TÁN xạ KHI CHÙM PHÂN cực TRONG mô HÌNH RANDALL SUNDRUM

MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mô hình chuẩn (MHC) mô hình thống loại tương tác: tương tác điện từ, tương tác yếu tương tác mạnh MHC mô tả thành công tranh hạt tương tác mà trước hiểu cách đơn giản sơ khai Mô hình chuẩn cho thành công việc thống tương tác điện từ tương tác yếu Nhiều thực nghiệm khẳng định tính đắn mô hình thang lượng điện yếu cỡ 200 GeV với độ xác cao Cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát với có mặt hạt Higgs hạt tạo khối lượng cho vật chất từ tạo khối lượng cho vũ trụ Tuy nhiên, mô hình chuẩn tồn số vấn đề cần giải như: Mô hình chuẩn trả lời 95% lượng vật chất tối lượng tối vũ trụ, hạt mô hình chuẩn quan sát không thỏa mãn điều kiện vật chất tối Mô hình chuẩn không trả lời số hệ fermion 3, điện tích quan sát thấy lại gián đoạn số nguyên lần điện tích nguyên tố, quark t lại nặng nhiều so với dự đoán (trong Mô hình chuẩn khối lượng quark t 10 GeV vào năm 1995 người ta đo khối lượng 175 GeV) Đặc biệt mô hình chuẩn, khối lượng neutrino (một loại hạt hạ nguyên tử sinh từ phân rã nguyên tố phóng xạ) không Tuy nhiên, giải Nobel vật lí năm 2015 trao cho hai nhà khoa học Takaaki Kajita đến từ Đại học Tokyo (Nhật) Arthur B.McDonald thuộc Đại học Queen (Canada) việc đóng góp trọng yếu họ thử nghiệm cho thấy hạt neutrino thay đổi tính đồng Sự biến đổi đòi hỏi hạt neutrino phải có khối lượng Để giải thích hạn chế MHC, đòi hỏi nhà vật lý lý thuyết phải tìm mô hình việc mở rộng MHC yêu cầu tất yếu Từ hướng mở rộng mô hình chuẩn đời hứa hẹn nhiều tượng vật lí thú vị thang lượng cao Với phát triển khoa học vật lý nói chung vật lý hạt nói riêng có nhiều hướng mở rộng mô hình chuẩn, hướng có ưu nhược điểm riêng Ví dụ, mô hình mở rộng dựa nhóm đối xứng chuẩn SU(3)XSU(3)XU(1) [2] chưa thể giải phân bậc khối lượng hạt Higgs Các mô hình siêu đối xứng giải thích vấn đề Tuy nhiên, lại dự đoán vật lý thang lượng thấp (cỡ TeV)…Có hướng khả quan lý thuyết mở rộng thêm chiều không gian Lý thuyết theo hướng lý thuyết Kaluza – Klein, mở rộng không thời - gian bốn chiều thành không - thời gian năm chiều, nhằm mục đích thống tương tác hấp dẫn tương tác điện từ Lý thuyết gặp số khó khăn tượng luận Tuy nhiên, ý tưởng sở cho lý thuyết đại sau như: thống Higgs - Gauge (GHU), lý thuyết mở rộng với không thời gian lớn, lý thuyết dây…là lý thuyết trên, mô hình Randall - Sundrum giải vấn đề phân bậc khối lượng, giải thích lại có ba hệ fermion, vấn đề khối lượng neutrino… Mô hình Randall - Sundrum với radion vật lý gắn với yếu tố mô hình Tìm radion chứng khẳng định tính + − đắn mô hình Vì vậy, chọn “ Tán xạ µ µ → Zφ chùm µ + , µ − phân cực mô hình Randall – Sundrum” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn Mục đích nghiên cứu + − + − Nghiên cứu trình tán xạ μ μ → Zφ chùm μ , μ phân cực Trên sở hướng có lợi thu radion từ thực nghiệm để khẳng định