CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA (Phần 1) I CĂN BẬC HAI A Tóm tắt lí thuyết Căn bậc hai Định nghĩa: Căn bậc hai số a không âm số x cho x2 = a a > : có hai bậc hai √ √ a = : có bậc hai √ = a < : bậc hai Căn bậc hai số học Định nghĩa: Với số dương a, số √ gọi bậc hai số học a Số gọi bậc hai số học Chú ý: Với a ≥ 0, ta có x = √ { So sánh bậc hai số học Định lí: Với số a b không âm, ta có: a> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! e √ f √ √ g (√ √ ):2 Hướng dẫn giải a √ b √ d √ e √ f √ √ g (√ √ ):2=( c √ = 1,2 + 2.0,3 = 1,8 ):2= :2= Bài 3: Thực phép tính sau: a √ b (3 +√ )(3 √ ) d (5√ √ √ c (3√ Hướng dẫn giải a √ 22 - 4√ b (3 + √ ( (√ ) = - 4√ + = - 4√ √ ) = 32 – (√ )2 = – = c (3√ √ = (3√ )2 – = 9(√ )2 – = 9.5 – = 44 d (5√ √ = (5√ )2 – 32 = 25.( √ )2 – = 25.2 – = 41 Bài 4: Giải phương trình: a √ = b √ c √ d √ √ Hướng dẫn giải a √ = nên x2 = 32 x = b √ c √ √ nên x = (√ )2 x = nên x = >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! d Vô nghiệm √ ≥0 Bài 5: So sánh số a 2√ b + √ 10 + √ Hướng dẫn giải Ta có 31 > 25 nên √ √ √ a Áp dụng định lí a > b ≥ >5 Hay 2√ a2 > b b Áp dụng định lí a > b ≥ Ta có: (2 + √ )2 = + √ (3 + √ )2 = 11 + 6√ Nhưng 4√ Nên + 4√ Vậy + √ (vì (6√ )2 = 48 ; (6√ )2 = 72) 6√ 11 + 6√ < 3+√ Bài 6: Cho hai số dương a b Chứng minh rằng: a Nếu a = b √ √ b Nếu a > b √ √ ngược lại ngược lại Hướng dẫn giải a Do a b dương nên √ √ xác định số dương Từ a = b (giả thiết) nên a – b = Ta có: a – b = (√ )2 – (√ )2 = (√ a – b = √ +√ + √ )( √ -√ ) > nên suy √ - √ = Vậy √ √ Điều ngược lại chứng minh tương tự dùng phản chứng b Dùng cách chứng minh tương tự câu a >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Bài 7: a Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A=1+√ b Tìm giá trị lớn biểu thức: B=5-√ Hướng dẫn giải a Ta có: √ ≥ nên A = + √ ≥1 Suy A có giá trị nhỏ √ b Ta có : √ ≥ nên √ = Hay x = ≤ hay B = - √ => B có giá trị lớn √ ≤5 = hay x = II CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC √ = |A| A Tóm tắt lí thuyết Căn thức bậc hai * Với A biểu thức đại số, người ta gọi √ thức bậc hai A, A gọi biểu thức lấy hay biểu thức dấu *√ xác định (hay có nghĩa) A lấy giá trị không âm Với giá trị không âm a √ lấy giá trị bậc hai số học a Hằng đẳng thức √ = |A| Định lí: Với số a, ta có √ = |a| Chú ý: Một cách tổng quát, với A biểu thức ta có √ = |A| = { B Bài tập Bài 8: Tính giá trị biểu thức sau: >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! √ a √ c b 5,4 + 7√ d (√ √ √ √ ) Hướng dẫn giải √ a √ = 0,2 + 0,5 = 0,7 b 5,4 + 7√ c = 5,4 + 7.0,6 = 9,6 √ √ d (√ = – 0,4 = 4,6 = 0,5.10 √ ) (√ √ ) (√ √ ) ( ) = 0,1 Bài 9: Tìm giá trị x để thức sau có nghĩa: a √ b √ c √ d √ Hướng dẫn giải a √ có nghĩa a – ≥ b √ có nghĩa – 3x ≥ a≥1 3x ≤ x≤ Tương tự c x < d x ≤ (vì x2 + > với x) Bài 10: Tính a √ b √ √ √ √ √ ; √ √ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Hướng dẫn giải a √ √ √ b √ √ √ = |1 - √ + |2 - √ √ √ √ √ =√ √ = 2.(3 - √ √ =1 = 12 Bài 11: a Rút gọn: √ √ √ b Giải phương trình √ √ √ √ Hướng dẫn giải a Xét + 4√ = + 4√ + = (2 + √ )2 Tương tự - 4√ = (2 - √ )2 => √ √ √ √ =√ √ √ √ b Từ câu a, phương trình cho viết : √ |x – 1| = x–1=±4 =2+√ √ =4 x = x = -3 Bài 12: Viết biểu thức sau dạng hiệu hai bình phương phân tích thừa số: a x2 – b x – với x > c + 3x với x < d – 16x2 Hướng dẫn giải a x2 – = x2 – (√ )2 = (x - √ )(x + √ ) b Với x > ta có x – = (√ )2 – 32 = (√ c Với x < ta có + 3x = 22 – 3.(-x) = 22 – (√ d – 16x2 = (√ )2 – (4x)2 = (√ √ )2 = (2 - √ )(2 + √ √ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Bài 13: So sánh: √ a √ √ c và √ b √ √ √ d √ √ √ √ Hướng dẫn giải a Vì √ b Ta có √ √ √ Vậy: = nên √ √ √ >4+2+1=7=√ √ c √ = 4; √ √ √ √ = √ √ =5=√ b2 Giả sử √ √ √ √ > √ √ √ Bất đẳng thức cuối nên: √ √ a>b √ √ √ √ 18 > 12 √ > √ √ Bài 14: a Trong số sau đây, số số nguyên? x=√ √ √ √ ;y=√ √ √ √ b Chứng minh với x ≥ √ √ √ √ { √ Hướng dẫn giải a √ √ √ √ √ √ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Do x = Vậy x số nguyên Ta có: y = 2√ Vậy y số nguyên b Gọi biểu thức cần thu gọn A, ta có: A = |√ √ Ta có |√ (x ≥ 1) √ Với |√ ta thấy: + x ≥ √ ≥ 1, |√ - 1| = √ -1 + ≤ x ≤ √ , |√ - 1| = - √ Từ ta có √ √ √ √ { √ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!