc ng trung tuyn luụn ln hn ln bỏn kớnh ng trũn ngoi tip Gii: Gi m , m , m l di ba ng trung tuyn v R l bỏn kớnh ng trũn ngoi tip ABC, ta phi chng minh m + m +m > 4R Vỡ ABC l mt tam giỏc nhn nờn tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc O nm tam giỏc ABC Gi G l trng tõm tam giỏc ABC thỡ tõm O nm mt ba tam giỏc GAB, GAC, GBC Gi s tõm O nm GAB thỡ OA + OB = 2R v GA+ GB > 2R 2 m GA= m , GB = m (tớnh cht ng trung tuyn) 3 Nờn GA + GB > 2R (m + m ) > 2R m + m > 3R Trong OCF cú CF > OC m > R Do ú m + m + m > 3R + R = 4R IV:BI TP NGH: Bi 1: Cho hai s x v y m x + y = CMR : x + y Bi 2: Cho hai s dng x,y v x + y = x - y CMR: x + y < Bi : Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc a, C = x + x b, E = x + x + x + x Bi 4: Cho s x, y tho iu kin: x + y = Chng minh rng: x4 + y4 Bi Cho a 0, b 0, c CMR: a4 + b4 + c4 abc (a + b + c) 1 1 Bi 6: Cho a, b, c > thoả mãn a + b + c = Chứng minh + < a b c abc Bi 7: CMR: Nu a < 1; b < thỡ a + b < + ab Bi 8: Chng minh bt ng thc Cụ si tng quỏt vi n s khụng õm bng phng phỏp quy 46 Ti liu chuyờn toỏn lp ụn thi vo lp 10 np toỏn hc : ( a1 + a2 + + an n ) a1a2 an n Bi 9: Cho a, b, c l di cỏc cnh ca mt tam giỏc CMR: a) a + b + c < 2(ab + bc +ca) b) 4ab - (a + b - c) > c) + + Bi 10: Gii cỏc phng trỡnh sau bng phng phỏp bt ng thc: a) + = x - 10x + 35 x2 + 6x + b) = x2 + x + x + 6x + MT S SAI LM THNG GP KHI GII BI TON CC TR 1, Sai lm s dng nhiu bt ng thc khac VD1: cho x, y l cỏc s dng tha x +y =1 Tỡm GTNN ca biu thc : A = Gii sai: p dng bt ng thc cụ si cho hai s khụng õm + x y 4 , ta cú: + (1) x y xy x y x+ y = xy (2 ) 2 4 A= + =8 T (1) v (2) suy : Vy Min A = x y xy Phõn tớch sai lm: ng thc sy (1) = x = y x y ng thc sy (2) x = y T ú suy x = y = ( Loi vỡ x + y = 1) Cú bn n õy KL khụng cú giỏ tr nh nht cng l KL sai 4x y + Gii ỳng: Vỡ x + y = nờn A = ( x+y ) + ữ = + y x x y Li cú: p dng bt ng thc Cụ Si cho hai s khụng õm 4x y 4x y 4x y , Ta cú : + =4 y x y x y x 4x y x = y = 2x = x Du = xy y x + y = x + y = y = Lu ý: Nu s dng nhiu BT khỏc bi toỏn thỡ ta phi kim tra xem chỳng cú ng thi sy du bng khụng Cú nh vy thỡ hng gii ca bi toỏn mi ỳng 2, Sai lm khụng s dng ht iu kin ca bi toỏn: VD2:cho x, y l cỏc s dng tha x+y= Tỡm GTNN ca BT : 47 Ti liu chuyờn toỏn lp ụn thi vo lp 10 2 A = x+ ữ + y + ữ y x Gii sai: p dng bt ng thc cụ si cho hai s khụng õm