tồn tính đắn mô hình mở rộng Khách thể đối tượng nghiên cứu + − Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu trình tán xạ μ μ → Zφ chùm μ + , μ − phân cực Giả thuyết khoa học + − Nếu luận văn thành công thông qua trình tán xạ μ μ → Zφ chùm μ + , μ − phân cực cung cấp cho thực nghiệm kết luận quan trọng trình tìm kiếm radion, hướng có lợi để thu tín hiệu radion Nhiệm vụ nghiên cứu + − + − Nghiên cứu trình tán xạ μ μ → Zφ chùm μ , μ phân cực Cụ thể tính biểu thức bình phương biên độ tán xạ biên độ giao thoa trình theo kênh s, u, t Từ đánh giá số tiết diện tán xạ vi phân tiết diện tán xạ toàn phần Giới hạn phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu: Trong khuôn khổ lý thuyết trường lượng tử, + − tính toán giải tích, khảo sát đánh giá số tiết diện tán xạ trình μ μ → Zφ + − chùm μ , μ phân cực Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp trường lượng tử với hỗ trợ quy tắc Feynman để tính biên độ tán xạ tiết diện tán xạ - Sử dụng phần mềm Mathematica để đánh giá số vẽ đồ thị Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận phụ lục, luận văn gồm chương: Chương I: Mô hình Randall - Sundrum + − + − Chương II: Biên độ tán xạ trình μ μ → Zφ chùm μ , μ phân cực + − + − Chương III: Tiết diện tán xạ trình μ μ → Zφ chùm μ , μ phân cực Tóm tắt cô đọng luận điểm đóng góp tác giả + − + − Trong trình nghiên cứu tán xạ μ μ → Zφ chùm μ , μ phân cực, sử dụng phương pháp lí thuyết trường lượng tử giản đồ Feynman Từ đưa biểu thức bình phương biên độ tán xạ biên độ giao thoa trình theo kênh s, u, t Sau đó, khảo sát đánh giá số cho tiết diện tán xạ trình Cụ thể đưa đồ thị biểu diễn phụ thuộc tiết diện tán xạ vi phân theo cosθ tiết diện toàn phần theo lượng khối tâm trường hợp phân cực + − khác chùm μ , μ Các kết nghiên cứu đóng góp vào thực nghiệm việc tìm kiếm radion, chứng để khẳng định cho tính đắn mô hình CHƯƠNG I MÔ HÌNH RANDALL – SUNDRUM 1.1 Tác dụng khoảng bất biến mô hình Năm 1990 Ranman Sundrum Lisa Randall đưa mô hình chiều theo mô hình Braneworld lý thuyết nhiều chiều Kaluza – Klein gọi không -thời gian chiều Brane nhiều chiều gọi Bulk dựa sở MHC mở rộng không – thời gian bốn chiều Minkowski MHC thành không – thời gian năm chiều Trong mô hình này, chiều thứ năm thêm vào vòng tròn compact S1 Không – thời gian thu hút không gian đối xứng cực đại có độ cong âm (anti – de Sitter space) Trên chiều thứ năm, ta đưa vào đối xứng chẵn lẻ Z2 Vì vậy, hai điểm (x μ ,φ ) (x μ ,-φ ) đồng Chiều thứ năm thêm vào Orbifold compact S1/ Z2 hai Brane chiều đặt vào hai điểm cố định φ = φ = π Brane tử ngoại (UV – Brane, hay Brane Planck ) đặt φ = 0, Brane tương tác chủ yếu tương tác hấp dẫn, Brane ẩn Brane Planck mức lượng cao Brane hồng ngoại (IR – Brane, SM – Brane) định xứ φ = π Brane quan sát được, Brane TeV lượng thấp, Brane tương tác chiếm ưu tương tác mạnh, yếu tương tác điện từ Hai yếu tố để nghiên cứu tượng MHC tác dụng metric Vậy để nghiên cứu ta có biểu thức tọa độ điểm không – thời gian năm chiều lúc (x μ ,φ ) Khoảng năm chiều có dạng: ds = G MNdx M dx N = G μν dx μ dx ν + 2G μφ dx μ dxφ + Gφφ dφ (1.1) với GMN tenxơ metric năm chiều, quy ước viết tenxơ giống với [3] ngược với [6] Số hạng G μφ bị khử mode không đối xứng Orbifold, nên lúc ta có: ds 2μ = Gν μν dx dx 2+ Gφφ dφ , (1.2) với metric tương ứng với Brane UV IR là: vis μ g μν = G MN (x , φ = π) hidμ g μν = G MN (x , φ = 0) Các tác dụng tổng quát năm chiều mà hai tác giả đưa có dạng: S = Sgravity + Svis + Shid , (1.3) ˆ Sgravity = -∫ d xdy -g( Svis = ∫d x Shid = ∫d 4 π R + Λ ) = ∫ d x ∫ dφ G (-Λ-2M R), -π 16πG −g vis ( L vis − Vvis ), x −g hid ( L hid − Vhid ) (1.3a) (1.3b) (1.3c) Trong đó: Sgravity : hàm tác dụng trường hấp dẫn Svis : hàm tác dụng Brane mà ta quan sát Shid : hàm tác dụng Brane mà ta không quan sát Với M khối lượng Planck chiều, G = detG MN, Λ số vũ trụ chiều $$ $ $ $ μν g R độ cong vô hướng [3], , ( μ,ν = 0, 1, 2, 3, liên quan đến tọa μν $ μν (x,y=0) g μν (x) ≡ g$ μν (x, y =1/2), (μ, ν=1, 2, 3) g (x) ≡ g hid độ y) metric Bulk , vis ∈2 = 16πG = metric cảm ứng Brane Sử dụng kí hiệu số vũ trụ Bulk Brane M 3P15 Người ta thấy liên quan -12m Λ = -Vhid = Vvis = m0 ∈2 điều kiện biên biến đổi tuần hoàn xác định (x, y) với (x, -y) áp đặt công thức Einstein 5D dẫn đến metric đây: ds = eη-2σ(y)dxμνdx μ- b νdy 02 (1.4) Tác dụng thực chất mở rộng tác dụng Hilbert – Einstein chiều lý thuyết tương đối rộng Einstein, có giải pháp phù hợp cho công thức Einstein tương ứng với lí thuyết lượng thấp Brane khả kiến với metric phẳng, Brane phải có giá trị số vũ trụ đối lập chúng phải có liên quan đến số vũ trụ Bulk cách xác 1.2 Lời giải phương trình Einstein khoảng bất biến trường hợp cổ điển Xét trường hợp đơn giản cổ điển trường hợp có tồn vật chất – brane xét theo dao động xung quanh trạng thái chân không Do đó, phần ta xét đến metric năm chiều cổ điển trạng thái (ground state) Mặt khác biết, trường hợp cổ điển trường hợp hạt vật chất thông thường (particle excitation), tức Lvis = Lhid = 0, với Vvis Vhid nhận giá trị không đổi gọi lượng chân không (vacuum energy) Các giá trị đóng vai trò nguồn hấp dẫn hạt vật chất thông thường Từ phương trình (1.3) (1.4) ta có tác dụng cổ điển có dạng sau: S= = ∫ d x∫ π dφ G ( Λ− −2M R)3 − d∫ x(4 ∫ d x ∫-π dφ  G ( Λ− −2M R)3 − −g vis Vδ( π) − g− hid V vid )δ( )φ  vis φ − -π π g− V vis vis + g− V vid )vid (1.5) Phương trình cho thấy xuất hàm delta Dirac xuất biểu thức – brane định xứ φ = φ = π Vậy biến phân S theo GMN:  − − g vis Vδ( π) − g− hid V vid )δ( )φ δG vis φ −  δ G G MN G = MN Ta có: δG , MN (1.6) G R δ GR = (R MN + MN ) G MN δG , δ − g vis G μν − g vis μ ν = δMδ N δG MN , δ − g hid G μν − g hid μ ν = δM δ N δG MN Từ nguyên lý tác dụng tối thiểu δS = phương trình Einstein năm chiều suy có dạng: G (R MN − G MN R  )=− −Λ GG MN + V −g gδvis μδ νδ( φ − π) vis