x, 1 Ta cú: x+ x = x x x (1) p dng bt ng thc cụ si cho hai s khụng õm y, 1 Ta cú: y+ y = y y y (2) T (1) v (2) =>A => Min A = Phõn tớch sai lm: ng thc sy (1) = x x2 = x = y y = T ú suy x = y = ( Loi vỡ x + y = 1) y Gii ỳng: p dng bt ng thc cụ si cho hai s dng ta cú : x+y 1 xy xy xy 2 ng thc sy (2) 2 1 1 Ta cú : A = + x +y + ữ + ữ Khi ú: x2 + y2 = (x + y)2 2xy - = (1) 2 x y 1 25 25 + 2 2 = (2) T (1) v (2) =>A + +4 = =>Min A = x=y x y x y xy 2 = Lu ý: Khi gii bi toỏn m khụng s dng ht iu kin ca u bi thỡ cn kim tra li gi thit Cú nh vy thỡ hng gii ca bi toỏn mi ỳng 3, Sai lm chng minh iu kin 1: VD1: Tỡm GTLN ca bt: A = x x + 17 Li gii sai: A t Max x x + 17 t Min Ta cú : x x + 17 = ( x 3) + 2 x=3 Phõn tớch sai lm: Kt qu ỳng nhng lp lun sai ch cho rng A cú t khụng i nờn t GTLN mu t GTNN m cha ua nhn xột t v mu l cỏc s dng Li gii ỳng: B sung thờm nhn xột x x + 17 = ( x 3) + nờn t v mu ca A l dng VD2:Tỡm GTNN cu BT: A = x2 + y2 bit x + y =4 x + y = xy x= y=2 Ta cú : A = x2 + y2 2xy => A t GTNN x + y = Khi ú MinA = Phõn tớch sai lm: ỏp s ko sai nhng lp luõn sai lm ch ta mi c/m c f(x,y) g(x,y) ch cha c/m c f(x,y) m vi m l hng s Chng hn: T x2 4x => x2 t nh nht x2 = 4x (x )2 = x =2 i n x2 = x = D thy kt qu ỳng phi l Min x2 = x =0 Li gii ỳng: Ta cú x + y =4 ( x + y ) =16 (1) ( ) Do ú Min x x + 17 = x = Vy Max A = Ta li cú : ( x - y ) x -2xy+y (2) 48 Ti liu chuyờn toỏn lp ụn thi vo lp 10 T (1) v (2) => 2( x2 + y2 ) 16 => A = x2 + y2 Vy Min A = v ch x = y = Lu ý: Cn nm vng t/c ca BT c th trng hp so sỏnh hai phõn s cú t v mu l s t nhiờn, s nguyờn Cú nh vy thỡ hng gii ca bi toỏn mi ỳng 4, Sai lm chng minh iu kin VD1: Tỡm GTNN ca bt: A = x + x ( ) 1 1 1 + = x ữ Vy: Min A = 4 4 1 P/tớch sai lm: sau c/m f(x) cha ch trng hp xy f(x)= 4 x = (vụ lớ ) Li gii ỳng: KTT x l x ú : A = x + x => Min A = x = VD2: Tỡm GTLN ca A = xyx ( z+y ) ( y+z ) ( z+x ) vi x, y , z l cỏc s khụng õm v x +y+ z Li gii sai : x + x = x +2 x =1 4x ( z+y ) ( x+y+z ) = Li gii sai: p dng BT 4xy ( x + y ) ta cú : 4y ( z+x ) ( x+y+z ) = 2 4z ( x+y ) ( x+y+z ) = 1 Vy Max A = 64 64 Phõn tớch sai lm: Sai lm ch cha chi kh nng xy du = z+y = x y+x = z x = y = z = x + z + y = ( vụ lớ ) K Max A = l : x+z = y 64 x + z + y = x, y, z x, y, z => 64xyx ( z+y ) ( y+z ) ( z+x ) =>xyx ( z+y ) ( y+z ) ( z+x ) Li gii ỳng: Ta cú : = x +y+ z 3 x.y.z (1) = ( x +y ) + ( z+x ) + ( y+ z ) 3 ( x +y ) ( z+x ) ( y+ z ) (2) T (1) v (2) => x y.z ( x +y ) ( z+x ) ( y+ z ) hay: A => A ữ ( x +y ) = ( z+x ) = ( y+ z ) x= y=z= Max A = ữ x + y + z = x, y , z 3 VD3: Tỡm giỏ tr nh nht ca : A = (x + a)(x + b) vi x > 0, a, b l cỏc hng s dng x x + a ax ( x + a ) ( x + b ) ax.2 bx = x ab Li gii sai: Ta cú: x + b bx (x + a)(x + b) 4x ab = ab vy Min A = ab x = a = b x x Phõn tớch sai lm: Nu a b thỡ khụng cú: A = ab Do ú: A = 49 Ti liu chuyờn toỏn lp ụn thi vo lp 10 (x + a)(x + b) x + ax + bx + ab ab = = x + ữ+ (a + b) x x x ab ab nờn A ab + a + b = a + b Theo bt ng thc Cauchy : x + x Li gii ỳng : Ta cú A = ( A = ( a+ b ) v chi ab x = x x = ab x > 50 ) [...]... 20 092 20 09 20082 2008 cú giỏ tr l mt s t nhiờn (1 im) + 20 092 20 09 20082 2008 + = 20 092 20 09 ( 1 + 2008 ) 2 2.1.2008 + 20082 2008 + 20 092 20 09 2 2008 20082 2008 2008 2008 = ( 20 09 ) 2.20 09 + + = 20 09 ữ + 2 20 09 20 09 20 09 20 09 20 09 2 = 20 09 2008 2008 2008 2008 + = 20 09 + = 20 09 20 09 20 09 20 09 20 09 Cõu 3 Rỳt gn biu thc : 1 1 + + 1+ 5 5+ 9 1 1 + + P= 5 +1 9+ 5 5 1 + ( 5 1)( 5 + 1) ( 9 P=... 1) ( 9 P= 1 9+ 1 13 + 9 5 )( 1 13 2001 + 2005 1 + + = 9 2005 + 2001 5 13 9 + + 9 + 5 ) ( 13 9 )( 13 + 9 ) + + 2005 2001 = ( 2005 2001)( 2005 + 2001) 5 1 9 5 13 9 2005 2001 2005 1 = + + + + = 4 4 4 4 4 2005 1 Vy P = 4 + Cõu 4 Tớnh giỏ tr ca tng B = 1+ 1 1 1 1 1 1 + 2 + 1 + 2 + 2 + + 1 + 2 + 2 1 2 2 3 99 100 2 Xột A = 1 + 1 1 + 2 a (a + 1) 2 a>0 18 Ti liu chuyờn toỏn lp 9 ụn thi vo lp... 2 a (a + 1) 2 a2 + a +1 1 1 = 1+ Vỡ a > 0, A > 0 nờn A = a(a + 1) a a +1 p dng ta cú B = 1+ 1 1 1 1 1 1 + 2 + 1 + 2 + 2 + + 1 + 2 + 2 1 2 2 3 99 100 2 1 1 1 1 1 1 1 ) = 100 = 99 ,99 = (1 + ) + (1 + ) + + (1 + 1 2 2 3 99 100 100 Cõu 5 (Chuyờn HSP 20 09 V1) Cỏc s thc x , y tho món ng thc : (x + 1+ x2 Ta cú : (x + ( 1 + x2 )( y + )( y + ) =1 1+ y2 1+ y2 ) ( )( x Chng minh x+y=0 ) ( 1 + x2 = x... 2 + 4 A= 3+ 5 3 5 + 2 2 2+ 3 b) B= 2 + 2+ 3 + 2 3 2 2 3 c) Tớnh giỏ tr B = 1 + 20082 + 20082 2008 + 20 092 20 09 Cõu 3 Rỳt gn biu thc : P= 1 1 1 1 + + + + 1+ 5 5+ 9 9 + 13 2001 + 2005 Cõu 4 Tớnh giỏ tr ca tng A = 1+ 1 1 1 1 1 1 + 2 + 1 + 2 + 2 + + 1 + 2 + 2 1 2 2 3 99 100 2 Cõu 5 (Chuyờn HSP 20 09 V1) Cỏc s thc x , y tho món ng thc : (x + 1+ x2 )( y + 1+ y2 ) =1 Chng minh x+y=0 Cõu 6 (Chuyờn HSP 2011... a + a +1 = + a +1 = 8 2 2 2 4 Cõu 7 (Chuyờn HSP 2011 V1) Chng minh bt ng thc 19 Ti liu chuyờn toỏn lp 9 ụn thi vo lp 10 1 1 1 2A > 1 1+ 2 + + 1 >4 1+ 2 3+ 4 5+ 6 79 + 80 1 1 1 1 A= + + + + 1+ 2 3+ 4 5+ 6 79 + 80 2 2 2 2 2A = + + + + 1+ 2 3+ 4 5+ 6 79 + 80 2A > + 1 2+ 3 2 1 ( 2 + 1)( 2 1) + + 1 + 3+ 4 + + + 1 79 + 80 3 2 ( 3 + 2 )( 3 2 ) + 1 + 80 + 81 4 3 ( 4 + 3 )( 4 3 ) + + 81 80 ( 81... + ( b c )2 b c Cõu 28 (Chuyờn HSP 20 09 V1) Cho biu thc: A = 20a + 92 + a 4 + 16a 2 + 64 B=a4+20a3+102a2+40a+200 a)Rỳt gn A b)Tỡm a A+B=0 Cõu 29 (Chuyờn ng 2010) Cho biu thc: x 2 x x 1 2 : P = + 3 + x 9 x x 3 x x a) Tỡm iu kin ca x P cú ngha v rỳt gn P b) Tỡm giỏ tr x P = 4 3 Cõu 30 (Chuyờn H SP 2013 V1) Cho biu thc 16 Ti liu chuyờn toỏn lp 9 ụn thi vo lp 10 3 a b + 2a a +... A = 20a + 92 + a 4 + 16a 2 + 64 = 20a + 92 + (a 2 + 8) 2 A = a 2 + 20a + 100 = (a + 10) 2 = a + 10 B=( a4+20a3+10a2)+2(a2+ 20a+100)=a2(a+10)2+2(a+10)2==(a+10)2(a2+2) A = a + 10 0 ;B=(a+10)2(a2+2) 0;A+B 0 du = khi a=-10 Cõu 29 (Chuyờn ng 2010) Cho biu thc: x 2x x 1 2 : P = + x 3+ x 9 x x 3 x b) Tỡm iu kin ca x P cú ngha v rỳt gn P 4 b) Tỡm giỏ tr x P = 3 1) KX x > 0; x 9 ; x 25 ... 1 )( 1 + ) 9 a b 1 1 Giải : Ta có : ( 1 + ) ( 1 + ) 9 (1) a b a +1 b +1 9 a b ab + a + b + 1 9ab ( vì ab > 0 ) a + b + 1 8ab 2 8ab ( vì a + b = 1 ) 1 4ab ( a + b )2 4ab ( vì a + b = 1 ) (2) ( a + b )2 0 Bất đẳng thức ( 2 ) đúng ,mà các phép biến đổi trên là tơng đơng , vậy bất đẳng thức ( 1 ) đúng ( đpcm) Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = b 30 Ti liu chuyờn toỏn lp 9 ụn thi vo... 3.2.( 3) 2 + ( 3)3 3 8 3.2 2 3 + 3.2.( 3) 2 ( 3) 3 26 Ti liu chuyờn toỏn lp 9 ụn thi vo lp 10 = 3 (2 + 3)3 3 (2 3)3 = (2 + 3) (2 3) A=2 3 iu kin: 2 < a 11 t x = a 2 (0 < x 3) a = x 2 + 2 Tớnh c P = = ( x + 2) x x 2 + 9 3x + 1 1 ( x + 2) 3( x + 3) 2 x + 4 + ữ= ữ: ữ ữ: 3 3 + x 9 x 2 x 2 3x x 3 9 x 2 x( x 3) ( x + 2) x ( x 3) x = 3 x 2x + 4 2 = a2 2 Cõu 24 (Chuyờn... 4a 2 + 2a 2 = 0 2 Tớnh giỏ tr ca biu thc S = a2 + a4 + a +1 13 Ti liu chuyờn toỏn lp 9 ụn thi vo lp 10 Cõu 7 (Chuyờn HSP 2011 V1) Chng minh bt ng thc 1 1+ 2 + 1 3+ 4 + 1 5+ 6 Cõu 8 Tớnh giỏ tr biu thc: ( A = 3x + 8 x + 2 3 2 ) 2006 1 + + vi x = 79 + 80 >4 (17 5 ) 38 ( 3 5 + 14 6 5 5+2 ) Cõu 9 (Chuyờn HSP 20 09 V2) Cỏc s thc x, y tho món xy 2 v xy 2 Chng minh rng biu thc sau khụng ph thuc vo