vis μν M N 4M  + Vhid −g hidμνgδhidμMδ Nνδ( )] φ (1.7) Phương trình (1.7) khoảng không bất biến có dạng (1.2) đó: G μν dx μ dx ν : f(φ )η μνdx μdx ν , −2σ(φ ) để giải vấn đề phân bậc, ta chọn f(φ ) = e f(φ) phải hàm tuần hoàn theo φ đó: G μν = ημν e −2σ(φ ) , (1.8) với ημν = diag( − 1, 1, 1, 1) Gφφ dφ = - rC2 dφ hay Gφφ = − rC2 Xét rc không đổi gọi bán kính compact chiều mở rộng, từ (1.9) (1.10) có: G MN  −e −2σ(φ )   =      ) ds = eη−2σ(φdx μνdx 0 e −2σ(φ ) 0 μ e −2σ(φ ) 0 0 e −2σ(φ ) 0    ,   − rC2  (1.9) rν d− c2, φ (1.10) ta có: vis μ g μν = G MN (x , φ = π) = G μν (φ = π),  − e−2σ(π)  =  0  0 0 e−2σ(π) e −2σ(π) 0      e −2σ(π)  =η μνe 0 −2σ(π) , (1.11) hidμ g μν = G MN (x , φ = 0) = G μν (φ = 0),  − e−2σ(0) 0    −2σ(0) e 0   =  0 e −2σ(0)    0 e −2σ(0)  =η μνe  ta thu kết tính toán (phụ lục A) sau: 10 −2σ(0) , (1.12) Z ;G T L R 1 p b a r 0 1000 2000 3000 4000 5000 s GeV Hình 3.15: Sự phụ thuộc tiết diện tán xạ toàn phần vào lượng khối tâm + − s chùm µ phân cực trái, chùm µ phân cực phải giao thoa với trường hợp phân cực khác Z ;G T R L 10 3pbar 1000 2000 3000 s G eV 54 4000 5000 Hình 3.16: Sự phụ thuộc tiết diện tán xạ toàn phần vào lượng khối tâm + − s chùm µ phân cực phải, chùm µ phân cực trái giao thoa với trường hợp phân cực khác Từ đồ thị hình 3.9, 3.10, 3.11, 3.12, 3.15 3.16, ta thấy tiết diện tán xạ toàn phần giảm lượng khối tâm tăng Nhưng đồ thị hình 3.13 + − 3.14, ta thấy chùm μ , μ phân cực phải phân cực trái giao + − thoa với trường hợp phân cực khác chùm μ , μ tiết diện tán xạ toàn phần lại tăng lượng khối tâm tăng Tuy nhiên, tiết diện tán xạ trường + − hợp có giá trị nhỏ so với trường hợp chùm μ phân cực trái, chùm μ phân cực phải Chẳng hạn với s = 5000 Gev từ hình 3.13 ta có tiết diện toàn phần σ ≈ 4,34.10-4 pbarn, hình 3.14 cho ta giá trị tiết diện toàn phần σ ≈ 4,75.10-5 pbarn Đối với hình 3.11, ta thấy tiết diện toàn phần có giá trị σ ≈ 7.10-2 pbarn 3.3 Kết luận Trong chương này, tính số khảo sát phụ thuộc tiết diện tán xạ vi phân vào cosθ , tiết diện tán xạ toàn phần vào lượng khối tâm s + − + − trình μ μ → Zφ trường hợp phân cực chùm μ , μ Kết − + cho thấy, tiết diện tán xạ thu lớn chùm μ phân cực trái, chùm μ phân cực phải Trong trường hợp này, ta thấy cosθ ≈ -1 giá trị tiết diện vi phân có giá trị cỡ 2,5.10-1 pbarn tiết diện toàn phần σ ≈ 7.10-2 pbarn 55 s = 5000 Gev có giá trị cỡ KẾT LUẬN + − Luận văn nghiên cứu sinh radion Z boson từ va chạm μ , μ theo + − kênh s, u, t, chùm μ , μ phân cực mô hình Randall - Sundrum thu kết sau đây: Trình bày tổng quan mô hình Randall-Sundrum Tính biểu thức giải tích bình phương biên độ tán xạ biên độ + − giao thoa trường hợp phân cực khác chùm μ , μ 56 Khảo sát phụ thuộc tiết diện tán xạ vi phân vào cosθ tiết diện toàn phần vào lượng khối tâm s trường hợp phân cực khác + − chùm μ , μ + Tiết diện tán xạ thu có giá trị lớn trường hợp chùm μ − phân cực trái, chùm μ phân cực phải − + Trong trường hợp chùm μ phân cực trái, chùm μ phân cực phải ta thấy hướng có lợi để thu radion phòng thí nghiệm hướng ngược với hướng − chùm μ Còn tiết diện toàn phần giảm lượng khối tâm tăng TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Tiếng Việt [1] Hoàng Ngọc Long (2003), Cơ sở vật lý hạt bản, Nhà xuất thống kê, Hà Nội [2] Đặng Văn Soa (2006), Đối xứng chuẩn thống điện - yếu, Nhà xuất Đại học Sư phạm 57 Tiếng Anh [3] C.Cs’aki (2004), “TASI Lectures on Extra Dimensions and Branes”, hepph0404096 [4] C.Cs’aki, M.Graesser, L.Randall and J Terning (2000), “Cosmology of Brane Models with Radion Stabilization’’, Phys.Rev D62, 045015 [5] J.F Cornwell (1992), “Group Theory in Physics”, Academic Press III [6] L.Randall and R.Sumdrum (1999), “A Large Mass Hierarchy from a Small Extra Dimension”, Phys Rev Lett 83,3370 [7] R Sundrum (2005), “To the Fifth Dimension and Back”, TASI [8] W D Goldberge and I Z Rothstein (2003), “Systematics of Coupling Flows in AdS backgrounds”, Phys Rev D68, 125012; (2000), Phys Rev B491, 339; (2002), “High Energy Field Theory in Truncated AdS Backgrounds”, Phys Rev Lett 89, 131601; (2003), “Effective Field Theory and Unification in AdS Backgrounds”, Phys Rev D68,125011 PHỤ LỤC A Tính số hạng Christoffel Các số hạng Christoffel tính sau: Γ ABC = G AD (∂ C G DB + ∂ B G DC − ∂ D G BC ) 58 Γ ABC = G A0 (∂ C G 0B + ∂ B G 0C − ∂ G BC ) + G A1 (∂ C G1B + ∂ BG1C − ∂1G BC ) + G A2 (∂ CG 2B + ∂ B G 2C − ∂ G BC ) + G A3 (∂ C G 3B + ∂ BG 3C − ∂ 3G BC ) + G A4 (∂ CG 4B + ∂ B G 4C − ∂ G BC ) A Nhận xét: ΓBC khác không có ba số A, B, C phải có hai số trùng Γ004 = G 00 (∂φ G 00 + ∂ 0G 04 − ∂ G 04 ) = G 00 ∂ φ G 00 ∂ (e −2σ(φ ) ) = e2σ(φ ) ∂φ = −σ '(φ ) Γ040 = G 00 (∂ G 04 + ∂φ G 00 − ∂ G 40 ) = G 00 ∂ φ G 00 2σ(φ ) ∂ (e −2σ(φ ) ) = e ∂φ = −σ '(φ ) 59 Γ114 = G11 (∂φ G11 + ∂1G14 − ∂1G14 ) = G11∂φ G11 ∂ (e −2σ(φ ) ) = e2σ(φ ) ∂φ = −σ '(φ ) Γ141 = G11 (∂1G14 + ∂φ G11 − ∂1G 41 ) = G11∂φ G11 ∂ (e −2σ(φ ) ) = e2σ(φ ) ∂φ = −σ '(φ ) Γ 224 = G 22 (∂φ G 22 + ∂ 2G 24 − ∂ 2G 24 ) = G 22 ∂ φ G 22 2σ(φ ) ∂ (e −2σ(φ ) ) = e ∂φ = −σ '(φ ) Γ 242 = G 22 (∂ 2G 24 + ∂φ G 22 − ∂ 2G 42 ) = G 22 ∂ φ G 22 2σ(φ ) ∂ (e −2σ(φ ) ) = e ∂φ 60 = −σ '(φ ) Γ334 = G 33 (∂φ G 33 + ∂ 3G 34 − ∂ 3G 34 ) = G 33∂φ G 33 ∂ (e −2σ(φ ) ) = e2σ(φ ) ∂φ = −σ '(φ ) Γ343 = G 33 (∂ 3G 34 + ∂φ G 33 − ∂ 3G 43 ) = G 33∂φ G 33 ∂ (e −2σ(φ ) ) = e2σ(φ ) ∂φ = −σ '(φ ) Γ00 = G 44 (∂ G 40 + ∂ 0G 04 − ∂φ G 00 ) = − G 44 ∂φ G 00 ∂ (− e −2σ(φ ) ) = 2rc ∂φ = −2σ(φ ) eσ '( ) φ rc2 Γ11 = G 44 (∂1G 41 + ∂1G14 − ∂φ G11 ) = − G 44 ∂φ G11 61 ∂ (e− 2σ(φ ) ) = 2rc ∂ φ =− −2σ(φ ) eσ '( ) φ rc2 Γ 422 = G 44 (∂ 2G 42 + ∂ G 24 − ∂φ G 22 ) = − G 44 ∂φ G 22 = ∂ (e− 2σ(φ ) ) 2rc2 ∂ φ =− −2σ(φ ) eσ '( ) φ rc2 Γ 33 = G 44 (∂ 3G 43 + ∂ 3G 34 − ∂ φ G 33 ) = − G 44 ∂φ G 33 = ∂ (e− 2σ(φ ) ) 2rc2 ∂ φ =− −2σ(φ ) eσ '( ) φ rc2 B Tiết diện tán xạ Tiết diện tán xạ vi phân a Đối với trình p1 + p2 → p3 + p4 + + pn Biểu thức tiết diện tán xạ vi phân sau: dσ = Trong đó: 62 M 4F dΦS (B.1) - M = yếu tố ma trận trình tán xạ Trong M ta lấy tổng theo spin hạt trạng thái cuối trung bình cộng theo trạng thái spin hạt trạng thái đầu F = E1E v12 =  (p1p ) − m12m 22  - F hệ số thông lượng; - dΦ = (2π)2 δ4 (p3 + p4 + pn − (p1 + p2 )) (B.2) d p3 d p d 3p n (2π)3(n − 2) 2E3 2E4 2En yếu tố dp = p d p dΩ dΩ = sinθdφ dθ thể tích không gian pha trạng thái cuối với , , góc φ ∈[ 0, 2π ] tán xạ θ ∈ [ 0, π ] , góc - S=∏ a la hệ số tổ hợp, l số hạt đồng loại a trạng thái cuối a b Đối với trình p1 + p2 → p3 + p4 (trạng thái cuối có hai hạt): r r r r r r p = p1 = − p , p' = p3 = − p + Trong hệ khối tâm ta có: , tiết diện tán xạ vi phân có dạng: r dσ p = r SM dΩ cm 64π s p' (B.3) 2 s = (p1 + p2 ) = (E1 + E ) ; E1, E2 lượng chùm hạt tới ( pcm ) = λ(s, m , m12 ) 4s 2 , ( p'cm ) = λ(s, m , m32 ) 4s ;Với λ(a, b, c) = (a − b − c) − 4ac + Trong hệ phòng thí nghiệm mà hạt thứ hai đứng yên: p = (m , 0, 0, 0) , biểu thức tiết diện tán xạ vi phân tương ứng là: r M p' dσ = r dΩ lab 64π m p  E1 + m −  63 E1 = p + m12 , E = p'2 + m32 S r  p' r E 3cosθlab  p  Do lượng bảo toàn nên: (B.4) r r E (E1 + m ) − p p' cosθlab = E1 m2 + (m12 + m2 + m32 − m4 ) (B.5) Hệ phòng thí nghiệm thường áp dụng cho tán xạ hạt không khối − − lượng với hạt có khối lượng, tán xạ Compton γe → γe ; hạt đứng yên electron Góc tán xạ θ lab góc vector xung lượng eletron vào eletron Tiết diện tán xạ toàn phần Bằng phép lấy tích phân theo vi phân góc khối dΩ biểu thức tiết diện tán xạ vi phân, ta thu tiết diện tán xạ toàn phần (σ) Mối liên hệ số tượng tiết diện tán xạ sau: N fi = σfi LT (B.6) Trong N fi số tượng mà i  f , L độ trưng phụ thuộc vào máy gia tốc(L đặc trưng ~ 1031 cm-2s-1) T thời gian chạy máy C Liên hợp Hermit yếu tố ma trận u(p )λu(p ) ] Tổng quát: [ + = u(p )λu(p1 ) + , với λ = γ λ γ Một số công thức thông dụng khác: I = γ0 I+ γ0 = I pˆ 1pˆ 2μ pˆ =μ pˆμ 1pˆ − p1ˆ pˆ 64 (C.1) (C.2) γ μ γ = γ (γ ) + (γ μ ) + γ = γ μ γ (C.3) γ 0+ = γ ;(γi )+ = − γi ;(γ5 ) + = − γ5 (C.4) γ = γ (γ ) + γ = -γ ; γ μ = γ γ + γ0 = γμ (C.5) Định lí vết: (γ μ ) + = γ γ μ γ ,(γ ) = − (γ i ) = (γ ) = I (C.6) rr ˆ μ = − 2aˆ aˆ = γ μ a μ = γ 0a − γa γ μ aγ ; (C.7) SpI = 4; Sp{γμ } = 0, Sp{γμ γ ν } = 4g μν (C.8) Sp{ABC} = Sp{CAB} = Sp{BCA} { Spγ{ }= 0, Sp γ γ5 Spγ{ γ5μ γ ν γ ρ }= μ (C.9) }= 0; Sp γ{ γ γ }= 0; 5μ ν Spγ{ γ5μ γ ν γ ρ γ σ }= 4iε (C.10) μνρσ = −4iε μνρσ (C.11) ˆ ˆ μ = 4ab ˆ ˆ γ μ abcγ ˆ ˆ ˆ μ = − 2abc ˆˆ ˆ γ μ abγ ; ; ˆ ˆ ˆ ˆ + cbad) ˆ ˆ ˆ ˆ μ = 2(dabc ˆˆ ˆˆ γ μ abcdγ { Spγ nγ1 nγ2 n γ Spγ{ γμ γυ γα β }= { } n 2m+1 4[ }= (C.12) ; g μν g αβ + g μβ g να − g μα g νβ { ˆ ˆ ˆ ˆ = Sp aγμ bμ γν cν γα dα γβ Sp abcd β ] (C.13) } = 4a μ b ν c α d β g μν g αβ + g μβ g να - g μα g νβ  = 4[ (a μ bμ )(cα d α ) + (a μ d μ )(b ν c ν ) − (a μ cμ )(b ν d ν ) = [ (ab)(cd) + (ad)(bc) − (ac)(bd) ] β ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Sp{abcdeγ ˆ ˆ ˆ ˆ α fα γβ }= ˆ ˆ ˆ ˆ γα }β Sp{abcdef}= e fα Sp{abcdγ β γ α γβ +γβ γ α ={γ α ,γ β }=2g αβ 65 ] (C.14) (C.15) (C.16) Chú ý rằng: Tổng trạng thái phân cực Boson vector thực: + không khối lượng: ∑ε * μ (k ,λ)ε*υ (k ,λ) = -g μυ μ (k ,λ)ε *µ ' (k ,λ) = -g μµ ' + λ (C.17) + có khối lượng: ∑ε λ=1 k2μ k µ ' m2 (C.18) D Hệ đơn vị h = c = hệ đơn vị C.G.S Đối với lý thuyết hạt lý thuyết lượng tử tương đối tính Trong tất hệ thức lý thuyết, số Plank vận tốc ánh sáng đưa vào làm sở Do đó, chúng sử dụng hệ đơn vị  = c = Cho A đại lượng vật lí hệ C.G.S có thứ nguyên là: [A] = MaLbTc (D.1) M khối lượng, L chiều dài T thời gian Đưa vào đại lượng: A' = A hc α β (D.2) Chọn α, β cho A’ có thứ nguyên khối lượng bậc Như ta biết thứ nguyên  c sau: [  ] = ML2T-1 ; [ c ] = LT-1 (D.3) Thay (C.2) vào (C.3) ta được: [ A'] = M a LbT c = M aα− Lb 2α− β− Tc α+ β+ − 1α 1− β (ML T ) (LT ) Vậy, để A’ có thứ nguyên khối lượng bậc thì: 66 (D.4) b = 2α − β, c = − α − β Từ đó, ta có: α = b + c; β = − b − 2c (D.5) A' = M γ Khi đó: [ ] Với γ = a − α = a − b − c (D.6) Đối với số  c , từ (C.1), (C.3) (C.5) ta có: α h = 1; β h = 0, α c = 0; β c = ⇒ h' = h c = 1, c' = α β = hc hc α β (D.7) Khi chuyển từ hệ đơn vị h = c = sang hệ đơn vị C.G.S ta sử dụng công thức biến đổi sau: a b c [A]C.G.S = M L T ; [ A ] h=c=1 = [ A ] C.G.S α β hc = M γ  h= c = (D.8) Như vậy, để dẫn đến hệ h= c =1 , đại lượng vật lí hệ C.G.S cần phải α β chia cho h c Trong hệ đơn vị h= c =1 , tất đại lượng vật lí có thứ nguyên M γ Các công thức chuyển đổi cụ thể sau: 1GeV/c2 = 1,783.10-24 g (1GeV)-1/ ( c) = 0,1973.10-13 cm = 1.973 fm (1GeV)-2/ ( c) = 0,3894.10-27 cm2 = 0,3894 mbarn Với: 1barn = 10-24 cm2 67 68 [...]... 2.2 Biên độ tán xạ theo kênh u khi chùm μ , μ phân cực + − Tiếp theo, chúng tôi tính biên độ tán xạ của quá trình µ µ → Zφ theo kênh u và được mô tả bởi giản đồ Feynman hình 2.2 như sau: φ(k1 ) qu µ − ( p1 ) µ + ( p2 ) µ Z (k 2 ) 28 + Hình 2.2 Giản đồ Feynman của quá trình tán xạ µ µ → Z φ theo kênh u Từ giản đồ hình 2.2, áp dụng quy tắc Feynman trong trường hợp chùm μ + , μ − cùng phân cực phải, ta... 2 )(q u k 2 )-4k 22 (p 2 q u )] 2 m + − 2.3 Biên độ tán xạ theo kênh t khi chùm μ , μ phân cực μ − (p1 ) (2.32) (2.34) + − Hình 2.3 Giản đồ Feynman của quá trình tán xạ µ µ → Z φ theo kênh t + − Hình 2.3 là giản đồ Feynman mô tả quá trình µ µ → Zφ theo kênh t Từ + − giản đồ này, áp dụng quy tắc Feynman, ta có biên độ tán xạ khi chùm μ , μ cùng phân cực phải như sau: M tRRμ= ig 2 mμ2 2 2 w 22 tμ 2 5... chùm μ phân cực phải, chùm μ phân cực trái Cũng áp dụng quy tắc Feynman thì biên độ tán xạ trong trường hợp này có biểu thức là: qμ q ν   1- γ 5 μ 1- γ 5 -ig 2 m z M sRL = 2 2 2  g vμ - 2 ÷( c + γa ) η να ε α (k 2 )v(p 2 ) γ ( v μ -a μ γ 5 ) u(p1 ) 4C w (q s - m Z )  mZ  2 2 = 0 (2.9) 26 + − Như vậy, trường hợp chùm μ phân cực phải, chùm μ phân cực trái, chúng ta thu được bình phương biên độ tán. .. k1 µ Zq s v k2 φ α Z + − Hình 2.1 Giản đồ Feynman của quá trình tán xạ µ µ → Z φ theo kênh s 23 Từ giản đồ hình 2.1, áp dụng quy tắc Feynman ta tính biên độ tán xạ trong các + − + − trường hợp phân cực của chùm μ , μ Đầu tiên chùm μ , μ cùng phân cực phải, khi đó ta có biên độ tán xạ theo kênh s trong trường hợp này là: qq  -ig 2m z ( c + γa )  M sRR = g -η μ ε2 ν ÷(k να) 2 2 2  vμ 4C w (q s - m... ta thu được bình phương biên độ tán xạ bằng 0 hay: |M sRL |2 = 0 (2.10) + − Tương tự, khi chùm μ phân cực trái, chùm μ phân cực phải thì ta có kết quả như sau: M sLR = 0, (2.11) |M sLR |2 = 0 (2.12) Từ các biểu thức biên độ và liên hợp Hertmit ở trên, ta có thể tính được biên + − + − độ giao thoa giữa trường hợp chùm μ , μ cùng phân cực phải với chùm μ , μ cùng phân cực trái như sau: 4 2 2 q q   ... khi chùm μ phân cực phải, μ phân cực trái, áp dụng quy tắc Feynman, ta có biên độ tán xạ là: M uRLμ= ig 2 mμ 2 2 w *μ ( c + γa u ) ε (k 5 ) 2 2 8C (q u μ2 - m ) vμ - a μ 1 v(p )γ qˆ (1- γ )u(p ) 2 (2.21) Liên hợp phức của (2.21) là: M +μ uRLμ' = -ig 2 mμ 2 2 w ( c + γa5) ε u (k 2 1 8C (q u μ2 - m ) ) vμ - a μ 2 2 , u(p )(1+ γ )qˆ γ v(p ) (2.22) + − Bình phương biên độ trong trường hợp chùm μ phân cực. .. )] + Ο (ò2 ), (1.57) ở bậc một, cực tiểu thế đạt khi: = r = v 4k 2 ln( h ) 2 πm vv (1.58) m2 2 Do đó, với k cỡ 10-1 (hàm ln có bậc cỡ đơn vị) thì kr ≈ 10 đồng thời vấn đề phân bậc khối lượng đã được giải quyết 1.7 Kết luận Mô hình Randall – Sundrum là một trong những mô hình đầu tiên theo định hướng cho rằng không - thời gian là nhiều hơn 4 chiều và đây là một mô hình hấp dẫn 4D ở khoảng cách... độ tán xạ khi chùm μ , μ cùng phân cực phải là: M -ig 2 mμ2 (v μ - a μ ) (c + γa) ε (k )u(p )γ (1+ γ )v(p ) 2 1 5 2 2 8C2w (q 2tμ- m 2 ) + μ' tRRμ' = (2.36) Bình phương biên độ tán xạ thu được từ (2.38) và (2.39) là: g 4 mμ4 ( c + γa ) (vμ - a μ ) 2 2 |M tRR | = 4 w 2 tμ 2 2 2 {8(p 2 p1 ) + 2 64C (q - m ) + Z 4 [2(p 2 k 2 )(p1k 2 ) - k 22 (p 2 p1 )]} 2 m (2.37) − Trong trường chùm μ , μ cùng phân cực. .. kênh s khi chùm μ + , μ − phân cực + − Quá trình tán xạ µ µ → Zφ theo kênh s được mô tả bởi phương trình như sau: μ + (p 2 )+μ − (p1 ) → Z(k1 )+φ(k 2 ), + − trong đó: p1 ,p 2 lần lượt là xung lượng của các hạt μ , μ và k1 ,k 2 là xung lượng của radion và hạt Z Quá trình được biểu diễn thông qua giản đồ Feynman: µ + (p2 ) − μ (p1 ) k1 µ Zq s v k2 φ α Z + − Hình 2.1 Giản đồ Feynman của quá trình tán xạ µ... lớn Mô hình đã giải quyết 22 được những vấn đề như là: mở rộng không - thời gian bốn chiều thành không - thời gian năm chiều, giải quyết được hạn chế về bài toán thứ bậc trong MHC, giải quyết được vấn đề giãn nở tăng tốc vũ trụ, giải thích tại sao lại chỉ có ba thế hệ fermion, vấn đề khối lượng neutrino… CHƯƠNG II + − μ μ → Zφ BIÊN ĐỘ TÁN XẠ CỦA QUÁ TRÌNH KHI CHÙM μ + , μ − PHÂN CỰC 2.1 Biên độ tán xạ